Teorema de Chauchy-Goursat

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1 hauchy- hauchy- MA3002 Tma auchy

2 hauchy- Tipos Un dominio D se dice simplemente conexo si cualquier contorno cerrado que esté en D pue encogerse hasta un punto sin abandonar D: ualquier contorno cerrado simple que se encuentra en D encierra puntos que están también en D. En otro caso el dominio se llama multiplemente conexo. Si tiene un hoyo se llama doblemente conexo; si tiene dos, triplemente conexo, etc. Tma auchy Simplemente conexo Multiplemente conexo

3 hauchy- (MATE I) Sea una curva positivamente orientada, suave a pedazos, simple y cerrada en un plano y sea D una región acotada por ella. Si P(x, y) y Q(x, y) tienen rivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D, entonces ( Q P(x, y) dx + Q(x, y) dy = x P ) da y D Región abierta D Tma auchy

4 hauchy- Tma auchy Supóngase que f (z) es anaĺıtica en un dominio simplemente conexo D. Entonces cualquier contorno cerrado simple en D: f (z) dz = 0 f (z) dz = = (U(x, y) + i V (x, y))(dx + i dy) (U(x, y) dx V (x, y) dy)+ i (V (x, y) dx + U(x, y) dy) = ( ) D V x U y da + i ( ) U D x V y da = 0 + i 0 = 0

5 hauchy- alcule f (z) dz don f (z) = ez y es la curva mostrada en la figura. Solución omo f (z) = e z es entera (es cir, anaĺıtica en todo el plano complejo) y es un entorno cerrado simple, entonces f (z) dz = 0. Tma auchy

6 hauchy- Tma auchy alcule f (z) dz don f (z) = 1/z2 y es la elipse (x 3) 2 (y 3) = 1 Solución omo f (z) = 1/z 2 es anaĺıtica en todo el plano salvo en punto 0 y este punto no está en el interior la elipse, entonces f (z) dz = (3, 3)

7 hauchy- Tma auchy Dado el flujo f (z) = sen(z), calcule la circulación alredor y el flujo neto através, si en el cuadro con vértices z 1 = 0, z 2 = 3, z 3 = i y z 4 = 3 i. Solución Recuer que be calcularse f (z) dz = sen(z) dz = sen(z) dz. Para nuestra suerte sen(z) es una función entera y por tanto, f (z)dz =

8 hauchy- Principio ontornos Suponga que f (z) es anaĺıtica en un dominio multiplemente conexo y sea una curva cerrada simple. Suponga que se sea calcular f (z) dz. Si 1 es otra curva cerrada simple con la misma orientación que que se pue formar convertirse en. Entonces, introduciendo la curva S (recta en rojo en la figura la recha) se tiene: f (z) dz + f (z) dz + f (z) dz + f (z) dz = 0 S 1 S y por tanto f (z) dz = f (z) dz 1 Tma auchy D D D D 1 S 1

9 hauchy- Tma auchy alcule dz z i, don es el contorno azul mostrado en la figura. ambiaremos la curva integración por 1 dada por la metrización z(t) = i + e i t 0 t 2 π: f (z) dz = 1 f (z) dz = 2 π 0 i e i t i+e i t i dt = i 2 π 0 dt = 2 π i

10 hauchy- Supongase que 1, 2,..., n son curvas cerradas simples con orientación positiva que son interiores a una curva con orientación positiva y don las regiones interiores cada i no tienen puntos en común con otra j. Si f (z) es anaĺıtica en cada punto interior que resulte exterior a cualquiera las k, k = 1, 2,..., n, entonces f (z) dz = n k=1 k f (z) dz Tma auchy 1 2 n...

11 hauchy- alcule z i dz, en cada una las curvas z 2 2 z i z+2 el círculo z 1 i = 3. el círclo z 1 i = 1.5. el círculo z 1 i = 0.5 Tma auchy

12 hauchy- Tma auchy alcule B dz z 2 (z 2 + 9) dz uando B consta l círculo z = 2 con orientación positiva, junto con el círculo z = 1, scrito en sentido negativo. El integrando es anaĺıtico, excepto en los puntos z = 0 y z = ±3 i, todos los cuales caen fuera la región angular con contorno B. 3 i B 3 i

13 hauchy- Tma auchy Fórmula Integral auchy Sea f (z) anaĺıtica en el interior y en los puntos un contorno cerrado simple, orientado positivamente. Si z o es un punto interior a, entonces f (z) z z o dz = 2 π i f (z o ) Sea el círculo positivamente orientado z = 2.omo la función f (z) = z/(9 z 2 ) es anaĺıtica en el interior y sobre (sus polos están en z = 3 y en z = 3), y ya que el punto z o = i es interior a, la fórmula anterior nos dice que z dz (9 z 2 )(z + i) = z/(9 z 2 ( ) ) i z ( i) dz = 2 π i = π 10 5

14 hauchy- Tma auchy Fórmula Integral auchy 2 Sea f (z) anaĺıtica en un dominio simplemente conexo D, y un curva cerrada simple, orientado positivamente contenida en D. Si z o es un punto interior a, entonces Para : z i = 2 calcule el resultado: π/16. f (z) 2 π i dz = f (n) (z (z z o ) n+1 o ) n! dz (z 2 + 4) 2

15 hauchy- Tma auchy Inpenncia la trayectoria Sea f (z) una función continua en un dominio D y F (z) una función rivable en D tal que F (z) = f (z). Entonces, cualquier contorno en D que tenga como punto inicial z o y como punto final z 1 se cumple f (z) dz = F (z 1 ) F (z o ) Para z o = 1 y z 1 = 1 + i termine la integral sobre un contorno que vaya z o a z 1 2 z dz el resultado: 1 2 i.

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