VARIABLE COMPLEJA. 15 de diciembre de Resumen

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1 VARIABLE COMPLEJA L. L. Salcedo Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear, Universidad de Granada, E-87 Granada, Spain salcedo@ugr.es 5 de diciembre de 24 Resumen Apuntes completos de la asignatura de métodos matemáticos. Incluye transformadas integrales y series de Fourier. Versión v Se ruega comunicar los errores o imprecisiones que puedan encontrarse. Índice. Números complejos 9.. Introducción El cuerpo de los números complejos Definición de suma y producto Propiedades de suma y producto

2 .2.3. C como extensión de R Unidad imaginaria. Notación binómica Parte real, parte imaginaria, complejo conjugado Representaciones. El plano complejo El plano complejo Módulo de un número complejo Representación polar Argumento. Determinación principal Producto, división y conjugado en representación polar Potencias enteras de un número complejo Teorema de Moivre. Fórmula de Euler Teorema de Moivre Fórmula de Euler Raíces de un número complejo Límites en el plano complejo El principio de los intervalos encajados Puntos ĺımite Sucesiones complejas convergentes Esfera de Riemann y plano complejo extendido Funciones complejas 25 2

3 3.. Variables y funciones Curvas y dominios Continuidad de funciones complejas Continuidad uniforme Derivación en el plano complejo Derivada de una función compleja Las ecuaciones de Cauchy-Riemann Complementos Integración en el plano complejo La integral de una función compleja Propiedades básicas de la integral Teorema de la integral de Cauchy Integrales complejas indefinidas Fórmula integral de Cauchy Derivabilidad infinita de funciones anaĺıticas Índice de un camino cerrado Complementos Series complejas Convergencia y divergencia de series

4 6.2. Convergencia absoluta Convergencia uniforme Series de potencias Teoría básica Determinación del radio de convergencia Exponencial y funciones relacionadas Exponencial, coseno y seno Funciones hiperbólicas Derivadas de exp, cos, sen, cosh, senh Función logaritmo Función potencia general Funciones trigonométricas inversas Funciones multivaluadas Dominios de univalencia Potencia y raíz n-ésima Exponencial y logaritmo Ramas y puntos de ramificación Superficies de Riemann Integración y funciones multivaluadas

5 .Series de Taylor 94..Desarrollo de una función anaĺıtica Sobre el cálculo de series de Taylor Teoremas de unicidad Principio del módulo máximo Series de Laurent 4..Desarrollo de Laurent de una función anaĺıtica Series de potencias negativas Puntos singulares aislados del cálculo de series de Laurent: Residuos Cálculo de residuos Residuo en el punto del infinito Cálculo del residuo en el infinito Aplicación del teorema de los residuos y otros resultados generales 9 2..Evaluación de integrales impropias Valor principal de Cauchy Integrales impropias en C Lemas de integración Integrales impropias

6 2.2.Suma de series Residuo logarítmico y principio de variación del argumento Teorema de Rouché Prolongación anaĺıtica Principio de reflexión de Schwarz Transformada de Laplace Transformada de Laplace Reglas operativas Transformada inversa de Laplace Reglas operativas Fórmula de inversión de Bronwich Series de Fourier Forma compleja de la serie de Fourier Forma trigonométrica de la serie de Fourier Series de Fourier seno y coseno Complementos Transformada de Fourier Transformada de Fourier Transformada inversa de Fourier

7 5.3.Propiedades de la transformada de Fourier Ejemplos Transformada de Fourier multidimensional Función escalón Regularizaciones de H(x) Transformada de Laplace de la función de escalón Transformada de Fourier de la función de escalón Función δ de Dirac Propiedad básica de δ(t) Otras propiedades de δ(t) Regularizaciones de δ(t) Transformada de Laplace de δ(t) Transformada de Fourier de δ(t) Complementos Transformada inversa de Fourier Identidad de Weierstrass Bibliografía 77 A. Integrales y series 78 B. Transformada de Laplace 8 7

8 C. Ejercicios 8 8

9 . Números complejos.. Introducción Se suponen conocidas las definiciones y propiedades de los números reales R. Los números reales no son algebraicamente cerrados, es decir, pueden escribirse ecuaciones que involucran sólo reales que no admiten solución dentro R. Por ejemplo: con solución formal 2 x2 x+5 = (.) x = ± 9 = ±3. (.2) No tiene solución para x R real. Tendría solución en una extensión de los reales en la que tuviera raíz cuadrada. Tal raíz se suele denominar i i 2 =. (.3) Si x R necesariamente x 2, luego i no es real. i se denomina unidad imaginaria. En este caso las soluciones serían ± 3i. Si se admite esta extensión, tendremos números complejos del tipo z = x+iy, x,y R. (.4) Usando la propiedad i 2 = se puede ver que los números complejos así construidos son cerrados bajo suma y multiplicación, si se aplican las propiedades usuales válidas para reales: (x +iy )+(x 2 +iy 2 ) = (x +x 2 )+i(y +y 2 ) (.5) (x +iy )(x 2 +iy 2 ) = x x 2 +ix y 2 +iy x 2 +i 2 y y 2 = (x x 2 y y 2 )+i(x y 2 +y x 2 ). (.6) El problema de postular propiedades es que no está garantizado que no se llegue a inconsistencias. Para evitar este problema es mejor proceder constructivamente. Paradojas: a = implica = = a = = +. En realidad hay dos raíces cuadradas, ± a. Cuando a > las dos raíces se distinguen bien porque una es positiva y la otra es negativa pero eso deja de ser cierto cuando a < y la falacia es que se ha identificado + con. Lo único que se concluye es ± = ±. 9

10 Los números complejos también iluminan problemas puramente reales. Por ejemplo, la función f(x) = es perfectamente regular para todo x real, sin embargo si se considera su +x2 desarrolloenseriedetaylorentornoax =,seencuentralaseriegeométrica x 2 +x 4 x 6 + que converge sólo si x <. En R no se ve el motivo de la falta de convergencia para x > ó x <, dado que nada especial le ocurre a la función en x = ±. Como se verá el motivo es obvio cuando se considera la extensión de esta función al plano complejo..2. El cuerpo de los números complejos.2.. Definición de suma y producto Matemáticamente se introduce el conjunto de números complejos C = (R R,+,.) como el conjunto de pares ordenados de números reales, R R, z = (x,y) C, dotado de las siguientes propiedades 2 (x,y ) = (x 2,y 2 ) sii x = x 2, y = y 2 (igualdad), (.7) (x,y )+(x 2,y 2 ) := (x +x 2,y +y 2 ) (suma), (.8) (x,y )(x 2,y 2 ) := (x x 2 y y 2,x y 2 +y x 2 ) (multiplicación). (.9).2.2. Propiedades de suma y producto De las definiciones se deduce que C es un cuerpo (es decir, aritméticamente los complejos se comportan igual que los reales): a) La suma define un grupo abeliano. El neutro de la suma es (,) se representa por (cero). El inverso respecto de la suma (opuesto) de z se representa por z Se define la resta en C z = (x,y), z = ( x, y), z +( z) =. (.) z z 2 := z +( z 2 ), z,z 2 C. (.) 2 Usamos la notación a := b para indicar que a está definido como b.

11 b) El producto define un grupo abeliano en C {}. Satisface la propiedades conmutativa y asociativa. El neutro del producto es (,), se denomina (uno). Todo z tiene un inverso que se denota z (o también /z) z = (x,y), z = (x,y ), zz = } ( xx yy = x xy +yx z = y ) = x 2 +y 2, x 2 +y 2, z (.2) Se define la división de complejos z := z z2, z 2 z,z 2 C, z 2. (.3) c) Propiedad distributiva: z (z 2 +z 3 ) = z z 2 +z z C como extensión de R Se comprueba inmediatamente que el subconjunto {(x, ), x R} C es un cuerpo isomorfo a R. A partir de ahora identificamos x con (x,) x = (x,), x R (.4) de modo que R C y los complejos son una extensión de los reales Unidad imaginaria. Notación binómica Por otro lado si se define la unidad imaginaria i i := (,), i 2 = (,)(,) = (,) =, (.5) cualquier número complejo z = (x, y) puede escribirse en la llamada forma binómica, En efecto: z = x+iy, z C, x,y R. (.6) x+iy = (x,)+(,)(y,) = (x,)+(,y) = (x,y). (.7) Como se ve de la construcción, los números reales x e y tales que z = x + iy, son únicos. La forma binómica es la más frecuentemente utilizada. Nota: Para evitar falacias (ej. nota, al pie de página) es importante notar que i no se define como la raíz cuadrada de. De hecho es una de las dos raíces cuadradas de. La otra raíz es i = (, ). Nótese también que i = i. En efecto: i( i) = i 2 = ( ) =.

12 .2.5. Parte real, parte imaginaria, complejo conjugado Para z = (x,y), se define x = Re(z) parte real de z, y = Im(z) parte imaginaria de z, z = (x, y) complejo conjugado de z. (A veces se denota z.) (.8) Nota: Obsérvese que, por definición, la parte imaginaria de z es un número real; no incluye la i. 3 La aplicación z z es un automorfismo en C (conserva suma y producto): 4 (z +z 2 ) = z +z 2, (z z 2 ) = z z 2, (z z 2 ) = z z 2, (z /z 2 ) = z /z 2, (.9) y una conjugación, Se deduce y por tanto, Re(z) = z +z 2 (z ) = z. (.2), Im(z) = z z 2i, (.2) z R sii Im(z) = o equivalentemente z = z, (.22) z ir sii Re(z) = o equivalentemente z = z. (.23) Los números de la forma ir se denominan imaginarios puros. El producto zz = x 2 +y 2 (.24) es real (y no negativo). Esto permite calcular fácilmente el inverso de un número complejo: z = (x+iy) = z = z zz = x iy x 2 +y 2 = x x 2 +y +i y (z ). (.25) 2 x 2 +y 2 3 Estrictamente Im(z) es la componente de z en la dirección imaginaria, pero se denomina parte imaginaria para abreviar. 4 Puesto que la definición básica es i 2 = y ésta no distingue i de i tan natural es z como z : si en una ecuación se cambian todas las i por i la ecuación seguirá siendo cierta. 2

13 y= Im z 2i i z=2+i 2 x=re z i z* =2 i Figura : Plano complejo. Observación: La definición de suma y producto en C es tal que todas las ecuaciones de 2 grado con coeficientes reales tienen solución en C. También las ecuaciones con coeficientes complejos tienen solución. Es más todas las ecuaciones polinómicas complejas de cualquier grado tienen solución en C (teorema fundamental del álgebra). C es algebraicamente cerrado y no son necesarias nuevas extensiones. De hecho no existen otros cuerpos basados en R n, n Representaciones. El plano complejo..3.. El plano complejo Ya hemos visto dos formas de representar los número complejos, (x, y) y forma binómica x+iy. C tiene estructura de espacio vectorial sobre R de dimensión 2 y es geométricamente equivalente al plano R 2 : (x,y) representan las dos componentes cartesianas del punto z en el plano euclídeo R 2 en la base ortonormal formada por {,i}. La suma de números complejos es equivalente a su suma como vectores de R 2. z = (x,y)sepuederepresentarporelpunto(x,y)delplano complejo(oplanodeargand), o equivalentemente por el vector que va de (,) a (x,y). El eje x se denomina eje real y el eje y eje imaginario. 5 Nótese que z es el vector reflejado de z respecto del eje real. (Véase la fig..) Las regiones {y > }, e {y < } se denominan semiplano superior y semiplano inferior, 5 Históricamente, el plano complejo, introducido por Gauss y Argand, contribuyó a la aceptación de los 3

14 respectivamente. Las regiones {x >,y > }, {x <,y > }, {x <,y < } y {x >,y < } se denominan primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, respectivamente. La equivalencia geométrica entre C y R 2 implica en particular que en C, a diferencia de R, no existe un orden natural entre números complejos. 6 Notación: cuando se use a > b, a b, etc, automáticamente se sobreentiende que a, b son reales Módulo de un número complejo El módulo del número complejo z = (x,y) se define como la norma euclídea (longitud) del vector correspondiente: z := + x 2 +y 2 = + zz (.26) Es definido no negativo y para z real coincide con el valor absoluto. El módulo cumple z =, sii z =, z z 2 = z z 2, z /z 2 = z / z 2, z ±z 2 2 = z 2 + z 2 2 ±2Re(z z2), z z 2 z +z 2 z + z 2 (Desigualdad triangular). (.27) Considerados como vectores en R 2 usual). z z 2 = Re(z z 2) (con el producto escalar euclídeo.3.3. Representación polar Los números complejos se pueden representar mediante coordenadas polares r y θ. r es el módulo de z y θ el ángulo que forma el vector z con el semieje real positivo. El ángulo se toma en sentido positivo que por definición es el antihorario. (Véase la fig. 2.) números complejos, ya que probaba que éstos existían. 6 Como conjunto, es posible definir un orden total en C (de hecho de muchas formas) pero no uno que sea compatible con la estructura algebraica como en R. Por ejemplo, en R, si a, necesariamente a > ó a > (una y una sola de las dos posibilidades), y si a > y b >, entonces ab >. En C no se puede definir un orden > con estas propiedades. 4

15 y=r sen θ z=x+iy r θ x= r cos θ Figura 2: Coordenadas polares. z = x+iy, } x = rcosθ y = rsenθ z = r(cosθ+i senθ) r = z, tanθ = y/x. (.28) Nótese que la última ecuación no distingue entre z y z, es decir, entre θ y θ +π. Hace falta conocer por ejemplo el cuadrante en el que está z Argumento. Determinación principal. Elánguloθ sedenominaargumento de z ysedesignaargz.elargumentosóloestádefinido salvo un múltiplo entero de 2π ya que cos θ y sen θ son funciones periódicas. Por ejemplo, θ = 3π/2 y θ = π/2 son ambos argumentos de z = i. En general si θ es un argumento de z, todos los valores θ +2πn = argz, n Z (z ) (.29) son también argumentos de z. arg z es una función multivaluada de z. Para evitar ambigüedades se puede elegir una determinación principal del argumento, que se designa Arg z. Nosotros tomaremos Argz [,2π[, argz = Argz +2πn, n Z. (.3) Nótese que esta elección de la determinación principal es arbitraria y no es universal. También se encuentra con frecuencia la elección Argz ] π,π]. 7 Ninguna elección produce una función 7 Más generalmente, Arg α z = Arg(e iα z)+α produce el argumento en el intervalo [α,α+2π[. 5

16 continua. La función arg no está definida para z =. Algunos casos particulares son: Arg() =, Arg(i) = π/2 Arg( i) = 3π/2 Arg( ) = π. (.3).3.5. Producto, división y conjugado en representación polar La representación polar es particularmente práctica para representar la multiplicación y división de complejos: Es decir, 8 z = r (cosθ +isenθ ), z 2 = r 2 (cosθ 2 +isenθ 2 ), z z 2 = r r 2 (cosθ cosθ 2 senθ senθ 2 +icosθ senθ 2 +isenθ cosθ 2 ) = r r 2 (cos(θ +θ 2 )+isen(θ +θ 2 )), (.32) z z 2 = z z 2, arg(z z 2 ) = arg(z )+arg(z 2 )+2πn, n Z, z,z 2. (.33) Más generalmente, por inducción, 9 z z n = z z n, (.34) arg(z z n ) = arg(z )+ +arg(z n ) (mód2π). Igualmente y también z z 2 = z ( ) z 2, arg z = arg(z ) arg(z 2 ) (mód2π), z 2 z = z, arg(z ) = arg(z) (mód2π), (.35) z = z, arg(z ) = argz (mód2π). (.36) Ejemplo. El número iz corresponde al vector z rotado 9 o en sentido positivo. 8 Arg(z z 2 ) = Arg(z )+ Arg(z 2 )+2πn(z,z 2 ), donde n(z,z 2 ) = {, Argz + Argz 2 < 2π, 2π Argz + Argz 2 < 4π. 9 La notación a = b (módc), donde a,b,c son elementos de un grupo abeliano, indica que a b = nc para algún n Z. 6

17 .3.6. Potencias enteras de un número complejo Para n Z y z C se define z n en la forma natural: z z (n factores) n >, z n = n =, z z ( n factores) n <, (z ). (.37) Esta definición cumple las propiedades z n z m = z n+m, (z n ) m = z nm, n,m Z. (.38).4. Teorema de Moivre. Fórmula de Euler..4.. Teorema de Moivre Aplicando la fórmula de suma de argumentos se deduce (cosθ+isenθ) n = cos(nθ)+isen(nθ) (n Z) (Teorema de Moivre), (.39) es decir, cos(nθ) = Re((cosθ +isenθ) n ), sen(nθ) = Im((cosθ +isenθ) n ). (.4) Por ejemplo, usando (cosθ+isenθ) 2 = cos 2 θ sen 2 θ +2icosθsenθ (.4) se obtienen la conocidas relaciones trigonométricas cos(2θ) = cos 2 θ sen 2 θ, sen(2θ) = 2cosθsenθ. (.42).4.2. Fórmula de Euler Es conveniente usar la relación e iθ := cosθ+isenθ (Fórmula de Euler), (.43) 7

18 de modo que un número complejo cualquiera se puede escribir z = re iθ, r, θ R. (.44) Cuando se defina la función exponencial compleja se demostrará este resultado. De momento lo tomamos como una notación que puede justificarse mediante desarrollo en serie (formal por ahora): cosθ +isenθ = = ( ) n ( ) n (2n)! θ2n +i (2n+)! θ2n+ n= ( ) (iθ) 2n (2n)! + (iθ)2n+ (iθ) n = (2n+)! n! n= n= n= = e iθ. (.45) Con esta notación se puede escribir r e iθ r 2 e iθ 2 = r r 2 e i(θ +θ 2 ), r e iθ r 2 e iθ 2 = r r 2 e i(θ θ 2 ) (r 2 ), (.46) consistente con el comportamiento de la exponencial real. Igualmente (re iθ ) = r e iθ, (re iθ ) n = r n e inθ (n Z), (re iθ ) = re iθ. (.47) Algunas fórmulas notables: e 2πi =, e iπ =, i = e iπ/2, i = e iπ/2. (.48).5. Raíces de un número complejo Queremos ahora definir z /n para n Z. En R, x > tiene dos raíces cuadradas; la ecuación y 2 = x tiene dos soluciones, y = ± x. En C la ecuación w 2 = z también tiene dos soluciones si z, ya que si w es una solución, w también lo es. Sin embargo, a diferencia del caso real, un número complejo no nulo tiene tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuárticas, etc. También se ve que las ecuaciones f() = y f (θ) = if(θ) se satisfacen cuando f(θ) = e iθ y cuando f(θ) = cosθ +isenθ. 8

19 Se define z /n, n Z, como toda solución de la ecuación w n = z. Si z y n hay exactamente n raíces distintas. Basta estudiar el caso n positivo: Si n = m <, equivale a resolver w m =. Suponemos n >. Sea z z = re iθ, w = ρe iφ, entonces re iθ = ρ n e inφ, (.49) que implica ρ = r /n, nφ = θ+2πk, k Z. (.5) La solución es múltiple φ = φ k = θ +2πk n, k Z, (.5) pero no todos los argumentos φ k producen w k = ρe iφ k distintos. Notando que φ k+ = φ k + 2π n, φ k+n = φ k +2π, (.52) se ve que sólo hay n soluciones distintas correspondientes a w k con k =,,...,n. Además, si θ [,2π[, φ k [,2π[ para k =,,...,n. w k = r /n e i(θ+2πk)/n = w u k, u k = e 2πik/n (.53) donde u k son las raíces n-enésimas de la unidad. Las n raíces w k están dispuestas en los vértices de un polígono regular centrado en, y por simetría n w k = si n 2. (.54) k= Se sobreentiende r /n en el sentido de números reales. Como número complejo r tiene raíces complejas, una de las cuales es real y positiva. 9

20 e 2πi 3 e i θ 3 e i θ e i θ 3 e 4πi 3 e i θ 3 Figura 3: Raíces cúbicas de e iθ. 2. Límites en el plano complejo 2.. El principio de los intervalos encajados Teorema. (Principio de los intervalos encajados.) Sea I,I 2,... una sucesión 2 de intervalos cerrados de R, I n = [a n,b n ], tales que: ) Están encajados: I n+ I n. 2) Su longitud (b n a n ) tiende a cuando n. Entonces hay un punto, y sólo uno, que pertenece a todos ellos. Este teorema se generaliza fácilmente al caso complejo: Teorema. (Principiodelosrectángulosencajados.)SeaR,R 2,...,unasucesiónderectángulos cerrados paralelos a los ejes real e imaginario: R n = [a n,b n ] [c n,d n ] C tales que: ) Están encajados: R n+ R n. 2) Su perímetro tiende a cuando n. Entonces hay exactamente un z C común a todos los rectángulos. 2 Por sucesión siempre entenderemos sucesión infinita. 2

21 2.2. Puntos límite Definición. Una sucesión compleja es una aplicación de N en C, n z n. A menudo la denotaremos {z n }. Definición. Un número complejo α es un punto límite o punto de acumulación de la sucesión compleja z,z 2,...,z n,..., (2.) si ǫ >, la desigualdad z n α < ǫ es válida para infinitos valores de n. Definición. Un entorno (complejo) del punto α de radio ǫ es el disco abierto D(α,ǫ) = {z z α < ǫ}, α C, ǫ >. (2.2) Análogamente se define entorno reducido como {z < z α < ǫ}, es decir, el entorno excluyendo el propio punto α. Por tanto α es un punto límite de la sucesión {z n } sii en cualquier entorno de α hay infinitos términos de la sucesión. Ejemplo. La sucesión,,3,,5,,7,,... tiene como punto límite. Ejemplo. La sucesión,2,3,4,... no tiene puntos límite. Ejemplo. La sucesión,,, 2,, 3,, 4,, 5,... tiene y como puntos límite Definición. Una sucesión compleja {z n } es acotada si M > tal que n z n < M. En otro caso la sucesión es no acotada. Teorema. (Teorema de Bolzano-Weierstrass.) Toda sucesión compleja acotada tiene al menos un punto límite. Se demuestra usando el principio de los rectángulos encajados. (Véase la fig. 4.) 2.3. Sucesiones complejas convergentes Definición. Se dice que la sucesión compleja {z n } es convergente y tiene por límite α, y 2

22 Figura 4: Construcción para el teorema Bolzano-Weierstrass. se denota lím z n = α o bien z n α cuando n, (2.3) n si ǫ > ν(ǫ) tal que n > ν z n α < ǫ. Equivale a decir que cualquier entorno de α contiene todos los términos de la sucesión salvo un número finito de ellos. Nótese que para que {z n } sea convergente debe tener exactamente un punto límite. Pero la afirmación recíproca no es cierta. Ejemplo. La sucesión,,2,,3,,... tiene como único punto límite sin embargo no es convergente. Teorema. Si dos sucesiones z n α y z n α cuando n, entonces z n ±z n α±α, z n z n αα, z n z n α α (α ). (2.4) Teorema. (Criterio de convergencia de Cauchy.) Una sucesión z n es convergente sii ǫ >, ν(ǫ) tal que z n z m < ǫ siempre que n,m > ν. Definición. Decimos que lím n z n =, o bien z n cuando n, si K > ν(k) tal que n > ν z n > K. Definición. Sedefineunentorno del infinito(deradior)comounconjunto{z z > R}, para cierto R >. Por tanto, z n expresa que cualquier entorno del infinito contiene todos menos un número finito de términos de la sucesión. 22

23 2.4. Esfera de Riemann y plano complejo extendido La esfera de Riemann es una superficie esférica Σ R 3 (de radio arbitrario) tangente al plano complejo (C = R 2 R 3 ) de modo que z = coincide con el polo sur S de la esfera. El punto diametralmente opuesto a S es el polo norte, N. Para cualquier punto P del plano complejo se puede considerar la recta que une P y N. Dicha recta cortará Σ en otro punto P. Por tanto todo número complejo z tiene asociado un punto de la esfera. Viceversa, todo punto de Σ, excepto N, tiene asociado un número complejo z. Hay una biyección entre C y Σ {N}. (Véase la fig. 5.) N Σ P P S C Figura 5: Proyección estereográfica. Si lím n z n = los puntos correspondientes P n sobre la esfera de Riemann se aproximan al polo norte, P N con n, luego se asocia N con z =, llamado punto del infinito. El plano complejo junto con se llama plano complejo extendido, C = C { }. Algunas propiedades son: si z C z± =, z = (z ), z = (z ), z =, =. (2.5) Nótese que no es un elemento del plano complejo finito C. Y también que en R se suele introducir ±, en cambio en C sólo se introduce un único punto del infinito. La correspondencia entre el plano complejo extendido y la esfera de Riemann (incluido N) es una biyección, denominada proyección estereográfica. El plano complejo extendido es topológicamente una esfera. Un entorno de N en la esfera de Riemann es un entorno del 23

24 infinito en el plano complejo extendido. El interés de la proyección estereográfica y la esfera de Riemann es que esta última es una variedad compacta (subconjunto cerrado y acotado de R 3 ) y por tanto mejor comportado que R 2. 24

25 3. Funciones complejas 3.. Variables y funciones Definición. Una función compleja f(z) es una aplicación f :E C z w = f(z) (3.) donde E C es el dominio de definición de f. La variable z E se llama variable independiente u original. w es la variable dependiente o imagen. El conjunto E = f(e) de valores que puede tomar w se llama recorrido de f. Las mismas definiciones se aplican cuando E y E son subconjuntos del plano complejo extendido. La función f puede especificarse dando los valores de u := Rew y v := Imw, z = x+iy f w = u(x,y)+iv(x,y) (forma binómica). (3.2) Las funciones así definidas son funciones univaluadas ya que para z E existe exactamente un valor w. Si se consideran correspondencias más generales donde z puede tener más de una imagen, se habla de funciones multivaluadas o multiformes. Por omisión, función se refiere a función univaluada. f :E E Dada una función z w, se puede considerar la función inversa ϕ :E E, que en w z general será multivaluada ya que un mismo w E puede ser imagen de más de un original en E. (Es decir, en general f no será inyectiva. Por construcción, f : E E es sobreyectiva.) Si ϕ es univaluada se dice que f es invertible y entonces f : E E es biyectiva. Ejemplo. f(z) = z se puede definir con dominio E = C {} y recorrido E = C {}. Es invertible, ϕ(w) = w. En el plano complejo extendido C = C { } se puede definir f(z) con dominio y recorrido C, tomando f(z) = /z si z,, f() =, f( ) =. Ejemplo. w = z, z C es univaluada pero no es invertible, ya que z y e iθ z (θ real) tienen igual módulo. 25

26 Ejemplo. f : C C con f(z) = z 2 es univaluada pero no invertible, su inversa ϕ es bivaluada (excepto si z = ) ya que ±z z 2. Ejemplo. f :E C siendo f(z) = z 2 y E = {z Re(z) >, Im(z) > } (es decir, z es un punto del primer cuadrante). f(z) es inyectiva ya que si z E, z E. Su recorrido es E = {w Im(w) > }. En efecto, z = re iθ E sii r > y < θ < π/2. Entonces, w = ρe iφ = z 2 tiene ρ = r 2 > y < φ = 2θ < π, y por tanto w es un punto cualquiera de E. f:e E es invertible Curvas y dominios Definición. (Curva orientada.) Sean x(t), y(t) dos funciones reales y continuas de la variable real t con a t b. La aplicación z(t) = x(t) + iy(t) es un camino en el plano complejo. z(a) y z(b) son el punto inicial y el punto final, respectivamente. El conjunto de todos los caminosconelmismorecorridoyelmismopuntoinicialyelmismopuntofinaldefineunacurva orientada (continua) C. Por tanto, a cada curva C le corresponden infinidad de caminos, y cada camino define una parametrización de la curva. El sentido positivo 3 de C se obtiene cuando t va de a a b. Definición. Si z(a) = z(b) se dice que la curva es cerrada, en otro caso es una curva abierta o arco. Definición. Un conjunto de puntos E se dice que es (arco-)conexo si cualquier par de puntos z,z 2 E puede unirse mediante un arco C contenido en E con z y z 2 como puntos inicial y final. Definición. Dado un conjunto E se dice que z es un punto interior de E si E contiene algún entorno de z (en particular z E). Se dice que E es abierto si todos sus puntos son interiores. Se dice que E es cerrado si su complementario, E c = C E, es abierto. Ejemplo. El conjunto 4 { < z < } es abierto, { z } es cerrado, { < z } no es abierto ni cerrado. Definición. Un conjunto no vacío G es un dominio si es abierto y conexo. (No debe confundirse este concepto con el de dominio de definición de una función.) 3 El sentido positivo para el caso especial de una curva cerrada simple se define más adelante. 4 Para aligerar la notación usamos { < z < } para indicar el conjunto {z < z < }, etc. 26

27 Definición. Un dominio G (o en general un conjunto E) es acotado si está contenido en un entorno de cero, es decir, si K > tal que z E, z < K. En otro caso es no acotado. Definición. Se dice que z es un punto exterior de E cuando z es un punto interior del complementario de E. Los puntos que no son interiores ni exteriores a E son puntos frontera de E. El conjunto de puntos frontera es la frontera de E. Se dice que z es un punto de acumulación o punto límite de E si en todo entorno de z hay infinitos puntos de E. Ejemplo. Sea E = { < z < } {2}. Sus puntos interiores son { < z < }. Sus puntos exteriores son { < z,z 2}. Su frontera es {,2} { z = }. Su puntos de acumulación son { z }. Proposición. Todos los dominios tienen una frontera no vacía excepto C. Proposición. Un conjunto es cerrado sii contiene su frontera. Un conjunto es cerrado sii contiene a todos sus puntos de acumulación. Definición. Un dominio G junto con ninguno, alguno o todos sus puntos frontera se denomina una región, G. Un dominio es una región abierta. Un dominio junto con su frontera es una región cerrada, Ḡ. Ejemplo. Una curva no es una región: todos sus puntos son de la frontera, y si se quita ésta queda el conjunto vacío, que no es un dominio. Definición. Una curva es simple o de Jordan, si no pasa dos veces por el mismo punto de C (no se corta a sí misma), es decir, si a t < t 2 < b implica z(t ) z(t 2 ). Teorema. (Teorema de la curva de Jordan.) Toda curva simple cerrada C divide el plano complejofinitoendosdominiosdelosquec esfronteracomún.unodeellosesacotado(llamado interior de C) y el otro no acotado (llamado exterior de C). Definición. Se toma el sentido positivo de una curva simple cerrada de modo que su interior esté localmente a la izquierda de la curva (para un observador que recorra la curva). Coincide con el sentido antihorario. Definición. En el plano complejo finito, se dice que un dominio G es simplemente conexo si toda curva simple cerrada contenida en G tiene su interior también contenido en G. En el plano complejo extendido se dice que G es simplemente conexo si para toda curva cerrada simple su interior o su exterior están contenidos completamente contenidos en el dominio G. 27