VARIABLE COMPLEJA. 15 de diciembre de Resumen

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "VARIABLE COMPLEJA. 15 de diciembre de 2014. Resumen"

Transcripción

1 VARIABLE COMPLEJA L. L. Salcedo Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear, Universidad de Granada, E-87 Granada, Spain 5 de diciembre de 24 Resumen Apuntes completos de la asignatura de métodos matemáticos. Incluye transformadas integrales y series de Fourier. Versión v Se ruega comunicar los errores o imprecisiones que puedan encontrarse. Índice. Números complejos 9.. Introducción El cuerpo de los números complejos Definición de suma y producto Propiedades de suma y producto

2 .2.3. C como extensión de R Unidad imaginaria. Notación binómica Parte real, parte imaginaria, complejo conjugado Representaciones. El plano complejo El plano complejo Módulo de un número complejo Representación polar Argumento. Determinación principal Producto, división y conjugado en representación polar Potencias enteras de un número complejo Teorema de Moivre. Fórmula de Euler Teorema de Moivre Fórmula de Euler Raíces de un número complejo Límites en el plano complejo El principio de los intervalos encajados Puntos ĺımite Sucesiones complejas convergentes Esfera de Riemann y plano complejo extendido Funciones complejas 25 2

3 3.. Variables y funciones Curvas y dominios Continuidad de funciones complejas Continuidad uniforme Derivación en el plano complejo Derivada de una función compleja Las ecuaciones de Cauchy-Riemann Complementos Integración en el plano complejo La integral de una función compleja Propiedades básicas de la integral Teorema de la integral de Cauchy Integrales complejas indefinidas Fórmula integral de Cauchy Derivabilidad infinita de funciones anaĺıticas Índice de un camino cerrado Complementos Series complejas Convergencia y divergencia de series

4 6.2. Convergencia absoluta Convergencia uniforme Series de potencias Teoría básica Determinación del radio de convergencia Exponencial y funciones relacionadas Exponencial, coseno y seno Funciones hiperbólicas Derivadas de exp, cos, sen, cosh, senh Función logaritmo Función potencia general Funciones trigonométricas inversas Funciones multivaluadas Dominios de univalencia Potencia y raíz n-ésima Exponencial y logaritmo Ramas y puntos de ramificación Superficies de Riemann Integración y funciones multivaluadas

5 .Series de Taylor 94..Desarrollo de una función anaĺıtica Sobre el cálculo de series de Taylor Teoremas de unicidad Principio del módulo máximo Series de Laurent 4..Desarrollo de Laurent de una función anaĺıtica Series de potencias negativas Puntos singulares aislados del cálculo de series de Laurent: Residuos Cálculo de residuos Residuo en el punto del infinito Cálculo del residuo en el infinito Aplicación del teorema de los residuos y otros resultados generales 9 2..Evaluación de integrales impropias Valor principal de Cauchy Integrales impropias en C Lemas de integración Integrales impropias

6 2.2.Suma de series Residuo logarítmico y principio de variación del argumento Teorema de Rouché Prolongación anaĺıtica Principio de reflexión de Schwarz Transformada de Laplace Transformada de Laplace Reglas operativas Transformada inversa de Laplace Reglas operativas Fórmula de inversión de Bronwich Series de Fourier Forma compleja de la serie de Fourier Forma trigonométrica de la serie de Fourier Series de Fourier seno y coseno Complementos Transformada de Fourier Transformada de Fourier Transformada inversa de Fourier

7 5.3.Propiedades de la transformada de Fourier Ejemplos Transformada de Fourier multidimensional Función escalón Regularizaciones de H(x) Transformada de Laplace de la función de escalón Transformada de Fourier de la función de escalón Función δ de Dirac Propiedad básica de δ(t) Otras propiedades de δ(t) Regularizaciones de δ(t) Transformada de Laplace de δ(t) Transformada de Fourier de δ(t) Complementos Transformada inversa de Fourier Identidad de Weierstrass Bibliografía 77 A. Integrales y series 78 B. Transformada de Laplace 8 7

8 C. Ejercicios 8 8

9 . Números complejos.. Introducción Se suponen conocidas las definiciones y propiedades de los números reales R. Los números reales no son algebraicamente cerrados, es decir, pueden escribirse ecuaciones que involucran sólo reales que no admiten solución dentro R. Por ejemplo: con solución formal 2 x2 x+5 = (.) x = ± 9 = ±3. (.2) No tiene solución para x R real. Tendría solución en una extensión de los reales en la que tuviera raíz cuadrada. Tal raíz se suele denominar i i 2 =. (.3) Si x R necesariamente x 2, luego i no es real. i se denomina unidad imaginaria. En este caso las soluciones serían ± 3i. Si se admite esta extensión, tendremos números complejos del tipo z = x+iy, x,y R. (.4) Usando la propiedad i 2 = se puede ver que los números complejos así construidos son cerrados bajo suma y multiplicación, si se aplican las propiedades usuales válidas para reales: (x +iy )+(x 2 +iy 2 ) = (x +x 2 )+i(y +y 2 ) (.5) (x +iy )(x 2 +iy 2 ) = x x 2 +ix y 2 +iy x 2 +i 2 y y 2 = (x x 2 y y 2 )+i(x y 2 +y x 2 ). (.6) El problema de postular propiedades es que no está garantizado que no se llegue a inconsistencias. Para evitar este problema es mejor proceder constructivamente. Paradojas: a = implica = = a = = +. En realidad hay dos raíces cuadradas, ± a. Cuando a > las dos raíces se distinguen bien porque una es positiva y la otra es negativa pero eso deja de ser cierto cuando a < y la falacia es que se ha identificado + con. Lo único que se concluye es ± = ±. 9

10 Los números complejos también iluminan problemas puramente reales. Por ejemplo, la función f(x) = es perfectamente regular para todo x real, sin embargo si se considera su +x2 desarrolloenseriedetaylorentornoax =,seencuentralaseriegeométrica x 2 +x 4 x 6 + que converge sólo si x <. En R no se ve el motivo de la falta de convergencia para x > ó x <, dado que nada especial le ocurre a la función en x = ±. Como se verá el motivo es obvio cuando se considera la extensión de esta función al plano complejo..2. El cuerpo de los números complejos.2.. Definición de suma y producto Matemáticamente se introduce el conjunto de números complejos C = (R R,+,.) como el conjunto de pares ordenados de números reales, R R, z = (x,y) C, dotado de las siguientes propiedades 2 (x,y ) = (x 2,y 2 ) sii x = x 2, y = y 2 (igualdad), (.7) (x,y )+(x 2,y 2 ) := (x +x 2,y +y 2 ) (suma), (.8) (x,y )(x 2,y 2 ) := (x x 2 y y 2,x y 2 +y x 2 ) (multiplicación). (.9).2.2. Propiedades de suma y producto De las definiciones se deduce que C es un cuerpo (es decir, aritméticamente los complejos se comportan igual que los reales): a) La suma define un grupo abeliano. El neutro de la suma es (,) se representa por (cero). El inverso respecto de la suma (opuesto) de z se representa por z Se define la resta en C z = (x,y), z = ( x, y), z +( z) =. (.) z z 2 := z +( z 2 ), z,z 2 C. (.) 2 Usamos la notación a := b para indicar que a está definido como b.

11 b) El producto define un grupo abeliano en C {}. Satisface la propiedades conmutativa y asociativa. El neutro del producto es (,), se denomina (uno). Todo z tiene un inverso que se denota z (o también /z) z = (x,y), z = (x,y ), zz = } ( xx yy = x xy +yx z = y ) = x 2 +y 2, x 2 +y 2, z (.2) Se define la división de complejos z := z z2, z 2 z,z 2 C, z 2. (.3) c) Propiedad distributiva: z (z 2 +z 3 ) = z z 2 +z z C como extensión de R Se comprueba inmediatamente que el subconjunto {(x, ), x R} C es un cuerpo isomorfo a R. A partir de ahora identificamos x con (x,) x = (x,), x R (.4) de modo que R C y los complejos son una extensión de los reales Unidad imaginaria. Notación binómica Por otro lado si se define la unidad imaginaria i i := (,), i 2 = (,)(,) = (,) =, (.5) cualquier número complejo z = (x, y) puede escribirse en la llamada forma binómica, En efecto: z = x+iy, z C, x,y R. (.6) x+iy = (x,)+(,)(y,) = (x,)+(,y) = (x,y). (.7) Como se ve de la construcción, los números reales x e y tales que z = x + iy, son únicos. La forma binómica es la más frecuentemente utilizada. Nota: Para evitar falacias (ej. nota, al pie de página) es importante notar que i no se define como la raíz cuadrada de. De hecho es una de las dos raíces cuadradas de. La otra raíz es i = (, ). Nótese también que i = i. En efecto: i( i) = i 2 = ( ) =.

12 .2.5. Parte real, parte imaginaria, complejo conjugado Para z = (x,y), se define x = Re(z) parte real de z, y = Im(z) parte imaginaria de z, z = (x, y) complejo conjugado de z. (A veces se denota z.) (.8) Nota: Obsérvese que, por definición, la parte imaginaria de z es un número real; no incluye la i. 3 La aplicación z z es un automorfismo en C (conserva suma y producto): 4 (z +z 2 ) = z +z 2, (z z 2 ) = z z 2, (z z 2 ) = z z 2, (z /z 2 ) = z /z 2, (.9) y una conjugación, Se deduce y por tanto, Re(z) = z +z 2 (z ) = z. (.2), Im(z) = z z 2i, (.2) z R sii Im(z) = o equivalentemente z = z, (.22) z ir sii Re(z) = o equivalentemente z = z. (.23) Los números de la forma ir se denominan imaginarios puros. El producto zz = x 2 +y 2 (.24) es real (y no negativo). Esto permite calcular fácilmente el inverso de un número complejo: z = (x+iy) = z = z zz = x iy x 2 +y 2 = x x 2 +y +i y (z ). (.25) 2 x 2 +y 2 3 Estrictamente Im(z) es la componente de z en la dirección imaginaria, pero se denomina parte imaginaria para abreviar. 4 Puesto que la definición básica es i 2 = y ésta no distingue i de i tan natural es z como z : si en una ecuación se cambian todas las i por i la ecuación seguirá siendo cierta. 2

13 y= Im z 2i i z=2+i 2 x=re z i z* =2 i Figura : Plano complejo. Observación: La definición de suma y producto en C es tal que todas las ecuaciones de 2 grado con coeficientes reales tienen solución en C. También las ecuaciones con coeficientes complejos tienen solución. Es más todas las ecuaciones polinómicas complejas de cualquier grado tienen solución en C (teorema fundamental del álgebra). C es algebraicamente cerrado y no son necesarias nuevas extensiones. De hecho no existen otros cuerpos basados en R n, n Representaciones. El plano complejo..3.. El plano complejo Ya hemos visto dos formas de representar los número complejos, (x, y) y forma binómica x+iy. C tiene estructura de espacio vectorial sobre R de dimensión 2 y es geométricamente equivalente al plano R 2 : (x,y) representan las dos componentes cartesianas del punto z en el plano euclídeo R 2 en la base ortonormal formada por {,i}. La suma de números complejos es equivalente a su suma como vectores de R 2. z = (x,y)sepuederepresentarporelpunto(x,y)delplano complejo(oplanodeargand), o equivalentemente por el vector que va de (,) a (x,y). El eje x se denomina eje real y el eje y eje imaginario. 5 Nótese que z es el vector reflejado de z respecto del eje real. (Véase la fig..) Las regiones {y > }, e {y < } se denominan semiplano superior y semiplano inferior, 5 Históricamente, el plano complejo, introducido por Gauss y Argand, contribuyó a la aceptación de los 3

14 respectivamente. Las regiones {x >,y > }, {x <,y > }, {x <,y < } y {x >,y < } se denominan primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, respectivamente. La equivalencia geométrica entre C y R 2 implica en particular que en C, a diferencia de R, no existe un orden natural entre números complejos. 6 Notación: cuando se use a > b, a b, etc, automáticamente se sobreentiende que a, b son reales Módulo de un número complejo El módulo del número complejo z = (x,y) se define como la norma euclídea (longitud) del vector correspondiente: z := + x 2 +y 2 = + zz (.26) Es definido no negativo y para z real coincide con el valor absoluto. El módulo cumple z =, sii z =, z z 2 = z z 2, z /z 2 = z / z 2, z ±z 2 2 = z 2 + z 2 2 ±2Re(z z2), z z 2 z +z 2 z + z 2 (Desigualdad triangular). (.27) Considerados como vectores en R 2 usual). z z 2 = Re(z z 2) (con el producto escalar euclídeo.3.3. Representación polar Los números complejos se pueden representar mediante coordenadas polares r y θ. r es el módulo de z y θ el ángulo que forma el vector z con el semieje real positivo. El ángulo se toma en sentido positivo que por definición es el antihorario. (Véase la fig. 2.) números complejos, ya que probaba que éstos existían. 6 Como conjunto, es posible definir un orden total en C (de hecho de muchas formas) pero no uno que sea compatible con la estructura algebraica como en R. Por ejemplo, en R, si a, necesariamente a > ó a > (una y una sola de las dos posibilidades), y si a > y b >, entonces ab >. En C no se puede definir un orden > con estas propiedades. 4

15 y=r sen θ z=x+iy r θ x= r cos θ Figura 2: Coordenadas polares. z = x+iy, } x = rcosθ y = rsenθ z = r(cosθ+i senθ) r = z, tanθ = y/x. (.28) Nótese que la última ecuación no distingue entre z y z, es decir, entre θ y θ +π. Hace falta conocer por ejemplo el cuadrante en el que está z Argumento. Determinación principal. Elánguloθ sedenominaargumento de z ysedesignaargz.elargumentosóloestádefinido salvo un múltiplo entero de 2π ya que cos θ y sen θ son funciones periódicas. Por ejemplo, θ = 3π/2 y θ = π/2 son ambos argumentos de z = i. En general si θ es un argumento de z, todos los valores θ +2πn = argz, n Z (z ) (.29) son también argumentos de z. arg z es una función multivaluada de z. Para evitar ambigüedades se puede elegir una determinación principal del argumento, que se designa Arg z. Nosotros tomaremos Argz [,2π[, argz = Argz +2πn, n Z. (.3) Nótese que esta elección de la determinación principal es arbitraria y no es universal. También se encuentra con frecuencia la elección Argz ] π,π]. 7 Ninguna elección produce una función 7 Más generalmente, Arg α z = Arg(e iα z)+α produce el argumento en el intervalo [α,α+2π[. 5

16 continua. La función arg no está definida para z =. Algunos casos particulares son: Arg() =, Arg(i) = π/2 Arg( i) = 3π/2 Arg( ) = π. (.3).3.5. Producto, división y conjugado en representación polar La representación polar es particularmente práctica para representar la multiplicación y división de complejos: Es decir, 8 z = r (cosθ +isenθ ), z 2 = r 2 (cosθ 2 +isenθ 2 ), z z 2 = r r 2 (cosθ cosθ 2 senθ senθ 2 +icosθ senθ 2 +isenθ cosθ 2 ) = r r 2 (cos(θ +θ 2 )+isen(θ +θ 2 )), (.32) z z 2 = z z 2, arg(z z 2 ) = arg(z )+arg(z 2 )+2πn, n Z, z,z 2. (.33) Más generalmente, por inducción, 9 z z n = z z n, (.34) arg(z z n ) = arg(z )+ +arg(z n ) (mód2π). Igualmente y también z z 2 = z ( ) z 2, arg z = arg(z ) arg(z 2 ) (mód2π), z 2 z = z, arg(z ) = arg(z) (mód2π), (.35) z = z, arg(z ) = argz (mód2π). (.36) Ejemplo. El número iz corresponde al vector z rotado 9 o en sentido positivo. 8 Arg(z z 2 ) = Arg(z )+ Arg(z 2 )+2πn(z,z 2 ), donde n(z,z 2 ) = {, Argz + Argz 2 < 2π, 2π Argz + Argz 2 < 4π. 9 La notación a = b (módc), donde a,b,c son elementos de un grupo abeliano, indica que a b = nc para algún n Z. 6

17 .3.6. Potencias enteras de un número complejo Para n Z y z C se define z n en la forma natural: z z (n factores) n >, z n = n =, z z ( n factores) n <, (z ). (.37) Esta definición cumple las propiedades z n z m = z n+m, (z n ) m = z nm, n,m Z. (.38).4. Teorema de Moivre. Fórmula de Euler..4.. Teorema de Moivre Aplicando la fórmula de suma de argumentos se deduce (cosθ+isenθ) n = cos(nθ)+isen(nθ) (n Z) (Teorema de Moivre), (.39) es decir, cos(nθ) = Re((cosθ +isenθ) n ), sen(nθ) = Im((cosθ +isenθ) n ). (.4) Por ejemplo, usando (cosθ+isenθ) 2 = cos 2 θ sen 2 θ +2icosθsenθ (.4) se obtienen la conocidas relaciones trigonométricas cos(2θ) = cos 2 θ sen 2 θ, sen(2θ) = 2cosθsenθ. (.42).4.2. Fórmula de Euler Es conveniente usar la relación e iθ := cosθ+isenθ (Fórmula de Euler), (.43) 7

18 de modo que un número complejo cualquiera se puede escribir z = re iθ, r, θ R. (.44) Cuando se defina la función exponencial compleja se demostrará este resultado. De momento lo tomamos como una notación que puede justificarse mediante desarrollo en serie (formal por ahora): cosθ +isenθ = = ( ) n ( ) n (2n)! θ2n +i (2n+)! θ2n+ n= ( ) (iθ) 2n (2n)! + (iθ)2n+ (iθ) n = (2n+)! n! n= n= n= = e iθ. (.45) Con esta notación se puede escribir r e iθ r 2 e iθ 2 = r r 2 e i(θ +θ 2 ), r e iθ r 2 e iθ 2 = r r 2 e i(θ θ 2 ) (r 2 ), (.46) consistente con el comportamiento de la exponencial real. Igualmente (re iθ ) = r e iθ, (re iθ ) n = r n e inθ (n Z), (re iθ ) = re iθ. (.47) Algunas fórmulas notables: e 2πi =, e iπ =, i = e iπ/2, i = e iπ/2. (.48).5. Raíces de un número complejo Queremos ahora definir z /n para n Z. En R, x > tiene dos raíces cuadradas; la ecuación y 2 = x tiene dos soluciones, y = ± x. En C la ecuación w 2 = z también tiene dos soluciones si z, ya que si w es una solución, w también lo es. Sin embargo, a diferencia del caso real, un número complejo no nulo tiene tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuárticas, etc. También se ve que las ecuaciones f() = y f (θ) = if(θ) se satisfacen cuando f(θ) = e iθ y cuando f(θ) = cosθ +isenθ. 8

19 Se define z /n, n Z, como toda solución de la ecuación w n = z. Si z y n hay exactamente n raíces distintas. Basta estudiar el caso n positivo: Si n = m <, equivale a resolver w m =. Suponemos n >. Sea z z = re iθ, w = ρe iφ, entonces re iθ = ρ n e inφ, (.49) que implica ρ = r /n, nφ = θ+2πk, k Z. (.5) La solución es múltiple φ = φ k = θ +2πk n, k Z, (.5) pero no todos los argumentos φ k producen w k = ρe iφ k distintos. Notando que φ k+ = φ k + 2π n, φ k+n = φ k +2π, (.52) se ve que sólo hay n soluciones distintas correspondientes a w k con k =,,...,n. Además, si θ [,2π[, φ k [,2π[ para k =,,...,n. w k = r /n e i(θ+2πk)/n = w u k, u k = e 2πik/n (.53) donde u k son las raíces n-enésimas de la unidad. Las n raíces w k están dispuestas en los vértices de un polígono regular centrado en, y por simetría n w k = si n 2. (.54) k= Se sobreentiende r /n en el sentido de números reales. Como número complejo r tiene raíces complejas, una de las cuales es real y positiva. 9

20 e 2πi 3 e i θ 3 e i θ e i θ 3 e 4πi 3 e i θ 3 Figura 3: Raíces cúbicas de e iθ. 2. Límites en el plano complejo 2.. El principio de los intervalos encajados Teorema. (Principio de los intervalos encajados.) Sea I,I 2,... una sucesión 2 de intervalos cerrados de R, I n = [a n,b n ], tales que: ) Están encajados: I n+ I n. 2) Su longitud (b n a n ) tiende a cuando n. Entonces hay un punto, y sólo uno, que pertenece a todos ellos. Este teorema se generaliza fácilmente al caso complejo: Teorema. (Principiodelosrectángulosencajados.)SeaR,R 2,...,unasucesiónderectángulos cerrados paralelos a los ejes real e imaginario: R n = [a n,b n ] [c n,d n ] C tales que: ) Están encajados: R n+ R n. 2) Su perímetro tiende a cuando n. Entonces hay exactamente un z C común a todos los rectángulos. 2 Por sucesión siempre entenderemos sucesión infinita. 2

21 2.2. Puntos límite Definición. Una sucesión compleja es una aplicación de N en C, n z n. A menudo la denotaremos {z n }. Definición. Un número complejo α es un punto límite o punto de acumulación de la sucesión compleja z,z 2,...,z n,..., (2.) si ǫ >, la desigualdad z n α < ǫ es válida para infinitos valores de n. Definición. Un entorno (complejo) del punto α de radio ǫ es el disco abierto D(α,ǫ) = {z z α < ǫ}, α C, ǫ >. (2.2) Análogamente se define entorno reducido como {z < z α < ǫ}, es decir, el entorno excluyendo el propio punto α. Por tanto α es un punto límite de la sucesión {z n } sii en cualquier entorno de α hay infinitos términos de la sucesión. Ejemplo. La sucesión,,3,,5,,7,,... tiene como punto límite. Ejemplo. La sucesión,2,3,4,... no tiene puntos límite. Ejemplo. La sucesión,,, 2,, 3,, 4,, 5,... tiene y como puntos límite Definición. Una sucesión compleja {z n } es acotada si M > tal que n z n < M. En otro caso la sucesión es no acotada. Teorema. (Teorema de Bolzano-Weierstrass.) Toda sucesión compleja acotada tiene al menos un punto límite. Se demuestra usando el principio de los rectángulos encajados. (Véase la fig. 4.) 2.3. Sucesiones complejas convergentes Definición. Se dice que la sucesión compleja {z n } es convergente y tiene por límite α, y 2

22 Figura 4: Construcción para el teorema Bolzano-Weierstrass. se denota lím z n = α o bien z n α cuando n, (2.3) n si ǫ > ν(ǫ) tal que n > ν z n α < ǫ. Equivale a decir que cualquier entorno de α contiene todos los términos de la sucesión salvo un número finito de ellos. Nótese que para que {z n } sea convergente debe tener exactamente un punto límite. Pero la afirmación recíproca no es cierta. Ejemplo. La sucesión,,2,,3,,... tiene como único punto límite sin embargo no es convergente. Teorema. Si dos sucesiones z n α y z n α cuando n, entonces z n ±z n α±α, z n z n αα, z n z n α α (α ). (2.4) Teorema. (Criterio de convergencia de Cauchy.) Una sucesión z n es convergente sii ǫ >, ν(ǫ) tal que z n z m < ǫ siempre que n,m > ν. Definición. Decimos que lím n z n =, o bien z n cuando n, si K > ν(k) tal que n > ν z n > K. Definición. Sedefineunentorno del infinito(deradior)comounconjunto{z z > R}, para cierto R >. Por tanto, z n expresa que cualquier entorno del infinito contiene todos menos un número finito de términos de la sucesión. 22

23 2.4. Esfera de Riemann y plano complejo extendido La esfera de Riemann es una superficie esférica Σ R 3 (de radio arbitrario) tangente al plano complejo (C = R 2 R 3 ) de modo que z = coincide con el polo sur S de la esfera. El punto diametralmente opuesto a S es el polo norte, N. Para cualquier punto P del plano complejo se puede considerar la recta que une P y N. Dicha recta cortará Σ en otro punto P. Por tanto todo número complejo z tiene asociado un punto de la esfera. Viceversa, todo punto de Σ, excepto N, tiene asociado un número complejo z. Hay una biyección entre C y Σ {N}. (Véase la fig. 5.) N Σ P P S C Figura 5: Proyección estereográfica. Si lím n z n = los puntos correspondientes P n sobre la esfera de Riemann se aproximan al polo norte, P N con n, luego se asocia N con z =, llamado punto del infinito. El plano complejo junto con se llama plano complejo extendido, C = C { }. Algunas propiedades son: si z C z± =, z = (z ), z = (z ), z =, =. (2.5) Nótese que no es un elemento del plano complejo finito C. Y también que en R se suele introducir ±, en cambio en C sólo se introduce un único punto del infinito. La correspondencia entre el plano complejo extendido y la esfera de Riemann (incluido N) es una biyección, denominada proyección estereográfica. El plano complejo extendido es topológicamente una esfera. Un entorno de N en la esfera de Riemann es un entorno del 23

24 infinito en el plano complejo extendido. El interés de la proyección estereográfica y la esfera de Riemann es que esta última es una variedad compacta (subconjunto cerrado y acotado de R 3 ) y por tanto mejor comportado que R 2. 24

25 3. Funciones complejas 3.. Variables y funciones Definición. Una función compleja f(z) es una aplicación f :E C z w = f(z) (3.) donde E C es el dominio de definición de f. La variable z E se llama variable independiente u original. w es la variable dependiente o imagen. El conjunto E = f(e) de valores que puede tomar w se llama recorrido de f. Las mismas definiciones se aplican cuando E y E son subconjuntos del plano complejo extendido. La función f puede especificarse dando los valores de u := Rew y v := Imw, z = x+iy f w = u(x,y)+iv(x,y) (forma binómica). (3.2) Las funciones así definidas son funciones univaluadas ya que para z E existe exactamente un valor w. Si se consideran correspondencias más generales donde z puede tener más de una imagen, se habla de funciones multivaluadas o multiformes. Por omisión, función se refiere a función univaluada. f :E E Dada una función z w, se puede considerar la función inversa ϕ :E E, que en w z general será multivaluada ya que un mismo w E puede ser imagen de más de un original en E. (Es decir, en general f no será inyectiva. Por construcción, f : E E es sobreyectiva.) Si ϕ es univaluada se dice que f es invertible y entonces f : E E es biyectiva. Ejemplo. f(z) = z se puede definir con dominio E = C {} y recorrido E = C {}. Es invertible, ϕ(w) = w. En el plano complejo extendido C = C { } se puede definir f(z) con dominio y recorrido C, tomando f(z) = /z si z,, f() =, f( ) =. Ejemplo. w = z, z C es univaluada pero no es invertible, ya que z y e iθ z (θ real) tienen igual módulo. 25

26 Ejemplo. f : C C con f(z) = z 2 es univaluada pero no invertible, su inversa ϕ es bivaluada (excepto si z = ) ya que ±z z 2. Ejemplo. f :E C siendo f(z) = z 2 y E = {z Re(z) >, Im(z) > } (es decir, z es un punto del primer cuadrante). f(z) es inyectiva ya que si z E, z E. Su recorrido es E = {w Im(w) > }. En efecto, z = re iθ E sii r > y < θ < π/2. Entonces, w = ρe iφ = z 2 tiene ρ = r 2 > y < φ = 2θ < π, y por tanto w es un punto cualquiera de E. f:e E es invertible Curvas y dominios Definición. (Curva orientada.) Sean x(t), y(t) dos funciones reales y continuas de la variable real t con a t b. La aplicación z(t) = x(t) + iy(t) es un camino en el plano complejo. z(a) y z(b) son el punto inicial y el punto final, respectivamente. El conjunto de todos los caminosconelmismorecorridoyelmismopuntoinicialyelmismopuntofinaldefineunacurva orientada (continua) C. Por tanto, a cada curva C le corresponden infinidad de caminos, y cada camino define una parametrización de la curva. El sentido positivo 3 de C se obtiene cuando t va de a a b. Definición. Si z(a) = z(b) se dice que la curva es cerrada, en otro caso es una curva abierta o arco. Definición. Un conjunto de puntos E se dice que es (arco-)conexo si cualquier par de puntos z,z 2 E puede unirse mediante un arco C contenido en E con z y z 2 como puntos inicial y final. Definición. Dado un conjunto E se dice que z es un punto interior de E si E contiene algún entorno de z (en particular z E). Se dice que E es abierto si todos sus puntos son interiores. Se dice que E es cerrado si su complementario, E c = C E, es abierto. Ejemplo. El conjunto 4 { < z < } es abierto, { z } es cerrado, { < z } no es abierto ni cerrado. Definición. Un conjunto no vacío G es un dominio si es abierto y conexo. (No debe confundirse este concepto con el de dominio de definición de una función.) 3 El sentido positivo para el caso especial de una curva cerrada simple se define más adelante. 4 Para aligerar la notación usamos { < z < } para indicar el conjunto {z < z < }, etc. 26

27 Definición. Un dominio G (o en general un conjunto E) es acotado si está contenido en un entorno de cero, es decir, si K > tal que z E, z < K. En otro caso es no acotado. Definición. Se dice que z es un punto exterior de E cuando z es un punto interior del complementario de E. Los puntos que no son interiores ni exteriores a E son puntos frontera de E. El conjunto de puntos frontera es la frontera de E. Se dice que z es un punto de acumulación o punto límite de E si en todo entorno de z hay infinitos puntos de E. Ejemplo. Sea E = { < z < } {2}. Sus puntos interiores son { < z < }. Sus puntos exteriores son { < z,z 2}. Su frontera es {,2} { z = }. Su puntos de acumulación son { z }. Proposición. Todos los dominios tienen una frontera no vacía excepto C. Proposición. Un conjunto es cerrado sii contiene su frontera. Un conjunto es cerrado sii contiene a todos sus puntos de acumulación. Definición. Un dominio G junto con ninguno, alguno o todos sus puntos frontera se denomina una región, G. Un dominio es una región abierta. Un dominio junto con su frontera es una región cerrada, Ḡ. Ejemplo. Una curva no es una región: todos sus puntos son de la frontera, y si se quita ésta queda el conjunto vacío, que no es un dominio. Definición. Una curva es simple o de Jordan, si no pasa dos veces por el mismo punto de C (no se corta a sí misma), es decir, si a t < t 2 < b implica z(t ) z(t 2 ). Teorema. (Teorema de la curva de Jordan.) Toda curva simple cerrada C divide el plano complejofinitoendosdominiosdelosquec esfronteracomún.unodeellosesacotado(llamado interior de C) y el otro no acotado (llamado exterior de C). Definición. Se toma el sentido positivo de una curva simple cerrada de modo que su interior esté localmente a la izquierda de la curva (para un observador que recorra la curva). Coincide con el sentido antihorario. Definición. En el plano complejo finito, se dice que un dominio G es simplemente conexo si toda curva simple cerrada contenida en G tiene su interior también contenido en G. En el plano complejo extendido se dice que G es simplemente conexo si para toda curva cerrada simple su interior o su exterior están contenidos completamente contenidos en el dominio G. 27

Introducción al Análisis Complejo

Introducción al Análisis Complejo Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo

Más detalles

(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g

(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g Funciones holomorfas 2.1. Funciones variable compleja En este capítulo vamos a tratar con funciones f : Ω C C, donde Ω C es el dominio de definición. La forma habitual de expresar estas funciones es como

Más detalles

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08)

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas) Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con ejemplos resueltos (7-8) En estos apuntes, consideraremos las funciones anaĺıticas (holomorfas)

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Ingeniería de Telecomunicación

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Ingeniería de Telecomunicación Universidad de Alcalá José Enrique Morais San Miguel 27 de septiembre de 2004 Índice general I VARIABLE COMPLEJA 1 1. Funciones de

Más detalles

Variable Compleja. José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com

Variable Compleja. José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com Variable Compleja José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

Variable Compleja para Ingeniería

Variable Compleja para Ingeniería Variable ompleja para Ingeniería William La ruz VERSIÓN PRELIMINAR para el uso en el curso Variable ompleja y álculo Operacional Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica, omputación

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim Las Funciones Analíticas 1 Las Funciones Analíticas Definición 12.1 (Derivada de una función compleja). Sea D C un conjunto abierto. Sea z 0 un punto fijo en D y sea f una función compleja, f : D C C.

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 Una función real de variable real es una aplicación f : D R, donde D es un subconjunto de R denominado dominio de f. La función f hace corresponder

Más detalles

Teorema de Green. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es. 1. Introducción 1

Teorema de Green. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es. 1. Introducción 1 Teorema de Green ISABEL MAEO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Introducción 1 2. Teorema de Green en regiones simplemente conexas 1 2.1. urvas de Jordan.........................................

Más detalles

Variable compleja. Juan Manuel Tejeiro. 1 Algebra de los números complejos

Variable compleja. Juan Manuel Tejeiro. 1 Algebra de los números complejos Variable compleja Juan Manuel Tejeiro Algebra de los números complejos La teoría de las funciones complejas es uno de los campos de la matemática más interesantes y tal ve una de las herramientas más útiles

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles

Apuntes de Variable Compleja y Análisis de Fourier 2 o ETSI Telecomunicación (Universidad de Málaga)

Apuntes de Variable Compleja y Análisis de Fourier 2 o ETSI Telecomunicación (Universidad de Málaga) Apuntes de Variable Compleja y Análisis de Fourier 2 o ETSI Telecomunicación (Universidad de Málaga) Carlos García Argos (cgasoft@yahoo.com) http://pagina.de/telecos_malaga Curso 1999/2000 2 Índice general

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

Funciones analíticas CAPÍTULO 2 2.1 INTRODUCCIÓN

Funciones analíticas CAPÍTULO 2 2.1 INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 2 Funciones analíticas 2.1 INTRODUCCIÓN Para definir las series de potencias y la noción de analiticidad a que conducen, sólo se necesitan las operaciones de suma y multiplicación y el concepto

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE SUCRE ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE SUCRE ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE SUCRE ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS OPERADOR DE SUPERPOSICIÓN ACTUANDO SOBRE ESPACIOS DE FUNCIONES ANALÍTICAS Lic. Miguel D. Salazar TRABAJO DE GRADO

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

Métodos Matemáticos I

Métodos Matemáticos I Métodos Matemáticos I Curso 203-4 Hoja de Problemas #2. Dados los siguientes conjuntos: () + 2i (2) 3 + i < 6 (3) + 2i < (4) 0 arg π/3, 0 (5) Re( 2 ) 0 (6) Re( 2 ) < 0 Represéntalos gráficamente. (b) Cuáles

Más detalles

Tema 2. Función compleja de una variable compleja

Tema 2. Función compleja de una variable compleja Nota: Las siguientes líneas son un resumen de las cuestiones que se han tratado en clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido en la bibliografía recomendada en la

Más detalles

Tema 1 Funciones analíticas. 1.1 Introducción a los números complejos

Tema 1 Funciones analíticas. 1.1 Introducción a los números complejos Tema 1 Funciones analíticas 1.1 Introducción a los números complejos Los números complejos pueden definirse como pares ordenados de números reales z = (x, y) con las operaciones adición y multiplicación

Más detalles

Variable Compleja. Artemio González López

Variable Compleja. Artemio González López Variable Compleja Artemio González López Madrid, septiembre de 2003 Índice general 1. Funciones analíticas 1 1.1. Definición y propiedades algebraicas de los números complejos..............................

Más detalles

Tema 2.- Los números complejos. Polinomios.

Tema 2.- Los números complejos. Polinomios. Ingeniería Civil. Matemáticas I. 01-013. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema.- Los números complejos. Polinomios..1.- Los números complejos.

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS El presente tema se dedicará al estudio de los conceptos de vectores y números complejos. Se comenzará con un pequeño estudio de los vectores del plano y sus propiedades

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES SERIES DE FOURIER TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE

ECUACIONES DIFERENCIALES SERIES DE FOURIER TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE ECUACIONES DIFERENCIALES SERIES DE FOURIER TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE Javier Pérez González Departamento de Análisis Matemático septiembre 2006 Índice general 1. Números complejos. Series. Exponencial

Más detalles

TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA

Más detalles

Integración por residuos

Integración por residuos Integración por residuos En el capítulo anterior vimos que si una función, f(z), tiene una singularidad aislada en z = a, entonces puede expresarse mediante la serie de Laurent f(z) = n= c n (z a) n,

Más detalles

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados Parte I Iniciación a los Espacios Normados Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

Análisis de Funciones de Variable Compleja

Análisis de Funciones de Variable Compleja Análisis de Funciones de Variable Compleja Ing. Juan Sacerdoti Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Universidad de Buenos Aires 2005 V 1.01 1 1 Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la

Más detalles

Ortogonalidad y Series de Fourier

Ortogonalidad y Series de Fourier Capítulo 4 Ortogonalidad y Series de Fourier El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se

Más detalles

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS.

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN. Es toda aplicación entre dos conjuntos A y B formados ambos por números. f A --------> B Al conjunto A se le llama campo de existencia de la función

Más detalles

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Tema 3 Problemas de valores iniciales 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Estudiaremos las soluciones aproximadas y su error para funciones escalares, sin que ésto no pueda extenderse para funciones

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

MATEMATICAS PARA ECONOMIA

MATEMATICAS PARA ECONOMIA MATEMATICAS PARA ECONOMIA por FRANCISCO RIVERO MENDOZA PHD. Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de los Andes Mérida - Venezuela Octubre de 2000. 2 Índice general 3 4 ÍNDICE GENERAL

Más detalles

FAMILIAS NORMALES VARIABLE COMPLEJA #6

FAMILIAS NORMALES VARIABLE COMPLEJA #6 VARIABLE COMPLEJA #6 FAMILIAS NORMALES Recordemos que F C(D, C) es una familia normal cuando cada sucesión en F tiene una subsucesión que converge en C(D, C). Esto es lo mismo que decir que cerr(f) es

Más detalles

El Teorema de existencia y unicidad de Picard

El Teorema de existencia y unicidad de Picard Tema 2 El Teorema de existencia y unicidad de Picard 1 Formulación integral del Problema de Cauchy El objetivo del presente Tema, y del siguiente, es analizar el Problema de Cauchy para un SDO de primer

Más detalles

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0.

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. NÚMEROS COMPLEJOS. INTRO. ( I ) Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. Si bien esto no era un problema

Más detalles

PROGRAMA ANALÍTICO INGENIERÍA ELECTRICISTA - INGENIERÍA MECÁNICA

PROGRAMA ANALÍTICO INGENIERÍA ELECTRICISTA - INGENIERÍA MECÁNICA PROGRAMA ANALÍTICO DEPARTAMENTO: CIENCIAS BÁSICAS CARRERA: INGENIERÍA ELECTRICISTA - INGENIERÍA MECÁNICA ASIGNATURA: CÁLCULO III CÓDIGO: 0403 AÑO ACADÉMICO: 2014 PLAN DE ESTUDIO: 2004 2005 UBICACIÓN EN

Más detalles

Teoremas de Stokes y Gauss

Teoremas de Stokes y Gauss Lección 9 Teoremas de Stokes y Gauss Presentamos a continuación los dos resultados principales del Cálculo Vectorial. Por una parte, el Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

VARIABLE COMPLEJA. 1 Definición, propiedades y reglas de cálculo

VARIABLE COMPLEJA. 1 Definición, propiedades y reglas de cálculo VARIABLE COMPLEJA LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1 Definición, propiedades y reglas de cálculo Generalmente se introducen los diferentesconjuntosdenúmeros argumentando que en cada uno de estos conjuntos se puede

Más detalles

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5.

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5. 11 1.3. Factorización Como ya hemos mencionado, la teoría de ideales surgió en relación con ciertos problemas de factorización en anillos. A título meramente ilustrativo, nótese que por ejemplo hallar

Más detalles

CAPÍTULO XVI. NÚMEROS COMPLEJOS. SECCIONES A. Definición. Primeras propiedades. B. Potencia y raíz de números complejos. C. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO XVI. NÚMEROS COMPLEJOS. SECCIONES A. Definición. Primeras propiedades. B. Potencia y raíz de números complejos. C. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO XVI. NÚMEROS COMPLEJOS SECCIONES A. Definición. Primeras propiedades. B. Potencia y raíz de números complejos. C. Ejercicios propuestos. 73 A. DEFINICIÓN. PRIMERAS PROPIEDADES. Un número complejo

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno

Más detalles

Teoría geométrica de funciones: el punto de encuentro entre variable compleja y geometría

Teoría geométrica de funciones: el punto de encuentro entre variable compleja y geometría XXIII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMÁTICAS Teoría geométrica de funciones: el punto de encuentro entre variable compleja y geometría José Manuel Rodríguez García José María Sigarreta Almira Eva Tourís Lojo

Más detalles

ApuntesdeVariableCompleja. Jose S. Cánovas Peña

ApuntesdeVariableCompleja. Jose S. Cánovas Peña ApuntesdeVariableCompleja Jose S. Cánovas Peña 9 de febrero de 2009 Índice General Advertencia. Estos apuntes no han sido corregidos. Cualquier errata o error que se detecte, por favor, escribid a mi dirección

Más detalles

Subconjuntos destacados en la

Subconjuntos destacados en la 2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,

Más detalles

Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales

Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales B. de la Calle Ysern Dpto. de Matemática Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales, Universidad Politécnica de Madrid Encuentro Iberoamericano

Más detalles

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ).

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ). apítulo 11 El teorema de Green El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de

Más detalles

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables 1 Funciones de varias variables Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables atodafunciónf : R n R. Y llamaremos función vectorial

Más detalles

Teoremas de la función implícita y de la función inversa

Teoremas de la función implícita y de la función inversa Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Teoremas de la función implícita y de la función inversa 1. El teorema de la función implícita 1.1. Ejemplos

Más detalles

Integración en Variable Compleja

Integración en Variable Compleja Semana 4 - lase 36/3 Tema 2: Variable ompleja Integración en Variable ompleja. Integrales complejas omo siempre, luego de definir la derivada, construimos el concepto de integral a partir de la suma de

Más detalles

Repaso de funciones elementales, límites y continuidad

Repaso de funciones elementales, límites y continuidad Tema 3 Repaso de funciones elementales, ites y continuidad 3.1. Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones 3.1.1. Definiciones Una función real de (una) variable real es una aplicación

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Matemáticas. David Jornet, Vicente Montesinos

Matemáticas. David Jornet, Vicente Montesinos Matemáticas David Jornet, Vicente Montesinos Índice general Introducción VII 1. Variable compleja 1 1.1. El plano complejo......................... 1 1.2. Preliminares............................ 3 1.3.

Más detalles

Carlos Ivorra Castillo FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA CON APLICACIONES A LA TEORÍA DE NÚMEROS

Carlos Ivorra Castillo FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA CON APLICACIONES A LA TEORÍA DE NÚMEROS Carlos Ivorra Castillo FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA CON APLICACIONES A LA TEORÍA DE NÚMEROS El camino más corto entre dos verdades del análisis real pasa por el análisis complejo. Jacques Hadamard Índice

Más detalles

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil 1 / 32 Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso Académico 2011-2012 2 / 32 Motivación: muchas ecuaciones y propiedades fundamentales de la Física (y, en consecuencia, de aplicación

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

Anexo 2: Demostraciones

Anexo 2: Demostraciones 0 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo : Demostraciones Funciones reales de variable real Demostración de: Propiedades del valor absoluto 79 de la página 85 Propiedades del valor absoluto 79.-

Más detalles

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan Lección 6 Teorema de Green En la lección anterior, previa caracterización de los campos conservativos, hemos visto que un campo irrotacional puede no ser conservativo. Tenemos por tanto una condición fácil

Más detalles

Solución del examen de Variable Compleja y Transformadas I. T. I. Electrónica y Electricidad 29 de enero de 2004

Solución del examen de Variable Compleja y Transformadas I. T. I. Electrónica y Electricidad 29 de enero de 2004 Solución del examen de Variable Compleja y Transformadas I. T. I. Electrónica y Electricidad 29 de enero de 2004. Estudia si existe alguna función de variable compleja f() entera cuya parte real sea x

Más detalles

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones

Más detalles

Los teoremas de Stokes y Gauss

Los teoremas de Stokes y Gauss Capítulo 13 Los teoremas de tokes y Gauss En este último capítulo estudiaremos el teorema de tokes, que es una generalización del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

Ejercicios de. Funciones de Variable Compleja y. Geometría Diferencial

Ejercicios de. Funciones de Variable Compleja y. Geometría Diferencial 1-1 -5 5-5 5 Ejercicios de Funciones de Variable Compleja y Geometría Diferencial Martín Rivas e-mail:martin.rivas@ehu.es http://tp.lc.ehu.es/martin.htm Departamento de Física Teórica UPV/EHU Leioa, Febrero

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

CURSO DE MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA ANÁLISIS FUNCIONAL OPERADORES NO ACOTADOS

CURSO DE MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA ANÁLISIS FUNCIONAL OPERADORES NO ACOTADOS CURSO DE MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA ANÁLISIS FUNCIONAL H. FALOMIR DEPARTAMENTO DE FÍSICA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS - UNLP OPERADORES NO ACOTADOS 1. Extensiones de operadores lineales Sea A un operador

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER

CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER Sea f(x) una función definida para todo x, con periodo. Entonces, bajo condiciones muy generales, la serie de Fourier de f converge a f(x) para todo x. Describiremos

Más detalles

Uniformización de dominios en la esfera de Riemann

Uniformización de dominios en la esfera de Riemann Uniformización de dominios en la esfera de Riemann María Isabel Castro Martínez 15 de marzo de 2012 Resumen En esta sección vamos a mostrar una versión del célebre teorema de uniformización de Poincaré,

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace

Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace Ester Simó Mezquita Matemática Aplicada IV 1 1. Transformada de Laplace de una función admisible 2. Propiedades básicas de la transformada de Laplace

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS página 181 NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS página 181 NÚMEROS COMPLEJOS página 181 11.1 RECORRIDO HISTÓRICO Para comprender el por qué y para qué existen los números complejos y todo lo que se hace con ellos es necesario, aunque sea de manera muy sintética, hacer un breve

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

FACULTAD DE INGENIERÍA FORESTAL EXCELENCIA ACADÉMICA QUE CONTRIBUYE AL DESARROLLO DE LAS CIENCIAS FORESTALES

FACULTAD DE INGENIERÍA FORESTAL EXCELENCIA ACADÉMICA QUE CONTRIBUYE AL DESARROLLO DE LAS CIENCIAS FORESTALES IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA Nombre: Matemáticas Fundamentales Código: 0701479 Área Específica: Ciencias Básicas Semestre de Carrera: Primero JUSTIFICACIÓN El estudio de las matemáticas es parte insustituible

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONE EN EL EPACIO EUCLÍDEO 1. Producto Escalar en R n Definición 1.1. Dado x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, su producto escalar está

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

IES CANARIAS CABRERA PINTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015

IES CANARIAS CABRERA PINTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015 CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015 UNIDAD 1: LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES Y RELACIONES El sistema de numeración decimal Estimación y redondeo de un número natural Las operaciones con números

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto

Más detalles

1. ESCALARES Y VECTORES

1. ESCALARES Y VECTORES 1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Unidad V: Integración

Unidad V: Integración Unidad V: Integración 5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral

Más detalles

SEMANAS 07 Y 08 CLASES 05 Y 06 VIERNES 25/05/12 Y 01/06/12

SEMANAS 07 Y 08 CLASES 05 Y 06 VIERNES 25/05/12 Y 01/06/12 CÁLCULO IV (7) SEMANAS 7 Y 8 CLASES 5 Y 6 VIERNES 5/5/1 Y 1/6/1 1 Observación Las propiedades de una función real de una variable real se reflejan en su gráfica Pero para w = f(), con w complejos, no es

Más detalles

Integrales de línea. Teorema de Green

Integrales de línea. Teorema de Green Integrales de línea. Teorema de Green José Antonio Vallejo Departamento de Matemáticas Facultad de iencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí email: jvallejo@fciencias.uaslp.mx 16 Noviembre 2007 1.

Más detalles

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo Capítulo 2 Grupos 2.1 Introducción La estructura de grupo es una de las más comunes en toda la matemática pues aparece en forma natural en muchas situaciones, donde se puede definir una operación sobre

Más detalles

Análisis Real: Primer Curso. Ricardo A. Sáenz

Análisis Real: Primer Curso. Ricardo A. Sáenz Análisis Real: Primer Curso Ricardo A. Sáenz Índice general Introducción v Capítulo 1. Espacios Métricos 1 1. Métricas 1 2. Métricas en espacios vectoriales 4 3. Topología 9 Ejercicios 17 Capítulo 2.

Más detalles