Análisis de Funciones de Variable Compleja

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1 Análisis de Funciones de Variable Compleja Ing. Juan Sacerdoti Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Universidad de Buenos Aires 2005 V Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripción de este documento.

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3 Índice general 1. Números Complejos Definición Igualdad de números complejos Estructuración de C como cuerpo abeliano Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado Estructuración de C como estructura vectorial Estructuración de C como estructura de espacio métrico Propiedades generales de la función distancia en C Notación para la función distancia sobre C Módulo de z Estructuración de C como espacio normado Forma binómica de los complejos Isomorfismos entre estructuras Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente nula Forma binómica de los números complejos Representación geométrica de los complejos Forma Polar de un Número Complejo. Propiedades Forma Polar de un Número Complejo Igualdad en forma polar. Congruencia Producto en forma polar. Cociente Potencia en forma polar. Radicación Interpretación geométrica de las operaciones complejas Forma exponencial de un número complejo Expresión de la forma exponencial Definición de la función e z El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma exponencial Conjugado de un complejo Elementos de Topología en el Campo Complejo Definición de bola Entorno de un punto c Vecinal de un punto c Clasificación de puntos: Interiores, exteriores y frontera Adherencia Clasificación de puntos de adherencia Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados Conjunto acotado y conjunto compacto Infinito en el Campo Complejo

4 4 ÍNDICE GENERAL Concepto de punto infinito en C Conjunto Complejo Extendido Esfera de Riemann Diversas acepciones de infinito Funciones de Variable Compleja. Continuidad y Límite Funciones de variable compleja Interpretación geométrica Funciones de variable compleja. Características y ejemplos Características Ejemplos Continuidad Definición Continuidad sobre un conjunto Límite Definición de límite Operaciones con límites Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos Continuidad por partes de funciones reales Camino Lazo Curva Caminos opuestos y yuxtapuestos Ejemplos de caminos Camino simple. Lazo simple Caminos equivalentes Conjuntos conexos Homotopía de caminos y lazos Homotopía de caminos Homotopía de lazos Homotopía a un punto Clasificación de conjuntos conexos en C Conjuntos simplemente conexos Conjuntos múltiplemente conexos Cortadura Grado de multiplicidad Derivación en el Campo Complejo Derivación Diferencial Relación entre derivada y diferencial. Existencia Derivación y continuidad Funciones monógenas y holomorfas Reglas de derivación Holomorfía y ecuación de Laplace Las componentes de una función holomorfa como funciones armónicas Propiedades de funciones conjugadas armónicas Obtención de la conjugada armónica de una función en el entorno de un punto Holomorfía en el infinito Representación conforme Ángulo entre caminos

5 ÍNDICE GENERAL Transformación de caminos Transformación de vectores tangentes Aplicación conforme Transformación de áreas e integrales dobles Los problemas de la representación conforme La inversión La función homográfica

6 6 ÍNDICE GENERAL

7 Índice de figuras 1.1. Representación del complejo (xy) en el plano cartesiano Representación del complejo z en coordenadas polares Representación geométrica de la suma de dos complejos Representación geométrica de la diferencia de dos complejos Representación geométrica del producto de dos complejos Raíces quintas de un número complejo z Conjugado de un número complejo Bola de centro c y radio r Entorno de un punto c Vecinal de un punto c Clasificación de puntos en un espacio métrico Puntos aislados y puntos de acumulación del conjunto A Clasificación de conjuntos según contengan o no a sus fronteras z > r Diversos conjuntos transformados mediante la función inversión Esfera de Riemann Proyección estereográfica de una circunferencia que no pasa por el origen de coordenadas Proyección estereográfica de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas Transformación de regiones en R 2 mediante una función de variable compleja Transformación de caminos mediante la función f(z) = z Función de una variable real discontinua en a Función de una variable compleja discontinua en a Composición de funciones de una variable compleja Camino en el campo complejo Lazo en el campo complejo Caminos yuxtapuestos Camino poligonal Ejemplos de caminos y lazos Ejemplo de conjuntos conexos Ejemplo de conjuntos no conexos Homotopía de los caminos γ 1 y γ 2 en D Homotopía de los lazos γ 1 y γ Conjunto simplemente conexo Conjunto múltiplemente conexo Ejemplos de cortadura Conjunto con grado de multiplicidad=

8 8 ÍNDICE DE FIGURAS 4.1. Incremento de z a través de un camino γ Dominio restringido de una función de variable compleja Incremento de una función a través de caminos rectos paralelos a los ejes Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas armónicas Integración a través de un camino poligonal Reemplazo de un camino γ por otro poligonal Dominio e imagen de Inv y f Vector tangente a γ en el punto γ(c) Ángulo entre los caminos γ 1 y γ 2 en el punto z c Transformación de caminos por una función de variable compleja Conservación del ángulo entre dos caminos mediante una aplicación conforme f Transformación de ángulos para aplicaciones con distintos valores de K Líneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representación conforme Transformación de vectores mediante una inversión Construcción geométrica para obtener la recíproca de un complejo Construcción geométrica alternativa para hallar la recíproca de un número complejo

9 Capítulo 1 Números Complejos 1.1. Definición Se llama número complejo a todo par ordenado (xy) de números reales. z := (xy) : x R, y R z := Número complejo Al número real x (primera componente del par ordenado) se lo llama parte real o primera componente del número complejo. Asimismo, al número real y (segunda componente del par ordenado) se lo llama parte imaginaria o segunda componente del número complejo. Re(z) := x Im(z) := y Re(z) := parte real de z Im(z) := parte imaginaria de z Observación: Conviene remarcar que tanto la parte real, como la parte imaginaria de un número complejo (a pesar de su denominación), son ambos números reales. Al conjunto de todos los números complejos, se lo simboliza con C. C := {(xy) : x R, y R } C := Conjunto de todos los números complejos Observación: A partir de la definición de C es inmediato que: C = R R o sea que C = R 2 Sin embargo, la introducción del nuevo símbolo C para representar al conjunto de los complejos, en vez de usar directamente R 2, es conveniente para destacar y recordar la diferencia existente entre R 2 y los demás R n. Todo R n conforma estructura de espacio vectorial y también estructura de espacio euclídeo. En el caso particular de R 2, además de las estructuras mencionadas, se agrega la estructuración en cuerpo abeliano. (ver punto 1.3). Esta característica no se extiende a ningún R n con n 3. La razón de esta diferencia es porque en C, además de definirse la suma como en todo R n, se establece también la multiplicación, condición que le permite alcanzar la estructura de cuerpo abeliano. 9

10 10 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS 1.2. Igualdad de números complejos La igualdad de los números complejos es una consecuencia de la igualdad definida entre conjuntos, y su aplicación sobre los pares ordenados. Resulta entonces: { (xy) = (x y x = x ) y = y Es decir, dos números complejos son iguales, si y sólo si simultáneamente, las respectivas partes reales e imaginarias son iguales entre sí. Una igualdad en C representa entonces dos igualdades en R Estructuración de C como cuerpo abeliano Sobre el conjunto de los complejos C se definen dos leyes de composición interna: T : P : C C C ((xy), (x y )) (x + x, y + y ) C C C ((xy), (x y )) (xx yy, xy + yx ) T := Ley suma de números complejos P := Ley producto de números complejos Los signos + y representan las leyes de composición interna, suma y producto de números reales. El conjunto de los números complejos C se estructura en cuerpo abeliano con respecto a las leyes de composición interna suma de números complejos T y producto de números complejos P. T : C C C ((xy), (x y )) (x + x, y + y ) = (C T P) Cuerpo abeliano P : C C C ((xy), (x y )) (xx yy, xy + yx ) La demostración de esta aseveración es inmediata. Algunos elementos destacables en el cuerpo C son: (0, 0) neutro de C respecto de T ( x, y) simétrico de (xy) respecto de T (1, 0) neutro de C respecto de P ( ) x x 2 + y 2, y x 2 + y 2 simétrico de (xy) respecto de P, (xy) (0 0) Los símbolos con los cuales se identificarán estos elementos son: s := (0, 0) z := ( x, y) u := (1, 0) ( ) x z := x 2 + y 2, y x 2 + y 2

11 1.4. IMPOSIBILIDAD DE ESTRUCTURAR C COMO CUERPO ORDENADO Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado El conjunto C no puede ser estructurado como cuerpo ordenado. Ello significa que no existe ninguna relación sobre C C que cumpla simultáneamente: (a) Relación de orden amplio sobre C. (b) Relación de orden total. (c) Relación de compatibilidad con las leyes de suma y producto complejo. Estas condiciones presentadas para el caso de un cuerpo genérico (E T P), llamando RO a la relación de orden sobre E, pueden expresarse de la siguiente manera: x E (xx) RO Reflexividad } (xy) RO x = y Antisimetría RO Relación de orden amplio := (y x) RO } (xy) RO (x z) RO Transitividad (y z) RO { RO Relación de orden total := x E, y E {xy} = (xy) RO o (y x) RO RO Rel. de comp. con suma y producto := } (xy) RO = (xtz, ytz) RO z E (xy) RO (s z) RO s :=Neutro de (E, T) = (xpz, ypz) RO A partir de estas definiciones se establece entonces: (E, T, P) Cuerpo abeliano (E, T, P) Cuerpo abeliano ordenado := RO Relación de orden amplio RO Relación de orden total RO Relación compatible con la suma y el producto Observación 1: Al cumplirse simultáneamente las condiciones de orden amplio y total sobre E, resulta superflua la condición de reflexividad, como se muestra a continuación: A partir de la condición de orden total, tomando x = y se obtiene: x E {xx} = (xx) RO o (xx) RO resultando entonces: x E = (xx) RO Observación 2: Las notaciones usuales para las relaciones de orden son x y o (xy) RO. En el texto se ha preferido el uso de ésta última para evitar confusiones. A continuación se pasa a demostrar la tesis propuesta, que el cuerpo de los complejos no puede ser ordenado.

12 12 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS El esquema de prueba se basa en que para dos números complejos, (0 0) (neutro de T) y el (0 1) (más adelante llamado unidad imaginaria), no puede establecerse ninguna relación de orden que satisfaga las condiciones anteriores. (C, T, P) Cuerpo abeliano = RO sobre C : (C, T, P) Cuerpo ordenado 1. Orden total {(0 0), (s 1))} ((0 0), (0 1)) RO o ((0 1), (0 0)) RO Suponiendo la primera de las dos posibilidades: 2. ((0 0) (0 1)) RO 3. Compat. P 4. Compat. P 5. Compat. T 6. (4.), (5.) y antisim. } ((0 0) (0 1)) RO ((0 0) ( 1, 0)) RO ((0 0) (0 1)) RO } ((0 0) ( 1, 0)) RO ((0 0) (1, 0)) RO ((0 0) ( 1, 0)) RO } ((0 0) ( 1, 0)) RO ((1 0) (0 0)) RO (1, 0) C } ((0 0) (1 0)) RO (0 0) = (0 1) (prop. falsa) ((1 0) (0 0)) RO Como la primera posibilidad ha conducido a una proposición falsa, se prueba con la segunda: 7. ((0 1) (0 0)) RO 8. Compat. T 9. Compat. P } ((0 1)(0 0)) RO ((0 0)(0, 1)) RO (0, 1) C } ((0 0)(0, 1)) RO ((0 0) ( 1, 0)) RO ((0 0)(0, 1)) RO Este resultado es el mismo obtenido en (3.). Si se sigue un procedimiento igual al ya realizado, se obtiene también: 10. = (0 0) = (1 0) prop. falsa Se deben descartar entonces las dos posibilidades. De donde:

13 1.5. ESTRUCTURACIÓN DE C COMO ESTRUCTURA VECTORIAL 13 RO Relación de orden amplio RO Relación de orden total 11. (1.), (6.) y (10.) RO sobre C : RO Relación de compatibilidad con la suma y producto complejo Observación 1: El hecho de que C no sea un cuerpo ordenado, deja como único R n que cumple tal condición al conjunto de los reales R. Este es el cuerpo ordenado por excelencia. Observación 2: Conviene remarcar que en C carece totalmente de sentido la proposición: z > z Por lo tanto, en el caso de presentarse esta notación, es sencillamente un grave error Estructuración de C como estructura vectorial El conjunto de los números complejos C conforma una estructura vectorial, sobre un cuerpo K, respecto de las leyes de composición interna T (suma de números complejos) y composición externa P oportunamente definida: P : C C C (λ, (xy)) (λx, λy) P := Ley de composición externa de C sobre K. K := Cuerpo de apoyo de la estructura vectorial o conjunto de los escalares. La proposición mencionada es consecuencia inmediata de que C = R 2, es decir un caso particular de R n. Tiene particular interés tomar a la terna (R + ) como cuerpo K sobre el cual conforma C la estructura vectorial. C = { (xy) : x R, y R} (R + ) Cuerpo de los Reales T : C C C = (C R + T P) Estructura vectorial ((xy), (x y )) (x + x, y + y ) P : C C C ((xy), (x y )) (xx yy, xy + yx ) Observación 1: Para no incurrir en confusiones de conceptos se debe tener presente siempre las diferencias que existen entre las leyes: - Producto de números reales: - Producto de números complejos: p

14 14 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS - Producto de C sobre K: P Observación 2: Para evitar interpretaciones erróneas se hace notar que la convención adoptada para la denominación de la séxtupla (E K + T P) y el conjunto E es: (E K + T P) := Estructura de espacio vectorial o estructura vectorial E := Espacio vectorial 1.6. Estructuración de C como estructura de espacio métrico El conjunto C conforma una estructura de espacio métrico, y en particular una estructura de espacio euclídeo, al definirse la función distancia por la expresión pitagórica: d : C C R (z, z ) (x x ) 2 + (y y ) 2 = d(z z ) d(z z ) := distancia de z a z Esta característica es una consecuencia inmediata de que C = R 2, es decir un caso particular de R n. C = { (xy) : x R, y R } d : C C R (z, z ) = (C, d) Estructura de espacio euclídeo (x x ) 2 + (y y ) 2 = d(z z ) Observación 1: Para evitar confusiones se señala que las denominaciones adoptadas para el par (E, d) y para el conjunto E son: (E, d) := Estructura de espacio métrico o estructura métrica E := Espacio métrico El hecho de poder estructurar E como espacio métrico tiene enorme importancia. En efecto, se logra con ello la base (función distancia) para construir una estructura topológica. De esta manera el conjunto de los complejos C conforma simultáneamente una estructura algebraica de cuerpo, y una estructura topológica, siendo ambas las dos condiciones esenciales para poder definir los conceptos que son fundamento del análisis matemático: la continuidad (la convergencia) y la diferencial Propiedades generales de la función distancia en C Las propiedades más importantes para destacar de la función distancia sobre el conjunto de los complejos, se desprenden directamente del caso más general, función distancia sobre los espacios euclídeos. Para facilitar su presentación es conveniente usar los símbolos e := (0 0) z := ( x, y) respectivamente par el neutro de C respecto de la suma T, y el opuesto de z respecto de T. También se agregará el nuevo símbolo: z z := z T z z z := Diferencia entre los números complejos z y z

15 1.6. ESTRUCTURACIÓN DE C COMO ESTRUCTURA DE ESPACIO MÉTRICO 15 El detalle de las propiedades mencionadas es: I. d(z e) = 0 z = e II. z z = w w = d(z z ) = d(w w ) III. d(z + z, z) = d(z e) IV. d(z z, e) = d(z z ) V. d(z z, e) = d(z z, e) λ R VI. d(λz, λz ) = λ d(z z ) VII. d(z e) d(z e) d(z e) d(z e) d(z + z, e) d(z e) + d(z e) VIII. d(z e) d(z e) d(z e) d(z e) d(z z, e) d(z e) + d(z e) IX. Re(z) d(z, e) Im(z) d(z, e) C. Es buen ejercicio demostrar estas fórmulas en forma directa a partir de la definición de distancia sobre Notación para la función distancia sobre C La notación de la función distancia sobre C, que por otra parte se emplea normalmente para cualquier R n es: z z := d(z z ) z z := Distancia de z a z De acuerdo a esta última convención resulta: En efecto: d(z e) = z d(z e) = z e = z T e = z T e = z La distancia d(z e) tiene una gran aplicación e importancia, tanto como para adjudicarle una denominación particular. Esto se tratará en el apartado La introducción del nuevo símbolo z z para representar la función distancia, es justificada por el hecho de que ayuda a recordar todas las propiedades del párrafo anterior asimilándolas a las análogas de la función valor absoluto en el campo real. En efecto, si formalmente se opera d(z z ) con las propiedades del valor absoluto real, se verifican sin dificultad las propiedades vistas en 1.6.1: I. z e = 0 z = e z = 0 z = e

16 16 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS II. z z = w w = z z = w w III. (z + z ) z = z IV. (z z ) e = z z V. z z = z z VI. λz λz = λ z z VII. z z z z z + z z + z VIII. z z z z z z z + z IX. Re(z) z Im(z) z Observación: El valor absoluto en el campo real por su parte estructura al conjunto R como espacio euclídeo, pues: d(xy) = (x y) 2 = x y Entonces, la distancia del espacio euclídeo R n puede entenderse como una generalización del valor absoluto definido para R Módulo de z Se define como módulo de z, también llamado valor absoluto de z, a la distancia d(z e). z := d(z e) z := Módulo de z Esta definición es complementaria de la notación de distancia introducida en 1.6.2, ya que ambas no son independientes, como se demuestra acto seguido: Teorema d(z z ) = z z d(z e) = z Demostración. La demostración de la condición necesaria es: d(z e) = z e = z La condición suficiente: d(z z ) = d(z z, e) = z z La asignación de una denominación específica dada a la distancia d(z e) se justifica no solamente por la frecuencia con que aparece en las fórmulas anteriores, sino también para resaltar el papel muy importante que desempeña en todo el álgebra y análisis complejo. Basta para ello mencionar que su empleo permite:

17 1.7. ESTRUCTURACIÓN DE C COMO ESPACIO NORMADO 17 a. La definición de la forma polar del número complejo. b. El hallazgo de métodos operativos más sencillos, derivados de la forma polar, para la multiplicación, división, potencia, radicación y logaritmación. c. Establecer una norma sobre C Todos estos conceptos serán desarrollados más adelante. El módulo de z, de acuerdo con la definición es una aplicación del conjunto de los complejos sobre los reales. : C R (xy) x 2 + y 2 Las propiedades más importantes del módulo de z son las detalladas en el párrafo anterior. A ellas conviene agregar: z = z z 2 = z 2 cuya demostración es inmediata, y además: Teorema El módulo del producto es igual al producto de los módulos. (zz ) C = z P z = z z Demostración. z P z 2 = (xx yy ) 2 + (xy + yx ) 2 = x 2 x 2 + y 2 y 2 + x 2 y 2 + y 2 x 2 = (x 2 + y 2 )(x 2 + y 2 ) = z 2 z Estructuración de C como espacio normado Se llama espacio normado a todo espacio vectorial provisto de una aplicación sobre los reales no negativa, llamada norma, que cumple las condiciones que se mencionan a continuación: (E K + T P) Estr. espacio vectorial) N : E R (E K + T P N) := N(x) = 0 x = e x N(x) : N(λx) = λ N(x) N(xTy) N(x) + N(y) N(x) := Norma del vector x A partir de las propiedades I, V I y V II del párrafo se concluye de inmediato que la función módulo de z es efectivamente una norma. } : C R (xy) = (E K + T P) Estr. de espacio normado x 2 + y 2

18 18 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS En todo espacio normado, la función distancia d(zz ) = N(z z ) lo estructura como espacio métrico. d : } C C R (z z ) N(z z = (C d) Estructura de espacio métrico ) La norma establece una elación directa entre los espacios vectoriales y los espacios métricos. La importancia de este hecho reside en que con ello se asegura la continuidad de las operaciones vectoriales suma y producto externo Forma binómica de los complejos Isomorfismos entre estructuras Se dice que una aplicación f del conjunto E sobre el conjunto E establece un isomorfismo entre las estructuras (E T) y (E T ), donde T y T son leyes de composición interna definidas respectivamente sobre E y E, cuando: a. f es biyectiva b. La composición interna T de la aplicación de dos elementos de E sobre E es igual a la aplicación sobre E de la composición interna T de dichos elementos de E, es decir: f(a T b) = f(a)t f(b) En resumen: E = {abc... } T : E E E E = {a b c... } ((E T) (E T )f) Estructuras isomorfas := T : E E E f : E E { a a f biyectiva : a T b a T b Ejemplo: La función logaritmo natural L : R + R x L(x) establece un isomorfismo entre las estructuras (R + ) y (R +).

19 1.8. FORMA BINÓMICA DE LOS COMPLEJOS 19 Generalizando, una función f puede establecer un isomorfismo entre las estructuras (E T P) y (E T P ) dotadas cada una de ellas con dos leyes de composición interna, cuando: E = {abc... } T : E E E P : E E E E = {a b c... } ((E T) (E T T )f) Estructuras isomorfas := : E E E P : E E E f : E E f biyectiva a a : a T b a T b a P b a P b Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente nula Definimos como C 1 al conjunto de los complejos con segunda componente nula. C 1 := {(x, 0)} C 1 := Conjunto de los complejos con segunda componente nula o conjunto de las primeras componentes La función pr 1 que se llamará primera proyección, pr 1 : C 1 R (x, 0) x establece un isomorfismo entre las estructuras (C 1 T P) y (R + ). Teorema } C 1 = {(x, 0)} = ((R + ) (C 1 T P) pr 1 ) Estructuras isomorfas (x(x, 0)) pr 1 Demostración. Se demuestra en primer lugar que la relación pr 1 es una aplicación biyectiva. x (x, 0) { x = x x = x 0 = 0 (x, 0) = (x, 0) Enseguida se verá como la aplicación pr 1 establece el isomorfismo. x (x, 0) y (y, 0) x + y (x, 0)T (y, 0) = (x + y, 0) x y (x, 0)P (y, 0) = (x y, 0)

20 20 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Observación 1: El par (x, 0) no es un número real a pesar de que es frecuente denominarlo así, en un evidente abuso de notación. El complejo (x, 0) es el correspondiente al real x a través del isomorfismo definido. Observación 2: Es inmediato demostrar a partir del isomorfismo estudiado entre C 1 y R que también puede establecerse otro isomorfismo entre los complejos con segunda componente nula y los reales a través de la función: pr 2 : {(0, y)} R (0, y) y como se verifica considerando las leyes respectivas se suma pero no las leyes de multiplicación Forma binómica de los números complejos Todo número complejo puede descomponerse en la suma de otros dos, con segunda y primera componente nula, respectivamente: (xy) = (x0)t (0 y) Por el otro lado también se verifica (0 y) = (y 0)T (0 1) y entonces se concluye que un número complejo puede ser representado como: (xy) = (x0) T ((y 0) P (0 1)) que es la llamada forma cartesiana o binómica de los números complejos. Es conveniente tomar: i := (0 1) i := Unidad imaginaria Queda entonces: (xy) = (x0) T ((y 0) P i) Este resultado, conjuntamente con el isomorfismo estudiado en induce a pensar la posibilidad de la existencia de un isomorfismo entre el conjunto de los complejos C y el conjunto de los binomios x + iy operados formalmente con las reglas del álgebra de los números reales. En efecto, definiendo al conjunto de los nuevos entes x + iy, la función B := {x + iy : x R, y R} f : C B (xy) x + iy establece un isomorfismo entre (B + ) y (C + ) donde + y son las leyes de composición interna sobre el conjunto B, definidas en forma conveniente de acuerdo al álgebra de los números reales.

21 1.8. FORMA BINÓMICA DE LOS COMPLEJOS 21 Las definiciones de estas leyes se hallan en el enunciado del teorema siguiente, y merece señalarse únicamente que es necesario convenir que: i 2 := 1 Observación 1: Debe tenerse sumo cuidado de no entrar en confusiones con las dos definiciones hechas de i porque sin distintas. Se ha usado la misma letra solamente por razones tradicionales. En el primer caso se ha definido sobre el conjunto de los complejos i = (0 1) lo cual lleva a i 2 = i P i = ( 1, 0) y por lo tanto de acuerdo a la Observación 1 del párrafo i 2 1 siendo i 2 simplemente el correspondiente de 1 en el isomorfismo analizado entre C 1 y R: pr 1 : i 2 1 En el segundo caso, que no es una definición operacional de elementos de C sino de entes de B, el símbolo i 2 representa a: i 2 = i i es decir, un producto con respecto a la ley en B. Y se establece a contrario sensu : i 2 = 1 El planteo del isomorfismo de las estructuras es: (C T P) Cuerpo complejo + : B B B ((x + iy), (x + iy )) (x + x ) + i(y + y ) : B B B ((x + iy), (x + iy )) xx + ixy + iyx + yy i 2 = (xx yy ) + i(xy + yx ) i i 1 = ((B+ ) (C T P) f) Estr. isomorfas f : C B (xy) x + iy La demostración de este isomorfismo surge directamente de la definición de las leyes de composición interna definidas sobre B. La denominación de forma binómica del número complejo es justificada con claridad por el isomorfismo demostrado.

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