A) Se considera el problema de contorno bidimensional constituido por la ecuación diferencial

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1 Elemetos tos bdmesoles. U vsó pelm A Se cosde el poblem de cotoo bdmesol costtdo po l eccó deecl (, e el domo, smplemete coeo ls codcoes de cotoo: (, coocd e α coocd e Recédese qe qe, s se deom l ccdte del domo, se vec qe ot.- Se mc co let más eg los cctees qe epeset mgtdes opedoes co cácte vectol. deot el opedo bl, l lplc dvegec del gdete del cmpo escl -. Se tt de desoll método méco p l esolcó del poblem, plelo l método de elemetos tos tlzdo p eccoes deecles ods leles de segdo ode. Ates de desolll el método popmete dcho, seá eceso ecod lgs popeddes de los opedoes deecles. (A B ( A B A B. Se domo smplemete coeo, deotemos co l ccdte de l oml eteo l ccdte, espectvmete. El teoem de Gss estblece qe A ds A. Aplcádolo l podcto de ls dos coes, eslt qe o lo qe es lo msmo, ( A B ds ( A B ( A B A B, ( A B ( A B ds A B. CAMPUS ECOLÓGICO DE LA UIVERSIDAD DE AVARRA. AARROAO UIBERSIAEO CAMPUS EOLOGIOA Pseo de Mel Ldzábl. 8 Doost-S Sebstá. el.: : 9

2 /8 Volvedo l poblem pltedo, ecédese qe e l esolcó méc de poblems de cotoo de eccoes deecles ods leles de segdo ode, el tevlo, e el qe está deds ls coes, se dvde e sbtevlos (elemetos se pom l solcó po segmetos (e el cso de có de tepolcó lel qe cocde co el vlo de l có e los etemos. E el cso bdmedsol, se v dvd el domo e táglos (elemetos se v pom el vlo de l có (, e cd táglo po plo qe e ss vétces cocd co los vloes de l có. Así e el táglo de vétces los ptos P (,, P (,, P (,, se pom del modo sgete: (, (, (, (, dode los (, so ls eccoes de plos de l om: (, b c qe cmple qe (, p (, (,, so cógts. Es ácl demost qe, b c De sml modo se obtee los otos coecetes coespodetes ls coes de tepolcó pls. Es teeste obsev qe el deomdo es el doble del áe del táglo ecedo po los tes vétces. Llmdo Τ dcho deomdo, se pede eescb: b b b c c c

3 /8 P esolve l eccó deecl po el método méco detem los coecetes po los qe se mltplc ls coes de tepolcó, se v emple el método de Gle, tegdo sobe el elemeto. Así d d (, (, d d (, Se h deomdo como, lógcmete, l ccdte de seá. Se estd l pme tegl. S A, obvmete A Llmdo (, B teedo e cet el teo esltdo B ds B ( B ( A A A se pede escb: ( (, d d (, d d Utlzdo l otcó estád ( se pede eescb de l om d d (, d d (, Como

4 /8 se pede cocl qe (, d d (, d d Llmdo d d d d (, (, el método de Gle se covete e l om débl de tes ccoes (, co, Cosdéese qe el elemeto es el táglo de l g: Se v detem l pme tegl p cd eccó, es dec cdo, ó. Recédese qe,,, se vec qe (, p, lego (, peteecete segmeto opesto P, (,. Po cosgete ls tegles se covete e e P P P

5 (, (, (, (, (, (, (, (, (, Co lo obtedo hst el mometo se pede escb l sgetes eccoes p el elemeto e, qe se está estddo, e om mtcl: (, (, (, (, (, (, Obsévese qe, segú se dedce de l decó de los elemetos, l mtz es smétc. Cosdéese ho el elemeto tgl dcete qe tee comú co el estddo el ldo P P, como se ve e l g P P P ( ( P Llmdo elemeto ( l de l zqed elemeto ( l de l deech, se pede escb seds eccoes e om mtcl (el speídce dc el elemeto ls coes de tepolcó se dz co el úmeo del odo 5/8

6 6/8 (, (, (, (, (, (, (, (, (, (, (, (, Como ls coes ecbe los msmos vloes sobe el segmeto P P, depedetemete del elemeto qe se cosdee, se pede esmbl ls eccoes teoes, qe ls tegles de líe se ccel l ecoese e setdo coto, se lleg l sgete epesó mtcl: (, (, (, (, (, (, (, (, Repáese qe ls tegles qe pece coespode ls tegles de líe de l ccdte del domo omdo po l ó de los dos elemetos.

7 B Vsto el eemplo pecedete se pede geelz co l sgete eccó deecl, elzdo ls msm dscetzcó. L úc dcltd está e obtee l omlcó débl de l eccó deecl. Cosdéese l eccó deecl: e el domo, smplemete coeo, co ls codcoes de cotoo: (, coocd e α coocd e dode (, (, so coes cots e el domo. P ps omlcó débl se v llm po tto l eccó deecl se pede epes como sedo. Llmdo B (, ( B B B De modo sml l tlzdo e el estdo pevo, po el teoem de Gss, se sbe qe, s es ecto smplemete coeo, peo ( B ( B ds, ( B ( B B Po cosgete l epesó de Gle de l eccó deecl se pede escb: 7/8

8 8/8 ds ( ( es dec l omlcó débl es: ds ( epesd esclmete: ds ( Utlzdo l pomcó de (, e el elemeto tgl,, eslt qe: Q dode: d d d d (, Q Bblogí.- Beltze, A., Egeeg Alss wth Mple/Mthemtc, Acdemc Pess, 995. Bde, R. L. d es, J. D., mecl Alss, PWS-et Pblshg Comp, 989 Redd, J.., A Itodcto to the te Elemet Method, McGw-Hll Itetol Edtos, 99. Stg., G., Itodcto to Appled Mthemtcs, Wellesle-Cmbdge Pess, 986. Zeewcz, O. C. d Mog,., te Elemets d Appomto, Joh Wle & Sos, Ic., 98.

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