Resumen del Tema 3: Cálculo Vectorial

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Resumen del Tema 3: Cálculo Vectorial"

Transcripción

1 Resumen del Tema 3: Cálculo Vectorial Víctor Domínguez Guillem Huguet Diciembre 2008 I too fell that I have been thinking too much of late, but in a different way, my head running on divergent series, the discontinuity of arbitrary constants,... I often thought that you would do me good by keeping me from being to engrossed by those things a 1. Introducción a Yo también siento que he estado pensando demasiado ultimamente, pero de una forma distinta, divagando sobre series divergentes, la discontinuidad de constantes arbitrarias... A menudo pienso que me harías bien manteniendome lejos de todas estas cosas. (George Gabriel tokes pidiendo en matrimonio a Mary usanna Robinson, 1857) Estas notas pretenden ser un simple resumen de los conceptos básicos dados en teoría, que como se puede comprobar, finalmente no son tantos. Deliberadamente, no hay ejemplos: para ello están los apuntes y el trabajo de clase. Existen asimismo múltiples notas a pie de página que, aún no siendo esenciales en la teoría, tratan de aclarar o ilustrar ciertos aspectos de ésta. En estas notas se proponen algunas cuestiones y ejercicios que animamos al menos a que os plantéis. Como siempre estamos abiertos a cualquier duda, aclaración o sugerencia que queráis hacer, siendo esto, de hecho, altamente recomendable. 2. Cálculo vectorial en R 2 Funciones Funciones escalares f : D R 2 R. Funciones vectoriales F : D R 2 R con P, Q funciones escalares 1. F(x, y) := P (x, y)i + Q(x, y)j 1 e sigue el convenio i = (1; 0), j = (0; 1) como vectores. 1

2 2 Objetos geométricos En lo que sigue es una curva simple, x : [a, b] una parametrización regular de ésta esto es x(t) es inyectiva 2 y su derivada x(t) : [a, b] t (x(t), y(t)), x (t) := x (t)i + y (t)j no se cancela. Recordemos que x (t) es un vector tangente a la curva, y que por tanto τ(t) := 1 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 [x (t)i + y (t)j] (1) es (uno de los dos) vectores tangentes unitarios a en x(t). Finalmente, x (t) := (x (t)) 2 + (y (t)) 2 se denomina norma de la parametrización 3. Integrales Integrales de funciones escalares sobre curvas Por definición la integral de f sobre es fdx := b a f(x(t), y(t)) x (t) dt. i f = 1, la expresión anterior devuelve la longitud de. Integrales de funciones vectoriales Para estas integrales las curvas se consideran orientadas (ver figura 1), y por tanto hay que fijar primero un sentido de recorrido para la curva. Es fácil ver que es equivalente a escoger un sentido para el vector tangente. Recordemos que x (t) define un vector tangente en el sentido en el que la parametrización x recorre la curva. La integral F sobre se define F τ = P (x, y)dx + Q(x, y)dy := b 2 x(t 1 ) = x(t 2 ) t 1 = t 2. 3 Básicamente mide a qué velocidad se recorre. a [ ] P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t) dt.

3 3 Nota i 1 y 2 son la misma curva pero recorrida en sentidos opuestos, se tiene que P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy 1 2 por lo que las integrales toman signos opuestos 4, a diferencia de lo que sucedía con las integrales de línea para funciones escalares 5 (función f). e tiene que P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (F τ) ds } {{ } Función escalar } {{ } Integral sobre de una función escalar donde τ(t) el vector tangente unitario definido en (1) y F τ el producto escalar de los vectores dados por F y τ. Esta integral también recibe el nombre de circulación de F a lo largo de. Físicamente se puede interpretar como el trabajo que hace F para mover una partícula a lo largo de. Volveremos a esta interpretación cuando repasemos la teoría del potencial. Figura 1: 1 y 2 son curvas distintas, de sentidos opuestos, si se considera cómo se recorren. i es una curva cerrada, se escribe P (x, y)dx + Q(x, y)dy, P (x, y)dx + Q(x, y)dy si se recorre en el sentido contrario a las agujas del reloj (sentido positivo) o en el sentido de las agujas del reloj (sentido negativo). Es importante observar que ahora el resultado 4 Desde un punto de vista práctico, esta propiedad implica que si se desea calcular la integral de F con recorrida en un determinado sentido, y se dispone de una parametrización x que te da la curva en el sentido opuesto, basta cambiar el signo a la integral que te da al utilizar x para recuperar el resultado correcto. 5 Nótese que la integral sobre de una función escalar no depende de la orientación que se considere sobre.

4 4 es independiente del punto inicial y final (que son el mismo) que se tome 6 y que por tanto podemos hablar simplemente de la circulación sobre. Teorema 2.1 (Teorema de Green o de tokes en R 2 ) ea una curva cerrada en R 2, y D su interior. Entonces si F(x, y) := P (x, y)i + Q(x, y)j satisface P, Q C 1 (D), P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (Q x (x, y) P y (x, y)) dxdy. D Nota. El resultando anterior iguala una integral sobre una curva cerrada con la integral doble sobre D. Resulta por tanto sorprendente que exista una relación así entre dos cantidades a priori tan diferentes. El término Q x (x, y) P y (x, y) es el rotacional de F que se escribe F. Flujos en R 2 i x(t) es una parametrización de, entonces el vector n(t) := 1 ( ) y (t)i x (t)j x (t) (2) es (uno de los dos) vectores de norma 1 perpendiculares a en x(t). Podemos definir (F n) ds } {{ } Función escalar } {{ } Integral sobre de una función escalar que se conoce como flujo de F a través de. El concepto de flujo es muy natural: un símil muy útil es interpretar F como un campo de velocidades de un fluido y en este caso el flujo de F a través de mide la cantidad de fluido que atraviesa. Nota Por definición, y utilizando el vector normal proporcionado a través de (2), (F n)ds = = = b a b a ( ) P (x(t), y(t))i + Q(x(t), y(t))j P (x(t), y(t))y (t) Q(x(t), y(t))x (t) dt 1 ( ) y (t)i x (t)j x (t) dt x (t) Q(x, y)dx + P (x, y)dy. (3) Nótese que hay dos flujos, dependiendo hacia donde se considera orientado n. Las dos elecciones posibles del vector normal nos están informando que existe también dos sentidos para el flujo: de un lado o de otro. 6 e puede ver esto por razonamientos muy geométricos. Aquí tienes un buen ejercicio.

5 5 i n 1 y n 2 son vectores normales unitarios, pero de sentidos opuestos (F n 1 ) = (F n 2 ) con lo que de nuevo las dos orientaciones, no podría ser de otro modo, se relacionan a través de un simple cambio de signo 7. En el caso de una curva cerrada, se habla de flujo saliente si el vector normal se considera orientada hacia el exterior, y flujo entrante en el segundo. Un flujo entrante negativo quiere decir, obviamente, que el flujo en realidad es saliente. i es cerrada y orientada en el sentido positivo (contrario a las agujas del reloj) la expresión (3) devuelve el flujo saliente. Teorema 2.2 (Teorema de la divergencia en R 2 ) ea curva cerrada, D interior de, F(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j con P, Q C 1 (D). Entonces, si n es el vector normal orientado hacia el exterior de, (F n) = (P x (x, y) + Q y (x, y)) dx dy. D El término P x (x, y) + Q y (x, y) es la divergencia de F que se escribe F. El teorema anterior dice por tanto que el flujo saliente de D a través de es igual a la integral doble sobre D de la divergencia de F. La demostración es una simple consecuencia del Teorema de tokes y de la relación (3). Por último, resaltaremos que si x es una parametrización de recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj (sentido positivo) el vector normal dado por (2) apunta hacia el exterior de, y por tanto en el sentido correcto desde el punto de vista de la aplicabilidad del teorema de tokes. Nota. upongamos que F describe la velocidad de desplazamiento de un fluido. i el fluido es incomprensible, y no existen ni fuentes ni sumideros es fácil comprender que sobre cada curva cerrada el flujo total es cero 8. Matemáticamente, esta relación se refleja en que F = 0. Puntos donde la divergencia no es nula están describiendo sitios donde se crea flujo (una fuente) o bien absorbe el fluido (un sumidero). Nota En todo lo anterior estamos suponiendo que las curvas cerradas tienen un único trazo, lo que en Matemáticas se denomina curvas conexas. Cuándo la curva no es simplemente conexa, es decir, cuando el interior de tiene agujeros, podemos aplicar las mismas ideas que las desarrolladas hasta ahora sin más que partir la curva en curvas sencillas como en la figura 2. 7 La relación anterior indica nuevamente que en caso de escoger una parametrización cuyo vector normal proporcionado a través de (2) es el opuesto al flujo que se desea calcular, basta realizar todos los cálculos y cambiar el signo a la integral para obtener el resultado deseado 8 Lo que entra por un lado, sale por el otro.

6 6 Figura 2: Forma de proceder con un dominio más complicado Nótese que las curvas introducidas para partir el dominio no generan circulación (ni flujo si se orienta el vector normal de forma opuesta) puesto que se recorren dos veces una en cada sentido Cálculo vectorial en R 3 Funciones Funciones escalares f : V R 3 R. Funciones vectoriales F : V R 3 R con F(x, y) := P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k, con P, Q, R funciones escalares 10. Objetos geométricos Curvas ea curva, x : [a, b] una parametrización: x(t) := (x(t), y(t), z(t)), t [a, b]. El vector x (t) := x (t)i + y (t)j + z (t)j 9 Como se escribe entonces el Teorema de Green y el de la Divergencia?. Cómo hay que orientar el recorrido/vector normal de las curvas interiores?. 10 Ahora se tiene el convenio i = (0; 0; 1), j = (0; 1; 0) y k = (0; 0; 1) como vectores.

7 7 es tangente a la curva, y τ(t) := 1 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 [x (t)i + y (t)j + z (t)k] (4) es (uno de los dos) vector tangente unitarios a en x(t). De nuevo, es la norma de la parametrización. uperficies ea una superficie y Φ tal que x (t) := (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 Φ : D R 2 R 3 (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) describe con las hipótesis habituales: inyectiva salvo quizás en la frontera de D. A Φ se le denomina parametrización de. Asociados a Φ se pueden considerar dos vectores Φ u (u, v) = x u (u, v)i + y u (u, v)j + z u (u, v)k, Φ v (u, v) = x v (u, v)i + y v (u, v)j + z v (u, v)k. Es fácil comprobar que ambos son vectores tangentes a por lo que el producto vectorial Φ u Φ v nos proporciona un vector perpendicular a la superficie. Asumimos que Φ tiene derivadas parciales continuas y Φ u Φ v es siempre distinto de cero 11 Integrales Integrales de funciones escalares sobre curvas b f ds := f(x(t), y(t), z(t)) x (t) dt a Integrales de una función vectorial sobre una curva De nuevo la curva se toma orientada. i x (t) da un vector tangente en el sentido correcto, se define F τ ds = P (x, y)dx + Q(x, y)dy + R(x, y)dz = b a [ ] P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t) dt Integrales de funciones escalares sobre superficies i es una parametrización dada por Φ : D, se define f d := f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Φ u (u, v) Φ v (u, v) du dv 11 Las condiciones anteriores se pueden relajar. D

8 8 Figura 3: La famosa imagen de Escher ilustra muy originalmente el hecho de que la banda de Möebius tiene una única cara (observa el recorrido de las hormigas) Flujos de F a través de Dos superficies se pueden orientar si se puede definir un sentido para el vector normal. En este caso se dice que una superficie es orientable o simplemente que tiene dos caras si a cada punto se le pueden asociar dos vectores normales n 1 y n 2 con n 1 = n 2 de forma que al recorrer la superficie se mantiene esta doble elección a lo largo de todo los puntos. Uno puede concluir que esto es trivial pues a primera vista es difícil imaginar superficies que en el espacio no tengan dos caras. in embargo la intuición es traicionera: existen superficies, bien sencillas, que sólo tienen una cara. El ejemplo que se suele dar en estos casos es la banda Möebius, obtenida al cortar una tira de papel y unir los extremos después de haberlos girado. Atendiendo a la definición dada se comprueba que esta superficie sólo tiene una cara (véase Figura 3). Así dada con una orientación del vector normal n escogida, se define el flujo de F a través de a la integral (F n) d Es fácil comprobar que dicha integral se reduce a (F n) d = F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (Φ u (u, v) Φ v (u, v)) dudv = D ( = P (x(u, v), y(u, v), z(u, v))i + Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v))j D ) +R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))k (Φ u (u, v) Φ v (u, v)) dudv = P (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) Q(x(u; v); y(u; v); z(u; v)) R(x(u; v); y(u; v); z(u; v)) = x u (u; v) y u (u; v) z u (u; v) D x v (u; v) y v (u; v) z v (u; v) dudv donde la parametrización Φ escogida de cumple que Φ u (u, v) Φ v (u, v)

9 9 apunta en el mismo sentido que el vector n escogido. La integral no depende de la parametrización escogida 12. i en los vectores normales n 1 y n 2 tienen sentidos opuestos, entonces (F n 1 ) = (F n 2 ) relación a estas alturas nadas sorprendente. En el caso de superficies cerradas se habla de flujo saliente si el vector n, o equivalentemente, si Φ u (u, v) Φ v (u, v) apunta hacia el exterior de y flujo entrante en caso contrario, es decir, si el vector anterior apunta hacia el interior de. Orientación del borde inducida por la orientación de una superficie ea una curva abierta, el borde de. Consideremos fijada una orientación para, esto es, un sentido para el vector normal de. Entonces la orientación de, que es una curva cerrada, inducida por es aquélla dada por la regla del sacacorchos (o de la mano derecha). Esto es, que el giro del sacacorchos dado por el sentido de apunte en la misma dirección que el vector perpendicular de (véase la figura 2). Figura 4: Orientación de y la inducida sobre el borde. Teorema 3.1 (Teorema de tokes) ea una superficie abierta orientada, su borde con la orientación inducida por. Entonces si F(x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k con P, Q, R C 1 () P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ( F) n. 12 e puede definir el flujo de un campo vectorial a través de la banda de Möebius?.

10 10 Nótese que hay tomar la orientación de (el sentido de n) y la orientación de compatibles. En caso de que sean incompatibles, la igualdad es cierta cambiando de signo uno de los términos. El término F es el rotacional de F dado por F := i j k x y z P Q R = (R y Q z )i (R x P z )j + (Q x P y )k. (5) De nuevo tenemos una relación entre dos integrales muy distintas, una circulación y un flujo, vía el rotacional del campo vectorial. El último teorema importante del cálculo vectorial en R 3 relaciona el flujo saliente de un campo a través de una superficie cerrada con una integral triple. Teorema 3.2 (Teorema de la divergencia) ea una superficie cerrada con V el interior de, n el vector normal exterior de y F(x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k campo vectorial con P, Q, R C 1 (V ). Entonces (F n)d = ( F) dx dy dz. El término F es la divergencia de F que es por definición F = P x + Q y + R z. El teorema se lee de la siguiente forma: el flujo saliente de F a través de es igual a la integral sobre el interior de de la divergencia de F. Nota. Habitualmente uno recurre al Teorema de tokes para hallar circulaciones y al Teorema de la Divergencia para calcular flujos, dado que calcular el rotacional en el primer caso y la divergencia en el segundo son cálculos directos. Utilizar en forma inversa es mucho más complicado. Por ejemplo, si deseamos calcular el flujo de F a través de una superficie abierta con el Teorema de tokes, deberíamos buscar un campo G tal que G = F para así reducir el problema a hallar la circulación de G a lo largo del borde. Es fácil autoconvencerse de la dificultad que conlleva invertir un rotacional 13. Algo similar sucede si se intenta aplicar el Teorema de la Divergencia para calcular integrales de volumen. 4. Teoría del potencial Caso R 2 ea F(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j tal que F : D R 2, con P, Q C 1 (D) (continua con derivadas primeras continuas). D R 2 es simplemente conexo (es decir, D es un conjunto sin agujeros ). V

11 11 Figura 5: Dos curvas con iguales extremos Entonces, es fácil ver que con estas hipótesis se tiene Teorema 4.1 ea D un dominio simplemente conexo, F = P i+q j con P, Q C 1 (D). Entonces son equivalentes i) Para toda curva D cerrada P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. ii) Para cualquier par de curvas 1, 2 D de iguales extremos (véase Figura 5) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy 1 2 iii) F = 0, es decir, Q x P y = Dem. e utiliza el Teorema de tokes en R 2 para probar la equivalencia entre i) y iii). Para ver que i) y ii) son equivalente se aplican simples razonamientos geométricos. Un campo F donde la integral sobre cualquier curva cerrada es cero se le denomina campo conservativo. En este sentido, el punto ii) del teorema dice simplemente que el trabajo que hace F para mover un objeto depende únicamente de su posición inicial y final y no de la trayectoria seguida. Teorema 4.2 Dada F : D R 2, con F = P i + Qj, P, Q C 1 (D) y D simplemente conexo, entonces son equivalentes i) F = 0. ii) Existe f tal que f = F, es decir f x (x, y) = P (x, y), f y (x, y) = Q(x, y). El teorema anterior dice que un campo C 1, continuo con derivadas parciales continuas, definido sobre un conjunto simplemente conexo es conservativo si y sólo si es generado a través del gradiente de una función f. La función f recibe el nombre de función potencial 13 Y no siempre es posible. Por ejemplo no existe G tal que G = xi + yj + zk ( Por qué?). 14 véase la definición de F para un campo vectorial en R 2

12 12 Nota. Para la existencia de una función potencial basta ver que la integral de F = P i + Qj sobre cualquier curva cerrada es cero. Basta fijar x 0 R 2 y definir f(x) := P dx + Qdy x donde x es cualquier curva 15 que conecta x 0 a x. De allí se sigue que necesariamente F = 0 (bajo ciertas suposiciones de regularidad). El recíproco no es cierto en general. Es decir, en un dominio con agujeros, F = 0 y puede no ser conservativo. La función potencial f proporciona toda la información necesaria para calcular las integrales de F sobre cualquier curva. Ello se consigue mediante el siguiente resultado Teorema 4.3 ea F(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j, con P, Q C 1 (D). upongamos que F es conservativo, y sea f tal que f = F. Entonces, para cualquier curva de extremos inicial x 0 y final x 1 se tiene P (x, y)dx + Q(x, y)dy = f(x 1 ) f(x 0 ) El resultado anterior recuerda al teorema de Barrow para el cálculo de primitivas 16 y permite realiza de forma sencilla, si antes hemos calculado f, integrales sobre curvas de F. Caso R 3 Los resultados anteriores siguen siendo válidos, con mínimas modificaciones, en el caso de funciones vectoriales en R 3. En este caso, tenemos F(x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k, con P, Q, R C 1 (D). La definición de un conjunto simplemente conexo en R 3 es algo más complicada, por lo que no nos concentraremos en este, aunque importante, detalle. Así se puede enunciar el siguiente resultado 15 por qué vale cualquier curva? 16 i se toma como función potencial g := f, siguiendo la convención habitual en física, obtenemos la identidad P (x; y)dx + Q(x; y)dy = g(x 0 ) g(x 1 ): La igualdad anterior se interpreta en el sentido de que el trabajo de un campo de fuerzas revierte en una pérdida de energía potencial de la partícula. En el caso de que el trabajo sea negativo, es decir, si el trabajo lo hacemos nosotros en contra del campo de fuerzas, el objeto gana en energía potencial. Un símil válido, sería elevar una partícula de altura. El trabajo del campo gravitatorio es negativo, puesto que nosotros hemos hecho el trabajo efectivo, y en consecuencia el objeto gana en energía potencial (está mas alto). Una constante en el mundo físico es que los objetos tienden a colocarse siempre en posiciones de mínima energía potencial. En el ejemplo anterior, la partícula tiende a caer.

13 13 Teorema 4.4 ea F(x, y, z) = P (x, y, z)i+q(x, y, z)j+r(x, y, z)k, con P, Q, R continuas con derivadas parciales continuas en todo R 3 salvo en un conjunto finito de puntos 17. Entonces son equivalentes i) f es conservativo. ii) F = 0. iii) Existe f tal que F = f. Además P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = f(x 1 ) f(x 0 ). donde x 1 y x 2 son los puntos inicial y final de la curva. En esta ocasión se debe utilizar la definición de rotacional de una función vectorial en R 3 (véase (5)). 17 e permiten por tanto singularidades en una serie finita de puntos

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil 1 / 32 Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso Académico 2011-2012 2 / 32 Motivación: muchas ecuaciones y propiedades fundamentales de la Física (y, en consecuencia, de aplicación

Más detalles

Los teoremas de Stokes y Gauss

Los teoremas de Stokes y Gauss Capítulo 13 Los teoremas de tokes y Gauss En este último capítulo estudiaremos el teorema de tokes, que es una generalización del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial

Más detalles

INTEGRAL DE SUPERFICIE

INTEGRAL DE SUPERFICIE INTEGRAL E UPERFICIE 1. Geometría de las superficies. Entendemos por superficie el lugar geométrico de un punto que se mueve en el espacio R 3 con dos grados de libertad. También podemos pensar una superficie

Más detalles

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ).

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ). apítulo 11 El teorema de Green El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de

Más detalles

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1 Capítulo 1 Campos conservativos En este capítulo continuaremos estudiando las integrales de linea, concentrándonos en la siguiente pregunta: bajo qué circunstancias la integral de linea de un campo vectorial

Más detalles

1. Definición de campo vectorial

1. Definición de campo vectorial Universidad Nacional de La Plata Facultad de iencias Exactas ANÁLII MATEMÁTIO II (ibex - Física Médica) 214 egundo emestre GUÍA Nro. 6: AMPO VETORIALE 1. Definición de campo vectorial Durante el curso

Más detalles

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Tema 9. ampos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Índice de contenidos del tema 9 1. ampos escalares y campos vectoriales 2. Gradiente, laplaciano, divergencia

Más detalles

Integrales de línea. Teorema de Green

Integrales de línea. Teorema de Green Integrales de línea. Teorema de Green José Antonio Vallejo Departamento de Matemáticas Facultad de iencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí email: jvallejo@fciencias.uaslp.mx 16 Noviembre 2007 1.

Más detalles

Teorema de Green. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es. 1. Introducción 1

Teorema de Green. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es. 1. Introducción 1 Teorema de Green ISABEL MAEO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Introducción 1 2. Teorema de Green en regiones simplemente conexas 1 2.1. urvas de Jordan.........................................

Más detalles

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1 apítulo 2 Divergencia y flujo Sea V = V 1 i + V 2 j + V 3 k = (V 1, V 2, V 3 ) un campo vectorial en el espacio, por ejemplo el campo de velocidades de un fluido en un cierto instante de tiempo, en un

Más detalles

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión: Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos

Más detalles

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan Lección 6 Teorema de Green En la lección anterior, previa caracterización de los campos conservativos, hemos visto que un campo irrotacional puede no ser conservativo. Tenemos por tanto una condición fácil

Más detalles

Trabajo y Energía. Mario I. Caicedo. Departamento de Física. Universidad Simón Bolívar

Trabajo y Energía. Mario I. Caicedo. Departamento de Física. Universidad Simón Bolívar Trabajo y Energía Mario I. Caicedo Departamento de Física Universidad Simón Bolívar Índice 1. Motivación 2 2. Elementos de Matemáticas 4 2.1. Desplazamiento Infintesimal........................... 4 2.2.

Más detalles

4 Integrales de línea y de superficie

4 Integrales de línea y de superficie a t e a PROBLEMA DE ÁLULO II t i c a s 1 o Ings. Industrial y de Telecomunicación URO 2009 2010 4 Integrales de línea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra

Más detalles

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea.

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea. Universidad de Sevilla. GO y GERM. Matemáticas. Departamento de Matemática Aplicada. Guión del Tema 5: ntegrales de Línea. 1. ntegrales de línea. ntegral de línea de un campo escalar. Sea una curva parametrizada

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Una Ecuación Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es simplemente una expresión de la forma

Más detalles

Caracterización de los campos conservativos

Caracterización de los campos conservativos Lección 5 Caracterización de los campos conservativos 5.1. Motivación y enunciado del teorema Recordemos el cálculo de la integral de línea de un gradiente, hecho en la lección anterior. Si f : Ω R es

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno

Más detalles

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar.

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar. NOTAS DE LASE ÁLULO III Unidad 4: INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEOREMAS FUNDAMENTALES Guía de Estudio Doris Hinestroza 1 Índice 1. INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEO- REMAS FUNDAMENTALES DEL

Más detalles

Introducción. El concepto de energía potencial también tiene una aplicación muy importante en el estudio de la electricidad.

Introducción. El concepto de energía potencial también tiene una aplicación muy importante en el estudio de la electricidad. Potencial Eléctrico Presentación basada en el material contenido en: R. Serway,; Physics for Scientists and Engineers, Saunders College Publishers, 3 rd edition. Introducción El concepto de energía potencial

Más detalles

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Ariel Fernández Daniel Marta Introducción. En este capítulo se introducirán los elementos necesarios para la descripción del movimiento de una

Más detalles

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución:

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución: Problemas resueltos 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización α(t) t ı + 4 3 t3/ j + 1 t k, t [, ]. α (t) (1, t 1/, 1 ), t [, ]. La curva α es de clase C 1 y, por tanto, es rectificable.

Más detalles

Teoremas de Stokes y Gauss

Teoremas de Stokes y Gauss Lección 9 Teoremas de Stokes y Gauss Presentamos a continuación los dos resultados principales del Cálculo Vectorial. Por una parte, el Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la

Más detalles

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1).

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1). INTEGRALES DE LÍNEA. 15. alcular las siguientes integrales: (a) (x + y) ds donde es el borde del triángulo con vértices (, ), (1, ), (, 1). (b) x + y ds donde es la circunferencia x + y ax (a > ). (a)

Más detalles

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5.

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5. 11 1.3. Factorización Como ya hemos mencionado, la teoría de ideales surgió en relación con ciertos problemas de factorización en anillos. A título meramente ilustrativo, nótese que por ejemplo hallar

Más detalles

Javier Junquera. Vectores

Javier Junquera. Vectores Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,

Más detalles

Integración en Variable Compleja

Integración en Variable Compleja Semana 4 - lase 36/3 Tema 2: Variable ompleja Integración en Variable ompleja. Integrales complejas omo siempre, luego de definir la derivada, construimos el concepto de integral a partir de la suma de

Más detalles

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =

Más detalles

1. ESCALARES Y VECTORES

1. ESCALARES Y VECTORES 1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6 INTEGRAL LAPSO 8-751 - 1/ 6 Universidad Nacional Abierta CÁLCULO III ( 751 ) Vicerrectorado Académico Integral Área de Matemática Fecha 1/1/8 Lapso 8 MOELO E RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 a. etermine el dominio

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie NOTAS DE CLASE CÁLCULO III Doris Hinestroza Diego L. Hoyos 1 Índice general 1. Funciones Vectoriales 5 1.1. El Espacio R n............................ 5 1.2. Funciones Vectoriales........................

Más detalles

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales Eduardo Liz Marzán Diciembre de 2013 Índice general 1 Preliminares 1 11 Introducción 1 12 La relación de orden en el conjunto de los números

Más detalles

Funciones vectoriales 831

Funciones vectoriales 831 12Funciones vectoriales Se construye una rueda giratoria usando los principios básicos de una rueda de bicicleta. Cuando se está cerca de la parte de la rueda giratoria en movimiento, las fuerzas de rotación

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

TEMA 3 Trabajo y Energía

TEMA 3 Trabajo y Energía ESCUEL DE INGENIERÍS INDUSTRILES. UNIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO 013-014 TEM 3 Trabajo y Energía 1.- Trabajo, energía cinética y potencia.- Energía potencial. Fuerzas conservativas y no conservativas

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo TEMA IV INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

= 4.38 10 0.956h = 11039 h = 11544 m

= 4.38 10 0.956h = 11039 h = 11544 m PAEG UCLM / Septiembre 2014 OPCIÓN A 1. Un satélite de masa 1.08 10 20 kg describe una órbita circular alrededor de un planeta gigante de masa 5.69 10 26 kg. El periodo orbital del satélite es de 32 horas

Más detalles

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Límites y continuidad 1. Límite de funciones de dos variables Hasta ahora hemos evitado entrar en la

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico Unidad 4: Vectores 4.1 Introducción En este capítulo daremos el concepto de vector, el cual es una herramienta fundamental tanto para la física como para la matemática. La historia de los vectores se remonta

Más detalles

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION RAFAEL POTRIE Resumen. La idea es dar una prueba elemental del Teorema de invariancia de la dimension que afirma que si U R n es un abierto homeomorfo

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

El concepto de integral con aplicaciones sencillas

El concepto de integral con aplicaciones sencillas El concepto de integral con aplicaciones sencillas Eliseo Martínez Marzo del 24 Abstract Este artículo trata de ejemplos sencillos del concepto de integral con aplicaciones a la Física, la Teoría de la

Más detalles

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL Página Principal del Profesor: Luis Gerardo Guerrero Ojeda Ir al Capítulo 1 Página Principal de Apuntes de Cursos Pág. Principal de los Apuntes de Teoría TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN

Más detalles

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta: Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.

Más detalles

Tema 3. Fundamentos de Máquinas

Tema 3. Fundamentos de Máquinas Tema 3. Fundamentos de Máquinas Javier Rodríguez Ruiz 1. Trabajo y energía Definición. Elegida una referencia, sea F = (F x, F y ) un vector fuerza constante aplicado sobre una partícula que se mueve desde

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ) La ecuación de un M.A.S. es x(t) cos 0t,, en la que x es la elongación en cm y t en s. Cuáles son la amplitud, la frecuencia y el período de este

Más detalles

RELACIÓN DE EXÁMENES DE GEOMETRÍA III

RELACIÓN DE EXÁMENES DE GEOMETRÍA III RELACIÓN DE EXÁMENES DE GEOMETRÍA III Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría III Licenciatura: Matemáticas

Más detalles

1 FUNCIONES DE R N EN R.

1 FUNCIONES DE R N EN R. 1 FUNCIONES DE R N EN R. 1. Idea de función. Si A R N, una función f : A R es una regla que asigna a cada punto x A un número f( x ) R. Ejemplos: Si x R 2 podemos considerar la función f( x )=(distancia

Más detalles

CALCULO AVANZADO. Campos escalares. Límite y continuidad UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA

CALCULO AVANZADO. Campos escalares. Límite y continuidad UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRÁCTICO 4 Campos escalares Límite continuidad Página de Cálculo Avanzado http://www.uca.edu.ar Ingeniería

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Tema 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Introducción Estudiaremos en este tema varios tipos de E.D.O. de primer orden que es posible resolver de forma exacta. 2.1 Ecuaciones en variables

Más detalles

Anexo a la guía 4 Geometría: ejemplos y comentarios

Anexo a la guía 4 Geometría: ejemplos y comentarios Anexo a la guía 4 Geometría: ejemplos y comentarios Sergio Dain 26 de mayo de 2014 En las guías 1 y 2 discutimos vectores, covectores y tensores de manera puramente algebraica, sin hacer referencia a la

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales.

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Cantidades vectoriales escalares Vectores Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Una cantidad escalar es la que está especificada completamente por

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA; FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS

TRABAJO Y ENERGÍA; FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS TRABAJO Y ENERGÍA; FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS 1. CONCEPTO DE TRABAJO: A) Trabajo de una fuerza constante Todos sabemos que cuesta trabajo tirar de un sofá pesado, levantar una pila de libros

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Introducción al Análisis Complejo

Introducción al Análisis Complejo Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13. Carlos Ivorra

MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13. Carlos Ivorra MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13 Carlos Ivorra Índice 1 Introducción a la optimización 1 2 Programación entera 18 3 Introducción a la programación lineal 24 4 El método símplex

Más detalles

03 ENERGÍA ALGUNOS COMENTARIOS Y CUESTIONES

03 ENERGÍA ALGUNOS COMENTARIOS Y CUESTIONES 03 ENERGÍA ALGUNOS COMENTARIOS Y CUESTIONES Feynman: Es importante darse cuenta que en la física actual no sabemos lo que la energía es 03.0 Le debe interesar al óptico la energía? 03.1 Fuerza por distancia.

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

Tema 5: Dinámica del punto II

Tema 5: Dinámica del punto II Tema 5: Dinámica del punto II FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico

Más detalles

Tarea 1 - Vectorial 201420

Tarea 1 - Vectorial 201420 Tarea - Vectorial 040. Part :. - 3... Hacer parametrización de la curva de intersección del cilindro x + y = 6 y el plano x + z = 5. Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva donde la curvatura

Más detalles

Análisis Vectorial Licenciatura de Matemáticas. JESÚS GARCIA i FALSET Departament d Anàlisi Matemàtica Universitat de València

Análisis Vectorial Licenciatura de Matemáticas. JESÚS GARCIA i FALSET Departament d Anàlisi Matemàtica Universitat de València Análisis Vectorial Licenciatura de Matemáticas JESÚS GARCIA i FALSET Departament d Anàlisi Matemàtica Universitat de València 22 de diciembre de 2011 2 Índice general 1. Integrales de Línea 5 1.1. Vectores..............................

Más detalles

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea Ampliación de Matemáticas Integrales de línea En Física la idea intuitiva de trabajo queda recogida en la fórmula Trabajo = Fuerza x Espacio Si f(x) es la fuerza aplicada, a lo largo del eje x, a un objeto

Más detalles

1. Definición y representaciones gráficas

1. Definición y representaciones gráficas Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas ANÁLISIS MATEMÁTICO II (CiBEx - Física Médica) 2014 Segundo Semestre GUÍA Nro. 3: FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES 1. Definición y representaciones

Más detalles

Resumen TEMA 3: Cinemática del movimiento plano

Resumen TEMA 3: Cinemática del movimiento plano TEM 3: Cinemática del movimiento plano Resumen TEM 3: Cinemática del movimiento plano 1. Condiciones del movimiento plano Definición: un sólido rígido se mueve con un movimiento plano si todos sus puntos

Más detalles

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman si los vectores son no nulos

Más detalles

MODELO DE CONTAMINACIÓN DEL AIRE

MODELO DE CONTAMINACIÓN DEL AIRE ENFOQUTE. : 62-73 Copyright 200 Universidad Tecnológica Equinoccial ISSN: 390-6542 MODELO DE CONTMINCIÓN DEL IRE Iván Naula RESUMEN El presente documento estudia un modelo matemático de contaminación del

Más detalles

un coche está parado en un semáforo implica v 0 =0.

un coche está parado en un semáforo implica v 0 =0. TEMA 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Movimiento con aceleración constante Al abordar un problema debes fijar el origen de coordenadas y la dirección positiva.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3 PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3 1. Una partícula de 3 kg se desplaza con una velocidad de cuando se encuentra en. Esta partícula se encuentra sometida a una fuerza que varia con la posición del modo indicado

Más detalles

Ortogonalidad y Series de Fourier

Ortogonalidad y Series de Fourier Capítulo 4 Ortogonalidad y Series de Fourier El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se

Más detalles

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas.

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Introducción a la geometría del plano y del espacio. Curvas. Ramón Bruzual Marisela Domínguez

Más detalles

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos.

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. ESTATICA: Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. TIPOS DE MAGNITUDES: MAGNITUD ESCALAR: Es una cantidad física que se especifica por un número y una unidad. Ejemplos: La temperatura

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

1 Función real de dos variables reales

1 Función real de dos variables reales Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 10: Funciones de dos variables. Curso 008-09 1 Función real de dos variables reales Hasta el momento

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

Tema 0. REPASO. Javier Rodríguez Ruiz. Curso 2013-2014

Tema 0. REPASO. Javier Rodríguez Ruiz. Curso 2013-2014 Tema 0. REPASO Javier Rodríguez Ruiz Curso 2013-2014 1. Afirmaciones científicas 1.1. Los tres tipos de afirmaciones En toda teoría científica utilizamos afirmaciones que siempre consideraremos ciertas.

Más detalles

CAPÍTULO II. 5 Requerimientos matemáticos adicionales

CAPÍTULO II. 5 Requerimientos matemáticos adicionales CAPÍTULO II 5 Requerimientos matemáticos adicionales En esta última sección del capítulo II se tratarán el resto de los conceptos matemáticos necesarios para abordar el estudio de la relatividad especial.

Más detalles

Separata de matemática III Resolución Decanal N 0 082-2010-D-FIME

Separata de matemática III Resolución Decanal N 0 082-2010-D-FIME UNIVERIDAD NAIONAL DEL ALLAO FAULTAD DE INGENIERÍA MEÁNIA - ENERGÍA Departamento Académico de Ingeniería Mecánica Asignatura Matemática III eparata de matemática III Resolución Decanal N 82-21-D-FIME Mag.

Más detalles

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO Unidad 10 CONTENIDOS.- 1.- Introducción..- Magnitudes escalares vectoriales. 3.- Sistemas de referencia. Concepto de movimiento. 4.- Operaciones con vectores. 5.- Traectoria, posición

Más detalles

CINEMATICA DE MAQUINAS

CINEMATICA DE MAQUINAS CINEMATICA DE MAQUINAS 4.1.- CAMPO DE VELOCIDADES EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.2.- ACELERACION DE UN PUNTO EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.3.- EJE INSTANTANEO

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

Fases Cuánticas Geométricas. Gutiérrez Mesías, Juan Moisés.

Fases Cuánticas Geométricas. Gutiérrez Mesías, Juan Moisés. Apéndice A Transporte paralelo En esta sección describiremos una forma de trasladar un vector a lo largo de una curva sobre una superficie. Este procedimiento revelará una forma de expresar la desviación

Más detalles

SELECTIVIDAD LOGSE: ÓPTICA GEOMÉTRICA PROBLEMAS RESUELTOS

SELECTIVIDAD LOGSE: ÓPTICA GEOMÉTRICA PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD LOGSE: ÓPTICA GEOMÉTRICA PROBLEMAS RESUELTOS JUNIO 96 C3. Explica por qué cuando se observa desde el aire un remo sumergido parcialmente en el agua parece estar doblado. Ayúdate de construcciones

Más detalles

APUNTES DE FÍSICA Y QUÍMICA

APUNTES DE FÍSICA Y QUÍMICA Departamento de Física y Química I.E.S. La Arboleda APUNTES DE FÍSICA Y QUÍMICA 1º de Bachillerato Volumen II. Física Unidad VII TRABAJO Y ENERGÍA Física y Química 1º de Bachillerato 1.- CONCEPTO DE ENERGÍA

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación

Más detalles