Resumen del Tema 3: Cálculo Vectorial

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1 Resumen del Tema 3: Cálculo Vectorial Víctor Domínguez Guillem Huguet Diciembre 2008 I too fell that I have been thinking too much of late, but in a different way, my head running on divergent series, the discontinuity of arbitrary constants,... I often thought that you would do me good by keeping me from being to engrossed by those things a 1. Introducción a Yo también siento que he estado pensando demasiado ultimamente, pero de una forma distinta, divagando sobre series divergentes, la discontinuidad de constantes arbitrarias... A menudo pienso que me harías bien manteniendome lejos de todas estas cosas. (George Gabriel tokes pidiendo en matrimonio a Mary usanna Robinson, 1857) Estas notas pretenden ser un simple resumen de los conceptos básicos dados en teoría, que como se puede comprobar, finalmente no son tantos. Deliberadamente, no hay ejemplos: para ello están los apuntes y el trabajo de clase. Existen asimismo múltiples notas a pie de página que, aún no siendo esenciales en la teoría, tratan de aclarar o ilustrar ciertos aspectos de ésta. En estas notas se proponen algunas cuestiones y ejercicios que animamos al menos a que os plantéis. Como siempre estamos abiertos a cualquier duda, aclaración o sugerencia que queráis hacer, siendo esto, de hecho, altamente recomendable. 2. Cálculo vectorial en R 2 Funciones Funciones escalares f : D R 2 R. Funciones vectoriales F : D R 2 R con P, Q funciones escalares 1. F(x, y) := P (x, y)i + Q(x, y)j 1 e sigue el convenio i = (1; 0), j = (0; 1) como vectores. 1

2 2 Objetos geométricos En lo que sigue es una curva simple, x : [a, b] una parametrización regular de ésta esto es x(t) es inyectiva 2 y su derivada x(t) : [a, b] t (x(t), y(t)), x (t) := x (t)i + y (t)j no se cancela. Recordemos que x (t) es un vector tangente a la curva, y que por tanto τ(t) := 1 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 [x (t)i + y (t)j] (1) es (uno de los dos) vectores tangentes unitarios a en x(t). Finalmente, x (t) := (x (t)) 2 + (y (t)) 2 se denomina norma de la parametrización 3. Integrales Integrales de funciones escalares sobre curvas Por definición la integral de f sobre es fdx := b a f(x(t), y(t)) x (t) dt. i f = 1, la expresión anterior devuelve la longitud de. Integrales de funciones vectoriales Para estas integrales las curvas se consideran orientadas (ver figura 1), y por tanto hay que fijar primero un sentido de recorrido para la curva. Es fácil ver que es equivalente a escoger un sentido para el vector tangente. Recordemos que x (t) define un vector tangente en el sentido en el que la parametrización x recorre la curva. La integral F sobre se define F τ = P (x, y)dx + Q(x, y)dy := b 2 x(t 1 ) = x(t 2 ) t 1 = t 2. 3 Básicamente mide a qué velocidad se recorre. a [ ] P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t) dt.

3 3 Nota i 1 y 2 son la misma curva pero recorrida en sentidos opuestos, se tiene que P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy 1 2 por lo que las integrales toman signos opuestos 4, a diferencia de lo que sucedía con las integrales de línea para funciones escalares 5 (función f). e tiene que P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (F τ) ds } {{ } Función escalar } {{ } Integral sobre de una función escalar donde τ(t) el vector tangente unitario definido en (1) y F τ el producto escalar de los vectores dados por F y τ. Esta integral también recibe el nombre de circulación de F a lo largo de. Físicamente se puede interpretar como el trabajo que hace F para mover una partícula a lo largo de. Volveremos a esta interpretación cuando repasemos la teoría del potencial. Figura 1: 1 y 2 son curvas distintas, de sentidos opuestos, si se considera cómo se recorren. i es una curva cerrada, se escribe P (x, y)dx + Q(x, y)dy, P (x, y)dx + Q(x, y)dy si se recorre en el sentido contrario a las agujas del reloj (sentido positivo) o en el sentido de las agujas del reloj (sentido negativo). Es importante observar que ahora el resultado 4 Desde un punto de vista práctico, esta propiedad implica que si se desea calcular la integral de F con recorrida en un determinado sentido, y se dispone de una parametrización x que te da la curva en el sentido opuesto, basta cambiar el signo a la integral que te da al utilizar x para recuperar el resultado correcto. 5 Nótese que la integral sobre de una función escalar no depende de la orientación que se considere sobre.

4 4 es independiente del punto inicial y final (que son el mismo) que se tome 6 y que por tanto podemos hablar simplemente de la circulación sobre. Teorema 2.1 (Teorema de Green o de tokes en R 2 ) ea una curva cerrada en R 2, y D su interior. Entonces si F(x, y) := P (x, y)i + Q(x, y)j satisface P, Q C 1 (D), P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (Q x (x, y) P y (x, y)) dxdy. D Nota. El resultando anterior iguala una integral sobre una curva cerrada con la integral doble sobre D. Resulta por tanto sorprendente que exista una relación así entre dos cantidades a priori tan diferentes. El término Q x (x, y) P y (x, y) es el rotacional de F que se escribe F. Flujos en R 2 i x(t) es una parametrización de, entonces el vector n(t) := 1 ( ) y (t)i x (t)j x (t) (2) es (uno de los dos) vectores de norma 1 perpendiculares a en x(t). Podemos definir (F n) ds } {{ } Función escalar } {{ } Integral sobre de una función escalar que se conoce como flujo de F a través de. El concepto de flujo es muy natural: un símil muy útil es interpretar F como un campo de velocidades de un fluido y en este caso el flujo de F a través de mide la cantidad de fluido que atraviesa. Nota Por definición, y utilizando el vector normal proporcionado a través de (2), (F n)ds = = = b a b a ( ) P (x(t), y(t))i + Q(x(t), y(t))j P (x(t), y(t))y (t) Q(x(t), y(t))x (t) dt 1 ( ) y (t)i x (t)j x (t) dt x (t) Q(x, y)dx + P (x, y)dy. (3) Nótese que hay dos flujos, dependiendo hacia donde se considera orientado n. Las dos elecciones posibles del vector normal nos están informando que existe también dos sentidos para el flujo: de un lado o de otro. 6 e puede ver esto por razonamientos muy geométricos. Aquí tienes un buen ejercicio.

5 5 i n 1 y n 2 son vectores normales unitarios, pero de sentidos opuestos (F n 1 ) = (F n 2 ) con lo que de nuevo las dos orientaciones, no podría ser de otro modo, se relacionan a través de un simple cambio de signo 7. En el caso de una curva cerrada, se habla de flujo saliente si el vector normal se considera orientada hacia el exterior, y flujo entrante en el segundo. Un flujo entrante negativo quiere decir, obviamente, que el flujo en realidad es saliente. i es cerrada y orientada en el sentido positivo (contrario a las agujas del reloj) la expresión (3) devuelve el flujo saliente. Teorema 2.2 (Teorema de la divergencia en R 2 ) ea curva cerrada, D interior de, F(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j con P, Q C 1 (D). Entonces, si n es el vector normal orientado hacia el exterior de, (F n) = (P x (x, y) + Q y (x, y)) dx dy. D El término P x (x, y) + Q y (x, y) es la divergencia de F que se escribe F. El teorema anterior dice por tanto que el flujo saliente de D a través de es igual a la integral doble sobre D de la divergencia de F. La demostración es una simple consecuencia del Teorema de tokes y de la relación (3). Por último, resaltaremos que si x es una parametrización de recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj (sentido positivo) el vector normal dado por (2) apunta hacia el exterior de, y por tanto en el sentido correcto desde el punto de vista de la aplicabilidad del teorema de tokes. Nota. upongamos que F describe la velocidad de desplazamiento de un fluido. i el fluido es incomprensible, y no existen ni fuentes ni sumideros es fácil comprender que sobre cada curva cerrada el flujo total es cero 8. Matemáticamente, esta relación se refleja en que F = 0. Puntos donde la divergencia no es nula están describiendo sitios donde se crea flujo (una fuente) o bien absorbe el fluido (un sumidero). Nota En todo lo anterior estamos suponiendo que las curvas cerradas tienen un único trazo, lo que en Matemáticas se denomina curvas conexas. Cuándo la curva no es simplemente conexa, es decir, cuando el interior de tiene agujeros, podemos aplicar las mismas ideas que las desarrolladas hasta ahora sin más que partir la curva en curvas sencillas como en la figura 2. 7 La relación anterior indica nuevamente que en caso de escoger una parametrización cuyo vector normal proporcionado a través de (2) es el opuesto al flujo que se desea calcular, basta realizar todos los cálculos y cambiar el signo a la integral para obtener el resultado deseado 8 Lo que entra por un lado, sale por el otro.

6 6 Figura 2: Forma de proceder con un dominio más complicado Nótese que las curvas introducidas para partir el dominio no generan circulación (ni flujo si se orienta el vector normal de forma opuesta) puesto que se recorren dos veces una en cada sentido Cálculo vectorial en R 3 Funciones Funciones escalares f : V R 3 R. Funciones vectoriales F : V R 3 R con F(x, y) := P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k, con P, Q, R funciones escalares 10. Objetos geométricos Curvas ea curva, x : [a, b] una parametrización: x(t) := (x(t), y(t), z(t)), t [a, b]. El vector x (t) := x (t)i + y (t)j + z (t)j 9 Como se escribe entonces el Teorema de Green y el de la Divergencia?. Cómo hay que orientar el recorrido/vector normal de las curvas interiores?. 10 Ahora se tiene el convenio i = (0; 0; 1), j = (0; 1; 0) y k = (0; 0; 1) como vectores.

7 7 es tangente a la curva, y τ(t) := 1 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 [x (t)i + y (t)j + z (t)k] (4) es (uno de los dos) vector tangente unitarios a en x(t). De nuevo, es la norma de la parametrización. uperficies ea una superficie y Φ tal que x (t) := (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 Φ : D R 2 R 3 (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) describe con las hipótesis habituales: inyectiva salvo quizás en la frontera de D. A Φ se le denomina parametrización de. Asociados a Φ se pueden considerar dos vectores Φ u (u, v) = x u (u, v)i + y u (u, v)j + z u (u, v)k, Φ v (u, v) = x v (u, v)i + y v (u, v)j + z v (u, v)k. Es fácil comprobar que ambos son vectores tangentes a por lo que el producto vectorial Φ u Φ v nos proporciona un vector perpendicular a la superficie. Asumimos que Φ tiene derivadas parciales continuas y Φ u Φ v es siempre distinto de cero 11 Integrales Integrales de funciones escalares sobre curvas b f ds := f(x(t), y(t), z(t)) x (t) dt a Integrales de una función vectorial sobre una curva De nuevo la curva se toma orientada. i x (t) da un vector tangente en el sentido correcto, se define F τ ds = P (x, y)dx + Q(x, y)dy + R(x, y)dz = b a [ ] P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t) dt Integrales de funciones escalares sobre superficies i es una parametrización dada por Φ : D, se define f d := f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Φ u (u, v) Φ v (u, v) du dv 11 Las condiciones anteriores se pueden relajar. D

8 8 Figura 3: La famosa imagen de Escher ilustra muy originalmente el hecho de que la banda de Möebius tiene una única cara (observa el recorrido de las hormigas) Flujos de F a través de Dos superficies se pueden orientar si se puede definir un sentido para el vector normal. En este caso se dice que una superficie es orientable o simplemente que tiene dos caras si a cada punto se le pueden asociar dos vectores normales n 1 y n 2 con n 1 = n 2 de forma que al recorrer la superficie se mantiene esta doble elección a lo largo de todo los puntos. Uno puede concluir que esto es trivial pues a primera vista es difícil imaginar superficies que en el espacio no tengan dos caras. in embargo la intuición es traicionera: existen superficies, bien sencillas, que sólo tienen una cara. El ejemplo que se suele dar en estos casos es la banda Möebius, obtenida al cortar una tira de papel y unir los extremos después de haberlos girado. Atendiendo a la definición dada se comprueba que esta superficie sólo tiene una cara (véase Figura 3). Así dada con una orientación del vector normal n escogida, se define el flujo de F a través de a la integral (F n) d Es fácil comprobar que dicha integral se reduce a (F n) d = F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (Φ u (u, v) Φ v (u, v)) dudv = D ( = P (x(u, v), y(u, v), z(u, v))i + Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v))j D ) +R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))k (Φ u (u, v) Φ v (u, v)) dudv = P (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) Q(x(u; v); y(u; v); z(u; v)) R(x(u; v); y(u; v); z(u; v)) = x u (u; v) y u (u; v) z u (u; v) D x v (u; v) y v (u; v) z v (u; v) dudv donde la parametrización Φ escogida de cumple que Φ u (u, v) Φ v (u, v)

9 9 apunta en el mismo sentido que el vector n escogido. La integral no depende de la parametrización escogida 12. i en los vectores normales n 1 y n 2 tienen sentidos opuestos, entonces (F n 1 ) = (F n 2 ) relación a estas alturas nadas sorprendente. En el caso de superficies cerradas se habla de flujo saliente si el vector n, o equivalentemente, si Φ u (u, v) Φ v (u, v) apunta hacia el exterior de y flujo entrante en caso contrario, es decir, si el vector anterior apunta hacia el interior de. Orientación del borde inducida por la orientación de una superficie ea una curva abierta, el borde de. Consideremos fijada una orientación para, esto es, un sentido para el vector normal de. Entonces la orientación de, que es una curva cerrada, inducida por es aquélla dada por la regla del sacacorchos (o de la mano derecha). Esto es, que el giro del sacacorchos dado por el sentido de apunte en la misma dirección que el vector perpendicular de (véase la figura 2). Figura 4: Orientación de y la inducida sobre el borde. Teorema 3.1 (Teorema de tokes) ea una superficie abierta orientada, su borde con la orientación inducida por. Entonces si F(x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k con P, Q, R C 1 () P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ( F) n. 12 e puede definir el flujo de un campo vectorial a través de la banda de Möebius?.

10 10 Nótese que hay tomar la orientación de (el sentido de n) y la orientación de compatibles. En caso de que sean incompatibles, la igualdad es cierta cambiando de signo uno de los términos. El término F es el rotacional de F dado por F := i j k x y z P Q R = (R y Q z )i (R x P z )j + (Q x P y )k. (5) De nuevo tenemos una relación entre dos integrales muy distintas, una circulación y un flujo, vía el rotacional del campo vectorial. El último teorema importante del cálculo vectorial en R 3 relaciona el flujo saliente de un campo a través de una superficie cerrada con una integral triple. Teorema 3.2 (Teorema de la divergencia) ea una superficie cerrada con V el interior de, n el vector normal exterior de y F(x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k campo vectorial con P, Q, R C 1 (V ). Entonces (F n)d = ( F) dx dy dz. El término F es la divergencia de F que es por definición F = P x + Q y + R z. El teorema se lee de la siguiente forma: el flujo saliente de F a través de es igual a la integral sobre el interior de de la divergencia de F. Nota. Habitualmente uno recurre al Teorema de tokes para hallar circulaciones y al Teorema de la Divergencia para calcular flujos, dado que calcular el rotacional en el primer caso y la divergencia en el segundo son cálculos directos. Utilizar en forma inversa es mucho más complicado. Por ejemplo, si deseamos calcular el flujo de F a través de una superficie abierta con el Teorema de tokes, deberíamos buscar un campo G tal que G = F para así reducir el problema a hallar la circulación de G a lo largo del borde. Es fácil autoconvencerse de la dificultad que conlleva invertir un rotacional 13. Algo similar sucede si se intenta aplicar el Teorema de la Divergencia para calcular integrales de volumen. 4. Teoría del potencial Caso R 2 ea F(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j tal que F : D R 2, con P, Q C 1 (D) (continua con derivadas primeras continuas). D R 2 es simplemente conexo (es decir, D es un conjunto sin agujeros ). V

11 11 Figura 5: Dos curvas con iguales extremos Entonces, es fácil ver que con estas hipótesis se tiene Teorema 4.1 ea D un dominio simplemente conexo, F = P i+q j con P, Q C 1 (D). Entonces son equivalentes i) Para toda curva D cerrada P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. ii) Para cualquier par de curvas 1, 2 D de iguales extremos (véase Figura 5) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy 1 2 iii) F = 0, es decir, Q x P y = Dem. e utiliza el Teorema de tokes en R 2 para probar la equivalencia entre i) y iii). Para ver que i) y ii) son equivalente se aplican simples razonamientos geométricos. Un campo F donde la integral sobre cualquier curva cerrada es cero se le denomina campo conservativo. En este sentido, el punto ii) del teorema dice simplemente que el trabajo que hace F para mover un objeto depende únicamente de su posición inicial y final y no de la trayectoria seguida. Teorema 4.2 Dada F : D R 2, con F = P i + Qj, P, Q C 1 (D) y D simplemente conexo, entonces son equivalentes i) F = 0. ii) Existe f tal que f = F, es decir f x (x, y) = P (x, y), f y (x, y) = Q(x, y). El teorema anterior dice que un campo C 1, continuo con derivadas parciales continuas, definido sobre un conjunto simplemente conexo es conservativo si y sólo si es generado a través del gradiente de una función f. La función f recibe el nombre de función potencial 13 Y no siempre es posible. Por ejemplo no existe G tal que G = xi + yj + zk ( Por qué?). 14 véase la definición de F para un campo vectorial en R 2

12 12 Nota. Para la existencia de una función potencial basta ver que la integral de F = P i + Qj sobre cualquier curva cerrada es cero. Basta fijar x 0 R 2 y definir f(x) := P dx + Qdy x donde x es cualquier curva 15 que conecta x 0 a x. De allí se sigue que necesariamente F = 0 (bajo ciertas suposiciones de regularidad). El recíproco no es cierto en general. Es decir, en un dominio con agujeros, F = 0 y puede no ser conservativo. La función potencial f proporciona toda la información necesaria para calcular las integrales de F sobre cualquier curva. Ello se consigue mediante el siguiente resultado Teorema 4.3 ea F(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j, con P, Q C 1 (D). upongamos que F es conservativo, y sea f tal que f = F. Entonces, para cualquier curva de extremos inicial x 0 y final x 1 se tiene P (x, y)dx + Q(x, y)dy = f(x 1 ) f(x 0 ) El resultado anterior recuerda al teorema de Barrow para el cálculo de primitivas 16 y permite realiza de forma sencilla, si antes hemos calculado f, integrales sobre curvas de F. Caso R 3 Los resultados anteriores siguen siendo válidos, con mínimas modificaciones, en el caso de funciones vectoriales en R 3. En este caso, tenemos F(x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k, con P, Q, R C 1 (D). La definición de un conjunto simplemente conexo en R 3 es algo más complicada, por lo que no nos concentraremos en este, aunque importante, detalle. Así se puede enunciar el siguiente resultado 15 por qué vale cualquier curva? 16 i se toma como función potencial g := f, siguiendo la convención habitual en física, obtenemos la identidad P (x; y)dx + Q(x; y)dy = g(x 0 ) g(x 1 ): La igualdad anterior se interpreta en el sentido de que el trabajo de un campo de fuerzas revierte en una pérdida de energía potencial de la partícula. En el caso de que el trabajo sea negativo, es decir, si el trabajo lo hacemos nosotros en contra del campo de fuerzas, el objeto gana en energía potencial. Un símil válido, sería elevar una partícula de altura. El trabajo del campo gravitatorio es negativo, puesto que nosotros hemos hecho el trabajo efectivo, y en consecuencia el objeto gana en energía potencial (está mas alto). Una constante en el mundo físico es que los objetos tienden a colocarse siempre en posiciones de mínima energía potencial. En el ejemplo anterior, la partícula tiende a caer.

13 13 Teorema 4.4 ea F(x, y, z) = P (x, y, z)i+q(x, y, z)j+r(x, y, z)k, con P, Q, R continuas con derivadas parciales continuas en todo R 3 salvo en un conjunto finito de puntos 17. Entonces son equivalentes i) f es conservativo. ii) F = 0. iii) Existe f tal que F = f. Además P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = f(x 1 ) f(x 0 ). donde x 1 y x 2 son los puntos inicial y final de la curva. En esta ocasión se debe utilizar la definición de rotacional de una función vectorial en R 3 (véase (5)). 17 e permiten por tanto singularidades en una serie finita de puntos