Klausur zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Mittwoch, , 9:00 12:00 Uhr

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1 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Klausur zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012 Mittwoch, , 9:00 12:00 Uhr Bienvenido al Examen Final del curso de Analisis Complejo El examen comienza a las 9:00 horas (st) y termina a las 12:00 horas (st). Por favor introduzca sus datos personales en esta hoja y fírmela. No se permite ningún tipo de instrumento de ayuda (calculadoras, etc.). Por favor coloque su credencial de estudiante sobre la mesa para ser controlado. Escriba sus soluciones en el espacio destinado a cada ejercicio. En caso de que este espacio no le sea suficiente, utilice el reverso de las hojas, dejando claro el número de ejercicio que se está trabajando. Entegue con su examen todas las hojas adicionales que haya utilizado, marcadas con su nombre. Por favor no escriba con lápiz o tinta roja. Mucha suerte! Nachname: Geburtsdatum: Semesterzahl: Unterschrift: Vorname: Matrikelnummer: Fachrichtung: Aufgabe Zus. Summe Punkte

2 Aufgabe 1 ( =10 Punkte). A continuación se preguntarán algunos conceptos básicos del curso. (a) Sea Ω C abierto. Cuándo decimos que la función f : Ω C es holomorfa? (b) En qué clases se dividen las singularidades aisladas y cómo se distingue cada clase? (c) Una funcion holomorfa f tiene una singularidad aislada en el punto a. Cómo se define el residuo Res(f; a)?

3 (d) Sean γ 1 y γ 2 dos curvas cerradas en un conjunto abierto Ω C. Qué entendemos por una homotopía entre γ 1 y γ 2? (e) En el contexto de análisis complejo, cómo se define el concepto de familia normal ( normale Familie )?

4 Aufgabe 2 ( =10 Punkte). Formule los siguientes teoremas del curso. Incluya todas las hipotesis, así como el enunciado completo del teorema. (a) Formule el Teorema de Liouville. (b) Sea G C un dominio acotado y sea f : G C una función contínua con restricción holomorfa f G. Qué indica el Principio del Modulo Máximo en esta situación?

5 (c) Qué enuncia el Teorema de Rouché? (d) Formule el Teorema de la singularidad removible de Riemann ( Riemannschen Hebbarkeitssatz ). (e) Qué dice la Formula Integral de Cauchy en su versión para conjuntos abiertos y convexos?

6 Aufgabe 3 ( =10 Punkte). A continuación, decida si cada enunciado es verdadero o falso ( No incluya la demostración!). Por cada respuesta acertada recibirá 2 puntos. Por cada respuesta incorrecta se le restaran 2 puntos. Las respuestas en blanco valdrán 0 puntos. En caso de que la suma final de sus puntos sea negativa, el ejercicio completo valdrá cero puntos. Lea los enunciados con atención! (a) La función f : C\{0} C, z z es holomorfa. (b) No existe ninguna función holomorfa f : C C tal que zf(z) 1 y f(0) = 1. (c) Existe una función holomorfa en D := {z C z 1 < 1} que tiene ceros simples exactamente en los puntos {1 1 2n n N}. (d) Si f : C C es una función holomorfa tal que f también es holomorfa, entonces f es constante. (e) Si γ es una curva cerrada en un abierto Ω C, entonces Ind γ (a) = 0 para todo a C\Ω.

7 Aufgabe 4 (5+5=10 Punkte). En los siguientes ejercicios, justifique cada paso de su argumentación. (a) Considere la función f : C C, z z 2 z z3. Calcule las derivadas de Pompeiu-Wirtinger f y encuentre todos los puntos en z donde f es complejo diferenciable. Existe algun conjunto abierto D C, tal que f D es holomorfa? Justifique su respuesta. z, f

8 (b) Considere la función u : C R, x + iy x 3 3xy 2 2x 2 + 2y Encuentre una función holomorfa f tal que Re(f) = u.

9 Aufgabe 5 (5+5=10 Punkte). En los siguientes ejercicios, justifique cada paso de su argumentación. (a) Calcule el desarrollo en serie de Laurent de la función en f(z) := 1 z 2 (z 1) R 1 := {z C 0 < z < 1} y R 2 := {z C z > 1}.

10 (b) Clasifique las singularidades aisladas de las funciones g(z) := exp(z2 ) 1 ( 1 ) y h(z) := exp. z 2 (z 2) 3 Calcule también Res(g; 0) y Res(h; 2).

11 Aufgabe 6 (5+5=10 Punkte). En los siguientes ejercicios, justifique cada paso de su argumentación. (a) Muestre que se cumple que 2 i D 1 (0) y utilice este resultado para calcular 1 2π z 2 + 4z + 1 dz = 0 2π cos(x) dx cos(x) dx,

12 (b) Calcule el valor de la integral 1 (1 + x 2 ) 2 dx.

13 Aufgabe 7 (5+5=10 Punkte). En los siguientes ejercicios, justifique cada paso de su argumentación. Fijemos D := {z C z < 1}. Sea f : D C una función contínua, tal que f D es holomorfa y f(z) = 1 para todo z D. Demuestre los siguientes enunciados: (a) La función f, o tiene algun cero, o bien, es constante. (b) f tiene una cantidad finita de ceros.

14 Aufgabe 8 (5+5=10 Punkte). En los siguientes ejercicios, justifique cada paso de su argumentación. (a) Construya una función entera f que tenga ceros simples exactamente en los puntos { 4 n n N}.

15 (b) Fijemos D := {z C z < 1}. Denotemos por F al conjunto de todas las funciones f O(D), cuyos coeficientes en su desarrollo en serie de potencias f(z) = a n z n, n=0 z D satisfacen a n 1 para toda n N 0. Muestre que F es una familia normal.

16 Zusatzaufgabe (5+5=10 Punkte). En los siguientes ejercicios, justifique cada paso de su argumentación Sea G C un dominio simplemente conexo y sea A G un subconjunto sin puntos de acumulación en G. Considere f O(G\A). Demuestre: (a) Si f admite una antiderivada (en el sentido complejo) en G\A, entonces Res(f; a) = 0 para todo a A.

17 (b) El converso de (a) tambien se cumple. Es decir, si se cumple que Res(f; a) = 0 para todo a A, entonces f admite una antiderivada en G\A. Sugerencia: Puede usar (sin demostrarlo) que G\A es conexo por trayectorias, es decir, que para cualesquiera puntos z 1, z 2 G\A, existe una curva suave γ : [0, 1] G\A tal que γ(0) = z 1 y γ(1) = z 2.

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