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1 Problemas de h i p e r c o n v e r g e n c i a por Sixto Ríos PRESENTADO POR EL SR. REY PASTOR EN LA SESIÓN DEL 12 DE FEBRERO DE INTRODUCCIÓN 1. Supongamos que f(t,z) define una función analítica de z en un dominio D para cada valor del parámetro t, comprendido en el intervalo o ^ t < oo, y que se verifica lim f (t, z) = F (z) uniformemente en un dominio DÌ (contenido t > x en D). Si t, en vez de los valores del intervalo o ^ t < oo, toma sólo los de un conjunto parcial ordenado * t* \ (p. e. : una sucesión de intervalos, un conjunto denso de puntos, una sucesión de puntos, etc.), puede existir lim / (t*, z) = F (z) f > OC. uniformemente en un dominio" D 2 que se extiende más allá de D^ Si así ocurre, se dice que la nueva familia de funciones es hiperconvergente respecto de la primera. Como se ve, la determinación de una familia hiperconvergente respecto de otra, constituye, cuando es posible, el método más sencillo de prolongación analítica. Comenzaremos por exponer brevemente y en forma sistemática (*) los resultados de esta teoría más estrechamente relacionados con el problema objeto de esta Memoria. 2. SERIES DE TAYLOR. El fenómeno de la hiperconvergencia fue puesto de manifiesto, por primera vez, en las series de potencias, mediante unos sencillos ejemplos, por Porter (21); pero en estos primeros ejemplos no aparece claramente la verdadera esencia del fenómeno, cuyo descubrimiento se debe a Ostrowski. C) Una exposición completa de carácter bibliográfico puede verse en nuestra Memoria (23, d).

2 28 El ejemplo de Porter-Ostrowski es el siguiente: sea la serie de potencias que se obtiene desarrollando los polinomios de la serie : «^-,[3 (i-')] 4 " / ^íl, "^"^ donde p n es el mayor coeficiente del desarrollo binómico del paréntesis. En cada polinomio P n (» los coeficientes de las potencias son menores o iguales a i y hay en cada polinomio un término, al menos, que tiene coeficiente igual a i. La serie de potencias tiene, pues, como círculo de convergencia el de centro el origen y radio uno. Luego también converge en él la serie de polinomios [i] ; pero.si en ésta cambiamos z por 1-2, no se altera, luego converge uniformemente en todo dominio interior al círculo. Tenemos, pues, una serie de potencias en que por la sola agrupación de sus términos se obtiene una serie de polinomios con un campo de convergencia uniforme mayor. En este ejemplo se advierte la existencia de lagunas entre el término final de un polinomio y el inicial del siguiente, y en esto radica lo esencial del fenómeno, como ha demostrado Ostrowski. Pero antes de llegar a los resultados definitivos de Ostrowski en esta teoría, hemos de señalar los notables resultados de Jentzsch, en cuyas Memorias se hallan en germen algunas de las ideas desarrolladas por Ostrowski. Jentzsch comprendió que el descubrimiento de la esencia del fenómeno de la hiperconvergencia radicaba en el estudio de las sucesiones parciales que se obtienen a partir de una serie de potencias, y obtuvo el primer notable resultado en este orden de ideas, demostrando que en una serie de potencias de radio finito (no nulo), cada punto de la circunferencia es punto límite de ceros de las sumas parciales n 2 Demostró también que el teorema puede caer en defecto para ciertas sumas parciales, con lo que quedaba abierta la posibilidad de la hiperconvergencia que él puso de manifiesto en unos ejemplos distintos de los de Porter, que no conocía (13). El teorema de Jentzsch ha sido generalizado por Szego (26) a las sucesiones parciales S a (s) tales que lim '* + I == i y posteriormente Ostrowski (18, c) ha obtenido resultados más completos como corolarios del siguiente teorema fundamental :

3 Todo punto frontera del dominio completo de convergencia uniforme de una sucesión 8^(2) de sumas parciales, de una serie de potencias de radio i, es. punto singular de / (z) o es tal que, en todo entorno suyo, infinitas sumas S n (X> poseen un número arbitrariamente grande de ceros. El problema de la caracterización de las series de Taylor que poseen sucesiones hiperconvergentes ha sido resuelto por Ostrowski mediante los dos teoremas siguientes: Teorema directo. Supongamos que la serie de potencias CO 2-x H= t de radio de convergencia i, tiene una infinidad de lagunas (conjuntos de términos de coeficientes nulos) de longitud relativa inferiormente acotada. Entonces, la sucesión que se obtiene, limitando la serie al comiendo de cada laguna, conver» ge uniformemente en un entorno de todo punto regular de la circunferencia de -convergencia de la serie ( 2 ). Teorema recíproco. Si una sucesión Sn^fV) de la serie de potencias =i=y^* /(=) de radio de convergencia i, es uniformemente convergente en el entorno de un punto de la circunferencia unidad, es f ( ) = g (=) + *(*) donde g(s~) es una serie de radio i con lagunas que verifican la propiedad del teorema directo, y h(z) es una serie de radio mayor que uno ( 3 ). Ostrowski ha demostrado también que si en una serie lagunar, la longitud relativa de las lagunas tiende a infinito se puede asegurar que la sucesión de sumas parciales limitadas al comienzo de las lagunas converge uniformemen- O Otras demostraciones de este bello teorema han sido dadas por diversos autores (Szego (26), Zygmund (31), Lösch (15), Esterman (7); pero éstas, aunque más breves, no presentan la fecundidad de la primitiva. El método utilizado por Ostrowski es sumamente fecundo en resultados. El propio Ostrowski lo ha utilizado en la demostración de otros teoremas, por ejemplo, un teorema de Fatou (18, a) ; Takenaka (27) ha logrado demostrar mediante él un teorema análogo al anterior para ciertos tipos de series que generalizan las series de potencias; y en esta Memoria es utilizada con fruto «n alguna demostración. ( 3 ) Este teorema ha sido obtenido por Bourion como consecuencia de un resultado algo más general (5, d).

4 3 te hacia f (s) en un entomo de todo punto regular de /O). Además, el dominio de existencia de la función es en este caso simplemente conexo y la función uniforme. Bourion (5, a, b, c, d) ha logrado probar que existe una cierta continuidad en la estructura lagunar con relación al punto alrededor del cual se hace el desarrollo en serie de Taylor : Supongamos que f(z) = ~%a n (z z 0 ) n pueda escribirse como suma de dos series: S * (*-* )" +S * («-* )" donde la primera tiende lagunas de tipo Hadamard y radio R y la segunda mam, yor radio. Si b n = o para m k < n < m' k, =- > i + o la serie? %a (z z 0 )" se m k dirá de tipo A. Si -* -* co de tipo B. m k Si además R = oo de tipo C. Si / (z) es de tipo A, B, C, lo es en un entorno del origen y, en el caso G, en todo el campo de existencia. Las demostraciones no han sido aún publicadas. 3. SERIES DE DIRICHLET. El estudio de las series de Dirichlet, desde el punto de vista de la teoría de funciones (sin preocuparse de las aplicaciones a la teoría analítica de los números), es muy reciente. Se comenzó por estudiar cuestiones análogas a las que se plantean en la teoría de las series de Taylor; pero aquí las dificultades son muy superiores a las que se presentan al estudiar las series de potencias. El mayor impulso a esta teoría se debe a W. Pernstein, quien ha estudiado el fenómeno de la hiperconvergencia estrecha en estas series, fenómeno que había sido descubierto anteriormente en un ejemplo 1 por Bohr. Los resultados de W. Bernstein se refieren a una clase particular de series de Dirichlet, aquellas cuya sucesión de exponentes 1 ' 2 i " ' *^n, ' ' tiene densidad máxima finita (^ D), es decir, tales que dicha sucesión puede considerarse como parcial de otra : h. 4,.'f,.-- que verifica la condición lim - ~ = D. Esta segunda se dice medible y de denp > CO sidad D ( 4 ). Mediante esta noción y la de abscisa de holomorfía (número H tal ( 4 ) Estas nociones que se han mostrado, muy fecundas, han sido introducidas por Polya (20, a) y estudiadas, posteriormente, por W. Bernstein (2, d) ; el cual ha introducido además el llamado índice de condensación, que da idea de la proximidad de los \ R y cuya utilidad en esta teoría ha sido bien probada.

5 - Si que función f (s) sea holomorfa en el semiplano R( ) > H y contenga puntossingulares en todo semiplano R(j) > H e), los resultados obtenidos por Bernstein (2) pueden resumirse en la siguiente forma: a) Si para una serie de Dirichlet, cuya sucesión de exponentes tiene una densidad máxima finita, las rectas de convergencias y holomorfía no se confunden, la banda vertical, comprendida entre ellas, es una zona de hiperconvergencia de la serie, esto es, existe una cierta sucesión de sumas parciales de la serie que converge uniformemente en dicha banda. b) Toda serie, cuya sucesión de exponentes posea una densidad máxima finita, puede considerarse construida por un procedimiento que generaliza el utilizado por Bohr en su ejemplo, esto es, la serie está formada por grupos de términos cuyos coeficientes tienen una suma que difiere muy poco de cero. c) El teorema directo de Ostrowski ( 2) vale para el tipo de series que consideramos, sustituyendo la recta de convergencia por la de holomorfía ( 5 )_ Para las series en que la densidad de la sucesión )X n es infinita, los resultados son escasos. Bernstein (2, c) ha demostrado : que fijada la sucesión ] A \ es posible elegir los coeficientes a de modo que la función f(s) sea entera, y que dada una serie f(s) = -Sa H c-l» s una modificación suficientemente pequeña de los exponentes X n no altera las singularidades de f(s). Bourion (5, d) ha probado que la hiperconvergencia en estas series no es una propiedad local, esto es, que si la serie posee una sucesión parcial hiperconvergente en el entorno de un punto regular de la recta de convergencia, dicha sucesión tiene la misma propiedad en todo otro punto regular de esta recta. Si además es : lim r~^ = I (hiperconvergencia estrecha) f(s) es regular en k -* 00 "* todo punto de la recta de convergencia. Bourion (5, d) ha extendido las investigaciones sobre hiperconvergencia a las series del tipo : 1" a,, u y (x) donde las u v (x) son funciones univalentes y regulares en un cierto dominio situado sobre una superficie de Riemann. Además, son tales que n log u (x) -> tí (x) ( ) El método de Bernstein es una generalización fundamental del utilizado por autores anteriores (Lindelöf, Carlson, etc.) para la prolongación analítica de las series de Taylor. Se funda en la interpolación de los coeficientes de la serie (o, mejor, en el caso de las series de Dirichlet, e números proporcionales a ellos) mediante funciones analíticas, tìadas por integrales, cuyas propiedades conocidas permiten obtener resultados generales para las series.

6 y- - uniformemente en cada región contenida en D donde la función armónica w(x) es regular. Dicha región de convergencia viene determinada por u(x) + la < o, i siendo «= lim a n \ ". En este orden de ideas debemos citar, finalmente, el siguiente teorema de Bohr (4, a), que se refiere a una clase muy amplia de series Dirichlet: Si los exponentes A TC de la serie son tales que : f(s) = 2íZ K e~^«s hm log «.. r 5 = L<,-\- <x> v los coeficientes verifican la condición ta ^v^ A.M W > OO = O y la suma f (s) de la série es holomorfa y de orden finito k en un cierto semipla- :no R(j) > a, todo el semiplano R(» > "^,*^ es seguramente dominio de hiperconvergencia de la série. 4. FINALIDAD DE ESTA MEMORIA. A propuesta de mi querido maestro don Julio Rey Pastor, estudio en esta Memoria el fenómeno de la hiperconvergen- cia en las integrales de Laplace-Stieltjes. El problema fundamental en esta teoría es el de la caracterización de las intégrales en las que es posible el fenómeno de la hiperconvergencia. Ahora bien, parece ser que la solución de este problema se halla aún bastante lejana, en el estado actual de la teoría de funciones ( 6 ). Pero si limitamos, previamente, la clase de funciones generatrices consideradas, pueden obtenerse soluciones parciales del problema y esto es, en definitiva, lo que se hace en el capítulo II de este trabajo ( 7 ). El capítulo I contiene varias condiciones suficientes para que en una integral de Laplace-Stieltjes se presente el fenómeno de la hiperconvergencia ( 8 ). Estos teoremas plantean problemas recíprocos del máximo interés y de una gran dificultad ( 9 ), algunos de los cuales estudiamos en los dos capítulos siguientes. ( ) Esta es,1a opinión del Prof. W. Bernstein. ( ) En realidad, como se dice más adelante, nosotros, en este capítulo, nos proponemos resolver otro problema; pero los resultados pueden también interpretarse en este sentido. ( 8 ) Como caso particular de estos teoremas se obtienen algunos resultados conocidos de Ostrowski (y otros nuevos) para las series de potencias y las series de Dirichlet. (') Algunos de estos problemas han sido resueltos por Ostrowski en las series de Taylor; pero al pasar a las series de Dirichlet el campo está totalmente inexplorado y sólo puede citarse en este orden de ideas un teorema reciente de Aronszajn (i), completado por Bernstein. Refiriéndose a problemas de este tipo, dice W. Bernstein en su libro (i, h), pág. 168: "Nous ne sommes pas en mesure de résoudre actuellement ces problèmes de façon complète."

7 33 Así, probado que además de la hiperconvergencia lagunar, puedan presentarse en las integrales de Laplace-Stieltjes tipos de hiperconvergencia no lagunar, ocurre preguntarse si se podrán delimitar clases de integrales en las que sólo sea posible la hiperconvergencia lagunar ( 10 ). Dar una solución de este problema es, precisamente, el objeto del capítulo II. En el capítulo III se resuelve el problema de ver hasta qué punto es posible dar arbitrariamente un dominio en el plano s, de tal modo que exista una integral de Laplace-Stieltjes que tenga dicho dominio como campo de hiperconvergencia para una cierta sucesión parcial. Finalmente, en el IV, nos ocupamos de la caracterización del dominio total de convergencia uniforme de un proceso lim f(t, z), obteniéndose como con-» 00 secuencia de éstos, resultados para la caracterización del dominio de hiperconvergencia en una integral de Laplace-Stieltjes. No he de terminar esta ya larga introducción sin manifestar mi vivo agradecimiento a mis >maestros, muy particularmente a los profesores J. Rey Pastor y W. Bernstein, que amablemente han contestado siempre, con su sabia competencia, a mis consultas ("). ( w ) Esta cuestión aparece ya planteada por Ostrowski en su Memoria (18, b). En una nota al pie dice Ostrowski haber obtenido una demostración válida para ciertas clases de series de THrichlet, pero ni en ésta ni en ninguna de sus Memorias posteriores indica la clase de series de Dirichlet para las que vale su demostración, ni cuál es esta demostración. Por otra parte, W. Bernstein dice en la página 45 de su libro: "mais il peut que cette réciproque soit vraie pour certaines classes des séries de Dirichlet. C'est un problème qui me riterait une étude approfondie". C ) La mayor parte de los resultados contenidos en esta Memoria los hemos publicado anteriormente en varias notas (24, c, e, f). ACAD. DE CIENCIAS. 1936

8 34 CAPITULO I LA HJPERCONVERGENCIA DE LAS INTEGRALES DE LAPLACE-STIELTJES. ï. Es sabido que se llaman integrales de Laplace-Stieltjes o integrales (LS> a las del tipo : / 00 e-*-* a(\) > donde se supone <*(X) de variación acotada en todo intervalo finito (o, X) y la integral tomada en el sentido de Stielt j es. Las propiedades primeras de estas integrales (campo de convergencia, abscisa de convergencia ordinaria, absoluta 3' uniforme, etc.) son análogas a las de las 'series generales de Dirichlet co 2"»"^"' O y una exposición detallada de ellas, juntamente con resultados originales relativos a la composición de las singularidades, se encuentra en Widder (29). Las demostraciones de dichas propiedades primeras son inmediatas, conociéndolas relativas á las series de Dirichlet; pero no ocurre lo mismo con las propiedades relativas a singularidades ( 12 ) (sobre todo.las que se refieren a la influencia de la sucesión de exponentes j X n ) que presentan a veces grandes diferencias con las series. Por esto tiene interés el estudio de la hiperconvergencia en estas integrales.. Además, de los teoremas demostrados en ellas, se obtienen como consecuencia inmediata resultados para otra porción de algoritmos (series de Taylor, de Dirichlet, de Bohr, integrales determinantes, series de facultades, etc.). l l l 12 ) Ya en lo que se refiere al orden sobre las rectas verticales se encuentra una diferencia importante con las series de Dirichlet, en las cuales es sabido, por un teorema fundamental, que dicho orden (de una serie convergente) es siempre positivo o nulo y, en cambio, en las integrales (LS) puede ser negativo, como ha probado Widder en su Memoria citada. Además, es sabido que ia clase de las funciones definidas por series de Dirichlet, en el sentido generalizado por Bohr (4, b), uniformemente convergentes en una banda a < R (ï) < ß, coincide con la clase de las funciones cuasi periódicas. En cambio, la clase análoga para las integrales (LS) es mucho más amplia, según ha demostrado Wiener (30). Desde distintos puntos de vista han sido estudiadas estas integrales por diversos autores. Así, además de Widder y Ostrowski, que han dado resultados sobre las singularidades, hay que citar los de Riesz sobre la sumación, los de Doetsch y Karamata sobre los teoremas tauberianos, los de Pólya y Titchmarsh sobre los ceros, etc.

9 35 farà probar estas integrales comprenden como caso particular los algoritmos indicados, utilizaremos, siguiendo a Widder, un resultado de Fréchet, según el cual toda integral del tipo anterior, donde «(A) es de variación acotada, puede descomponerse en la forma : 00 <» f (s) = I e-l-*a(l)dl +Sß Ä e'^» s + e~^sdu(k) siendo <*(A) una función sumable, los \ n son puntos de discontinuidad de œ(a) de modo que \a n = a (X n + o) a (\ n o) ; y M (A) es una función continua de variación limitada cuya derivada es cero, salvo en un conjunto de medida nula. El primer sumando es una integral determinante, el segundo es una serie de Bohr (4, b) ( 13 ), pues los puntos de discontinuidad A forman un conjunto numerable; y se reduce a una serie,de Dirichlet cuando el conjunto numerable es una sucesión monótona infinitamente creciente. Cuando existe el tercer sumando la integral (LS) define una función de distinta naturaleza que las que se pueden definir utilizando los otros algoritmos antes citados, ya que no 00 e~~^s d^l(\} a dichos algoritmos. / Veamos cuál es el tipo de función «(A) que corresponde a cada uno de los algoritmos particulares citados. Para las seríes generales de Dirichlet: 2- CO donde a,, es una sucesión de números complejos cualesquiera y \ n una sucesión monótona de números reales infinitamente creciente, la función «(A) es : ' w = 2 a "' X <A y análogamente para las series más generales de Bohr. Si los números A son enteros se tienen las series de Taylor. ( ) Estas series, más generales que las de Dirichlet, han sido introducidas por Bohr en el estudio de las funciones cuasi periódicas (4, b) ; y aunque Bohr propone que se llamen también senes de Dirichlet, creemos preferible, para evitar confusiones, la designación indicada.

10 Las integrales de Laplace (estudiadas principalmente por Pincherle (19) se reducen al tipo (LS) mediante la introducción de la función: X rj.q.) = /*(X) ï. En las integrales : oo f(s) = f*(t)e~ l(t)s dt llamadas por Rey Pastor integrales (D) (22, a) se supone <p(f) integrable en el intervalo (o, + oo), y A(í) función continua monótona e infinitamente crecient <f(f)dt con lo que la integral anterior /? queda reducida a la integral en el sentido de Stieltjes: 00 f(s)=je~~' k(t)s dï(t] (i pero por ser A(f) continua y monótona admite función inversa t = í(a) y la integral anterior queda reducida a la siguiente : 00 f(s)= fe~ ls < a(>.) O que es el tipo (LS). En resumen, existe una sencilla gradación entre los diversos tipos de algoritmos en relación con sus correspondientes generatrices «(A). En la series de Taylor «(A) es una función escalonada, cuyo«saltos corresponden a una sucesión de puntos enteros. En las series de Dirichlet también es escalonada ; pero los saltos corresponden a una sucesión cualquiera de puntos reales. En las integrales de Laplace, o en las más generales del tipo (D), la función es integral indefinida de una función integrable Riemann ; pero es, por tanto, una función continua de variación acotada con derivada en todos los puntos en que <p(t) es continua (12). Un ejemplo muy sencillo de generatriz «(A) cuya integral (LS) no es réductible a los tipos anteriores, es el de una función continua de variación limitada que sea constante en los intervalos complementarios de un conjunto perfecto no denso (12, p. 367). 2. PROPIEDADES GENERALES. Recordemos brevemente las que utilizamos en el curso de este capítulo:

11 - 37 I. Si la integral (I) converge en el punto s 0 = a + it 0 converge para todo valor de s tal que R(j) > ero. De aquí, por un razonamiento conocido, resulta que puede ocurrir: a) la integral converge para todo valor de s; b) la integral no converge para ningún valor de s; c) existe un número C, tal que la integral converge para R(Y) > C y no converge para R(j) < C. Este número C se llama abscisa de convergencia, el semiplano R(J) > C, s.emiplano de convergencia y la recta R(s) = C, recta de convergencia. Análogamente se definen la recta y la abscisa de convergencia absoluta. II. Si la integral (I) converge para s = s 0 converge uniformemente en el dominio: I J -TO I <b OD) H é ' ", ' o > o ', donde H es un número entero positivo. Consecuencias de esto es que la integral representa una función f(s) holomorfa en su semiplano de convergencia y en él se verifica : d k f(s) ds k co = í e ~ X " ( X )* da W ( ' = O, ", 2, ) III. Si la integral converge absolutamente para.? = s converge uniformemente para R(s) ^ <r. De aquí resulta inmediatamente que si las abscisas de convergencia ordinaria C y absoluta A son iguales, y designamos por U la abscisa de convergencia uniforme (definida del mismo modo que los anteriores), se verifica: C = A '= U pero si C ^ A, puede ser U = A o bien U = A. IV. Cálculo la abscisa de convergencia ( 14 ). oo a) Si la integral \di(k) es divergente, es: log JrfaM C= IÍS". L = TiíT '. ' g I ( x ) I, Tl A-«' A [1 x-*«* (") En esta exposición nos separamos de Widder, quien únicamente obtiene la fórmula [i]. Las demostraciones de IV son análogas a las expuestas por Rey Pastor (22, a), y prescindimos «e ellas

12 - 3«- X> b) Si la integral / </*().) es convergente, es: iti o. (W 1 =,isr '»K a(oo)-a(x) [ 8 ] Desde luego, de las hipótesis hechas se deduce que en el caso- a) es C > o y en el b) es C < o. Para la abscisa de convergencia absoluta se obtienen fórmulas análogas sustituyendo la función a(\) por su variación w(a) en el intervalo (o, X). Prescindimos de propiedades generales que siguen en la Memoria de Widder, las cuales no son necesarias a nuestra exposición ulterior. 3. LA ABSCISA DE HOLOMORFÍA. Es sabido que las series de Taylor poseen al menos un punto singular sobre la circunferencia de convergencia. Pero esta propiedad no se conserva ya para las series de Dirichlet ordinarias : T^ como lo prueba el ejemplo clásico: v i \ M + ' y* (- ') " j Por tanto, las propiedades de los puntos de la circunferencia de convergencia de las series de potencias se reparten en las series de Dirichlet y en las integrales (LS) entre las rectas de convergencia y holomorfía: las que se refieren a la serie se conservan en la recta de convergencia, mientras las que se refieren intrinsecamente a la función definida por la serie o la integral se localizan en la recta de holomorfía. Se llama abscisa de holomorfía ( 15 ) de la integral [i], o de la función f(s) definida por ella, el limite inferior H de los números h tales que f(s) es holomorfa en el semiplano R(í)>/ Resulta, pues, que f(s] es holomorfa en el semiplano R(s) > H que se llama semiplano de holomorfía y posee necesariamente puntos singulares en todo semiplano R (j) > H e, (e > o). (") Esta definición ha sido introducida para las series generales de Dirichlet por W. Bernstein (2, a, h).

13 39 La determinación de dicha abscisa H tiene gran interés en la teoría de la hiperconvergencia. En el caso de las series de Dirichlet de densidad máxima finita ha dado W. Bernstein (2, a, f, h) un mètodo que permite la determinación de dicha abscisa de holomorfía; pero en el caso general no se conoce ningún método que permita dicha obtención ( 16 ). Vamos a. deducir una fórmula que determina la abscisa de holomorfía siempre que la abscisa de convergencia sea finita ("). Si la abscisa de convergencia de la integral / e-^dat es finita e igual a c = o, hagamos el cambio de variable : S = í + c, con lo que la integral se transforma en la : Jr^'+'ijAw cuya abscisa de convergencia es cero, la cual, si ponemos f e~ V - c da(< í ) = y.(\) adopta la forma : o 00 /(f) = Jí~ x V<z(>o cuya abscisa de convergencia es cero. Basta, pues, considerar este caso. Si formamos el desarrollo en serie de Taylor de / (s) en cada punto 7 = k + í í, (k > o), el radio de convergencia será una función r = r (y) r(k, f), y la abscisa de holomorfía serà : H = lim inf r (k, í) =/t ç (k) ço < / < ço C") Dice W. Bernstein en su libro (2, h, pág. 33) : "Pour ce qui en est des abscises H, O, S que nous venons de définir, on ne dispose malheureusement pas de telles formules, et, dans le cas general, on ne connaît aucum procédé que permette de les calculer effectivement." C") En el caso en que la abscisa de convergencia sea oo ésta es también la abscisa de holomorfía; pero si la abscisa de convergencia es + co, la formula expuesta no es válida. Que puede ser finita en este caso la abscisa de holomorfía, se comprueba con método análogo al seguido en el 5 de este capítulo, en la serie siguiente: S( i)" <r"*e-w f, siendo X 2K = 2«, X 2 + r = 2 n + e~ "'. í>e ye así que la abscisa de convergencia es + oo, y la serie obtenida agrupando los términos de índices, 2n, 2n -f- i, define una función holomorfa en semiplano R(s) > o.

14 40 En efecto, desde luego f (s) es holomorfa -en todos los círculos de centros k + it y radio p = lim inf r(k, f) y, por tanto, en el semiplano R(j) > k p., 00 < / < 00 Ademad, dado E > o arbitrariamente pequeño, existen círculos de centro k + i f* y radios p* < p + e, luego en el semiplano R(-í) > H e existen puntos singulares de /(í) '(los situados sobre las circunferencias de centros k + i t* y radios p*. Queda, pues, reducido el problema a la determinación de esta función r(k, í)- El desarrollo de f(s) en serie de Taylor en el punto y es : /(,) = ^>>( T ) K = O n\ -donde, en virtud de ( 2, cap. I, apart. II) es : /< >(-,)=(- I)" í\" i" 1 ' dr,(l) o 00 y según el criterio de Cauchy-Hadamard resulta:, r(k,í)= : L 00 ÍÜS /^_ I f\" e -^sda(\) n > 00 V n\ Teniendo en cuenta una transformación de Ostrowski (18, f) ( 18 ), a la expresión anterior se le puede dar la siguiente forma práctica: donde r (k,í) = n lim > oo 1/" H, *, t» I "\ T(- *.) _./Ü!V,-x<* l\ke\ + /<> rf. a(x, \"^~) TÍ'-«1 ') * V»/ ( 18 ) Esta transformación ha sido obtenida por Ostrowski en la generalización a las integrales del criterio sobre las singularidades de los puntos de la circunferencia de convergencia de una serie de potencias.

15 4I - siendo 0 < V- ^ V-'» < ' ' < V- ^ V- donde >. es un número positivo arbitrariamente pequeño, pero fijo. Queda, pues, como fórmula final de la abscisa de holomorfía ( 19 ): donde H = k /i lim inf 00 <'<«Hm Y\*n, k, t \ i n * 00 H «, k. t ' k ' V-'n ' V-", ' tienen los valores antes indicados. 4. ACOTACIONES, DE LAS INTEGRALES PARCIALES. Supondremos que la abscisa de convergencia de la integral 00 f(s) = j e'^sä a (l) [il o es cero, pues a este caso se pasa por un sencillo cambio de variable (como se ha visto en el párrafo anterior), siempre que dicha abscisa sea finita. Mediante una integración por partes se obtiene : v f A- I (ï, X*) = I e~ 7 - *d v. (l = e~ ^ «(X) - «(o) + r «(X) d ~ l s ( 20 > o o Por ser cero la abscisa de convergencia, se verifica en virtud de la fórmula [i], 2, IV: «a) ]<H/ X para A suficientemente grande cualquiera que sea e > o, y siendo H una cons- (") Naturalmente que esta fórmula no permite siempre el cálculo efectivo de la abscisa de holomorfía, lo que no tiene nada de extraño, ya que otro tanto ocurre con otras fórmulas sencillas de naturaleza análoga, como, p. e., la de Cauchy-Hadamard, que determina el radio de convergencia de una serie de potencias. Mediante nuestra fórmula pueden obtenerse algunos resultados conocidos y otros nuevos sobre las singularidades de las series de Dirichlet. En iparticu'-ir algunos de Pólya, relativos a las series en que lim (\ n A _i) = g. Todo ello será objeto de otro trabajo. ( 20 ) Siempre se puede suponer œ(o) = o, por lo que prescindimos de este término en loque sigue.

16 42 tante conveniente que no depende de A.. Teniendo esto en cuenta de la igualdad anterior se deduce: X' I 1 (í, X*) = e-v s a (k*)-}- s í a(l)e-^sdf. < Ó X* < I C (X*) I «-V -f I s J i a (1) í- X X < O X* <SH«-^< a -'>+, H /V>-( 9 -«>rf)i, acotación que es vàlida para X*, suficientemente grande cualquiera que sea í; teniendo H y e la significación antes indicada. Ahora bien ; si suponemos que s es punto de un dominio finito D con lo cual \s\ < H i(. y además para los puntos de dicho dominio es R(^) = o- < o, se verificará : X* (a) I(í,X*) <Hp'(- a + ) +H, f^(- a + E > x =H A X< <» + Ti + _JL_1 Por tanto, dado un dominio D con las condiciones indicadas ( 21 ), para A* suficientemente grande se tiene la acotación J-\ 0g\l( S,\*)\ < -<, + * [í] que se verifica uniformemente en D (8 depende de E, <r, y HI, y tiende uniformemente a cero en D cuando A. -» oo). Si suponemos que D, además de las condiciones anteriores, cumple la de ser interior al dominio de holomorfía de /(-?), se tendrá para el resto (designado con M = Máx /(j) ): R(í,X*) = /(í)-i(í,x*) < /(í) + I(í,X*)l< <M + Ke^<-- a + ^ -rjr log R(í,X') <-^ +? [3] Abamos ahora a obtener una acotación de los restos para el caso en que D sea interior al semiplano de convergencia de la integral. ( 21 ) Más aún, basta para que la acotación sea válida que para los puntos del dominio se verifique o- + E > o.

17 43 Se tiene, en efecto, mediante una sencilla integración por partes: 00 OO R(f,X*) = f e~ * s it a (^^6-^*0.0*)+ ía(k)de- ls r r y si tomamos valores absolutos, teniendo en cuenta, lo mismo que antes, la fórmula que da la abscisa de convergencia, se obtiene: R(r,X*) <H e~v a e*'* + \s f aft) - X3 X^' 00 <HL-**< 3 - > + ui /V- x < 3 - s > x] V 00 acotación válida cualquiera que sea s, tomando X* suficientemente grande (H y e tienen la significación que ya se vio). Ahora bien; si suponemos que j es punto de un dominio finito D (con lo cual es \s\ < HI y además para los puntos de dicho dominio suponemos que es R(J) v > o se verificará : R(í.X JI^Hfí-VC-'ï+H.J^-'Jrf^Hí-X P-OJ. + H. L^] acotación que se verifica uniformemente en el dominio DL Por tanto, dado un dominio D con las condiciones antedichas, es posible determinar un valor A tal que para X* > A valga la acotación : ^loglríf.x^k-o + í W De las acotaciones [3]y [4] resulta que para todo dominio finito D completamente interior al campo de regularidad de f(s) vale la acotación - -log I R (,, X*) < -. + ï [5] desde un valor de X* suficientemente grande. Basta, en efecto, dividir el dominio en una parte completamente interior al semiplano R(V) > o, en que se aplica [4] y la complementaria en que, en virtud de la nota al pie de la página anterior, es aplicable [3]. Daremos ahora, utilizando estas acotaciones, algunos teoremas que son con-

18 44 diciones suficientes para que una integral posea una sucesión parcial hiperconvergente; pero antes expondremos algunos ejemplos que ponen de manifiesto la posibilidad efectiva del fenómeno de la hiperconvergencia en las integrales propiamente dichas ( 22 ), así como las diferencias que se presentan con las series de potencias y de Dirichlet. 5. CONSTRUCCIÓN DE EJEMPLOS. a) Comenzamos por construir un ejemplo de una integral (LS) en que una sucesión transfinita ( 23 ) de integrales parciales converge en dominio que se extienden más allá del semiplano de convergencia de dicha integral. Un tal tipo de sucesión hiperconvergente no es posible en las series de Dirichlet. Consideremos la sucesión transfinita de puntos : siendo : N> > '^i ï '*2» i ^" t \» i \t> -f- ï t ' '^w <»> -h n ' 2 n i 2 «i -\-e ^m U) -\- «= X«-f- m,\ 2 n i = / 2 n ~ 2 n -j-e~ 2 y definamos la función A = a(a) de modo que esté representada gràficamente en los intervalos abiertos (X Mtu + 2Ä _,, ^mu> + 2K ), para m ^n, por un segmento paralelo a la recta \ = '/, e-(>" +») y en los intervalos cerrados (l- mu> + 2, A A ^ x 1, 4 4V' L t., L, u «~ /, r? ( 2! ) Ya que en general resulta de los ejemplos conocidos para las series (véase Introducción). f 3 ) Las definiciones y primeras propiedades (teoremas de Bolzano, Cauchy, etc.) de las sucesiones ordinarias, han sido generalizadas a las sucesiones transfinitas por P. 'Dienes (6).

19 45»i ID-t-2»-i-1) P or un segmento paralelo al eje X, y con discontinuidades de saltos (»» + «), -(«-f-«) i en los puntos /L OT, + 2 _,, >. m o» + 2«respectivamente; y para m = n tomamos todo igual, salvo la recta A = ~L -("' + «) que es ahora A = A y los saltos en los puntos X OT(U4 2m _,, /^,, 4-2«que serán + i y i respectivamente. Además se toma «(o) = o ( 24 ). Se comprueba fácilmente que la función «(A.) así definida es de variación limitada en cada intervalo finito (o, X) y además es acotada para todo valor de X y para X -» oo. La integral : 00 f(s)= fe-^dv.q.) [,] así definida tiene abscisa de convergencia cero ; pues por no ser convergente ( 25 ) para = o, será A ^ o, y si se aplica la fórmula [ i ] del 2 de este capítulo se obtiene A=lta ''"(M' <^=:0 X * CO >. X luego es A = o. Vamos a probar que la sucesión transfinita de integrales parciales \m o) -f- 2 w f e-^dzq.) M o sea la serie transfinita o /.m lü + '" " ^ V>^().)J i-m d) -f- =» i es hiperconvergente, es decir, converge uniformemente en dominios que se extienden más allá del semiplano de convergencia de la integral [i]. Poniendo para abreviar : AJM (1) + 2 tt I m (i)= / «~ Xí rfct(x) Xœ (I) + 2 w i ( M ) Se puede obtener inmediatamente una expresión analítica de la función A a (X)» pero no tiene interés para nuestro objeto. (* 5 ) Esto resulta inmediatamente teniendo en cuenta que a(x) tiene en los puntos saltos de valor + i y i. km U) -(- 2 «t, f'fti ü) -(- 2 rt

20 46 - resulta inmediatamente de la definición de a(x) para m^n: 1 l,\,, (>» + «). \ _, r 3 «- 1 \ 2K / _J_ im n VV c c i _/ Xm (O + 2 n. /, 2«-.+*- 2 "_\ í I «H 1 e-x* -(* +.) rf7 L _ e -(* + -) í \ - + *- 2K / = X/«(o -}- a A i 2» -j~ ^~ = (!+*)«' i «(2 «+ i- 2 «) _( +,) _L + u^i). 2 s = (i+í)í. ' ' ' * i. ^ \ ' 2Kw -. /' / e'" Xi rf). y para m = M, anàlogamente : f m + 3, _, _L - s «2 «(2 m + e~ 2 "O 2 <» + i" = >" ' 2 7Í2 I \m\ s I \, e-** d\ = (i+s)e \ 2m ' I e k d\ La cuestión es, pues, probar que la série doble T I««CO [3] que es equivalente a la serie transfinita [i] converge uniformemente en recintos que se extienden fuera del semiplano R(s) > o. El valor absoluto de un término de esta serie es:

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