3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

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1 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej. f) Integrles de funciones de vrile complej. ).- Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. Definición. Se f un función cuo dominio de definición conteng un entorno o vecindd < de un punto. L derivd de f en es el límite f ( ) f ( ) f '( ) lim se dice que f es diferencile en cundo f ( ) eiste. Si l derivd f () eiste en todos los puntos de un región R, se dice que f() eiste es nlític en R; como sinónimos suelen usrse tmién los términos regulr holomorf. (3.) Se eiste un punto P en el plno se w su imgen P en el plno w medinte l trnsformción w = f(). omo se supone que l función f() es unívoc, entonces el punto es mpedo un sólo punto w. Q. Si se increment en, se otiene el punto Q, el cul tiene como imgen en el plno w l punto De cuerdo con l figur que se muestr, se ve que el segmento P Q represent l número complejo w, tl que w f ( ) f ( ) por lo que l derivd en pr l función f, dd por l definición (3.), si es que eiste, se escrie como ó f ( ) f ( ) f '( ) lim w f '( ) lim. (3.) 3-

2 En l ecución (3.) es evidente que, sin pérdid de generlidd, podemos eliminr el suíndice, escriir ó f '( ) lim f ( ) f ( ) w dw f '( ) lim donde w denot el cmio en el vlor w = f() correspondiente un cmio en el punto en el que se evlú f. (3.3) Ejemplos:. onsidere un función f dd por f() = i. Use l definición pr mostrr que l derivd de l función f está dd por f () = Pr l función g() = 3 - i + 8, () muestre que g () = 6 - i; () clcule g (5 - i). 3. Demuestre l Regl de L Hopitl, l cul estlece que si f() g() son nlítics en demás f( ) = g( ) =, pero con g ( ), se cumple que f ( ) f '( ). lim g ( ) g '( ) ).- Regls de diferencición. Supong que f(), g() h() son funciones nlítics de, entonces son válids ls siguientes regls de diferencición. d df ( ) dg( ) f ( ) g( ) f '( ) g '( ).. d. df ( ) cf ( ) c cf '( ), donde c es un constnte. 3-

3 d ( ) ( ) f ( ) g( ) df g( ) f ( ) dg f '( ) g( ) f ( ) g '( ) df ( ) dg( ) g( ) f ( ) d f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ), siempre que g(). g() g( ) g( ) 5. Si w = f() donde = g(), entonces dw df d d f '( ) f ' g( ) g '( ) d Regl de l cden pr funciones de vrile complej 6. Si w = f(), tiene un función invers unívoc f -, tl que = f - (w), entonces dw f '( ) f ( w) ' dw se relcionn medinte dw dw 7. Si = f(t) w = g(t), donde t es un prámetro, entonces dw dw g '( t) dt f '( t) dt Ls funciones elementles se derivn de mner similr como se relin ls derivds en el cálculo elementl (de vriles reles); sí que epresiones como dc, si c es un constnte d n n d e n e d ln d sin cos d cos sin d tn sec son válids en el cálculo de vrile complej. 3-3

4 Ejercicios: Usndo l definición de derivd clcule f () pr. f() = 3 + 6i.. f() = 5/. c. f() = (3 4i) / ( + i). Usndo ls regls de diferencición enuncids nteriormente, verifique sus resultdos. Encuentre l derivd f () evlúel en el punto ddo, considerndo que. f() = + 5i + 3 i; = 6 i.. f() = ( + i) / ( i); = 4 + i. c. f() = sen( + 3i); = i. c).- Ecuciones de uch-riemnn. Ls llmds ecuciones de uch-riemnn son dos ecuciones que deen stisfcerse en pr que l derivd de un función f eist en. Que ls ecuciones de uch-riemnn se cumpln es un condición necesri pero no suficiente pr l eistenci de f (). Prtiendo de que l función f () se puede seprr en sus componentes rel e imginri, tl que f() = f(,) = u(,) + i v(,) (3.4) considerndo que = + i con = + i podemos escriir w = f( + ) f( ) es decir w = [u( +, +) - u(, )] + i [v( +, +) - v(, )]. (3.5) Por otro ldo, l derivd f ( ) w f '( ) lim se puede escriir como w w f '( ) lim Re i lim Im (, ) (,) (, ) (,) (3.6) 3-4

5 El límite = (, ) (,) en l epresión nterior dee poder evlurse en culquier form de proimción (,); en lo que sigue considerremos dos forms de hcerlo: (i) horiontlmente; (ii) verticlmente. undo (,) en dirección horiontl, considerremos que = ; mientrs que en l dirección verticl tomremos =, tl como se muestr continución. sí que es decir En el recorrido horiontl ( = ), usndo l epresión (3.5), el cociente w/ result ( ), u(, ) u, i v, v w w w u(, ) u, lim Re lim (, ) (,) w u lim Re,, (, ) (,) u (3.7) w v(, ) v, lim Im lim (, ) (,) es decir w v lim Im,, (, ) (,) v (3.8) Usndo ls epresiones (3.7) (3.8) l epresión pr l derivd f ( ), dd por (3.6), se puede escriir como f '( ) u (, ) iv (, ) (3.9) 3-5

6 ó con lo que Si hor considermos l trectori verticl ( = ) tenemos que el cociente w/ es u(, ) u, i v(, ) v, i i w w, ), v(, ) v, i u( u w w v(, ) v, lim Re lim (, ) (,) es decir w v lim Re,, (, ) (,) v (3.) es decir w u(, ) u, lim Im lim (, ) (,) w u lim I m,, u (, ) (,) (3.) Usndo ls epresiones (3.) (3.), hor l epresión pr l derivd dd por (3.6), se escrie como f '( ) v (, ) iu (, ) (3.) Ls epresiones (3.9) (3.) no sólo nos proporcionn un form de escriir l derivd de f en en términos de ls derivds prciles de ls funciones componentes u v, sino que tmién nos dn dos condiciones necesris pr l eistenci de f ( ). Igulndo ls ecuciones (3.9) (3.) tenemos que f '( ) u (, ) iv (, ) v (, ) iu (, ) lo que llev (igulndo prtes rel e imginri de mos ldos) ls dos ecuciones siguientes. u (, ) v (, ) (3.3) v (, ) u (, ) (3.4) Este pr de ecuciones (3.3) (3.4) son ls Ecuciones de uch-riemnn, llmds sí en honor del frncés Augustin Louis uch del lemán Georg Friederich Bernhrd Riemnn. 3-6

7 El resultdo nterior se puede resumir en el siguiente teorem. Teorem. Supong que l función f() se puede escriir como f ( ) f (, ) u(, ) iv(, ) (3.4) que f () eiste en un punto = + i. Entonces ls derivds prciles de primer orden de u v deen eistir en (, ) demás stisfcer ls ecuciones de uch-riemnn demás f ( ) se puede escriir como u (, ) v (, ) (3.3) v (, ) u (, ) (3.4) f '( ) u (, ) iv (, ). (3.9) omo se h menciondo nteriormente, el que se cumpln ls ecuciones de uch-riemnn no grnti l eistenci de f ( ), pr logrrlo se requiere etender estos resultdos pr incluir ciertos requisitos de continuidd. Lo nterior se resume en el siguiente teorem. Teorem. Se l función f(), dd por f ( ) f (, ) u(, ) iv(, ) (3.4) definid en lgún entorno o vecindd de un punto = + i. Supongmos que ls derivds prciles de primer orden de ls funciones u v con respecto e eisten en todos los puntos de es vecindd demás son continus en (, ), entonces si ess derivds prciles stisfcen ls ecuciones de uch-riemnn l derivd f ( ) eiste, se puede escriir como u (, ) v (, ) (3.3) v (, ) u (, ) (3.4) f '( ) u (, ) iv (, ). (3.9) Ecuciones de uch-riemnn en coordends polres Ls ecuciones de uch-riemnn se pueden reescriir en coordends polres de l siguiente mner. Prtiendo de que un número complejo se puede representr como tenemos que = + i ó = e i, con, = cos = r cos = sen = r sen lo que permite seprr l función w = f() en sus componentes rel u e imginri v pr escriir f() como f() = f(r,) = u(r,) + i v(r,). 3-7

8 Si suponemos que ls derivds prciles de primer orden de u de v con respecto e eisten en un vecindd no nul de que son continus en dicho punto, entonces ls derivds prciles con respecto r tienes ess propieddes; sí que es decir u u u r r r u u u u u cos u sin (3.5) r Similrmente, pr l componente imginri v, se tiene u r usin ucos (3.6) v v cos v sin (3.7) r Si continución retommos ls ecuciones (3.3) (3.4) v r vsin vcos (3.8) u v (3.3) v u (3.4) podemos escriir (3.7) (3.8) como v u cos u sin (3.9) r v r usin ucos (3.) Usndo ls ecuciones (3.9) (3.5) en ls ecuciones (3.6) (3.), tenemos cos sin r u r u u r v (3.6) sin cos r v r u u r u (3.) on lo nterior, ls ecuciones de uch-riemnn (3.3) (3.4) en coordends polres se reescrien como v r u r (3.) r,, r u r v r (3.) r,, r 3-8

9 Resumiendo lo nterior, podemos enuncir el siguiente teorem. Teorem. Se l función f(), dd por f ( ) f ( r, ) u( r, ) iv( r, ) i definid en lgún entorno o vecindd (lrededor) de un punto no nulo r e. Supongmos que ls primers derivds prciles de ls funciones u v con respecto r eisten en todos los puntos de ese entorno demás son continus en (r, ), entonces si ess derivds prciles stisfcen l form polr de ls ecuciones de uch-riemnn en (r, ) dds por l derivd f ( ) eiste. v r u r (3.) r,, r u r v r (3.) r,, r Ejemplos. Usndo ls ecuciones de uch-riemnn, pruee que l derivd f () no eiste en ningún punto del plno- pr f() = - *. Verifique que ls ecuciones de uch-riemnn se stisfcen pr l función f() definid por. f() = ep( ). f() = cos() c. f() = + 5i i d. f() = ep(-) Muestre que l función g(,) = + i 3 es no nlític en culquier punto. d).- Funciones rmónics. Definición. Un función rel H de dos vriles e se dice rmónic en un dominio ddo del plno si sore ese dominio tiene derivds prciles continus de primer segundo orden que stisfcen l ecución conocid como Ecución de Lplce. H (, ) H (, ) (3.3) Pr el cálculo de vrile complej podemos enuncir el siguiente teorem. 3-9

10 Teorem. Si un función f() = f(,) = u(,) + iv(,) es nlític en un dominio D, sus funciones componentes u v son rmónics en D. Demostrción. Supuest f() nlític en D, se deen cumplir ls ecuciones de uch-riemnn u (, ) v (, ) (3.3) u (, ) v (, ) (3.4) Derivndo ls ecuciones nteriores respecto, tenemos u (, ) v (, ) (3.4) u (, ) v (, ) (3.5) Similrmente, si derivmos respecto tendremos u (, ) v (, ) (3.6) u (, ) v (, ) (3.7) Ahor, usndo ls ecuciones (3.4) (3.7), se ve que podemos escriir usndo (3.5) (3.6) vemos que tmién podemos escriir u (, ) u (, ) (3.8) v (, ) v (, ) (3.9) on estos resultdos [ecuciones (3.8) (3.9)] vemos que u v son rmónics en D, con lo que se demuestr el teorem. Definición. Si dos funciones dds u v son rmónics en un dominio D sus derivds prciles de primer orden stisfcen ls ecuciones de uch-riemnn en el dominio D se dice que v es rmónic conjugd de u. Ejemplos.. Pruee que l función u(,) dd, es rmónic.. Encuentre un función v(,) tl que f() = f(,) = u(,) + iv(,) se nlític, es decir, encuentre l función rmónic conjugd de u(,). 3. Eprese f en términos de, es decir, f(). En los tres csos, considere que ) u(,) = ( - ) ) u(,) =

11 e).- Integrción complej. Antes de introducir ls integrles de un función complej de vrile complej f(), considerremos primero derivds e integrles de funciones complejs w(t) de un vrile rel, es decir donde ls funciones u v son funciones reles de t. on lo nterior, l derivd de l función w(t) en un punto t stisfce que suponiendo que u (t) v (t) eisten. w(t) = u(t) + iv(t) (3.3) d[ w( t)] w'( t) dt w'( t) u '( t) iv'( t) (3.3) Es evidente que muchs de ls regls prendids en el cálculo de vrile rel plicn pr l función w(t), tod ve que u(t) v(t) son funciones reles, lo que ls hce verificles l plicr ls correspondientes regls pr ls funciones reles. Sin emrgo, h que hcer notr que no tod regl de derivción del cálculo es válid pr funciones del tipo de w(t). En prticulr, el teorem del vlor medio pr l derivd no es plicle, es decir, no es necesrimente cierto que eist un número c en el intervlo < t < tl que w (c)( - ) = w() w() (3.3) Por ejemplo, w(t) = ep(it) en el intervlo t no cumple (3.3) que w (t) = i ep(it) = - sen t + i cos t nunc es cero, mientrs que w() = w() = por lo que no se cumple l relción (3.3) que w() - w() =. Definición. on lo nterior en mente, podemos definir l integrl definid de w(t) en el intervlo t como cundo ls integrles de u(t) v(t) eistn. w( t) dt u( t) dt i v( t) dt (3.33) 3-

12 De igul mner, podemos estlecer que c w( t) dt w( t) dt w( t) dt (3.34) c con lo que podemos integrr un función w(t) continu troos o por segmentos, sin importr que se discontinu en c, que sólo necesitmos que pose límites lterles que grnticen l eistenci de ls integrles por seprdo. Definición. Si u(t) /o v(t) son continus troos en un intervlo [,], entonces diremos que w(t) es continu troos en dicho intervlo. El teorem fundmentl del cálculo sore primitivs puede etenderse ls integrles del tipo (3.33), pr lo cul supongmos que ls funciones son continus en el intervlo t. Por lo tnto es decir Si W (t) = w(t), pr t, entonces w(t) = u(t) + i v(t) W(t) = U(t) + i V(t) U (t) = u(t) V (t) = v(t). w( t) dt U( t) iv( t) w( t) dt U( ) iv ( ) U( ) iv ( ) w ( t ) dt W ( t ) W ( ) W ( ) (3.35) Finlmente estleceremos un propiedd ásic de los vlores solutos de ls integrles; pr ello, tomemos < supondremos que el vlor de l integrl definid en l ecución (3.33) es un número complejo no nulo. Si r es el módulo es un rgumento de, tenemos que de donde i w () t dt r e (3.36) i () r e w t dt (3.37) 3-

13 omo r es un número rel, l integrl (3.37) dee ser rel, es decir i i ( ) Re ( ) r e w t dt e w t dt con lo que l epresión pr r [ecución (3.37)] tom l form i Re ( ) r e w t dt (3.38) Por otro ldo, es decir i i Re e w( t) e w( t) i i Re e w( t) e w( t) i Re e w( t) w( t) (3.39) Usndo ls ecuciones (3.38) (3.39) es posile escriir pero como () r w t dt (3.4) finlmente podemos escriir l siguiente relción i () r r e w t dt w( t) dt w( t) dt (3.4) Ejemplos. lcule ls siguientes integrles: ) ) c) 4 i dt t 6 e e i3t t dt dt 3-3

14 f).- Integrles de funciones de vrile complej. L integrción de un función complej de vrile complej se define sore curvs en el plno complejo en ve de sore intervlos de l rect rel, como vimos en ls secciones previs. Ests curvs se conocen como contornos, sí que continución veremos con un poco más de detlle ests trectoris. Pr entender, estr en condiciones de plicr, ests clses de curvs (decuds pr el estudio de ls integrles de un función de vrile complej) se hce necesrio que vemos lguns definiciones. urv. Un curv es un conjunto de puntos = + i en el plno complejo tles que t, t, t donde (t) e (t) son funciones continus en el intervlo [, ]. Los puntos de se pueden descriir medinte l ecución ( t) t i t t se dice que (t) es continu, que (t) (t) son continus. urv suve. Un curv se llm curv suve, si (t) = (t) + i (t) eiste es continu en el intervlo t si (t) nunc se hce cero en el intervlo. ontorno. Un contorno o curv suve trmos, es un curv que const de un número finito de curvs suves unids por sus etremos. ontorno cerrdo simple. Se un contorno. Se dice que es un contorno cerrdo simple si solmente los vlores inicil finl de (t) son igules, es decir, () = (). Integrles de líne. Se f() un función de vrile complej. Se un contorno representdo por l ecución que se etiende del punto = () l punto = (). ( t) t i t t Supongmos que f() = u(, ) + iv(, ) es continu troos en, es decir, ls prtes rel e imginri, de f((t)) son funciones de t continus por trmos. u( t), ( t ) v( t), ( t ) Bjo ests condiciones, se define l integrl de líne de f lo lrgo de como: donde (t) = (t) + i (t). f ( ) f ( t) '( t) dt (3.4) 3-4

15 Asocido l contorno de l ecución (3.4), está el contorno, el cul se descrie por l ecución = ( t) donde t. Por tnto,. f ( ) f ( t) '( t) dt donde ( t) denot l derivd de (t) con respecto t evlud en t. L integrl de líne definid en l ecución (3.4) tiene lguns propieddes que nos serán útiles l clculr integrles de funciones de vrile complej. Sen f() g() funciones de vrile complej continus troos sore un contorno descrito por l ecución = (t) ( t ). A prtir de l ecución (3.4) se deducen fácilmente ls siguientes propieddes de ls integrles de líne., pr tod constnte complej. i. f ( ) f ( ) ii. f ( ) g( ) f ( ) g( ). iii. Si const de un curv desde hst de l curv desde hst, donde =, se cumple que iv. f ( ) f ( t) '( t) dt f ( ) f ( ) f ( ) Ejemplo. lculr donde = es l circunferenci centrd en el origen de rdio, recorrid en sentido positivo. Teorem de uch-gourst El siguiente resultdo se conoce como Teorem de uch-gourst. Teorem de uch-gourst. Se un contorno cerrdo simple. Se f un función nlític sore en el interior de. Entonces f ( ) (3.43) 3-5

16 El Teorem de uch-gourst es uno de los más importntes en l teorí de vrile complej. Un de ls rones es que puede horrrnos un grn cntidd de trjo l relir cierto tipo de integrciones. Por ejemplo, integrles como sin, cosh e deen nulrse si es un contorno cerrdo simple culquier. En todos estos csos, el integrndo es un función enter. Osérvese que l dirección de integrción en l ecución (3.43) no fect el resultdo pues f ( ) f ( ). Ejemplo. Verifique que n donde n es un entero positivo es l circunferenci = r, con r >. Dominio simplemente coneo. Un dominio D se dice simplemente coneo si todo contorno cerrdo simple dentro del mismo encierr sólo puntos de D. D 3-6

17 Dominio múltiplemente coneo. Un dominio D se dice múltiplemente coneo si no es simplemente coneo. El Teorem de uch-gourst se puede etender pr dominios simplemente coneos. Si un función f es nlític en un dominio simplemente coneo D, entonces pr todo contorno cerrdo simple, dentro de D, se cumple f ( ) Incluso si es un contorno simple cerrdo que intersect consigo mismo un número finito de veces, de tl form que consiste de un número finito de contornos simples cerrdos k, el teorem de uch- Gourst sigue siendo válido. que Por ejemplo, pr el contorno mostrdo en l figur se tiene k k 4 f ( ) f ( ) De igul form, el Teorem de uch-gourst se puede etender pr dominios múltiplemente coneos. Se denot como un contorno cerrdo simple j (j =,,..., n) como un número finito de contornos cerrdos simples interiores tles que los conjuntos interiores cd j no tienen puntos en común, tl como se muestr en l figur. 3-7

18 R es l región cerrd que const de todos los puntos dentro sore ecepto los puntos interiores cd j (R es un dominio múltiplemente coneo). Se denot por B l fronter complet orientd de R que const de todos los j, descrit en un dirección tl que los puntos de R se encuentrn l iquierd de B. En este cso, si un función f es nlític en R, entonces f ( ) B Ejemplo. Demostrr que B donde B const de l circunferenci = descrit en l dirección positiv, de ls circunferencis + = /, = / = /, descrits en l dirección negtiv. Integrl indefinid El Teorem de uch-gourst es un herrmient vlios cundo se trt de integrr un función nlític lrededor de un contorno cerrdo. En cso de que el contorno no se cerrdo, eisten métodos que se pueden deducir prtir de dicho teorem que fcilitn el cálculo de l integrl considerd. El siguiente teorem se conoce como principio de independenci de l trectori. Principio de independenci de l trectori. Se f() un función nlític en todo punto de un dominio simplemente coneo D sen dos puntos de D. Entonces, si usmos contornos contenidos en D, el vlor de f ( ) no dependerá del contorno utilido pr ir de. Demostrción. Se D un dominio simplemente coneo dos contornos en D sin intersección que vn de. Se tiene que los contornos formn un contorno cerrdo simple, que denominremos. Luego, por el Teorem de uch-gourst si f ( ) pero f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 3-8

19 Por lo tnto, f ( ) f ( ) lo cul indic que l integrl desde hst es sí independiente del contorno seguido, en tnto ese contorno se encuentre dentro de D. Del principio de l independenci de l trectori podemos definir l primitiv de un función de vrile complej. Definición. Se f() un función nlític en un dominio simplemente coneo D. Se un punto de D. L función F() definid en D por F ( ) f ( s ) ds c (3.44) donde c es un constnte complej, se denomin integrl indefinid o primitiv de f. En relidd f() posee un número infinito de primitivs. Dichs primitivs difieren en vlores constntes son nlítics en D, stisfcen F () = f(). Usmos l integrl indefinid f ( ) pr indicr tods ls posiles primitivs de f(). El vlor de l constnte correspondiente un primitiv especific integrción inferior como se muestr en el siguiente ejemplo. f () s ds qued determindo por el límite de Ejemplo. Encuentre ls primitivs de f() = sen() emplee el resultdo otenido pr clculr s sin sds. Según l definición (3.44), un integrl definid se puede evlur como el cmio en el vlor de l integrl indefinid, tl como se hce en el cálculo elementl, es decir f ( ) F( ) F( ) F( ) Ejemplo. lculr l integrl definid sin 3-9

20 A continución veremos que si un función es nlític en un punto, sus derivds de todos los órdenes eisten en ese punto son tmién nlítics hí. Previo este resultdo veremos un resultdo interesnte que se otiene trvés del Teorem de uch-gourst. Este resultdo se conoce como fórmul integrl de uch. Si considermos un función nlític sore en el interior de un contorno cerrdo simple, st con conocer los vlores que ell tom sore ese contorno, pr determinr los vlores que tom en el interior del mismo. Fórmul integrl de uch. Definición. Se f() un función nlític en un dominio simplemente coneo D. Se un contorno cerrdo simple perteneciente D. Se un punto interior de. Entonces f ( ) f( ) i c L epresión nterior se denomin fórmul integrl de uch. Ejemplo. El siguiente ejemplo clr el uso de est fórmul en l evlución de integrles. Hllr el vlor de l integrl, donde es l circunferenci i =. c 4 Solución. Pr resolver est integrl vemos si podemos plicr lguno de los teorems vistos nteriormente, pr ello nlicemos l posile nliticidd del integrndo en el contorno. El integrndo present dos puntos en los que se indefine ( = ±i), uno de los cules ( = i) se uic dentro del contorno, por lo que no es posile plicr el Teorem de uch-gourst; pr investigr l fctiilidd de plicr l fórmul integrl de uch, procedemos de l siguiente form. Fctorindo el denomindor, podemos escriir En l primer posiilidd, l función i i i i i i 4 f( ) i present l singulridd ( = i) que ce dentro del contorno, por lo que no permite plicr l fórmul integrl de uch; por otro ldo, f( ) i no present singulridd dentro (ni sore) el contorno, por lo que es fctile plicr l fórmul, sí que tommos 3-

21 de donde identificmos que = i, por lo que Por lo que f() 4 i i if ( ) if ( i) i i i i 4 i Vemos que si un función es nlític en un punto, sus derivds de todos los órdenes eisten en ese punto son tmién nlítics. Etensión de l fórmul integrl de uch. Se f() un función nlític en un dominio simplemente coneo D. Se un contorno cerrdo simple perteneciente D. Se un punto interior de. Entonces f es infinitmente diferencile en cd punto de D l derivd n-ésim de f en es: Además, f (n) () es nlític en D pr cd n. n! f ( ) (3.45) ( n) f ( ) n c i El siguiente ejemplo clr el uso de l ecución (3.45) en l evlución de integrles. Ejemplo. Hllr el vlor de l integrl c 4, donde es l circunferenci i =. Solución. Pr resolver est integrl, l igul que en el ejemplo nterior, vemos si podemos plicr lguno de los teorems vistos nteriormente, pr ello nlicemos l posile nliticidd del integrndo en el contorno. El integrndo present singulriddes en los puntos = ±i, en prticulr, = i se uic dentro del contorno, por lo que no es posile plicr el Teorem de uch-gourst; pr investigr l fctiilidd de plicr l etensión de l fórmul integrl de uch, procedemos de l siguiente form. Fctorindo el denomindor, podemos escriir 3-

22 En este cso dvertimos que f( ) 4 i i i i i no present singulridd dentro (ni sore) el contorno, por lo que es fctile plicr l etensión de l fórmul integrl de uch con = i n =, por lo que Por lo que f ( ) if '( ) if '( i) n!! i i i i i

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