3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja."

Transcripción

1 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej. f) Integrles de funciones de vrile complej. ).- Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. Definición. Se f un función cuo dominio de definición conteng un entorno o vecindd < de un punto. L derivd de f en es el límite f ( ) f ( ) f '( ) lim se dice que f es diferencile en cundo f ( ) eiste. Si l derivd f () eiste en todos los puntos de un región R, se dice que f() eiste es nlític en R; como sinónimos suelen usrse tmién los términos regulr holomorf. (3.) Se eiste un punto P en el plno se w su imgen P en el plno w medinte l trnsformción w = f(). omo se supone que l función f() es unívoc, entonces el punto es mpedo un sólo punto w. Q. Si se increment en, se otiene el punto Q, el cul tiene como imgen en el plno w l punto De cuerdo con l figur que se muestr, se ve que el segmento P Q represent l número complejo w, tl que w f ( ) f ( ) por lo que l derivd en pr l función f, dd por l definición (3.), si es que eiste, se escrie como ó f ( ) f ( ) f '( ) lim w f '( ) lim. (3.) 3-

2 En l ecución (3.) es evidente que, sin pérdid de generlidd, podemos eliminr el suíndice, escriir ó f '( ) lim f ( ) f ( ) w dw f '( ) lim donde w denot el cmio en el vlor w = f() correspondiente un cmio en el punto en el que se evlú f. (3.3) Ejemplos:. onsidere un función f dd por f() = i. Use l definición pr mostrr que l derivd de l función f está dd por f () = Pr l función g() = 3 - i + 8, () muestre que g () = 6 - i; () clcule g (5 - i). 3. Demuestre l Regl de L Hopitl, l cul estlece que si f() g() son nlítics en demás f( ) = g( ) =, pero con g ( ), se cumple que f ( ) f '( ). lim g ( ) g '( ) ).- Regls de diferencición. Supong que f(), g() h() son funciones nlítics de, entonces son válids ls siguientes regls de diferencición. d df ( ) dg( ) f ( ) g( ) f '( ) g '( ).. d. df ( ) cf ( ) c cf '( ), donde c es un constnte. 3-

3 d ( ) ( ) f ( ) g( ) df g( ) f ( ) dg f '( ) g( ) f ( ) g '( ) df ( ) dg( ) g( ) f ( ) d f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ), siempre que g(). g() g( ) g( ) 5. Si w = f() donde = g(), entonces dw df d d f '( ) f ' g( ) g '( ) d Regl de l cden pr funciones de vrile complej 6. Si w = f(), tiene un función invers unívoc f -, tl que = f - (w), entonces dw f '( ) f ( w) ' dw se relcionn medinte dw dw 7. Si = f(t) w = g(t), donde t es un prámetro, entonces dw dw g '( t) dt f '( t) dt Ls funciones elementles se derivn de mner similr como se relin ls derivds en el cálculo elementl (de vriles reles); sí que epresiones como dc, si c es un constnte d n n d e n e d ln d sin cos d cos sin d tn sec son válids en el cálculo de vrile complej. 3-3

4 Ejercicios: Usndo l definición de derivd clcule f () pr. f() = 3 + 6i.. f() = 5/. c. f() = (3 4i) / ( + i). Usndo ls regls de diferencición enuncids nteriormente, verifique sus resultdos. Encuentre l derivd f () evlúel en el punto ddo, considerndo que. f() = + 5i + 3 i; = 6 i.. f() = ( + i) / ( i); = 4 + i. c. f() = sen( + 3i); = i. c).- Ecuciones de uch-riemnn. Ls llmds ecuciones de uch-riemnn son dos ecuciones que deen stisfcerse en pr que l derivd de un función f eist en. Que ls ecuciones de uch-riemnn se cumpln es un condición necesri pero no suficiente pr l eistenci de f (). Prtiendo de que l función f () se puede seprr en sus componentes rel e imginri, tl que f() = f(,) = u(,) + i v(,) (3.4) considerndo que = + i con = + i podemos escriir w = f( + ) f( ) es decir w = [u( +, +) - u(, )] + i [v( +, +) - v(, )]. (3.5) Por otro ldo, l derivd f ( ) w f '( ) lim se puede escriir como w w f '( ) lim Re i lim Im (, ) (,) (, ) (,) (3.6) 3-4

5 El límite = (, ) (,) en l epresión nterior dee poder evlurse en culquier form de proimción (,); en lo que sigue considerremos dos forms de hcerlo: (i) horiontlmente; (ii) verticlmente. undo (,) en dirección horiontl, considerremos que = ; mientrs que en l dirección verticl tomremos =, tl como se muestr continución. sí que es decir En el recorrido horiontl ( = ), usndo l epresión (3.5), el cociente w/ result ( ), u(, ) u, i v, v w w w u(, ) u, lim Re lim (, ) (,) w u lim Re,, (, ) (,) u (3.7) w v(, ) v, lim Im lim (, ) (,) es decir w v lim Im,, (, ) (,) v (3.8) Usndo ls epresiones (3.7) (3.8) l epresión pr l derivd f ( ), dd por (3.6), se puede escriir como f '( ) u (, ) iv (, ) (3.9) 3-5

6 ó con lo que Si hor considermos l trectori verticl ( = ) tenemos que el cociente w/ es u(, ) u, i v(, ) v, i i w w, ), v(, ) v, i u( u w w v(, ) v, lim Re lim (, ) (,) es decir w v lim Re,, (, ) (,) v (3.) es decir w u(, ) u, lim Im lim (, ) (,) w u lim I m,, u (, ) (,) (3.) Usndo ls epresiones (3.) (3.), hor l epresión pr l derivd dd por (3.6), se escrie como f '( ) v (, ) iu (, ) (3.) Ls epresiones (3.9) (3.) no sólo nos proporcionn un form de escriir l derivd de f en en términos de ls derivds prciles de ls funciones componentes u v, sino que tmién nos dn dos condiciones necesris pr l eistenci de f ( ). Igulndo ls ecuciones (3.9) (3.) tenemos que f '( ) u (, ) iv (, ) v (, ) iu (, ) lo que llev (igulndo prtes rel e imginri de mos ldos) ls dos ecuciones siguientes. u (, ) v (, ) (3.3) v (, ) u (, ) (3.4) Este pr de ecuciones (3.3) (3.4) son ls Ecuciones de uch-riemnn, llmds sí en honor del frncés Augustin Louis uch del lemán Georg Friederich Bernhrd Riemnn. 3-6

7 El resultdo nterior se puede resumir en el siguiente teorem. Teorem. Supong que l función f() se puede escriir como f ( ) f (, ) u(, ) iv(, ) (3.4) que f () eiste en un punto = + i. Entonces ls derivds prciles de primer orden de u v deen eistir en (, ) demás stisfcer ls ecuciones de uch-riemnn demás f ( ) se puede escriir como u (, ) v (, ) (3.3) v (, ) u (, ) (3.4) f '( ) u (, ) iv (, ). (3.9) omo se h menciondo nteriormente, el que se cumpln ls ecuciones de uch-riemnn no grnti l eistenci de f ( ), pr logrrlo se requiere etender estos resultdos pr incluir ciertos requisitos de continuidd. Lo nterior se resume en el siguiente teorem. Teorem. Se l función f(), dd por f ( ) f (, ) u(, ) iv(, ) (3.4) definid en lgún entorno o vecindd de un punto = + i. Supongmos que ls derivds prciles de primer orden de ls funciones u v con respecto e eisten en todos los puntos de es vecindd demás son continus en (, ), entonces si ess derivds prciles stisfcen ls ecuciones de uch-riemnn l derivd f ( ) eiste, se puede escriir como u (, ) v (, ) (3.3) v (, ) u (, ) (3.4) f '( ) u (, ) iv (, ). (3.9) Ecuciones de uch-riemnn en coordends polres Ls ecuciones de uch-riemnn se pueden reescriir en coordends polres de l siguiente mner. Prtiendo de que un número complejo se puede representr como tenemos que = + i ó = e i, con, = cos = r cos = sen = r sen lo que permite seprr l función w = f() en sus componentes rel u e imginri v pr escriir f() como f() = f(r,) = u(r,) + i v(r,). 3-7

8 Si suponemos que ls derivds prciles de primer orden de u de v con respecto e eisten en un vecindd no nul de que son continus en dicho punto, entonces ls derivds prciles con respecto r tienes ess propieddes; sí que es decir u u u r r r u u u u u cos u sin (3.5) r Similrmente, pr l componente imginri v, se tiene u r usin ucos (3.6) v v cos v sin (3.7) r Si continución retommos ls ecuciones (3.3) (3.4) v r vsin vcos (3.8) u v (3.3) v u (3.4) podemos escriir (3.7) (3.8) como v u cos u sin (3.9) r v r usin ucos (3.) Usndo ls ecuciones (3.9) (3.5) en ls ecuciones (3.6) (3.), tenemos cos sin r u r u u r v (3.6) sin cos r v r u u r u (3.) on lo nterior, ls ecuciones de uch-riemnn (3.3) (3.4) en coordends polres se reescrien como v r u r (3.) r,, r u r v r (3.) r,, r 3-8

9 Resumiendo lo nterior, podemos enuncir el siguiente teorem. Teorem. Se l función f(), dd por f ( ) f ( r, ) u( r, ) iv( r, ) i definid en lgún entorno o vecindd (lrededor) de un punto no nulo r e. Supongmos que ls primers derivds prciles de ls funciones u v con respecto r eisten en todos los puntos de ese entorno demás son continus en (r, ), entonces si ess derivds prciles stisfcen l form polr de ls ecuciones de uch-riemnn en (r, ) dds por l derivd f ( ) eiste. v r u r (3.) r,, r u r v r (3.) r,, r Ejemplos. Usndo ls ecuciones de uch-riemnn, pruee que l derivd f () no eiste en ningún punto del plno- pr f() = - *. Verifique que ls ecuciones de uch-riemnn se stisfcen pr l función f() definid por. f() = ep( ). f() = cos() c. f() = + 5i i d. f() = ep(-) Muestre que l función g(,) = + i 3 es no nlític en culquier punto. d).- Funciones rmónics. Definición. Un función rel H de dos vriles e se dice rmónic en un dominio ddo del plno si sore ese dominio tiene derivds prciles continus de primer segundo orden que stisfcen l ecución conocid como Ecución de Lplce. H (, ) H (, ) (3.3) Pr el cálculo de vrile complej podemos enuncir el siguiente teorem. 3-9

10 Teorem. Si un función f() = f(,) = u(,) + iv(,) es nlític en un dominio D, sus funciones componentes u v son rmónics en D. Demostrción. Supuest f() nlític en D, se deen cumplir ls ecuciones de uch-riemnn u (, ) v (, ) (3.3) u (, ) v (, ) (3.4) Derivndo ls ecuciones nteriores respecto, tenemos u (, ) v (, ) (3.4) u (, ) v (, ) (3.5) Similrmente, si derivmos respecto tendremos u (, ) v (, ) (3.6) u (, ) v (, ) (3.7) Ahor, usndo ls ecuciones (3.4) (3.7), se ve que podemos escriir usndo (3.5) (3.6) vemos que tmién podemos escriir u (, ) u (, ) (3.8) v (, ) v (, ) (3.9) on estos resultdos [ecuciones (3.8) (3.9)] vemos que u v son rmónics en D, con lo que se demuestr el teorem. Definición. Si dos funciones dds u v son rmónics en un dominio D sus derivds prciles de primer orden stisfcen ls ecuciones de uch-riemnn en el dominio D se dice que v es rmónic conjugd de u. Ejemplos.. Pruee que l función u(,) dd, es rmónic.. Encuentre un función v(,) tl que f() = f(,) = u(,) + iv(,) se nlític, es decir, encuentre l función rmónic conjugd de u(,). 3. Eprese f en términos de, es decir, f(). En los tres csos, considere que ) u(,) = ( - ) ) u(,) =

11 e).- Integrción complej. Antes de introducir ls integrles de un función complej de vrile complej f(), considerremos primero derivds e integrles de funciones complejs w(t) de un vrile rel, es decir donde ls funciones u v son funciones reles de t. on lo nterior, l derivd de l función w(t) en un punto t stisfce que suponiendo que u (t) v (t) eisten. w(t) = u(t) + iv(t) (3.3) d[ w( t)] w'( t) dt w'( t) u '( t) iv'( t) (3.3) Es evidente que muchs de ls regls prendids en el cálculo de vrile rel plicn pr l función w(t), tod ve que u(t) v(t) son funciones reles, lo que ls hce verificles l plicr ls correspondientes regls pr ls funciones reles. Sin emrgo, h que hcer notr que no tod regl de derivción del cálculo es válid pr funciones del tipo de w(t). En prticulr, el teorem del vlor medio pr l derivd no es plicle, es decir, no es necesrimente cierto que eist un número c en el intervlo < t < tl que w (c)( - ) = w() w() (3.3) Por ejemplo, w(t) = ep(it) en el intervlo t no cumple (3.3) que w (t) = i ep(it) = - sen t + i cos t nunc es cero, mientrs que w() = w() = por lo que no se cumple l relción (3.3) que w() - w() =. Definición. on lo nterior en mente, podemos definir l integrl definid de w(t) en el intervlo t como cundo ls integrles de u(t) v(t) eistn. w( t) dt u( t) dt i v( t) dt (3.33) 3-

12 De igul mner, podemos estlecer que c w( t) dt w( t) dt w( t) dt (3.34) c con lo que podemos integrr un función w(t) continu troos o por segmentos, sin importr que se discontinu en c, que sólo necesitmos que pose límites lterles que grnticen l eistenci de ls integrles por seprdo. Definición. Si u(t) /o v(t) son continus troos en un intervlo [,], entonces diremos que w(t) es continu troos en dicho intervlo. El teorem fundmentl del cálculo sore primitivs puede etenderse ls integrles del tipo (3.33), pr lo cul supongmos que ls funciones son continus en el intervlo t. Por lo tnto es decir Si W (t) = w(t), pr t, entonces w(t) = u(t) + i v(t) W(t) = U(t) + i V(t) U (t) = u(t) V (t) = v(t). w( t) dt U( t) iv( t) w( t) dt U( ) iv ( ) U( ) iv ( ) w ( t ) dt W ( t ) W ( ) W ( ) (3.35) Finlmente estleceremos un propiedd ásic de los vlores solutos de ls integrles; pr ello, tomemos < supondremos que el vlor de l integrl definid en l ecución (3.33) es un número complejo no nulo. Si r es el módulo es un rgumento de, tenemos que de donde i w () t dt r e (3.36) i () r e w t dt (3.37) 3-

13 omo r es un número rel, l integrl (3.37) dee ser rel, es decir i i ( ) Re ( ) r e w t dt e w t dt con lo que l epresión pr r [ecución (3.37)] tom l form i Re ( ) r e w t dt (3.38) Por otro ldo, es decir i i Re e w( t) e w( t) i i Re e w( t) e w( t) i Re e w( t) w( t) (3.39) Usndo ls ecuciones (3.38) (3.39) es posile escriir pero como () r w t dt (3.4) finlmente podemos escriir l siguiente relción i () r r e w t dt w( t) dt w( t) dt (3.4) Ejemplos. lcule ls siguientes integrles: ) ) c) 4 i dt t 6 e e i3t t dt dt 3-3

14 f).- Integrles de funciones de vrile complej. L integrción de un función complej de vrile complej se define sore curvs en el plno complejo en ve de sore intervlos de l rect rel, como vimos en ls secciones previs. Ests curvs se conocen como contornos, sí que continución veremos con un poco más de detlle ests trectoris. Pr entender, estr en condiciones de plicr, ests clses de curvs (decuds pr el estudio de ls integrles de un función de vrile complej) se hce necesrio que vemos lguns definiciones. urv. Un curv es un conjunto de puntos = + i en el plno complejo tles que t, t, t donde (t) e (t) son funciones continus en el intervlo [, ]. Los puntos de se pueden descriir medinte l ecución ( t) t i t t se dice que (t) es continu, que (t) (t) son continus. urv suve. Un curv se llm curv suve, si (t) = (t) + i (t) eiste es continu en el intervlo t si (t) nunc se hce cero en el intervlo. ontorno. Un contorno o curv suve trmos, es un curv que const de un número finito de curvs suves unids por sus etremos. ontorno cerrdo simple. Se un contorno. Se dice que es un contorno cerrdo simple si solmente los vlores inicil finl de (t) son igules, es decir, () = (). Integrles de líne. Se f() un función de vrile complej. Se un contorno representdo por l ecución que se etiende del punto = () l punto = (). ( t) t i t t Supongmos que f() = u(, ) + iv(, ) es continu troos en, es decir, ls prtes rel e imginri, de f((t)) son funciones de t continus por trmos. u( t), ( t ) v( t), ( t ) Bjo ests condiciones, se define l integrl de líne de f lo lrgo de como: donde (t) = (t) + i (t). f ( ) f ( t) '( t) dt (3.4) 3-4

15 Asocido l contorno de l ecución (3.4), está el contorno, el cul se descrie por l ecución = ( t) donde t. Por tnto,. f ( ) f ( t) '( t) dt donde ( t) denot l derivd de (t) con respecto t evlud en t. L integrl de líne definid en l ecución (3.4) tiene lguns propieddes que nos serán útiles l clculr integrles de funciones de vrile complej. Sen f() g() funciones de vrile complej continus troos sore un contorno descrito por l ecución = (t) ( t ). A prtir de l ecución (3.4) se deducen fácilmente ls siguientes propieddes de ls integrles de líne., pr tod constnte complej. i. f ( ) f ( ) ii. f ( ) g( ) f ( ) g( ). iii. Si const de un curv desde hst de l curv desde hst, donde =, se cumple que iv. f ( ) f ( t) '( t) dt f ( ) f ( ) f ( ) Ejemplo. lculr donde = es l circunferenci centrd en el origen de rdio, recorrid en sentido positivo. Teorem de uch-gourst El siguiente resultdo se conoce como Teorem de uch-gourst. Teorem de uch-gourst. Se un contorno cerrdo simple. Se f un función nlític sore en el interior de. Entonces f ( ) (3.43) 3-5

16 El Teorem de uch-gourst es uno de los más importntes en l teorí de vrile complej. Un de ls rones es que puede horrrnos un grn cntidd de trjo l relir cierto tipo de integrciones. Por ejemplo, integrles como sin, cosh e deen nulrse si es un contorno cerrdo simple culquier. En todos estos csos, el integrndo es un función enter. Osérvese que l dirección de integrción en l ecución (3.43) no fect el resultdo pues f ( ) f ( ). Ejemplo. Verifique que n donde n es un entero positivo es l circunferenci = r, con r >. Dominio simplemente coneo. Un dominio D se dice simplemente coneo si todo contorno cerrdo simple dentro del mismo encierr sólo puntos de D. D 3-6

17 Dominio múltiplemente coneo. Un dominio D se dice múltiplemente coneo si no es simplemente coneo. El Teorem de uch-gourst se puede etender pr dominios simplemente coneos. Si un función f es nlític en un dominio simplemente coneo D, entonces pr todo contorno cerrdo simple, dentro de D, se cumple f ( ) Incluso si es un contorno simple cerrdo que intersect consigo mismo un número finito de veces, de tl form que consiste de un número finito de contornos simples cerrdos k, el teorem de uch- Gourst sigue siendo válido. que Por ejemplo, pr el contorno mostrdo en l figur se tiene k k 4 f ( ) f ( ) De igul form, el Teorem de uch-gourst se puede etender pr dominios múltiplemente coneos. Se denot como un contorno cerrdo simple j (j =,,..., n) como un número finito de contornos cerrdos simples interiores tles que los conjuntos interiores cd j no tienen puntos en común, tl como se muestr en l figur. 3-7

18 R es l región cerrd que const de todos los puntos dentro sore ecepto los puntos interiores cd j (R es un dominio múltiplemente coneo). Se denot por B l fronter complet orientd de R que const de todos los j, descrit en un dirección tl que los puntos de R se encuentrn l iquierd de B. En este cso, si un función f es nlític en R, entonces f ( ) B Ejemplo. Demostrr que B donde B const de l circunferenci = descrit en l dirección positiv, de ls circunferencis + = /, = / = /, descrits en l dirección negtiv. Integrl indefinid El Teorem de uch-gourst es un herrmient vlios cundo se trt de integrr un función nlític lrededor de un contorno cerrdo. En cso de que el contorno no se cerrdo, eisten métodos que se pueden deducir prtir de dicho teorem que fcilitn el cálculo de l integrl considerd. El siguiente teorem se conoce como principio de independenci de l trectori. Principio de independenci de l trectori. Se f() un función nlític en todo punto de un dominio simplemente coneo D sen dos puntos de D. Entonces, si usmos contornos contenidos en D, el vlor de f ( ) no dependerá del contorno utilido pr ir de. Demostrción. Se D un dominio simplemente coneo dos contornos en D sin intersección que vn de. Se tiene que los contornos formn un contorno cerrdo simple, que denominremos. Luego, por el Teorem de uch-gourst si f ( ) pero f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 3-8

19 Por lo tnto, f ( ) f ( ) lo cul indic que l integrl desde hst es sí independiente del contorno seguido, en tnto ese contorno se encuentre dentro de D. Del principio de l independenci de l trectori podemos definir l primitiv de un función de vrile complej. Definición. Se f() un función nlític en un dominio simplemente coneo D. Se un punto de D. L función F() definid en D por F ( ) f ( s ) ds c (3.44) donde c es un constnte complej, se denomin integrl indefinid o primitiv de f. En relidd f() posee un número infinito de primitivs. Dichs primitivs difieren en vlores constntes son nlítics en D, stisfcen F () = f(). Usmos l integrl indefinid f ( ) pr indicr tods ls posiles primitivs de f(). El vlor de l constnte correspondiente un primitiv especific integrción inferior como se muestr en el siguiente ejemplo. f () s ds qued determindo por el límite de Ejemplo. Encuentre ls primitivs de f() = sen() emplee el resultdo otenido pr clculr s sin sds. Según l definición (3.44), un integrl definid se puede evlur como el cmio en el vlor de l integrl indefinid, tl como se hce en el cálculo elementl, es decir f ( ) F( ) F( ) F( ) Ejemplo. lculr l integrl definid sin 3-9

20 A continución veremos que si un función es nlític en un punto, sus derivds de todos los órdenes eisten en ese punto son tmién nlítics hí. Previo este resultdo veremos un resultdo interesnte que se otiene trvés del Teorem de uch-gourst. Este resultdo se conoce como fórmul integrl de uch. Si considermos un función nlític sore en el interior de un contorno cerrdo simple, st con conocer los vlores que ell tom sore ese contorno, pr determinr los vlores que tom en el interior del mismo. Fórmul integrl de uch. Definición. Se f() un función nlític en un dominio simplemente coneo D. Se un contorno cerrdo simple perteneciente D. Se un punto interior de. Entonces f ( ) f( ) i c L epresión nterior se denomin fórmul integrl de uch. Ejemplo. El siguiente ejemplo clr el uso de est fórmul en l evlución de integrles. Hllr el vlor de l integrl, donde es l circunferenci i =. c 4 Solución. Pr resolver est integrl vemos si podemos plicr lguno de los teorems vistos nteriormente, pr ello nlicemos l posile nliticidd del integrndo en el contorno. El integrndo present dos puntos en los que se indefine ( = ±i), uno de los cules ( = i) se uic dentro del contorno, por lo que no es posile plicr el Teorem de uch-gourst; pr investigr l fctiilidd de plicr l fórmul integrl de uch, procedemos de l siguiente form. Fctorindo el denomindor, podemos escriir En l primer posiilidd, l función i i i i i i 4 f( ) i present l singulridd ( = i) que ce dentro del contorno, por lo que no permite plicr l fórmul integrl de uch; por otro ldo, f( ) i no present singulridd dentro (ni sore) el contorno, por lo que es fctile plicr l fórmul, sí que tommos 3-

21 de donde identificmos que = i, por lo que Por lo que f() 4 i i if ( ) if ( i) i i i i 4 i Vemos que si un función es nlític en un punto, sus derivds de todos los órdenes eisten en ese punto son tmién nlítics. Etensión de l fórmul integrl de uch. Se f() un función nlític en un dominio simplemente coneo D. Se un contorno cerrdo simple perteneciente D. Se un punto interior de. Entonces f es infinitmente diferencile en cd punto de D l derivd n-ésim de f en es: Además, f (n) () es nlític en D pr cd n. n! f ( ) (3.45) ( n) f ( ) n c i El siguiente ejemplo clr el uso de l ecución (3.45) en l evlución de integrles. Ejemplo. Hllr el vlor de l integrl c 4, donde es l circunferenci i =. Solución. Pr resolver est integrl, l igul que en el ejemplo nterior, vemos si podemos plicr lguno de los teorems vistos nteriormente, pr ello nlicemos l posile nliticidd del integrndo en el contorno. El integrndo present singulriddes en los puntos = ±i, en prticulr, = i se uic dentro del contorno, por lo que no es posile plicr el Teorem de uch-gourst; pr investigr l fctiilidd de plicr l etensión de l fórmul integrl de uch, procedemos de l siguiente form. Fctorindo el denomindor, podemos escriir 3-

22 En este cso dvertimos que f( ) 4 i i i i i no present singulridd dentro (ni sore) el contorno, por lo que es fctile plicr l etensión de l fórmul integrl de uch con = i n =, por lo que Por lo que f ( ) if '( ) if '( i) n!! i i i i i

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv( y) L derivd de ω se define como: [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv L integrl definid de funciones ω sore t, se define

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. 42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

Tema 4. Integración compleja

Tema 4. Integración compleja Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Cálculo Integral. Métodos de integración

Cálculo Integral. Métodos de integración Unidd Métodos de integrción álculo Integrl Métodos de integrción Universidd iert y Distnci de Méico Unidd Métodos de integrción Índice UNIDD MÉTODOS DE INTEGRIÓN Propósito de l unidd ompetenci especíic

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA

ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA SAMAEL NAVARRETE MOLANO Trbjo de grdo pr optr por el titulo de Mtemático DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Mtemático Universidd Ncionl Profesor fcultd de Mtemátics FUNDACIÓN

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a 5.5 Integrles triples en coordends rectngulres 859. Evlúe lím erfsd lím : q 4. Conversión un integrl polr Evlúe l integrl q q : q s + + d d. d 43. Eistenci Integre l función f(, ) 5 ( ) sore el disco #

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

Capítulo 4 INTEGRACIÓN

Capítulo 4 INTEGRACIÓN pítulo 4 INTEGRAIÓN En el primer curso de álculo, se prendió el concepto de integrl indefinid y definid de funciones reles de vrible rel, y se dedujeron vris propieddes de ls misms: linelidd, monotoní,

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

Integral de línea de campos escalares.

Integral de línea de campos escalares. Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

Integración en el plano complejo

Integración en el plano complejo Integrción en el plno complejo 4.1. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel es un función w : [, b] C, donde b. L prte rel y l prte imginri de w son dos funciones reles de vrible

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x)

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x) rte Vriles letoris. Vriles letoris continus En l sección nterior se considerron vriles letoris discrets, o se vriles letoris cuo rngo es un conjunto finito o infinito numerle. ero h vriles letoris cuo

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural.

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se se que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

5. INTEGRAL DE LÍNEA. 5.1 Introducción. 5.2 Curvas

5. INTEGRAL DE LÍNEA. 5.1 Introducción. 5.2 Curvas 5. INTEGRAL DE LÍNEA 5.1 Introducción Nos proponemos mplir l noción de integrl, que y conocemos pr el cso de funciones de un vrile rel, cmpos de vris vriles. Cundo se definí l integrl definid pr un función

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo

UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo IES Pdre Poved (Gudi UNIDAD 6: DERIVADAS.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine l ts de vrición medi de un unción y en un intervlo [ b] T. M. [, b] ( b (, como: b (,, B,, Si considero l rect que une A ( b

Más detalles

Métodos de Integración I n d i c e

Métodos de Integración I n d i c e Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA TEMA : INTEGRAL DEFINIDA..- El problem de clculr el áre bjo un curv El problem de clculr el áre limitd por lguns curvs fue borddo, por los mtemáticos griegos, desde bstntes siglos trás. El método empledo

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)

Más detalles

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

CAPÍTULO 2. , para 0 p 1. [] x

CAPÍTULO 2. , para 0 p 1. [] x CAPÍTULO LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES Deprtmento de Métodos Cuntittivos pr l Economí y l Empres Fcultd de

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e.

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e. MsMtescom Integrles Selectividd CCNN Murci [] [EXT-A] ) Clcule l integrl indefinid rctgd, donde rctg denot l función rco-tngente de ) De tods ls primitivs de l función f() = rctg, encuentre l que ps por

Más detalles

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011)

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011) APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elbordos por José Mnuel Rodríguez Versión brevid de Dmitry Ykubovich (20). INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Se define el conjunto de

Más detalles

Descomposición elemental (ajustes por constantes)

Descomposición elemental (ajustes por constantes) Descomposición elementl (justes por constntes) OBSERVACIONES. Ls primers integrles que precen se hn obtenido del libro de Mtemátics I (º de Bchillerto) McGrw-Hill, Mdrid 007.. Otros problems se hn obtenido

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

Matemáticas Bachillerato

Matemáticas Bachillerato Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

c. m a t e m á t i c a s

c. m a t e m á t i c a s Guí de mtemátics ingeníeris Universidd Tecnológic de Agusclientes c. m t e m á t i c s Guí de estudio Educción...nuestr visión hci el futuro Eloro: M en C Mónic González Rmírez Guí de mtemátics ingeníeris

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente.

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente. 1.6. Integrl de líne de un mpo Vectoril Grdiente. n Definición. Se l función esclr f definid por f : D R R, un función continumente diferencible, y se l curv, un curv prcilmente suve definid prmétricmente

Más detalles