INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO

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1 INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ARRERA: Igeería Electromecáca ASIGNATURA: DOENTES: Ig. Norberto laudo MAGGI Ig. Horaco Raúl DUARTE

2 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ONEPTOS PREVIOS. URVA EN EL AMPO OMPLEJO Defcó: se deoma curva e el campo complejo al cojuto de putos del msmo tales que verfca la sguete epresó: = ( t) = ( t) + ( t ) t a t b; t R Ecuacó vectoral de la curva. Represetacó gráfca: A (a) (t) P (afjo de ) s t = a; = ( a) el afjo es A s t = b; = ( b) el afjo es B (b) B a t b t Ejemplos: t + t para t urva = ( t) = t + para t urva () = Recta que va urva () = + desde (, ) a(, ) (,) (,) () = + Recta que va urva () = + desde (, ) a(, ) otudad. = ( t) ( t ) es cotua e el [ a, b] = ( t) so cotuas t [ a, b ] Itegrales de líea e el campo complejo - -

3 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA ( t) ( t) Esta relacó establece la codcó de cotudad para las fucoes modo que la curva defda por = ( t) + ( t ) sea cotua. de Dervacó: d( t) La dervada de '( t) = dt '( t) = lm t ( t + t) ( t) t se defe como: Iterpretacó geométrca. A P (t) (t) '(t) Q (t+ t) B t a t t+ t b Pasos para obteer la dervada. - El cremeto de la fucó ( t ) es ( t) = ( t + t) ( t) = PQ ( t + t) ( t) - ocete cremetal = vector de t gual setdo que ( t ) s t >. ( t + t) ( t) - Paso al límte: lm = '( t) t t S t t + t t Q P por lo que las sucesvas rectas secates a la curva e P se trasforma e la recta tagete a la curva P. urva oretada: dada ua ; la msma puede ser oretada de dos maeras: desde A haca B ó desde B haca A. Se covee oretar a las curvas del plao complejo segú los valores de t crecetes e el tervalo de defcó. urva opuesta: dada ua curva oretada e u setdo, se deoma curva opuesta a la msma curva pero oretada e setdo opuesto. urva regular: ua curva defda por ( t) = ( t) + ( t ), co t perteecete al tervalo [ a, b ], se dce regular e [, ] - La dervada de ( ) - La dervada '( ) ; [, ] a b s sólo s se cumple que: t es cotua para todo [, ] t a b. t a b. Itegrales de líea e el campo complejo - -

4 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA d( t) La prmera codcó mplca que cuado = '( t) + '( t) es cotua, debe dt verfcarse que '( t) '( t) cotuas e [ a, b ]. so cotuas e [, ] ( t) ( t) a b. Esto es a su ve que La seguda codcó mplca que el vector tagete a la curva e cada uo de sus putos debe estr (o ser ulo). El módulo de dcho vector es: [ ] [ ] '( t) = '( t) + '( t ) so urva smple: ua curva defda por ( ) = ( ) + ( ) smple s sólo s sedo t t t t co t [, ] a b, se dce t putos perteecetes al tervalo [, ] a b (es decr a < t < t < b ), se verfque ( t ) ( t ). Esto sgfca que la curva ó arco o se corta a sí msmo. Ua curva smple se deoma arco smple o arco de Jorda. urva cerrada: ua curva defda por ( ) = ( ) + ( ) t t t co t [, ] a b, se dce cerrada s se verfca que: ( a) = ( b ). Ua curva smple cerrada se deoma curva de Jorda. Ejemplo : Sea la curva defda: () = a es cerrada ( π ) = a ( t) = a.cos t +. a.se t; t π Puede probarse que es smple: para cualquer valor de t, teror al tervalo [, π ], la curva o tee los msmos valores. ( t ) ( t ) t, t < t < t < π Es regular: '( t) = a.se t '( t) = a.se t +. a.cos t '( t) = a.cos t cumple co la prmera codcó. Luego: ( ) ( ) ( ) so cotuas, lo que '( t) = a.se t + a.cos t = a cos t + se t = a > ; por lo tato '( t ) es o ulo para todo t [ a, b ], lo que cumple co la seguda codcó. La curva es regular, cerrada smple: es ua curva de Jorda. Itegrales de líea e el campo complejo - 3 -

5 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA a rcufereca de cetro (, ) rado a, oretada segú los valores de t crecetes. π t Ejemplo : ( t) = + a.cos t +. a.se t; t π a rcufereca de cetro rado a Ejemplo 3: urva smple o cerrada urva o smple o cerrada urva smple cerrada urva o smple cerrada També suele deomarse cotoro, o arco regular a troos, a los arcos formados por u úmero fto de arcos regulares co etremos comues. INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO Sea f ( ) = w ua fucó aalítca e u domo D cludo e el plao complejo. Sea = ( ) = (, ) + (, ) (, ) (, ) u= u v= v w f u v cotua e el domo D, por lo que: so cotuas (, ) D. osderemos ua curva (també llamada cotoro) defda por: : ( t) = ( t) + ( t); a t b Segumos el sguete procedmeto: a) Dvdmos la curva e arcos medate la cosderacó de putos sobre la msma:,, 3,..., ( ) = a ; ( b) = a b 3 - = t Itegrales de líea e el campo complejo - 4 -

6 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA b) Desgamos a cada arco así formado co. * ; co. = c) E cada uo de los arcos elegmos arbtraramete u puto que deomamos w = f ( ), * ( ) * e él calculamos la mage dada por f, el cual estrá por ser f ( ) aalítca D. - * d) Efectuamos el producto f ( ) e cada arco. e) alculamos la suma de los productos aterores para los arcos: = * ( ) = S f f) S este el lm S lm f ( ) ; a dcho límte se lo deoma tegral de = * = líea de la fucó f ( ) = w sobre la curva desde a. La curva es la traectora de tegracó. E símbolos: * f ( ). d = lm S = lm f ( ) = Itegral curvlíea ó tegral de cotoro de f sobre. Así como e el caso de tegrales de ua sola varable puede terpretarse como el valor de u área, o de u volume e el caso de fucoes de dos varables, o es posble dar ua terpretacó aáloga geométrca o físca para las tegrales e el campo complejo. Así como las tegrales reales se defía sobre tervalos de la recta real, se defe tegrales de fucoes complejas de varable compleja sobre curvas e el plao complejo. S la traectora es ua curva cerrada, se smbola: ( ). f d álculo medate tegrales reales. osderemos la fucó f ( ) como ua fucó de dos varables reales: f ( ) = u(, ) + v(, ) Itegrales de líea e el campo complejo - 5 -

7 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA * * * S = +, etoces = +, = +. ( ) ( ) * * * * * f ( ) = u, + v, ; la sumatora S : * ( ) ( ) ( ) *, * *, * [ ] S = f = u + v + = = = = Podemos epresar: ( * * ) ( * *,, ) ( *, * ) ( *, * ) S = + + u v u v = = Tomado límte para ; má resulta: ( )( ) f ( ). d = u + v d + d álculo medate tegrales ordaras de varable real. Debe cosderarse que puede epresarse paramétrcamete: ( t) : ( t) = ( t) + ( t) : co a t b (pág. ) ( t) La tegral se epresa como: b { [ ] [ ]} [ ] f ( ). d = u ( t), ( t) + v ( t), ( t) d( t) + d( t ) a E forma abrevada puede epresarse: [ ] [ ] b d a f ( ). d = f ( t) ( t) dt dt Esquemátcamete: t w = f ( ) w t t d d t El cálculo de ua tegral curvlíea de ua fucó compleja de varable compleja puede reducrse al cálculo de ua tegral defda de ua fucó de ua sola varable t. Itegrales de líea e el campo complejo - 6 -

8 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA Ejemplo : calcule la tegral a) (,) + f ( ). d =. d ; a lo largo de las traectoras: a) : segmeto de recta que ue los putos (, ) (, ). b) : defda ( t) = t + t ; t (,) ( ) t La curva puede epresarse como: t ( t) = t + t d = d + d = dt + dt ( ) = t; d = dt ( t) = t; d = dt +, ( )( ) ( )( ) ( ) ( ). d = + d + d = t + t dt + dt = + t + t. dt = t t = ( + ) + = ( + ) + = + + = b) (,) (,) t La curva puede epresarse como: t ( t) = t + t d = d + d = dt + t. dt (,) + ( )( ) ( ) = t; d = dt ( t) = t ; d = t. dt ( )( ) ( )( ). d = + d + d = t + t dt + t. dt = t + t + t. dt = 3 3 t 3 4 = ( t + t + t t ). dt = ( t + 3t t ). dt = + t t = + = 4 Propedades de la tegral de líea. Propedad de lealdad: la tegral de líea de ua combacó leal de fucoes es gual a la combacó leal de las tegrales e el msmo orde. [ + ] = + a. f ( ) b. f ( ). d a. f ( ). d b. f ( ). d Esta propedad se demuestra sobre la msma base que se verfca para la tegracó e el campo real. Itegrales de líea e el campo complejo - 7 -

9 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA Propedad adtva respecto de la traectora de tegracó. f ( ). d = f ( ). d + f ( ). d s se verfca que: = + ambo de oretacó de la traectora de tegracó. Al cambar el setdo de oretacó de la curva o traectora de tegracó, la tegral compleja camba de sgo, mateedo el msmo valor del módulo. f ( ). d = f ( ). d - Acotacó del módulo de la tegral. Observacó: s ua fucó f ( ) es aalítca a lo largo de ua curva, etoces está acotada sobre la msma. w f u v es aalítca e E efecto, s = ( ) = (, ) + (, ) cotuas para todo. El módulo de ( ) M R f ( ) = u, + v, M; M > f es: ( ) ( ) so úmeros reales u( ), so v(, ) S ua fucó f ( ) es aalítca sobre ua curva, s la logtud de la curva es L, la tegral curvlíea de f ( ) está acotada por el producto M. L, sedo M la cota de f ( ) L la logtud de la curva. ( ).. f d M L ; co f ( ) M cota de la fucó L = logtud de Demostracó: * = La tegral fue obteda de ua sumatora: S = f ( ) ; por lo tato: * * * = ( ) ( ) = ( ) = = = S f f f Itegrales de líea e el campo complejo - 8 -

10 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA S f ( ) es aalítca f ( ) M. f ( ) está acotada sobre la curva. E cosecueca: Luego: S M. = M ; dode sobre la curva. = = uado pasamos al límte * = : = lm S = lm f ( ) = f ( ). d M. L = logtud de la polgoal = = L, la logtud de la curva. Teorema de la tegral de auch (Teorema de auch-goursat) S f ( ) es ua fucó aalítca e u domo D del plao complejo, smplemete coeo, es ua curva smple regular cerrada coteda e D ; etoces: f ( ). d = S ( ) = (, ) + (, ) : curva oretada e setdo postvo R : recto smplemete coeo ecerrado por f u v es aalítca e D, la tegral curvlíea es: f ( ). d = u. d v. d + v. d + u. d Por ser ( ) f cotua e D, las fucoes u(, ) (, ) v so cotuas e D. Las dervadas parcales de prmer orde: δ u δ u δ v δ v ; ; ; so cotuas e D. δ δ δ δ El Teorema de Gree e el plao os permte reescrbr la tegral de la sguete maera: δ δ δ δ ( ). v u = + δ δ.. u v f d d d δ δ. d. d R R Pero, de acuerdo a las ecuacoes de auch-rema: δ u δ δ δ = v ; u = v δ δ δ δ los tegrados de estas dos tegrales dobles so cero e todo R. S f ( ) es aalítca f '( ) es cotua e D : ( ). = f d R Itegrales de líea e el campo complejo D

11 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA La oretacó de la curva o tee mportaca para el valor de la tegral. f ( ). d = f ( ). d = Nota: Goursat fue el prmero e demostrar que la codcó de cotudad de f '( ) se puede omtr. osecuecas del teorema de la tegral de auch. La tegral curvlíea de f ( ) (aalítca e el domo D ) etre dos putos cualesquera de u domo smplemete coeo, es depedete de la traectora que ue aquellos putos. - f ( ). d = f ( ). d D Las curvas o se tersecta, salvo e los putos etremos. Tomemos ua traectora cerrada smple, formada por por oretadas e setdo opuesto. ( ) = +, la tegral a lo largo de es: f ( ). d = f ( ). d + f ( ). d =, por el Teorema de auch-goursat. = f ( ). d + f ( ). d f ( ). d = f ( ). d pero: f ( ). d = f ( ). d ; por lo que: f ( ). d = f ( ). d aso de cotoros cerrados smples. 3 f ( ). d = f ( ). d f ( ). d = ( ). f d 3 3 f ( ). d = f ( ). d Esto costtue el Prcpo de Deformacó de la Traectora. La tegral de líea etre dos putos fjos de u domo D, smplemete coeo, efectuada sobre ua curva que los ue o altera su valor s la curva sufre ua deformacó Itegrales de líea e el campo complejo - -

12 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA cotua, mateedo sus etremos fjos sempre que al producrse tal deformacó, la curva o cotega putos del plao dode f ( ) deje de ser aalítca. Geeralacó del Teorema de la Itegral de auch a domos múltplemete coeos Sea ua curva smple cerrada sea ( j =,,..., ) u úmero fto de cotoros smples cerrados detro de, tales que las regoes terores a cada j o cotega putos e comú. Sea R la regó cerrada formada por todos los putos detro de, salvo los putos terores a cada j j. Deotaremos por Q a toda la frotera oretada de R formada por todos los cotoros recorrdos de modo que los putos terores quede a la querda de Q. S f ( ) es aalítca e todo R : ( ). = Q f d j, F D E Domo doblemete coeo D A G B D H M D Froteras Al ur las froteras co dos traectoras AB DE, el domo queda dvddo e dos domos smplemete coeos, de modo que e cada uo de ellos podemos aplcar el Teorema de la Itegral de auch. D D domos smplemete coeos: f ( ) aalítca e D f ( ) aalítca e D = = AME ED DHB BA AB BGD DE EFA Sumado las ecuacoes aterores membro a membro, observamos que las tegrales de las traectoras que ue los putos E co D A co B se aula por teer setdo opuesto, co lo que os que os queda: = AME EFA DHB BGD f ( ). d f ( ). d f ( ). d f ( ). d = Teorema de la Itegral de auch e domos múltplemete coeos Itegrales de líea e el campo complejo - -

13 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA Domos -coeos. D j = j j= f ( ). d f ( ). d f ( ). d f ( ). d f ( ). d = de dode se obtee: Geeralacó del Teorema de auch para domos -coeos. Ejemplo : alcule la tegral d + a través de las traectoras ; ; 3 ; 4 5. Puede afrmarse que: d d = + + f ( ) es aalítca. ; puesto que e el recto R, d d = por lo msmo; pero las traectoras cerradas que ecerra putos como = =, dode f ( ) o es aalítca (por o ser cotua) o permte aplcar el Teorema de la tegral de auch. Ejemplo : alcule la tegral 3-3 d ( + 9) e : eros del deomador = = 3 = 3 d d d = = ; pues el teror es aalítco e ( + ) 9 ( + 9) ( + 9) todos los putos de la coroa co frotera. B = + Itegrales de líea e el campo complejo - -

14 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA Fórmula de la Itegral de auch Sea f ( ) ua fucó aalítca e u domo D, ua curva eteramete coteda e D, co oretacó postva. S es cualquer puto teror a, etoces se verfca: f ( ) f ( ) = π d Esta fórmula os dce que s se cumple las codcoes aterores, los valores de la fucó f ( ) e putos terores a queda completamete determados por los valores f ( ) e la curva. Al escrbr la fórmula ateror de la forma: f ( ) d = π f ( ) puede usarse para calcular el valor de certas tegrales sobre cotoros (curvas smples cerradas). D Ejemplo : alcule e r = d 3 sedo : = S hacemos f ( ) = e aalítca aalítca e su teror, la tegral resulta: e d = π e = π e = Ejemplo : alcule e + d ( )( ) + = + sedo : = 3 Itegrales de líea e el campo complejo - 3 -

15 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA ( ) e e + () Se hace f ( ) = ( + ) d ; ( ) la fucó o es aalítca e el teror de, o r = 3 puede usarse la fórmula de auch. - e e ( ) () Se hace f ( ) = d ; + ( ) ( ) la fucó tampoco es aalítca e el teror de. No puede utlarse la fórmula de auch e guo de los dos casos. Ejemplo 3: - r = S cambo el cotoro de tegracó a : =, puede hacerse f ( ) = e ( + ) = f ( ) es ahora aalítca e el teror de e ( + ) = π = π = π ( ) e + e d e = Ejemplo 4: -3 - ( ) 3 r = ( 9) alcule. d ( 9)( + ) e : = La fucó tegrado o es aalítca e = 3; = 3; = Hacedo f ( ) = ( 9) aalítca e el teror de. f ( ) π d = = π = π = d ( + ) 9 5 = = esta f ( ) es Fórmula de la tegral de auch etedda a domos múltplemete coeos. Sea f ( ) ua fucó aalítca e u domo D doblemete coeo u puto teror del msmo. Sea, además, las froteras de dcho domo. Se verfca etoces: = π f ( ) f ( ) f ( π ) d d Itegrales de líea e el campo complejo - 4 -

16 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA osderemos ua curva smple cerrada que ecerra a que o tercepte a las curvas. De esta maera, la fucó f ( ) es aalítca e el uevo domo trcoeo de froteras, ; por lo que podemos aplcar la geeralacó del Teorema de auch a domos -coeos. f ( ) f ( ) f ( ) d d d = Pero este últmo térmo: f ( ) d = π. f ( ) ; de modo que: f ( ) f ( ) d = π d. f ( ) ; ordeado coclumos: f ( ) f ( ) f ( ) = π d d Para domos -coeos: D j f ( ) f ( ) f ( ) = π d d j = j Dervadas de fucoes aalítcas. Puede demostrarse que s ua fucó es aalítca e u puto, sus dervadas de todos los órdees este, so aalítcas e dcho puto. Propedad fudametal. Sea f ( ) ua fucó aalítca e u domo D. Admte por lo tato dervadas de todos los órdees e D, que so a su ve fucoes aalítcas e dcho domo. El valor de dchas dervadas puede calcularse co la sguete epresó: Itegrales de líea e el campo complejo - 5 -

17 INGENIERÍA ELETROMEÁNIA f ( ) f '( ) = π d ( ) f ( ) f ''( ) = π d 3 ( ).. geeralado ( )! f ( ) f ( ) = + π d ( ) ; ( =,,,... ) Bblografía. HURHILL, R., BROWN, J. Varable compleja aplcacoes. 7º Edc. Mc Graw-Hll. 4.. KREYSIG, E. Matemátcas avaadas para geería. Lmusa-Wesle SPIEGEL, M. Varable compleja. Mc Graw-Hll. 99. Itegrales de líea e el campo complejo - 6 -

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