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1 SISTEMAS NO LINEALES SISTEMAS PLANARES - CICLOS LÍMITES Prof. Virginia Mazzone - Prof. Mariana Suarez 1 Teorema de Hartman-Grobman 2

2 Teorema de Hartman-Grobman Teorema Sea ẋ = f (x), con f suficientemente suave. Supongamos que x es un equilibrio aislado y que A = f x x no tiene autovalores sobre el eje imaginario. Entonces existe un homeomorfismo h definido en U, entorno de x, h : R 2 que lleva las trayectorias del sistema no lineal sobre las del sistema linealizado. En particular h(x ) = 0. H-G afirma que es posible deformar de manera continua (alrededor del equilibrio) las trayectorias del sistema no lineal en las trayectorias del sistema linealizado (via el homeomorfismo)

3 Teorema de Hartman-Grobman - Cont. En general es muy dificultoso hallar h. Sin embargo el teorema afirma que el comportamiento cualitativo del SNL alrededor de un equilibrio es similar al sistema linealizado (por ejemplo, estabilidad del equilibrio). Qué ocurre cuando la linealización tiene un autovalor en el origen? Si A(x ) es la matriz del sistema linealizado alrededor del equilibrio x, que el 0 sea autovalor de A(x ) significa que A(x ) no tiene inversa y luego el sistema linealizado tiene un continuo de puntos de equilibrio (subespacio de equilibrio)

4 A partir de H-G no podemos concluir nada sobre el comportamiento del sistema no lineal alrededor de x. Su comportamiento depende fuertemente, en este caso, de los términos no lineales de mayor orden: Teoría de la variedad central. Qué ocurre cuando la linealización tiene un autovalor en el eje imaginario? En el sistema linealizado hay un centro. En cambio, el sistema no lineal puede tener trayectorias que convergen en espiral al equilibrio o fuera de él, dependiendo de los términos de orden superior.

5 Ejemplo 1: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 1 εx 2 1x 2 (0,0) PE f x x=0 = donde λ 1,2 = ± j [ 0 ] (1) El sistema linealizado tiene un centro (independientemente de ε).

6 Ejemplo 2: Ecuación de Duffing ẍ+δẋ x+x 3 = 0 ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 1 x 3 1 δx 2 (0,0) PE: (1,0) ( 1, 0) [ f x x=x = x1 2 δ [ 0 1 ] (0,0) 1 δ [ ] 0 1 (±1, 0) 2 ] λ 1,2 = δ ± δ λ 1,2 = δ ± δ 2 8 2

7 Por H-G el comportamiento local alrededor de cada PE coincide con el comportamiento del sistema linealizado. Cuáles son los posibles retratos de fase del sistema? Pueden existir órbitas cerradas?

8 Teorema de Hartman-Grobman Oscilación: un sistema oscila cuando tiene al menos una solución periódica no trivial. x(t + T ) = x(t) t 0 para algún T > 0 En el plano de fase, la sol. periódica resulta en una órbita o trayectoria cerrada.

9 Ejemplo: Sistema lineal Sea el sistema ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 1 [ ] 0 1 λ 1 0 1,2 = ± j En coordenadas polares, ṙ = 0 θ = 1

10 Ejemplo: Sistema lineal (cont.) Dada la condición inicial (r 0,θ 0 ) se tiene { r(t) = r0 θ(t) = t + θ 0 Las trayectorias en el plano de fases x 1 x 2 son ẋ 1 (t) = r 0 cos(t + θ 0 ) ẋ 2 (t) = r 0 sen(t + θ 0 ) El sistema es un oscilador armónico lineal

11 Problemas del oscilador lineal Pequeñas perturbaciones destruyen la oscilación. El oscilador lineal no es estructuralmente estable. La amplitud de la oscilación depende de la condición inicial. Por el contrario, es posible construir osciladores no lineales tales que Sean estructuralmente estables. La amplitud de la oscilación sea independiente de la condición inicial.

12 Ejemplo: Oscilador de Van der Pol Sea el sistema ÿ µ(1 y 2 )ẏ + y = 0 con µ > 0 f x x=0 = [ 0 ] 1 1 µ { ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = µ(1 x 2 1 )x 2 x 1 λ 1,2 = µ ± µ Si µ > 0 y µ 2 4 < 0 (0,0) es un foco inestable del sistema no lineal por H-G.

13 Observación: De la simulación en el plano de fase se observa que existe una órbita cerrada que atrae a las trayectorias que comienzan fuera de ella. En este caso se trata de una órbita cerrada aislada

14 de Ciclo Límite Un ciclo límite es una órbita cerrada y aislada Un ciclo límite es necesariamente una órbita cerrada, pero no vale la recíproca (ej. oscilador lineal) Los sistemas lineales no pueden tener ciclos límites

15 Otro ejemplo: Teorema de Hartman-Grobman { ẋ 1 = x 2 + αx 1 (β 2 x 2 1 x2 2 ) ẋ 2 = x 1 + αx 2 (β 2 x 2 1 x2 2 ) en polares { ṙ = αr(β 2 r 2 ) θ = 1 (2) Considerando (r(0),θ(0)) = (r 0,θ 0 ) la solución viene dada por r(t) = β (1 +C 0 e 2βαt ) 1/2 ;donde C 0 = β 2 r0 2 1 θ(t) = t + θ 0 El sistema tiene una sol. periódica (órbita cerrada) en r = β, es decir existe una órbita cerrada aislada en r = β } {{ } ṙ=0

16 Teorema de Bendixson Dado el sistema de segundo orden { ẋ 1 = f 1 (x 1,x 2 ) ẋ 2 = f 2 (x 1,x 2 ) Supongamos que D R 2 es un dominio abierto simplemente conexo ( es decir que se puede contraer a un punto en forma continua); tal que f = f 1(x 1,x 2 ) x 1 + f 2(x 1,x 2 ) x 2 no es idénticamente nula en ninguna subregión de D y no cambia de signo en D. Entonces D no contiene órbitas cerradas del sistema planar

17 Por qué se pide en el teorema que el dominio D sea simplemente conexo? { ẋ 1 = x 2 + αx 1 (β 2 x 2 1 x2 2 ) ẋ 2 = x 1 + αx 2 (β 2 x 2 1 x2 2 ) y f = 2αβ 2 4α(x x 2 2) y sea D = {(x 1,x 2 )/ 2 3 β 2 x x2 2 2β 2 } que no es simplemente conexa y contiene el ciclo límite calculado anteriormente (x x2 2 = β 2 ). Se tiene que f < 0 en D 1. Esto NO contradice el T.B. pues D no es simplemente conexo. 1 6αβ 2 f 2 3 αβ 2

18 1 R es un conjunto compacto en el plano R 2. (cerrado y acotado) 2 ẋ = f (x) es un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto que contiene a R. 3 R no contiene puntos de equilibrio del sistema. 4 Existe una trayectoria C que está toda contenida en R (es decir comienza en R y permanece en R para todo tiempo finito. Entonces, o bien C es una órbita cerrada o bien tiende a una órbita cerrada en R cuando t. En cualquier caso R contiene una órbita cerrada. C R PE

19 Observación Teorema de Hartman-Grobman Para aplicar P-B es sencillo verificar las hipótesis 1,2 y 3. Cómo podemos asegurar que existe una trayectoria C contenida en R? La idea es construir R tal que el campo vectorial del sistema apunte hacia R sobre la frontera. R

20 : Teorema de Hartman-Grobman Consideremos el sistema en coordenadas polares { ṙ = r(1 r 2 ) + µr cosθ µ > 0 θ = 1 Veamos que si µ es suficientemente chico, el sistema tiene una órbita cerrada. Busquemos dos círculos concentricos con radios r min y r max tal que ṙ < 0 fuera del círculo de radio r max y ṙ > 0 dentro del círculo de radio r min. La región R dada por 0 < r min r r max será la región buscada para aplicar P-B.

21 Para hallar r min se debe cumplir que ṙ > 0 θ, es decir que r(1 r 2 ) + µ cosθ > 0. Alcanza con pedir que r(1 r 2 ) µ > 0, lo que implica que r min < 1 µ con µ < 1. Por ejemplo r min = 0,999 1 µ. Lo mismo para r max > 1 + µ, por ejemplo r max = 1, µ. Luego por P-B, existe una órbita cerrada para µ < 1 y está dentro del anillo 0,999 1 µ < r < 1, µ

22 Por qué se pide en P-B que R no contenga PE? Consideremos el siguiente sistema { [ ] ẋ 1 x 1 + x A = ẋ 2 = x 1 x { ṙ = r en coord. polares θ = 1 λ 1,2 = 1 ± j { r(t) = r 0 e t θ(t) = t + θ 0 Consideremos R = {(x 1,x 2 ) : x1 2 + x2 2 1}. Sobre su frontera el campo vectorial da hacia adentro. Sin embargo R contiene al equilibrio. Si tomamos el anillo 0 < α 2 x1 2 + x2 2 1 las trayectorias interiores a la circunferencia de radio α NO apuntarán hacia el interior del anillo.

23 El teorema de P-B es uno de los resultados centrales en dinámica no lineal. Dice esencialmente que si una trayectoria está contenida en una región compacta sin puntos de equilibrio, entonces la trayectoria debe aproximarse a una órbita cerrada. Este resultado depende de la dimensión 2 en el plano. En dimensión n 3 P-B no vale

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