Para funciones reales de una variable real, toda función continua g : [a, b] R es la derivada de su integral indefinida f(x) = x

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1 Cpítulo 13 Integrl curvilíne Cmpos de vectores y forms diferenciles. Integrción curvilíne: Independenci del cmino y existenci de función potencil. Teorem de Green. Aplicciones Pr funciones reles de un vrible rel, tod función continu g : [, b] R es l derivd de su integrl indefinid f(x) = x g(t)dt. Además, si un derivd f : [, b] R es integrble, l clásic fórmul de Brrow relcion l integrl de f en el intervlo [, b] con los vlores de f en los extremos del mismo. En el contexto de ls funciones reles de vris vribles si un función f es diferencible en todos los puntos de su dominio, l lterntiv l función derivd es el cmpo de forms lineles x df(x) (o el cmpo de vectores x f(x)). Ahor se plnten problems nálogos los menciondos en el cso de ls funciones de un sol vrible: En primer lugr hy que verigur cundo un cmpo de forms lineles (o un cmpo de vectores) es l diferencil (el grdiente) de lgun función rel y en ese cso hbrá que desrrollr mecnismos pr clculrl. Los dos plntemientos, el de los cmpos de forms lineles y el de los cmpos de vectores conducen dos lengujes distintos pr trtr el mismo problem. De momento usremos el más fmilir de los cmpos de vectores. L integrl curvilíne (o integrl de líne) que se estudi con detlle en este cpítulo, es l herrmient pr clculr, en el cso de que exist, un primitiv de un cmpo de vectores, es decir un función rel cuyo grdiente se el cmpo ddo. Con ell se obtienen versiones de los teorems fundmentles del cálculo nálogos los menciondos l principio. L nlogí consiste en que hor l integrl curvilíne tmbién relcion los vlores de un función en los extremos de un cmino con l integrl curvilíne de su grdiente lo lrgo del mismo. Como consecuenci de esto, cundo se sbe que un cmpo continuo de vectores es el grdiente de lgun función ést se puede clculr medinte l integrl curvilíne del cmpo de vectores lo lrgo de un cmino de origen fijo y extremo vrible (un versión de l fórmul f(x) = x g(t)dt pr obtener un primitiv de l función continu g). Por otr prte, el problem de l existenci de primitiv de un cmpo de vectores no tiene un solución tn direct como en el cso de ls funciones de un sol vrible. Ahor no se puede segurr que un cmpo continuo de vectores se un grdiente: 314

2 Pr que un cmpo de clse C 1 se un grdiente es necesrio que ls derivds prciles de sus componentes estén relcionds por ls condiciones que se precisn en Ests condiciones no son suficientes pr dominios rbitrrios, pero l integrl curvilíne sirve pr demostrr que son suficientes pr dominios especiles (los estrelldos). Este resultdo es muy útil en l práctic porque proporcion, pr este tipo de dominios, un regl sencill pr sber cundo un cmpo de vectores de clse C 1 es un grdiente. L segund prte del cpítulo está dedicd los spectos especiles referentes funciones de dos vribles y cmpos plnos de vectores. En este contexto el resultdo sobre los biertos estrelldos que se cb de mencionr se extiende l clse más mpli de los biertos simplemente conexos del plno. En segundo lugr se demuestr un versión elementl del teorem de Green que tiene diverss plicciones. Este teorem puede considerrse como un generlizción de l clásic regl de Brrow y que relcion un integrl doble, en l que intervienen ls derivds prciles de ls componentes del cmpo, con l integrl del cmpo lo lrgo del borde del dominio de integrción Forms diferenciles e integrl curvilíne Un form diferencil de grdo 1 en un bierto Ω R n es un cmpo de forms lineles, es decir un plicción ω : Ω L(R n, R) donde L(R n, R) es el espcio vectoril de ls plicciones lineles L : R n R. Durnte todo este cpítulo sólo se vn considerr forms diferenciles de grdo 1 y por ello cundo se hble de un form diferencil deberá entenderse siempre que es de grdo 1. Si en el espcio vectoril L(R n, R) se consider l bse dul de l bse cnónic de R n, formd por ls proyecciones dx j : (x 1, x 2, x n ) x j, entonces l form diferencil ω se escribe en l form cnónic ω(x) = j=1 F j (x)dx j donde F j son ls funciones, definids en Ω, que dn ls coordends de ω(x) respecto est bse. Pr cd x Ω y cd h R n, l imgen del vector h medinte l plicción linel ω(x) viene dd por ( ) ω(x)h = F j (x)dx j h = F j (x)h j j=1 j=1 Si ls funciones coordends F j son continus (resp. de clse C m ) en Ω se dice que ω es continu (resp. de clse C m ). Est definición es intrínsec, es decir, no depende de l bse considerd en L(R n, R). Después de ests definiciones qued estblecido el significdo de un expresión como l siguiente: sen(x + z)dx + zx 2 y 3 dy + sen x dz. Por otr prte, en virtud de l estructur euclíde de R n, cd form diferencil de grdo 1, ω : Ω L(R n, R) se le puede socir un cmpo de vectores F : Ω R n, signndo cd x Ω, el único vector F(x) R n que verific ω(x)h = F(x) h pr todo h R n. 315

3 Recíprocmente, un cmpo de vectores F : Ω R n se le soci l form diferencil ω cuys funciones coordends respecto l bse cnónic de L(R n, R) son ls componentes del cmpo F. Por ls rzones que se verán más delnte, l form diferencil n j=1 F j(x)dx j socid l cmpo F se le suele llmr trbjo elementl del cmpo de vectores F. Ejemplo 13.1 Si f : Ω R es diferencible en un bierto Ω R n entonces df es un form diferencil cuy expresión cnónic es df(x) = n j=1 D jf(x)dx j En prticulr, si f es l restricción Ω de un plicción linel L(x) = j jx j, entonces df es constnte, y su expresión cnónic es df(x) = L = n j=1 jdx j, pr todo x Ω. En el ejemplo nterior el cmpo vectoril socido l form diferencil df es el grdiente, f : Ω R n. En lo que sigue Λ 1 (Ω) designrá el conjunto de ls forms diferenciles de grdo 1 definids en Ω, Λ m 1 (Ω) el subconjunto de Λ 1 (Ω) formdo por ls forms diferencibles de clse C m y Λ 0 1 (Ω) el conjunto de ls forms diferenciles continus. Obsérvese que Λ 1 (Ω) (resp. Λ m 1 (Ω)) es un espcio vectoril rel con ls operciones nturles de sum y producto por un esclr (ω + ω )(x) = ω(x) + ω (x); (cω)(x) = cω(x) Tmbién se puede definir el producto de un función f : Ω R por un form ω Λ 1 (Ω) del modo nturl: (fω)(x) = f(x)ω(x). En prticulr, multiplicndo ls funciones F j por ls forms constntes dx j resultn ls forms diferenciles F j dx j, cuy sum es ω. Si Λ 0 (Ω) es el conjunto de ls funciones diferencibles f : Ω R (se les llm tmbién forms diferenciles de grdo 0) entonces l diferencil d : f df, es un plicción linel d : Λ 0 (Ω) Λ 1 (Ω) que cumple d(fg) = fdg + gdf. Cundo Ω es conexo su núcleo son ls funciones constntes (vése 5.23). Definición 13.2 Si ω es un form diferencil en un bierto Ω R n y existe un función diferencible f : Ω R, tl que ω = df se dice que l form diferencil ω es exct y que f es un primitiv de ω. Si pr cd Ω existe un bol biert B(, r) Ω tl que ω B(,r) es exct se dice que ω es un form diferencil cerrd. Es decir, un form diferencil ω es exct si está en l imgen de l plicción linel d : Λ 0 (Ω) Λ 1 (Ω). Si ω es exct y Ω es conexo, l primitiv de ω qued unívocmente determind slvo un constnte ditiv. Por ls plicciones físics conviene introducir tmbién l terminologí lterntiv que corresponde l lenguje de los cmpos de vectores: Si l form diferencil ω socid un cmpo de vectores F es exct y ω = df entonces el cmpo es un grdiente, F = f, y se dice que f es un función potencil del cmpo F. Cundo Ω es conexo, l función potencil de un cmpo de vectores, si existe, no es únic, pero dos funciones potenciles del mismo cmpo difieren en un constnte, de modo 316

4 que un función potencil concret se determin especificndo su vlor en un punto. L integrl curvilíne que se estudi continución es l herrmient que permite obtener primitivs de forms diferenciles y crcterizr ls forms diferenciles excts. Con el fin de motivr l definición de l integrl curvilíne comenzmos formulándol en términos de cmpos de vectores. Conceptos físicos importntes como el trbjo relizdo por un fuerz l mover un prtícul mteril lo lrgo de un curv o l circulción de un cmpo de velociddes lo lrgo de un tryectori se definen medinte integrles curvilínes. Un cmpo de vectores en un bierto Ω R n es un plicción continu F : Ω R n que se suele representr dibujndo, pr cd x Ω, un vector F(x) plicdo en el punto x. Pr simplificr l cuestión de motivr l definición suponemos que es un cmino en Ω de clse C 1 con derivd no nul en todo punto. Su bscis curvilíne s = v(t), es un función invertible de clse C 1 y con l sustitución t = v 1 (s) se obtiene un representción prmétric equivlente (s) = (v 1 (s)) cuyo prámetro es el rco. Si L = Long(), pr cd s [0, L] l derivd (s) es un vector tngente unitrio y l componente del vector F( (s)) según este vector unitrio viene dd por el producto esclr F( (s)) (s). L integrl de este producto esclr, sobre [0, L], represent el trbjo relizdo cundo l prtícul mteril se mueve lo lrgo de l tryectori orientd, sometid l cmpo de fuerzs F. Si se efectú el cmbio de vrible s = v(t), teniendo en cuent que (t) = (s)v (t), result L 0 F( (s)) (s) ds = b F((t)) (t) dt Est interpretción es l que motiv l siguiente definición Definición 13.3 Ddo un cmpo continuo F : Ω R n, F = (F 1, F 2, F n ) en un bierto Ω R n, y un cmino regulr trozos : [, b] Ω, = ( 1, 2, n ), l integrl curvilíne de F lo lrgo de se define sí: F = b F((t)) (t) dt = n j=1 b F j ((t)) j (t) dt Obsérvese que es derivble en [, b] slvo en un conjunto finito de puntos x 1 < x 2 < < x n 1 del intervlo bierto (, b), por lo que l función f(t) = n F j ((t)) j(t) j=1 está definid en [, b] excepto en este conjunto finito. Sin embrgo en todos los puntos x 1, x 2 x n 1 existen ls derivds lterles de, y f coincide en cd intervlo bierto (x i 1, x i ) con l restricción de un función continu. Si se define f en los puntos x 1, x 2,..x n 1, signándole vlores rbitrrios, se obtiene un función integrble Riemnn cuy integrl no depende de los vlores signdos f en estos 317

5 puntos (recuérdese que si un función integrble se modificn en un conjunto finito de puntos se obtiene otr función integrble con l mism integrl). A l integrl curvilíne tmbién se le suele llmr integrl de líne o integrl de contorno y pr ell tmbién se suelen utilizr ls notciones n n F d = F j dx j = F j d j j=1 En el lenguje de ls forms diferenciles, l definición se formul sí Definición 13.4 Se ω(x) = n j=1 F j(x)dx j un form diferencil de grdo 1 definid y continu en un bierto Ω R n. Si : [, b] Ω es un cmino regulr trozos, l integrl curvilíne de ω lo lrgo de se define como l integrl curvilíne del cmpo de vectores socido: b b n n b ω = ω((t)) (t) dt = F j ((t)) j (t) dt = F j ((t)) j (t) dt j=1 donde j, 1 j n, son ls componentes de. Ls considerciones preliminres que hn motivdo l definición, l integrl curvilíne de un cmpo de vectores F lo lrgo de un cmino regulr trozos se puede interpretr como l integrl respecto l rco de l componente de F según l dirección de l tngente l cmino Por ello importntes conceptos físicos, como el trbjo relizdo por un fuerz l mover un prtícul mteril lo lrgo de un curv o l circulción de un cmpo de velociddes lo lrgo de un tryectori se expresn medinte integrles curvilínes de cmpos de vectores. Est interpretción físic es l que motiv el nombre de trbjo elementl del cmpo F que se suele utilizr pr designr l form diferencil n j=1 F j(x)dx j. Aunque pr interpretciones físics conviene considerr ls integrles curvilínes en términos de cmpos de vectores, sin embrgo, desde el punto de vist lgorítmico del cálculo tienen ventj ls integrles curvilínes expresds en términos de forms diferenciles. Con ells se pone de mnifiesto l utilidd de l expresión cnónic de un form diferencil y l ventj de l notción empled pr l bse cnónic de L(R n, R): Pr clculr l integrl de un form diferencil ω sobre un cmino x(t) = (x 1 (t), x n (t)) bst clculr l integrl definid de l función que se obtiene sustituyendo formlmente, x j = x j (t), dx j = x j(t) dt en l expresión cnónic de l form diferencil n F j (x 1, x 2,, x n )dx j j=1 Orientción de un rco de curv regulr trozos. Pr cminos regulres trozos, que son los que intervienen en l integrl curvilíne, conviene considerr l siguiente relción de equivlenci: Dos cminos regulres trozos f, g son equivlentes como cminos regulres trozos cundo se pueden expresr en l form j=1 j=1 f = f 1 f 2 f m, g = g 1 g 2,,g m 318

6 donde, pr cd k {1, m} los cminos f k y g k son C 1 equivlentes. Es fácil ver que, en este cso, un cmino se obtiene efectundo en el otro un cmbio de prámetro estrictmente monótono regulr trozos. Cundo se creciente diremos que los dos cminos tienen l mism orientción y cundo se decreciente que tienen orientciones opuests. En el primer cso los dos cminos tienen el mismo origen y el mismo extremo, pero en el segundo cso el origen de un cmino coincide con el extremo del otro y los dos cminos recorren el mismo tryecto, pero en sentidos opuestos. L noción de cminos regulres trozos equivlentes es un relción de equivlenci y cd clse de equivlenci se dice que es un rco de curv regulr trozos. Análogmente se define l noción de rco de curv orientdo regulr trozos considerndo como relción de equivlenci l de cminos regulres trozos equivlentes con l mism orientción. Un rco de curv regulr trozos qued orientdo cundo se elige un de sus representciones prmétrics regulres trozos. Ls siguientes propieddes de l integrl curvilíne son consecuenci inmedit de l definición y de ls propieddes básics de l integrl de Riemnn: Proposición 13.5 Sen F 1, F 2 cmpos de vectores definidos y continuos en un bierto Ω R n y, 1, 2 cminos regulres trozos en Ω. Se verific: i) (F 1 + F 2 ) = F 1 + F 2 ii) F = 1 F + 2 F si = 1 2 iii) F = F iv) Si 1, 2 son cminos regulres trozos equivlentes entonces 1 F = ǫ 2 F donde ǫ = 1 (resp. ǫ = 1) si los cminos tienen l mism orientción (resp. orientciones opuests). L propiedd iv) de l proposición 13.5 permite definir l integrl curvilíne de un cmpo de vectores continuo sobre un rco de curv orientdo regulr trozos, trvés de un culquier de sus representciones prmétrics dmisibles. Es decir, l integrl curvilíne es relmente un noción socid l rco de curv orientdo, que cmbi de signo cundo se cmbi su orientción. Aunque no se costumbr hcer énfsis en este hecho, sin embrgo se hce uso frecuente del mismo sin dvertirlo explícitmente. Así por ejemplo, como culquier cmino regulr trozos es equivlente otro, con l mism orientción, cuyo dominio es un intervlo prefijdo, frecuentemente se sume que el cmino que interviene en un integrl curvilíne está definido en el intervlo que conveng en cd cso. Esto es lo que se hce cundo se consider l yuxtposición de dos cminos, que priori no están definidos en intervlos contiguos, siempre que el extremo del primero coincid con el origen del segundo (pr definir explícitmente l yuxtposición serí preciso reprmetrizr los cminos en intervlos contiguos). 319

7 Proposición 13.6 Se F(x) = (F 1 (x),, F n (x)) un cmpo vectoril continuo en un bierto Ω R n y un cmino regulr trozos en Ω. Entonces F MLong() con M = sup{ F(x) 2 : x ([, b])} Dem: En virtud de l desiguldd de Cuchy, si x ([, b]) F(x) h F(x) 2 h 2 M h 2 luego b F F((t)) (t) dt M b (t) 2 dt = MLong() Se dej l cuiddo del lector el enuncido de los resultdos nteriores en términos de forms diferenciles. En lo que sigue, por comodidd de notción, considerremos preferentemente integrles curvilínes de forms diferenciles. Independenci del cmino. Definición 13.7 Si ω es un form diferencil de grdo 1 definid y continu en un bierto Ω R n, se dice que l integrl curvilíne ω no depende del cmino en Ω si pr cd pr de cminos regulres trozos 1, 2 en Ω, con el mismo origen y el mismo extremo, se verific ω = ω. 1 2 Proposición 13.8 Si ω es un form diferencil de grdo 1 continu en un bierto Ω R n son equivlentes ) L integrl curvilíne ω no depende del cmino en Ω. b) ω = 0 pr cd cmino en Ω, cerrdo y regulr trozos. Dem: ) b) es inmedito pues todo cmino cerrdo tiene los mismos extremos que un cmino constnte. b) ) Si 1, 2 son cminos regulres trozos en Ω con los mismos extremos entonces = 1 ( 2 ) es un cmino cerrdo en Ω y por hipótesis 0 = ω = ω 1 ω 2 Ejemplo 13.9 L form diferencil ω(x, y) = ydx + 2xdy, está definid en todo el plno, y su integrl curvilíne ω depende del cmino. 320

8 Dem: Obsérvese 1 (t) = (t, t) y 2 (t) = (t, t 2 ), t [0, 1], son cminos en R 2 con el mismo origen y el mismo extremo, que proporcionn distint integrl curvilíne. L siguiente proposición que d un condición suficiente pr que l integrl de líne ω se independiente del cmino en Ω, proporcion el procedimiento estndr pr conseguir un primitiv de un form diferencil exct. Proposición Se ω un form diferencil de grdo 1 continu en un bierto Ω R n. Si ω es exct y f es un primitiv de ω entonces pr todo cmino regulr trozos en Ω de origen x y extremo y, se verific ω = f(y) f(x) Dem: Se ω = df donde f : Ω R es diferencible. Consideremos un subdivisión = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b de [, b] tl que cd [xj 1,x j ] es de clse C 1. Entonces n xj n xj ω = df = df((t)) (t) dt = (f ) (t) dt x j 1 x j 1 j=1 Utilizndo el teorem fundmentl del cálculo y recordndo que () = x, (b) = y se obtiene n ω = [f((x j ) f((x j 1 ))] = f((b)) f(()) = f(y) f(x) j=1 j=1 Est últim proposición pone de mnifiesto que cundo se sbe que un form diferencil ω es exct, ω = df, l integrl curvilíne es l herrmient decud pr determinr (slvo un constnte) l primitiv f: Si Ω es conexo, se obtiene un primitiv f de ω fijndo un punto Ω y definiendo f(x) = x ω donde x es culquier cmino en Ω, regulr trozos, con origen fijo en y extremo vrible x Ω. (Si Ω no es conexo se obtiene l primitiv procediendo como se cb de indicr en cd un de sus componentes conexs). En el lenguje de los cmpos de vectores, e interpretndo l integrl curvilíne como trbjo, l proposición nterior se trduce en el principio físico que dice que si un cmpo de fuerzs F dmite función potencil f, entonces el trbjo relizdo cundo un prtícul recorre l tryectori sometid l cmpo de fuerzs F es igul l diferenci del potencil del cmpo entre los extremos de l tryectori. En este cso el trbjo relizdo no depende de l tryectori que h seguido l prtícul; sólo depende de l posición finl y de l posición inicil de l mism. Por est rzón se llmn conservtivos los cmpos de fuerzs cuy integrl curvilíne no depende del cmino, es decir el trbjo que relizn lo lrgo de un cmino sólo depende de los extremos del cmino. En prticulr, no se reliz trbjo l cundo l prtícul recorre un tryectori cerrd. Con el siguiente teorem quedn crcterizdos los cmpos conservtivos como quellos que tienen función potencil. 321

9 Teorem Si ω es un form diferencil continu, de grdo 1, definid en un bierto Ω R n son equivlentes ) ω es exct. b) ω = 0 pr cd cmino cerrdo y regulr trozos en Ω. Dem: ) b) Es consecuenci inmedit de l proposición b) ) No es restrictivo suponer que Ω es conexo y por lo tnto conexo por poligonles, (si no es sí se plic el siguiente rzonmiento en cd componente conex). Fijdo Ω, pr cd x Ω existe un cmino regulr trozos x : [0, 1] Ω de origen = x (0) y extremo x = x (1) y se define f(x) = ω. x En virtud de l proposición 13.8 l definición de f(x) sólo depende del extremo x del cmino. El objetivo es demostrr que f es diferencible en Ω con df(x) = ω(x) pr todo x Ω. Es decir, hy que demostrr que ǫ(h) = f(x + h) f(x) ω(x)h verific lím h 0 ǫ(h)/ h 2 = 0 Fijdo un punto x Ω comenzmos eligiendo ρ > 0 tl que B(x, ρ) Ω. De est form, si h < ρ, podemos segurr que el segmento σ(t) = x + th, t [0, 1] está contenido en Ω y con ello que el cmino regulr trozos x σ, de origen y extremo x + h, está contenido en Ω, de modo que podemos utilizdo pr clculr f(x + h). Usndo ls propieddes de l integrl curvilíne f(x + h) f(x) = ω ω = ω x σ x Si F es el cmpo vectoril socido ω, como σ (t) = h, result ǫ(h) = σ ω ω(x)h = 1 0 F(σ(t)) F(x) h dt Como F es continuo en x Ω existe B(x, r) B(x, ρ) tl que F(y) F(x) 2 < ǫ pr todo y B(x, r). Entonces, si h 2 < r, en virtud de l desiguldd de Cuchy, σ F(σ(t)) F(x) h F(σ(t)) F(x) 2 h 2 ǫ h 2 y se obtiene ǫ(h) es decir y esto termin l prueb. 1 0 F(σ(t)) F(x) h dt ǫ h 2 h 2 < r ǫ(h) < ǫ h 2 322

10 Si ω(x) = df(x) = n j=1 D jf(x)dx j es un form diferencil exct de clse C 1, sus funciones coordends F j (x) = D j f(x) son de clse C 1, lo que signific que f es de clse C 2 y plicndo el teorem de Young 6.4 se obtiene que que pr todo i, j {1, 2 n} y todo x Ω se cumple D i F j (x) = D ij f(x) = D ji f(x) = D j F i (x). El recíproco se cumple cundo el bierto Ω es estrelldo: Definición Un bierto Ω de R n se dice que es estrelldo si hy un punto Ω tl que pr cd x Ω el segmento [,x] está contenido en Ω. Teorem Si ω(x) = n j=1 F j(x)dx j es un form diferencil de clse C 1 definid en un bierto estrelldo Ω R n, son equivlentes: i) ω es exct. ii) D i F j (x) = D j F i (x) pr cd i, j {1, 2, n} y cd x Ω. Dem: Y hemos visto que i) ii) unque Ω no se estrelldo, ii) i) Supongmos, pr simplificr l escritur, que Ω es estrelldo respecto l origen. Pr cd x Ω se σ x (t) = tx, t [0, 1], el segmento de origen 0 y extremo x, que por hipótesis está contenido en Ω, lo que permite definir l función 1 1 f(x) = ω = F(tx) x dt = h(x, t) dt σ x 0 0 donde F es el cmpo vectoril socido ω. L función h(x, t) = n x j F j (tx) posee derivds prciles continus respecto ls vribles x 1, x 2, x n j=1 h x k (x, t) = F k (tx) + n tx j D k F j (tx) j=1 En virtud de l hipótesis ii), D k F j = D j F k luego h x k (x, t) = F k (tx) + n tx j D j F k (tx) = d dt (tf k(tx)) j=1 Utilizndo se concluye que f posee derivds prciles continus en Ω que se obtienen derivndo bjo l integrl D k f(x) = 1 0 h x k h(x, t) dt = luego f es diferencible en Ω y df = ω 1 0 d dt (tf k(tx))dt = F k (x), 1 k n Como ls bols son conjuntos estrelldos, plicndo el teorem nterior sobre cd bol B(, r) Ω se crcterizn ls forms diferenciles cerrds de clse C 1 323

11 Corolrio Si ω(x) = n j=1 F j(x)dx j es un form diferencil de clse C 1 definid en un bierto Ω R n, son equivlentes: i) ω es cerrd. ii) D i F j (x) = D j F i (x) pr cd i, j {1, 2, n} y cd x Ω. El siguiente ejemplo pone de mnifiesto que el resultdo expuesto en el teorem no se cumple cundo Ω es un bierto rbitrrio. Ejemplo En virtud del corolrio l form diferencil ω(x, y) = y x 2 + y 2dx + x x 2 + y 2dy es cerrd en el bierto Ω = R 2 \ {0}. Sin embrgo no es exct porque C(t) = (cost, sen t), 0 t 2π es un cmino cerrdo en Ω y ω = 2π 0. C Ejemplo En virtud del teorem l form diferencil ω(x, y) = 2xydx + (x 2 + 2y)dy, definid en R 2, es exct. Si f : R R es un primitiv de ω debe cumplir D 1 f(x, y) = 2xy, D 2 f(x, y) = x 2 + 2y. De l primer condición se sigue que f es de l form f(x, y) = x 2 y + ϕ(y) donde ϕ : R R es un función derivble, y utilizndo l segund condición se lleg que x 2 +2y = x 2 +ϕ (y) luego ϕ(y) = y 2 +c. Se obtiene sí l primitiv f(x, y) = x 2 y + y 2 + c Forms diferenciles en el plno En est sección se considern spectos prticulres de ls forms diferenciles de dos vribles que escribiremos en l form ω(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Medinte el corolrio hn queddo crcterizds ls forms diferenciles cerrd de clse C 1 como quells que verificn l condición D 2 P = D 1 Q. Cundo n = 2 ls forms diferenciles cerrds tmbién se pueden crcterizr medinte un condición de distint nturlez, que tiene l ventj de plicrse forms diferenciles que sólo se suponen continus (vése 13.17). Tmbién se estudi en est sección el problem generl de l independenci del cmino pr el cso de ls forms diferenciles de dos vribles. En lo que sigue cundo se hble de rectángulos en el plno se supondrá que son cerrdos de ldos prlelos los ejes, es decir, de l form R = {(x, y) : x [, b], y [c, d]} En ese cso R denot l cmino poligonl cerrdo que recorre l fronter en el sentido (, c) (b, c) (b, d) (, d) (, c). 324

12 Diremos que Ω es un bierto especil si existe (, b) Ω tl que pr cd (x, y) Ω el rectángulo R de vértices opuestos (, b), (x, y) está contenido en Ω. (Nótese que R puede degenerr en un segmento si x = o si y = b). Son biertos especiles los discos, los semiplnos biertos determindos por rects prlels uno de los ejes y los cudrntes biertos. Pr los biertos especiles se verific Teorem Si ω(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy es un form diferencil definid y continu en un bierto especil Ω R 2, son equivlentes ) ω es exct. b) ω = 0 pr cd rectángulo R Ω. R Dem: ) b) está probdo en b) ) Se (, b) Ω un punto tl que pr todo (x, y) Ω el rectángulo R determindo por (, b), (x, y) está contenido en Ω. Su borde orientdo es l yuxtposición de cutro segmentos R = σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 donde σ j son los segmentos que se indicn continución σ 1 es el segmento horizontl de origen (, b) y extremo (x, b). σ 2 es el segmento verticl de origen (x, b) y extremo (x, y). σ 3 es el segmento horizontl de origen (x, y) y extremo (, y). σ 4 es el segmento verticl de origen (, y) y extremo (, b). Consideremos los dos cminos 1 = σ 1 σ 2, 2 = ( σ 3 ) ( σ 4 ) de origen (, b) y extremo (x, y). Como R = 1 ( 2 ), en virtud de l hipótesis b) se cumple ω ω = = Pr cd (x, y) Ω se f(x, y) = (x,y) ω donde (x,y) es uno de los dos cminos 1, 2 que se cbn de considerr. Bstrá demostrr que pr todo (x, y) Ω se cumple D 1 f(x, y) = P(x, y) y D 2 f(x, y) = Q(x, y) pues de quí se sigue, usndo l continuidd de P y Q, que f es diferencible en Ω con df = ω. Fijdo (x, y) Ω, se r > 0 tl que B((x, y), r) Ω. Entonces si h r podemos segurr que el segmento σ h (t) = (x + th, y), 0 t 1, está contenido en B((x, y), r). Si usmos el cmino 2 pr clculr f(x, y) y el cmino 2 σ h pr clculr f(x + h, y) obtenemos l siguiente expresión del cociente incrementl (h) = f(x + h, y) f(x, y) h = 1 h R σ h ω = 1 h 1 0 P(x + th, y)h dt En virtud del teorem 12.9 l función (h) = 1 P(x + th, y) dt es continu en 0 [ r, r] y se sigue que lím h 0 (h) = (0) = P(x, y). 325

13 Con un rzonmiento nálogo se demuestr que D 2 f = Q. En este cso, hy que considerr cociente incrementl (h) = f(x, y + h) f(x, y) h y pr clculr f(x, y +h) (resp. f(x, y)) debemos usr el cmino 1 σ h (resp. 1 ) con σ h (t) = (x, y + th), 0 t 1. not: En ls condiciones del teorem nterior, hciendo explícits ls dos integrles de líne que se pueden usr pr obtener l primitiv f se lleg ls siguientes fórmuls pr un primitiv de P(x, y)dx + Q(x, y)dy en Ω. f(x, y) = y y 0 Q(x 0, t) dt + x x 0 P(t, y) dt = x x 0 P(t, y 0 ) dt + y y 0 Q(x, t) dt En l definición de form diferencil cerrd sólo se exige que fijdo un punto Ω hy un bol suficientemente pequeñ B(, r) Ω donde l form diferencil teng primitiv. Cundo n = 2 ocurre lo mismo cundo l bol se tom todo lo grnde que se pued. Esto es consecuenci de l siguiente proposición, según l cul en los biertos especiles tod form diferencil continu y cerrd es exct. Proposición Si ω es un form diferencil de grdo 1 definid y continu en un bierto Ω R 2, son equivlentes: ) ω es cerrd. b) ω = 0 pr cd rectángulo R Ω. R c) ω posee primitiv en cd bierto especil V Ω (y en prticulr en cd bol B(, r) Ω) Dem: b) c) está probdo en y c) ) es evidente. ) b) Se puede probr por reducción l bsurdo, suponiendo que R ω 0 pr lgún rectángulo cerrdo R Ω. Se = diámetro(r). Trzndo los segmentos que unen los puntos medios de los ldos opuestos se descompone R en cutro rectángulos congruentes R 1,R 2,R 3,R 4. Teniendo en cuent ls cncelciones de l integrl curvilíne sobre segmentos opuestos result: 0 R ω = 4 j=1 R j ω luego ω 0 pr lgún i {1, 2, 3, 4}. Si R R i 1 = R i se tiene, diámetro(r 1 ) = /2. Repitiendo con R 1 el rzonmiento que se cb de hcer con R se obtiene un rectángulo cerrdo R 2 R 1 tl que diámetro(r 2 ) = /2 y R 2 ω 0. De modo recurrente se obtiene un sucesión decreciente de rectángulos cerrdos R n tl que pr todo n N se cumple diámetro(r n ) = /2 n y ω 0 R n 326

14 L intersección de l sucesión decreciente de compctos R n no es vcí (de hecho se reduce un punto). Si (x 0, y 0 ) n N R n, por hipótesis ω tiene primitiv en lgun bol B = B((x 0, y 0 ), r) Ω. Sin embrgo pr n suficientemente grnde es R n B y R n ω 0. Con est contrdicción concluye l demostrción Homotopí e independenci del cmino. Diremos provisionlmente que un bierto Ω R 2 tiene l propiedd P si tods ls forms diferenciles cerrds y continus definids en Ω son excts. Según el ejemplo el bierto Ω = R 2 \{(0, 0)} no tiene l propiedd P y l proposición dice que todos los biertos especiles l tienen. Los biertos con l propiedd P se pueden crcterizr en términos topológicos medinte l noción de homotopí que estudimos continución. Definición Dos cminos cerrdos 0, 1 : [0, 1] Ω en un bierto Ω R 2 se dice que son Ω-homotópicos (como cminos cerrdos) si existe un función continu H : [0, 1] [0, 1] Ω que verific: i) H(0, t) = 0 (t), H(1, t) = 1 (t), pr todo t [0, 1]. ii) H(s, 0) = H(s, 1) pr todo s [0, 1]. Dos cminos 0, 1 : [0, 1] Ω, con los mismos extremos: 0 (0) = 1 (0) = x 0, 0 (1) = 1 (1) = x 1, se dice que son Ω-homotópicos (con los extremos fijos) si existe un función continu H : [0, 1] [0, 1] Ω que cumple: i) H(0, t) = 0 (t), H(1, t) = 1 (t), pr todo t [0, 1]. ii) H(s, 0) = x 0, H(s, 1) = x 1 pr todo s [0, 1]. Pr interpretr el significdo de l Ω-homotopí de cminos cerrdos consideremos el conjunto Λ(Ω) formdo por los cminos cerrdos : [0, 1] Ω, dotdo de l distnci de l convergenci uniforme d (, η) = máx{ (t) η(t) 2 : 0 t 1} Si H : [0, 1] [0, 1] Ω es un homotopí entre los cminos cerrdos 0, 1, pr cd s [0, 1] l función prcil H s : [0, 1] Ω, H s (t) = H(s, t) es un cmino cerrdo en Ω, con H 0 = 0 y H 1 = 1. Como H es uniformemente continu en el compcto [0, 1] [0, 1], ddo ǫ > 0 existe δ > 0 tl que si s, s [0, 1] y t, t [0, 1] verificn s s < δ, t t < δ entonces H(s, t) H(s, t ) 2 < ǫ. Entonces, si s s < δ, pr cd t [0, 1] se verific d (H s, H s ) ǫ, lo que signific que l plicción s H s de [0, 1] en el espcio métrico (Λ(Ω), d ) es continu. Vemos sí que el hecho de que dos cminos cerrdos 0 y 1 sen Ω-homótopicos (como cminos cerrdos) signific que existe un fmili uniprmétric H s de cminos cerrdos en Ω, que depende continumente de s [0, 1], medinte l cul el cmino 0 = H 0 se v deformndo continumente, dentro de Ω, hst trnsformrse en 1 = H 1. L interpretción de l Ω-homotopí de cminos con extremos fijos es similr considerndo el conjunto Λ x0 x 1 (Ω) formdo por los cminos : [0, 1] Ω, con 327

15 (0) = x 0, (1) = x 1, dotdo de l métric de l convergenci uniforme. Ahor todos los cminos intermedios H s tienen los mismos extremos que 0 y 1. Comenzmos con lguns observciones preliminres que yudrán redctr l prueb de teorem Si ω es un form diferencil cerrd definid en un bierto Ω R 2, ddos dos cminos regulres trozos con los mismos extremos, : [0, 1] Ω, diremos que es un ω-modificción elementl de si existe un intervlo [t 0, t 1 ] [0, 1] tl que (t) = (t) pr todo t [0, 1] \ [t 0, t 1 ] y demás ([t 0, t 1 ]) D, ([t 0, t 1 ]) D donde D Ω es un disco bierto tl que ω D es exct. Si se obtiene prtir de medinte un cden finit de modificciones elementles sucesivs diremos que es un ω-modificción de. Lem Se ω un form diferencil cerrd y continu, definid en un bierto Ω R 2 y, : [0, 1] Ω dos cminos regulres trozos en Ω, con los mismos extremos. Si es un ω-modificción de se cumple ω = ω Dem: Bst demostrrlo cundo es un ω-modificción elementl de. En este cso bst observr que ls integrles de ω lo lrgo de [t0,t 1 ] y [t0,t 1 ] coinciden en virtud del teorem Lem Se ω un form diferencil cerrd, definid en un bierto Ω R 2 y H : Q Ω un función continu definid en Q = [0, 1] [0, 1]. Entonces existe un subdivisión p P(Q) tl que pr cd rectángulo S (p) hy un disco bierto D S Ω tl que H(S) D S y ω DS es exct. Dem: Consideremos un sucesión p n P(Q) tl que cd p n+1 es más fin que p n y p n 0. Pr cd n, diremos que S (p n ) es ceptble si cumple l condición requerid en el enuncido (e.d. existe un disco bierto D S Ω tl que H(S) D S y ω DS es exct). Se K n l unión de los rectángulos no ceptbles S (p n ). Al refinr un subdivisión, los rectángulos ceptbles se descomponen en rectángulos ceptbles luego K n es un sucesión decreciente de compctos. L prueb hbrá termindo cundo probemos que lgún K n es vcío (y que, en ese cso, todos los rectángulos de (p n ) serán ceptbles). Esto lo hremos por reducción l bsurdo. Si suponemos lo contrrio l intersección de l sucesión decreciente de compctos K n será no vcí y si = (s 0, t 0 ) es un punto de est intersección, pr cd n existirá un rectángulo no ceptble S n (p n ) tl que S n. Por otr prte, como ω es cerrd hbrá un disco D = B(H(), r) Ω tl que ω D es exct. Entonces, en virtud de l continuidd de H, existirá δ > 0 tl que H(Q B(, δ)) D. Como S n y dim(s n ) p n 0, pr lgún n se cumplirá S n Q B(, δ) luego H(S n ) D y por lo tnto S n será ceptble. Con est contrdicción qued demostrdo que lgún K n es vcío 328

16 Teorem Se ω : Ω L(R 2, R) un form diferencil cerrd, definid y continu en un bierto Ω R 2. Si 0, 1 : [0, 1] Ω son cminos regulres trozos Ω-homotópicos con los extremos fijos se cumple ω = ω 0 1 Dem: En virtud del lem bst demostrr que 1 es un ω-modificción de 0. Se Q = [0, 1] [0, 1] y H : Q Ω un homotopí de cminos con extremos fijos entre 0 y 1. Según el lem existe un subdivisión de Q, p = ((s 0, s 1, s n ), (t 0, t 1, t 2, t m )) tl que pr cd rectángulo S ij = [s i 1, s i ] [t j 1, t j ], existe un disco bierto D ij Ω tl que H(S ij ) D ij y ω Dij es exct.. Consideremos los cminos continuos sk (t) = H(s k, t), t [0, 1]. Pr 1 k < n se χ sk el cmino poligonl de origen x 0 = 0 (0) y extremo x 1 = 0 (1), inscrito en sk, con vértices en los puntos sk (t i ), 1 i < m; es decir, χ sk se obtiene medinte yuxtposición sucesiv de los segmentos [ sk (t i 1 ), sk (t i )] i = 1, m. En un primer etp el cmino 0 se trnsform en l poligonl χ s1 medinte un cden de m modificciones elementles, sucesivs β 1, β 2, β m, relizds en l form indicd en l figur. L primer modificción β 1 de 0 se reliz dentro del disco D 11, sustituyendo el trozo del cmino 0 [t0,t 1 ] por l yuxtposición de dos segmentos contenidos en este disco. Análogmente l modificción β j+1 de β j se reliz dentro del disco D 1j, donde ω tiene primitiv. En un segund etp, medinte otr cden de m modificciones elementles sucesivs se trnsform l poligonl χ s1 en l poligonl χ s2. Finlmente, en l últim etp se obtiene 1 como un ω-modificción de l poligonl χ n 1. Qued demostrdo sí que 1 es un ω-modificción de 0. s1 β x 1 x 0 D D 12 s1 β x 0 x

17 β 3 s x 1 x D χ 1 x 1 Fin de l primer etp x 0 0. Con un demostrción similr se obtiene Teorem Se ω : Ω L(R 2, R) un form diferencil cerrd, definid y continu en un bierto Ω R 2. Si 0, 1 : [0, 1] Ω son cminos cerrdos regulres trozos Ω-homotópicos (como cminos cerrdos) se cumple ω = 0 Definición Un subconjunto bierto y conexo Ω R 2 se dice que es simplemente conexo si cd cmino cerrdo en Ω es Ω-homotópico un cmino constnte. Los biertos estrelldos son simplemente conexos: Todo bierto estrelldo Ω R 2 es conexo porque es conexo por poligonles y si : [0, 1] Ω es un cmino cerrdo en Ω, que se supone estrelldo respecto l punto Ω, entonces l función 1 ω H(s, t)) = s + (1 s)(t) Ω, (s, t) [0, 1] [0, 1] estblece un homotopí en Ω medinte l cul = H 0 se trnsform en el cmino constnte H 1 =. Tmbién es inmedito que todo bierto homeomorfo un bierto simplemente conexo es simplemente conexo. Se sigue de esto que son simplemente conexos todos los biertos Ω R 2 que son homeomorfos l disco D(0, 1). El siguiente resultdo topológico, que no será demostrdo, proporcion un crcterizción útil de los biertos simplemente conexos como los biertos conexos que no tienen orificios. Est noción se formul de modo preciso utilizndo l compctificción por un punto del plno euclídeo R 2, denotd R

18 Proposición Ls siguientes propieddes de un bierto conexo Ω R 2 son equivlentes ) Ω es homeomorfo l disco D(0, 1). b) Ω es simplemente conexo. c) Tod prej de cminos en Ω con los mismos extremos, son Ω-homotópicos como cminos con extremos fijos. d) Pr tod curv cerrd simple (curv de Jordn) C en Ω l región interior C está contenid en Ω. e) R 2 \ Ω es conexo. Teorem Si ω es un form diferencil cerrd definid y continu en un bierto simplemente conexo Ω R 2 se verific: ) ω = 0 pr cd cmino cerrdo y regulr trozos en Ω b) 0 ω = 1 ω pr cd pr de cminos 0, 1 en Ω regulres trozos y con los mismos extremos. Es decir tod form diferencil cerrd ω definid y continu en un bierto simplemente conexo es exct. Dem: ) Como Ω es simplemente conexo es Ω-homotópico un cmino constnte 1, pr el que es obvio que 1 ω = 0, luego, en virtud del teorem 13.22, ω = 0. b) Si se plic ) l cmino cerrdo = 0 ( 1 ) result 0 = ω = 0 ω 1 ω. (tmbién se puede obtener como consecuenci de y 13.22) y con el teorem se concluye que ω es exct. Corolrio Se ω = P(x, y)dx+q(x, y)dy un form diferencil continu en un bierto simplemente conexo Ω R 2. Son equivlentes ) ω es exct. b) ω = 0 pr todo rectángulo cerrdo R Ω. R Cundo P, Q son de clse C 1 (Ω) tmbién es equivlente c) D 2 P(x, y) = D 1 Q(x, y) pr todo (x, y) Ω. Dem: Es consecuenci inmedit de 13.26, y

19 13.3. El teorem de Green L fórmul de Green relcion un integrl doble sobre un recinto plno M con un integrl de líne lo lrgo de su fronter M: (D 1 Q D 2 P)dxdy = Pdx + Qdy M Ls hipótesis pr l vlidez de est fórmul son ls nturles pr que tengn sentido ls integrles que figurn en ell: Por un prte M R 2 es un compcto medible Jordn cuy fronter M es un curv cerrd simple, regulr trozos (brevemente, región de Green). En l integrl curvilíne de l derech se supone que l fronter M está orientd positivmente (es decir, en el sentido opuesto l de ls mnecills del reloj). Por otr prte, pr segurr l existenci de ls integrles involucrds, se supone que P y Q son funciones continus en un bierto Ω M donde existen y son continus ls derivds prciles D 1 Q, D 2 P. L condición de que M se un curv cerrd simple regulr trozos signific que existe un cmino cerrdo simple y regulr trozos : [0, 1] R 2, tl que M = ([0, 1]). Ls curvs cerrds simples se suelen llmr curvs de Jordn, debido l fmoso teorem de Cmile Jordn ( ) que segur que tod curv pln cerrd simple descompone l plno en dos biertos conexos que tienen l curv como fronter común. Uno de ellos es cotdo y se llm región interior l curv y el otro, que no es cotdo, se llm región exterior. L orientción positiv de un curv cerrd simple es l que se obtiene l recorrerl en sentido opuesto l de ls mnecills del reloj, de modo que l región interior quede siempre l izquierd (se supone que usn los criterios hbitules pr representr los ejes de coordends en el plno). Est definición, que no es riguros pero tiene l virtud de ser muy clr nivel intuitivo, se puede formulr de modo más forml pero más oscuro (que lo mejor trnquiliz lgún lector muy escrupuloso con el rigor): Un prmetrizción regulr trozos (t) = (x(t), y(t)) de l curv cerrd simple C tiene orientción positiv cundo pr cd t [0, 1] donde existe y no es nulo el vector tngente (t) se cumple que el vector norml n(t) = ( y (t), x (t)) (obtenido girndo π/2 el vector tngente) entr en M, región interior C, es decir, existe δ > 0 tl que 0 < s < δ (t) + sn(t) M. M n(t) (t) M (t) No demostrremos l versión generl de l fórmul de Green. Solo veremos l demostrción pr regiones de Green que son de uno de los dos tipos siguientes 332

20 I) M = {(x, y) : x b, f 1 (x) y f 2 (x)} II) M = {(x, y) : c y d, g 1 (y) x g 2 (y)} donde ls funciones que ls determinn f 1, f 2 : [, b] R, g 1, g 2 : [c, d] R son de clse C 1 trozos. Con est definición conviene dvertir que un región tn sencill como el disco M := {(x, y)) : x 2 + y 2 1} no es ni de tipo tipo I) ni de tipo II) porque l describirlo en l form {(x, y) : 1 x 1, 1 x 2 y 1 x 2 } ls funciones involucrds en l descripción no son derivbles en los extremos del intervlo [ 1, 1]. L myor prte de los textos que demuestrn l fórmul de Green sólo lo hcen pr regiones de Green que son simultánemente de los tipos I) y II) pero no dvierten que con est hipótesis un región tn simple como un disco compcto qued excluid de l clse de regiones pr ls que demuestrn l fórmul. Obsérvese que pr un región de tipo I) l fronter se recorre en sentido positivo medinte l curv cerrd simple regulr trozos = σ 1 σ 2 ( σ 3 ) ( σ 4 ). σ 3 i) σ 1 (t) = (t, f 1 (t)), t b. ii) σ 2 (t) = (b, t), f 1 (b) t f 2 (b). σ 4 σ M 2 iii) σ 3 (t) = (t, f 2 (t)), t b. σ 1 iv) σ 4 (t) = (, t), f 1 () t f 2 ()... b Análogmente, pr un región de tipo II) l fronter se recorre en sentido positivo medinte l curv cerrd simple, regulr trozos = ( ρ 1 ) ρ 2 (ρ 3 ) ( ρ 4 ). i) ρ 1 (t) = (g 1 (t), t), c t d. d ρ 4... ii) ρ 2 (t) = (t, c), g 1 (c) t g 2 (c). iii) ρ 3 (t) = (t, g 2 (t)), c t d. iv) ρ 4 (t) = (t, d), g 1 (d) t g 2 (d). c ρ 1... M ρ 2 ρ 3 Teorem (Versión elementl del teorem de Greeen) Sen P, Q : Ω R funciones continus en un bierto Ω R, tles que ls derivds prciles D 1 Q, D 2 P existen y son continus en todo Ω. Si M Ω es un región de Green que simultánemente es de tipo de tipo I) y de tipo II) se verific (D 1 Q D 2 P)dxdy = Pdx + Qdy M donde l fronter M se supone orientd positivmente. M 333

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