UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE SUCRE ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

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1 UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE SUCRE ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS OPERADOR DE SUPERPOSICIÓN ACTUANDO SOBRE ESPACIOS DE FUNCIONES ANALÍTICAS Lic. Miguel D. Salazar TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR AL TÍTULO DE MAGISTER SCIENTIARUM EN MATEMÁTICAS CUMANÁ, MARZO DE 202

2 Índice general Pág. ÍNDICE DE FIGURAS IV. FUNCIONES COMPLEJAS 4.. Sistema de los números complejos Operaciones fundamentales con los números complejos Módulo de un número complejo El plano complejo Forma polar de un número complejo Fórmula de Euler Forma exponencial de un número complejo Logaritmo complejo Proyección estereográfica Conjuntos relevantes en el plano complejo Funciones complejas de una variable compleja Representación gráfica de una función compleja Diferenciabilidad de funciones complejas Integración de funciones complejas Funciones analíticas Convergencia de sucesiones de funciones complejas Transformaciones conformes Funciones Enteras II

3 2. ESPACIOS TIPO BLOCH DE FUNCIONES ANALÍTICAS Espacios tipo Bloch Los espacios de Bloch-Orlicz Ejemplos de funciones en B ϕ El espacio de Bloch-Orlicz como espacio normado Relación de los espacios de Bloch-Orlicz con otros espacios tipo Bloch El pequeño espacio de Bloch-Orlicz OPERADOR DE SUPERPOSICIÓN SOBRE ESPACIOS TIPO BLOCH Operadores de superposición sobre espacios de funciones analíticas Operadores de superposición desde el espacio B α sobre B β. Caso 0 < β < α Operadores de superposición S ϕ, actuando desde el espacio B α sobre B β. Caso 0 < α β Operador de superposición entre los espacios α-bloch y Bloch-Orlicz El caso del espacio de Bloch con peso BIBLIOGRAFÍA 8 III

4 Índice de figuras.. La esfera de Riemann Proyección estereográfica de rectas y circunferencias Representación de una función compleja IV

5 INTRODUCCIÓN En muchas áreas de la ciencia Matemática, es común para resolver ciertos problemas considerar clases de funciones cuyo crecimiento esté dominada por ciertas funciones de pruebas con características o propiedades bien especiales. Por poner un ejemplo, en el área de las ecuaciones diferenciales, es normal considerar funciones con crecimiento controlado por una función exponencial para garantizar la existencia de soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales. En el caso del espacio de las funciones analíticas, A. Bloch en 925, para demostrar el célebre teorema, que hoy lleva su nombre, sobre la constante de Bloch, considera una clase especial de funciones holomorfas sobre el disco unitario D del plano complejo C, cuyo módulo de la derivada en un punto z D, está dominada por el inverso multiplicativo de la distancia de ese elemento z a la frontera del disco D, el cual se denota por δ D z). Resulta que esta clase de funciones presenta la estructura de un espacio vectorial y es actualmente conocido como el espacio de Bloch, en honor a quien lo trabajó por vez primera. Este espacio se denota por B y ha sido objeto de un estudio exhaustivo hasta el día de hoy. Cabe destacar que este espacio resulta ser el espacio dual del espacio de Bergman L a de las funciones analíticas sobre D que están en el clásico espacio L de las funciones absolutamente integrables. También, es conocido la relación existente entre el espacio de Bloch y la clase de las transformaciones conformes sobre D, de hecho, una función f B si y sólo si existe una transformación conforme g definida sobre D tal que f = logg ), este último hecho se debe a Pommerenke véase Pommerenke 992)). Un estudio completo sobre este espacio y sus propiedades se puede encontrar en el excelente texto de Zhu 990). Con la finalidad de extender o generalizar la gran cantidad de resultados que se han encontrados en los espacios de Bloch, otros autores han considerados otros espacios tipo

6 Bloch, donde la distancia a la frontera del disco δ D se ha sustituido por una función más general; pero con propiedades similares, es decir, por una función µ definida sobre D, la cual es continua, acotada y positiva. Sobre este tema destaca el trabajo de Zhu 993), donde se definen y se estudian las propiedades de los espacios α-bloch, aquí el autor considera µz) = δ α D z), donde α es un parámetro positivo y fijo. Casi que simultáneamente al trabajo de Zhu 993) aparece una publicación de Attele 992), donde se prueba que el operador de Hankel inducido por una función f en el espacio de Bergman es acotado si y sólo si f B µ, donde µ z) = δ D z) logfrac2δ D z)). Actualmente, la clase de funciones encontradas por Attele, se conoce como el espacio de Bloch con peso o espacio log-bloch. Desde entonces han aparecidos muchos espacios espacios tipo Bloch que generalizan los anteriores, por mencionar algunos, se tiene los espacios de Bloch-logarítmicos introducidos por Krantz y Stević en el 2009), donde la función peso viene dada por ) e µz) = δ α D z)lnβ, δ D z) con α > 0 y β 0 fijos. Y los espacios de Bloch-Orlicz introducidos por Ramos en el 200, estos últimos espacios son parte del objeto de este estudio y se dan los detalles de su construcción en el Capítulo 2 de este trabajo, donde además se mencionan algunas de las propiedades de los espacios tipo Bloch previamente mencionados. Dados dos espacios métricos X D) y Y D) de funciones analíticas sobre el disco unitario complejo D y una función analítica Φ de valor complejo en el plano. El operador de superposición S Φ sobre X D) se define por: S Φ : X D) Y D) f S Φ f) := Φ f. Si S Φ f) Y para f X, se dice que Φ actúa por superposición desde X sobre Y, algunas veces, el operador S Φ se llama operador de sustitución, u operador de Nemytskij. Uno de los objetivos, cuando se estudian este tipo de operador, es analizar sus propiedades tales como: continuidad, acotación, compacidad, norma, entre otras; haciendo uso de las propiedades funcionales del símbolo Φ y recíprocamente, de la inmersión por el operador de un espacio a otro, para obtener propiedades del símbolo Φ que lo induce. Un aspecto que hace interesante el estudio de estos operadores de superposición entre estos espacios lo constituye el hecho de que esta teoría construye un puente entre la teoría de operadores 2

7 y la teoría de funciones entre estos espacios, esta fusión ha producido una cantidad de resultados como puede verse, por ejemplo, en la base de datos de la Sociedad Americana de Matemáticas AMS,www.ams.org/mathscinet). El problema sobre la acotación del operador superposición en el contexto de las variables reales han sido estudiadas por largo tiempo y una referencia obligatoria para el estudio de este tema es el excelente texto de Appell y Zabrejko 990). Sin embargo, el estudio de tales cuestiones sobre los espacios de funciones analíticas, solamente se han realizado recientemente. Los operadores de superposición S φ que transforma un espacio de Bergman dentro de otro, o dentro de las clases de área Nevalinna fueron caracterizados en término de sus símbolos por Cámera y Giménez en 994. Los resultados de Cámera y Giménez han sido extendido por Vukotić y otros autores a otros espacios de funciones analíticas en véase, por ejemplo, Álvarez, Márquez y Vukotić 2004), Buckley y Vukotić 2008) y las referencias que allí aparecen). En particular, los operadores de superposición que transforman un espacio α-bloch, con α en otro del mismo tipo fueron caracterizados por Xu 2007) y los detalles de sus resultados lo hemos desglosados en las tres primeras secciones del Capítulo 3 de este trabajo. En el Capítulo 2 del presente trabajo, se mencionan algunas propiedades topológicas de los espacios de Bloch, α-bloch y µ-bloch y se define y estudia en profundidad las propiedades del espacio de Bloch-Orlicz, el cuál será el espacio donde se estudiaran las condiciones para ver cuando el operado S Φ actúa acotadamente sobre los espacios antes mencionados y viceversa; que es la parte central de este trabajo. Esto se desarrolla en el Capítulo 3. El trabajo se completa con un capítulo de preliminares, donde se recuerda la definición del sistema de los números complejos y se mencionan sus operaciones, propiedades, representación gráfica y su representación estereográfica. En las secciones 2 y 3 se definen y se estudian algunas propiedades de las transformaciones conformes y de las funciones enteras respectivamente que serán de gran utilidad en el desarrollo del Capítulo 3. 3

8 Capítulo FUNCIONES COMPLEJAS En este capítulo, se da un resumen sobre los aspectos más importantes de las funciones analíticas que se requiere y se estarán usando en el transcurso del siguiente trabajo... Sistema de los números complejos En esta sección, se da la definición y se mencionan algunas propiedades de los números complejos, así como sus diferentes representaciones, se define el plano complejo y se estudia la relación entre el plano complejo extendido y la esfera de Riemann la cual da origen a la proyección estereográfica, cuyos resultado serán de gran utilidad en el desarrollo del Capitulo 3. Los resultados de esta sección han sido tomado de los textos Churchill y Ward 992) y Conway 978). Sobre R R = {x, y) : x R, y R} se considera las siguientes operaciones: a, b) + c, d) = a + c, b + d), a, b). c, d) = ac bd, ad + bc), para todo a, b), c, d) R R. Se observa que. Identidad: a, b)., 0) = a, b) =, 0). a, b), 2. Neutro: a, b) + 0, 0) = 0, 0) + a, b) = a, b), 3. Opuesto: a, b) + a, b) = 0, 0) = a, b) + a, b), 4

9 4. Inverso multiplicativo: para todo a, b) R R \ {0, 0)}, se cumple ) ) a a, b). a 2 + b 2, b a a 2 + b 2 =, 0) = a 2 + b 2, b a 2 + b 2. a, b). De donde, se puede afirmar que R R con las operaciones anteriores tiene estructura de cuerpo. Este cuerpo es justamente el cuerpo de los números complejos el cual se denota por C. Se puede verificar que {a, 0) : a R} es un subcuerpo de C, y además que la aplicación a a, 0), es un isomorfismo de cuerpo. Bajo este isomorfismo se puede identificar a = a, 0), de esta manera C contiene un subcuerpo isomorfo a R. Además, con esta identificación, también se tiene: 5. a, b) = a, 0) + 0, b) = a, 0) + b, 0).0, ) = a + b0, ), 6. a, b) = a + b0, ), a, b R, y todavía más, 7. 0, ).0, ) =, 0) =, es decir,, 0) 2 =. Se define En consecuencia resulta la representación : i = 0, ) i : unidad imaginaria). a, b) = a + b0, ) = a + birepresentación binómica). Se nota que a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i, a + bi).c + di) = ac bd) + ad + bc)i, donde i 2 =. También a + bi) R, si y sólo si, b = 0. Si a = 0, al número 0 + bi se le llama número imaginario puro. Además, si i 2 =, es decir i 2 + = 0, entonces el polinomio z 2 + = 0, tiene raíces en C. Note que z 2 + no tiene raíces en R). Sea z = a, b) = a + bi a, b R). Se denota Rez) = a parte real de z), Imz) = b parte imaginaria de z), 5

10 De donde, se puede escribir z, como z = Rez) + i Imz). Por otro lado, al número complejo a bi) se le llama conjugado del número complejo a + bi) y se le denota z. Y se dice que los números complejos a, b) y c, d) son iguales, si y sólo si, a = c y b = d.... Operaciones fundamentales con los números complejos Sean z = a + bi, z 2 = c + id C, entonces se definen las siguientes operaciones, donde i 2 = :. Adición: z + z 2 = a + bi) + c + id) = a + c) + b + d)i. 2. Sustracción: z z 2 = a + bi) c + id) = a c) + b d)i. 3. Multiplicación: z.z 2 = a + bi).c + id) = ac bd) + ad + bc)i. 4. División: z z 2 = z z 2. z 2 z 2 = a + bi) di).c c + id) c id) ac + bd bc ad)i = c d2 c 2 + d Módulo de un número complejo El valor absoluto o módulo de un número complejo z = a + bi se define por: z = a + bi = a 2 + b 2. El cual, tiene las siguientes propiedades: Si z, z 2,, z m son números complejos, entonces:. z.z 2 = z. z 2 ó z.z 2...z m = z. z 2... z m, 2. z z 2 = z z 2, si z

11 3. z + z 2 z + z 2 ó z + z z m z + z z m, 4. z + z 2 z z 2 ó z z 2 z z z 2 = z.z, en particular, si z 0, entonces..3. El plano complejo z = z z 2 = z z.z. Como un número complejo z = x + iy se puede considerar como una pareja ordenada de números reales x, y), se puede representar estos números por puntos en un plano xy, llamado plano complejo. El número complejo representado por P, por ejemplo, se puede leer como x, y) o x + iy). Así, a cada número complejo le corresponde uno y solamente un punto en el plano y viceversa. La distancia entre dos puntos z = x + y y z 2 = x 2 + y 2 en el plano complejo, se define por: z z 2 = x x 2 ) 2 + y y 2 ) 2..) Una propiedad fundamental de la distancia es que ésta satisface la desigualdad triangular. En este caso, esta desigualdad viene dada por: z z 2 z z 3 + z 3 z 2, para todo z, z 2, z 3 C. Todavía más, resulta que el plano complejo es un espacio métrico completo con la distancia definida en.) y que la función módulo o valor absoluto de números complejos define la norma que induce la distancia antes definida. De manera entonces que el plano complejo es un espacio de Banach con la norma definida a través de la función módulo...4. Forma polar de un número complejo Si P es un punto en el plano complejo correspondiente al número complejo x, y) ó z = x + iy, entonces por trigonometría elemental vemos que x = r cosθ), y = rsenθ), 7

12 donde, r = x 2 + y 2 = z. El cual representa el módulo de z = x + iy, y θ se le llama amplitud o argumento de z denotado por argz)), es el ángulo que forma la recta OP con el eje positivo x. De aquí se deduce que z = x + iy = rcosθ) + isenθ), llamada la forma polar de un número complejo, y r y θ se llaman coordenadas polares. Algunas veces es conveniente la abreviatura cisθ) por cosθ) + isenθ)). Comentario... Para cualquier número complejo z 0, escrito en forma polar, le corresponde solamente un valor de θ en 0 θ 2π. No obstante, cualquier otro intervalo de longitud 2π, por ejemplo π θ π, se puede emplear. Cualquier elección particular, tomada anticipadamente, se llama la parte principal y el valor de θ se le llama su argumento principal. Ahora, se menciona algunas propiedades: Proposición.. Teorema de De Moivre). Si z = x + iy = r cosθ ) + isenθ )) y z 2 = x 2 + iy 2 = r 2 cosθ 2 ) + isenθ 2 )), entonces z.z 2 = r.r 2 cosθ + θ 2 ) + isenθ + θ 2 )),.2) Una generalización de.2) conduce a z z 2 = r r 2 [cosθ θ 2 ) + isenθ θ 2 )]. z.z 2...z n = r.r 2...r n [cosθ + θ θ n ) + isenθ + θ θ n )] ; y si z = z 2 =... = z n = z, la expresión anterior queda de la forma: z n = [rcosθ) + isenθ))] n = r n [cosnθ) + isennθ)]...5. Fórmula de Euler Al suponer que el desarrollo de la serie infinita: e x = +x+ x2 2! + x3 3! +... e = 2, ) del cálculo elemental se aplica cuando x = iθ, se puede llegar al resultado e iθ = cosθ) + isenθ),.3) 8

13 llamada fórmula de Euler. Es más conveniente, no obstante, tomar.3) como una definición de e iθ. En general, se define e z = e x+iy = e x.e iy = e x cosx) + iseny)). En el caso especial en que y = 0, se reduce a e x. Se puede ver que en términos de.3) el teorema Moivre se reduce esencialmente a e iθ ) n = e inθ...6. Forma exponencial de un número complejo La ecuación e iθ = cosθ) + isenθ) que define al símbolo e iθ, o expiθ), para todo valor real θ, se conoce como fórmula de Euler. Si se escribe un número complejo no nulo en forma polar z = rcosθ) + isenθ)). La fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial z = re iθ. Ahora, se menciona algunas propiedades. Sean z = r e iθ y z 2 = r 2 e iθ 2 dos números complejos, entonces:. Propiedad aditiva para el producto z.z 2 = r e iθ.r 2 e iθ 2 = r.r 2 e θ +θ 2 )i. 2. Escribiendo e iθ en lugar de e i θ), se tiene que e iθ.e iθ =. 3. El inverso multiplicativo de un número complejo no nulo z = re iθ es z = r.ei θ) = r.e iθ) en notación exponencial. 9

14 4. La división viene dada por z z 2 = r r 2 expθ θ 2 )i). 5. Dado que e z+2πi = e z.e 2πi y e 2πi =, la función exponencial es periódica con período imaginario puro de 2πi: esto es, para todo z C. expz + 2πi) = expz),..7. Logaritmo complejo Para cualquier número no nulo dado w = ρe iθ π < θ π), la ecuación e z = w tiene raíces z = lnρ) + iθ + 2nπ)n =, 2, 3,...). Luego, si se escribe logw) = lnρ) + iθ + 2nπ)n = 0,, 2, 3...) se observa que explogw)) = w. Esto motiva a definir el logaritmo de un número complejo. El logaritmo se define en los puntos no nulos z = re iθ, π < θ π) del plano z como logz) = lnr) + iθ + 2nπ)n = 0,, 2, 3,...). El valor principal de logz) es el valor obtenido de la ecuación anterior, cuando n = 0, y se denota por Logz). Así, pues Logz) = lnr) + iθ + 2nπ)n = 0,, 2, 3,...), o sea Logz) = ln z )+ i argz), z 0). Note que logz) = Logz) + 2nπin = 0,, 2, 3,...). El valor Logz) esta bien definido. Comentario..2. El logaritmo de z se reduce al logaritmo natural usual del cálculo cuando z es un número real positivo z = r. Para verlo, basta escribir z = re iθ, en cuyo caso la ecuación Logz) = lnr)+ iθ, se convierte en Logz) = lnr), esto es, Logr) = lnr). 0

15 Ahora se enumera algunas propiedades del logaritmo.. Si z =, entonces log) = 2nπi n = 0,, 2, 3,...). 2. Si z =, entonces log ) = 2n + )πi n = 0,, 2...). En particular, Log) = 0 y Log ) = πi. 3. Si z es un número complejo no nulo, con forma exponencial z = re iθ, entonces θ toma uno de los valores θ = Φ + 2nπ con n = 0,, 2, 3...), donde, Φ = argz). Por lo tanto, Logz) = lnr)+ iθ es expresable en la forma logz) = ln z ) + i argz), z 0). 4. Sea cual sea el valor de z, explogz)) = z, z 0). Pero, no es cierto, sin embargo, que loge z ) sea siempre igual a z. Esto es evidente del hecho de que loge z ) tiene infinitos valores para cada z dado. Ahora bien, si el número z = x + iy se restringe a la franja horizontal π y π y se toman valores principales del logaritmo, vemos que Así, pues loge z ) = z, π Imz) π. loge z ) = ln e z ) + i arge z ) = x + iy. 5. Si z, z 2 son dos números complejos no nulos, se cumple: a) logz.z 2 ) = logz ) + logz 2 ), b) log z z 2 ) = logz ) logz 2 ), c) z n = expn logz)), n = 0,, 2, 3...), d) z n = exp n logz)) n = 0,, 2, 3...)...8. Proyección estereográfica Sea π el plano complejo y considérese una esfera unidad σ de radio uno) tangente a π en z = 0 Fig..) El diámetro NS es perpendicular a π y llamaremos a los puntos N y S los polos norte y sur de σ respectivamente. Ahora, para cualquier punto A sobre π se puede construir una recta NA que corta a la σ en el punto A. En este caso, a cada punto

16 Figura.: La esfera de Riemann del plano complejo π, le corresponde uno y solamente un punto de la esfera σ, y se puede representar cualquier número complejo por un punto sobre la esfera. Para terminar, se dice que N le corresponde el punto infinito del plano complejo π. El conjunto de todos los puntos del plano, incluyendo el punto en el infinito, recibe los nombres del plano complejo entero, el plano entero z o el plano complejo extendido. El método explicado anteriormente para aplicar el plano sobre la esfera, se denomina proyección estereográfica. La esfera se llama generalmente la esfera de Riemann. Se puede obtener una relación entre los puntos del plano extendido C y los puntos de la esfera σ. Sea σ = { x, x 2, x 3 ) R 3 /x 2 + x2 2 + x 3 ) 2 = } la esfera unitaria centrada en 0, 0, ) donde, N = 0, 0, 2) es su polo norte y S = 0, 0, 0) su polo sur. También se identifica C = { x, x 2, 0) R 3 /x, x 2 R }. Ahora, para cada punto z C, se considera la linea recta en R 3 a través de z y N. Esta intersecta a la esfera en exactamente un punto Z N. Ahora, que ocurre con z, cuando z?, claramente Z se aproxima a N, debido a esto identificamos N y. Así, C se representa como la esfera σ. Por otro lado, se puede obtener una relación entre los puntos del plano extendido C y la esfera σ. Es decir, para z = x + iy C sea Z = x, x 2, x 3 ) el punto correspondiente en la esfera σ. Entonces, se puede encontrar unas ecuaciones para x, x 2 y x 3 en términos de x y y y viceversa. En efecto, la linea recta en R 3 a través de z y N dada por l = {tn + t)z : < t < } = { t) x, t)y, 2t) : < t < }. Por lo tanto, se puede encontrar las coordenadas de Z si se puede encontrar los valores de 2

17 t para la cual la linea intersecta a σ. Y esto es posible evaluando el punto t) x, t)y, 2t) en la ecuación de la esfera: t) 2 x 2 + t) 2 y 2 +2t ) 2 =, la cual simplificando se obtiene que : t = de donde, se tiene las siguientes relaciones: x = Pero, de esto se puede escribir x = 4x z ; x 2 = z 2 z ; 4y z y x 3 = 2z + 2z z ; x i2z 2z) 2 = z y x 3 = 2 z 2 z z 2 z Por otro lado, para el punto Z dado Z N se puede encontrar z en función de x, x 2 y x 3 haciendo t = x 3 2. En efecto, de donde, x = t)x x = 2x 2 x 3, x 2 = t)y y = 2x 2 2 x 3, x 3 = 2t t = x 3 2, z = x + iy = 2x 2 x 3 + 2x 2 2 x 3 i = 2 x + x 2 i) 2 x 3. Ahora, se define la función de distancia entre los puntos del plano extendido C de la siguientes manera: Para z, z en C se define la distancia de z a z, por dz, z ), y de aquí obtenemos la distancia de los puntos Z Z = x, x 2, x 3 ), entonces y Z en la esfera σ. Si Z = x, x 2, x 3 ) y dz, Z ) = [ x x ) 2 + x 2 x 2) 2 + x 3 x 3) 2] 2. Ahora, usando el hecho de que Z y Z están en σ, de lo anterior se tiene que Luego, se obtiene dz, Z ) 2 = 2 2x x + x 2 x 2 + x 3 x 3). dz, Z ) = 2 z z [ + z 2) + z 2)], z, z C. 2 3

18 De manera similar, obtenemos para z C que 2 dz, ) = + z 2). 2 Comentario..3. De lo visto anteriormente en la proyección estereográfica, para cada punto P sobre la esfera, excepto el polo norte N, le corresponde exactamente un punto z del plano y viceversa. Haciendo corresponder el polo norte N al punto infinito del plano. Y así obtenemos una correspondencia uno a uno entre los puntos de la esfera y los puntos del plano complejo extendido C. Ahora, por medio de la transformación w = z el punto z = 0 el origen) es aplicado en w =, llamado el punto en el infinito en el plano w. Análogamente denotamos por z = el punto en el infinito en el plano z. Ahora bien, se observa, en la esfera de Riemann, que la proyección estereográfica de una circunferencia con centro en el eje Z del plano tridimensional) y paralela al plano XY es también una circunferencia en el plano complejo con centro en el origen y que el radio de ésta se hace bastante grande a medida que nos acercamos al polo norte N véase la Fig..2). Esto significa que los puntos que están en un casquete polar alrededor del polo Figura.2: Proyección estereográfica de rectas y circunferencias norte se proyectan estereográficamente en el exterior de un disco en el plano complejo con centro en el origen; y dado que el polo norte se identifica con el símbolo, entonces es natural la siguiente definición. Definición..2 ε entorno de ). Para ε > 0, el conjunto D ; ε) = {z C : z > ε} 4

19 se llama un ε entorno de. Como aplicación de la notación anterior, se tiene el siguiente concepto: Se dice que una sucesión de números complejos {w n } diverge a, denotado por w n, cuando n, si para cada ε > 0, se puede encontrar un n 0 N tal que w n D ; ε) siempre que n n 0. Claramente esto significa que las proyecciones estereográficas de los puntos w n en la esfera de Riemann se acercan al polo norte N cuando la n es suficientemente grande; en particular, cada casquete polar tiene una cantidad infinita de puntos que son proyecciones de los w n. Todavía más, dado que la proyección estereográfica transforma rectas que pasan por el origen de coordenadas en el plano complejo P, en circunferencias que pasan por el polo norte y el polo sur llamados meridianos) en la esferas δ véase Fig..2). Entonces al dividir el plano complejo en varios sectores, todo casquete polar queda también dividido en la misma cantidad de sectores; por tanto, si existe una sucesión {w n } de números complejo tal que w n, cuando n, entonces se puede asegurar que en algunos de eso sectores muy cercano a ), éste contiene una subsucesión {w n} de {w n } tal que w n cuando n. Este hecho lo utilizaremos en el presente trabajo y por tal motivo se enuncia formalmente. Proposición..3. Si {w n } es una sucesión de números complejo tal que w n, cuando n y θ es un ángulo menor que 2π, entonces esta sucesión contiene una subsucesión {w n} cuyos elementos pertenecen todos a un sector angular de longitud angular menor que θ y tal que w n cuando n...9. Conjuntos relevantes en el plano complejo Se finaliza esta sección, recordando la definición de algunos conjuntos relevantes en el plano complejo. En virtud de que el conjunto de los números complejos resulta un espacio métrico con la distancia definida a través de la función módulo, entonces las siguientes definiciones son conocidas en general: Vecindad). Una vecindad de radio δ > 0, de un punto z 0, denotado por D z 0, δ), no es más que el disco Euclídeo con centro en z 0 y radio δ, es decir, es el conjunto de todos 5

20 los puntos z tales que z z 0 < δ. Una vecindad reducida δ de z 0, denotado por D z 0, δ), es una vecindad de z 0 en la que el punto z 0 se omite, es decir, D z 0, δ) = D z 0, δ) \ {z 0 }. Puntos límites). Un punto z 0 se llama un punto límite o punto de acumulación de un conjunto S si cada vecindad δ reducida de z 0 contiene puntos de S. Puesto que δ puede ser cualquier número positivo, se deduce que S debe tener infinitos puntos. Obsérvese que z 0 puede pertenecer o no al conjunto S. Conjunto cerrado). Un conjunto S se dice cerrado si cada punto límite de S pertenece a S, esto es, si S contiene todos sus puntos límites. Por ejemplo, el conjunto de todos los z tales que z. Conjuntos acotados). Un conjunto S se dice acotado si se puede encontrar una constante M > 0 tal que z < M, para cada z S. Un conjunto que es cerrado y acotado se le llama compacto. Punto interior,exterior y frontera). Un punto z 0 se llama un punto interior de un conjunto S si se puede encontrar una vecindad de z 0 cuyos puntos pertenecen todos a S. Si cada vecindad δ de z 0 contiene puntos pertenecientes a S y también puntos no pertenecientes a S, entonces z 0 se le llama punto frontera. Si un punto no es punto interior ni punto frontera de un conjunto S, es un punto exterior de S. Conjunto abierto). Un conjunto abierto S es un conjunto que consiste solamente de puntos interiores. Es decir, el conjunto S se dice abierto si para cada z S se puede encontrar un δ > 0 tal que D z 0, δ) S. Conjunto conexo). Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de puntos de conjunto puede ser unidos por un camino formado por segmentos de rectas esto es, un camino poligonal contenido en S). Regiones abiertas o dominios). Un conjunto abierto S conexo es llamado una región abierta o dominio. 6

21 .2. Funciones complejas de una variable compleja En esta sección, se da un resumen sobre los aspectos más importantes de las funciones complejas de variables complejas, entre ellas se estudian la diferenciabilidad, integrabilidad, convergencia y se mencionan algunos teoremas clásicos como el teorema de la fórmula integral de Cauchy. Las definiciones y resultados que se presentan en esta sección han sido tomados de los textos Rudin 974), Howie 2003) y Krantz y Greene 2006). Sea Ω un conjunto de números complejos. Una función f definida sobre Ω es una regla que asigna a cada z en Ω un número complejo w. El número w se le llama el valor de f en z y se denota por fz); esto es, f : Ω C z w = f z). El conjunto Ω se le llama el dominio de definición de f. Si a cada valor de z corresponde sólo un valor de w, se dice que w es una función univalente de z o que fz) es unívoca. Si más de un valor de w corresponde a cada valor de z, se dice que w es una función multivaluada o multiforme de z. Una función multivaluada puede considerarse como una colección de funciones unívocas; cada miembro de esta colección será llamada una rama de la función. Se acostumbra considerar un miembro particular como una rama principal de la función multivaluada y el valor de la función correspondiente a esta rama como el valor principal. Por ejemplo, si w = z 2, entonces para cada valor de z existe sólo un valor de w. Por esto w = fz) = z 2 es una función unívoca de z; pero si w = z 2, entonces para cada valor de z existen dos valores un w. De donde w = fz) = z 2 es una función multivaluada bivaluada en este caso) de z. Cuando se hable de función se supone, a menos que se diga lo contrario, que es una función unívoca..2.. Representación gráfica de una función compleja Un número complejo z = x+iy puede ser representado en un plano llamado el diagrama de Argand como se ilustra en la figura.3. Sin embargo, no se puede dibujar los valores de x, y y y fz) en un mismo plano, como podemos hacerlo para funciones reales y = fx). Por tanto, se representa los valores de w = fz) = ux, y) + vx, y)i en un segundo plano como se ilustra en la figura.3. El plano que contiene a la variable independiente z es 7

22 llamado el plano z y el plano que contiene a la variable dependiente w es llamado plano w. Así, la función compleja w = fz) puede verse como un mapeo o transformación del punto P dentro de una región en el plano z llamada el dominio) a los puntos imagen correspondiente P dentro de una región en el plano w llamado el rango). Figura.3: Representación de una función compleja Al pensar en una función f de esta manera, se refiere a ella como aplicación o transformación. Se utilizan términos tales como traslación, rotación y reflexión para referirse a características geométricas dominantes de ciertas aplicaciones. En tales casos, suele resultar convenientes considerar los planos z y w como coincidentes. Por ejemplo, como w = z + = x + ) + iy, la aplicación w = z + puede verse como una traslación de cada punto z a una posición situada una unidad más a la derecha. La aplicación w = iz gira cada punto no nulo z en el sentido contrario al de las agujas de un reloj un ángulo recto en torno al origen, y w = z transforma cada punto z en su reflejado respecto del eje real. 8

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