dx;. Si Laplacianos en domimios estrictarnenrte pmudoconvexos g2. Laplacianos. Sea pg un punto de un abierto O en RN. Denotamos por TpO al conjunto de

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1 Laplacianos en domimios estrictarnenrte pmudoconvexos Creradol$,, hfiendoza $tr. Intnoducs,i&r. El propdsito de esta conferenciaes describir el comportamiento cerca de la frontera y muy so'meramente algunas otras propiedades de ciertos operadores diferenciales naturales (y muy conocidos) en dominios en Cn (o R2n) que comparten con el laplaciano usual, 6 =la20x2r, ei hecho de ser elipticos en el interior del dominio, pero no en la frontera de este. Sin embargo, la degeneraci6n de los operadores en el borde es tal que ciertas propiedades de los operadores uniformemente elfpticos pennanecen ciertas para estos operadores "degenerados" si se interpretan correctamente. Esto abre la posibilidad de plantear, para estos operadores, problemas similares a los que usualmente se consideran para olrradores el(pticos hasta la frontera. La excusa para hacer esto, y por ahora es s6lo eso, una excusa, es que estudiando operadores "naturales" a veces es posible deducir infomraci6n acerca del dominio. En cualquier caso, el estudio de operadores que degeneran en la frontera del dorninio es un t6pico interesante que vale la pena investigar por si mismo. Estas notas estdn organizadas de la siguiente manera. I-as secciones 2 y 3 son esencialmente s6lo definiciones preliminares. La secci6n 4 se dedica a un ejemplo que esperamos aclare la idea de usar problemas de frontera para determinar dominios (hay otro ejemplo trivial al final de la secci6n 2, que no presenta ni remotamente las dificultades ni la riqueza del ejemplo en la secci6n 4). En la secci6n 5 se describe mas o menos superficialmente el problema que puede considerarse como motivaci6n principal. g2. Laplacianos. Sea pg un punto de un abierto O en RN. Denotamos por TpO al conjunto de derivadas direccionales en p0. Esto es, TpoO es el conjunto de objetos de la forma (2.1) v =!a;e rln donde los a; son nfmeros reales y 0"j = E/Ex;. El conjunto TpQ forma de manera natural un espacio vectorial real de dimensidn N, llamado el espacio tangente a f,l en p. Denotamos el dual por T!Q; este cs el espacio cotangente. Los objetos de la forma (2.1) con aj e C tambidn forman un espacio vectorial, esta vez sobre los complejos, que se denota CTpO. Si f es una funci6n Cl a valores reales en un entorno dr p0, f define un elemento de T$O: al vector v e TpO le hacemos corresponder v(f;. Si v estd dado por (2.1), v(f) no es sino la derivada direccional de f en la direcci6n de (a1,...,a1) en p0. Es claro qnne v(f) depende linealmente de v. Este funcional lineal definido por f en p se denota por dfp, o sirnplemrnte por df si la referencia a p es clara. Por ejemplo, si xi es una de las funciones coordenadas ell RN, dxl{v} = v(xil = ai si v = IajE*llp. Vemos de esto que los dxi, i = 1,...,N, forman la base dual a la base 3*i d TpQ. Como d(o"ilp) = a*jf(p), tenemos df = IE*if(p) dx;. Si ol,...,tn son funciones en O,la expresi6l y = fa;dxi es ufi carapo vectorial en f!: para cada p e Cl, v(p) = IuiD*ito estd en TpQ. El carqpo se dise que cs continuo, Cl, Co f segrin la regularidad de

2 los coeficientes. Por supuesto, tarnbidn tenemos campos vectoriales complejos, y los objetos duales, Iojd*j, qu se denminan fomras diferenciales. Cada dx, es un campo vectorial. Dar una mduica riemarudana ara fl cmsiste en dar un producto intemo, g(px.,.), en cada uno de los espacios Tno" L matriz de g respgcto a la base d5 es B,j(p) = g(etlp"e"jln). I-u mdtrica euclideana es la que tiene gi3 = 61;. Decimos que g es continua, CI, etc. segfn la regularidad de las funciones grj. C-on los gi.; y las forrras dxl podemos escribir S = Iijgtjdxiadx;, donde a indica lo siguiente: si s, p: V -+ E son funcionales lineales en el espacio vectorial V, aep es el mapa bilineal VxV + E definido por oop(v,w) = cr(v)f(w). Si gr y g2 son mdtricas en Q, decimos que gl y g2 son conformalmente equivalentes si existe una funci6n positiva h en (l tal que gt=hgz. Si la mdtrica g es Cl, ella induce un operador diferencial de orden 2, denotado Ag, el llamado operador de I-aplace-Beltrarni, mediante la receta Agu = tgl-lzl i;o*,1tgtlzgtje*ru) donde [gij] = tgijl-l ] lgl = det[g1.;]. Por ejemplo, si g es la mdtrica euclfdea, el operador que se obtiene es el laplaciano usual. Tomemos otro abierto, (l c RN, y denotemos las coordenadas allf por yj. Un mapa F:Cl -r Q'de clase Cl induce una transfromaci6n lineal dfp:tp,cl + Tplpfl: si v estd dado por (2.1), dfp(v) = LtIi E*rF(p)a.;)dyilrOl Este es el jacobiano de F. Si dfp es Cl e inyectivo para cada p (por 1o tanto N < N'), y si g'es una mdtrica en f,)', podemos inducir una mdtica en f,l, denotada F"g, definiendo F*g(v,w) = g'(df(v)df(w)) para v, w e TpO-t.Si gy g'son m6tricas en O ycl',yf es como antes, decimos que F es una isometrfa si F*g'= g. Si F:O -+ O'es un difeomorfismo C- y P es un operador diferencial, obtenemos un operador diferencial F*P en Q definiendo F*p(uXp) = P(uoFl)G(p)). Si tenemos una m trica g' en f,l', el operador F*Ag,es el laplaciano en O respecto al la m6trica FFg'. Si g es una m6trica en f,!, F es una isometria si y s6lo si F*Ar'= A*. Como ejemplo, tomemos dos intervalos abiertos I y J en R, ambos acotados, con la mdtrica euclfdea (con la cual g(daln,e*lo) = I para cada p). Un mapa F:I -r f es una isometria si y s6lo si para cadap e I, g(?" lp,d* I p) = F" (gxe* p,d* o) = g(df(d* p),df(d* I I p)) = g(f'(pxa* r6y),f'(xxe*l rot)) = rrrl,], Fb)) = [F'(p)]2, I esdecir,f(p)=*l.porlotanto,f(p)=tp+b,ylalongituddejesmayoroigualalalongitudde J. Claramente si F es invertible, su inversa tambidn es una isometrfa, y conclufmos que si F es una isometria invertible entonces los intervalos I y J tienen la misma longitud. Recfprocamente, si los intervalos I y I tienen la misma longitud, entonces existe una isometria (respecto a la mdtrica euclideana) entre ellos.

3 [.o que rn{s ros interesa es q$e tannbi6m podemcs decidir si I y J son isomdtricos a trav6s del prciblema de Dirichlet. Suponganlos qu* 1 = (a,b). Es fdcil \tcir que el laplaciano definido por la m&ica euclffeaes t= &fdrp.ei conjunto de nrimerss l. e C para los cuales el pnoblema de frontera &u + fi,u = 0 eer I" u(al = u{b) = 0 tiene solucid* no rrivial es 1n2n2lg{D2ln. g, donde [(I) es la longitud de I. Este es el llamado espectro de Dirichlet del intervalo I (respecto a la mdtrica euclfdea). Observamos que dos intervalos I y J tienen el mismo especm de Dirichlet si y s6lo si tienen la misma longitud y por el pdrrafo anterior, si y s6lo si, existe una isometria entre los dos intervalos. Esto ilustra, en este caso sencillo, la idea de usar problemas de fronterapara crractwirar dominios. Para terminar, mencionamos que asociado a la m6trica tenemos tambidn una medida, dada por dl,t = llllzd]rdonde dl, es la medida de Lebesgue usual. 93. Funciones y mapas holomorfos. Si Q c En es un abierto y f:q + C, decimos que f es holomorfa si lo es en cada variable por separado. Por un teorema de Hartogs, si f es holomorfa segfn esta definici6n, entonces es una funci6n C- : usand o zi = xj * ixl+n para identificar En con R2n, la ftrnci6n f(4*.,2s) es f como funci6n de x. Al decir que f es holomorfa en, digamos, z1 cuando mantenemosfijasz2,...,zn,estamosdiciendoquef=u+iv(uyvavaloresreales)satisfacelas ecuaciones de Cauchy-Riemann en la variable 21, en nuestra notaci6n, g*l = vxn+i, uxrr+l = -vxl. Este par de ecuaciones son la parte real e imaginaria, respectivamente, de la ecuaci6n compleja (0*r+idx,,*r)f=0, y por la relevancia de esta ecuaci6n se introducen los caurpos vectoriales complejos dl?zi = lf2(d*j* id*n*j), j = 1,...L donde el factor ttt s, afrade por comodidad. Affadimos los campos }ldzi= t2(dxi-id*,*j), j = 1,...,n, de manera de obtener una base de CTpA para cada p. Sea O'otro abierto, en Cn'. Un mapa F = (F1,...,Fn,):Q + Cl'es holomorfo si cada una de las funciones Fi es holomorfa. El mapa F es un biholomorfismo si ademds es biyectivo (la inversa es entonces holomorfa, y n = n'), en cuyo caso decimos que O y O' son biholomorfos. Un problema furxdamental en la teorfa de varias variables complejas es el de la clasificaci6n de dominios. La pregrrmta es, dados dos dominios, O y f,l', decidir si 6stos son biholomorfos. Recordemos que en E vale.sl rerye'am de [a apticacidn conforme de Riemann, eue dice qlre si f,l c C cs simplemente conexo y distir*o de I entonces hay un biholomorfrsms de C cn el disco ureitario D c C. [,a correspondiente afinmacidn en Cn, D ) 1, cs fa.lsa. hr ejemplo (Poincad), el 'polidisco" Dn = Dx.".xD c Cn y la bota renitnria B c Cn no son bitrolonrcrfos, & pesar de ser topol6gicarnente iguales. 94. Un ejemplo en Cl. Ya rnencionamos ei teorema de la aplicacidn conforme de Riemann. FIay otros teoremas sirnilares, vdlidos en el csso en que O c C no es simplemente conexo, ver [A]. El caso que desarrollaremos en esta secci6n es el siguiente. Supongamos que el complemento de Q tiene dos

4 comllo$entes conexas. Entonces hay un biholomorfismo de O en algfn anillo A = {( e E: r < 1(l < R. Dos de estos anilloso con rsdios mencires ri y radios maycres R1" i = 1,2, som biholomorfos si y s6lo si Rllrr = Rry'r? (ver, por ejemplo, K2I). Debido a csso los anillos A(p) = {( e C: p-l. l(t. pl elasifican los O c C cuyo eonrplemento tiene dos componentes conexas. Cada uno de estos es biholomorfo a exactamente uno de los A(p). Plantearemos,com una mdtrica apropiada, un prcblema de autovalores en A(p) tal que el conjunto de autovalores que se obtiene contiene la inforrraci6n suficiente para determinar p. FijemosP,seaA=A(P),yseaB - lz:-acs(z)<a) con a=log(p)dlr.elmapa f(z)=&o=c de B en A nos permite relacionar funciones en A con funciones en B, peri6dicas de perfodo 1. Por otro lado, B es biholomorfo al plano de Poincar, el semiplano H = {w e E:3w > 0}, vfa el mapa g:b + H definido por h(z) = ien'b.en H se tiene la mdtrica de Poincard, gh = (Ifu2)(duoau + dv8dv), con la notaci6n w = u + iv. Usando h, inducimos la m trica g = h*gh en B. Calculando, obtenemos s=$ry#, z=x*iy. 4az cnsz(nylb) Observamos que gb es invariante por traslaciones reales, es decir, si t(z) = z * u, c real, entonces r*g = g. Por lo tanto, g induce una mdtrica ga en A que no escribiremos, porque trabajaremos en B con funciones peri6dicas. Siguiendo la receta de la secci6n 2, el laplaciano en B es 4=Sco'2(nvtzil(4+ all' y observamos que el coeficiente cosz(nyll) se anula a orden 2 en el borde de A. De hecho, Ag estd generado por $unas de productos de los campos vectoriales X = cos(nyl2a)ex, Y = cos(tlyl2a)0y,los cuales tienen la particularidad de que hll = g(x,x), ht2 = g(y,y) y hzz = g(x,y) (esta fltima expresi6n en nula) son funciones f (de hecho son constantes) hasta el borde de B, y la mariz (hi;) esnodegeneradahastaelborde.lamedidainducidaporgenbesap=ffidxdy,de nuevo segiin la receta de la secci6n 2. Sea rlz) = cos(rypa). Esa es una funci6n positiva en B que se anula en el borde, con dr * 0 allf. Sea ft2(g), s e R, el espacio de funciones medibles en B de la forma rsv con l]fj*fal2dl,. oo. Queremos analizar primero los nfmeros l. e E tales que (Ag +?u)u = 0 con u e ft21n) no nulo. Haremos esto por separaci6n de variables. Escribimos u = f,v con n = Inn(y)#i^,donde I,,t*ffidvcoo' Para qrm &u = 0 se requiere que paratodo n, ft.t W, na)vil - ${orzupts(ryfi2a} sen(rvpa)ui + [s(s - 1) - s2cos21ry&a]lvn - l6a2nzcos21ny{2a)vn * Xvn = 6. Estas ecuaciones se analizan mds fi{cibnente intnoduciendo el cambio de variables rl = sen(nypa). Si wn(l) es tal que wn(sen(lry2a)) = vn(y), wn debe satisfacer

5 (4.1) F4s,&vn= (n2-!)t{4. [ffi +ffi]a,r Aquf lwrnos orgau,zado, las ecuaciones de manera ftitr: vsmos que tenemss una ecuaci6n P de Rieitaanrrr. Estas mn ecuaciones cndinarias singulares regulares, con singularidad n -1, 1, *. Los thdbesen-l y l son (1-2s + 6y4, (l - 2s - Sy4 (donde 62 = (1-4L)) en ambas singularidades, independientemente de n. Como dylcos2(ny\a) = dr1/(1-tl2)3l2,lu integrabilidad del cuadrado de una de estas soluciones respecto a la medida dv = dylcosz(nyl2a) impone ciertas condiciones sobre s y l. Usando tablas de funciones especiales (ver por ejemplo tcnl; puede uno encontrar bases de soluciones explicitamente para diversos valores de s y L. Con esa ayuda encontrarrros que para que haya al menos una soluci6n en L21-1,1;dv), s debe ser negativo y l" debe estar en el conjunto definido por la condici6n {(3},12712 < 4s2 +Si" - 1} (esto es 1o mismo que pedir $6/2 e (s,-s)). En este caso, el espacio de soluciones de Pn,sltuvn = 0, vn e L21-l,l;dv) tiene dimensi6n 2. Como los indices son independi,entes de n, si (Ag + l.)u = 0 entonces u tiene una expansi6n (en cierto sentido que puede hacerse preciso), cerca de I = -a y cerca de y = a de la fomta as(x)cork+or1ry/2a)loglcos(ny?a) + b11(x)cosk+62(nyl2a)rogncos(nyt2a) " - Lfo> flf, donde 111 = (1 + ilfz! c.2= (1-6)2. Los coeficientes akn, bkl se comportan como la serie de Taylor en la frontera de B de una funci6n f, esto es, ellos,son, generalizando, los datos de Cauchy de la soluci6n. En nuestro caso Np es 0 6 a lo sumo 1, dependiendo de?r,. Como ya se mencion6, pedir que u e fl2 fuerzala parte real de los exponentes ol y a2 t satisfacer ciertas condiciones. Irnponemos'adicionalmente la condici6n de que en la expansi6n de u s6lo aparezcael exponente oi con parte real mds negativa (si ambos tienen la misma parte real, convenimos en que no aparezca, es decir la rinica soluci6n posible es 0). Para analizar el efecto de esta "condici6n de borde" retomamos a la expresi6n (4.1) y recurimos a [GR]. Obtenemos que la 6nica manera de satisfacer esta condici6n es suponiendo s < 0 y que a= 4ani+ (1+6)/2 sea un entero no positivo. Como ademds S62 e (s,- s), conclufmos que cr > s+ lf2 (y que s < -12). En resumen, los l, complejos para los cuales hay una soluci6n u en ft-2(s) de la ecuaci6n (Ag + l,)u = 0 que satisfaga nuestra "condici6n de borde" son los nfmeros de la forrra l, = (1 + 64*n2 - (2a- l)\h + 4an(2a- 1)i, ru 0r, e Z, s + 1& < c. < s. Esuos nfnreros distinguen anillos con diferente pardmetro P = e2*. Conropultto final" noternos que si f:a1 -+ Aa es un difeornmfisrns y una isomefrfa respecto a las rrduicils inmducidas amteriorrnente en hs anillos Al y Az, f es holornryfa 6 su conjugada es holornorfa, y tos "1," $e preservan. + (rl2-lrl[!gb2n2 * "- u?nyf u'. W]]*n =0. 95" La rndtrica de Bergrnan. Adudtirnos que el e.ienrplo de la sccsi6n anteritr os artificial. Lo que se logr6 fue gracias a que hab{a inf'orrnacidn muy detallada a nuestra disposici6n, comenzando por una m trica que se obtuvo, hasta donde se describi6 el problema, de manera accidental. En el caso Cn,

6 o ) 1o domde no hay r*odelos para los denair#as {estcas}.lstamente el problema), hay que comenzar por decdirodrnosonrstnrir una rndtrfua sdp'sfgdg-esg serd la m6rica de Bergman (ver [K1] o [KI. Censidsre"noos an abierto co*sxq* am&rtfoi#'en Cn, n 2 1, y el espacio de Hilbert l-2(o) rcsp cto a [:anrrsidh de trr&esgoe.d,t. el sryir$*i?4q'ae.furciones*e' l?1o;que son holomorfas forma un u:&erprocitoscrrdb & &celw, paaa cada compacto L c Cl existe C1 tal que (5.11) sp,rel lf(z)l<;c,tllill, f,ee l21o;. SeaIIL2(O; -+ n21o; la proy,'tcri6n ortogonal. Podemos rcpresentar a fi de la siguiente manera. Si Formalmente tenemos entonces g0, g1,... es una base ortonormal oe A21fi), flf = )(r,e:)9.i. IIf(z) = q;t"l JI rp;((x()or,t0. Puede probarse que K(2,() = l,e;(z)q:(.() converge uniformemente en todo compacto de OxO, y por ser g1(z) holornorfa y $; antiholomorfr, la serie converge uniformemente en todo compacto, junto con cualquier nfmero finito de sus derivadas: la funci6n K est6 en C*(C)xQ). Tambi6n puede probarse que K representa fi, en el scrtido que flf(z) = JX1r,E)f(()dt((), y que K es la rinica funci6n holomorfa en z, antiholomorfa en (, con la propiedad X(r,() = K((,2). De esto se deduce que si V0, Vr,... es otra base ortonormal de A2(Q), entonces tambi6n K((,2) = )V;(")V;((). Esta funci6n K(r,() es el nfcleo de Bergman. Como K(z,z) =!lg3(z)12,k(z,z) > 0. Como el dominio es acotado, la funci6n holomorfa constante I estd en L21O;, y podemos suponer que g0 es una funci6n constante, de norm 1. Conclufmos que de hecho, K(z,z)> 0. Sea =d2kog(k(z,z))l}zidiila mdtrica de Bergman es g = Ei;SiSdrodZ La correspondiente m6trica riemanniana es la parte real de g, Sg. No es diffcil ver que Sg(v,v) > 0 si v e TroO. Una prueba de que 9g es positiva defisttds. e*ts sencilla. Si fijamos z0 e fl, sea H el nticleo del funcional lineal f + f(26) de AtQl en E. Debi&oa.' (5.1), este es un funcional continuo, y por lo tanto su nfcleo es cerrado, de codimensi6n l. Las funciones constantes forman un espacio complementario (no necesariamente ortogonal). Escogermos una base ortonormal de H, g1, g2,..., y afiadimos una funci6n go ortonormal a H para completar a una base Ae e2(o). Tenemos entonces K(zo,zo) = 190(zo)12 porque rpr(zo) = 0 si k > 0, y sij(20) = - #E r.odaq*("0) Ot(zo)! rxgt(zo)e z, *(zo) - # ImD,,gt(zo)d =-**E"reo(to)qo(zo)qo(a)?;.,00(a)*#'P,*t,1{t(zo)dz,qt(zo) =. -,*1,.--\F Qeo(aoF 4 wo(d. **it l.;xaak{z#4&(zo) = # Eiur%w{ao}a;, m(ao)' Si v = Xflna301il"p + bfno*.1 e, ti, b3 e F, entonces E ry86{zddeed i(v,v) = Iipiftffiry*"fr&i - &'3) = 16 F lp'r[*s&"q(zo)a;p(zoxai +'t3xul - ql = I.;= l!,e*rwdaxt + ib;)12 r z, Ou(zo)

7 demaneraquesig(v,v)=0entonceslll,e"ret(zoxa;+ib;)12=0vk>0.perosiv*0esaesuna conclusidn absurda, puosto que en erte caso podernos suponer que g1 = "(Ilr(a; + ib;)z;), con c escogida p* nwnralizar gl y cffii ella tenerms rlirao*(zoxa; + ib.;)12 * 0" Otra propiedad relevante del nrlcleo de Bergman es la manera en q$e se comporta bajo biholomorfismos. Supongamos que F = (Ft,...Fn):Q1 -+ C)2 es un biholomorfismo entre abiertos de Cn. En Oi tenemos el nricleo Kl segfn la receta. Entonces Kr(2,() = Kz(F(z),F(())tdet Fr(z)l tdet Flz)1, donde detfr{z) = det (Ezi4(z)). Calculando se obtiene de esto, que F es una isometrfa para las mdtricas de Bergman y por lo tanto pres rva los correspondientes laplacianos. Por ejemplo, si O es la bola unitaria en Cn,las funcionos cgzo (cr = (c1,...,on) con los cri enteros no negativo s; ze -,lt...r? ) con ciertas constantes cs forman una base ortonormal ae e2(o). gt nfcleo de Bergman es locfrzo(o = c(t - z.(1-n-t (si se calculan las constantes cs, ver ffi). Ahora que tenemos una mdtica y su laplaciano, queremos analizarla cerca del borde. En general, esto no es posible porque no se conoce mucho sobre la m6trica de Bergman en general. Sin embargo, hay una clase de dominios sobre los cuales es posible decir algo. Supondremos de ahora en adelante que f,) tiene frontera C* y es estrictamente pseudoconvexo. Esto tiltimo significa lo siguiente. Tomemos una funci6n definidora de O, esto es, una funci6n p definida en un entorno de la clausura Ct(Q) de (1, positiva s6lo en f,i, tal que su gndiente Vp es diferente de 0 en cada punto de EO. Decirnos que Q es estricamente pseudoconvexo en p e dq si (5.2).L(w,w) = -tri, ffi*t*, > 0 cuando lira.otp)wi = 0 y w = (wl,...,wn) * 0, y que f,l es estrictamente pseudoconvexo si lo es en cada punto de EO. La forrra cuadrdtica I se denomina la forma de lrvi. Para definir pseudoconvexidad estricta s6lo se requiere que do seac2. Puede verificarse que la condici6n sobre w significa lo siguiente. Si escribimos ai = Swi, h = Swi, entonces los vectores (a1,...,an,b1,...,bn) y (-bt,...,-bn,ol,...'os) son ortogonales a Vp(p). El tangente geom6trico de dq en p desde el punto de vista de la geometrfa en R2n es el espacio normal a Vp(p).Este es un espacio de dimensi1n2n- I que contiene un subespacio complejo de dimensi6n compleja n-1, en donde viven los w. Un ejemplo de dominio estrictamente pseudoconvexo es la bola B en En. La funci6n definidora de Besp(z)=(1 -lzl2).consideremoselpuntop=(1,0,...0)eb.alli?"rp(p)=cisii>l,demanera quef ra"io(plwi=0siysolosiwl=0.tenemos 4g =-&j(la6delkoeneker),yl(w,w)= d4dzi IlnmtP > 0 si w * 0. En genenal cualquier dominio estrictamente convexo con frontera C- es estrictamente pseudoconvexo. El comportamiento de K(z,z)parazcerca de EO es conocido si Q es estrictamente pseudoconvexo: por un teorema de Fefferman fi1, existen funciones q, V de clase f en un entorno de Cl(O) con I > 0, tales que K(z,z) = gp-n-l + ylogp. Por ejemplo, en la bola unitaria,k(z,z) = (1-2p7-n-1. Con esta informaci6n explfcita sobre el comportamiento de K(z,z) podemos calcular 8i1. Sea 0 = g + Vpn*llogp. Entonces

8 X1[uetp"t**4 = p-t{x,lra', pe*ae' Iioaur'c"i * pi*?,a,}zupdzisdfi * pt[ir0i;dzisdz;)- Qcrer,emm rwrsnfiratrcannpo$ wcmr.'blesvl*..vzo defrnidoscerc& de un punto p0 e 8O {esto es, en IrSniQl, dont& U eg ust enturwr, & p9 en En; tales que la matrirz ltgv;,v;)} es lo menos degenerada p:sihlur trpra lurqgo tntentar cxpresar el laplaciano en tdrrrinos de esos campos (compdrese con los canqpos X, Y en la secci6n 4). Para ello conviene escoger la funci6n p con m6s cuidado. Luego de una traslaci6n y un biholomorfismo lineal, podemos suponer que p0 = 0 y que el tangente (en la geometria de R2n; de f,l en p es Cn-lt(R+t0) = {(w1,...,wp e Cn: Swn = 0}. Entonces hay una funci6n f(21,...,21-1,xn) definida en un entorno W de 0 en Cn-lx(R+iQ), con f(0) = Vf(Q) = 0, tal que (21,...,2n-l,xn) e W y (zz1,...,z.n) e EO =? x2n = f(21,...,211-l,xn). Cambiando zn por -zn si es necesario, podemos suponer entonces que hay un entorno U de 0 en Cn tal que UnCl = {z:x211) f((21,...,21p1,xn)1. Por lo tanto este conjunto estd definido por la condici6n x2n- f(x1,...,x2p1) > 0. Tomamos p = x2n- f(x1,...x2n-t). Si V es un campo continuo en UnO, p2g(v(p),v(p)) -+ si p'e EQ y p -+ p'. Para que g(v(p),v(p)) se mantenga mantenga acotado 'IlrOr*pdzr(Vi(p'))12 cuando p -t p' necesitamos pedir Ooe fi=ra"*pdzr(v(p)) = 0. Este andlisis justifica escoger los dos campos Vn = p(e^r, - (E*,,P)E*,), V2n =2pd*zn A ellos afradimos provisionalmete los campos Xi=E*r*ciEan*crnaiElrrr, Xn+i - xi on+iexn*0ciea*, i= 1,...,tr- 1, con los cri determinados por la condici6n Xi(p) = 0, lo cual garantiza f [rd2rpdz1(vi(p)) = 0. Ahora g(x1,x3) = p-tij, j=lazy}ispdzr(xied7l(xi) + O(1). Encontramos que es conveniente definir Vi=plpXl,i*n,2n. Los campos Vi son independientes en UnO y se anulan en EO. Calculando directemente se comprueba que g(viv3) = h!:) * ptzh!}) + ph(?, donde rrf/ es C* y h(fl v h(fl son frinciones 6* de x y pn-llogp, lo cual no es demasiado malo si n > 1. Usando que la forma de X.avi es positiva definida se puede demostrar que la matriz [$g(vi,v;)] es positiva definida: la degemeraci6n de los cempcs Vi captwae.l mal comportamiento de la nrdrica en la ftxrtera" En 1o que siggue usarem$ algunos conceptos de geomeuda diferellcial qu* han sido definidos aquf. Supcmdrems de ahora en adelante qse tenemos una Mtrim riemanniarm h em O, modelada en la naduica!ffg en cuan&o a qus se obtiene, cerca del borde de fl" mmo Nf, tf roe 4la'isd 7; con k(z) = p-*-lf, g positiva y C* en un sntrfiro de Cl(O). Esta ya no es la rnduica de Bergman, pero corno fl es esuictanrente pseudoconyexor h tiene en la ftontera el misrno tipo de comportamiento que la mdrica de Bergman en lo que se refiere a la no degeneraci6n y las potencias 12 que aparecen en su "expansi6n de Taylor". Para elirninar esta cambiar la estructura f de

9 la varie.dad con borde CI({)), adnnitiendo n = ptl' como f,unci6n C*. l-lna carta local en esta e$trucfura, c r' a de m = 0, es (yr*..#*,-ll) = (xlo,..,x2n-l"pl/2). Respecto a ella, los campos Vi &finiddms anlas strl f: Y; :r(oyr+ er-dyrr), t * whry"v" = /Ern, V2n = rft. Lras conriilutardores de estos cirmpos se pueden expresar en tdrminos de nos mismos campos. La condici6n para que un campo sea expresable como una combinaci6n lineal de los V; con coeficientes f puede describirse de manera intrftrseca, de manera que el espaciovde estos campos es un dlgebra de Lie y un m6dulo sobne ftc(ol) naturalmente asociado a O. El laplaciano es expresable como una combinaci6n lineal de productos (hasta dos factores) de campos en V. Localmente los V; son generadores del m6dulo V. Si se expresa el laplaciano como )a1;v1v; * IutV,, entonces la matriz (a;i) es positiva definida hasta el borde (siempre los es, por supuesto, en el interior de Q). En este sentido mds general, A es "V-elfptico" hasta la frontera. Si dp es la medida inducida por la mdtrica, y si v e rt 2(O,ap) satisface Au = 0, entonces v tiene una expansi6n en la frontera de O similar a una expansi6n de Taylor. Adem6s, Au = 0 implica W1...Wpu e fu2 si los Wl esti{n en V,puacualquier m, lo cual es similar al lema de Weil en el caso de operadores uniformemente elfpticos. Esto y otros resultados aparccen en IEMMJ. Lo que se espera es poder plantear un problema de frontera natural para el laplaciano de Bergman en dominios f estrictamente pseudoconvexos que produzca nfmeros como los "autovalores" en el ejemplo del anillo (sobre el problema de Dirichlet, ver [G]. Dos dominios con diferentes listas no podrian entonces ser biholomorfos, puesto que un biholomorfismo preservarfs el laplaciano, y si la condici6n de frontera es natural, tambi n 6stas. Por otro lado, si las listas son iguales, habria que probar que existe una isometria enre los dominios, y que esta isometria es un holomorfismo. Incluso si lo anterior no se logra, estudiar el laplaciano de Bergman desde este punto de vista es un bonito ejemplo de una teoria sobre operadores no uniformemente el{pticos que ha estado desarrollandose en los fltimos affos, ver Ml, [RSl, [EMMJ. Referencias tal L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, New York,!979. IEMMI C. Epstein, R. Melrose, G. Mendoza, Resolvent of the laplacian on strictly pseudoconvex domains, a aparecer, Acta Math. tfl Fefferman, C-L., The Bergman kernel and biholomorphic equivalenw of pseudoconvex domains, Invent. Math., 26 (197 4), l-65. tcnl I. S" Gradshteyn,I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Corrected and Enlarged ed-, Academic Press, New York, 1980" [C] Grahan:r, C" R., Th'e DiricNetproblern for the Bergman laplacian. I y tr. Comm. Partial Differential Equations, I ( 1 983), , 563 -&1. [KoU $. Kobayashi, Geometry of bounded domains, Trans. A"M.S. 92 (1959), [Ko2] $" Kobayashi, tr{yperbolic klanifolds and Holornorphic nrlappings, Dekker, New York, r9?0. tkrl S" G" Krantz, Function Tlrcory of Several Cornplex Variables, Wiley, New York, [M] R. Metrmse, Differential Analysis on Manifolds with C.orners, a aparecer. trsl S. Rempel, B.-W. Schulze, Asynrptotics for elliptic mixed Boundary Value Problems, Akademie-Verlag, Berlin, IVlC-Matemdticas, Apartado zlsn,caracas , Venezuela

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