Análisis de Varias Variables. Ricardo A. Sáenz

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1 Análisis de Varias Variables Ricardo A. Sáenz

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3 Índice general Parte 1. Preliminares Capítulo 1. El espacio euclideano 3 1. Definiciones básicas 3 2. Bestiario 8 3. Topología de R n Sucesiones en R n Conjuntos Compactos 17 Ejercicios 21 Capítulo 2. Funciones de varias variables Definiciones básicas Continuidad Funciones lineales Continuidad uniforme Oscilación 30 Ejercicios 32 Parte 2. Cálculo en el espacio Euclideano Capítulo 3. Diferenciabilidad Derivada Derivadas parciales Teorema de la función inversa Teorema de la función implícita 53 iii

4 iv Índice general 5. Derivadas de orden mayor 55 Ejercicios 60 Capítulo 4. Convexidad Conjuntos convexos Combinaciones convexas y simplejos Funciones convexas Puntos y valores extremos 73 Ejercicios 75 Capítulo 5. Integración La integral de Riemann Funciones Riemann-integrables Medida de Jordan El teorema de Fubini 94 Ejercicios 98 Capítulo 6. Cambio de variable y aplicaciones Particiones de la unidad La integral de Riemann en conjuntos abiertos Cambio de variable El teorema de Sard El teorema de punto fijo de Brouwer 123 Ejercicios 125 Parte 3. Análisis vectorial Capítulo 7. Formas diferenciales Campos vectoriales Formas diferenciales en R Algebra exterior Cambio de coordenadas 148 Ejercicios 152 Capítulo 8. El diferencial exterior El diferencial exterior Campos vectoriales y formas El lema de Poincaré Conjuntos simplemente conexos 162

5 Índice general v Ejercicios 166 Capítulo 9. Integración de formas diferenciales Complejos en R n Integrales de línea Integración de formas diferenciales Teorema de Stokes 184 Ejercicios 190 Parte 4. Variedades diferenciables Capítulo 10. Variedades diferenciables Variedades diferenciables en R n Espacio tangente Variedades con frontera 203 Ejercicios 206 Capítulo 11. Orientación Campos vectoriales y formas diferenciales Orientación Orientación inducida en M 216 Ejercicios 219 Capítulo 12. El teorema de Stokes Integración de formas en variedades El teorema de Stokes Volumen Los teoremas clásicos 231 Ejercicios 233

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7 Parte 1 Preliminares

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9 Capítulo 1 El espacio euclideano 1. Definiciones básicas El espacio Euclideano, denotado por R n, está definido por el conjunto (1.1) R n = {x = (x 1,x 2,...,x n ) : x i R}. Es decir, R n es efectivamente el producto cartesiano de n copias de R, el conjunto de los números reales. Recordemos que R es un campo ordenado completo, es decir, todo conjunto no vacío acotado por arriba tiene una mínima cota superior (supremo). Una manera equivalente de enunciar la completitud de R es el hecho de que toda sucesión de Cauchy en R converge. Hablaremos más sobre sucesiones de Cauchy, particularmente en R n, más adelante. Notemos que, en la ecuación (1.1), las coordenadas de cada vector en R n se denotan con superíndices, en lugar de subíndices: x 1, x 2, etc. Esto nos simplificará la notación más adelante. R n es un espacio vectorial con suma y multiplicación escalar Además, posee el producto interno x + y = (x 1 + y 1,x 2 + y 2,...,x n + y n ) αx = (αx 1,αx 2,...,αx n ). x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = n x i y i. i=1 3

10 4 1. El espacio euclideano Este, a su vez, induce la norma x = x x = n (x i ) 2, llamada la norma euclideana. i=1 Proposición x = 0 si y sólo si x = 0; 2. αx = α x para todo α R, x R n ; 3. Si x,y R n, (1.2) x y x y ; 4. Si x,y R n, (1.3) x + y x + y. La ecuación (1.2) es conocida como la desigualdad de Cauchy-Schwarz, mientras que la (1.3) como la desigualdad del triángulo. Demostración. La demostración de las propiedades (1) y (2) se dejan como ejercicio. Para (3), Si x = 0, entonces ambos lados de la ecuación (1.2) son cero. Supongamos entonces que x 0. Sea w el vector w = y x x 2 x. El vector w es llamado la proyección de y sobre x (véase la figura 1). Entonces, y w x Figura 1. Proyección de y en x 0 y w 2 = (y w) (y w) = ( y y x ) ( x 2 x y y x ) x 2 x = y 2 (y x)2 (y x)2 2 x 2 + x 4 x 2 = y 2 (y x)2 x 2, de lo cual la ecuación (1.2) se sigue inmediatamente.

11 1. Definiciones básicas 5 Para (4), x + y 2 = (x + y) (x + y) = x 2 + 2x y + y 2 x x y + y 2, donde la última desigualdad se sigue por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por lo tanto, tenemos x + y 2 ( x + y ) 2. Decimos que los vectores u 1,u 2,...,u m R n generan R n si para todo x R n existen α 1,...,α m tales que x = α 1 u 1 + α 2 u α m u m. Es decir, todo x R n es una combinación lineal de los vectores u 1,u 2,...,u m. Decimos que u 1,u 2,...,u m son linealmente independientes si implica que α 1 u 1 + α 2 u α m u m = 0 α 1 = α 2 =... = α m = 0. Si u 1,u 2,...,u m generan R n y son linealmente independientes, entonces decimos que forman una base. Enunciaremos el siguiente teorema, cuya demostración se puede encontrar en cualquier libro de álgebra lineal. Teorema 1.2. Si u 1,u 2,...,u m forman una base de R n, entonces m = n. Es preciso observar que las bases no son únicas y, además, que si u 1,u 2,...,u m forman una base de R n y x R n, entonces existen únicos α 1,...,α n tales que x = α 1 u 1 + α 2 u α n u n. Ejemplo 1.3. La base estándar de R n está formada por los vectores e 1,e 2,...,e n, donde i-ésimo {}}{ e i = (0,0,..., 1,...,0). De hecho, x = (x 1,x 2,...,x n ) = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. Ejemplo 1.4. En R 2, los vectores u 1 = (1,1),u 2 = (1, 1) forman una base, ya que (x 1,x 2 ) = x1 + x 2 u 1 + x1 x 2 u y son linealmente independientes.

12 6 1. El espacio euclideano Decimos que los vectores x,y R n son ortogonales si x y = 0. Por ejemplo, como e i e j = 0 si i j, entonces los vectores e 1,...,e n de la base estándar son ortogonales entre sí. Decimos que u 1,u 2,...,u n forman una base ortonormal (o.n.) si los vectores son ortogonales entre sí y unitarios, es decir, u i = 1 para todo i. Por ejemplo, e 1,...,e n forman una base estándar. Los vectores u 1 = (1,1) y u 2 = (1, 1) son ortogonales, pero no unitarios. Sin embargo, se pueden normalizar dividiendo cada vector entre su norma: v 1 = u ( 1 1 u 1 = 1 ) 2,, v 2 = u ( u 2 = 2, 1 ). 2 Proposición 1.5. Sea u 1,u 2,...,u n una base ortonormal de R n. 1. Si x R n, x = (x u 1 )u (x u n )u n. 2. Si x R n, x = i (x u i) Si x,y R n, x y = n (x u i )(y u i ). i=1 4. Si V es el subespacio de R n generado por los vectores ortonormales v 1,v 2,...,v r, entonces Proy V x = r (x v i )v i. i=1 El espacio generado por los vectores v 1,v 2,...,v r es el subespacio de R n formado por todas las combinaciones lineales de v 1,v 2,...,v r, y se denota por gen{v 1,v 2,...,v r }. Proy V x es la proyección ortogonal de x sobre el subespacio V, es decir, el único vector y V tal que x y es ortogonal a todo vector en V. Demostración. 1. Si x = α 1 u 1 + α 2 u α n u n, entonces x u i = (α 1 u 1 + α 2 u α n u n ) u i = α i u i u i = α i. 2. ( n ) ( n ) x 2 = x x = (x u i )u i (x u i )u i = i=1 n (x u i )(x u j )u i u j = i=1 i,j=1 i=1 n (x u i ) 2.

13 1. Definiciones básicas 7 3. Similarmente al inciso anterior, ( n ) ( n ) x y = (x u i )u i (y u i )u i = i=1 i=1 n (x u i )(y u j )u i u j = i,j=1 n (x u i )(y u i ). i=1 4. Si y = r i=1 (x v i)v i, entonces y V y, para z V, ( r ) ( r ) (x y) z = x (x v i )v i (z v i )v i = x i=1 r (z v i )v i i=1 i=1 r (x v i )(z v i ) = 0. i=1 El siguiente teorema nos garantiza que, dado un espacio generado por vectores v 1,v 2,...,v r, siempre podemos escoger en él una base ortonormal. Su demostración es constructiva, y al algoritmo resultante se le conoce como el proceso de Gram-Schmidt. Teorema 1.6 (Proceso de Gram-Schmidt). Sean v 1,v 2,...,v r vectores linealmente independientes en R n. Entonces existen vectores ortonormales u 1,u 2,...,u r tales que para k = 1,...,r. Demostración. Tomamos Para construir u 2, sea gen{u 1,u 2,...,u k } = gen{v 1,v 2,...,v k } u 1 = v 1 v 1. w 2 = v 2 (v 2 u 1 )u 1. Vemos que w 2 es ortogonal a u 1 (figura 2), así que tomamos u 2 = w 2 w 2. Como u 1 y u 2 son combinaciones lineales de v 1 y v 2, gen{u 1,u 2 } gen{v 1,v 2 }. De manera similar, v 1 y v 2 son combinaciones lineales de u 1 y u 2, así que gen{v 1,v 2 } gen{u 1,u 2 }. Por inducción, para construir u k+1 tomamos w k+1 = v k+1 Proy gen{u1,...,u k } v k+1.

14 8 1. El espacio euclideano v2 u2 w2 u1 Figura 2. La construcción del vector w 2. Entonces es fácil ver que w k+1 u i = 0, i = 1,..,k, y w k+1 0 por que los v i son linealmente independientes. Por lo que escogemos Es fácil ver, como antes, que u k+1 = w k+1 w k+1. gen{u 1,...,u k+1 } = gen{v 1,...,v k+1 }. La proposición 1.5 y el proceso de Gram-schmidt implican que podríamos escoger cualquier producto interno en R n y no darnos cuenta, es decir, tendríamos la misma geometría siempre y cuando tomemos una base ortonormal respecto de dicho producto. 2. Bestiario En esta sección listamos los subconjuntos de R n de uso común, como rectas, planos, o esferas, entre otros. La notación definida aquí será utilizada en el resto del texto Rectas. La recta que pasa por x 1 y x 2 está parametrizada por γ(t) := (1 t)x 1 + tx 2, t R, Notemos que γ(0) = x 1 y γ(1) = x 2. La restricción de γ a [0,1] es el segmento de x 1 a x Hiperplanos. Un hiperplano es un conjunto de la forma P = {x R n : x x 0 = c}, donde x 0 R n y c R. El hiperplano ortogonal a n R, que pasa por x 0, está dado por {x : (x x 0 ) n = 0}.

15 2. Bestiario 9 Un hiperplano P divide a R n en dos semiespacios {x : x x 0 > c} y {x : x x 0 < c}. Si x 0 = e n y c = 0, a estos se les llama semiespacio superior e inferior, respectivamente Esferas y Bolas. La esfera en R n es el conjunto S n 1 = {x : x = 1}. La bola está dada por B n = {x : x 1}. La esfera de radio R alrededor de x 0 está dada por S R (x 0 ) = {x : x x 0 = R} = RS n 1 + x 0, mientras que la bola de radio R alrededor de x 0 está dada por B R (x 0 ) = {x : x x 0 R} = RB n + x 0. La bola abierta de radio R alrededor de x 0 es el conjunto BR 0 (x 0) = {x : x x 0 < R} Conjuntos convexos y estrella. Decimos que A R n es un conjunto convexo si, para todo x,y A, el segmento de x a y está en A. Decimos que A R n es un conjunto estrella si existe x 0 A tal que, para x A, el segmento de x 0 a x está en A. Véase la figura 3. Más adelante estudiaremos (a) (b) Figura 3. Ejemplos de un conjunto convexo (a) y un conjunto estrella (b). los conjuntos convexos con más profundidad.

16 10 1. El espacio euclideano 2.5. Rectángulos. Un rectángulo en R n es un conjunto de la forma R = I 1 I 2... I n, donde los I i son intervalos acotados en R. Si cada I i es un intervalo abierto, entonces decimos que R es un rectángulo abierto. Si cada I i es cerrado, entonces decimos que R es un rectángulo cerrado. 1 Recordemos que el conjunto A 1 A 2... A n R n es el producto cartesiano de los conjuntos A 1,...,A n, dado por A 1 A 2... A n = {(x 1,x 2,...,x n ) R n : x i A i }. 3. Topología de R n La topología de un espacio permite estudiar los conceptos básicos del análisis como convergencia (estudiada más tarde en este capítulo) o continuidad (estudiada en el siguiente capítulo). En esta sección estudiaremos las principales propiedades topológicas del espacio euclideano. Definición 1.7. Decimos que U R n es un conjunto abierto si, para cada x U, existe un rectángulo abierto R tal que x R y R U. Ejemplo 1.8. Un rectángulo abierto es un conjunto abierto, lo cual se sigue directamente de la definición. Ejemplo 1.9. Los conjuntos y R n son abiertos. El caso de R n es claro; sin embargo, el hecho de que es abierto se debe a la veracidad del enunciado si x, entonces existe un rectángulo abierto R tal que x R y R, ya que x es falso, por la definición del conjunto vacío. Ejemplo Una bola abierta es un conjunto abierto. Para mostrar esto, consideremos la bola B 0 r (x) = {y Rn : x y < r} y tomamos y Br(x). 0 Sea δ = r x y, y definimos ( R = y 1 δ,y 1 + δ ( ) y 2 δ,y 2 + δ ( )... y n δ,y n + δ ). n n n n n n El rectángulo abierto R es tal que, si z R, entonces y z < δ, como se puede observar en la figura 4. Entonces, si z R, x z x y + y z < x y + δ = x y + r x y = r, por lo que z B 0 r(x). Por lo tanto, R B 0 r(x). El ejemplo anterior permite concluír la siguiente proposición, la cual provee una definición equivalente de conjunto abierto. 1 Los rectángulos en R n también son conocidos por los nombres cubo o hipercubo.

17 3. Topología de R n 11 δ n δ y δ n Figura 4. El rectángulo R del ejemplo Proposición U R n es abierto si, y sólo si, para todo x U existe r > 0 tal que B 0 r(x) U. Demostración. Sea U abierto y x u. Entonces existe un rectángulo abierto R = (a 1,b 1 ) (a 2,b 2 )... (a n,b n ) tal que x R y R U. Sea r = 1 2 mín{x1 a 1,b 1 x 1,...,x n a n,b n x n }. Entonces B 0 r(x) R U. R = Supongamos ahora que Br 0 (x) U. Sea ( x 1 r,x 1 + r ) n n ( x 2 r n,x 2 + r n )... ( x n r n,x n + r n ). Entonces x R y R Br 0 (x) U, así que U es abierto. Definición Sea A R n y x R n. Decimos que x es un punto de acumulación de A si, para todo rectángulo abierto R tal que x R, R A es infinito. De manera análoga a la definición de abierto, podemos mostrar que x es un punto de acumulación de A si, y sólo si, para todo r > 0 Br 0 (x) A es infinito. Si el conjunto A tiene algún punto de acumulación, entonces A, por la definición anterior, es infinito. Además, si x es un punto de acumulación de A, entonces no necesariamente x A. Sin embargo, si x es un punto de acumulación de A y x / A, la observación anterior afirma que nos podemos acercar desde A a x arbitrariamente, es decir, para todo r > 0 existe y A tal que x y < r. Definición Decimos que A R n es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación. Esta definición sugiere que un conjunto cerrado no tiene puntos cercanos exteriores, y de ahí el nombre cerrado. En particular, si A es cerrado

18 12 1. El espacio euclideano y x / A, entonces existe r > 0 tal que B 0 r(x) A es finito, digamos B 0 r (x) A = {x 1,...,x k }. Si tomamos δ = mín{ x j x : j = 1,...,k}, entonces Bδ 0 (x) A es vacío. De manera análoga, si A es cerrado y x / A, entonces existe un rectángulo abierto R que contiene a x y no interseca a A. Ahora veamos la relación entre conjuntos cerrados y abiertos. Proposición A R n es cerrado si, y sólo si, R n \ A es abierto. Demostración. Supongamos que A es cerrado y x R n \ A. Como x / A, x no es punto de acumulación de A, así que existe un rectángulo abierto R tal que R A =. Es decir, R R n \ A. Así que R n \ A es abierto. Supongamos ahora que R n \ A es abierto y x / A. Entonces x R n \ A. Como R n \ A es abierto, existe un rectángulo abierto R tal que x R y R R n \ A. Entonces R A =, por lo que x no es punto de acumulación de A. Esta proposicón nos permite definir, equivalentemente, un conjunto cerrado simplemente como el complemento de un conjunto abierto, sin hacer referencia a los puntos de acumulación. Sin embargo, de manera inversa, también nos ofrece una alternativa: podemos definir primero un conjunto cerrado a través de sus puntos de acumulación, y luego definir un conjunto abierto como el complemento de un conjunto cerrado. Cualquiera de estas opciones es válida para definir la topología en R n, y todas son utilizadas en distintos textos de análisis, dependiento del gusto del autor. Definición Sea A R n. La frontera de A, fra, es el conjunto de x R n tales que, para todo rectángulo abierto R, Véase la figura 5. R A y R (R n \ A). Notemos que, si x fr A, entonces x es un punto de acumulación de A ó de R n \ A. Más aún, si x es un punto de acumulación de A y x / A, entonces x fr A. Podemos observar que, además, fr A = fr(r n \ A). Ejemplo fr R n = fr =. Ejemplo La frontera de un bola es una esfera. De hecho, Más aún, frs r (x) = S r (x). frb r (x) = fr B 0 r(x) = S r (x).

19 3. Topología de R n 13 A A C Figura 5. Un punto en la frontera de A. Ejemplo Si R = (a 1,b 1 )... (a n,b n ), entonces frr = {a 1 } [a 2,b 2 ]... [a n,b n ] {b 1 } [a 2,b 2 ]... [a n,b n ] Es decir, fr R es la unión de las caras de R.... [a 1,b 1 ]... {b n }. Ejemplo Sea Q = [0,1] Q y consideremos Q [0,1] R 2. (Véase la figura 6.) Si x [0,1] [0,1] y x (a,b) (c,d) entonces existe /3 1/2 2/3 1 Figura 6. Representación simple del conjunto A = Q [0, 1]. Nótese que A está formado por la unión de rectas verticales, cada una sobre un número racional en [0, 1]. q (a,b) [0,1] Q, así que (q,x 2 ) Q [0,1]. Además, existe α (a,b) [0,1] \ Q,

20 14 1. El espacio euclideano así que (α,x 2 ) R 2 \ (Q [0,1]). Por lo tanto fr(q [0,1]) = [0,1] [0,1]. Definición Sea A R n. La cerradura de A, denotada por Ā, está definida como la unión de A y sus puntos de acumulación. La siguiente proposición establece algunas propiedades de la cerradura. Proposición Sea A R n. 1. Ā es cerrado. 2. Si E es cerrado y E A, entonces Ā E. 3. Si A B entonces Ā B. 4. Ā = Ā. Demostración. 1. Sea x un punto de acumulación de Ā y R un rectángulo que contiene a x. Queremos mostrar que R A es infinito. Si no, como R Ā es infinito, podemos tomar y R Ā \ A. Pero entonces y es un punto de acumulación de A y, como y R, R A es infinito, lo cual es una contradicción. 2. Si x es un punto de acumulación de A y A E, entonces x es un punto de acumulación de E. Como E es cerrado, x E. Pero esto implica que Ā E 3. La demostración es similar a (2). 4. Por (1), Ā es cerrado, así que Ā Ā. Por (2), como A Ā, Ā Ā. Definición Sea A R n. El interior de A es el conjunto int(a) = A 0 = {x A : rectángulo abierto R tal que x R, R A}. El exterior de A está definido como ext(a) = {x R n \ A : rectángulo abierto R con x R, R A = }. Nótese que ext(a) = int(r n \ A). La siguiente proposición es muy fácil de demostrar (ejercicio 7). Proposición Sea A R n. 1. A 0 = A \ fr A. 2. ext(a) = (R n \ Ā). 3. fr A = Ā (Rn \ A). Ejemplo Q 0 = y Q = R. Nótese que, en este caso, el interior es vacío, aún cuando la cerradura es grande.

21 4. Sucesiones en R n Sucesiones en R n Una sucesión en R n es una función f : N R n. Si f(k) = x k, simplemente denotamos f como (x k ). Notemos que x k = (x 1 k,x2 k,...xn k ), por lo que cada una de las coordenadas de los x k definen una sucesión (x i k ) en R. Definición Decimos que la sucesión (x k ) converge a L R n si, para todo ε > 0, existe N tal que, si k N, L x k < ε. No es muy difícil verificar los siguientes enunciados, cada uno caracterizando la convergencia de una sucesión: 1. La sucesión (x k ) converge a L R n si, para todo ε > 0, existe N tal que, si k N, x k B 0 ε(l); 2. La sucesión (x k ) converge a L R n si, para todo rectángulo abierto R que contiene a x, existe N tal que, si k N, x k R. Sin embargo, en la práctica, la siguiente proposición es muy útil. Proposición La sucesión (x k ) converge en R n si, y sólo si, cada (x i k ) converge en R. Demostración. Suponemos que x k L y sea ε > 0. Sea N tal que k N implica x k L < ε. Entonces, para k N, x i k Li (x 1 k L 1) (x i k Li ) (x n k Ln ) 2 < ε. Suponemos ahora que cada x i k Li, y sea ε > 0. Tomamos N i tal que, si k N i, x i k Li < ε. n Tomamos N = máx i N i. Entonces si, k N, ε x k L (x 1 k L1 ) (x n k Ln ) 2 2 < n ε2 n = ε. Decimos que (x k ) es una sucesión en A R n si x k A para todo k. La siguiente proposición clasifica los conjuntos cerrados en términos de sucesiones. Proposición Un conjunto A R n es cerrado si, y sólo si, para toda sucesión (x k ) en A que converge a L, entonces L A.

22 16 1. El espacio euclideano Demostración. Supongamos que A es cerrado y sea (x k ) en A una sucesión que converge a L. Sea R un rectángulo abierto que contiene a L, y ε > 0 tal que B ε (L) R. Entonces, como x k L, existe K tal que x K R. Como x K A, hemos demostrado que R A. Entonces, L está en A ó es un punto de acumulación de A. Como A es cerrado, en ambos casos L A. Supongamos ahora que toda sucesión en A que converge tiene su límite en A. Sea x un punto de acumulación de A. Para cada k 1, sea x k A tal que x k x < 1/k. Tal x k debe existir porque B 1/k (x) A. Entonces x k es una sucesión en A y x k x, por lo que x A. Definición Decimos que la sucesiíon (x k ) es acotada si existe un rectángulo R tal que x k R para todo k. El siguiente teorema es muy importante, y es conocido como el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Para su demostración asumiremos el teorema en la recta real R. Teorema 1.29 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada tiene una subsucesión que converge. Demostración. Si (x k ) es acotada, cada (x i k ) es acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass en R, (x 1 k ) tiene una subsucesión que converge, digamos (x 1 k l ) l. Inductivamente, si (x 1 k l ) l,(x 2 k l ) l,...,(x p k l ) l son subsucesiones convergentes de (x 1 k ),...,(xp k ), respectivamente, entonces tomamos una subsucesión de (k l ) de tal forma que (x p+1 k lm ) m converge. Al final, obtenemos subsucesiones (x 1 k l ) l,(x 2 k l ) l,...,(x n k l ) l convergentes, por lo que (x kl ) es un subsucesión de (x k ) convergente, por la proposicion El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos permite demostrar la siguiente importante propiedad de los conjuntos cerrados, de la cual haremos uso más adelante. Proposición Sea A un conjunto cerrado, A, y x R n. Entonces existe un punto y A tal que x y es mínimo. Demostración. Sea x R n y definimos d : A R por d(y) = x y. Sea r 0 = ínf{d(y) : y A}. Entonces, para todo k 1, existe y k A tal que r 0 d(y k ) < r 0 + 1/k.

23 5. Conjuntos Compactos 17 La sucesión (y k ) claramente es acotada y, por el Teorema de Bolzano- Weierstrass, tiene una subsucesión que converge, digamos y kl y. Como A es cerrado, la proposición 1.27 implica que y A. Además d(y) = r 0. Nota que, si x A, entonces d(x) = 0, por lo que d toma su mínimo en x. Si x / A, entonces, como A es cerrado, x no es un punto de acumulación de A y existe r > 0 tal que B 0 r(x) A =. Entonces r 0 r > Conjuntos Compactos En esta sección estudiaremos los conjuntos compactos y su relación con sucesiones en R n. La idea de compacidad fue descubierta por Heine en el estudio de funciones uniformemente continuas, las cuales estudiaremos en el siguiente capítulo. Definición Sea A R n. Una cubierta de A es una colección {U α } de conjuntos abiertos tales que A α U α. Si {U α } es una cubierta de A, una subcubierta es un subconjunto de {U α }, digamos {U αβ } {U α }, tal que A β U α β. Decimos que A es compacto, si toda cubierta de A tiene una subcubierta finita. Ejemplo es compacto. Ejemplo Un conjunto finito {x 1,x 2,...,x k } es compacto. Si {U α } es una cubierta de {x 1,x 2,...,x k }, existe, para cada i = 1,2,..,k, α i tal que x i U αi. Entonces {U α1,u α2,...,u αk } es una subcubierta finita. Proposición Si A es compacto, entonces es cerrado. Demostración. Demostraremos que, si A no es cerrado, entonces existe una cubierta de A que no tiene subcubiertas finitas, y por lo tanto no es compacto. Sea x / A un punto de acumulación de A. Entonces, para todo ε > 0, B 0 ε (x) A. Consideremos los conjuntos U k = R k \ B 1/k (x). Cada U n es abierto porque B 1/k (x) es cerrado, y k U k = R n \ {x}. Como x / A, entonces la colección {U k : k 1} es una cubierta para A. Sin embargo, {U k : k 0} no tiene subcubiertas finitas: Para cada colección finita U k1,...,u kp, si N = máx i k i, entonces p U ki = R n \ B N (x). i=1 Como B N (x) A, entonces {U k1,...,u kp } no cubre a A.

24 18 1. El espacio euclideano No todos los conjuntos cerrados son compactos. El espacio R n es cerrado, por ejemplo, pero no es compacto porque, digamos, la cubierta de bolas Bk 0 (0), k 1, no tiene una subcubierta finita. Sin embargo, los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos sí lo son. Proposición Sean E F R n. Si E es cerrado y F es compacto, entonces E es compacto. Demostración. Sea {U α } una cubierta de E. Como E es cerrado, entonces R n \E es abierto, así que {R n \E} {U α } es una cubierta de F. Como F es compacto, tiene una subcubierta finita, digamos {R n \E,U α1,u α2,...,u αk }. Entonces {U α1,u α2,...,u αk } es una subcubierta finita para E. Decimos que un conjunto A es acotado si existe un rectángulo R tal que A R. De manera equivalente, A está contenido en una bola B M (x), para algún x R n y M > 0. Los conjuntos compactos son acotados. Proposición Si A es compacto, entonces es acotado. Demostración. Al igual que en la demostración de la proposición 1.34, mostraremos la contrapositiva. Es decir, supondremos que A no es acotado para concluír que no es compacto. Si A no es acotado, entonces, para todo r > 0, A Br 0 (0). Consideremos ahora la colección {Bk 0(0) : k 1}. Como k B0 k (0) = Rn, {Bk 0 (0) : k 1} es una cubierta para A. Sin embargo, no tiene cubiertas finitas, porque B 0 k 1 (0)... B 0 k p (0) = B 0 N(0) A, donde N = máx i k i, porque A no es acotado. Las proposiciones 1.34 y 1.36 implican el siguiente teorema, muy útil en el análisis. Teorema Sea A un conjunto compacto y (x k ) una sucesión en A. Entonces (x k ) tiene una subsucesión que converge en A. Demostración. Como A es acotado, entonces la sucesión (x k ) tiene una subsucesión que converge, por el teorema de Bolzano-Weierstrass. Como A es cerrado, el límite de esta subsucesión está en A. El siguiente teorema clasifica los conjuntos cerrados en R n, y es conocido como el Teorema de Heine-Borel. Teorema 1.38 (Heine-Borel). A R n es compacto si y sólo si A es cerrado y acotado.

25 5. Conjuntos Compactos 19 Decimos que A es acotado si existe un rectángulo cerrado R A. Para demostrar este teorema, por la proposición 1.35, es suficiente con demostrar que un rectángulo cerrado es compacto. Para ello necesitaremos los siguientes lemas. Lema [a, b] R es compacto. Demostración. Sea {U α } una cubierta una cubierta de [a,b], y sea S = {x [a,b] : {U α } tiene una subcubierta finita para [a,x]}. Mostraremos que S = [0,1]. Sabemos que, al menos, a S, así que S. Como S es acotado (S [a,b]), entonces tiene un supremo, por el axioma de completitud, digamos m = sups. Vamos a demostrar que m S y m = b. Como m [a,b], m U αm para algún α m. U αm es abierto, así que existe x S U αm. Como [a,x] tiene una subcubierta finita, entonces, agregando U αm a dicha subcubierta, obtenemos una subcubierta finita para [a,m]. Entonces m S. Si m < b, entonces existe m < y b tal que y U αm. Agregando U αm a una subcubierta finita para [a, m], obtenemos una subcubierta finita para [a,y], y y S. Esto contradice que m = sups. Por lo tanto m = b. Es fácil ver que, si x R n, y B R m, y es compacto, entonces {x} B R n R m = R n+m es compacto. El siguiente lema ofrece una versión mucho más fuerte de este hecho. Lema Sea x R n y B R m compacto. Si {U α } es una cubierta de {x} B, entonces existe V R n, con x V, tal que {U α } tiene una subcubierta finita para V B. Demostración. Para cada (x,y) {x} B, existe U α(x,y) tal que (x,y) U α(x,y). Como cada U α(x,y) es abierto, existe un rectángulo abierto R x,y tal que (x,y) R x,y y R x,y U α(x,y). Podemos escribir R x,y = S x,y T x,y, donde S x,y es un rectángulo abierto en R n y T x,y un rectángulo abierto en R m. Ahora bien, {T x,y : y B} es una cubierta de B. Como B es compacto, existen T x,y1,t x,y2,..., T x,yk tales que Si tomamos B T x,y1 T x,y2... T x,yk. V = S x,y1 S x,y2... S x,yk,

26 20 1. El espacio euclideano V es un rectángulo abierto, x V y V B (S x,y1 T x,y1 )... (S x,yk T x,yk ) = R x,y1 R x,y2... R x,yk U α(x,y1 ) U α(x,y2 )... Uα (x,yk ). Lema Si A R n y B R m son compactos, entonces A B R n+m es compacto. Demostración. Sea {U α } una cubierta de A B. Para cada x A existe, por el lema 1.40, un abierto V x R n y una subcubierta Θ x finita para V x B. Pero los V x forman una cubierta para A y A es compacto, así que existen V x1,...,v xp tales que A V x1... V xp. Entonces p i=1 Θ x i es una subcubierta finita para A B. Los lemas 1.39 y 1.41 implican el siguiente corolario. Corolario Un rectángulo cerrado R = [a 1,b 1 ]... [a n,b n ] es compacto. Ahora sí, la demostración del teorema de Heine-Borel es fácil. Demostración del Teorema de Heine-Borel. Si A es acotado, entonces existe un rectángulo cerrado R tal que A R. Por la proposición 1.35 y el corolario 1.42, si A es cerrado, entonces A es compacto. Ejemplo La bola B n y la esfera S n 1 son conjuntos cerrados y acotados en R n. Por el teorema de Heine-Borel, son compactos. El teorema de Heine-Borel también implica la inversa del teorema Corolario Si A es un conjunto tal que toda sucesión en A tiene una subsucesión que converge en A, entonces A es compacto. Demostración. Mostraremos que, si A es un conjunto que no es cerrado o no es acotado, entonces tiene una sucesión sin subsucesiones convergentes en A. De hecho, por la proposición 1.27, si no es cerrado entonces existe una sucesión en A con límite fuera de A. Si A no es acotado, entonces existe una sucesión (x k ) en A tal que, digamos, x k > k. Entonces (x k ) no tiene subsucesiones convergentes. Por lo tanto, si A es un conjunto tal que toda sucesión en A tiene una subsucesión que converge en A, entonces A es cerrado y acotado. Por el teorema de Heine-Borel, A es compacto.

27 Ejercicios 21 Ejercicios 1. Muestra la desigualdad del triángulo inversa: Si x,y R n, x y x y. 2. Demuestra la identidad del palalelogramo: Si x,y R n, x 2 + y 2 = 1 2( x + y 2 + x y 2). Explica qué tiene que ver esta identidad con un paralelogramo. 3. Muestra que, si x 1,x 2 R n, el conjunto es un hiperplano. {x R n : x x 1 = x x 2 } 4. Muestra que si {U α } es una colección de conjuntos abiertos en R n, entonces la unión α U α es un conjunto abierto. 5. Muestra que la intersección de dos rectángulos en R n es vacía o es otro rectángulo. 6. Muestra que si U 1,U 2,...,U k son conjuntos abiertos en R n, entonces la intersección k i=1 U i es un conjunto abierto. 7. Demuestra la Proposición Una sucesión (x k ) en R n es de Cauchy si, para todo ε > 0, existe N tal que si k,l N entonces x k x l < ε. Muestra que la sucesión (x k ) es de Cauchy en R n si y sólo si cada sucesión (x i k ) es de Cauchy en R. 9. Concluye, del problema anterior, que toda sucesión de Cauchy en R n converge. 10. Muestra que todo conjunto infinito y acotado en R n tiene un punto de acumulación. 11. Considera, en R, la cubierta {(1/2n,3/2n) : n = 1,2,...} del conjunto {1,1/2,1/3,...}. Muestra que esta cubierta no tiene subcubiertas finitas.

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