INVESTIGACION OPERATIVA

Transcripción

1 CAPITULO II ACTIVIDADES I. Introducción Generalmente la Simulación requiere la generación y el proceso de una gran cantidad de datos, por lo que resulta inevitable el uso de una computadora. Se han desarrollado un gran número de lenguajes de programación, especiales para Simulación, como por ejemplo GPSS, SIMSCRIPT, SLAM y DYNAMO, que reducen el tiempo y el costo de preparación de los programas. El hecho de que existan lenguajes de Simulación de aplicación especial, no implica que no se puedan desarrollar modelos de Simulación sin hacer uso de ellos. La desventaja, evidente, es que requerirá mayor tiempo, esfuerzo y un trabajo minucioso. Uds., entendemos y así lo esperamos, manejan las planillas de cálculo, como una herramienta accesible. Esta herramienta dispone de las funciones básicas e indispensables para desarrollar modelos sencillos de Simulación. De allí que para realizar algunas actividades de aplicación de Simulación usaremos Excel, pues, si bien no posee todas las características de un leguaje de programación especial para Simulación, posee las suficientes para la construcción de modelos de poca magnitud. Ellas son: Permite registrar los eventos a lo largo del tiempo. Puede generar números pseudoaleatorios. Posee capacidad para desarrollar funciones y operaciones, que pueden utilizarse para generar valores aleatorios para diferentes distribuciones probabilísticas. Permite la recopilación de datos e informes estadísticos de formato fijo y gráficos con los resultados. 1

2 Posee flexibilidad para la generación de informes y tiene la capacidad de detectar errores de sintaxis en el lenguaje propio de la planilla. No detecta errores de lógica en el modelo de simulación. II. Simulación con EXCEL Previo a que Uds. emprendan la tarea de buscar una solución a un problema aplicando simulación directa y utilizando una planilla de cálculo, les mostraremos la resolución del problema planteado en el material teórico del Capítulo II "Panadería La Baguette". Por ello, antes de continuar, le pedimos que lo ubique y lo relea, de manera de tener a mano los datos del problema. Desarrollo de la Solución Para resolver el problema antes indicado por Simulación dijimos que debían evaluarse diversas políticas y elegir la que produjera la mayor ganancia. Así, definimos la política como el número de panes que debe hornearse cada día. Y, como ese número depende de la demanda, establecimos seis políticas a analizar, las que quedaban definidas por el recorrido de dicha variable. Recordemos que denotamos con q a la cantidad de panes horneados cada día; con N a la cantidad demandada en un día determinado; con PV al precio de venta; con PR al precio de recupero; con CF al costo de fabricación y con GP a la ganancia no obtenida por demanda insatisfecha y definimos la ganancia de la siguiente manera: Si q N Ganancia = PV.N + (q - N).PR - CF.q Si q < N Ganancia = PV.q - CF.q - (N - q).gp Ahora entramos en el proceso de solución: 2

3 Para que podamos seguir el proceso hemos puesto a su disposición un archivo en Excel "La baguette.xls", grábelo en su disco y téngalo a la vista mientras lee el material. El archivo contiene 3 hojas que poseen idéntica información hasta la fila 14. A partir de allí, si bien en apariencia son similares, difieren en los resultados, según sea el procedimiento que utilicemos para generar los números aleatorios. También, cabe aclarar, que las imágenes que encontrará en el presente texto se desprenden de la hoja titulada "La Baguette - Simulación". En caso que pertenezcan a cualesquiera de las otras 2, encontrará la referencia correspondiente. En primer término, hemos ingresado en la planilla los datos suministrados por el enunciado del problema, organizados adecuadamente para posteriormente ser utilizados en la resolución: El primer paso consiste en elaborar la distribución de probabilidad acumulada de cada variable del problema y con base en ella construimos los intervalos de números aleatorios (números índices). 3

4 Observemos que a la derecha de cada uno de los intervalos correspondientes a cada valor de las variables se ha reiterado el recorrido de ellas. Ello es necesario a efectos de utilizar la función BUSCARV del Excel. Veamos en qué consiste esta función y comprenderemos las razones del mencionado orden: Esta función busca un valor en la columna a la izquierda de una tabla y devuelve otro para la misma fila desde una columna especificada, ubicada a la derecha. 4

5 Así, la matriz necesaria, para aplicar tal función, se compone de tres columnas, la primera contiene los límites inferiores de cada intervalo de números aleatorios, en la segunda los límites superiores y en la tercera, el correspondiente valor de la variable. Matrices necesarias para aplicar la función BUSCARV MATRICES DE BUSQUEDA Como el problema planteado presenta cuatro variables aleatorias: la primera, el tipo de demanda y las tres restantes, las cantidades demandadas con igual recorrido pero distinta probabilidad, según el valor que asuma la primera, se han definido cuatro matrices que nos permitirán efectuar la búsqueda del valor asociado a cada número aleatorio. Definidos los intervalos de números aleatorios, estamos en condiciones de diseñar la hoja de cálculo que permita determinar, según la cantidad demandada para un día determinado, la ganancia que se obtiene. Para ello debemos fijar una política, en este caso en la celda H2 se introduce la misma, la que se estableció en hornear 60 panes diarios. A efectos de ordenar la simulación de la ocurrencia de las variables aleatorias, incorporamos una columna de control que numera el día al que corresponde la ocurrencia simulada. 5

6 Si bien en el archivo se han incorporado 365 días, en la gráfica siguiente sólo se observan los primeros 20. Serie de Números Naturales que representan el día para el cual se simula la ocurrencia de las variables Serie de Números Aleatorios que permiten simular la ocurrencia de la variable Tipo de Demanda Serie de Números Aleatorios que permiten simular la ocurrencia de la variable Cantidad Demandada El valor de la variable Tipo de Demanda se asocia al valor que asuma el Número Aleatorio 1 El valor de la variable Cantidad Demandada se asocia al valor que asuma el Tipo de Demanda y el Número Aleatorio 2 Valores obtenidos según el modelo matemático definido Fijada la política y ordenados los días a simular, para cada uno de ellos generaremos un número aleatorio que nos permita determinar el tipo de demanda que ocurrirá ese día y un segundo que, asociado al intervalo correspondiente, determinará la ocurrencia de la cantidad demandada. Ahora bien, para generar números aleatorios (pseudoaleatorios), en Excel, se pueden utilizar distintos procedimientos. Por tal motivo, antes de continuar veremos las alternativas posibles para generar números aleatorios: Las más sencillas son emplear las funciones ALEATORIO y ALEATORIO.ENTRE. Ambas producen números aleatorios con distribución uniforme. La primera permite obtener números aleatorios mayores o iguales a 0 y menores que 1 y la segunda, entre los números que el usuario especifique. Veremos la aplicación de ambas funciones en el ejemplo que se trata de resolver: 6

7 Como las variables del problema son discretas, resulta necesario trabajar con números aleatorios con distribución discreta y uniforme. Entonces, a fin de obtenerlos con dicha característica, a un número aleatorio comprendido entre 0 y 1, debemos multiplicarlo por 100 y tomar su parte entera, asegurando de este modo una serie de números comprendidos entre 0 y 99 con igual probabilidad, en este caso 0,01. Si utilizamos la función ALEATORIO, en la celda donde se insertará el resultado debemos introducir la siguiente expresión: (ver Hoja "La Baguette - Simulación 1") Genera un Número Aleatorio entero comprendido entre 0 y 99 En cambio, si utilizamos la función ALEATORIO.ENTRE 1, la expresión a introducir será: (ver Hoja "La Baguette - Simulación 2") 1 Esta función sólo estará disponible si se instala previamente el complemento de Herramientas para Análisis de Datos. 7

8 Genera un Número Aleatorio entero comprendido entre 0 y 99 El último procedimiento que podemos utilizar, es la Herramienta de Generación de Números Aleatorios, disponible en el menú de Herramientas para Análisis de Datos. Esta herramienta, no está disponible por defecto, debe activarse a través del menú de Complementos. Esta función genera una serie de números aleatorios independientes, con base en una de las varias distribuciones de probabilidad disponibles. Así, pueden generarse series de números con distribución Uniforme, Normal, Bernoulli, Binomial, Poisson, Discreta, etc.: 8

9 Distribuciones de Probabilidad Disponibles Para el ejemplo que estamos desarrollando, la distribución que se adapta es la discreta, generando, de este modo, números aleatorios, comprendidos entre 0 y 99 cada uno de ellos con probabilidad igual 0,01, en razón de que la distribución utilizada debe ser uniforme. A fin de utilizar esta alternativa, el usuario debe previamente definir la distribución de probabilidad discreta que desea utilizar, la que en este ejemplo se ubica en el rango O17:P116. Una vez generada la serie de números aleatorios con cualesquiera de los procedimientos vistos, estamos en condiciones de simular la ocurrencia de los valores de las variables relacionado a cada uno de ellos a través de los intervalos inicialmente definidos. Para ello se utilizarán funciones lógicas conjuntamente con la función BUSCARV. Para simular la ocurrencia de la variable tipo de demanda sólo debe aplicarse la función BUSCARV y obtendremos el valor de la variable asociado al número aleatorio que se haya presentado. 9

10 Como podemos ver, mediante el uso de esta función hemos generado la ocurrencia del valor de la variable tipo de demanda para el día 1. El valor ocurrido es "Media", pues el número aleatorio es 38, el que pertenece al intervalo [30, 74] y este se corresponde al valor de la variable "Media". Si copiamos esta función en los 364 días restantes obtendremos el valor de la variable tipo de demanda correspondiente, según sea el número aleatorio que se haya presentado y el intervalo al cual pertenezca. Para hallar el valor de la variable cantidad demandada correspondiente a cada día, debemos combinar la función antes utilizada con la función lógica "SI", ello en razón de que el valor de dicha variable depende del valor asumido por la variable tipo de demanda. 10

11 Observemos que se ha utilizado la función "SI" como argumento de otra función "SI" de manera de poder evaluar las tres alternativas posibles. En este caso, el resultado que obtendremos en la celda indicada será 72 panes. Este valor ocurre porque ha ocurrido el valor "Media" (ver columna D) y el número aleatorio 74 (ver columna C). Dicho número es el que permite simular la ocurrencia del valor de la variable cantidad demandada y para ello debemos verificar a que intervalo pertenece cuando el tipo de demanda es "Media". Como 74 pertenece al intervalo [60, 84] el valor asociado de la variable cantidad demandada es 72. Al igual que para el caso de la variable tipo de demanda, si copiamos la función para los 364 días restantes obtendremos el valor de la variable cantidad demandada correspondiente según sea el número aleatorio que se haya presentado y el intervalo al que pertenezca. Siguiendo estos pasos hemos podido simular la ocurrencia de la variable N (cantidad demandada) y ya habíamos fijado el valor de q, con lo que estamos en condiciones de simular los valores de la ganancia diaria siguiendo el modelo anteriormente definido. Para ello debemos expresar el modelo matemático a través de una función de la planilla de cálculo, la que definiremos en la celda en la que pretendemos se registre el resultado. 11

12 Como la función objetivo (ganancia diaria) es una función definida por secciones o partes, según sea q N o q < N, utilizaremos la función "SI" a fin de determinar qué parte o sección de la función debe aplicarse cada día. La función ingresada en la celda F16 refleja el modelo matemático planteado y para cada caso, según resulte el valor de q respecto de N, devolverá el valor de la ganancia o utilidad. Así, en el día 1, arrojará una utilidad de 7,20 ello porque N=72 y q=60, por tanto q<n y la utilidad será: PV.q - CF.q - (N - q).gp = Ganancia 0,40 x 60-0,25 x 60 - (72-60) x 0,15 = 7,20 En cambio en el día 2, N=48 y q=60, por tanto q>n y la ganancia resultará: PV.N + (q - N).PR - CF.q = Ganancia 0,40 x 48 + (60-48) x 0,10-0,25 x 60 = 5,4 De este modo, hemos podido obtener, por simulación de la ocurrencia de la 12

13 variable cantidad demandada, una estimación de la ganancia anual y de la ganancia diaria promedio para una política determinada, resultados que se observan en las celdas F381 y F382. Ahora bien, la planilla de cálculo que hemos preparado nos permitirá estimar las ganancias promedio para todas las políticas cambiando el valor de la celda H2. Sin embargo, previo a realizar dicho cambio, deberemos guardar el valor del resultado obtenido en las celdas F381 y F382 en otra celda (I-J18), de manera de poder compararlos y con base en ellos, determinar cuál será la política que arroja la mayor de las ganancias promedio estimadas, objetivo establecido al plantear el problema. Esta operación la podemos realizar utilizando la opción pegar valores del menú pegado especial. Reemplazando el valor de la celda H2 por 36, 48, 72, 84 y 96 obtendremos los siguientes resultados para cada una de las políticas: 13

14 Política Ganancia Anual Ganancia Promedio ,80 1, ,00 4, ,40 6, ,60 6, ,00 6, ,40 4,6751 De los resultados obtenidos podemos concluir que la política que mejor satisface los objetivos de Pierre es la de hornear 72 panes diarios, dado que ésta arroja la mayor ganancia anual y por tanto la mayor ganancia diaria promedio. Para que los resultados de una simulación sean válidos la simulación de la ocurrencia de la o las variables aleatorias debe realizarse en un número lo suficientemente grande que garantice la representatividad de la distribución de probabilidad de dichas variables. Para asegurar que la muestra es suficientemente representativa de la distribución de probabilidad de las variables, podemos realizar el histograma de frecuencia (ver hoja Histograma) y compararlo con la distribución de probabilidad dada como dato, situación que ilustramos en la siguiente tabla para la variable Tipo de Demanda y que fue obtenida aplicando la opción Histograma del menú Herramientas: Análisis de datos, previo a expresar cada categórica de la variable mediante un número: Clase Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Probabilidad Dada Alta 112 0,31 0,30 Media 149 0,41 0,45 Baja 104 0,28 0,25 Total 365 1,00 1,00 Hasta aquí, hemos desarrollado en forma completa el problema visto en el contenido del modulo. Uds. se preguntarán por qué los resultados finales aquí obtenidos no son iguales a los plasmados en la teoría, ello es así, en razón de que cada serie de números aleatorios es distinta y difícilmente podamos generar dos veces la misma serie y obtener los mismos resultados. Sin embargo, observen que 14

15 cualesquiera sean los valores que obtengan para cada política, la mejor es siempre la misma. Ahora ha llegado el momento de que Uds. resuelvan problemas utilizando esta herramienta. Para ello, a continuación encontrarán dos actividades que deberán resolver utilizando Excel. 15

16 ACTIVIDAD 1 Hace dos años que Diego junto a su familia consideraron que el Barrio Universidad, dada su sostenida tasa de crecimiento poblacional y el perfil de los habitantes, necesitaba una pizzería que combinara calidad, sabor, precios competitivos y puntualidad. Así es como surge PIZZAPRESTO!, un microemprendimiento dedicado a la elaboración de pizzas, cuyo éxito radica fundamentalmente en la rapidez con la que se entregan los pedidos, pues, al preparar las prepizzas por anticipado, es decir, al mezclar los principales ingredientes y hornearlos previamente ha logrado que el tiempo de espera de sus clientes sea menor en comparación a otras pizzerías de la zona. El precio de venta promedio de la gran variedad de pizzas que ofrece PIZZAPRESTO! es de $ 13. La prepizza tiene un costo de $ 4, el que incluye el precio de las materias primas (harina, sal, levadura, tomate, aceite) y el horneado. Mientras que asciende a $ 10 el costo promedio total de la pizza incluyendo la prepizza, el queso, las aceitunas y demás ingredientes, el empaque, la mano de obra y los impuestos. Como para este microemprendedor el cliente es muy importante, no desea modificar su proceso productivo, aunque, en ocasiones, esta producción anticipada de prepizzas le ha causado serios inconvenientes: Uno de ellos, se origina en las prepizzas sobrantes que deben ser vendidas a una cadena de supercongelados a un precio de $ 2 cada una, ya que no es factible su utilización al día siguiente, con lo que un camión pasa a recoger, diariamente, su excedente a la 01:00 AM. El otro, surge cuando no puede satisfacer la demanda, lo que implica una perdida de $ 3 por cada prepizza que no tiene en existencia. Por esta razón, Diego está buscando una política de producción que le permita maximizar sus beneficios anuales y que al mismo tiempo considere las dos situaciones que le generan inconvenientes en su pequeño negocio. 16

17 Con este objetivo, comienza a buscar información revisando el libro donde prolijamente él ha anotado sus pedidos de pizzas de los últimos 100 días. Observa que la demanda nunca ha superado las 180 pizzas ni ha sido inferior a las 140 pizzas. A continuación, se expone la tabla con los datos resumidos por el microemprendedor: Demanda por día de pizzas Días Total Días 100 Diego ha estado pensado en dos posibles alternativas de producción a fin de lograr el objetivo planteado: La primera consistiría en elaborar diariamente un número de prepizzas igual a la demanda máxima observada, esto le garantizaría que nunca tendrá faltantes o demanda insatisfecha. La segunda, consistiría en hacer una cantidad de prepizzas igual a la demanda del día anterior, aunque con esta alternativa, algunos días del año tenga excedentes o faltantes. Cuál de las dos políticas propuestas por Diego otorgará la mayor ganancia diaria promedio? Consigna: Diseñe una planilla de cálculo que permita simular la ocurrencia de la demanda diaria de pizzas y de la ganancia diaria para las dos políticas propuestas. Para cada una de ellas determine el promedio de la ganancia diaria, luego compare e informe cuál de las dos políticas resulta la más conveniente. A efectos de la segunda política, suponga que la demanda para el día 0 es de 140 pizzas. Realice el análisis para 365 días. 17

18 ACTIVIDAD 2 Party S. A. es una empresa que se dedica a organizar todo tipo de eventos. Su eslogan Disfrute en un spa mientras organizamos su fiesta" ha devenido en una gran cantidad de fechas confirmadas y, posee la agenda de dos años completamente reservada. Su gerente, Pablo, está conforme con su accionar y es consciente de toda la tarea que tiene por delante. Sin dudas estos no van a ser años aburridos ; asegura. Sin embargo, lo que le preocupa es la limitada capacidad de equipamiento o el número de cocinas que posee para que el personal elabore los menúes solicitados para las fiestas. Otra cuestión, vinculada a la anterior, es que sólo unos días antes del evento sabe qué cantidad de invitados tendrá que atender. Esto, si bien, es una dificultad operativa, influye en la organización de los equipos de cocina. A partir de los registros de la empresa de los últimos años, es factible obtener la frecuencia de las fiestas organizadas en función a la cantidad de invitados confirmados, la que se muestra en la siguiente tabla: Cantidad de invitados a una fiesta Frecuencia Relativa 200 0, , , , , , , , , , ,02 18

19 Los menúes se preparan el día anterior, para ello Party S.A. cuenta con 6 cocinas instaladas en donde los cocineros contratados por la firma elaboran los menúes. No obstante, puede ocurrir que alguno de los equipos de la cocina esté fuera de servicio por alguna rotura o desperfecto técnico. Por tanto, el día que se realiza el proceso de elaboración puede que no se disponga de toda la capacidad instalada. Las estadísticas de la empresa revelan la siguiente disponibilidad de equipos expresada en la capacidad de producción de menúes en 8 horas de trabajo: Capacidad de menúes Frecuencia Relativa (3 equipos)=180 menúes 0,15 (4 equipos)=240 menúes 0,25 (5 equipos)=300 menúes 0,35 (6 equipos) =360 menúes 0,25 Confirmada la cantidad de invitados, Party S.A. debe producir tantos menúes como invitados se esperan a la fiesta. Si con los equipos disponibles, no se puede satisfacer la demanda, es factible que los cocineros realicen horas extras y produzcan en ellas hasta un 50% más de la capacidad normal. Los cocineros ganan $ 960 por 60 menúes y $ 28 por cada menú elaborado en horas extras. Ahora bien, puede ocurrir que con la capacidad instalada más las horas extras, no se pueda producir la cantidad de menúes necesarios para atender a todos los invitados confirmados, y en ese caso, se deberá subcontratar el servicio a otra empresa de catering, la que cobra $ 36 por cada menú. Pablo, con tantos eventos agendados, está analizando la posibilidad de ampliar su capacidad e instalar un séptimo equipo de cocina. Pero previo a realizar esta inversión desea verificar que se producirá un ahorro promedio en horas extras y en servicios subcontratados por evento de por lo menos $ 700, ya que este nivel de ahorro le permitirá recuperar la inversión que implica la instalación de una séptima cocina. 19

20 Pablo, en función a su experiencia estima que con 7 equipos la disponibilidad expresada en la capacidad de producción de menúes en 8 horas de trabajo sería la siguiente: Capacidad de menúes Frecuencia Relativa (4 equipos)=240 menúes 0,15 (5 equipos)=300 menúes 0,25 (6 equipos)=360 menúes 0,35 (7 equipos)=420 menúes 0,25 Con esta información se está en condiciones de formular un modelo de simulación para Party S.A. que permita estimar, para cada capacidad instalada, la cantidad de menúes que se producen en horas extras, los que se deben subcontratar a una empresa de catering y los costos correspondientes. Estimado ello, es factible analizar si resulta o no conveniente invertir en la instalación de un séptimo equipo de cocina. Consigna: Diseñe una planilla de cálculo que permita simular la ocurrencia de la cantidad de menúes que se deberían elaborar, la de los que podrían elaborarse en función de la disponibilidad de equipos, la cantidad de menúes que se realizarían en horas extras y los que deberían subcontratarse. Con esa información estime los costos correspondientes y determine el promedio de costos por evento. Finalice después de haber simulado 200 eventos o fiestas, considerando que la empresa tiene agendadas al menos 2 fiestas por semana. Esta tarea realícela para cada alternativa de capacidad instalada. Hecho ello compare los resultados de cada alternativa y responda si resulta conveniente instalar el séptimo equipo. 20