Variable Compleja. José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005

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1 Variable Compleja José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, por favor hágalo, de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de Variable Compleja, en esta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego encontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lector deberá revisarlas analizando cuál de los resultados básicos se ha utilizado en la prueba. 1. RESULTADOS BÁSICOS 1.Si es un cuerpo conmutativo se dice que la aplicación es un valor absoluto arquimediano si Para todo, Existen tal que max 2. es el único cuerpo con valor absoluto arquimediano completo y tal que la ecuación tiene una solución salvo isomorfismos. 3.Sea un abierto no vacío del plano complejo.. Denotemos por la variable en. Por donde, se denotará a una función de variable compleja. La función es continua si y sólo si las funciones son continuas. 4.Sea, se dice que una función de variable compleja es complejamente diferenciable en el punto, si existe lim En este caso se llama la derivada de en el punto y se nota Si es complejamente diferenciable en, entonces es continua en. 5.Ecuaciones de Cauchy-Riemann: Si una función es complejamente diferenciable en el punto entonces en el punto existen las derivadas parciales y se tiene.

2 Darío Sánchez H Variable Compleja 2 Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden también escribir en la forma 6.En general dada la función el hecho de que existan las derivadas parciales en un punto y que se cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann en ese punto no garantiza que complejamente diferenciable en. Tómese como contra-ejemplo a la función, si, si 7.Sea y. Para que la función sea complejamente diferenciable en el punto es necesario y suficiente que cada una de las funciones sea diferenciable en el punto y que las derivadas parciales cumplan las condiciones de Cauchy- Riemann. 8. es diferenciable en un punto, si existen tales que para cada punto en una vecindad de se tenga que donde lim, en este caso. 9.Sean abierto no vacío de, funciones complejamente diferenciable en el punto. Entonces las funciones son complejamente diferenciables en y Además, si, entonces es complejamente diferenciable en y 10.Regla de la cadena: Sean abiertos no vacíos de,,. Entonces, si es complejamente diferenciable en y es complejamente diferenciable en también es complejamente diferenciable en y 11. Sea un abierto no vacío de y se dice que es HOLOMORFA en si es complejamente diferenciable en todos los puntos de. Se dice que es HOLOMORFA en el punto si es holomorfa en una vecindada de. Las funciones holomorfas de forman un anillo conmutativo con elemento unidad.. sea

3 Darío Sánchez H Variable Compleja en este caso vale el criterio de Cauchy, o sea se sigue que si la serie converge entonces lim. converge absolutamente cuando. 13.Sea ø un conjunto cualquiera y. Se denota por sup. Se dice que una serie de funciones es normalmente convergente sobre si. 14.Sea ø un conjunto cualquiera, una serie de funciones complejas sobre, normalmente convergente. Entonces, la serie es absolutamente convergente. La serie es uniformemente convergente sobre. 15.Sea ø y una serie de funciones complejas continuas uniformemente convergentes sobre. Entonces, la función es continua en. 16. Sea. Llámase radio de convergencia de al número real extendido sup Llámase círculo de convergencia de al conjunto 17.Lema de Abel: Sea y tales que, supongamos que existe tal que para todo, entonces la serie es normalmente convergente en el círculo. Sea el radio de convergencia de la serie. Entonces Si la serie converge normalmente en. Si tal que entonces es divergente.

4 Darío Sánchez H Variable Compleja 4 18.Fórmula de Hadamard: El radio de convergencia de la serie está dada por la fórmula lim sup. Sea, entonces; es convergente si lim sup es divergente si lim sup > 19. Sean, y, series absolutamente convergentes de números complejos, si entonces la serie es absolutamente convergente y. 20.Sean con donde. Pongamos entonces, y si, 21.Sea con y sea entonces ø. Para todo. Si y si entonces y. 22.Sean una serie inversible es decir; con. Entonces, la serie tiene. De aquí se sigue que si minentonces. 23.Para todo. Además de eso para todo con tenemos lim. En otras palabras la función es holomorfa en el disco de convergencia y. 24.Sea con. Entonces la función es indefinidamente diferenciable en el disco de convergencia de y para todo,. Sean tales que y que exista y tal que para se tenga, entonces. 25.Sea con y sea la serie recíproca (es decir, ). Entonces si también. 26.Defínase exp por la fórmula exp.. y está bien definida, pues su radio de convergencia es infinito.

5 Darío Sánchez H Variable Compleja 5 27.La aplicación es un homomorfismo del grupo aditivo en el grupo multiplicativo. El homomorfismo aplica sobre y el núcleo es. min cos 28.Si es compacto, inyectiva y continua entonces es compacto y es un homeomorfismo. 29.Dado se llama logaritmo de cualquier complejo tal que. Para todo log ln arg. Para todo log log logmod Si se llama arg aquel tal que cossin 30.Sea un abierto conexo de y una función continua tal que para todo, exp Entonces se tiene que es una rama de log en. Si es un abierto conexo y es una rama de log en entonces para todo ; es una rama de log, recíprocamente todas las ramas de log en tienen esta forma. 31. Sean, una vecindad de. Se dice que es analítica en el punto si existe con y existe tal que < y para todo, con. Si es un abierto de y, entonces se dice que es analítica en, si es analítica en cada punto de. 32.Sea una función analítica en el punto. Entonces es indefinidamente diferenciable en una vecindad de y si es su expansión en serie alrededor de, entonces, Toda función analítica en un abierto es indefinidamente diferenciable en. 33.Sean funciones analíticas en. Entonces y son funciones analíticas en. Si, la función es analítica en. Si en una vecindad de, entonces,o, en una vecindad de Finalmente existe una función, analítica en tal que en una vecindad de. Esta función está determinada en la vecindad de a menos de una constante aditiva por

6 Darío Sánchez H Variable Compleja 6 y 34. Sea con. Entonces es una función analítica en el disco de convergencia de. Más exactamente para todo con la serie de potencias tiene radio de convergencia y su suma para es igual a. 35.Una función que es analítica en todo el plano se llama una función entera. Las funciones exponencial y trigonométricas son enteras. 36. Sean un abierto conexo de, una función analítica en y. La siguientes afirmaciones son equivalentes: Para todo, Existe sucesión de puntos diferentes en con y para todo en una vecindad de en. Si es un abierto conexo en las funciones analíticas en forman un dominio de integridad. 37.PRINCIPIO DE PROLONGAMIENTO ANALÍTICO. Sean abiertos conexos de con ø y para sea una función analítica en. Si en entonces existe una función analítica única en tal que 38.Sea una función analítica en tal que, pero en una vecindad de. Sea la serie de potencias correspondiente. El número min se llama orden o multiplicidad del cero de. Si la multiplicidad es se dice que es un cero simple de. Sea, es analítica en, es el orden del cero de si y sólo si, para y. Lo cual es equivalente a decir que en una vecindad de donde es analítica en y ya que Sean un abierto conexo de y una función analítica tal que. Entonces es un conjunto discreto en. (Es decir, consta solamente de puntos aislados). 39. Sea un intervalo compacto de

7 Darío Sánchez H Variable Compleja 7 Una aplicación continua se llama camino continuo en Si para, entonces (excepto eventualmente en el caso ), se dice que es un camino simple (o, un arco). Si, se dice que es un camino cerrado. Sean un intervalo compacto de y un homeomorfismo de sobre. Entonces se dice que el camino es deducido de por transformación de parámetros. Si y (respectivamente ) se dice que la transformación de parámetros no cambia (resp. cambia) la orientación del camino. Sean caminos tales que entonces el camino si definido por se llama camino compuesto si de y el cual se denota por. 40.Sea un abierto de Si y son dos caminos es con y se dice que y son homotópicos en si existe continua, tal que y Si es conexo se puede definir Sean caminos cerrados, se dice que son homotópicos en si existe continua tal que para todo y. Si se reduce a un punto se dice que es homotópica a un punto. 41.Prolongamiento analítico a lo largo de un camino: Sean un arco, una función analítica en. Se toma la expansión en serie alrededor de. Tómese tal que (disco de convergencia de la serie expandida). Sea y si es analítica en existe tal que para algún. Si es analítica en existe. Suponiendo que el proceso puede prolongarse a un punto tal que, se obtiene así una función analítica en. 42.Sean abiertos de con ø. Sea una función analítica en supóngase que es prolongación analítica de a. Sean y un camino simple un arco de a en. Entonces la expansión de la serie alrededor de puede ser obtenida a partir de la expansión de alrededor de por prolongación analítica a lo largo de. 43.Teorema de Monodromia: Sean dos caminos homotópicos de a y una función analítica en, supóngase que para todo camino simple intermediario entre y la función

8 Darío Sánchez H Variable Compleja 8 sea continuamente prolongable a lo largo de. Entonces los prolongamientos analíticos de a lo largo de y dan la misma serie alrededor de. 44.Se dice que una aplicación es un camino diferenciable si las funciones, y, son continuamente diferenciables. Una forma diferencial en un abierto es una expresión donde y son funciones continuas en. Si es una forma diferencial en un abierto y es un camino diferenciable, se define la integral por la fórmula donde. En la misma notación tenemos que donde es una forma diferenciable sobre. 45.Se dice que un camino es diferenciable por partes si existe una partición de tal que el camino es un camino diferenciable. En este caso para, forma diferencial en, se define. Sean un abierto conexo de,. Entonces existe una poligonal en con punto inicial y punto final. 46.Sean un abierto conexo de,. Entonces, si es un camino diferenciable por partes con punto inicial y punto final tenemos. En particular si en, es constante en. 47. Una forma diferencial en un abierto conexo posee una primitiva en si y solamente si para todo camino cerrado diferenciable por partes en,. Sean un disco abierto en y una forma diferenciable en tal que para todo rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas y. 48. Fórmula de Green: Sean un abierto de tal que es un camino cerrado simple diferenciable por partes, una forma diferencial definida en una vecindad de y tal que las derivadas parciales y existan y sean continuas en la vecindad de. Entonces

9 Darío Sánchez H Variable Compleja 9 49.Sea un abierto continuo conexo una forma diferencial en, tal que, existan y sean continuas en, entonces para que posea una primitiva en es necesario que en es suficiente que sea un disco y que en. Se dice que una forma diferencial en un abierto es cerrada si para todo, existe vecindad de tal que tiene una primitiva. 50.Sea una forma diferencial en un abierto. Entonces es cerrada si y sólo si para todo rectángulo suficientemente pequeño con lados paralelos a los ejes, la integral Si las derivadas parciales, existen y son continuas en entonces es cerrada si y solamente si en. 51.Sean abiertos de, una forma diferencial cerrada en y un camino. Entonces existe una función continua con la siguiente propiedad: Para todo, existe vecindad de, existe primitiva de en, existe vecindad de en tales que para todo,. Además de eso la función está unívocamente determinada a menos de una constante aditiva. En este caso se dice que es una primitiva de a lo largo de. Bajo las mismas hipótesis si no es diferenciable por partes y si es una primitiva de a lo largo de, se define 52.Si es un camino cerrado en entonces es un número entero. Sean un abierto de, una forma diferencial cerrada en y : continua entonces existe una función continua con la siguiente propiedad: existen vecindad de, primitiva de en vecindad de en tales que y. Una tal función esta unívocamente determinada a menos de una constante aditiva en este caso se dice que es una primitiva de con respecto a. 53.Sean un abierto de y forma diferencial cerrada en. Si son dos caminos homotópicos en con extremos iguales entonces Si son dos caminos cerrados homotópicos en entonces.

10 Darío Sánchez H Variable Compleja 10 Se dice que un abierto es simplemente conexo si todo camino cerrado en es homotópico a un punto. Toda forma diferencial cerrada en un abierto simplemente conexo posee una primitiva en. 54.Sean un camino cerrado en y. Llámase índice de con respecto a al número Si y son dos caminos cerrados homotópicos en entonces Fijando el camino cerrado en, la aplicación es una función localmente constante en. La aplicación que es continua ya que es compacto entonces es constante en las componentes conexas de. Sea un camino diferenciable con derivada continua y además existe vecindad de en tal que es inyectiva en y existe una vecindad de tal que es dividida en dos regiones por. 55.Se dice que una colección finita de caminos cerrados simples diferenciables por partes es el BORDE ORIENTADO de un compacto si: ø si si es diferenciable entonces para todo y si las regiones de la vecindad de divididas por el arco son tales que ø. Si es un borde orientado de un compacto y si es una forma diferenciable definida en una vecindad abierta de con entonces 56.Teorema de Cauchy: Si es una función holomorfa en un abierto de entonces la forma diferencial es cerrada en. Si es una función holomorfa en un abierto entonces posee localmente una primitiva que también es holomorfa. Forma usual del teorema de Cauchy: Si es una función holomorfa en un abierto y si es un camino cerrado homotópico a un punto en entonces. 57.Si es una función continua en un abierto de y es holomorfa en, excepto eventualmente en puntos situados sobre una recta paralela al eje real entonces la forma diferencial es cerrada en (en

11 Darío Sánchez H Variable Compleja 11 particular, es cerrada si es continua en y holomorfa en excepto eventualmente en un conjunto finito de puntos de ). 58. Fórmula integral de Cauchy: Sean una función holomorfa en un abierto y un camino cerrado en, homotópico a un punto. Entonces se tiene que 59.Sea una función holomorfa en el disco entonces es analítica en y la expresión de en serie de potencias de tiene radio de convergencia donde 60.Si es una función holomorfa en un abierto entonces es analítica en. En particular, es indefinidamente diferenciable y para todo, si entonces que constituye la fórmula integral de Cauchy para las derivadas. 61.Teorema de Morera. Si es una función continua en un abierto tal que la forma diferencial es cerrada entonces es holomorfa en. Si es continua en un abierto y es holomorfa en excepto eventualmente en puntos situados sobre una recta (o sobre un número finito de rectas ) entonces es holomorfa en todo. Sea el borde orientado de un compacto y una función holomorfa en un abierto entonces 62.Principio de simetría de Schwarz: Sea un abierto de simétrico con respecto al eje real una función continua en y holomorfa en con. Entonces puede extenderse de manera única a una función holomorfa en todo, donde 63.Sea un abierto de, función holomorfa en, entonces donde con. La serie convergente en el mayor disco abierto con centro en y contenido en,. Esta serie es llamada serie de Taylor de en el punto. 64.Desigualdad de Cauchy. Sea una función holomorfa en el disco y para sea

12 Darío Sánchez H Variable Compleja 12 sup Entonces, para todo, para los coeficientes de Taylor 65.Teorema de Liouville: Si una función entera es acotada en todo el plano, entonces ella es constante. Si es un polinomio no constante con coeficientes complejos entonces la ecuación tiene por lo menos una raíz en. Este enunciado es conocido como el teorema fundamental del álgebra. 66. Se dice que una función real o complejo definida en un abierto del plano tiene la propiedad del valor medio si con. Si es una función holomorfa en un abierto entonces tiene la propiedad del valor medio en. Si es holomorfa en el abierto entonces las funciones, e, tiene la propiedad del valor medio en. 67.Principio del máximo: Sea un abierto de y una función continua en con la propiedad del valor medio. Entonces si tiene un máximo relativo en un punto es constante en una vecindad de. Sea ø un subconjunto abierto acotado y conexo de, una función continua en con la propiedad del valor medio en y sup. Entonces Para todo, Si existe con, entonces constante en. Sea, una función continua en holomorfa en un disco. Entonces toma su máximo sobre en un punto de, sup. 68.Lema de Schwarz: Sea una función holomorfa en el disco tal que y. Entonces Para todo Si existe con entonces existe con tal que. 69.Sea un abierto conexo de consideremos el cuerpo de fracciones del dominio de integridad. Todo elemento de tiene la forma, donde y son llamados funciones meromorfas. 70.Dado, si la función es analítica en una vecindad de, si tenemos en una vecindad de, donde, holomorfas y. Tenemos dos posibilidades

13 Darío Sánchez H Variable Compleja 13, en ese caso la función se puede extender analíticamente a el punto poniendo en la vecindad de en este caso lim y se dice que tiene un polo en. El número es llamado la multiplicidad del polo ( o también orden) Si un polo tiene multiplicidad, se dice que el polo es simple. 71.Si es una función meromorfa en un abierto conexo entonces es también una función meromorfa en y si es un polo de orden de, es un polo de orden de (los polos de son los mismos polos de ). 72.Sea con. Entonces la serie de funciones es convergente en. Si, la serie es normalmente convergente en. Además la función es holomorfa en y la derivada es (converge en ). 73.Sea El radio de convergencia de la serie igual a. El radio de convergencia de la serie tal que es mayor que o es mayor que o igual a donde,, Entonces La serie es convergente en el anillo Si, es uniformemente convergente en el anillo La función es holomorfa en y 74.Sea una función en el anillo circular (, + ) dada por una serie de Laurent,. Entonces, los coeficientes estan unívocamente determinados por. Teniéndose que. Sea, +, y una función holomorfa en. Entonces es representable por una serie de Laurent en.

14 Darío Sánchez H Variable Compleja 14 Sean,. Si es sup, holomorfa en y es la serie de Laurent entonces tomando tenemos 75.Sea y una función holomorfa en entonces donde es una función holomorfa en y es holomorfa en (llamada descomposición de Laurent). Se tiene unicidad en la descomposición si se exige que lim. Sean abierto de,, una función holomorfa en. Entonces puede ser extendida analíticamente al punto si y solamente si es acotada en una vecindad de. Llamada una singularidad removible. 76.Si y ø tenemos dos posibilidades Si es finito, sea min entonces donde es holomorfa en una vecindad de y, es meromorfa en una vecindad de y el punto es un polo de orden de Si es infinito, se dice que es un punto singular esencial aislado de. 77. Casorati-Weierstrass.Sea, una función holomorfa en el disco punteado con como punto singular esencial. Entonces para todo el conjunto es denso en. Picard. Con las hipótesis del teorema anterior, tenemos más precisamente que la función toma en todos los valores en excepto en lo máximo en uno para todo. 78.Se dice que es holomorfa en una vecindad de si es holomorfa en una vecindad de. Si es holomorfa en entonces donde ya que es compacta y es continua en entonces es acotada por el teorema de Liouville se sigue que es constante. Para una función compleja definida en, o en abiertos de, se extienden los conceptos de función meromorfa en el punto, orden del polo, singularidad esencial, etc, y se consideran las propiedades correspondientes de las funciones en una vecindad de.

15 Darío Sánchez H Variable Compleja Si es una serie de Laurent en entonces tiene en un polo de orden y tiene una singularidad esencial en # Una función es meromorfa en todo es una función racional 80.Sean un camino cerrado en el anillo, una función holomorfa en y el coeficiente de en la serie de Laurent de en entonces Sean y una función holomorfa en una vecindad de con como punto singular aislado se llama residuo de en el punto el coeficiente de la serie de Laurent de en, y se le nota. Sea una función holomorfa en con además teniendo a como punto singular aislado. Si es la serie de Laurent en. Se llama residuo de en el punto al número. 81.Teorema de los residuos: Sean un abierto de, una función holomorfa en excepto en un conjunto de singularidades aisladas, un compacto con bordes orientados tal que para todo y entonces ; es un conjunto finito y Si es una función holomorfa en todo excepto en un conjunto de singularidades aisladas entonces el conjunto es finito y 82.Cálculo de residuos: Si es meromorfa en una vecindad de y tiene en un polo simple, entonces lim. Si es meromorfa en una vecindad de tiene un polo de orden en entonces con holomorfa. Si entonces entonces. Más técnicamente se tiene que, si es un polo de orden de una función analítica, entonces el residuo en es dado por Sea una función meromorfa no constante en una vecindad de y "derivada logarítmica de ". Entonces si tiene en un cero de orden.

16 Darío Sánchez H Variable Compleja 16 Si es holomorfa en y es holomorfa en si tiene en un polo de orden,. 83.Si es un abierto de, un compacto con borde orientado una función meromorfa en, no constante, holomorfa en los puntos de y tal que. Además, sea la suma de las multiplicidades de las raíces de la ecuación en y la suma de las multiplicidades de los polos de en. Entonces 84.Sea una función holomorfa no constante en una vecindad de, con un cero de orden en de. Entonces para toda vecindad (suficientemente pequeña) de existe vecindad de en tal que para todo, la ecuación tiene exactamente raíces simples en. 85.Teorema de Rouche: Sean un abierto de funciones holomorfas en y un compacto con borde orientado tal que para todo. Entonces las funciones y tienen el mismo número de ceros en. 86. Algunos tipos de integrales definidas cos sin donde es una función racional no tiene polos reales lim donde es holomorfa en todos sus puntos con excepto en lo máximo en un conjunto finito no tiene puntos singulares reales lim La integral es convergente (o por lo menos existe el valor principal lim ) donde es holomorfa en todos los puntos con excepto en un conjunto finito lim

17 Darío Sánchez H Variable Compleja 17 La integral es convergente (o por lo menos existe el valor principal lim ) tiene un polo simple en y es holomorfa en los puntos reales donde es una función racional no tiene polos en el semi-eje real positivo lim log log donde es una función racional sin polos sobre el semi-eje real positivo lim arg también log 87.Sea un abierto de. Se dice que una sucesión en converge uniformemente en el interior de si para todo compacto contenido en, la sucesión converge uniformemente sobre Se dice que una serie de funciones continuas en converge uniformemente resp. normalmente en el interior de, si para todo compacto la serie es uniformemente convergente (resp. normalmente convergente) en. Una sucesión puede converger uniformemente en el interior de y no converger en como en es una sucesión de funciones definida en, convergente uniformemente en y no converge en la recta. Si es una serie normalmente convergente en el interior de, entonces es uniformemente convergente en el interior de. 88.Si es una sucesión de uniformemente convergente en el interior de y si lim lim entonces es una función continua en, o sea. (El resultado se sigue del hecho de ser localmente compacto). una sucesión en, converge uniformemente en el interior de converge uniformemente en todo disco cerrado.

18 Darío Sánchez H Variable Compleja Si es una sucesión de funciones holomorfas en uniformemente convergente en el interior de y si lim, entonces (Aplíquese los teoremas de Morera y Cauchy). Sea un abierto de, una sucesión en uniformemente convergente para en el interior de. Entonces la sucesión converge uniformemente en el interior de para. (Para la demostración use la fórmula integral de Cauchy para ). 90. Teorema de Hurwitz: Sean un abierto conexo de y una sucesión de funciones holomorfas uniformemente convergentes para en el interior de. Entonces si para todo, se tiene:, o. (Por contradicción suponga que y tal que. Use el teorema del residuo y concluya que ). Si es una sucesión en, abierto conexo de las funciones son inyectivas y si uniformemente en el interior de entonces es inyectiva o - (Por contradicción; construya un abierto, aplique el teorema de Hurwitz y concluya que no es inyectiva). Sea una función holomorfa, abiertos de. Si es inyectiva en una vecindad de un punto entonces La propiedad no es verdadera en variable real. Como contra-ejemplo tome, es uno a uno y. (Para la demostración suponga aplique el resultado 84, para llegar a una contradicción). 91. Teorema de la aplicación abierta: Si es una función holomorfa no constante definida en un abierto conexo de, entonces es una aplicación abierta. (Es suficiente mostrar que, la imagen contiene todos los puntos de una vecindad de, para lo cual considere la ecuación donde aplíquese el resultado 84 dos veces). 92.Función inversa: Sea una función holomorfa inyectiva en una vecindad de un punto, existe vecindad de y existe vecindad de tales que es una biyección de sobre y la aplicación inversa es holomorfa y para todo,. (Mediante el resultado 84 construya una vecidad de suficientemente pequeña de manera que exista vecindad de. Tome es sobre y del teorema de la aplicación abierta, es continua). 93.Sean, abiertos no vacíos de, y una aplicación -diferenciable de sobre. Se dice que la aplicación es conforme si es localmente inyectiva, y si, caminos diferenciables en a través de entonces el ángulo entre las tangentes a y en es igual al ángulo entre las tangentes a los caminos y de en el punto.

19 Darío Sánchez H Variable Compleja 19 Una aplicación, -lineal de sobre es conforme en tiene una de las formas,, En el caso conserva la orientación de los ángulos. En el segundo caso cambia la orientación de los ángulos. Sea un abierto de y continuamente -diferenciable y además con en todo punto de. Entonces es una aplicación conforme en si y solamente si es holomorfa o es anti-holomorfa es decir, función holomorfa en en. 94. Sea una función holomorfa e inyectiva en un abierto conexo de. Entonces es un homeomorfismo de sobre y la función inversa es holomorfa en. En este caso se dice que es un isomorfismo de sobre. Observaciones: El concepto de isomorfismo se extiende a los abiertos de la esfera de Riemann y son meromorfas. Un isomorfismo de sobre se llama automorfismo de. Los automorfismos de un abierto conexo, forman un grupo. Si es un isomorfismo de un abierto sobre un abierto entonces es un isomorfismo de sobre. y el disco abierto no son isomorfos. (Pues si lo fueran la función es un isomorfismo, es entera y acotada luego constante) absurdo. 95.El grupo de los automorfismos de se compone de las transformaciones lineales o sea. Observaciones: Si con y entonces es una transformación sin punto fijo. El grupo opera transitivamente sobre (es decir; tal que ). Si es un abierto conexo de y se llama isotropía de en al subgrupo Si el grupo de isotropia de es 96.Sea un abierto conexo de y un subgrupo de tal que opera transitivamente sobre Existe tal que el grupo de isotropía de en esta contenido en. Entonces. Observación: La condición se puede sustituir por donde Si el grupo de isotropía de está contenido en entonces dado cualquier existe tal que.

20 Darío Sánchez H Variable Compleja está formado por las transformaciones donde (también son llamadas "transformaciones homográficas"). Toda transformación homográfica es compuesta de una o más de las siguientes clases de transformaciones: Translación Homotecia más rotación Inversiones más simetrías (inversión con respecto a la circunferencia ) más reflexión con respecto al eje real. 98.Toda transformación homográfica transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias. La transformación es un isomorfismo del semiplano sobre disco. Sea un automorfismo de tal que Entonces,. Sea entonces Sea. Entonces esta formado por las transformaciones homográficas de la forma,,. Si y, donde 99.Sea ø un abierto de. Existe una sucesión de compactos de tal que Por ejemplo puede tomarse 100.Para todo, sea sup. Consideremos la aplicación dada por. Entonces es una métrica sobre Una sucesión es convergente en el espacio métrico si y solamente si es uniformemente convergente sobre todo compacto. El espacio métrico es completo.

21 Darío Sánchez H Variable Compleja Sea abierto de. Se dice que es una familia normal de funciones holomorfas en si toda sucesión en contiene una subsucesión uniformemente convergente en el interior de. Equivalentememente; es una familia normal en si y solamente si es un subconjunto relativamente compacto ( es compacto) del espacio. 102.Toda familia uniformemente acotado en cada compacto de (o en el interior de ) es equicontinua en todo compacto de. es equicontinua si,, tal que, para todo. sucesiones de compactos en, tal que. con = existe sup. 103.Teorema de Montel: Sea ø un abierto de y una familia uniformemente acotada en el interior de de funciones holomorfas en. Entonces es una familia normal de. 104.Sea ø un abierto simplemente conexo. Entonces existe un abierto isomorfo a tal que. Con tóme una rama de log defínase mediante. Sea simplemente conexo abierto tal que y es inyectiva, y Entonces sup 105.Teorema de Riemann: Todo abierto no vacío simplemente conexo es isomorfo al disco Sea se dice que es armónica en si en se llama operador Laplaciano. es armónica si y solamente si y son armónicas. Para todo es armónica si y solamente si en. En un abierto toda función holomorfa es armónica. Si es una función armónica real definida en un abierto entonces localmente es la parte real de una función holomorfa unívocamente determinada a menos de una constante aditiva.

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