Universidad Autónoma Metropolitana Posgrado en Matemáticas. Espacios de Bergman T E S I S. que para obtener el grado de

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1 Universidad Autónoma Metropolitana Posgrado en Matemáticas Espacios de Bergman T E S I S que para obtener el grado de Maestro en Ciencias con especialidad en Matemáticas P R E S E N T A: Luis Javier Carmona Lomeli IRECTOR E TESIS: r. Lino Feliciano Reséndiz Ocampo. Sinodales ra. Maribel Loaiza Leyva. r. Antoni Wawrzyñczyk Wilkiewicz. r. Lino Feliciano Reséndiz Ocampo. 24 de Mayo de 23 istrito Federal, México.

2 i No sé si volveremos en un ciclo segundo como vuelven las cifras de una fracción periódica; pero sé que una oscura rotación pitagórica noche a noche me deja en un lugar del mundo.

3 ii EICATORIAS A mi Padre y Madre: José y Eleuteria Quienes me trajeron a este mundo y sin escatimar esfuerzo alguno sacrificaron gran parte de su vida para educarme. Jamás encontraré la forma de agradecer su apoyo, comprensión y confianza. Mis logros son también suyos e inspirados en ellos, hago de ellos éste triunfo y quiero compartirlo por siempre con ustedes. A mi Esposa e Hija Rosario y Rosario Elizabeth. A mi esposa por su constante apoyo, comprensión, amor y por darme la gran alegría de ser pápa. A mi hija por ser un nuevo motor en mi vida para seguir adelante. A mis Hermanos: Juan Pablo, Sandra Elizabeth y José Emilio Para quienes su ilusión ha sido verme convertido en un hombre de provecho. Y que siempre están a mi lado para alentarme a seguir. A mis Abuelitos: Liboria, avid y Juana Que siempre estuvierón a mi lado para alentarme a seguir adelante. A mis Amigos: Alfonso Hernández Montes y iana Jiménez Suro. Gracias a ellos mi estancia en el posgrado fue más amena e interesante.

4 iii AGRAECIMIENTOS A mi irector de Tesis: r. Lino Feliciano Reséndis Ocampo Por dirigirme en este trabajo de tesis, dedicándome su invaluable ayuda, tiempo y atención. Por ser una parte esencial de mi formación académica y sobre todo por la amistad y confianza brindada. A mis Revisores de Tesis: ra. Maribel Loaiza Leyva, r. Antoni Wawrzynczyk Wilkiewicz y r. Lino Feliciano Reséndis Ocampo. Por el tiempo dedicado a la revisión de esta tesis, así como las sugerencias que me hicieron para hacer de ella un mejor trabajo.

5 Índice general Resumen Introducción V VI. ESPACIOS E BERGMAN.. Espacios de Bergman Algunas estimaciones en L p (, da α ) El Espacio de Bloch Espacios uales de los Espacios de Bergman LA TRANSFORMAA E BEREZIN Propiedades Algebraicas Funciones Armónicas MEIA E CARLESON, ESPACIOS BMO Y VMO Medidas tipo Carleson Espacios BMO y VMO en la Métrica de Bergman Una estimación de Lipschitz Apéndice 7 Conclusiones Perspectivas 2 Bibliografía 4 iv

6 Resumen El presente trabajo es un estudio sobre uno de los espacios ponderados de funciones analíticas más importantes: el llamado espacio de Bergman. Se presentan algunas de sus propiedades y la relación que tiene con otros espacios de funciones. En el primer capítulo se definen los espacios de Bergman y se estudian las propiedades básicas de dichos espacios. A continuación para un mejor estudio de la proyección de Bergman se usan una estimación integral y el lema de Schur para obtener un resultado muy general para operadores acotados en ciertos espacios L p. La mayoria de las pruebas relativas a los espacios de Bergman pesados se basan en cálculos explícitos con el núcleo reproductor y su operador asociado. Finalmente mediante un operador fraccionario de derivación se ve el papel relevante que juegan los espacios de Bloch en la teoría de los espacios de Bergman, pues representan a los espacios duales para exponentes pequeños ( < p < ). También se dan algunas caracterizaciones entre los espacios de Bloch relativas a la métrica de Bergman. El propósito del segundo capítulo es estudiar algunas de las propiedades algebraicas y analíticas más relevantes referentes a la transformada de Berezin. El resultado principal que se muestra en este capítulo es que una función f L (, da) es fijada por la transformada de Berezin si y sólo si f es armónica. Este resultado es consecuencia de una aplicación elegante del teorema del cálculo funcional de Riesz y el teorema espectral. En la parte final se introduce el concepto de las medidas de Carleson para los espacios de Bergman ponderados, además se estudia lo esencial que son estas medidas en los espacios tipo BMO y VMO en el disco, definiendo los promedios usando la métrica de Bergman. Se obtiene una caracterización de estos espacios en términos de la transformada de Berezin. Además se muestra que la parte analítica de los espacios BMO coincide con el espacio de Bloch. Por último se da un elegante resultado de Coburns L. A. que establece que la transformada de Berezin de cualquier operador lineal acotado satisface una fuerte condición de Lipschitz en términos de la métrica de Bergman. v

7 vi Introducción Uno de los objetivos fundamentales del Análisis Funcional es el estudio de algunas de las propiedades de las familias de funciones en su dominio de definición, por ejemplo: en base a su continuidad, diferenciabilidad, integrabilidad, alguna característica geométrica o sus valores límite al aproximarse a la frontera, etc. y con ello por similitud establecer clases de funciones, las cuales en muchos casos llegan además a constituir algún tipo de espacios de funciones. Gracias al Teorema de Mapeo de Riemman del Análisis Complejo, muchas veces basta estudiar la familia de funciones analíticas en el disco unitario para saber cual es su comportamiento en cualquier dominio simplemente conexo distinto de C, como sucede en el caso de las propiedades conformemente invariantes. El estudio de los espacios de Bergman se remonta al año 95, cuando Stefan Bergman publicó su monografía titulada The Kernel Function and Conformal Mapping, en el cual desarrolla la teoría de los espacios de Hilbert de funciones analíticas sobre un dominio Ω en el plano. El trabajo de Bergman se centro en el estudio del espacio de las funciones analíticas, cuadrado integrables sobre un dominio Ω, con respecto a la medida de área de Lebesgue. Está teoría se apoyó en la existencia de una función núcleo reproductor, la cual hoy en día es conocida como la función núcleo de Bergman. Cuando se inicio el estudio de los espacios A p α(), de las funciones analíticas p integrables, < p, sobre el disco unitario, fue natural llamarlos Espacios de Bergman Ponderados. En los últimos años la teoría de los espacios de Bergman tuvo cambios muy importantes debido a un enfoque desde el análisis funcional y la teoría de operadores. Algunos resultados notables son la caracterización de sucesiones de interpolación, el descubrimiento de Hedenmalm de los divisores contrativos de cero, las relaciones entre las funciones interiores de Bergman y la función biarmónica de Green encontradas por uren, Khavinson, Shapiro y Sundberg y resultados concernientes a subespacios invariantes por Aleman,

8 Introducción vii Borichev, Hedenmalm, Richter, Shimorin y Sundberg. En una serie de importantes avances los problemas centrales que parecian intratables fueron resueltos y así surgió una nueva teoría muy rica. Hoy en día se sigue avanzando en dicha teoría y se ha logrado unificar con los nuevos métodos los resultado anteriormente obtenidos. Así el estudio de los espacios de Bergman se ha convertido en una síntesis magistral entre la teoría de la variable compleja, del análisis funcional y la teoría de operadores. estaca la presencia de la geometría hiperbólica que permite, entre otras cosas, ver la relación que hay entre los espacios de Bergman ponderados y los espacios de Bloch y BMOA. La teoría de las funciones ponderadas estudia y clasifica a las funciones analíticas por medio de su comportamiento al aproximarse la variable, a la frontera de su dominio valiéndose para ello de determinados factores de peso y midiendo con diversas herramientas matemáticas la función así ponderada. icha teoría inició a principios del siglo XX debido a Stefan Bergman y algunos de los aportes recientes más relevantes a ésta los han hecho Kehe Zhu, Boris Korenblum, Haakan Hedenmalm, Peter uren, Coburns L. A., Aleman, Borichev, Richter, Shimorin,Sundberg, entre otros. El estudio de los espacios de Bergman no es parte del plan de estudios de una licenciatura o de una maestría, mas bien queda confinado a un tópico particular de estudio e investigación para estudiantes graduados o investigadores. os referencias recientes de mayor importancia son los libros de Theory of Bergman Spaces [8] y Bergman Spaces [5]. Un objetivo primordial de este trabajo fue presentar nociones básicas de la teoría de los espacios de Bergman y rápidamente pasar al estudio de algunos tópicos de esta teoría. Se han escrito pruebas detalladas de todos los resultados, haciendo este trabajo autocontenido, que permita al lector una aproximación más accesible a este material. Esta tesis puede ser usada como un curso introductorio a la teoría de espacios de Bergman. Más aún, es deseable que la lectura previa de este material le permita al lector interesado abordar el libro de Theory of Bergman Spaces [8] con mayor prestancia y fluidez. Se recurrió a las fuentes originales para poder escribir con mayor claridad algunas de las pruebas presentadas en este trabajo. El escrito refleja explicitamente la estrecha relación que hay entre el analísis funcional, la teoría de operadores, la variable compleja y la geometria hiperbólica para soportar esta aproximación al estudio de la teoria de los espacios de Bergman.

9 Capítulo ESPACIOS E BERGMAN La finalidad de este capítulo es definir los Espacios de Bergman ponderados en el disco unitario C, y probar algunas de las propiedades de estos espacios. Así mismo se definen los Espacio de Bloch los cuales son la imagen de funciones acotadas bajo la proyección de Bergman. Los Espacios de Bloch juegan un papel muy importante en esta teoría, pues representan a los espacios duales de los espacios de Bergman para exponentes pequeños ( < p ). También se estudian algunas estimaciones relativas a los espacios L p (, da), las cuales permiten caracterizar los espacios de Bergman ponderados y los espacios de Bloch. En lo sucesivo, B(a, r) denotará al disco Euclideano con centro en a y radio r. En particular cuando a se escribirá B(, r) B(r)... Espacios de Bergman efinición... Para < p < y < α < + se definen los espacios de Bergman ponderados A p α A p α() del disco unitario, como el espacio de las funciones analíticas en L p (, da α ), donde la medida da α está definida como da α (z) (α + )( z 2 ) α da(z), y da(z) es la medida normalizada de Lebesgue dada por da(z) π dx dy π r dr dθ. Si f está en L p (, da α ), se escribe ( f p,α f(z) p da α (z) ) p,

10 .. ESPACIOS E BERGMAN 2 en el caso en que α simplemente se escribe f p f p,. Lema..2. Si α es un número real, entonces α + ( z 2 ) α da(z) < si y sólo si α >. Luego emostración. ( z 2 ) α da(z) da α (z). 2 2π ( r 2 ) α r π dθdr ( r 2 ) α r dr ( r2 ) α+ α + α +. Se observa que si p <, el espacio L p (, da α ) es un espacio de Banach con norma dada por f p,α y si < p <, el espacio L p (, da α ) es un espacio métrico completo con la métrica dada por d(f, g) f g p p,α. Como d(f g, ) d(f, g), la métrica es invariante, además es también p-homogénea, es decir, d(λf, ) λ p d(f, ) para λ C. A los espacios de este tipo se les llama casi- Banach, porque ellos comparten muchas propiedades de los espacios de Banach. Se usarán frecuentemente los operadores diferenciales de Wirtinger z ( 2 x i ), y z ( 2 x + i ). y También serán de utilidad la siguiente proposición y colorario: Proposición..3. Si f y g son funciones continuas y diferenciables y además f g está bien definida en algún conjunto abierto U C, entonces se tiene que y f (f g)(z) z f (f g)(z) z z (g(z)) g z z (g(z)) g z (z) + f z (g(z)) g z (z) (z) + f z (g(z)) g z (z)

11 .. ESPACIOS E BERGMAN 3 Corolario..4. Si f ó g es holomorfa, entonces f (f g)(z) z z (g(z)) g z (z). Se denota por L () el espacio de todas las funciones esencialmente acotadas en y para f L (), se define f supess { f(z) : z }. Así el espacio L () es un espacio de Banach con la norma. Se denota por H al espacio de funciones analíticas acotadas en. Como H es cerrado en L (), entonces H es un espacio de Banach por si mismo. efinición..5. Sea u una función real continua en un abierto Ω C. La función u se dice subarmónica en Ω si u(a) 2π u(a + re iθ ) dθ, 2π para cada a Ω y todo r > tal que el disco B(a, r) está completamente contenido en Ω. Sea p < y f una función analítica sobre y en el interior de una circunferencia z a r, se tiene por subarmonicidad f(a) p 2π 2π f(a + re iθ ) p dθ. (.) Por tal motivo, el módulo u f de una función analítica sobre el disco resulta ser una función subarmónica en, lo mismo también es cierto en virtud del Teorema (ver Apéndice) para la función h f p con p. e la ecuación (.) se tiene que f(a) p R pero como R R2 r dr 2 es decir r dr 2π se tiene 2π 2 f(a) p R 2 R 2π R 2π B(a,R) B(a,R) f(a) p B(a, R) A f(a + re iθ ) p dθ r dr f(a + re iθ ) p r dr dθ f(z) p da(z), f(z) p da(z), B(a,R) f(z) p da(z). (.2) El siguiente resultado dice que las funciones en los espacios de Bergman ponderados y sus derivadas tienen un crecimiento acotado sobre subconjuntos compactos de.

12 .. ESPACIOS E BERGMAN 4 Proposición..6. Supóngase que < p <, < α < + y que K es un subconjunto compacto de. Entonces existe una constante positiva C C(n, K, p, α) tal que sup{ f n (z) : z K} C f p.α para toda f A p α y toda n N {}. En particular cada evaluación puntual en T z (f) f(z) es un funcional lineal acotado en A p α con p. emostración. Sin pérdida de generalidad se puede asumir que K {z C : z r} para algún r (, ). Primero se probará el resultado cuando n. Sea σ r 2 B(z, σ) al disco Euclideano. Entonces para z K se tiene y sea por esta desigualdad y por (.2) se tiene f(z) p σ 2 z 2 z ( r)/2, B(z,σ) σ 2 α + α + f(w) p da(w) B(z,σ) 2 σ 2 (α + )( r) α C f p,α, p ( w )α f(w) ( w ) α da(w) B(z,σ) f(w) p da α (w) donde C 2 σ 2 (α + )( r) α y así se encuentra una constante positiva C (la cual depende sólo de r). Esto prueba el resultado para el caso en que n. Para el caso cuando n, considérese el compacto K como antes. Sea R +r 2, así < r < R <. El caso anterior implica que existe M > tal que f(ζ) M f p,α, para toda ζ R. Puesto que f (n) es analítica en el interior de la circunferencia ζ R y sobre ella y K está contenido en el interior de dicha circunferencia, entonces para toda z K se satisface la fórmula integral de Cauchy, es decir, f (n) (z) n! 2πi ζ R f(ζ) dζ. (ζ z) n+

13 .. ESPACIOS E BERGMAN 5 Por lo tanto f (n) (z) n! f(ζ) n!mr dζ 2π ζ R ζ z n+ σ n+ f p,α para todo z K y f A p α. Proposición..7. Para cada < p < y < α < + el espacio de Bergman A p α es cerrado en L p (, da α ). emostración. Sea {f n } una sucesión en A p α y supóngase que f n f en L p (, da α ). En particular {f n } es una sucesión de Cauchy en L p (, da α ). Sin pérdida de generalidad considerése el disco compacto K {z : z r} con < r <. Así por la proposición anterior existe M > tal que En particular para k se tiene que f n (k) (z) f m (k) (z) M f n f m p,α f n (z) f m (z) M f n f m p,α, para cada z K. Por lo tanto la sucesión {f n } converge uniformemente en cada subconjunto compacto de a f y por tanto f es analítica en, luego pertenece a A p α. Como consecuencia de la proposición anterior el espacio de Bergman A p α es un espacio de Banach cuando p < y es un espacio métrico completo cuando < p <. efinición..8. Para una función f en y < r <, sea f r la función dilatación dada por f r (z) f(rz), z. En muchas aplicaciones se aproxima una función en el espacio de Bergman A p α por una sucesión de funciones. El siguiente resultado da dos usos comunes de ésto. Proposición..9. Para una función analítica f en y < r <. Entonces si < p < () Para cada f A p α se tiene que f r f p,α cuando r. (2) Para cada f A p α existe una sucesión {p n } de polinomios tales que p n f p,α cuando n.

14 .. ESPACIOS E BERGMAN 6 emostración. Sea f una función en A p α(). Para probar el inciso (), sea δ un número en el intervalo (, ) y obsérvese que f r (z) f(z) p da α (z) f r (z) f(z) p da α (z) + f r (z) f(z) p da α (z) z δ z δ f r (z) f(z) p da α (z) + δ< z < δ< z < ( f r (z) + f(z) ) p daα (z) ado ε > y puesto que f L p (, da α ), se puede elegir δ muy cercano a tal que f(z) p da α (z) < ϵ 2 p+2. δ< z < Por otro lado sean δ, r (, ) tales que δ < δ < y δ δ < r <. Tomando el cambio de variable w rz se tiene que f(rz) p da α (z) Por lo tanto δ < z < δ < z < δ r< w <r δ< w < f(w) p r 2 da α (z) f(w) p da α (z) < ϵ 2 p+2. ( ) p f r (z) + f(z) daα (z) 2 p f r (z) p da α (z) δ< z < + 2 p f(z) p da α (z) < ϵ 4 + ϵ 4 < ε 2. δ< z < Como δ está fijo, por la continuidad uniforme de f en el disco cerrado z δ, sea < R < tal que para toda R < r <. Por lo tanto lo que prueba (). ( ε f(rz) f(z) < 2 ) /p. z δ f r (z) f(z) p da α (z) < ε 2, Para mostrar el inciso (2), sean ε > y < r < tal que f r (z) f(z) da α (z) < ε 2.

15 .. ESPACIOS E BERGMAN 7 Ahora sean f(z) a n z n y p k (rz) n k a n (rz) n. Puesto que la función f r (z) es analítica en entonces su serie de Taylor p k (rz) converge uniformemente a f r (z) en. Así existe N N tal que para toda k > N Luego si k > N se tiene que f(rz) p k (rz) n a n (rz) n n nk+ ( ε a n r n < 2 f r (z) p k (rz) p da α (z) < ε 2. k a n (rz) n n ) /p. Así considerando el inciso () y esto último se tiene que f(z) p k (rz) p da α (z) f(z) f r (z) p da α (z) + f r (z) p k (rz) p da α (z) < ε 2 + ε 2 ε. Por lo tanto p k f p,α cuando k. Aunque cualquier función A p α puede ser aproximada (en norma) por una sucesión de polinomios, no siempre es verdadero que una funcion A p α puede ser aproximada (en norma) por su polinomio de Taylor. Actualmente tal aproximación es posible si y sólo si < p < +. Especial atención recibe el caso p 2. Por la Proposición..7 el espacio A 2 α es de Hilbert con producto interno dado por f, g f(z)g(z) da α (z), con f, g A 2 α. Para cualquier número no negativo, sea Γ(n α) e n n!γ(2 + α) zn, z, (.3) donde Γ(s) representa la función Gamma la cual es una función analítica de s en todo el plano complejo, excepto en sus polos simples localizados en los puntos {,, 2,...}, ver

16 .. ESPACIOS E BERGMAN 8 Apéndice (efinición 3.3. y Proposición 3.3.2). La siguiente proposición dice que el conjunto {e n } es una base ortonormal para el espacio A 2 α. Proposición... El conjunto {e n } es un conjunto ortonormal en A 2 α. emostración. Si n, m N, entonces z n, z m z n z m da α (z) π π 2π e aquí se desprenden dos casos: ) Si m n (α + )( r 2 ) α r n+m+ e i(n m)θ dθ dr 2π (α + )( r 2 ) α r n+m+ e i(n m)θ dθ dr z n, z m pues 2π e i(n m)θ dθ. 2) Si m n z n 2 p,α z n, z n 2π (α + )( r 2 ) α r 2n+ e i(n n)θ dθ dr π n!γ(α + 2) Γ(n + α + 2). Por lo que si se escribe e n Γ(n+2+α) n!γ(2+α) zn, n Z, z entonces el conjunto {e n } es un conjunto ortonormal en A 2 α. Como el conjunto de polinomios es denso en A 2 α (Proposición..9) se concluye que {e n } es una base ortonormal para A 2 α. Corolario... Si f(z) b n z n son dos funciones en A 2 α, entonces (a) f 2 2 (b) f, g α n a n z n y g(z) n n!γ(α + 2) Γ(n α) a n 2 n n!γ(α + 2) Γ(n α) a nb n n

17 .. ESPACIOS E BERGMAN 9 donde, α es el producto interno en A 2 α heredado de L 2 (, da α ). Se usará frecuentemente el siguiente resultado. Proposición..2. Si z, w y λ >, entonces + ( zw) λ n Γ(n + λ) n!γ(λ) zn w n. Ahora como el espacio A 2 α es un subespacio cerrado de L 2 (, da α ), existe un único operador de proyección ortogonal P α : L 2 (, da α ) A 2 α lineal y continuo tal que P α f f, si f A 2 α(). En este caso se puede dar una forma explícita de dicha proyección, como se ve en la siguiente proposición. Proposición..3. Para < α < +, sea P α la proyección ortogonal de L 2 (, da α ) sobre A 2 α. Entonces para todo f L 2 (, da α ). P α f(z) f(w) ( zw) 2+α da α(w), emostración. Sea {e n } la base ortonormal de A 2 α L 2 (, da α ) se tiene que dada por (.3). Para cada f P α f P α f, e n α e n. n En particular para cada z se tiene P α f(z) P α f, e n α e n (z), n y esta serie converge uniformemente en subconjuntos compactos de. Además P α f, e n α f, P α e n α f, e n α. Por lo tanto

18 .. ESPACIOS E BERGMAN P α f(z) P α f, e n α e n (z) n n n f, e n α e n (z) n ( Γ(n α) f(w) n!γ(2 + α) wn) da α (w) Γ(n α) n!γ(2 + α) [ f(w) n f(w)(zw) n da α (w) Γ(n α) n!γ(2 + α) (zw)n] da α (w) f(w) ( zw) 2+α da α(w). Γ(n α) n!γ(2 + α) zn Se puede realizar el cambio entre la integral y la suma ya que para cada z fijo la serie Γ(n α) n!γ(2 + α) (zw)n converge uniformemente respecto a w. n Si f A 2 α entonces P α f(z) f(z) da ( zw) 2+α α (w) y por esto el operador P α se llama la proyección de Bergman ponderada en y la función K α (z, w) f(w), z, w ( zw) 2+α se le llama el núcleo reproductor de Bergman sobre, el cual es holomorfo con respecto a la variable z y anti-holomorfo con respecto a la variable w. Está función juega un papel muy importante en la teoría de los espacios de Bergman ponderados. Aunque la proyección de Bergman P α está originalmente definida en L 2 (, da α ), la fórmula integral f(w) P α f(z) ( zw) 2+α da α extiende su dominio a L (, da α ). En particular, se puede aplicar P α a una función en L p (, da α ) con p <. Como A 2 α es denso en A α, el siguiente resultado justifica plenamente la definición de núcleo reproductor. Corolario..4. Si f es una función en A α, entonces f(w) f(z) ( zw) 2+α da α(w), z.

19 .. ESPACIOS E BERGMAN La integral converge uniformemente para z en cada subconjunto compacto de. (Este corolario se conoce como la fórmula reproductora). El conjunto A p A p, es el espacio ordinario de Bergman y su correspondiente proyección de Bergman se denota por P y el núcleo de Bergman es K(z, w) ( zw) 2. Las funciones núcleo de Bergman están estrechamente relacionadas con el grupo de transformaciones de Möbius, Aut() del disco. Para ver ésto, sea z y se considera la transformación de Möbius φ z del disco que intercambia z y, es decir, φ z (w) z w zw, w. Ahora se calcula la proyección ortogonal de Bergman de algunas funciones en particular. Proposición..5. Sea P α la proyección de Bergman ponderada. (a) Sean k, m enteros tales que k + m > 2 y γ + α >. Entonces ( P α ( z 2 ) γ z k z m) (α + ) Γ(k m+α+2)γ(α+γ+)γ(k+) (k m)!γ(2+α)γ(α+γ+k+2) z k m, para k m, para k < m. En particular si γ, m y k > se tiene que ( P α ( z 2 )z k) Γ(k + α + 2) (α + ) Γ(α + k + 3) zk. (b) Sean k N y f(z) m2k a mz m entonces ( ( z 2 ) k ) P α z k f (k) Γ(k + α + ) (z) (α + ) Γ(α + 2) n2k a n z n. La condición de suponer que los primeros 2k coeficientes de la serie de Taylor son todos cero hace esté bien definida la proyección de Bergman de dicha función. En particular si k entonces ( z 2 ) P α g (z) (α + ) g(z). z emostración. (a) Expandiendo la función núcleo de Bergman en serie de potencias ( P α ( z 2 ) γ z k z m) ( z 2 ) γ w k w m Γ(n α) (zw) n da α (w) (.4) n!γ(2 + α) n Γ(n α) (α + ) n!γ(2 + α) zn ( z 2 ) γ+α w k w m+n da(w). n

20 .. ESPACIOS E BERGMAN 2 Por otro lado, usando coordenadas polares ( z 2 ) γ+α w k w m+n da(w) y se observa que 2π iθ(k m n) dθ e π Al tomar n k m se tiene ( r 2 ) γ+α r k+m+n+ 2π, si k m n 2, para n k m. iθ(k m n) dθ e π dr y ( r 2 ) γ+α r 2k+ dr 2 Γ(α + γ + )Γ(k + ) Γ(α + γ + k + 2) n Γ(n α) Γ(k m α) n!γ(2 + α) zn (k m)!γ(2 + α) zk m. Así sustituyendo estos últimos tres cálculos anteriores en (.4) se tiene P α ( ( z 2 ) γ z k z m) (α + ) (b) Obsérvese que Γ(k m α)γ(α + γ + )Γ(k + ) z k m. (k m)!γ(2 + α)γ(α + γ + k + 2) f (k) (z) a m m(m ) (m k + ) z m k,

21 .. ESPACIOS E BERGMAN 3 entonces ( ( z 2 ) k ) P α z k f (k) (z) (α + ) m2k (α + ) n Γ(n α) n!γ(2 + α) ( w 2 ) k+α (zw) n w k a m m(m ) (m k + ) w m k da(w) n Γ(n α) n!γ(2 + α) zn m2k a m m(m ) (m k + ) lím ( w t B(t) 2 ) k+α w n k w m k da(w) Γ(n α) (α + ) n!γ(2 + α) zn a m m(m ) (m k + ) t lím t (α + ) n 2π n2k t t 2 lím (α + ) (α + ) m2k ( r 2 ) k+α r n k+m k+ iθ(m k+k n) dθ dr e π Γ(n α) n!γ(2 + α) zn a n n(n ) (n k + ) ( r 2 ) k+α r 2(n k)+ dr n2k ( u) k+α u n k du n2k Γ(n α) n!γ(2 + α) zn a n n(n ) (n k + ) Γ(n α) n!γ(2 + α) zn a n n(n ) (n k + ) Γ(k + α + )Γ(n k + ) Γ(α + n + 2) Γ(k + α + ) (α + ) a n z n. Γ(α + 2) n2k Para poder pasar de la igualdad 3 a la igualdad 4 se utilizó que m n para que dicha integral sea distinta de cero y que m 2k para que exista la integral y poder calcularla. El siguiente resultado muestra que la proyección P α : L (, da) A α es sobreyecctiva y además que existen una infinidad de preimagenes para cada g A α.

22 .. ESPACIOS E BERGMAN 4 Corolario..6. Sea f(z) n a nz n tal que f L (, da) y analítica. Sí k y m son enteros positivos y g(z) + 2k n Γ(n + α + 3) (α + )Γ(n + α + 2) ( z 2 )z n a n Γ(k + α + ) (α + )Γ(α + k + 2) ( z 2 ) k z k m2k a m m(m ) (m k + )z m k, entonces P α (g)(z) f(z). Proposición..7. La funcion φ z tiene las siguientes propiedades () φ z φ z (2) El determinante Jacobiano real de φ z en w es (3) φ z (w) 2 ( z 2 )( w 2 ) zw 2. (4) φ w (t)w wt w φ z(w) 2 ( z 2 ) 2 zw 4 Una aplicación simple de estas propiedades es que la fórmula para la función núcleo de Bergman K α (z, w) puede derivarse de un simple cambio de variables, en lugar de usar una serie infinita para la función gamma. Más específicamente, si f A α, por la propiedad del valor medio y el Lema..2 se tiene f() f(w) da α (w). (.5) En efecto, por la propiedad del valor medio se tiene f() 2π f(re iθ ) dθ, 2π

23 .. ESPACIOS E BERGMAN 5 entonces Pero como f()( r 2 ) α r dr 2π 2π 2π 2π f(re iθ ) dθ 2(α + ) ( r 2 ) α r dr f(re iθ )( r 2 ) α r dθ dr f(w) da α (w). f()( r 2 ) α r dr 2(α + ) f(), y así se obtiene lo deseado. Ahora si se reemplaza f por f φ z en (.5) ) ) (f φ z () (f φ z (w) da α (w) y así tomando el cambio de variable dado por w φ z (λ) y aplicando las propiedades (2) y (3) de la proposición anterior f(z) (α + ) f(λ) ( φ z (λ) 2) α ( z 2 ) 2 da(λ) zλ 4 ( z 2 ) 2+α f(λ) zλ da α(λ). 2(2+α) Cambiando λ por w se obtiene f(z) ( z 2 ) 2+α f(w) ( zw) 2+α ( zw) 2+α da α(w). Fijando z, y reemplazando f por la función w ( zw) 2+α f(w), entonces se obtiene la fórmula reproductora f(w) f(z) ( zw) 2+α da α(w), z, para f A α. e esto es inmediato deducir la fórmula integral para la proyección de Bergman.

24 .2. ALGUNAS ESTIMACIONES EN L P (, A α ) 6.2. Algunas estimaciones en L p (, da α ) En esta sección se presentan algunas estimaciones relativas a L p (, da α ), las cuales proporcionan una herramienta útil para acotar ciertos operadores integrales. En particular se estima una cota para la proyección de Bergman P α en ciertos espacios L p (, da α ). Se usa el símbolo para indicar que dos cantidades son comparables, es decir, A B si existen constantes positivas c y d tales que da B ca. Teorema.2.. [Estimación Integral] Para cualquier < α < + y cualquier número real β, sean I α,β (z) ( w 2 ) α da(w), z, zw 2+α+β y Entonces se tiene que J β (z) 2π dθ ze iθ, z. +β si β < I α,β (z) J β (z) log z 2 si β ( z 2 ) β si β > cuando z. emostración. La condición < α < + asegura que la integral I α,β (z) converge para todo z. Así pues la integral está bien definida. Ahora poniendo, 2λ 2 + α + β. Si λ ó λ <, entonces I α,β (z) está acotado. Si 2λ > se usa la serie de potencias ( zw) λ n Γ(n + λ) n!γ(λ) (zw)n. Puesto que ( w 2 ) α da(w) es invariante bajo rotación, se tiene que

25 .2. ALGUNAS ESTIMACIONES EN L P (, A α ) 7 I α,β (z) π π ( w 2 ) α da(w) zw 2+α+β Γ(n + λ) 2 (n!) 2 Γ(λ) 2 z 2n n n n Γ(n + λ) 2 (n!) 2 Γ(λ) 2 z 2n 2π n ( w 2 ) α w 2n da(w) Γ(n + λ) 2 (n!) 2 Γ(λ) 2 ( w 2 ) α z 2n w 2n da(w) ( r 2 ) α r 2n+ dθ dr Γ(n + λ) 2 Γ(n + )Γ(α + ) (n!) 2 z 2n Γ(λ) 2 Γ(n + α + 2) Γ(α + ) Γ(λ) 2 donde se uso (etiqueta, ver Apéndice) para el cálculo de la integral. n Γ(n + λ) 2 n!γ(n + α + 2) z 2n, Por la fórmula de Stirling se tiene que Γ(n + λ) 2 n!γ(n + α + 2) n2n+α+β n n nβ nn+α+ cuando n. Así pues, se analizan los siguientes casos:. Si β <, entonces 2. Si β, entonces 3. Si β >, entonces n cuando z, ya que n β z 2n es acotado en. n n z 2n log z 2 cuando z. n β z 2n n ( z 2 ) β n ( z 2 ) β Γ(n + β) n!γ(β) z 2n esta última por la fórmula de Stirling. Por lo tanto n β z 2n n

26 .2. ALGUNAS ESTIMACIONES EN L P (, A α ) 8 I α,β (z) si β < log z 2 si β ( z 2 ) β si β > La prueba para el caso de J β (z) es similar a la anterior. Corolario.2.2. Para cualquier < α < se tiene que I α,β (e iθ ( w 2 ) α ) e iθ da(w), θ R. w 2+α+β es finita si β <. B(r) emostración. En la prueba del teorema anterior sea B(r), entonces ( w 2 ) α Γ(α + ) Γ(n + λ) 2 e iθ da(w) w 2+α+β Γ(λ) 2 n!γ(n + α + 2) Γ(α + ) Γ(λ) 2 n n (n + ) β < si β >. Por lo tanto al tomar r se tiene I α,β (e iθ ) < M < si β <, donde M no depende de θ. El siguiente resultado es conocido como el lema de Schur. Teorema.2.3. Supóngase que X es un espacio de medida y µ una medida positiva en X. Sea T (x, y) una función medible positiva en X X y T el operador integral asociado Tf(x) T (x, y)f(y) dµ(y), x X, X definido si la integral converge. Si, para algún < p < + existe una función h medible, estrictamente positiva en X, y una constante positiva M > tal que T (x, y)h(y) q dµ(y) Mh(x) q, x X, (.6) y X X T (x, y)h(x) p dµ(x) Mh(y) p, y X, (.7) con p + q, entonces T es acotado en L p (X, dµ) con T M.

27 .2. ALGUNAS ESTIMACIONES EN L P (, A α ) 9 emostración. Si f L p (X, dµ) con p > entonces, puesto que h(y) > para todo y X, para cada x X se puede escribir Tf(x) T (x, y)f(y) dµ(y) X T (x, y)f(y)h(y)h (y) dµ(y). Por lo que Tf(x) X T (x, y)f(y)h(y)h (y) dµ(y) X T (x, y)h(y)h (y) f(y) dµ(y) X T (x, y)h(y)h (y) f(y) dµ(y) X [ ] T (x, y) p + q h(y)h (y) f(y) dµ(y) X X [ ([ ] T (x, y) q h(y) )([ T (x, y) ] p h (y) f(y) ) dµ(y) ] /q [ /p T (x, y)h q (y) dµ(y) T (x, y)h p (y) f(y) dµ(y)] p. X X Por otra parte elevando a la /q a la desigualdad (.6) se tiene que [ /q T (x, y)h q (y) dµ(y)] M /q h(x). Así X [ Tf(x) M /q h(x) X T (x, y)h p (y) f(y) p dµ(y)] /p. Ahora elevando está última desigualdad a la p e integrandola sobre X con respecto de µ(x), por el teorema de Fubini y usando la desigualdad (.7) se obtiene Tf(x) p dµ(x) M p/q h p (x)t (x, y)h p (y) f(y) p dµ(y) dµ(x) X X X M p/q h p (y) f(y) p T (x, y)h p (x) dµ(x) dµ(y) X X M p/q M h p (y) f(y) p h p (y) dµ(y) X M p/q M f(y) p dµ(y). Por lo que X X Tf(x) p dµ(x) M p/q M X f(y) p dµ(y).

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