CUADERNOS 7 ARQUITECTURA Y CIUDAD EDICION.DIGITAL_003

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1 CUADERNOS 7 ARQUITECTURA Y CIUDAD EDICION.DIGITAL_003 ASPECTOS TOPOLÓGICOS Y RETICULARES EN LA COMPRENSIÓN DEL TERRITORIO Y LA CIUDAD MARTA VILELA MALPARTIDA DEPARTAMENTO DE ARQUITECTURA

2 Dirección: Pedro Belaúnde Martinez Producción: Departamento de Arquitectura - Jefatura Diseño Gráfico: Braulio Miki Coordinador General: Isabel Ruiz C. Correspondencia: Av. Universitaria 1801 San Miguel, Lima Impreso en el Perú, Diciembre 2007 Departamento de Arquitectura - PUCP 1

3 ASPECTOS TOPOLÓGICOS Y RETICULARES EN LA COMPRENSIÓN DEL TERRITORIO Y LA CIUDAD 2

4 Índice Introducción Términos y Conceptos Territorio Desarrollo Territorial Espacio Topología Teoría de Redes Topología y la Redes territoriales Dicotomías Territoriales Centralidad vs Dispersión Ámbito Urbano vs Ámbito Rural Cuenca Alta vs Cuenca Baja Valle vs Desierto Visión Areal vs Visión Reticular Dinámicas de Redes Territoriales Red de ciudades intermedias: articulación entre la ciudad y el campo Dos lógicas en la ocupación urbana del valle Superposición de redes en el valle bajo del río Jequetepeque Conclusiones Bibliografía 3

5 1. Introducción La ocupación territorial en el Perú cuenta con importantes desafíos espaciales, en tanto el territorio peruano es sumamente diverso 1 (posee más del 80% de lo ecosistemas del planeta) pero a la vez ampliamente disperso, esto último, en cuanto a la localización de sus recursos y de sus espacios habitados. Respecto a la aglomeración poblacional, se tiene por un lado una gran concentración en pocas locaciones urbanas: un poco más del 50% de la población del país se localiza en 17 ciudades, siendo una de ellas Lima, que concentra el 29.9% de la demografía nacional. Paralelamente, existe otro fenómeno de dispersión que a manera de un polvillo de ciudades, que consigna a más de 490 ciudades con menos de 5,000 hab., y otras 400 ciudades con menos de 2,500 habitantes, siendo todas ellas capitales de distritos y centros urbanos, con grandes dificultades para lograr niveles de vida adecuados 2. Los factores que condicionan el territorio peruano son la latitud de 0º a 18º aprox. (clima tropical) condicionado por la proximidad de los Andes al mar, la altitud (en distancias de 100 Km. tenemos diferencias hasta de 5,000mts de altitud), las condiciones del mar peruano (afloramiento de aguas profundas), y presencia de la amazonía; estos factores entre otros caracterizan la diversidad del territorio peruano, que ha sido también soporte de la diversidad cultural en el país; y por otro lado la dispersión de los recursos 2 La población del Perú, de acuerdo al último censo es de ,265 hab., la de Lima Metropolitana de 7 819,436 Hab. El valle del Jequetepeque está conformado por dos provincias Pacasmayo y Chepen, estas tienen una población de 165,927 Hab. (Censo 2005, Instituto Nacional de Estadística e Informática) 1 Se evidencia una alta centralidad en la Metrópoli Capital, que se relaciona en primera instancia con la concentración demográfica y las decisiones gubernamentales, así como con la concentración de servicios sociales, el equipamiento industrial y la diversificación de oportunidades de trabajo urbano. En el presente documento, se entiende la necesidad de un ordenamiento territorial fundamental e impostergable, en la filosofía de que el país debe considerar el hecho de esgrimir como estrategia de desarrollo, la articulación de esta dispersión de ciudades, en una retícula espacial de aglomeraciones poblacionales vinculadas en sinergía, lo cual constituye una alternativa posible al esquema centralista, en pro de un desarrollo sustentable del territorio. El tema desarrollado a continuación es parte de una investigación dentro de los ámbitos teórico y metodológico de la temática territorial, tomando a su vez como referente el territorio de la Cuenca Baja del Río Jequetepeque. Tiene por objetivo presentar, como enfoque alternativo a las perspectivas clásicas que se dan sobre la ciudad y el territorio, a la Topología y a la Teoría de Redes, en cuanto a sus aspectos de mayor aplicabilidad al tema territorial. Pero antes de adentrarnos en lo dicho, centrémonos previamente en algunos términos y conceptos fundamentales. 4

6 2. Términos y Conceptos 2.1 Territorio Comúnmente se entiende por territorio a una extensión geográfica con determinadas características geofísicas y límites espaciales relativamente definidos. Dentro de la temática territorial, el concepto de territorio se llega a entender de dos maneras: Desde una perspectiva Física, Territorio es el conjunto de todos los elementos eco-sistémicos naturales (hábitat y bioma) y físico-culturales (infraestructura) que constituyen el soporte de recursos materiales de una determinada población humana, siendo esta última una entidad diferenciada del territorio, aunque directa e interdependientemente relacionada con él. Desde una perspectiva Sistémica, el concepto de Territorio es aún más comprensivo, presentándose como una totalidad geográfica y social que incluye: el ecosistema natural, la población humana, las relaciones económicas de producción, intercambio y consumo, con su infraestructura instalada y tecnología aplicada correspondientes, incluyendo la gestión territorial como la capacidad de auto-regulación política de la propia población. La diferencia fundamental entre ambas concepciones se sitúa en dos aspectos: en como considera cada una a la población: como diferenciada pero relacionada estrechamente al territorio o como un elemento del territorio mismo; y en como el enfoque sistémico al ser mas comprensivo, es a su vez mas amplio y complejo, sin embargo, justamente este enfoque propone la identificación de las variables decisivas para entender el problema a tratar. Nosotros optaremos por la perspectiva sistémica, considerando además la idea de proceso y temporalidad en el desarrollo de la dinámica territorial que propone el enfoque estructuralista. Desde una perspectiva inclusiva de la población en el territorio, M. Santos (geógrafo) define que si bien el territorio es usado, debemos entonces pensar en el uso del territorio en términos de durabilidad. Igualmente A. Magnaghi propone una globalización desde lo local, y la auto-sostenibilidad, es decir la gestión local enfocada al desarrollo sostenible, que permita a través de una red espacial local, lograr sinergías, y llegar a otro desarrollo mejor. 5

7 Particularmente en esta ultima década, la inclusión de la población en la definición de territorio se da en cuanto a la producción de este como en la percepción, y el de ser un soporte de identidad colectiva como el geógrafo Giu Di Meo lo explica. 3 Dentro de una aproximación más abstracta del concepto de territorio, a este lo componen la esfera ambiental (ecosistema, definido como el soporte del capital social), la esfera social y cultural (donde se ubican las relaciones de poder y de formas organizativas), y la esfera económica (donde se ubican las actividades de producción, distribución y de consumo), teniendo una idea rectora, política, dado por la capacidad de gestión de la gente (o autoregulación de la propia población, como sostiene A. Magnaghi, 2003). Esto nos remite al siguiente gráfico, donde la idea rectora es la sostenibilidad. El termino territorio es complejo o tiende a complejizarse aun más, siendo que en las últimas décadas, la singularidad es la inclusión de la población en este 3, por lo tanto, el territorio es un sistema complejo, integrador y dinámico con el objetivo de sostenibilidad. Fig. 1 6

8 Dentro de la corriente psicoanalítica, Lacan hace una abstracción del mundo del subconsciente, identificando 3 dominios, el real, lo simbólico y lo imaginario; dominios que no están separados en la realidad pero en los cuales uno por decirlo de alguna manera- re corre. Esta abstracción es la que traspaso a la definición de territorio. 4 Continuando con esta mirada abstracta, en el territorio pueden definirse tres dimensiones sensitivas 4 a partir de lo que representa para la persona o colectividad. Por un lado se define la dimensión de lo real, que corresponde a lo existente, a lo tangible, a la intervención del hombre en los recursos existentes y potenciales, que también tendría una connotación económica y tecnológica. Por otro lado se define el dominio de lo simbólico, que implica cómo la población percibe y se apropia perceptualmente del espacio, dándole un sentido a este espacio y a su historia. Por ultimo se define el dominio de lo imaginario, que considero uno de los más importantes, porque tiene que ver con la capacidad de la gente para imaginar su territorio en el futuro, y por ende, con la capacidad de transformarlo. Justamente, al entender el territorio como producto físico, social e histórico, es de capital importancia estar consientes de tener la capacidad de construirlo y transformarlo. Fig. 2 7

9 O. Dollfus, define El dominio del espacio geográfico en su sentido más amplio como la epidermis de la Tierra, refiriéndose a la superficie terrestre y la biosfera. (Concepto de Totalidad). 6 Existen dos perspectivas en la comprensión de lo temporal: el tiempo lineal y el tiempo cíclico. Esto se desarrolla más adelante en el apartado de Temporalidad. 7 F. Choay, en «Allégorie du Patrimoine», 1999, destaca que: la compétence d édifier peut être définie comme la capacité possédée par les hommes d'édifier un milieu spécifique qui, par ses échelles, ses articulations et ses différences, accueille leurs corps et, par la méditation de ces corps, d une part les arrime á la terre et aux vivants, d autre part les intègre parmi les autres humains des générations passées et des générations vivantes, en enracinant leur mémoire et en donnante un fondement matériel á leurs institutions. En ce sens, la compétence d'édifier est, dans son exercices, comme la garantie de notre statut de vivants, engages dans un permanent processus d institutionnalisation de leurs sociétés (la competencia de edificar puede estar definida como la capacidad que poseemos los hombres de construir un medio específico que, por sus escalas, sus articulaciones y sus diferencias, acoge (contiene) los cuerpos y, mediante estos, por un lado nos relaciona a la tierra y a los seres vivientes, y por otro lado nos integra con los otros humanos de generaciones pasadas y de las generaciones vivas, enraizando su memoria y dando fundamento material a sus instituciones. en este sentido la competencia de edificar es, en su ejercicio, como la garantía de nuestro estatus de estar vivos, comprometidos en un permanente proceso de institucionalización de nuestras sociedades. - traducción libre). 8 Entre lo efímero y permanente, texto de Capel 2003, donde expresa que lo permanente se refiere a los sedimentos dentro de la ciudad, a lo que realmente permanece dentro de la cultura, sea esto material o inmaterial, contrario a lo efímero que está dentro del ámbito de lo cotidiano. 5 Real Simbólica Imaginaria Dimensión del Territorio Característica material, relación con el ámbito de lo físico 5 Característica perceptual, relación con el ámbito cultural Característica trascendental, relación con la capacidad de transformación 7 Relación espacio temporal Relación con los plazos temporales, corto, mediano y largo plazo, referidos a los planes; y relación cíclica con la Naturaleza Relación con el tiempo cíclico 6, en vinculo con la vida y la cultura de la población, que es parte de este territorio Relación de plazos más largos, relación con la dimensión histórica. Relación con el dominio de lo permanente 8 y con el largo plazo. Cada una de estas tres dimensiones nos lleva a condiciones diferentes de entender el hecho territorial. Sin embargo estos tres campos no están aislados sino relacionados en un accionar simultáneo. En ese sentido es más pertinente el primer gráfico ya que las observaciones y los análisis estarían en las intersecciones de los dominios y muy próximos a la intersección central, que involucra a la persona o al grupo social. La observación del territorio construido por el hombre, cada vez más compleja, tiene una alta connotación perceptual de recursos (lo real), de cultura (lo simbólico) y de proyecto (lo imaginario). Igualmente, H. Córdova enuncia la percepción ambiental y la percepción territorial subraya que estas ideas y sus variables nos ayudan a entender y pensar en el espacio para vivir mejor en él. Diferentes sociedades tienen también diferentes formas de percibir su medio, lo que lleva a los espacios (geográficos) sean acondicionados diferentemente aun cuando 8

10 inicialmente tengan las mismas características El identificar estos espacios crea ciertas lealtades que nos lleva aceptar responsabilidades compartidas. El conocer un espacio también ayuda a controlarlo mejor. Aquí intervienen los procesos relacionados con las organizaciones políticas del espacio. Estas afectan y reflejan los procesos de competición, conflicto y cooperación que operan en todas las sociedades (Soja, 1979). Los efectos se presentan en los medios escogidos para controlan el aprovisionamiento y distribución de bienes, servicios y estatus; asimismo, para prevenir y resolver conflictos internos y externos. Los reflejos se realizan en la idea de territorialidad, entendida como fenómeno conductual asociado con las organizaciones de espacio en esferas de influencia o territorios considerados, al menos parcialmente, exclusivos por sus ocupantes (loc.cit). La territorialidad conduce a lealtades, solidaridades entre ocupantes y luego a la nacionalidad. H. Córdova, 2002 Fig. 4 Cuadro síntesis de los ámbitos del estudio territorial 9

11 Con esto también se quiere subrayar que toda iniciativa, o intervención dada en el territorio va a depender de la gente, finalmente el nivel de identificación con los proyectos, con los enfoques dependerá de la gente, de la gestión, y esta de la gobernabilidad, sustentada a su vez en la gobernancia. La temática territorial generalmente se desarrolla en cinco ámbitos: la construcción teórica, la construcción metodológica, el análisis de problemáticas territoriales determinadas, el planeamiento para la solución de dichas problemáticas y la concreción o puesta en práctica del planeamiento, posible a su vez de llevarse a cabo en diferentes escalas y etapas. 2.2 Desarrollo Territorial El objetivo principal de la temática territorial es el del desarrollo territorial. A su vez entendemos humanísticamente tal desarrollo como la superación constante y progresiva de la calidad de vida de la población humana de un determinado territorio, en armonía con su medio natural. Las dos siguientes citas de M. Vega Centeno, precisan este concepto lo explican y abordan: Es un imperativo mejorar las condiciones de producción de subsistencias y la creación de condiciones de vida mejores. Ello supone eficiente explotación de recursos, capacidad de transformación y equitativa distribución. Las dos primeras cuestiones solicitan a la tecnología y a la capacidad tecnológica de la sociedad y, lo ultimo, a la orientación de valores así como a una visión amplia de la propia eficacia económica. En todo caso, explotación de recursos y transformación suponen modificación del medio natural en forma e intensidad diversa y con consecuencia a mediano y largo plazo. Por eso los criterios de eficiencia deberían referirse no sólo a la satisfacción de las urgencias de hoy, sino a la aspiración de una vida superior de la especie humana, en armonía (no sometida) con el medio y en relación con un horizonte temporal amplio. Vega Centeno, Máximo (1993) Demografía y Cambios Tecnológicos. 10

12 Una aspiración humana legítima es la de obtener las mejores condiciones de vida que sean posibles, y una aspiración social no menos legítima- es que esas condiciones se ofrezcan en forma equitativa y permanente para todos en la sociedad. Dentro de una perspectiva dinámica es decir, aquella en la que las condiciones de vida pueden mejorar cuando las actuales condiciones de vida de las poblaciones lo hacen urgente-, eso es lo que se define hoy como las aspiraciones y el proyecto de desarrollo. El objetivo es que todos puedan realizarse como personas, y esto significa subsistir decorosamente así como progresar humanamente, es decir, expandir todas las virtualidades inherentes a la persona y a las exigencias de convivencia y solidaridad social a lo largo de un proceso acumulativo de superación. M. Vega-Centeno 2003, El Desarrollo Esquivo, Pág. 21. El concepto de desarrollo dentro de una visión amplia y humanista tiene que ver con, producir más y mejor, pero, distribuir más y mejor, también. Este concepto enunciado de manera simple es sumamente complejo. Si bien este más y mejor podría cambiarse al calificativo de adecuadamente, es importante notar que dentro de un contexto de pobreza estructural es perentorio hacer frente a la escasez. Esta producción va tener relación con la tecnología, con la eficiencia, relación con el medio ambiente, relación con la población y la economía; mientras que la distribución, inscrita en la inclusión social, está en relación con la gobernancia y la gobernabilidad, con mejores oportunidades para todos, con los derechos y capacidades de las personas, que definen para el desarrollo un marco de solidaridad con nuestra generación y con las generaciones que vienen. 2.3 Topología Esta es una rama de las matemáticas relativamente joven como disciplina independiente. Se distinguen dos vertientes la topología algebraica, que resuelve problemas topológicos con métodos algebraicos, y la topología conjuntista, o topología a secas, que se resuelve a través de la teoría de conjuntos, teniendo más afinidad con la geometría, siendo la que nos interesa como aplicación a la temática territorial. 11

13 Por ejemplo, en topología un triángulo es lo mismo que un cuadrado, ya que podemos transformar uno en otro de forma continua, sin romper ni pegar. 10 Diccionario de la Lengua Española, Vigésima segunda edición, Real academia de la Lengua Española, año Por lo general las propiedades están descritas o enunciadas a través de ejemplos 9 La topología estudia las propiedades de los espacios que no se ven alteradas, por transformaciones continuas, biyectivas y de inversa continua. Es decir, en topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer... los objetos pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido (la transformación debe ser continua) 9 ni pegar lo que estaba separado (la inversa también debe ser continua) 10. Como es un tema relativamente nuevo en cuanto a su aplicación en otras disciplinas diferentes de la matemática, se hace a continuación un resumen de los elementos topológicos y sus características intrínsecas, considerados por el matemático José Tola P., profesor de la PUCP Elementos de Topología No es difícil observar que existen propiedades de las figuras del espacio ordinario que subsisten cuando son sometidas a una deformación. Ejemplo 11 : En una esfera en estado inicial se ha trazada un circulo máximo. En la siguiente figura se presenta la esfera después de la deformación. Es claro que muchas propiedades de los puntos de la esfera no se cumplen sobre la superficie en la que ha cambiado. Sin embargo puede observarse que subsiste: La propiedad del circulo máximo, La de dividir a la superficie en dos regiones tales que un camino sobre la superficie, que conduzca de un punto A de una de las regiones a un punto B de la otra, se corta necesariamente al circulo en el primer figura, y la curva en que se transforma, en la segunda figura. Pero nunca se llegará a una forma de toro (semejante a la cámara inflada de una llanta) Por lo tanto estas deformaciones son continuas. 12

14 Fig. 5 Ejemplo: La formula de Euler para los poliedros, enuncia que la relación que existe entre el número de caras M, el número de lados L y el número de vértices V de un poliedro, relación: V-L+M siempre será igual a 1, esta es una importante propiedad topológica descubierta por Descartes en Fig. 6 13

15 Fig. 7 Por inducción se prueba que: Son casos particulares de una propiedad general Si V, L, M, propiedad de los triángulos que la forma o no tienen puntos en común, o tienen a lo mas un vértice o un lado en común, entonces dichos números satisfacen a la ecuación. Fig. 8 14

16 Fig. 9 Por lo tanto, las redes que aquí se consideran son definidas mediante un número finito de puntos o vértices y de segmentos de recta o lados dados en el plano, que cumplen las siguientes condiciones: Cada lado contiene exactamente a dos vértices que son sus extremos Dos de los lados tienen, a lo sumo, un punto común, que debe ser extremo de ambos Cada vértice es extremo de, por lo menos, dos lados Cada dos vértices pueden unirse por una línea poligonal continua, formada por lados de la red. De lo dicho se deducen consecuencias más interesantes: si consideramos un poliedro tal que puede convertirse por deformación continua en la superficie de una esfera. En este caso el número de vértices de un poliedro simple, menos el número de sus aristas, mas el número de sus caras, es igual a 2 (V-L+M=2); es la fórmula de Euler para los poliedros. Esta relación se cumple aún cuando el poliedro experimente una deformación continua cualquiera. Se trata pues de una propiedad topológica que ha sido objeto de una amplia generalización, para lo que ha sido necesario precisar rigurosamente los conceptos empleados, abstraer las propiedades que intervienen y profundizar las nociones de continuidad, y de transformación. 15

17 Un resultado imprevisto de la formula de Euler, es la demostración de que existen sólo cinco poliedros regulares; que son los cinco cuerpos platónicos (antiguos matemáticos griegos): figura P o l i e d r o s regulares Tetraedro Cubo Octaedro M caras V vértices o puntos L aristas n lados de una cara r aristas en un vértice Dodecaedro Fig. 10 La formula: nm = 2L, y la formula: rv = 2L Como es el caso en los poliedros regulares, pueden deformarse hasta convertirse en una esfera o en otra superficie simple. Icosaedro Redes sobre superficies (de manera semejante a las redes sobre el plano) La diferencia principal es que ahora, los lados de la red serán arcos de curvas continuas y no segmentos de recta. Si en poliedro se transforma en una superficie de transformación continua, sus lados, aristas y caras se transforman en los vértices, lados y caras de una red sobre la superficie, de manera que la relación que se cumple entre los números de esos elementos para el poliedro, se cumplirá también para la red sobre la superficie. 16

18 El problema de los puentes de Konigsberg En este problema se reconoció el germen de una doctrina geométrica en la que la naturaleza de las cuestiones difiere de la que es propia de la geometría de los matemáticos griegos. Fig. 11 El problema queda esquematizado en lo siguiente: Los puntos A, B, C, y D representan las zonas de tierra o mejor dicho los espacios, y las curvas y los segmentos que los unen representan los puentes o caminos por los que estas zonas están unidas. Se trata de hacer un recorrido continuo a lo largo de las líneas de ese diagrama, de manera que todos los tramos sean pasados una sola vez. Euler demostró que es imposible. La propiedad es independiente de la forma de los arcos y de la relativa de los vértices; y subsiste cuando se le deforma continuamente, manteniendo cada uno de los puntos su individualidad. La propiedad que se ha encontrado es, por lo tanto, una propiedad topológica. La continuidad de las propiedades topológicas Las nociones de deformación y de continuidad se abordaran profundizando en la noción matemática de continuidad y de transformación topológica. 17

19 Ejemplo de noción de aplicación: Existe una aplicación del conjunto A en el conjunto B, si a cada elemento p de A, le corresponde un determinado elemento p de B. Fig. 12 Entonces f A B, para expresar que f es una aplicación de A en B. Al elemento p que corresponde a p por la aplicación f lo designaremos f(p) y escribiremos p =f(p), y también p p. Ejemplo de noción de continuidad: este se emplea para expresar una propiedad que puede ocurrir en las aplicaciones entre conjuntos A y B en los que es definida en forma precisa la noción de proximidad entre sus elementos. En los conjuntos en los que la proximidad se expresa en términos de distancia. En la siguiente figura, imaginemos un plano dos conjuntos A y B, donde f A B. Diremos que f es continua, si dado un circulo cualquiera k cuyo centro es el punto b=f(a) de B, existe un circulo h de centro en el punto a de A tal para todo punto p de A situado en él, su correspondiente p =f(p) está situado dentro de k. Fig

20 Por lo tanto, cuanto más cerca este p de a tanto mas cerca de b estará f(p). Esta es la definición clásica de la continuidad en el caso de las aplicaciones entre conjunto del plano. En el plano disponemos de un medio de estimar la vecindad o cercanía entre sus elementos o puntos, que es la noción de distancia. Se expresa este diciendo que el plano está provisto de una métrica, o bien que es un espacio métrico. También es espacio métrico, la recta y el espacio ordinario. La continuidad que hemos definido para la aplicación entre puntos del plano, se extiende sin dificultad a las aplicaciones entre conjuntos de puntos del espacio: basta reemplazar los círculos, por esferas. Hay otras maneras de introducir una noción de cercanía o vecindad en conjuntos de elementos que no son puntos de la recta, del plano, ni del espacio ordinario de tres dimensiones. Ejemplo de transformación topológica de un conjunto de puntos A del espacio en un conjunto B del mismo; o como también se dice, un homeomorfismo de A y B. Una aplicación f A B, donde A y B son conjuntos de puntos del espacio, es una transformación topológica, si cumple las dos condiciones siguientes: La correspondencia que se establece entre los conjuntos A y B, es biónica. Significa esto no solamente que a cada punto a que esta en A le corresponde un punto bien determinado b=f(a) que pertenece a B, sino que, inversamente si b es un punto cualquiera de B, hay un punto y solo uno a de A tal que su correspondencia f(a ) es b. De esa manera, es definida una nueva aplicación que se llama inversa de f y se designa por f -1 tal que f(a)=b equivale f -1 (b)=a Las dos aplicaciones f y f -1 son continuas. Se expresa esta condición diciendo que f es continua en las dos direcciones, o bien que es bicontinua. Por consiguiente, podemos pensar que cuando el punto p de A se acerca hacia a, p se acerca hacia b, e inversamente, si p se mueve hacia a b, su correspondiente p se acerca hacia a. Se dice entonces, que A y B son topológicamente equivalentes u homeomorfos. 19

21 Si un conjunto de puntos, o una figura A del espacio, posee una propiedad que se cumple para cualquier figura B que es correspondiente o imagen de A, por una transformación topológica cualquiera, se dice que se trata de una propiedad topológica. La topología estudia las propiedades topológicas de las figuras, estudia las propiedades que no cambian por transformaciones que tienen lugar entre espacios en los que no necesariamente existe una noción de distancia, si bien sí existe una manera de determinar la cercanía o proximidad de los elementos. Tales conjuntos se llaman espacios topológicos. Las propiedades topológicas de las figuras expresadas por las formulas de Euler de los poliedros, o la de los problemas de los puentes de Konigsber, constituyen en cierto modo las propiedades geométricas más sencillas y fundamentales, porque son aquellas que no desaparecen por drásticos que sean los cambios de la forma a los que se sometan las figuras. Las propiedades de continuidad y aplicación son interesantes cuando se habla de replicabilidad de los modelos propuestos (sean estos de interpretación o de propuesta), pueden ser estos modelos metodológicos, modelos espaciales, etc Algunas propiedades topológicas de Vecindad del plano y de la esfera El plano es un conjunto de elementos o puntos tales que a cada par de ellos le corresponde un número positivo, si son distintos; y el número cero si son iguales. Ese número es la distancia entre lo puntos, y posee dos propiedades que son de la mayor importancia, no obstante su sencillez. La primera propiedad es que es el mismo. La distancia de dos puntos A y B la representamos por d(a,b) la mencionada propiedad se puede expresar mediante la ecuación: d(a,b) = d(b,a) La segunda propiedad es la expresión del teorema de geometría que establece que la suma de los longitudinales de dos de los lados de un triángulo, es mayor o igual que la longitud del tercer lado. Si los vértices se designan por A, B y C, la propiedad se 20

22 expresa así: d(a,b) + d(b,c) = d(a,c), que se acostumbra a llamar desigualdad triangular. La vecindad circular del punto A, a cada uno de los conjuntos formados por todos los puntos del interior de cualquiera de esos círculos. Así por ejemplo en la figura siguiente: Fig. 14 P pertenece a la vecindad circular de radio r del punto A, por lo tanto con una distancia A menor que r Por lo tanto pertenece a la vecindad circular de A, de radio r; si y solo si cumple que d (P,A) > r El punto Q no pertenece a ella Cada vecindad circular de A esta formada por los puntos interiores de cada circulo de centro A Otras propiedades sencillas de vecindad son: Si P pertenece a una vecindad de A, existe una vecindad de P, que esta contenida en la vecindad de A 21

23 Fig. 15 Dados dos puntos diferentes A y B, existen vecindades de ellos, sin puntos comunes Fig. 16 Si P es un punto que pertenece a la intersección de una vecindad de A con una vecindad de B; existe una vecindad de P, que está contenida en dicha intersección Fig

24 Un conjunto de puntos de planos es abierto si contiene, para cada uno de sus puntos a una vecindad del mismo. Las vecindades circulares de los ejemplos son conjuntos abiertos. Un conjunto de puntos del plano es cerrado, significa que el conjunto de los puntos del plano que no le pertenece, es conjunto abierto. Por ejemplo, el conjunto que resulta al excluir del plano todos los puntos de una vecindad circular cualquiera, es cerrado. La propiedad de que un conjunto sea abierto o cerrado, es topológica. Por el contrario, la propiedad de ser una vecindad circular, no lo es. Por esta razón, la noción de vecindad circular se amplia conviniendo en que vecindad de un punto, es cualquier conjunto que contiene alguna vecindad circular de dicho punto Algunas propiedades topológicas de Conectividad Podemos admitir que una curva simple abierta, es la que resulta por una transformación topológica de un segmento de recta Una curva simple cerrada, es la que se obtiene por deformación topológica de una circunferencia. Un conjunto de planos es conexo, si dados dos cualquiera de sus puntos A y B, existe una curva continua contenida en el conjunto dado y que tiene por extremos los puntos A y B. Ejemplos familiares de conjuntos conexos son: un circulo, un triángulo, un cuadrado, un semiplano, un segmento, una línea recta, etc. La propiedad se ser conexo no se pierde por una transformación topológica; es por tanto una propiedad topológica. Un conjunto que es la unión de dos círculos sin puntos comunes, es ejemplo de un conjunto no conexo. No ser conexo es también, naturalmente, una propiedad topológica. 23

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