INTEGRAL LAPSO / 6

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1 INTEGRAL LAPSO / 6 Universidad Nacional Abierta CÁLCULO III ( 751 ) Vicerrectorado Académico Integral Área de Matemática Fecha 1/1/8 Lapso 8 MOELO E RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 a. etermine el dominio de la función f(x 1, x, x 3,, x n ) = n x1 x x 3...x n b. Calcule el siguiente límite 5 x lim (x y ) (x,y) (,) + NOTA: Para el logro del objetivo debe responder correctamente las dos partes. Recuerde: Si f es el producto de dos funciones una acotada y la otra con límite cero en x r, entonces f tiene límite cero en x r. SOLUCIÓN a.- Si n es impar el dominio de la función f es IR n, ya que la raíz de índice impar siempre se puede calcular independientemente de la cantidad subradical. Si n es par el dominio de la función f es om f = {(x 1, x, x 3,, x n ) IR n / x1 x x 3...xn > } b.- Tenemos 5 x x x (x + y ) x + y x ya que x x + y, y como lím x =, entonces (x,y) (,) 5 x lim (x y ) (x,y) (,) + = OBJ PTA Sea F: IR IR la función definida por f(x, y) = xy Es la función f diferenciable para todo punto (x, y) (, )? Razone su respuesta

2 INTEGRAL LAPSO / 6 SOLUCION Se tiene que om(f) = {(x, y) IR / xy } = = {(x, y) IR / x y y } {(x, y) IR / x y y } luego para estudiar la diferencibilidad de f en los puntos (x, y) (, ) tenemos que estudiar los tres casos siguientes i) cuando x y y ii) cuando x y y = iii) cuando x = y y i) si x y y la función f es diferenciable por ser la composición de funciones diferenciables. ii) estudiemos ahora la diferenciabilidad de f para los puntos de la forma (x, ) con x, para esto veamos si existen la derivada parcial con respecto a x y la derivada parcial con respecto a y en esos puntos f f(x,) f(x,) (x,) = lím = lím =, x x x x x x x x x f f(x,y) f(x x,) y (x,) = lím = lím no existe, por qué? y y y y y En consecuencia f no es diferenciable para los puntos de la forma (x, ) con x. iii) de manera similar se prueba que f no es diferenciable para los puntos de la forma (,y ) con y. En conclusión f es diferenciable solo para los puntos (x, y) con x y y. OBJ 3 PTA 3 Sea f: IR 3 IR la función definida por f (x, y, z) = 3x y + y 3 3x 3y + Encuentre los extremos de la función f. SOLUCIÓN efinamos las funciones γ 1 : IR 3 IR y γ : IR 3 IR por: γ 1 (x, y, z) = x + 3y z γ (x, y, z) = x y + z 4 y hallemos los extremos de la función f sujeta a las restricciones γ 1 (x, y, z) = y γ (x, y, z) = Como γ 1 (x, y, z) = (1, 3, 1), γ (x, y, z) = (, 1, 1),

3 INTEGRAL LAPSO / 6 y las funciones f, γ 1 y γ son de clases C en IR 3, entonces tenemos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones, para obtener los extremos de la función f: f(x, y, z) = λ 1 γ 1 (x, y, z) + λ γ (x, y, z) esto es x = λ 1 + λ 4y = 3λ 1 λ z = λ 1 + λ x + 3y z = x y + z = 4 El cual tiene por solución γ 1 =, γ =, x =, y =, z = Por lo tanto la función f sujeta a las condiciones γ 1 y γ alcanza un valor extremo en el punto (,, ) OBJ 4 PTA 4 Halle la derivada direccional del campo escalar f definida por f(x, y) = x 3 x y + x a lo largo de la curva C de ecuación y = x + x + 1, en el punto (,7). SOLUCIÓN i) ibujemos, ahora, la curva de nivel (g(x,y) = ), la recta tangente en el punto P r r (3x +y 7 = ) y el vector gradiente en el punto P ( 3i + j ). OBJ 5 PTA 5 Verifique si existe una función potencial para el campo vectorial F r ( x, y, z ) = ( x z + seny, xcosy,x ), y en caso afirmativo calcúlela. Verifiquemos primero la existencia de una función potencial, para esto será suficiente con calcular el rotor de F r y ver que éste es el vector nulo.

4 INTEGRAL LAPSO / 6 Rot (F r ) = i j k x y z xz+seny xcosy x = (,, ). Puesto que Rot ( F r ) = (,, ), existe un campo escalar f definido en A R 3 abierto simplemente conexo, tal que: F r = f, ahora si tiene sentido calcular una función potencial f. Luego, en virtud del resultado del ejemplo Nº 1 de la página 113, sección, tenemos: Para u = (,, ) R 3, podemos hallar un disco abierto R 3, con u. En este caso una función potencial para F v en, se define así: x y f( x, y, z ) = dt + z dt + ( ) xt+y dt = x + xz + yz + const OBJ 6 PTA 6 ada el campo de fuerza (x, y, z) = (x + y, x, 3z ), encontrar el trabajo que realizará al mover una particular a través de los segmentos que une los puntos (,, ) y (1,, ) y los puntos (1,, ) y (1,, 5). La parametrización de los segmentos viene dada, respectivamente, por x = t x = 1 C: 1 y= t C: y= z = z= t t 1 t 5 Resolvamos la integral de línea de acuerdo a la definición r r r r r r Fdr= Fdr+ Fdr C C1 C 1 5 Luego = = r F(t, t, ) (1,,)dt t dt + 3t dt = 5t + t r F(1,, t) (,,1)dt F r r dr = 13 OBJ 7 PTA 7 etermine mediante integración triple el volumen del sólido acotado por el cilindro x = y y los planos z = y x + z = 1. C

5 INTEGRAL LAPSO / 6 La grafica del sólido al cual le queremos calcular su volumen y su proyección sobre el plano xy, son mostradas en la figura de la derecha. La expresión para hallar el volumen mediante integración triple viene dada por V = dx dy dz, T vale la pena mencionar que la función que se toma para calcular volumen mediante integración triple es f(x, y, z) = 1, por lo tanto, tenemos V = T x dx dy dz = -1 y = 3 5 y y y OBJ 8 PTA 8 etermine el área de la parte del paraboloide dzdx dy = ( ) 1-1 = 8 15 y 1- x dxdy = La grafica de la superficie a la que queremos calcular su área junto con su proyección sobre el plano xy, son mostradas en la figura de la derecha. La expresión para hallar el área a es: a( S ) = Fx xfy dxdy = fx ( x,y ) f ( x,y ) y + 1dx dy y -y + dy z=16-x -y que está sobre el plano xy. +, ver ejemplo N 1 de la página 35, sección 6 tomo II del texto de Cálculo IV (79), con S la superficie determinada por la ecuación z = f(x, y) = 16 - x - y, donde f es una función de clase C 1 definida en: = { ( x, y ) R / - 4 x 4, x y 16 - x }. Sea F: R R 3, definida por F( x, y ) = ( x, y, f( x, y ) ), entonces F es una representación vectorial de S y además: F x ( x, y ) = ( 1,, - x ), F y ( x, y ) = (, 1, -y), Luego, el producto vectorial fundamental es i j k F x ( x, y ) x F y ( x, y ) = 1 -x = ( x, y, 1 ) = ( f x, 1 -y f y, 1 ). Por lo tanto: a( S ) = ( ) ( ) x + y + 1 dy dx = 4x + y + 1 dy dx

6 INTEGRAL LAPSO / x = x 4x + y + 1dy dx, luego, en virtud de la forma que tiene la proyección de la superficie z sobre el plano xy, pasamos a coordenadas polares, así: a( S ) = 4 π π = ( ) 6 4 4r + 1r dθdr = π 4r + 1rdr = π a( s ) = ( ) 6 65 π u du = π 3 65 u FIN EL MOELO