Cuaderno de ejercicios de AVEC

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Cuaderno de ejercicios de AVEC"

Transcripción

1 Cuaderno de ejercicios de AVEC Rodrigo Blázquez y Ángela Castillo 11

2 Agradecimientos Este cuaderno de ejercicios, correspondiente a la asignatura de Análisis Vectorial (AVEC) del Grado en Ingeniería de Tecnologías y Servicios de Telecomunicación (ETSIT, UPM), ha sido elaborado gracias a la financiación del Proyecto de Innovación Educativa DISEÑO Y PROPUESTADEUNPLANDEACCIÓNORIENTADOALAIMPLANTACIÓNDETALLERES DE ENSEÑANZAS BÁSICAS PARA ALUMNOS DE PRIMER CURSO DEL GRADO EN INGENIERÍADETECNOLOGÍASYSERVICIOSDETELECOMUNICACIÓN (Curso11/1). Agradecemos a los profesores de AVEC tanto por el material facilitado para elaborar este cuaderno, como por sus sugerencias y correcciones. Así como también agradeceremos las futuras sugerencias y correcciones de los alumnos y monitores de taller que trabajen con este cuaderno. Esperamos que a todos os sea de utilidad. Atentamente, Rodrigo y Ángela. 1

3 Primer Tema: Preliminares (Geometría) Contenidos: 1. Curvas planas en coordenadas cartesianas y polares. Cónicas y otras curvas planas notables.. Superficies en coordenadas cartesianas. Cuadráticas y otras superficies notables. 3. Curvas espaciales en coordenadas cartesianas. Métodos de parametrización de curvas en el plano y en el espacio.

4 Problemas: 1. (Primer Parcial Tarde 11 - Problema ) Sea C la curva definida por la intersección de las superficies { F : x +y +z = R R > G : x+z = R Se pide: a) Hallar las proyecciones C 1, C y C 3 de C sobre los planos coordenados x =, y = y z =, respectivamente, en coordenadas cartesianas. b) Apoyándose en el apartado anterior, parametrizar C. c) De la ecuación vectorial de C, r = r (t), hallar las ecuaciones vectoriales r = r1 (t) r = r (t) r = r3 (t) de C 1, C y C 3, respectivamente. d) De éstas hallar sus ecuaciones en coordenadas cartesianas, comparando el resultado obtenido con el del apartado a). Razónese la respuesta. Solución: a) Sobre x =, eliminando la x a partir de las ecuaciones de F y G se tiene: (R z) +y +z = R y +z Rz = ELIPSE Sobre y = : x+z = R, x R SEGMENTO DE UNA RECTA Sobre z = : x +y +(R x) = R x +y Rx = ELIPSE 3

5 b) La proyección de C sobre z =, C 3 también se puede escribir como: x +y Rx = (x Rx+ )+y R = R ( ) x R ) + ( y ) = 1 R ( R que se trata de una elipse centrada en ( R,), de ejes las rectas x = R, y = y semiejes a = R, b = R. La parametrización de C 3 es por tanto: x = R + R cost y = R t [,π) sent Considerando ahora que para C, z = R x, obtenemos la parametrización de C: x = R + R cost y = R sent t [,π) z = R R cost c) d) r1 (t) r (t) r1 (t) = ( R, sent, R R ) cost ( R r (t) = + R cost,, R R ) cost ( R r3 (t) = + R ) cost, R sent, t [,π) t [,π) t [,π) { y = R sent z = R R cost Eliminando t: y +z Rz = { x = R + R cost z = R R cost Eliminando t: z +x = R r3 (t) { x = R + R cost y = R sent Eliminando t: x +y Rx = que son la ecuaciones de C 1, C y C 3, halladas en a). 4

6 . (Primer Parcial 1 - Problema 1) Sea C la curva dada como intersección de las superficies: { S 1 {(x,y,z) R 3 : 3x yz = } a) Parametrizar la curva C. S {(x,y,z) R 3 : y z = } b) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a C en el origen. c) CalcularlalongituddelarcodelacurvaC ( comprendidoentrelospuntosa = (,,) 1 y B =,1, ). 3 Solución: a) S z = 1 y S 1 x = 3 yz = 1 3 y3 Tomando y como parámetro, y = t, se tiene: x = 1 3 t3 y = t z = < t < t o bien, en forma paramétrica vectorial: r (t) = (1 3 t3, t, ) t t (, ) 5

7 b) Recta r T tangente a C : r = r (t) en el punto P (x,y ) r = r (t ): rt (u) = r (t )+ r (t )u u (, ) ) (1 r (t) = 3 t3, t, t ( r (t) = t,1, ) t En el origen t = : r (t ) = (,,) r (t ) = (,1,) } r T (u) = (,,)+(,1,)u < u < o bien: x = y = t z = o bien: t (, ) x = z = } eje y Por lo tanto, el plano normal a C en el origen seŕa: c) La longitud del arco vendrá dada por: y = Dado que: L AB = r (t) = tb t A r (t) dt ( t,1, ) t r (t) = t 4 +1+t = ( t +1 ) El resultado es: L AB = A(,,) t A = ( ) 1 B 3,1, t B = 1 1 ( t +1 ) [ ] t 3 1 dt = 3 +t = 4 3 L AB = 4 3 6

8 Segundo Tema: Cálculo diferencial Contenidos: 1. El espacio R n. Generalidades de las funciones de R n en R m (casos n, = 1,,3).. Funciones vectoriales de una variable escalar: interpretación geométrica (curvas). 3. Funciones de varias variables (n =, 3). a) Topología de R. Límites y continuidad. b) Derivadas parciales. Derivadas direccionales. Gradiente. c) Regla de la cadena y aplicaciones. d) Diferenciabilidad. Interpretación geométrica. e) Aproximaciones de Taylor (de primer y segundo orden). Máximos y mínimos relativos, absolutos y condicionados (n = ). 4. Campos vectoriales en R y R 3. Matriz jacobiana. Transformaciones (coordenadas polares, cilíndricas y esféricas). 7

9 Problemas: 1. (Primer Parcial 11 - Problema 1) Sea la función f : R R: xy si (x,y) (,), x f(x,y) = +y si (x,y) = (,). a) Estúdiese la continuidad de f en todo su dominio. b) Calcúlense (en los puntos del dominio donde existan) f x (x,y) y f y (x,y). c) CalcúlenselasderivadasdireccionalesD u f(,)paratodovectorunitariou = (cosθ,senθ). d) Estúdiese la diferenciabilidad de f en todo su dominio. Solución: a) En el abierto R = R {(,)}, f está definida como función racional, cociente de polinomiales, cuyo polinomio denominador no se anula en ningún punto de R, por lo que es continua en todo R. En el punto (,) hay que analizar: xy lím f(x,y) = lím (x,y) (,) (x,y) (,) x +y. Para ello, realizamos un cambio a polares (x = rcosθ,y = rsenθ), de manera que estudiamos la existencia del límite: lím r lo que implica que rcosθ r sen θ r cos θ+r sen θ = lím r 3 sen θcosθ r r uniformemente en θ lím f(x,y) =. (x,y) (,) Por lo tanto, f es continua en todo su dominio de definición. = lím r rsen θcosθ =, b) En el abierto R = R {(,)}, f, definida como función racional, tiene derivadas parciales, que vienen dadas por: f x (x,y) = y (x +y ) x y (x +y ), f y (x,y) = xy(x +y ) xy 3 (x +y ), 8

10 mientras que en (,) tenemos f(+ x,) f(,) lím x x lím y f(,+ y) f(,) y = lím x = lím y x = = f x(,), y = = f y(,). Por lo tanto, la función f tiene derivadas parciales en todo su dominio. c) Las derivadas direccionales en (, ) son, en función de θ: f(+tcosθ,+tsenθ) f(,) D u f(,) = D (cosθ,senθ) = lím t t = lím t tcosθ t sen θ t cos θ+t sen θ t = lím t cosθsen θ = cosθsen θ. = lím t tcosθ t sen θ t t d) En el abierto R = R {(,)}, f, definida como función racional, tiene derivadas parciales continuas, por lo que es diferenciable. En (,) se tiene que, para θ {, π,π, 3π }, se cumple D u = D (cosθ,senθ) = cosθsen θ = f x (,)cosθ + f y (,)senθ. Por lo tanto, f no es diferenciable en (,). 9

11 . (Primer Parcial Tarde 11 - Problema 3) Dadas las funciones: f(x,y) = xy(x+y) x +y g(x,y) = x y x +y a) Estudiar la continuidad de f(x,y) en R. Existe algún punto de discontinuidad de la función f? Es evitable? Cómo? Razone la respuesta. b) Estudiar la continuidad de g(x,y) en R. Existe algún punto de discontinuidad de Solución: la función g? Es evitable? Cómo? Razone la respuesta. a) f es continua (x,y) R {(,)} por ser el cociente de polinomios, que son funciones continuas (x,y) R y (,) es el único cero del polinomio denominador. El único punto de discontinuidad de f es el (,). Para ver el tipo de discontinuidad calculamos el siguiente límite haciendo un cambio a coordenadas polares: xy(x+y) ρ 3 cosθsenθ(cosθ+senθ) lím = lím (x,y) (,) x +y ρ ρ = límρcosθsenθ(cosθ+senθ) = ρ } {{ } acotado Por tanto el punto (,) es un punto de discontinuidad evitable. Para que f sea continua en R se puede redefinir de la siguiente forma: xy(x+y) si (x,y) R {(,)} x f(x,y) = +y si (x,y) = (,) b) g es continua (x,y) R {(,)} por ser el cociente de polinomios, que son funciones continuas (x,y) R y (,) es el único cero del polinomio denominador. El único punto de discontinuidad de f es el (,). Para ver el tipo de discontinuidad calculamos el siguiente límite haciendo un cambio a coordenadas polares: x y lím (x,y) (,) x +y = lím ρ (cos θ sen θ) ρ ρ = lím ρ cos(θ) : ya que depende de θ Por lo tanto el punto (,) es un punto de discontinuidad no evitable. 1

12 3. Sea la función f : R R: f(x,y) = { x α y 3 x +y 6, si (x,y) (,), si (x,y) = (,), α {1,}. Para los dos diferentes posibles valores de α {1,}: a) Estúdiese la continuidad de f en todo su dominio. b) Calcúlense f x (x,y) y f y (x,y) en los puntos donde estén definidas. c) Estúdiese la diferenciabilidad de f en todo su dominio. Solución: a) En el abierto R = R {(,)}, f está definida como función racional, cociente de funciones polinomicas, cuyo polinomio denominador no se anula en ningún punto de R, por lo que es continua para ambos valores de α. En el punto (,) hay que analizar: x α y 3 lím f(x,y) = lím (x,y) (,) (x,y) (,) x +y 6. Para α = se cumple f(x,y) = x y 3 x +y 6 x x +y 6y3 x x +y 6 y 3 y 3. Por lo tanto de donde se deduce que lím f(x,y) lím (x,y) (,) (x,y) (,) y3 = lím f(x,y) =, (x,y) (,) lo que demuestra que la función es continua en todo R. Para α = 1, estudiamos el límite relativo en el conjunto de manera que B = {(x,y) R : x = y 3 }. y 3 y 3 lím f(x,y) = lím (x,y) (,) y f(y3,y) = lím y y 6 +y = 1 6, de donde se deduce que la función es continua en R y discontinua en (,). 11

13 b) En el abierto R = R {(,)}, f, definida como función racional, tiene derivadas parciales, que vienen dadas por: mientras que en (,) tenemos f x (x,y) = αxα 1 y 3 (x +y 6 ) xx α y 3 (x +y 6 ), f y (x,y) = 3xα y (x +y 6 ) 6y 5 x α y 3 (x +y 6 ), f(+ x,) f(,) lím x x lím y f(,+ y) f(,) y = lím x = lím y x = = f x(,), y = = f y(,). Por lo tanto, la función f tiene derivadas parciales en todo su dominio, para ambos valores de α. c) Para ambos valores de α {1,}, en el abierto R = R {(,)}, f, definida como función racional, tiene derivadas parciales continuas, por lo que es diferenciable. Solamente queda por estudiar la diferenciabilidad en (, ). Para α = se tiene que lím (x,y) (,) f(x,y) f(,) x y (x,y) = lím (x,y) (,) x y 3 (x +y 6 ) x +y. Para ello, realizamos un cambio a polares (x = rcosθ,y = rsenθ), de manera que estudiamos la existencia del límite lím r cos θ r 3 sen 3 θ r r(r cos θ+r 6 sen 6 θ) = lím r cos θsen 3 θ r cos θ +r 4 sen 6 θ. No sabemos cómo seguir, pero si damos valores a θ el candidato a límite es el. Demostremos que efectivamente es aplicando la definición: x y 3 (x +y 6 ) x +y yy y, x +y (x,y) lo que implica que f es diferenciable en (,). Para α = 1, f no es diferenciable en (,) ya que no es continua en dicho punto. 1

14 4. (Primer Parcial 11 - Problema ) Sean g(x,y,z) = x +y z +z x Calcúlese (g h) en (1,1). u h(u,v) = (h 1 (u,v),h (u,v),h 3 (u,v)) = (u+v,u v,uv). Solución: En primer lugar, h(1,1) = (,,1). Por otro lado, si denotamos las funciones componentes de h como (h 1,h,h 3 ) y aplicamos la regla de la cadena, tenemos que g (g h)(1,1) = u x (h(1,1)) h 1 g (1,1)+ u y (h(1,1)) h g (1,1)+ u z (h(1,1)) h 3 u (1,1). Ahora bien, g(,,1) = (x+z,yz,y +zx) = (5,,4), (,,1) y por otro lado, h 1 = h = 1 y h 3 u u u = v, luego (g h)(1,1) = = 9. u 13

15 5. (Primer Parcial 11 - Problema 3) a) Supongamos que la trayectoria de un móvil en el espacio viene dada, en coordenadas paramétricas, por la función r : [, ) R 3 : r(t) = (cost,sent,t). Calcúlense la velocidad d dt r(t) = r (t) y la aceleración d dt r(t) = r (t). b) Dada la superficie z = x + y calcúlese el plano tangente a dicha superficie en el punto (x,y,z ) = (1,,5). Solución: a) Dada r(t) = ( x(t),y(t),z(t) ), se cumple que r (t) = (x (t),y (t),z (t)) = ( sent,cost,1). Asimismo, r (t) = (x (t),y (t),z (t)) = ( cost, sent,). b) Siguiendo la sugerencia, si definimos F(x,y,z) = x +y z, la superficie del enunciado es la superficie de nivel F(x,y,z) =. El punto (1,,5) verifica F(1,,5) =, luego está sobre la superficie. El vector gradiente de F en dicho punto, F(1,,5) = ( x,y, 1 ) = (,4, 1 ), (1,,5) es perpendicular a dicha superficie. Por tanto, el plano tangente a la superficie en dicho punto es: (x 1)+4(y ) (z 5) = = x+4y z 5 = 14

16 6. (Segundo Parcial 11 - Problema 1) Dada la función f(x,y) = sin(x+y), se pide: a) Desarrollar el polinomio de Taylor de orden alrededor del (, ). b) Calcular los extremos absolutos de la función en Solución: D = [, π ] [, π ] = {(x,y) R : x π, y π a) El polinomio de Taylor de f en un entorno de (,) tendrá la expresión: f(x,y) = f(,)+ f(,) (x,y )+ 1 [Hf(,)](x,y ) =! ( )( ) = sen()+(cos(),cos()) (x,y)+ 1 (x,y) sen() sen() x = sen() sen() y = x+y } Sabiendo que: [Hf(x,y )](x x,y y ) = ( )( ) f(x,y ) f(x,y ) x = (x x,y y ) y x x x y y f(x,y ) x y f(x,y ) y b) Para calcular los puntos críticos de f en la región D = [, π] [, π ] estudiamos si existen puntos críticos en su interior y posteriormente comprobamos si tiene extremos en su frontera. Buscamos los puntos críticos de f y vemos si se encuentran en el interior de la región: f(x,y) = (,) (cos(x+y),cos(x+y)) = (,) cos(x+y) = x+y = π +kπ, k Z Restingidos a la región dada, los puntos (x,y ) que verifican esta condición son únicamento los que verifican que x +y = π. 15

17 Para estos puntos el discriminante sería: D = f x (x,y ) f y (x,y ) ( f x y (x,y )) = sen ( π ) sen ( π ) = que no nos aporta información, por lo que comprobando las curvas de nivel sen(x+y) = f(x,y) con (x,y) (x,y ) y (x,y) D, vemos que: f(x,y ) = sen(x,y ) = sen( π ) = 1 sen(x+y) = f(x,y) Pasemos a ver si en la frontera D existen extremos: La frontera viene dada por las curvas: C 1 = {(x,) x [, π ]} C = {( π,y) y [, π ]} C 3 = {(x, π ) x [, π ]} C 4 = {(,y) y [, π ]} En C 1 se cumple que sen(x+) = f(x,) = sen(x), luego f alcanza un mínimo en (,) y un máximo en ( π,). En C se cumple que sen( π +y) = f(π,y), luego f alcanza un mínimo en (π, π ) y un máximo en ( π,). 16

18 En C 3 se cumple que sen(x+ π ) = f(x, π ), luego f alcanza un mínimo en (π, π ) y un máximo en (, π ). En C 4 se cumple que sen(+y) = f(,y) = sen(y), luego f alcanza un mínimo en (,) y un máximo en (, π ). Por tanto, para cada (x,y ) D tal que x +y = π la función alcanza un máximo absoluto y alcanzará el mínimo absoluto en ( π, π ) y en (,). 17

19 7. Sea la función f : R R: f(x,y) = x x3 +y. a) Hallar y clasificar los puntos críticos de la función en todo R. b) Justifíquese si f podrá alcanzar o no extremos absolutos en la región R = {(x,y) : 15 8 x4 +y 16}. En caso afirmativo, calcúlense dichos extremos. c) Escribir el polinomio de Taylor de orden en el punto (1,1). Qué tipo de superficie Solución: geométrica genera la gráfica de dicho polinomio? a) Debido a que f es analítica en R los puntos críticos deben cumplir el sistema de ecuaciones f x (x,y) = 5x (x 1) = f y (x,y) = y =, cuya solución viene dada por los puntos (críticos) (,), ( 1,) y (1,). Para clasificarlos, calculamos la matriz Hessiana asociada a f en dichos puntos: [ ] 1x(x 1) H f (x,y) =, que, evaluada en ellos da [ ] [ H f (,) =, H f ( 1,) = 1 ], H f (1,) = [ 1 ]. Este análisis permite concluir que f tiene un punto de silla en ( 1,) y alcanza un mínimo local en (1,). El punto (,) puede ser un mínimo o un punto de silla. Es fácil comprobar que si evaluamos la función en puntos de la forma (x,) se cumple que f(x,) = x x3, polinomio impar, lo que implica que debe tomar valores positivos y negativos en puntos arbitrariamente cercanos al origen. Por lo tanto, (,) es un punto donde no se alcanza ni máximo ni mínimo relativo. b) Debido a que f es continua, debe alcanzar extremos absolutos en el compacto (cerrado y acotado) R (nótese que R [ a,a] [ 4,4], donde a = ( 18 4 ). 15 El estudio se desglosa en analizar el interior y la frontera. El estudio de puntos críticos en el interior ya ha sido realizado (nótese que los puntos críticos obtenidos )1 18

20 en el apartado anterior se hallan en el interior de R): debido a que no hay máximo relativo o local en dicho interior, el máximo absoluto debe alcanzarse en la frontera. Asimismo, buscaremos el valor mínimo de la función en la frontera para compararlo con f(1,) = 1 5, único mínimo relativo en el interior. 3 El estudio de f en la frontera se realiza parametrizándola y evaluando f como función de una variable (parámetro). En nuestro caso, elegimos como parámetro la variable x de manera que la frontera se descompone en dos conjuntos: F 1 = {(x,y) : y = x4, a x a} F = {(x,y) : y = x4, a x a} Debido a que f es par en y basta con analizar la función en uno de ellos: f F1 (x) = f F (x) = x x3 +( x4 ), a x a; los puntos críticos interiores cumplen 5x 4 15 x3 5x = y son x 1 = 1, x = (nótese que la otra raíz x 3 = > a). Evaluando al función en dichos puntos y en los extremos del intervalo de variación, se obtiene que máx R f F1 = f F1 ( 1 ) = 6167,mín 384 Rf F1 = f F1 (a) = ( ) ( )5 4 6,6. Por lo tanto, la función f definida en R alcanza un máximo absoluto en los puntos ( 1, 33 8 ) y ( 1, 33 8 ) de manera que f( 1, 33 8 ) = f( 1, 33 8 ) =. Asimismo, f alcanza mínimo absoluto en ( a,) de manera que f( a,) = ( ) ( )5 4 < = f(1,). c) El polinomio de Taylor en (1,1) viene dado por T (1,1) (h,k) = f(1,1)+f x (1,1) h+f y (1,1) k + 1 f xx(1,1)h +f xy (1,1)hk + 1 f xx(1,1)k = 1 3 +k +5h +k = 5h +(k +) La superficie engendrada por la ecuación z(h,k) = 5h + (k + ) es un 3 paraboloide elíptico: para valores z = cte 1 4 las secciones son elipses; para 3 valores h = cte o k = cte las secciones son parábolas. 19

21 8. (Segundo Parcial Tarde 11 - Problema 1) Sea la función f(x,y) = x +y para (x,y) D R, siendo D = {(x,y) R : x +y 1} a) Hallar y caracterizar los puntos de D donde f alcanza sus extremos y el valor de éstos. b) Hallar y caracterizar los puntos de D donde f alcanza sus extremos y el valor de éstos, condicionados por la restricción x+y 1 = c) Desarrollar el polinomio de Taylor de orden de f alrededor del (,). Solución: a) Claramente, x + y 1. Por tanto, como f(x,y) =, sólo se verifica en (,) D, alcanza el mínimo absoluto en (,) y su valor es. Por otro lado, en D = {(x,y) R : x +y = 1} D se cumple que f(x,y) = 1 y, por tanto, en estos puntos la función alcanza su máximo absoluto, cuyo valor es 1. (Obsérvese que en los restantes puntos de D se cumple que < (x,y) < 1). b) Imponemos ahora la condición adicional y = 1 x. En consecuencia, tenemos que optimizar la función g(x) = f(x,1 x) = x +(1 x) = x x+1 cuyo dominio es [,1] pues sabemos que x 1 y si x <, entonces y = 1 x > 1, lo cual no puede ser por la definición de D. Dicha función es una parábola cuyo vértice es ( 1, 1 ). Por tanto, como el coeficiente de x es positivo, el mínimo absoluto se alcanza en x = 1 (que corresponde al punto ( 1, 1) D) y su valor es 1. El máximo absoluto se alcanza en los puntos x = y x = 1 (que corresponden, respectivamente, a los puntos (,1),(1,) D) y su valor es, en ambos casos, 1. c) Puesto que la función es un polinomio de segundo grado en las variables x e y, su polinomio de Taylor de orden alrededor del punto (,) es dicha función, es decir, x +y.

22 9. a) Hallar el polinomio de Taylor de grado de la función f(x,y) = cosxseny en punto (x,y ). Determinar sus puntos críticos en el plano R. b) Hallar el punto del cono z = x +y que se encuentra más cerca del punto (3,,). Solución: a) Teniendo en cuenta que: f x (x,y) = senxseny f xx = cosxseny f y (x,y) = cosxcosy f yy = cosxseny f xy (x,y) = f yx (x,y) = senxcosy se tiene que el polinomio de Taylor de orden es: cos(x +h)sen(y +k) = cosx senx + { senx seny h+cosx seny k} + 1 (h k)hf(x!,y ) donde Hf(x,y ) es la matriz Hessiana de la función f en el punto (x,y ): ( ) cosx seny senx cosy Hf(x,y ) = senx cosy cosx seny ( h k ) b) La distancia al cuadrado de un punto del cono de coordenadas (x,y,z) del punto (3,,) es igual a: (x 3) +(y ) +z = (x 3) +(y ) +x +y Por lo tanto, el punto pedido es el mínimo absoluto de la función d(x,y) = (x 3) +(y ) +x +y en R. Puesto que d x (x,y) = 4x 6 y d y (x,y) = 4y 4 el único punto crítico es el ( 3,1). Este punto crítico es un mínimo ya que ( ) ( ) 3 Hd,1 4 = 4 es claramente definida positiva. Se concluye que el punto del cono a menor distancia del punto (3,,) es el ( 3,1, 13 ) o alternativamente (3,1, 13 ). 1

23 1. (Primer Parcial 1 - Problema ) Sea la función xy (x,y) (,) f(x,y) = x +y (x,y) = (,) a) Estudiar la continuidad de f en (,). b) Calcular, si existen, las derivadas parciales de f en (, ). Son continuas en (, ) las derivadas parciales de f? Razonar la respuesta. c) Es f diferenciable en (, )? Razonar la respuesta. Solución: a) Sabiendo que: f : continua en (x,y ) lím f(x,y) = f(x,y ) (x,y) (,) Calculamos el límite pasando a coordenadas polares (ρ, φ): lím (x,y) (,) Por tanto, f es continua en (,). b) Las derivadas parciales de f en (,) valen: xy x +y = lím ρ ρcosφsenφ = f x (,) = lím h f(h,) f(,) h f y (,) = lím k f(,k) f(,) k = lím h h = = lím k k = La derivada parcial de f respecto a x para todo punto distinto de (,) vale: x +y x x f x (x,y) = y +y y 3 = x +y (x +y ) 3 El valor del límite de la derivada parcial anterior cuando (x,y) tiende a (,) no coincide con el valor de f x (,) ya que, pasando a coordenadas polares: lím f x (x,y) = límsen 3 φ : L (x,y) (,) ρ Por tanto, f x existe, pero no es continua, en (,). Análogamente para f y.

24 c) f es diferenciable en (x,y ) si y solo si: [f(x +h,y +k)] (f x (x,y ),f y (x,y )) (h,k) lím = (h,k) (,) h +k En (x,y ) = (,) tenemos: [f(h,k) ] (h,k) lím (h,k) (,) h +k = lím (h,k) (,) Por lo tanto, f no es diferenciable en (,). hk h +k h +k = lím (h,k) (,) hk h +k : no existe 3

25 11. Dada la función se pide: xy(x y ) (x,y) (,) x f(x,y) = +y (x,y) = (,), a) Estudiar su continuidad. b) Calcular f x (x,y) en todo punto (x,y) R. Solución: a) En todo punto de R \{(,)} la función es continua por ser cociente de funciones continuas (el numerador es producto de funciones continuas y el denominador es suma de funciones continuas) y no se anula el denominador, pues el único punto donde se anula es el (,), que no está incluido en la región de estudio. En (, ) también es continua pues se cumple la definición de continuidad: xy(x y ) lím = lím r cosθsinθ(cos θ sin θ) = = f(,) (x,y) (,) x +y en polares r θ [,π) b) Calculamos ahora f x (x,y) (utilizamos la definición para calcular f x (,)): y(x y ) + x + x y(x y ) (x,y) (,) (x f(x,y) = +y ) 3 (x +y ) 3 (x +y ) 4 (x,y) = (,). 4

26 1. (Examen Extraordinario Julio 11 - Problema 1) a) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en R de la función f(x,y) = [1 (x +y )]e (x +y ) siendo r = (x,y) y r = r b) Expresar el campo F en la forma F = [P(x,y),Q(x,y)] y demostrar que es un campo potencial o de gradiente. c) Calcular la función potencial U(x,y) de F tal que U(,) =. Expresarla en función de r: U(r). Sugerencia: En la primera integral para el cálculo de U(x,y) hágase el cambio: t = x +y d) IdentificarydibujarlaslíneasdecampodeF ysuslíneasequipotenciales Quépropiedad geométrica relaciona estas dos familias de curvas entre sí? Bien a partir de U(x,y), bien a partir de U(r): e) Calcular todos los puntos críticos (o estacionarios) de la función potencial calculada U. f) Hallar los puntos donde U alcanza sus extremos relativos y absolutos, y los valores de dichos extremos. Solución: a) Como f(x,y) = h(x,y)g(x,y), siendo h(x,y) = (1 (x +y )) y g(x,y) = e (x +y ) y tanto h como g son funciones con-ti-nuas y diferenciables en todo R, también lo es su producto. Otro razonamiento: Como las derivadas parciales de la función f son continuas en una región abierta R, la función f es diferenciable en R. b) P(x,y)=f(x,y)x Q(x,y)=f(x,y)y } F = P i+q j 5

27 F(x,y) es un campo potencial en R si: c) U(x,y) : U = F P y = Q x = 4xy{ (x +y }e (x +y ) U x = P(x,y) U = (1 t)e t dt U(x,y) = (x +y )e (x +y ) +Y(y) Q(x,y) = U y = ye(x +y) y(x +y )e (x +y) +Y (y) Y (y) = Y (y) = cte U(r) = r e r d) Las líneas de campo de F son rectas que pasa por el origen. Las líneas equipotenciales son: U(x,y) = (x +y )e (x +y ) = cte x +y = cte Familia de curvas ortogonales a las líneas de campo de F. e) Puntos críticos de U: U x U y (,) Los puntos críticos son x +y = 1 Identicamente se obtiene: = xf(x,y) = x(1 (x +y ))e (x +y ) = = yf(x,y) = y(1 (x +y ))e (x +y ) = U(r) = r e r, U (r) = r(1 r )e r, r = Los puntos críticos son r = 1 6

28 f) Estudio del punto crítico (,): Si calculamos el Hessiano de U, que es el determinante de la matriz Hessiana, se obtiene H(,) > y U xx (,) = > luego el punto (,) es mínimo relativo. Equivalentemente, como los autovalores de la H(, ) son estrictamente positivos, asumiendo que las segundas derivadas parciales son continuas, el punto (, ) es un mínimo relativo. También es mínimo absoluto por ser la función U(x,y) y U(,) =. Estudio de los puntos críticos: x +y = 1: U (r) = (1 5r +r 4 )e r U (1) = 4 e < Máximo relativo U(1) = 1 e Los puntos x + y = 1 ó r = 1 son máximos relativos y absolutos por ser U una función continua, acotada y tender a cero cuando r. 7

29 Tercer Tema: Integración de campos escalares y vectoriales Contenidos: 1. Integrales dobles y triples. Propiedades.. Cálculo de integrales múltiples: cambio de variables. 3. Curvas en forma vectorial: vector tangente, curvas regulares. 4. Integrales curvilíneas o de línea: propiedades. Circulación. Función potencial. Teorema de Riemann o de Green en el plano. 5. Superficies en forma vectorial: vector normal, superficies regulares. 6. Integrales de superficie: propiedades. Flujo. 8

30 Problemas: 1. (Problema - Segundo parcial 11) En una esfera de radio 4 se han practicado dos agujeros circulares de radio 1 que pasan por el centro (ver figura). Calcular razonadamente el volumen y el área de la superficie exterior del sólido resultante. Solución: El volumen pedido, V es igual a: V = V e V a +V i donde V e es el volumen de la esfera, V a es el volumen de uno de los agujeros y V i es el volumen de la intersección de los dos cilindros. Calcularemos cada uno de estos volúmenes por separado. El volumen de la esfera es sencillo de calcular: V e = π π 4 ρ senϕdρdϕdθ = 44 π 3 El volumen de uno de los agujeros es igual a: V a = 16 x y da D donde D es el círculo en el plano xy de centro el origen y radio 1. Utilizando coordenadas polares tenemos: π V a = 16 x y da = D 1 ) r rdrdθ = 4π(

31 El volumen de la intersección es igual a: V i = D 1 x da donde como antes D es el círculo en el plano xy. Por lo tanto: 1 V i = 1 x da = 1 x 1 x dydx = 16 1 x 3 D Por lo tanto el volumen pedido es (sin simplificar): V = 44 π 3 8π 1 ( ) Eláreaexteriordelcuerpoesigualaláreadelaesferaderadio4menoseláreadeloscuatro agujeros practicados. Así, vamos a calcular el área de uno de estos agujeros. La superficie de uno de uno de estos agujeros es la gráfica de la función f(x,y) = 16 x y en el dominio D, teniendo en cuenta que: x f x (x,y) = 16 x y obtenemos: S a = D y f y (x,y) = 16 x y 1+[f x (x,y)] +[f y (x,y)] 4 da = D 16 x y da Utilizando coordenadas polares tenemos: S a = π 1 El área de la superficie esférica de radio 4 es: El área pedida es por tanto: S e = S = 64π 4 4r 16 r drdθ = 3π 8π 15 π 1 4r drdθ = 64π 16 r ( 3π 8π ) ( ) 15 = 3π 15 ( ) S = 3π 15 3

32 . Calcula el volumen de la región sólida acotada por las superficies S 1 y S dadas por las ecuaciones z = x y y z = x respectivamente. Se pide: a) Dibujar la región. b) Definirla formalmente. c) Calcular su volumen. Solución: a) El dibujo de la región es el siguiente: b) Calculamos la frontera C 1 de la región D en el plano xy, proyección de todos los puntos de la región sólida acotada eliminando la variable z a partir de las dos ecuaciones: ( x y = x x 1 ) +y = 1 4 Entonces, restingiéndose al plano xy: ( C 1 = {(x,y) R x 1 ) } +y = 1 4 Y la región D que delimita en este plano sería: ( D = {(x,y) R x 1 ) } +y 1 4 Ahora, para cada (x,y) D la variable z variará entre el plano z = x y el paraboloide z = x y, ya que x y x, pues: ( x +y x x +y x x 1 ) +y

33 Formalmente la región volumétrica será: W = { (x,y,z) R 3 (x,y) D, z [ x, x y ] } c) Para calcular su volumen vamos a usar coordenadas cilíndricas, simplificando así el cálculo de la integral: x = 1 +rcos(t) y = rsen(t) z = z siendo [ r, 1 ], t [,π], z [ 1 ( ) ] 1 rcos(t), +rcos(t) (rsen(t)) Por lo tanto la región W quedará expresada, por la transformación de las coordenadas cartesianas a cilíndricas en W siendo { [ (r,t,z) R 3 r, 1 W = con lo cual: V = dxdydz = W W ], t [,π],z (x,y,z) π (r,t,z) drdtdz = V = 1 3 π [ 3 rcos(t), 7 ]} 4 r rcos(t) r rcos(t) rdzdrdt 3 rcos(t) 3

34 3. (Segundo Parcial Tarde 11 - Problema ) Calcular el volumen de la figura limitada inferiormente por x +y +z = 5, superiormente por z = 8 y lateralmente por z = 4 3 x +y. Solución: El cono z = 4 3 x +y corta al hemisferio superior de la esfera en la circunferencia centrada en (,,4) y radio 3, dentro del plano horizontal z = 4, pues 9z = 16(x +y ), lo que al sustituirlo en la ecuación de la esfera queda 9x +9y +16x +16y = 5(x +y ) = 5 9 es decir, x +y = 3, de donde obtenemos también que z = 4. Por otro lado, la sección del cono con el plano z = 8 es una circunferencia sobre diho plano, con centro en (,,8) y radio 6. El volumen del cono con vértice en el origen que delimita el plano z = 8 es 8 6 π 3 = 96π. Ahora restamos el volumen de la sección de la esfera que queda dentro de dicho cono. Para calcular dicho volumen, utilizamos coordenadas esféricas: π 5 arccos 4 5 r senφdφdrdθ = 5π 3 Así, el volumen pedido es: V = 96π 5π 3 = 38π 3 33

35 Cuarto Tema: Teoremas Integrales del Análisis Vectorial Contenidos: 1. Operacionales diferenciales (gradiente, rotacional, divergencia y laplaciano): definiciones, propiedades, expresiones en coordenadas cilíndricas y esféricas.. Teorema de Stokes y teorema de Gauss (o de la divergencia). Particularización a campos planos. 3. Caracterización de los campos conservativos, solenoidales y armónicos. 34

36 Problemas: 1. Sea el campo vectorial F : R 3 R 3 : y sean la superficies en R 3 : F(x,y,z) = (x,y,z ), S 1 = {(x,y,z) : x +y = 4z z 1}, S = {(x,y,z) : x +y = (z 3) 1 z 3}. a) Calcular el flujo de F a través de S 1 (con vector normal orientado hacia arriba). b) Aplicando el teorema de Gauss, calcular el flujo de F a través de S (con vector normal orientado hacia arriba). c) Explicar si existe algún campo G tal que G = F. Solución: a) La superficie S 1 es un paraboloide de revolución de eje z. Dicho paraboloide definido mediante z = g(x,y) = 1 4 (x +y ) puede ser parametrizado de manera natural r(x,y) = (x,y, 1 4 (x +y )), (x,y) D = {(x,y) : x +y 4}, donde D es la proyección de S 1 sobre el plano xy (z = ). Calculamos r x (x,y) = (1,, 1 x), r y(x,y) = (,1, 1 y), de manera que r x (x,y) r y (x,y) = ( x, y,1). Por tanto F NdS = F(x,y) ( r x (x,y) r y (x,y))da S 1 D = (x,y, 1 D 16 (x +y ) ) ( x, y,1)da = 1 ( 8(x 3 +y 3 )+(x +y ) )dxdy 16 D Si efectuamos un cambio a coordenadas polares F NdS = 1 π ( 8ρ 3 (cos 3 θ +sen 3 θ)+ρ 4 )ρdρdθ 16 S 1 = 1 16 π = 1 16 π [ ρ 6 6 ] ( 8ρ 3 (cos 3 θ +sen 3 θ)+ρ 4 )ρdρdθ = 4 3 π 35

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 .5. Coloquio 1/08/03. Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 1. Hallar a de manera que sea máximo el flujo de campo F (x,y,z)= (x,y,z) a través del borde ( con tapas!) del cilindro elíptico descripto

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil 1 / 32 Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso Académico 2011-2012 2 / 32 Motivación: muchas ecuaciones y propiedades fundamentales de la Física (y, en consecuencia, de aplicación

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

4 Integrales de línea y de superficie

4 Integrales de línea y de superficie a t e a PROBLEMA DE ÁLULO II t i c a s 1 o Ings. Industrial y de Telecomunicación URO 2009 2010 4 Integrales de línea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra

Más detalles

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una SUPERFICIES El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares en el espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie, veremos formas de expresar una superficie, esencialmente

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar.

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar. NOTAS DE LASE ÁLULO III Unidad 4: INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEOREMAS FUNDAMENTALES Guía de Estudio Doris Hinestroza 1 Índice 1. INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEO- REMAS FUNDAMENTALES DEL

Más detalles

1 Función real de dos variables reales

1 Función real de dos variables reales Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 10: Funciones de dos variables. Curso 008-09 1 Función real de dos variables reales Hasta el momento

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,

Más detalles

1. Funciones de varias variables

1. Funciones de varias variables Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables

Más detalles

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =

Más detalles

1. Extremos de funciones 2. 2. Parametrización, Triedro de Frenet 21. 3. Coordenadas curvilíneas 34. 4. Integrales de trayectoria y de línea 41

1. Extremos de funciones 2. 2. Parametrización, Triedro de Frenet 21. 3. Coordenadas curvilíneas 34. 4. Integrales de trayectoria y de línea 41 Índice general 1. Extremos de funciones. Parametrización, Triedro de Frenet 1 3. Coordenadas curvilíneas 34 4. Integrales de trayectoria y de línea 41 5. Integrales Iteradas 5 6. Teoremas Integrales 57

Más detalles

Los teoremas de Stokes y Gauss

Los teoremas de Stokes y Gauss Capítulo 13 Los teoremas de tokes y Gauss En este último capítulo estudiaremos el teorema de tokes, que es una generalización del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial

Más detalles

Teoremas de Stokes y Gauss

Teoremas de Stokes y Gauss Lección 9 Teoremas de Stokes y Gauss Presentamos a continuación los dos resultados principales del Cálculo Vectorial. Por una parte, el Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la

Más detalles

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares.

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 Vector tangente y gráficas en coordenadas polares De la misma forma que la ecuación cartesiana y = yx ( ) define una curva en el plano, aquella formada por los

Más detalles

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5).

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5). 74 MÉTOOS NUMÉRICOS Informática de Sistemas - curso 9/1 Hojas de problemas Tema I - Cálculo diferencial e integral en varias variables I.1 Representación de funciones de dos variables 1. ibuja el plano

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

Tarea 1 - Vectorial 201420

Tarea 1 - Vectorial 201420 Tarea - Vectorial 040. Part :. - 3... Hacer parametrización de la curva de intersección del cilindro x + y = 6 y el plano x + z = 5. Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva donde la curvatura

Más detalles

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables 1 Funciones de varias variables Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables atodafunciónf : R n R. Y llamaremos función vectorial

Más detalles

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución:

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución: Problemas resueltos 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización α(t) t ı + 4 3 t3/ j + 1 t k, t [, ]. α (t) (1, t 1/, 1 ), t [, ]. La curva α es de clase C 1 y, por tanto, es rectificable.

Más detalles

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II 1 Desarrollos de Taylor en varias variables Vamos ahora a generalizar los desarrollos de Taylor que vimos para funciones de una variable.

Más detalles

Teorema de Green. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es. 1. Introducción 1

Teorema de Green. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es. 1. Introducción 1 Teorema de Green ISABEL MAEO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Introducción 1 2. Teorema de Green en regiones simplemente conexas 1 2.1. urvas de Jordan.........................................

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

1. Definición de campo vectorial

1. Definición de campo vectorial Universidad Nacional de La Plata Facultad de iencias Exactas ANÁLII MATEMÁTIO II (ibex - Física Médica) 214 egundo emestre GUÍA Nro. 6: AMPO VETORIALE 1. Definición de campo vectorial Durante el curso

Más detalles

Javier Junquera. Vectores

Javier Junquera. Vectores Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,

Más detalles

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6 INTEGRAL LAPSO 8-751 - 1/ 6 Universidad Nacional Abierta CÁLCULO III ( 751 ) Vicerrectorado Académico Integral Área de Matemática Fecha 1/1/8 Lapso 8 MOELO E RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 a. etermine el dominio

Más detalles

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Tema 9. ampos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Índice de contenidos del tema 9 1. ampos escalares y campos vectoriales 2. Gradiente, laplaciano, divergencia

Más detalles

Unidad V: Integración

Unidad V: Integración Unidad V: Integración 5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral

Más detalles

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ).

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ). apítulo 11 El teorema de Green El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de

Más detalles

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea.

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea. Universidad de Sevilla. GO y GERM. Matemáticas. Departamento de Matemática Aplicada. Guión del Tema 5: ntegrales de Línea. 1. ntegrales de línea. ntegral de línea de un campo escalar. Sea una curva parametrizada

Más detalles

RELACIÓN DE EXÁMENES DE GEOMETRÍA III

RELACIÓN DE EXÁMENES DE GEOMETRÍA III RELACIÓN DE EXÁMENES DE GEOMETRÍA III Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría III Licenciatura: Matemáticas

Más detalles

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1).

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1). INTEGRALES DE LÍNEA. 15. alcular las siguientes integrales: (a) (x + y) ds donde es el borde del triángulo con vértices (, ), (1, ), (, 1). (b) x + y ds donde es la circunferencia x + y ax (a > ). (a)

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Autor: José Arturo Barreto M.A. Páginas web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Capítulo I El Problema 1.1 Planteamiento del problema

Más detalles

Parcial I Cálculo Vectorial

Parcial I Cálculo Vectorial Parcial I Cálculo Vectorial Febrero 8 de 1 ( Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta. (i) La gráfica de la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas en R3, es

Más detalles

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO 2015-2016 Índice general 1. Derivación de funciones

Más detalles

Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.

Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química. Matemáticas I. 2010-2011. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. 1.1.-

Más detalles

Hoja de Prácticas tema 3: Máximos y Mínimos

Hoja de Prácticas tema 3: Máximos y Mínimos Cálculo II EPS (Grado TICS) Curso 2012-2013 Hoja de Prácticas tema 3: Máximos y Mínimos 1. Hallar los puntos críticos de las funciones dadas y determinar cuáles son máximos locales, mínimos locales o puntos

Más detalles

Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad

Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad 1 Funciones de varias variables Observación 1.1 Conviene repasar,enestepunto,lodadoeneltema8paratopología en R n : bolas,

Más detalles

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan Lección 6 Teorema de Green En la lección anterior, previa caracterización de los campos conservativos, hemos visto que un campo irrotacional puede no ser conservativo. Tenemos por tanto una condición fácil

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

1 El plano y el espacio Euclídeos. Operaciones

1 El plano y el espacio Euclídeos. Operaciones Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 1 Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial (Esp. en Hidrología Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 8: Cálculo diferencial

Más detalles

Teoremas de la función implícita y de la función inversa

Teoremas de la función implícita y de la función inversa Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Teoremas de la función implícita y de la función inversa 1. El teorema de la función implícita 1.1. Ejemplos

Más detalles

Integrales dobles y triples

Integrales dobles y triples Tema Integrales dobles y triples Hasta ahora se han calculado el área de figuras geométricas planas elementales: el rectángulo, el círculo, el trapecio, etc. Pero, cómo calcular el área de figuras no regulares?

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

1. ESCALARES Y VECTORES

1. ESCALARES Y VECTORES 1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes

Más detalles

Repaso de funciones elementales, límites y continuidad

Repaso de funciones elementales, límites y continuidad Tema 3 Repaso de funciones elementales, ites y continuidad 3.1. Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones 3.1.1. Definiciones Una función real de (una) variable real es una aplicación

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V)

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) ÍNDICE Página: 1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS.. 2 2 TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES 4 3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS 5 3.1 CIRCUNFERENCIAS FOCALES 6 3.2

Más detalles

Caracterización de los campos conservativos

Caracterización de los campos conservativos Lección 5 Caracterización de los campos conservativos 5.1. Motivación y enunciado del teorema Recordemos el cálculo de la integral de línea de un gradiente, hecho en la lección anterior. Si f : Ω R es

Más detalles

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Programa Analítico

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Programa Analítico ASIGNATURA: Análisis Matemático II PLAN DE ESTUDIOS: Ajuste 2013 ANO ACADEMICO: 2013 CARRERA/S : Farmacia Lic Cs. Químicas Tecnología de los alimentos PROFESOR a CARGO: Mg. Lic. Juan Martín Rodríguez CUATRIMESTRE:

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo TEMA IV INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente

Más detalles

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

Tema 9. Funciones de varias variables.

Tema 9. Funciones de varias variables. Tema 9. Funciones de varias variables. 9.1 Introducción 9.2 Límite continuidad. 9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. 9.4 Diferencial. 9.5 Regla de la cadena. Derivación

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II:

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II: MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II: FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES ÓPTIMOS DE UNA FUNCIÓN ESCALAR MATERIAL DIDÁCTICO DE SOPORTE González-Vila Puchades, Laura Ortí Celma, Francesc J. Sáez Madrid, José B. Departament

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables

Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables 1 María José Arroyo Shirley Bromberg Patricia Saavedra Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa ÍNDICE 1 Geometría

Más detalles

Introducción al Análisis Complejo

Introducción al Análisis Complejo Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL TEMA II FUNCIONES VECTORIALES. Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

CÁLCULO VECTORIAL TEMA II FUNCIONES VECTORIALES. Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase TEMA II FUNCIONES VECTORIALES Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo INTRODUCCIÓN TEMA II FUNCIONES VECTORIALES Puesto que la naturaleza de las cantidades es distinta,

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

Extremos de varias variables

Extremos de varias variables Capítulo 1 Extremos de varias variables Problema 1 Encontrar los extremos absolutos de la función fx, y) = xy en el conjunto A = x, y) IR : x + y 4, x 5/}. Solución: En primer lugar representamos el conjunto

Más detalles

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES DE VARIABLE REAL CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47 A. DOMINIO E IMAGEN

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

1. Definición y representaciones gráficas

1. Definición y representaciones gráficas Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas ANÁLISIS MATEMÁTICO II (CiBEx - Física Médica) 2014 Segundo Semestre GUÍA Nro. 3: FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES 1. Definición y representaciones

Más detalles

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Ariel Fernández Daniel Marta Introducción. En este capítulo se introducirán los elementos necesarios para la descripción del movimiento de una

Más detalles

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1 apítulo 2 Divergencia y flujo Sea V = V 1 i + V 2 j + V 3 k = (V 1, V 2, V 3 ) un campo vectorial en el espacio, por ejemplo el campo de velocidades de un fluido en un cierto instante de tiempo, en un

Más detalles

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie NOTAS DE CLASE CÁLCULO III Doris Hinestroza Diego L. Hoyos 1 Índice general 1. Funciones Vectoriales 5 1.1. El Espacio R n............................ 5 1.2. Funciones Vectoriales........................

Más detalles

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS.

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN. Es toda aplicación entre dos conjuntos A y B formados ambos por números. f A --------> B Al conjunto A se le llama campo de existencia de la función

Más detalles

Oleksandr Karelin Carlos Rondero Guerrero Anna Tarasenko DESIGUALDADES Métodos de cálculo no tradicionales

Oleksandr Karelin Carlos Rondero Guerrero Anna Tarasenko DESIGUALDADES Métodos de cálculo no tradicionales Oleksandr Karelin Carlos Rondero Guerrero Anna Tarasenko DESIGUALDADES Métodos de cálculo no tradicionales Patrocinado por: Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Madrid - Buenos Aires - México Oleksandr

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Tema 5 Funciones de varias variables Supongamos que tenemos una placa rectangular R y determinamos la temperatura T en cada uno de sus puntos. Fijado un sistema de referencia, T es una función que depende

Más detalles

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente.

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente. CÁLCULO HOJA 1 INGENIERO TÉCNICO EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS GRUPO DE MAÑANA, MÓSTOLES, 2008-09 (1) De la serie a n se sabe que la sucesión de sumas parciales viene dada por: S n = 3n + 2 n + 4. Encontrar

Más detalles

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 Una función real de variable real es una aplicación f : D R, donde D es un subconjunto de R denominado dominio de f. La función f hace corresponder

Más detalles

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales Eduardo Liz Marzán Diciembre de 2013 Índice general 1 Preliminares 1 11 Introducción 1 12 La relación de orden en el conjunto de los números

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Una Ecuación Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es simplemente una expresión de la forma

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 ( Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 ( Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 11 ( Modelo 3) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 del 11 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida por f(x) ax 3 + bx +cx, determina

Más detalles

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CAPÍTULO V. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de derivada. B. Reglas de derivación. C. Derivadas sucesivas. D. Funciones implícitas. Derivación logarítmica. E. Ecuaciones paramétricas.

Más detalles

JAVIER ORDUÑA FLORES Red Tercer Milenio

JAVIER ORDUÑA FLORES Red Tercer Milenio 1 Geometría analítica JAVIER ORDUÑA FLORES Red Tercer Milenio GEOMETRÍA ANALÍTICA GEOMETRÍA ANALÍTICA JAVIER ORDUÑA FLORES RED TERCER MILENIO AVISO LEGAL Derechos Reservados 2012, por RED TERCER MILENIO

Más detalles

1 FUNCIONES DE R N EN R.

1 FUNCIONES DE R N EN R. 1 FUNCIONES DE R N EN R. 1. Idea de función. Si A R N, una función f : A R es una regla que asigna a cada punto x A un número f( x ) R. Ejemplos: Si x R 2 podemos considerar la función f( x )=(distancia

Más detalles

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'.

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'. .- Dada la función: f(x) = x 9 x a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'..a.- Lo primero que hacemos es buscar el dominio,

Más detalles

CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010

CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010 Escuela Superior de Ingenieros Ingeniero de Telecomunicación CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010 Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Índice general 1. Aplicaciones de

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA CAPÍTULO VI. APLICACIONES DE LA DERIVADA SECCIONES A. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos locales. B. Concavidad. Puntos de inflexión. C. Representación gráfica de funciones. D. Problemas de

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

FUNCIONES Y SUPERFICIES

FUNCIONES Y SUPERFICIES FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com

Más detalles