ESTRUCTURA DELTA Y HOMOLOGIA DE ALGUNAS VARIEDADES COMPACTAS DE DIMENSION 3

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUCUMAN FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA Departamento de Matemática SEMINARIO PARA ACCEDER AL TITULO DE LICENCIADO EN MATEMATICA ESTRUCTURA DELTA Y HOMOLOGIA DE ALGUNAS VARIEDADES COMPACTAS DE DIMENSION 3 GABRIEL R. TRIMARCO DIRECTOR: Dr. LEANDRO CAGLIERO FaMAF-UNC San Miguel de Tucumán Diciembre de 2009

2 PREFACIO La topología algebraica se puede definir, de manera informal, como el estudio de técnicas para formar imágenes algebraicas de espacios topológicos. Estas imágenes algebraicas son en general grupos, aunque también se presentan algunas estructuras más elaboradas como anillos, módulos y álgebras. El mecanismo que crea estas imágenes se conoce formalmente como funtores y tienen la característica de que forman imágenes no sólo de espacios sino también de mapas entre espacios. Así, funciones continuas entre espacios se proyectan en homomorfismos entre sus imágenes algebraicas, por lo que espacios topológicos relacionados tienen imágenes algebraicas relacionadas. Con funtores debidamente construidos se esperaría formar imágenes con detalles suficientes para reconstruir con precisión las formas de todos los espacios, o por lo menos de una larga e interesante clase de ellos. Este es uno de los principales objetivos de la topología algebraica y es alcanzado en sorprendente medida. Uno de los funtores más importantes y simples de la topología algebraica es el grupo fundamental 1 X, x 0, el cual será presentado en forma breve en el Capítulo 1. El grupo fundamental 1 X, x 0 trata por definición únicamente con mapas de espacios de baja dimensión en X, es decir lazos I X y homotopías de lazos I I X; por lo tanto es especialmente útil cuando estudiamos espacios de dimensiones bajas. Debido a esta naturaleza no debemos esperar que sea una herramienta muy refinada a la hora de hacer frente a espacios de dimensiones altas. De hecho, el grupo fundamental no puede distinguir entre esferas S n con n 2. Una idea para diferenciar más espacios es introducir grupos de lazos de dimensiones mayores: bidimensionales, tridimensionales, etc. En esta línea, W. Hurewicz generalizó 1 X a los grupos de homotopía n X que se definen en término de mapas del cubo ndimensional I n en X y homotopías I n I X. Sin embargo, estos nuevos grupos resultan ser bastante desconocidos y difíciles de calcular, incluso en espacios muy sencillos como las esferas S n con n 1; la determinación de estos grupos es uno de los problemas más importantes aún no resueltos de la topología algebraica. En contraste, los llamados grupos de homología H n X permiten cálculos más sencillos e incluso representaciones geométricas y analíticas. En el Capítulo 2 aproximaremos la definición de H n X construyendo un modelo restringido de teoría de homología llamado homología simplicial. Si bien la homología simplicial se define tradicionalmente para complejos simpliciales, nosotros trabajaremos con una clase de espacios llamados -complex. Seguido, nos introduciremos en la teoría general conocida como homología singular. Una vez asimilada la definición de homología 1

3 singular, comienza el trabajo de establecer sus propiedades básicas, tarea que significa un esfuerzo sustancial del cual se ocupa el Capítulo 3. En el Capítulo 4 trataremos el objetivo principal del trabajo, que consiste en desarrollar procedimientos para el cómputo de grupos de homología. Concretamente, construiremos una estructura delta en algunas variedades compactas de dimensión 3 a partir de una descomposición simplicial del cubo unidad, identificando sus caras en algún patrón. Una razón fundamental para considerar complejos es que, desde el punto de vista de la topología algebraica, estos resultan ser objetos más naturales. Numerosas construcciones estándar producen -complex en lugar de complejos simpliciales. 2

4 CAPITULO I 1. EL GRUPO FUNDAMENTAL 1.1 CONSTRUCCION BASICA El objetivo de este breve capítulo preliminar es presentar el grupo fundamental, el cual crea una imagen algebraica de un espacio topológico a partir de los lazos en el espacio. La exposición es algo informal, sin demostraciones, y debe leerse en este espíritu informal. El grupo fundamental se define en término de lazos y deformaciones de los mismos. A veces es útil considerar más generalmente curvas y sus deformaciones, por lo que comenzamos con la siguiente definición. DEFINICION 1.1.1: Una curva (path) en X espacio topológico es una función continua σ: I X donde I es el intervalo unidad 0,1. Llamamos lazo por p X a la curva cerrada contenida en X que empieza y termina en p, es decir, una función σ: I X continua tal que σ 0 = σ 1 = p. En este caso el lazo determinado por σ 1 t se llama lazo inverso. Denotaremos mediante c p al lazo constante c p t = p. Una propiedad fundamental de los lazos es que se pueden componer poniendo uno a continuación de otro. A pesar que la terminología es la misma, no tiene que ver con la composición de funciones. DEFINICION 1.1.2: Dado dos lazos σ y τ con base en x 0 X, se define su composición como στ t = σ 2t, si 0 t 1 2 ; τ 2t 1, si 1 t

5 Observación: las curvas también se pueden componer siempre que σ 1 = τ 0. Cuando compongamos dos curvas daremos por supuesto que ya hemos verificado que el extremo final de la primera coincide con el origen de la segunda. La idea de deformación continua de lazos o curvas se precisa en la siguiente definición. DEFINICION 1.1.3: Sean X un espacio topológico y σ y τ dos lazos con el mismo punto base o dos curvas con σ 0 = τ 0, σ 1 = τ 1. Se dice que F: I I X es una homotopía y que σ es homotópica a τ y denotamos σ τ si F es continua y s I, F s, 0 = σ s ; F s, 1 = τ s. t I, F 0, t = σ 0 = τ 0 ; F 1, t = σ 1 = τ 1. Ejemplo: En R n cualquier par de lazos o curvas como antes son homotópicas por medio de la combinación convexa F s, t = 1 t σ s + tτ s. Nótese que las homotopías no son únicas: puede haber multitud de maneras de transformar σ en τ y para nuestro propósito será indiferente conocer la fórmula explícita de estas transformaciones. Sólo queremos saber si σ se puede verdaderamente transformar en τ, pero no cómo. Esto aparecerá reflejado claramente en la definición de grupo fundamental. Antes de dar la definición de grupo fundamental necesitamos verificar una propiedad técnica. PROPOSICION 1.1.4: La relación de homotopía entre lazos, o curvas con los mismos extremos, es una relación de equivalencia. Notación: la clase de equivalencia de una curva σ bajo la relación de homotopía se denota σ y se llama clase de homotopía de σ. Nótese que si σ 0 σ 1 y τ 0 τ 1 entonces σ 0 τ 0 σ 1 τ 1. Así, podemos definir σ τ = στ. 4

6 DEFINICION 1.1.5: Sean X un espacio topológico y x 0 X. Se llama grupo fundamental de X relativo al punto base x 0 y se denota 1 X, x 0 al conjunto de clases de equivalencias de lazos con base en x 0 bajo la relación de homotopía. TEOREMA 1.1.6: 1 X, x 0 es grupo con respecto al producto σ τ = στ. Ejemplo 1: Como en R n todos los lazos son homotópicos entre sí, para cualquier punto base x 0 R n se tiene 1 R n, x 0 = 0. 1 R n, x 0 = c x0. Es decir, es el grupo trivial. Podemos escribir Ejemplo 2: Se puede probar que 1 S 1, x 0 = Z. Es natural preguntarse sobre la dependencia de 1 X, x 0 en la elección del punto base x 0. Para los espacios arcoconexos 1 no depende del punto base elegido como mostramos a continuación. PROPOSICION 1.1.7: Si X es arcoconexo y x 0, y 0 X, entonces 1 X, x 0 1 X, y 0. En el caso en que denotamos 1 X. 1 no depende del punto base se llama grupo fundamental de X y En general, un espacio se llama simplemente conexo si es arcoconexo y su grupo fundamental es el trivial. Ejemplo: R n es simplemente conexo. Además la homotopía F s, t = 1 t σ s + tτ s sirve para demostrar que, en general, cualquier subconjunto convexo de R n es simplemente conexo. 5

7 La relación entre el grupo fundamental de un espacio producto y el grupo fundamental de sus factores es tan simple como uno puede desear. PROPOSICION 1.1.8: Sean X e Y espacios topológicos arcoconexos, entonces 1 X Y 1 X 1 Y. Ejemplo: El Toro. Por la proposición anterior tenemos S 1 S 1 1 S 1 1 S 1 Z Z 1. Veamos como las funciones continuas inducen homomorfismos entre los grupos fundamentales. Concretamente tenemos el siguiente teorema. TEOREMA 1.1.9: Para cada función continua f: X, x Y, f x se define f : 1 X, x 1 Y, f x como f σ = f σ. Entonces 1. f es un homomorfismo de grupos. 2. Si f es la identidad, f también lo es. 3. Para f: X Y y g: Y Z continuas, g f = g f. De este modo, por 2) y 3), resulta que 1 es un funtor de la categoría de los espacios topológicos con punto fijo X, x en la categoría de los grupos. La definición formal de funtor requiere la introducción de algunos conceptos preliminares por lo que posponemos esta definición para más adelante. En particular, si f es un homeomorfismo, f es un isomorfismo de grupos. Luego el grupo fundamental es un invariante topológico. Sin embargo, sucede que para que dos espacios topológicos tengan grupos fundamentales isomorfos no es necesario que sean homeomorfos, sino que basta con que satisfagan una relación más general: la homotopía. El hecho de que espacios homotópicos tengan el mismo grupo fundamental hace que el concepto de homotopía sea muy importante en la topología algebraica. 6

8 Para empezar introduciremos el concepto de homotopía entre aplicaciones. Intuitivamente queremos decir que dos funciones f, g: X Y son equivalentes si podemos deformar continuamente f en g. DEFINICION : Sean f, g: X Y funciones continuas. Diremos que f y g son homotópicas si existe una función continua F: X I Y tal que x X, F x, 0 = f x F x, 1 = g x. La aplicación F se llama homotopía entre f y g. Esto lo denotaremos por f g. La homotopía entre aplicaciones continuas de un espacio X en un espacio Y es claramente una relación de equivalencia. Ahora definiremos la equivalencia homotópica de espacios en base a la equivalencia homotópica de funciones. DEFINICION : Dos espacios topológicos X e Y son homotópicos si existen funciones continuas f: X Y, g: Y X tales que g f Id X f g Id Y. Un espacio topológico homotópico a un punto se llama espacio contráctil. Un caso especialmente simple de espacios homotópicos es aquel en el que una de las aplicaciones consideradas es la inclusión. DEFINICION : Sea A X, decimos que A es un retracto por deformación de X si existe una función continua r: X A tal que i r Id X y r i Id A donde i: A X es la inclusión. La función r se llama retracción. Notemos que si A es un retracto por deformación de X entonces A es homotópico a X, pues la definición de homotopía se cumple con la retracción r y la inclusión i. 7

9 TEOREMA : Sean X e Y espacios topológicos arcoconexos. Si X es homotópico a Y, entonces 1 X 1 Y. Así, hemos probado que el grupo fundamental es un invariante homotópico y no sólo un invariante topológico. 8

10 CAPITULO II 2. HOMOLOGIA SIMPLICIAL 2.1 LA IDEA DE HOMOLOGIA Comencemos mostrando algunos ejemplos para ver cuál es la idea. Consideremos el gráfico X 1 mostrado en la figura, que consiste en dos vértices unidos por cuatro lados. Cuando estudiamos el grupo fundamental de X 1 consideramos lazos formados por sucesiones de lados que comienzan y terminan en un mismo punto base fijo. Por ejemplo, en el punto base x, el lazo ab 1 avanza a lo largo del lado a y luego regresa a lo largo de b, como lo indica el exponente -1. Un lazo más complicado podría ser ac 1 bd 1 ca 1. Una característica sobresaliente del grupo fundamental es que, en general, no es abeliano lo que tanto enriquece como complica la teoría. Supongamos que simplificamos los problemas abelianizando. Así, por ejemplo, los lazos ab 1 y b 1 a han de considerarse iguales si hacemos conmutar a con b. Estos dos lazos son realmente el mismo circuito, sólo con una diferente elección de punto inicial y final: x para ab 1 e y para b 1 a. Lo mismo ocurre para todo lazo: cambiar la elección del punto base sólo permuta sus letras en forma cíclica, por lo tanto el efecto de la abelianización es que no tenemos que preocuparnos por precisar el punto base. Así, los lazos se transforman en ciclos sin un punto base elegido. Habiendo abelianizado cambiemos a notación aditiva, por lo que ciclos se convierten en combinaciones lineales de lados con coeficientes enteros, tales como a b + d c. 9

11 Llamemos a estas combinaciones lineales cadenas de lados. Algunas cadenas pueden ser descompuestas en ciclos de diferentes maneras, por ejemplo a c + b d = a d + b c, y si adoptamos un punto de vista algebraico entonces no queremos distinguir entre estas descomposiciones diferentes. Por lo tanto, ampliamos el significado de "ciclo" a toda combinación lineal de lados para la cual al menos una descomposición en ciclos, en el sentido geométrico previo, exista. Cuál es la condición para que una cadena sea un ciclo en este sentido más algebraico? Un ciclo geométrico se distingue por la propiedad de que entra en cada vértice la misma cantidad de veces que sale. Para una cadena arbitraria ka + lb + mc + nd, el número de veces que entra en y es k + l + m + n ya que los lados a, b, c y d entran en y una vez. Del mismo modo cada uno de los lados deja x una vez por lo que el número de veces que la cadena entra en x es k l m n. Así, la condición para que ka + lb + mc + nd sea un ciclo es simplemente k + l + m + n = 0. Para describir este resultado de manera que generalice para todo gráfico, sea C 1 el grupo abeliano libre con base los lados a, b, c y d y sea C 0 el grupo abeliano libre con base los vértices x e y. Los elementos de C 1 son cadenas de lados, o cadenas 1-dimensionales, y los elementos de C 0 son combinaciones lineales de vértices, o cadenas 0-dimensionales. Definimos un homomorfismo : C 1 C 0 mandando cada elemento de la base a y x. Tenemos que ka + lb + mc + nd = k + l + m + n y k + l + m + n x, y los ciclos son precisamente el núcleo de. Con un cálculo sencillo se verifica que a b, b c y c d forman una base para este núcleo. Así, cada ciclo en X 1 es una combinación lineal única de estos tres ciclos más obvios. Por medio de estos tres ciclos básicos transmitimos la información geométrica de que el gráfico X 1 tiene tres "agujeros" visibles, el espacio vacío entre los cuatro lados. A continuación vamos a ampliar el gráfico X 1 pegando un espacio A a lo largo del ciclo a b produciendo un espacio bidimensional X 2. 10

12 Si pensamos que A está orientado en sentido horario entonces podemos considerar que su frontera es el ciclo a b. Este ciclo es ahora homotópicamente trivial ya que podemos contraerlo a un punto deslizándolo sobre A. En otras palabras, ya no encierra un "agujero" en X 2. Esto sugiere que hemos formado un cociente del grupo de ciclos del ejemplo anterior simplificando el subgrupo generado por a b. En este cociente los ciclos a c y b c, por ejemplo, son equivalentes coherente con el hecho de que son homotópicos en X 2. Algebraicamente podemos definir ahora un par de homomorfismos C 2 2 C 1 1 C 0 donde C 2 es el grupo cíclico generado por A y 2 A = a b. La función 1 es el homomorfismo frontera del ejemplo previo. Estamos interesados en calcular el cociente Ker 1 Im 2, el núcleo de 1 módulo imagen de 2, o en otras palabras, los ciclos 1- dimensionales módulo aquellos que son bordes, los múltiplos de a b. Este grupo cociente es el grupo de homología H 1 X 2. El ejemplo anterior puede encajar en este esquema tomando C 2 = 0 por lo que en este caso H 1 X 1 = Ker 1 Im 2 = Ker 1, que como ya vimos es un grupo abeliano libre con tres generadores. En el ejemplo presente H 1 X 2 es abeliano libre con dos generadores, b c y c d, expresando el hecho geométrico de que pegando el espacio A hemos reducido el número de "agujeros" en nuestro espacio de tres a dos. Supongamos que ampliamos el espacio X 2 a un espacio X 3 pegando un nuevo espacio B a lo largo del ciclo a b. Obtenemos un grupo cadena 2-dimensional C 2 formado por combinaciones lineales de A y B. El homomorfismo frontera 2 : C 2 C 1 manda tanto A como B a a b. El grupo de homología H 1 X 3 = Ker 1 Im 2 es el mismo que para X 2 pero ahora 2 tiene núcleo no trivial, el grupo cíclico infinito generado por A B. Miramos a A B como un ciclo 2- dimensional, generando el grupo de homología H 2 X 3 = Ker 2 Z. Topológicamente, el ciclo A B es la esfera formada por A y B junto con su ciclo frontera común. Este ciclo esférico detecta la presencia de un "agujero" en X 3, el interior vacío de la esfera. Sin 11

13 embargo, puesto que este agujero está encerrado por una esfera en lugar de un círculo, es de una forma diferente de los agujeros detectados por H 1 X 3 Z Z, los cuales son detectados por los ciclos b c y c d. Continuemos un paso más y construyamos un espacio X 4 a partir de X 3 pegando un espacio C a lo largo de la 2-esfera formada por A y B. Creamos un grupo cadena C 3 generado por C, y definimos el homomorfismo frontera 3 : C 3 C 2 mandando C a A B ya que el ciclo A B debe considerarse como el borde de C de la misma manera que el ciclo 1-dimensional a b es el borde de A. Tenemos ahora una sucesión de tres homomorfismos fronteras C 3 3 C 2 2 C 1 1 C 0 y el grupo cociente H 2 X 4 = Ker 2 Im 3 se ha convertido en trivial. También H 3 X 4 = Ker 3 = 0. El grupo H 1 X 4 es el mismo que H 1 X 3, a saber Z Z, por lo tanto este es el único grupo de homología no trivial de X 4. Está claro cuál es el patrón general de los ejemplos. Para un espacio X uno tiene grupos cadenas C n X que son grupos abelianos libres, y homomorfismos fronteras n : C n X C n 1 X a partir de los cuales definimos el grupo de homología H n X = Ker n Im n+1. La dificultad principal es cómo definir n en general. Para n = 1 esto es fácil: el borde de un lado orientado es la diferencia de su punto extremo final menos el inicial. Sin embargo, para valores de n mayores el problema se vuelve más complicado. Incluso si restringimos nuestra atención a espacios formados por poliedros, aún queda la cuestión de orientaciones por solucionar. La mejor solución a este problema parece ser la de adoptar un enfoque indirecto. Poliedros arbitrarios siempre pueden ser subdivididos en poliedros especiales llamados simplices (el triángulo y el tetraedro son el caso 2-dimensional y 3-dimensional respectivamente) por lo que no hay pérdida de generalidad aunque inicialmente hay una pérdida de eficiencia en restringir totalmente la atención a simplices. Para simplices no hay dificultad para definir los homomorfismos fronteras o en el manejo de orientaciones. Así, se obtiene una teoría de homología llamada homología simplicial. Sin embargo, ésta es una clase bastante restringida de espacios, y la teoría en sí tiene una cierta rigidez que hace sea difícil de trabajar. 2.2 Δ-COMPLEX La teoría de homología más importante de la topología algebraica, y que estudiaremos casi exclusivamente, se llama homología singular. Su estudio es un poco complicado por lo 12

14 que introduciremos primero una versión más primitiva llamada homología simplicial, para ver cómo funciona esta teoría en un escenario más simple antes de comenzar la teoría general. El dominio natural de definición para la homología simplicial es una clase de espacios que llamamos Δ-complex. El Toro, el Plano Proyectivo, la Botella de Klein, se pueden obtener de un cuadrado identificando los lados opuestos en la forma indicada por las flechas en la siguiente figura: Cortando un cuadrado a lo largo de la diagonal producimos dos triángulos. Cada una de estas superficies se puede construir a partir de los triángulos identificando sus lados de a pares. Así, tenemos un bloque constructor simple (un triángulo) a partir del cual podemos construir todas las superficies cerradas. La idea de Δ-complex es generalizar construcciones como ésta a cualquier número de dimensiones. El análogo n-dimensional del triángulo es el n-simplex. Más exactamente, un simplex es la cápsula convexa de un conjunto de n + 1 puntos v 0,, v n en un espacio euclidiano de dimensión n o mayor tal que los vectores v 1 v 0,, v n v 0 sean linealmente independientes. Por ejemplo, un 0-simplex es un punto; un 1-simplex un segmento; un 2-simplex un triángulo; un 3-simplex es un tetraedro (en cada caso con su interior). Los puntos v i son los vértices del simplex y el simplex mismo se denota v 0,, v n. 13

15 Por ejemplo, el n-simplex estándar es Δ n = t 0,, t n R n i t i = 1 ; i, t i 0 cuyos vértices son los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados. A los efectos de la homología será importante no perder de vista el orden de los vértices del simplex. Por lo tanto, " n-simplex" realmente significa " n-simplex con un orden en sus vértices". Al especificar el orden de los vértices determinamos orientaciones en los lados v i, v j de acuerdo aumenta el subíndice. También determina un homeomorfismo canónico lineal entre el n-simplex estándar Δ n y cualquier otro n-simplex v 0,, v n dado por t 0,, t n de manera que preserva el orden de los vértices. Los coeficientes t i son las coordenadas baricéntricas del punto i t i v i en v 0,, v n. Si quitamos uno de los n+1 vértices de un n-simplex v 0,, v n entonces los restantes n vértices determinan un (n-1)-simplex que llamamos cara de v 0,, v n. Adoptamos la siguiente convención: Los vértices de una cara, o de cualquier subsimplex determinado por un subconjunto de los vértices, siempre serán ordenados de acuerdo a su orden en el simplex mayor. i t i v i La unión de todas las caras de Δ n es la frontera de Δ n que denotamos Δ n. El simplex abierto Δ n es Δ n Δ n, el interior de Δ n. 14

16 DEFINICION 2.2.1: Una estructura Δ-complex en un espacio topológico X es una colección de mapas σ α : Δ n X, donde n depende del índice α, tal que: 1. La restricción σ α Δ n es inyectiva, y cada punto de X está en la imagen de exactamente una de las restricciones σ α Δ n. 2. Cada restricción de σ α a una cara de Δ n es uno de los mapas σ β : Δ n 1 X. Aquí, estamos identificando la cara de Δ n con Δ n 1 por medio del homeomorfismo canónico lineal entre ellos, de manera que se preserva el orden de los vértices. 3. Un subconjunto A X es abierto si y solo si σ α 1 A es abierto en Δ n para cada σ α. La anterior descomposición del Toro, el Plano Proyectivo y la Botella de Klein en dos triángulos, tres lados y uno o dos vértices define una estructura Δ-complex con un total de seis mapas σ α para el Toro y la Botella de Klein, y siete para el Plano Proyectivo. La orientación de los lados es compatible con un orden único de los vértices de cada simplex y este orden determina los mapas σ α. Una consecuencia de (3) es que X se puede construir como un espacio cociente de una colección de simplices disjuntos α n, uno por cada σ α : Δ n X. El espacio cociente se obtiene identificando cada cara de α n con β n 1 correspondiente a la restricción σ β de σ α, como en la condición (2). Podemos pensar en construir el espacio cociente de manera inductiva empezando con un conjunto discreto de vértices, luego adjuntamos los lados a estos para producir un gráfico, a continuación adjuntamos 2-simplices al gráfico y así sucesivamente. Más general, un Δ-complex puede ser construido a partir de una colección de simplices disjuntos identificando varios subsimplices generados por subconjuntos de vértices, donde las identificaciones se llevan a cabo usando el homomorfismo canónico lineal que preserva el orden de los vértices 15

17 Pensando en un Δ-complex X como un espacio cociente de una colección de simplices no es difícil ver que X es Hausdorff. Entonces la condición (3) implica que cada restricción σ α Δ n es un homeomorfismo en su imagen, que es así, un simplex abierto en X. 2.3 GRUPOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL Ahora nuestro objetivo es definir los grupos de homología simplicial de un Δ-complex X. n Sea n X el grupo abeliano libre con base los n-simplices abiertos e α de X. Los elementos de n, llamados n-cadenas, se pueden escribir como sumas finitas formales n α n α e α con coeficientes n α Z. Tal suma se puede pensar como una colección finita, o "cadena", de n-simplices en X con multiplicidades enteras, los coeficientes n α. La frontera de un n-simplex v 0,, v n consiste en los varios simplices (n-1)- dimensionales v 0,, v i,, v n donde v i indica que este vértice se elimina de la sucesión v 0,, v n. En términos de cadenas, nos gustaría decir que la frontera de v 0,, v n es la (n-1)-cadena formada por la suma de las caras v 0,, v i,, v n. Sin embargo, resulta ser mejor insertar ciertos signos y considerar i 1 i v 0,, v i,, v n como la frontera de v 0,, v n. Los signos se introducen para tener en cuenta la orientación así todas las caras del simplex están coherentemente orientadas, como se indica en la siguiente figura: DEFINICION 2.3.1: Dado un Δ-complex X definimos el homomorfismo frontera n : n X n 1 X especificando su valor en elementos de la base: n σ α = i 1 i σ α v 0,, v i,, v n. 16

18 Nótese que el lado derecho de esta ecuación se encuentra en n 1 X ya que cada restricción σ α v 0,, v i,, v n es el mapa característico de un (n-1)-simplex de X. Ahora probamos el resultado fundamental sobre los homomorfismos frontera: LEMA 2.3.2: La composición n X n n 1 X n 1 n 2 X es cero. Demostración: Por definición n σ α = i 1 i σ α v 0,, v i,, v n y, por tanto, n 1 n σ = j <i 1 i 1 j σ v 0,, v j,, v i,, v n i 1 j 1 σ v 0,, v i,, v j,, v n i<j Las últimas dos sumatorias se cancelan ya que después de intercambiar i con j en la segunda suma, se convierte en la negativa de la primera. La situación algebraica que tenemos es una sucesión de homomorfismos de grupos abelianos C n+1 n +1 C n n C 1 1 C donde n n+1 = 0 para cada n. Dicha sucesión se llama complejo de cadenas. Nótese que hemos ampliado la sucesión con un 0 en el extremo derecho con 0 = 0. La ecuación n n+1 = 0 es equivalente a la inclusión Im n+1 Ker n, donde Im y Ker denotan la imagen y el núcleo respectivamente. DEFINICION 2.3.3: Se define el n-ésimo grupo de homología asociado a un complejo de cadenas como el grupo cociente H n = Ker n Im n+1. Usamos la notación Z n X = Ker n y B n X = Im n+1 por lo que H n X = Z n X B n X. Los elementos de Z n X se llaman ciclos y los de B n X se llaman fronteras. Los elementos de H n son coclases de Im n+1 llamadas clases de homología. Dos ciclos que representan la misma clase de homología se dicen homólogos. Esto significa que su diferencia es una frontera. En el caso en que C n X = n X, el grupo de homología Z n X B n X se denotará H n Δ X y se llamará n-ésimo grupo de homología simplicial de X. 17

19 Ejemplo 1: X = S 1, con un vértice v y un lado e. Entonces 0 S 1 y 1 S 1 son ambos Z y el homomorfismo frontera 1 es cero ya que e = v v. Los grupos n S 1 son 0 para n 2 pues no hay simplices en esas dimensiones. Así, H n S 1 Z, si n = 0, 1; 0, si n 2. Esta es una ilustración del hecho general de que si los mapas fronteras en un complejo de cadenas son todos cero, entonces los grupos de homología del complejo son isomorfos al grupo cadena mismo. Ejemplo 2: X = T, el Toro, con una estructura Δ-complex dada por un vértice v, tres lados a,b y c y dos 2-simplices U y L. Como en el ejemplo anterior 1 = 0 por lo que H 0 T Z. Dado que 2 U = a + b c = 2 L y a, b, a + b c es una base de 1 T, se sigue que H 1 T Z Z con base las clases de homología a y b. Como no hay 3-simplices, H 2 T = Ker 2, el cual está generado por U L ya que pu + ql = p + q a + b c = 0 solo si p = q. Así, Z Z, si n = 1; H n T Z, si n = 0, 2; 0, si n 3. 18

20 Ejemplo 3: X = RP 2, con una estructura Δ-complex dada por dos vértices v y w, tres lados a, b y c y dos caras U y L. Puesto que Im 1 es generado por w v entonces H 0 RP 2 Z. Como 2 U = a + b + c y 2 L = a b + c vemos que 2 es inyectiva y además no tenemos simplices en dimensión 3 por lo que H 2 RP 2 0. Por último, Ker 1 Z Z con base a b + c y c e Im 2 está generado por 2c = a + b + c + a b + c y a b + c, entonces H 1 RP 2 Z 2. Así, Z, si n = 0; H n RP 2 Z 2, si n = 1; 0, si n 2. Ejemplo 4: X = S 2, con tres vértices u, v y w, tres lados a, b y c y dos 2-simplices U y L como muestra la figura. Entonces 0 S 2 = 1 S 2 Z³. Dado que Ker ₁ está generado por c tenemos H 0 S 2 Z. Además, como 2 U = 2 L = c se sigue que H 1 S 2 0. Finalmente, como no hay 3-simplices, H 2 S 2 = Ker ₂ el cual está generado por U L. Así, H n S 2 Z, si n = 0, 2; 0, si n = 1 n 3. 19

21 Ejemplo 5: Calculemos los grupos de homología simplicial del "paracaídas triangular P", obtenido a partir de Δ² identificando sus tres vértices con un mismo punto. Tenemos una estructura delta con un vértice v, tres lados a,b y c y una cara U. Puesto que 1 = 0 tenemos que H 0 P = 0 P Z. Como ₂U = a + b c y 1 P =< a + b c, b, c > se sigue que H 1 P es abeliano libre con dos generadores. Por último, H 2 P 0 ya que ₂ es inyectiva y no tenemos simplices de dimensión 3. Así, H n P Z, si n = 0; Z Z, si n = 1; 0, si n 2. Muchos ejemplos similares podrían ser elaborados sin muchos problemas. Sin embargo, los cálculos tienden a aumentar en complejidad, en particular para los complejos de mayor dimensión. 2.4 ESTRUCTURAS SIMPLICIAL Y DELTA Tradicionalmente, la homología simplicial se define para complejos simpliciales, que son los complejos cuyos simplices son determinados únicamente por sus vértices. Esto equivale a decir que cada n-simplex tiene n + 1 vértices distintos, y que ningún otro nsimplex tiene este mismo conjunto de vértices. Así, un complejo simplicial puede ser descripto de manera combinatoria como un conjunto X₀ de vértices junto con conjuntos X n de n-simplices, que son subconjuntos de (n + 1) elementos de X₀. El único requisito es que cada subconjunto de (k + 1) elementos de los vértices de un n-simplex en X n, es un k-simplex en X k. A partir de esta estructura combinatoria podemos construir un - complex X una vez elijamos un orden parcial de los vértices X₀. La idea es descomponer el espacio en simplices permitiendo que diferentes caras de los mismos coincidan, 20

22 eliminando así el requerimiento que los simplices están determinados de manera única por sus vértices. Además se puede probar que todo -complex se puede subdividir para ser un complejo simplicial. En particular, todo complejo es homeomorfo a un complejo simplicial. Comparados con los complejos simpliciales, los complejos tienen la ventaja de cálculos más sencillos ya que se requieren menos simplices. Por ejemplo vimos que si se toma la imagen del toro como un cuadrado con bordes opuestos identificados y se divide el cuadrado en dos triángulos cortándolo por la diagonal, entonces el resultado es una estructura sobre el toro que consta de 2 triángulos, 3 aristas y 1 vértice. Por el contrario, una estructura simplicial sobre el toro debe tener por lo menos 14 triángulos, 21 aristas y 7 vértices. Así, los -complex proporcionan una mejora significativa en cuanto a eficiencia ya que reducen de manera significativa los cálculos. Puesto que algunos de los espacios que estudiamos en la sección previa se obtienen como cociente de un cuadrado identificando sus caras en algún patrón, mostraremos como obtener una estructura en el cociente a partir de una descomposición simplicial del cuadrado. Para obtener una estructura simplicial en el cuadrado, sólo debemos dividirlo por la diagonal. Para poder obtener una estructura en el cociente será importante elegir el orden de los vértices de manera tal que los simplices queden orientados como indican las flechas de las identificaciones. La siguiente figura muestra una estructura sobre el toro y el plano proyectivo junto con su descomposición simplicial, y mostramos el orden de los vértices elegido para que los simplices queden correctamente orientados: 21

23 Estamos interesados en calcular la homología simplicial de algunas variedades compactas de dimensión 3 obtenidas como cociente de un cubo, por lo que utilizaremos este mismo procedimiento para determinar una estructura sobre el cociente del cubo a partir de una descomposición simplicial del mismo. Una razón fundamental para considerar complejos es que, desde el punto de vista de la topología algebraica, estos resultan ser objetos más naturales. Numerosas construcciones estándar producen -complex en lugar de complejos simpliciales. Surgen algunas preguntas generales obvias: son los grupos H n X independientes de la estructura Δ-complex elegida para X? En otras palabras, si dos Δ-complex son homeomorfos, tienen grupos de homología isomorfos? Más generalmente, tienen grupos de homología isomorfos si éstos no son más que homotópicamente equivalentes? Para responder estas preguntas y elaborar una teoría general es mejor dejar el reino simplicial e introducir los grupos de homología singular. Estos tienen la ventaja de que se definen para todos los espacios, no sólo para Δ-complex. Luego de desarrollar un poco de teoría mostraremos que los grupos de homología simplicial y singular coinciden para los Δ- complex. 22

24 CAPITULO III 3. HOMOLOGIA SINGULAR En este capítulo definiremos y comenzaremos el estudio de los grupos de homología singular de un espacio topológico. Estos grupos dependerán del modo en que es posible ensamblar los simplices de cada dimensión para formar ciclos y fronteras. Un n-simplex singular en un espacio topológico X es una aplicación continua σ: n X. Sea C n X el grupo abeliano libre que tiene por base al conjunto de todos los n-simplices singulares en X. Los elementos de C n X, llamados n-cadenas singulares, son sumas finitas formales i σ i n i con n i Z y σ i : n X. Definimos el homomorfismo frontera como n σ = i 1 i σ v 0,, v i,, v n En esta fórmula está implícito la identificación canónica de v 0,, v i,, v n con n 1 preservando el orden de los vértices por lo que σ v 0,, v i,, v n es considerado como un mapa n 1 X, es decir, un (n 1)-simplex singular. La prueba del Lema se aplica igualmente a simplices singulares por lo que n n+1 = 0. Por lo tanto definimos el n-ésimo grupo de homología singular como H n X = Ker n Im n+1. Es evidente de la definición que espacios homeomorfos tienen grupos de homología singular H n isomorfos, en contraste con la situación de H n. Por otro lado, como los grupos C n X son demasiado grandes (generalmente el número de n-simplices singulares es no numerable) no es del todo claro que H n X sea finitamente generado para todo n, o que H n X sea cero para n mayor que la dimensión de X, dos propiedades que son triviales para H n X Aunque la homología singular parece mucho más general que la homología simplicial ésta puede ser considerada como un caso especial de homología simplicial por medio de la siguiente construcción: dado un espacio X definimos el "complejo singular" S(X) como el Δ-complex con un n-simplex σ n por cada n-simplex singular σ: n X con σ n pegados de manera obvia a los (n 1)-simplices de S X. Los (n 1)-simplices son la restricción de σ a los diversos (n 1)-simplices en n. Es claro de la definición que H n S(X) 23

25 coincide con H n X para todo n, y en este sentido los grupos de homología singular H n X son un caso especial de los grupos de homología simplicial. Uno puede considerar S(X) como un modelo Δ-complex para X, aunque por lo general es un objeto mucho más grande comparado con X. Después de estas observaciones preliminares veamos los primeros resultados que se pueden probar sobre la homología singular. PROPOSICION 3.1: Sea X espacio topológico tal que X = arcoconexas. Entonces H n X α H n X α. α X α con X α componentes Demostración: Sea σ un n-simplex. n es arcoconexo pues en particular es convexo. Como la imagen continua de arcoconexo es arcoconexo, tenemos que σ manda n en una de las componentes arcoconexa de X, entonces σ resulta ser un n-simplex singular en alguna de las componentes arcoconexas de X. Veamos primero que C n X α C n X α. Por linealidad, se induce un homomorfismo f: C n X α C n X α, donde mandamos cada σ a operar en su clase, esto es, si c C n X, ordenamos los simplex de la composición de c de manera que c = i c i, donde los simplex de la descomposición de c i operan sobre la componente X i para cada i respectivamente. Probemos que f es inyectiva. Sea f(c) = 0, entonces c opera de manera nula sobre cada componente, es decir c = i c i, donde c i es un n-simplex en X i y además c i = 0. De esta forma c = i 0 = 0 por lo que f es inyectiva. Probaremos ahora que f es suprayectiva. Sea c α C n X α, entonces c = α c α con c α C n X α todas iguales a 0 salvo un número finito. Entonces c = f( c i ) por lo tanto f es sobreyectiva. Nótese que la primera suma es la de la suma directa y la segunda la de la definición de C n X. Con esto f es un isomorfismo y en efecto tenemos C n X α C n X α. Queremos ver que H n X α H n X α por lo que definimos un homomorfismo φ: H n X α H n X α Si σ: n X α es un n-simplex en X que opera sobre la componente X α, cada una de las caras de σ opera sobre la misma componente, por lo que la frontera opera componente a componente. Sea B n X + c H n X, entonces c se descompone como c = α c α y podemos definir 24

26 φ(b n X + α c α ) = B n X α + c α α. Veamos que está bien definida. Sean a + B n X = b + B n X entonces a b = d con d C n+1 X Descomponemos a, b y d en las cadenas que operan en cada componente. Lo que tenemos es a = i a i b = i b i d = Como f es inyectiva tenemos a i b i = d i para cada i. De esta forma i d i. a i + B n X i = b i + B n X i pues difieren en una frontera en X i. Con esto φ está bien definida. Probemos que φ es inyectiva. Sea c + B n X Ker φ, queremos ver que c = 0. Como φ c + B n X = 0 tenemos c i + B n X i = 0. Por lo tanto c i = d i con d i C n+1 X i todos iguales a cero, salvo un número finito, por lo que d = d i C n+1 X i y c = d. Con esto tenemos que c + B n = B n (la clase del cero) y por lo tanto φ es inyectiva. Probaremos que φ es suprayectiva. Si tenemos p = c i + B n X i, p α H n X α de aquí c = c i Z n X y φ c + B n X = p. Con esto φ es suprayectiva. De esta manera hemos probado que φ es biyectiva y por lo tanto es un isomorfismo. En particular la proposición anterior reduce cualquier cálculo de grupos de homología al caso de espacios arcoconexos. PROPOSICION 3.2: Sea X espacio topológico arcoconexo. Entonces H₀(X) Z. Por lo tanto, para todo espacio X, H₀(X) es suma directa de Z una por cada componente arcoconexa de X. Demostración: Por definición H₀(X) = C₀(X) / Im ₁ ya que ₀ = 0. Definimos un homomorfismo ε: C₀(X) Z por ε i n i σ i = i n i. Si X es no vacío, ε es epimorfismo. Afirmamos que si X es arcoconexo entonces Ker ε = Im ₁ por lo que ε induce un isomorfismo H₀(X) Z. Para verificar la afirmación vemos primero que para un 1-simplex singular σ: 1 X tenemos ε ₁(σ) = ε(σ [v₁] σ [v₀]) = 1 1 = 0 así, Im ₁ Ker ε. Para la inclusión en el sentido inverso supongamos ε i n i σ i = 0 por lo que i n i = 0. Los σ i 25

27 son 0-simplices singulares que son simplemente los puntos de X. Consideremos curvas τ i : I X desde un punto base x₀, imagen de un 0-simplex σ₀, hasta cada punto σ i. Podemos pensar en τ i como un 1-simplex singular, entonces tenemos τ i = σ i σ 0. Por lo tanto i n i τ i = i n i σ i i n i σ 0 = i n i σ i pues i n i = 0. Así, i n i σ i es una frontera lo que muestra que Ker ε Im ₁. Para terminar, calculamos los grupos de homología de un espacio X = {x} formado por un único punto. Ya sabemos que H₀(X) Z. La siguiente proposición se ocupa de las demás dimensiones. PROPOSICION 3.3: Sea X = {x} un espacio topológico formado por un punto. Entonces H n X = 0 para todo n > 0. Demostración: Para n > 0 existe un único n-simplex singular σ n : Δ n X, la función constante. Entonces σ n = 1 i i σ n 1. De este modo σ n = 0, σ n 1, si n es impar; si n es par. Por consiguiente, si n es impar Ker n = Im n+1 = C n X mientras que si n es par entonces Ker n = Im n+1 = 0. En ambos casos H n X = 0. A menudo es conveniente disponer de una versión ligeramente modificada de homología para la cual los grupos de homología de un punto sean triviales en todas las dimensiones, incluyendo el cero. Esto se consigue definiendo los grupos de homología reducida H n X como los grupos de homología del complejo de cadenas aumentado C₂(X) 2 C₁(X) 1 C₀(X) ε Z 0 donde ε Σ i n i σ i = Σ i n i. Puesto que ε 1 = 0 entonces Im 1 Ker ε y por lo tanto induce un homomorfismo ε : H₀(X) Z cuyo núcleo es H₀(X). Así, H₀(X) H₀(X) Z y H n (X) H n (X) para n > 0. Formalmente uno puede pensar en la Z extra como generada por la función única X donde [ ] es el simplex vacío, sin vértices. La función ε es el homomorfismo frontera usual ya que [v₀] = [v₀] = [ ]. 26

28 3.1 INVARIANZA HOMOTOPICA En esta sección probaremos que dos espacios homotópicos tienen grupos de homología isomorfos. Esto se hará mostrando que una función continua f: X Y induce un homomorfismo f : H n (X) H n (Y) para cada n, y f será isomorfismo si X e Y son espacios homotópicos. Para una función continua f: X Y definimos un homomorfismo inducido f : C n (X) C n (Y) por medio de la composición de cada n-simplex singular σ: Δ n X con f para obtener un n-simplex singular f (σ) = fσ: Δ n Y. Luego extendemos f de manera lineal por medio de f ( i n i σ i ) = i n i f σ i f = f ya que = i n i fσ i. Las funciones f : C n (X) C n (Y) verifican que f (σ) = f 1 i σ v 0,, v i,, v n = Así, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: i = 1 i fσ v 0,, v i,, v n = f (σ). i C n+1 X C n X C n 1 (X) f f f C n+1 Y C n Y C n 1 (Y) El hecho de que las funciones f : C n (X) C n (Y) satisfacen f = f también se expresa diciendo que las f definen un homomorfismo de complejos desde el complejo de cadenas de X al de Y. La relación f = f implica que f lleva ciclos a ciclos ya que α = 0 implica que (f α) = f ( α) = 0. También f lleva fronteras a fronteras pues f ( β) = (f β). Por lo tanto f induce un homomorfismo f : H n (X) H n (Y). La propiedad que acabamos de probar es la siguiente. PROPOSICION 3.1.1: Un homomorfismo de complejos entre complejos de cadenas induce homomorfismos entre los grupos de homología de los dos complejos. 27

29 Dos propiedades básicas de los homomorfismos inducidos que son importantes a pesar de ser triviales son las siguientes: 1. fg = f g para la composición de mapas X g Y f Z. Esto se deriva de la asosiatividad de la composición Δ n σ X g Y f Z. 2. I = I donde I denota la función identidad de un espacio o grupo. Menos evidente, tenemos el siguiente resultado. TEOREMA 3.1.2: Sean f, g: X Y dos funciones homotópicas. Entonces inducen el mismo homomorfismo f = g : H n (X) H n (Y). Demostración: En primer lugar probaremos que el producto Δ n I puede ser subdividido en (n + 1)-simplices. La figura muestra el caso n = 1,2. En Δ n I, sea Δ n {0} = [v₀,, v n ] y Δ n {1} = [w₀,, w n ] donde v i y w i tienen la misma imagen bajo la proyección Δ n I Δ n. El n-simplex [v₀,, v i, w i+1,, w n ] es el gráfico de la función lineal φ i : Δ n I definida en coordenadas baricéntricas por φ i (t₀,, t n ) = t i t n ya que los vértices del simplex [v₀,, v i, w i+1,, w n ] están en el gráfico de φ i y el simplex se proyecta de manera homeomorfa sobre Δ n bajo la proyección Δ n I Δ n. El gráfico de φ i se encuentra por debajo del gráfico de φ i 1 ya que φ i φ i 1, y la región entre estos dos gráficos es el simplex [v₀,, v i, w i,, w n ], un verdadero (n + 1)-simplex ya que w i no se encuentra en el gráfico de φ i y por lo tanto no está en el n-simplex [v₀,, v i, w i+1,, w n ]. De la cadena de desigualdades 0 = φ n φ n 1 φ₀ φ ₁ = 1 deducimos que Δ n I es la unión de los (n + 1)-simplices [v₀,, v i, w i,, w n ], cada uno cortando al siguiente en una cara. Sea F: X I Y una homotopía de f a g. Definimos los operadores prisma P: C n (X) C n+1 (Y) 28

30 mediante la formula P(σ) = 1 i F (σ Id) [v₀,, v i, w i,, w n ] i para σ: Δ n X, donde F (σ Id) es la composición Δ n I X I Y. Probaremos que los operadores prismas satisfacen la siguiente relación: P = g f P. Para ello calculamos P(σ) = 1 i 1 j F (σ Id) [v₀,, v j,, v i, w i,, w n ] + j i + ( 1) i 1 j +1 F (σ Id) [v₀,, v i, w i,, w j,, w n ]. j i Los términos con i = j en las dos sumas se cancelan excepto para F (σ Id) [v₀, w₀,, w n ] el cual da g σ = g (σ) y F (σ Id) [v₀,, v n, w n ] el cual es f σ = f (σ). Los términos con i j son exactamente P (σ) ya que P (σ) = 1 i 1 j F (σ Id) [v₀,, v i, w i,, w j,, w n ] + i<j + 1 i 1 1 j F (σ Id) [v₀,, v j,, v i, w i,, w n ]. i>j Para finalizar la prueba del teorema sea α C n (X) un ciclo, entonces tenemos que g (α) f (α) = P(α) + P (α) = P(α) ya que (α) = 0. Así, g (α) f (α) es una frontera, por lo que g (α) y f (α) determinan la misma clase de homología lo que significa que g = f en la clase de homología de α. COROLARIO 3.1.3: Los grupos de homología son invariantes homotópicos. Esto es, si X es homotópico a Y, entonces H n (X) H n (Y). De esta forma, como ya hemos calculado la homología de un punto, ésta resulta ser la homología de cualquier espacio contráctil, en particular R n. 29

31 También podemos considerar homomorfismos inducidos f : H n (X) H n (Y) para los grupos de homología reducida ya que f ε = εf. Las propiedades de los homomorfismos inducidos que hemos probado se preservan para la homología reducida con las mismas demostraciones. 3.2 SUCESIONES EXACTAS Dado un par de espacios (X, A) llamaremos X / A al espacio cociente que resulta de identificar todos los puntos de A a un sólo punto x₀ X, es decir, al cociente respecto de la relación dada por x, y X, x y x = y x, y A. Sería bueno si siempre existiese una relación entre los grupos de homología de un espacio X, un subespacio A y el espacio cociente X / A. Tal vez la relación más simple posible sería si H n (A) fuese un subgrupo de H n (X) y el grupo cociente H n X / H n (A) fuese isomorfo a H n (X / A). Si bien esto ocurre en algunos casos, no es cierto en general ya que de serlo toda la teoría de homología se derrumbaría totalmente pues todo espacio X puede ser considerado como un subespacio del cono CX = (X I) / (X {0}) el cual es contráctil por lo que tiene grupos de homología triviales. Para poder formular la relación que estamos buscando necesitamos una definición algebraica que es muy importante para la topología algebraica. DEFINICION 3.2.1: Una sucesión de homomorfismos de grupos (abelianos) A n+1 α n +1 A n α n A n 1 se dice exacta si Ker α n = Im α n+1 para cada n. La inclusión Im α n+1 Ker α n es equivalente a α n α n+1 = 0, por lo que la sucesión es un complejo de cadenas, y la inclusión opuesta Ker α n Im n+1 dice que los grupos de homología del complejo de cadenas son triviales. 30

32 Observaciones: 1. 0 A α B es exacta sii Ker α = 0, es decir, α es inyectiva. 2. A α B 0 es exacta sii Im α = B, es decir, α es sobreyectiva A α B 0 es exacta sii α es isomorfismo, por (1) y (2) A α B β C 0 es exacta sii α es inyectiva, β es sobreyectiva y Ker β = Im α, por lo que β induce un isomorfismo C B / Im α. Podemos escribir C B / A si pensamos en α como una inclusión de A como un subgrupo de B. Las sucesiones exactas de la forma 0 A B C 0 como en (4) se llaman sucesiones exactas cortas. Las sucesiones exactas infinitas (por ambos lados) se llaman sucesiones exactas largas. Las sucesiones exactas proporcionan la herramienta adecuada para relacionar la homología de un espacio, un subespacio y el correspondiente espacio cociente. TEOREMA 3.2.2: Sean X un espacio topológico y A un subespacio no vacío, cerrado y que es un retracto por deformación de un entorno en X. Entonces existe una sucesión exacta H n (A) H n (X) H n (X / A) H n 1 (A) H n 1 (X) H 0 (X / A) 0 donde i es la inclusión A X y j es la proyección al cociente X X / A. El mapa será construido a lo largo de la prueba y se conoce con el nombre de homomorfismo de enlace. Pares de espacios (X, A) que satisfacen la hipótesis del teorema se denominan pares buenos. COROLARIO 3.2.3: H n (S n ) Z y H i (S n ) = 0 para i n. Demostración: Para n > 0 tomemos (X, A) = (D n, S n 1 ) por lo que X / A = S n. Los términos H i (D n ) en la sucesión exacta larga para este par son cero ya que D n es contráctil. La exactitud de la sucesión implica entonces que H i (S n ) H i 1 (S n 1 ) son isomorfismos para i > 0 y que H 0 S n = 0. El resultado sigue ahora por inducción sobre n, comenzando con el caso S 0 donde el resultado vale por Proposición 3.1 y

33 En lugar de considerar sucesiones exactas de grupos de homología para pares buenos vamos a construir una sucesión exacta más general que vale para pares arbitrarios (X, A) pero remplazando los grupos de homología del espacio cociente X / A por grupos de homología relativa que denotamos H n (X, A). HOMOLOGIA RELATIVA En ocasiones ocurre que ignorando cierta cantidad de información o estructura uno puede obtener una teoría más flexible y simple la cual, casi paradójicamente, puede dar resultados que no pueden obtenerse fácilmente en el conjunto original. Un ejemplo de este hecho es la aritmética módulo n, donde uno ignora los múltiplos de n. La homología relativa es otro ejemplo. En este caso lo que ignoramos son todas las cadenas singulares en un subespacio del espacio dado. Los grupos de homología relativa se construyen de la siguiente manera: dado un espacio X y un subespacio A X, sea C n X, A = C n (X)/C n (A). Así, las cadenas en A son triviales en C n X, A. Ya que el homomorfismo frontera : C n (X) C n 1 (X) lleva C n (A) a C n 1 (A), induce un homomorfismo frontera cociente : C n X, A C n 1 X, A. Haciendo variar n obtenemos una sucesión de homomorfismos fronteras C n X, A C n 1 X, A La relación ² = 0 se mantiene para estos homomorfismos fronteras ya que vale antes de pasar al cociente. Por lo tanto tenemos un complejo de cadenas y los grupos de homología Ker / Im son por definición los grupos de homología relativa H n (X, A). Tenemos que H n (X, ) = H n (X), con lo que la homología relativa generaliza a la absoluta. Observaciones: Los elementos de H n (X, A) son ciclos relativos: n-cadenas α C n (X) tales que α C n 1 (A). Un ciclo relativo α es trivial en H n (X, A) sii α es una frontera relativa: α = β + γ para algún β C n+1 (X) y γ C n (A). Estas propiedades hacen precisa la idea de que H n (X, A) es "homología de X módulo A. 32

34 Ahora nuestro objetivo es mostrar que los grupos de homología relativa H n (X, A) para cualquier par (X, A) pueden encajar en una sucesión exacta larga H n (A) H n (X) H n (X, A) H n 1 (A) H n 1 (X) H₀(X, A) 0. Esta será una cuestión de álgebra. Para iniciar el proceso consideremos el diagrama i j C n (X, A) 0 0 C n A C n X i 0 C n 1 A C n 1 X j C n 1(X, A) 0 donde i es la inclusión y j es la proyección al cociente. El diagrama es conmutativo por la definición de homomorfismos frontera. Haciendo variar n y dibujando esta sucesión exacta corta de manera vertical, tenemos un diagrama conmutativo largo 0 A n+1 i B n+1 j C n A n i B n j C n 0 0 A n 1 i B n 1 j C n 1 0 donde las columnas son exactas y las filas son complejos de cadenas que denotamos A, B y C respectivamente. Un diagrama de esta forma se denomina sucesión exacta corta de complejos de cadenas. Mostraremos que cuando pasamos a grupos de homología esta sucesión exacta corta de complejos se extiende en una sucesión exacta larga de grupos de homología H n (A) i H n (B) j H n (C) H n 1 (A) i H n 1 (B) donde H n (A) denota el grupo de homología del complejo de cadenas A, H n (B) y H n (C) se definen de manera similar. La conmutatividad de los cuadrados en la sucesión exacta corta de complejos significa que i y j son morfismos de complejos. Así, inducen morfismos i y j en homología. Para definir el homomorfismo frontera : H n (C) H n 1 (A), sea c C n un ciclo. Puesto que j es sobre, c = j(b) para algún b B n. El elemento b B n 1 está en Ker j ya que j( b) = j(b) = c = 0. Por lo tanto b = i(a) para algún a A n 1 ya que Ker j = 33

35 = Im i. Observemos que a = 0 ya que i( a) = i(a) = b = 0 e i es inyectiva. Definimos : H n (C) H n 1 (A) mandando la clase de homología de c a la clase de homología de a, [c] = [a]. Esta está bien definida ya que: El elemento a está determinado de manera única por b ya que i es inyectiva. Si elegimos un b diferente de b tendríamos j(b ) = j(b) por lo que b b Ker j = Im i. Así, b b = i(a ) para algún a y de aquí que b = b + i(a ). El efecto de reemplazar b por b + i(a ) es cambiar a al elemento homólogo a + a ya que i(a + a ) = i(a) + i( a ) = b + i(a ) = (b + i(a )) = b. Una elección diferente de c en su clase de homología es de la forma c + c. Como c = j(b ) para algún b tenemos que c + c = c + j(b ) = c + j (b ) = j(b + b ) por lo que b es reemplazado por b + b lo que deja b y también a sin cambios. La función : H n (C) H n 1 (A) es homomorfismo ya que si [c₁] = [a₁] y [c₂] = [a₂] vía elementos b₁ y b₂ como antes, entonces j(b₁ + b₂) = j(b₁) + j(b₂) = c₁ + c₂ y i(a₁ + a₂) = i(a₁) + i(a₂) = b₁ + b₂ = (b₁ + b₂) por lo que ([c₁] + [c₂]) = [a₁] + [a₂]. TEOREMA 3.2.4: La sucesión de grupos de homología es exacta. H n (A) i H n (B) j H n (C) H n 1 (A) i H n 1 (B) Demostración: Tenemos que verificar seis inclusiones: Im i Ker j. Se deduce de inmediato ya que ji = 0 implica que j i = 0. Im j Ker. Tenemos j = 0 ya que en este caso b = 0 en la definición de. Im Ker i. Aquí, i = 0 ya que i lleva [c] a [ b] = 0. Ker j Im i. Una clase de homología en Ker j es representada por un ciclo b B n con j(b) una frontera, por lo que j(b) = c para algún c C n+1. Como j es sobreyectiva, c = j(b ) para algún b B n+1. Tenemos j(b b ) = j(b) j( b ) = j(b) j(b ) = 0 ya que j(b ) = c = j(b). Así, b b = i(a) para algún a A n. Este a es un ciclo ya que i( a) = i(a) = (b b ) = b = 0 e i 34

36 es inyectiva. Por lo tanto i [a] = [b b ] = [b], mostrando que i mapea sobre Ker j. Ker Im j. En la notación usada en la definición de, si c representa una clase de homología en Ker, entonces a = a para algún a A n. El elemento b i(a ) es un ciclo ya que b i a = b i a = b i a = b i(a) = 0. Además, j(b i(a )) = j(b) ji(a ) = j(b) = c por lo que j mapea [b i(a )] a [c]. Ker i Im. Dado un ciclo a A n 1 tal que i(a) = b para algún b B n, entonces j(b) es un ciclo ya que j(b) = j( b) = ji(a) = 0, y lleva [j(b)] a [a]. El teorema algebraico precedente nos da una sucesión exacta larga de grupos de homología: H n (A) i H n (X) j H n (X, A) H n 1 (A) i H n 1 (X) H₀(X, A) 0. El homomorfismo frontera : H n (X, A) H n 1 (A) tiene una descripción muy simple: si una clase [α] H n (X, A) es representada por un ciclo relativo α, entonces [α] es la clase del ciclo α en H n 1 (A). Esto es inmediato de la definición algebraica de homomorfismo frontera en la sucesión exacta larga de grupos de homología asociada a una sucesión exacta corta de complejo de cadenas. Esta sucesión exacta larga hace precisa la idea de que los grupos H n X, A miden la diferencia entre los grupos H n X y H n A. En particular la exactitud implica que si H n X, A = 0 para todo n, entonces la inclusión A X induce isomorfismos H n (A) H n (X) para todo n por la observación 3) que sigue a la definición de exactitud. Existe una sucesión exacta larga de grupos de homología reducida completamente análoga para el par (X, A) con A. Esto proviene de aplicar la maquinaria algebraica precedente a la sucesión exacta corta de complejo de cadenas formada por la sucesión exacta corta 0 C n (A) C n (X) C n (X, A) 0 en dimensiones no negativas, aumentada por la sucesión exacta corta 0 Z Id Z 0 0 en dimensión -1. En particular esto significa que H n (X, A) es lo mismo que H n (X, A) para todo n, cuando A. 35

37 Ejemplo1: Consideremos el espacio X =]0,3[ y el subespacio A = 0,1 2,3. Vamos a estudiar la sucesión de homología del par X, A. Consideremos la homología reducida. La Proposición 3.1 nos reduce la homología de A a la de sus componentes arcoconexas, que es trivial porque ambas son contráctil. Así pues, H n A = 0 salvo si n = 0, en cuyo caso la Proposición 3.2 y la definición de homología reducida nos da H 0 A Z. Una base de H 0 A es b a donde a ]0,1[ y b ]2,3[. Por otra parte, los grupos de homología de X son todos triviales porque es contráctil. Para n > 1 la sucesión de homología del par es 0 = H n (X) H n (X, A) H n 1 A = 0 de donde se sigue que H n X, A = 0. Sin embargo, para n = 0 tenemos 0 = H₁(X) H₁(X, A) H₀(A) H₀(X) = 0 H₀(X, A) 0. Esto significa que es un isomorfismo y además H₀(X, A) = 0. Así, obtenemos H n (X, A) = 0, si n = 0; Z, si n = 1; 0, si n > 1. Ejemplo 2: En la sucesión exacta larga de grupos de homología reducida para el par (D n, D n ) las funciones H i D n, D n H i 1 (S n 1 ) son isomorfismos para todo i > 0 ya que los términos restantes H i (D n ) son cero para todo i. Así, obtenemos H i (D n, D n ) Z, si i = n; 0, en otro caso. Ejemplo 3: Aplicando la sucesión exacta larga de grupos de homología reducida al par (X, x₀) con x₀ X obtenemos isomorfismos H n (X, x₀) H n (X) para todo n ya que H n (x₀) = 0 para todo n. Ejemplo 4: Mostremos que H₀(X, A) = 0 si y sólo si cada componente arcoconexa de X tiene intersección no vacía con A. 36

38 ) Supongamos que para toda componente arcoconexa de X, existe un a A en esa componente. Queremos probar que C₁(X, A) 1 C₀(X, A) es sobreyectiva. Sin pérdida de generalidad podemos suponer X arcoconexo. Consideremos el diagrama 1 C 1 X C 0 X j 1 j 0 C₁(X, A) 1 C₀(X, A) de donde sigue que probar ₁ sobre es equivalente a probar j₀ ₁ sobre. Sea entonces x C₀(X, A). Llamemos σ₁ a la curva que comienza en a y termina en x (que existe por ser X arcoconexo). Tenemos que j₀ ₁(σ₁) = j₀(x a) = x por lo que ₁ es sobre. Así, H₀(X, A) = C₀(X, A) / Im ₁ = 0. ) Supongamos que A X λ0 = con X λ0 componente arcoconexa de X. Queremos probar que H₀(X, A) 0, es decir, C₁(X, A) 1 C₀(X, A) no es sobre. Sabemos que C₁(X, A) = C 1 X λ C 1 X λ A 1 C 0 X λ C 0 X λ A = C₀(X, A). C 1 X λ0 λ λ0 C 1 X λ C 1 X λ A 1 C 0 X λ C 0 X λ0 λ λ0 C 0 X λ A. Recordemos además que la función ε: C 1 (X) Z definida por ε(σ i n i σ i ) = Σ i n i es tal que Ker ε = Im ₁ siempre que X sea arco-conexo. Así, el elemento x C₀(X λ0 ) es tal que ε(x) = 1 por lo que x Im ₁. Luego ₁ no es sobre por lo que H₀(X, A) 0 como queríamos mostrar. Ejemplo 5: Calculemos los grupos de homología H n (X, A) donde X = S 2 y A es un subconjunto finito de puntos. Supongamos que A tiene k puntos. Recordemos que H n (S 2 ) = 0 salvo para n = 0, 2 que da H n (S 2 ) Z. por otro lado los grupos de 37

39 homología de A son todos triviales salvo H₀(A) Z k. La sucesión exacta larga de grupos de homología para el par (S 2, A) es 0 H 3 S 2, A 0 Z H 2 S 2, A 0 0 H 1 S 2, A Z k Z H 0 S 2, A. Por lo demostrado en el ejemplo anterior tenemos H 0 S 2, A = 0; las observaciones 3 y 4 que siguen a la definición de sucesiones exactas nos dan H 1 S 2, A Z k 1 y H 2 S 2, A Z, finalmente H n S 2, A = 0 para todo n 3. Hay homomorfismos inducidos para la homología relativa como lo hay en el caso no relativo o "absoluto". Una función continua f: X Y con f(a) B o en forma abreviada f: (X, A) (Y, B) induce homomorfismos f : C n (X, A) C n (Y, B) ya que el morfismo de complejos f : C n (X) C n (Y) lleva C n (A) a C n (B), esto pues cada simplex en A composición f es un simplex en B. Por lo que tenemos una función bien definida en el cociente, f : C n (X, A) C n (Y, B). La relación f = f se mantiene para cadenas relativas ya que se preserva para cadenas absolutas. Por Proposición tenemos homomorfismos inducidos f : H n (X, A) H n (Y, B). PROPOSICION 3.2.5: Si dos funciones f, g: (X, A) (Y, B) son homotópicas, entonces f = g : H n (X, A) H n (Y, B). Demostración: El operador prisma P de la prueba del Teorema lleva C n A en C n+1 B por lo que induce un operador prisma P: C n (X, A) C n+1 (Y, B). Ya que sólo estamos pasando a grupos cocientes la relación P + P = g f permanece válida. Así, los mapas f y g inducen el mismo homomorfismo en los grupos de homología relativa. Una generalización sencilla de la sucesión exacta larga de un par (X, A) es la sucesión exacta larga de una terna (X, A, B) donde B A X: H n (A, B) H n (X, B) H n (X, A) H n 1 (A, B) Esta es la sucesión exacta larga de grupos de homología asociada a la sucesión exacta corta del complejo de cadena 0 C n (A, B) C n (X, B) C n (X, A) 0. 38

40 Por ejemplo, tomando B como un punto, la sucesión exacta larga de la terna (X, A, B) se transforma en la sucesión exacta larga de homología relativa para el par (X, A). 3.3 EQUIVALENCIA ENTRE HOMOLOGIA SIMPLICIAL Y SINGULAR Podemos usar los resultados precedentes para mostrar que los grupos de homología simplicial y singular de Δ-complex son isomorfos. Para la demostración será conveniente considerar el caso relativo, por lo que sea X un Δ-complex y A X un subcomplex. Así, A es el Δ-complex formado por la unión de simplices de X. Podemos definir los grupos relativos H n Δ (X, A) de la misma manera que para la homología singular, vía cadenas relativas Δ n X, A = Δ n X /Δ n (A) y esto produce una sucesión exacta larga de grupos de homología simplicial para el par (X, A) por el mismo argumento algebraico que para la homología singular. Hay un homomorfismo canónico H n Δ (X, A) H n (X, A) inducido por el morfismo de complejos Δ n X, A C n (X, A) mandando cada n-simplex de X a su mapa característico σ: Δ n X. La posibilidad A = no se excluye, en cuyo caso los grupos relativos se reducen a los grupos absolutos. TEOREMA 3.3.1: El homomorfismo H n Δ (X, A) H n (X, A) es isomorfismo para todo n y para todo par Δ-complex (X, A). Demostración: Primero probaremos para el caso X finito-dimensional y A =. Llamemos X k al k-esqueleto de X, formado por todos los simplices de dimensión k o menor. Tenemos el siguiente diagrama conmutativo de sucesiones exactas: H n+1 X k, X k 1 H n X k 1 H n X k H n X k, X k 1 H n 1 X k 1 H n+1 X k, X k 1 H n X k 1 H n X k H n X k, X k 1 H n 1 X k 1 Veamos que el primer y cuarto mapa vertical son isomorfismos para todo n. El grupo cadena simplicial Δ n (X k, X k 1 ) es trivial para n k, y es un grupo abeliano libre con base los k-simplices de X cuando n = k. Por lo tanto H n X k, X k 1 tiene la misma descripción. 39

41 Los correspondientes grupos de homología singular H n X k, X k 1 se pueden calcular considerando la función Φ: (Δ k α, Δ k α ) (X k, X k 1 ) α formada por el mapa característico Δ k X para todos los k-simplices de X. Puesto que Φ k k induce un homeomorfismo de espacios cocientes α α / α α X k /X k 1, induce isomorfismos en todos los grupos de homología singular. Así, H n (X k, X k 1 ) es cero para n k mientras que para n = k este grupo es abeliano libre con base representada por los ciclos relativos dados por los mapas característicos de todos los k-simplices de X, debido al hecho de que H k (Δ k, Δ k ) es generado por el mapa identidad Δ k Δ k. Por lo tanto la función H k X k, X k 1 H k X k, X k 1 es un isomorfismo. Por inducción sobre k podemos asumir que el segundo y quinto mapa vertical en el diagrama anterior también son isomorfismos. El siguiente lema algebraico básico implicará que el mapa vertical medio es un isomorfismo, completando la prueba para el caso X finito-dimensional y A =. PROPOSICION (LEMA DE LOS CINCO): Consideremos el siguiente diagrama conmutativo i j k A B C D l E α β γ δ ε A i B j C k D l E donde las filas son exactas. Si α, β, δ y ε son isomorfismos, entonces γ también lo es. Demostración: Es suficiente probar: 1. γ es sobeyectiva si β y δ son sobreyectivas y ε es inyectiva. 2. γ es inyectiva si β y δ son inyectivas y α es sobreyectiva. Para probar (1) tomemos un elemento c C. Entonces k (c ) = δ(d) para algún d D ya que δ es sobreyectiva. Puesto que ε es inyectiva y εl(d) = l δ(d) = l k (c ) = 0, deducimos que l(d) = 0 así, d = k(c) para algún c C por la exactitud de la primera fila. k manda la diferencia c γ(c) a 0 ya que k (c ) k γ(c) = k (c ) δk(c) = k (c ) δ(d) = 0. Por lo tanto c γ(c) = j (b ) para algún b B por exactitud. Como β es sobreyectiva, b = β(b) para algún b B y entonces γ(c + j(b)) = γ(c) + γj(b) = γ(c) + j β(b) = γ(c) + j (b ) = c, mostrando que γ es sobreyectiva. 40

42 Para probar (2), supongamos que γ(c) = 0. Como δ es inyectiva, δk(c) = k γ(c) = 0 implica k(c) = 0, por lo que c = j(b) para algún b B. El elemento β(b) satisface j β(b) = γj(b) = γ(c) = 0, por lo que β(b) = i (a ) para algún a A. Por ser α sobreyectiva, a = α(a) para algún a A. Como β es inyectiva, β i a b = βi a β(b) = i α(a) β(b) = i (a ) β(b) = 0 implica i(a) b = 0. Así, b = i(a) y por lo tanto c = j(b) = ji(a) = 0 ya que ji = 0. Esto muestra que γ tiene núcleo trivial. Regresando a la prueba del teorema veamos el caso X infinito-dimensional, donde usaremos el siguiente resultado: un subconjunto compacto de X puede cortar solo a un número finito de simplices abiertos de X. Pues, si un subconjunto compacto C corta un número infinito de simplices abiertos, este contendrá una sucesión de puntos x i cada uno perteneciente a un simplex abierto diferente. Entonces los conjuntos U i = X j i {x i }, que son abiertos pues su preimagen bajo los mapas característicos de todos los simplices son claramente abiertos, forman un cubrimiento abierto de C que no posee subcubrimiento finito. Esto puede aplicarse para mostrar que la función H n Δ (X) H n (X) es sobreyectiva. Sea z un n-ciclo singular perteneciente a H n (X). Este es una combinación lineal finita de simplices con imagen compacta, que cortan a un número finito de simplices abiertos de X, por lo tanto contenidos en X k para algún k. Hemos mostrado que H n Δ (X k ) H n (X k ) es un isomorfismo, en particular sobreyectiva, por lo que z es homólogo en X k (por lo tanto en X) a un ciclo simplicial. Esto nos da la sobreyectividad. La inyectividad es similar: si un n-ciclo simplicial z es frontera de una cadena singular en X, esta cadena tiene imagen compacta y por lo tanto debe estar en algún X k. Por lo tanto z representa un elemento del núcleo de H n Δ (X k ) H n (X k ). Sabemos que el mapa es inyectivo por lo que z es una frontera simplicial en X k y por lo tanto en X. Nos resta probar el caso X arbitrario con A, pero este sigue del caso absoluto aplicando el Lema de los Cinco al mapa canónico que va desde la sucesión exacta larga de grupos de homología simplicial para el par (X, A) hasta la sucesión exacta larga de grupos de homología singular correspondiente. Podemos deducir de este teorema que H n (X) es finitamente generado siempre que X sea un Δ-complex con un número finito de n-simplices, ya que en este caso el grupo cadena simplicial Δ n (X) es finitamente generado, por lo tanto también su subgrupo de ciclos y finalmente los grupos cocientes H n Δ (X). 41

43 CAPITULO IV 4. ALGUNAS VARIEDADES COMPACTAS DE DIMENSION 3 En este capítulo calcularemos la homología de ciertas variedades homogéneas compactas de dimensión 3. Recordemos que si G es un grupo de Lie y Γ es un subgrupo cerrado, entonces el conjunto de coclases a derecha Γ G admite una estructura de variedad diferenciable tal que la proyección canónica Π: G Γ G es C. Estas variedades reciben el nombre de variedades homogéneas (Warner, F.W 1971). Un caso particular de esta situación sucede cuando Γ es un subgrupo discreto de G. En este caso M = Γ G es una variedad de la misma dimensión de G. El ejemplo típico es cuando G = R n y Γ = Z n. En este caso Γ G es el toro de dimensión n. Nosotros estamos interesados en los grupos de Lie G = R R 2 donde la acción de R en R 2 está dada por un subgrupo monoparamétrico de transformaciones lineales. En otras palabras, la estructura de grupo de G está dada por t, v t, v = t + t, v + φ t v donde φ: R GL 2, R es un homomorfismo de grupos. Estos grupos no siempre contienen un subgrupo discreto. Sin embargo, nosotros consideraremos en este capítulo los siguientes dos casos, en los cuales G contiene un subgrupo discreto Γ tal que la variedad M = Γ G es compacta. PLATYCOSMS. En primer lugar analizaremos algunas variedades que son ejemplos particulares de variedades conocidas como Platycosms. Usamos el término Platycosm para designar a una variedad compacta plana tridimensional, localmente euclidiana, cerrada y sin frontera. El hecho de que existen 10 Platycosms es conocido desde alrededor de 1933 y ha sido estudiado en muchos artículos y varios libros. Ellos son de gran interés para los físicos así como para los matemáticos, y 42

44 de hecho hay algunas observaciones astronómicas recientes que sugieren que el universo físico en realidad podría ser un Platycosm. Los Platycosms orientables reciben el nombre Helicosms. Ellos son: Torocosm, Dicosm, Tricosm, Tetracosm, Hexacosm y Didicosm. Por otro lado, los 4 Platycosm restantes no son orientables y reciben el nombre de primer y segundo (o positivo y negativo) amphicosms y amphidicosms (Conway-Rossetti 2003). Nosotros le calcularemos la homología a los siguientes Platycosms orientables: Torocosm, Dicosm y Tetracosm. Ellas se obtienen considerando el homomorfismo φ t = cos t sin t sin t cos t y tomando un t 0 tal que φ t0 preserve un retículo Γ 0 R 2. De este modo el subgrupo Γ = Zt 0 Γ 0 es un subgrupo discreto de G = R R 2. Para obtener el Torocosm tomamos t 0 = 2π, mientras que para el Dicosm y Tetracosm tomamos t 0 = π y π/2 respectivamente. En todos los casos el retículo Γ 0 = Z 2 es preservado por φ t0. NILVARIEDAD ASOCIADA AL GRUPO DE LIE DE HEISENBERG. El grupo de Lie de Heisenberg es el grupo 2-pasos nilpotente G = R R 2 que se obtiene con φ t = 1 t 0 1. En este caso Γ = Z Z 2 es un subgrupo discreto de G. No es difícil ver que G es isomorfo al grupo de matrices estrictamente triangulares de 3x3 con coeficientes reales y que Γ es el subgrupo de matrices con coeficientes enteros. 4.1 CALCULO DE LA HOMOLOGIA Las cuarto variedades mencionadas anteriormente son compactas. Más aún, la acción Γen G, que es difeomorfo a R 3, tiene como dominio fundamental un cubo en el que las caras laterales de él están identificadas de igual modo que en el toro. Entre ellas se distinguen por la manera en que está identificada la cara superior con la inferior. 43

45 Como indicamos en la sección 2.4 podemos obtener una estructura delta en el cociente del cubo a partir de una descomposición simplicial del mismo. Para ello, comenzamos dividiendo el cubo en tetraedros de manera tal que la relación de equivalencia identifique n-simplices con n-simplices. Además, será importante ordenar los vértices de la descomposición de manera que los simplices queden orientados como indican las flechas de las identificaciones en cada caso. Para calcular la homología de las diferentes variedades lo haremos calculando las matrices asociadas a los homomorfismos frontera n: C n X C n 1 X, del espacio cociente. Procedemos de la siguiente manera: llamamos P n a las matrices proyección al cociente. Estas están definidas del grupo libre C n I 3 al grupo libre C n X. En el grupo libre C n I 3 elegimos la base de los simplices, al igual que en C n X. Una vez elegidas las bases podemos determinar la matriz de P n, que llamamos P n. Por como son las bases de C n I 3 y C n X resulta que P n evaluado en un elemento de la base de C n I 3 es exactamente un elemento de la base de C n X y por lo tanto la matriz P n tiene exactamente un 1 en cada columna. Más aún, en la fila i de P n hay solamente unos, y más precisamente tiene c i elementos, donde c i es la cantidad de elementos de la base C n I 3 que van al i-esimo elemento de la base de C n X. Por lo tanto P n P n t = D, donde D es la matriz diagonal cuadrada de tamaño dim(c n X ) que en el lugar i tiene c i. Usamos ahora las mismas bases para armar la matriz asociada a n : C n I 3 C n 1 I 3. Obtenemos que P n 1 n es la matriz de la aplicacion P n 1 n que va desde C n I 3 a C n 1 X. Para calcular n en un elemento x de la base de C n X, debemos tomar un elemento a de la base de C n I 3 tal que P n a = x y calcular P n 1 n a. Es decir que si construimos un morfismo de grupos S n : C n X C n I 3 tal que resulta que P n S n = Id en C n X n = P n 1 n S n. 44

46 Puesto que P n P t n = D entonces si tomamos S n la transformación cuya matriz es P t n D 1 entonces P n S n = Id en C n X. Como conclusión obtenemos que n = P n 1 n P t n D 1. A partir de las diferenciales del cociente podemos determinar el rango de la parte libre de los grupos de homología computando los núcleos e imágenes. Para determinar la parte de torsión lo haremos escribiendo las diferenciales en la Forma Normal de Smith. Recordemos que los elementos de la diagonal de la diferencial (en esta forma) de orden n, distintos de uno, son los coeficientes de torsión del grupo de homología de orden n 1. En dimensión n los coeficientes de torsión son cero pues la diferencial de orden n + 1 es nula (Ayala-Domínguez-Quinteros 2002). Para llevar a cabo estas cuentas hemos desarrollado unos procedimientos en Maple12. En la próxima sección describiremos estos procedimientos. 4.2 PROCEDIMIENTOS MAPLE PARA EL CALCULO DE HOMOLOGIA ESTRUCTURA SIMPLICIAL DEL CUBO Y DIFERENCIAL ASOCIADA En primer lugar, sólo debemos especificar la lista de simplices de mayor dimensión ya que éstos determinan de manera completa el complejo. La rutina ComplejoSimp tomará dicha lista y le agregará los simplices que hagan falta para convertirlo en un verdadero complejo simplicial. Puesto que trabajaremos con herramientas del algebra lineal debemos cargar previamente el paquete linalg. Los procedimientos LimpiaLista y Nmenos1Simplices son requeridos para ComplejoSimp. 45

47 with(linalg): LimpiaLista:= proc(l) local i,l1: L1:=[]: for i in L do: if not member(i,l1) then L1:=[op(L1),i]:fi: od: L1: end proc: #Dada una lista, elimina elementos repetidos. Nmenos1Simplices := proc (L) local R, i; R := []; for i to nops(l) do R := [op(r), subsop(i = NULL, L)]: od: LimpiaLista(R): end proc: #calcula las caras de un simplex ComplejoSimp:=proc(N,L) local simplices, k, i: simplices[n]:=l: for k from N-1 to 0 by -1 do: simplices[k]:=[]: for i from 1 to nops(simplices[k+1]) do: simplices[k]:=[op(simplices[k]), op(nmenos1simplices(simplices[k+1][i]))]: od: simplices[k]:=limpialista(simplices[k]): od: eval(simplices): end proc: #Dada una lista de N -Simplices L, devuelve todos los simplices de la estructura simplicial asociada a L. Por ejemplo, para darle una estructura simplicial a un cuadrado, lo dividimos por la diagonal y numeramos los vértices como en la siguiente figura: Evaluamos ahora: cuadrado:=complejosimp(2,[[1,2,4],[1,3,4]]); 46

48 Mediante el procedimiento DiferencialSimplicial, donde N es la dimensión del espacio y S es una estructura simplicial del mismo, podemos obtener las matrices asociadas a los homomorfismos frontera respecto a la base de simplices DiferencialSimplicial:=proc(N,S) local k,j,pos,difer,s,cara: for k from N by -1 to 1 do: Difer[k] := matrix(nops(s[k-1]), nops(s[k]), 0); for j from 1 to nops(s[k]) do: for s from 1 to k+1 do: cara := subsop(s = NULL, S[k][j]); member(cara, S[k-1], 'pos'); Difer[k][pos, j] := (-1)^s: od: od: od: eval(difer): end proc: Para determinar los coeficientes de torsión utilizamos la rutina CoefTorsion, donde A son las matrices diferenciales. CoefTorsion:=proc(A) local i,torsion: torsion:=[]: for i from 1 to min(coldim(a),rowdim(a)) do: if A[i,i]>1 then torsion:=[op(torsion),a[i,i]]: fi: od: torsion: end proc: Finalmente, obtenemos la homología del complejo simplicial utilizando la rutina HomolSimp. Notemos que toda la información que se requiere es la dimensión del espacio y una descomposición simplicial del mismo. HomolSimp:=proc(N,S) local i,j,dif: Dif:=DiferencialSimplicial(N,S): print(partelibre); print(h[0]= nops(s[0])-nops(s[1])+nops(kernel(dif[1]))); 47

49 for i from 1 to N-1 do: print( H[i]= nops(kernel(dif[i]))- nops(s[i+1])+nops(kernel(dif[i+1]))): od: print( H[N]= nops(kernel(dif[n]))); print(partetorsion); for j from 1 to N do: print(coeftorsion(ismith(dif[n]))); od: end proc: Siguiendo con el ejemplo del cuadrado, podemos evaluar ahora sus grupos de homología: HomolSimp(2,cuadrado); ParteLibre H 0 = 1 H 1 = 0 H 2 = 0 ParteTorsion Así, H 0 I 2 Z y H n I 2 = 0 para n > 0, la que coincide con la homología de un punto ya que el cuadrado es contráctil. CALCULO DE ESTRUCTURA DELTA Y HOMOLOGIA DEL COCIENTE Los siguientes procedimientos son los más importantes del trabajo. Con ellos podremos pasar de una estructura simplicial del cubo a una estructura en el cociente del cubo. Para conseguirlo, será importante ordenar los vértices de la descomposición simplicial de manera que los simplices queden orientados como indican las flechas de las identificaciones. Para introducir las relaciones de equivalencia en la computadora lo haremos indicando la manera en que se identifican los simplices de dimensión n 1, donde n es la dimensión del espacio. Concretamente, llamamos P a la lista cuyos elementos son conjuntos de 48

50 índices que indican la posición en que se encuentran los simplices identificados dentro de la base del grupo cadena de dimensión n 1. Mediante la rutina EstructuraDelta, donde N es la dimensión del espacio, S una descomposición simplicial y P como la descripta anteriormente, calculamos la tabla que en cada grado da una lista con las clases de equivalencia. Si bien estas listas no son simplices, las podemos considerar como una base de los grupos cadenas del espacio cociente. Es decir, EstructuraDelta nos describe una estructura en el cociente. EstructuraDelta:=proc(N,S,P) local i,j,k,j1,j2,peg,peg1,pegados,a,caras1,caras2,posicion1,posici n2,dimen: Pegados[N]:=[seq({i},i=1..nops(S[N]))]: Pegados[N-1]:=P: for dimen from N-2 to 0 by -1 do: Peg:='Peg': Peg1:='Peg1': for i from 1 to nops(s[dimen]) do: Peg[i]:={i}: od: for A in Pegados[dimen+1] do: if nops(a)>1 then: for j1 in A do: for j2 in A do: caras1:=nmenos1simplices(s[dimen+1][j1]): caras2:=nmenos1simplices(s[dimen+1][j2]): for k from 1 to dimen+2 do: member(caras1[k],s[dimen],'posicion1'): member(caras2[k],s[dimen],'posicion2'): Peg[posicion1]:=Peg[posicion1] union {posicion2}: od: od: od: fi: od: while Peg1<>Peg do: Peg1:=Peg: for k from 1 to nops(s[dimen]) do: for i from 1 to nops(s[dimen]) do: for j from 1 to nops(peg1[i]) do: Peg[i]:=Peg1[i] union Peg1[Peg1[i][j]]: od: od: od: od: 49

51 Pegados[dimen]:=[]: for i from 1 to nops(s[dimen]) do: Pegados[dimen]:= [op(pegados[dimen]),peg[i]]: od: Pegados[dimen]:=LimpiaLista(Pegados[dimen]): od: eval(pegados): end proc: Como ejemplo, vamos a calcular una estructura en el toro y en el plano proyectivo a partir de la descomposición simplicial del cuadrado. En la Sección 2.4 mostramos como obtener una estructura en el cociente del cuadrado a partir de una descomposición simplicial del mismo. Obtuvimos las siguientes descomposiciones: Para realizar los cálculos con la computadora procedemos de la siguiente manera: cuadradotoro:=complejosimp(2,[[1,2,4],[1,3,4]]); cuadradoproyectivo:=complejosimp(2,[[1,2,4],[1,2,3]]); Indicamos la manera en que se pegan los 1-simplices: 50

52 P:=[{1,5},{2},{3,4}]; P:=[{1,5},{2,4},{3}]; #1-simplices pegados para el toro. #1-simplices pegados para el proyect. Finalmente, las estructuras delta vienen dadas por: ToroDelta:=EstructuraDelta(2,cuadradoToro,P); ProyecDelta:=EstructuraDelta(2,cuadradoProyectivo,[{1,5}, {2,4},{3}]); Continuando con los procedimientos para el cálculo de homología, para determinar las matrices de los homomorfismos frontera del espacio cociente, comenzamos llamando P n a las matrices proyección al cociente. Estas están definidas como P n : C n I 3 C n X asignando a cada elemento de la base su clase de equivalencia. Para obtenerlas aplicamos el procedimiento ProyeccionCociente, donde N es la dimensión del espacio, S es una estructura simplicial y Pegados es la lista de identificaciones obtenida con EstructuraDelta. ProyeccionCociente:=proc(N,S,Pegados) local k,p,i,j: for k from 0 to N do: P[k] := matrix(nops(pegados[k]), nops(s[k]), 0): for i to nops(pegados[k]) do: for j in Pegados[k][i] do: P[k][i, j] := 1 od: od: od: eval(p): end proc: Para obtener las matrices diferenciales del cociente utilizamos el procedimiento DiferencialCociente, donde N es la dimensión del espacio, S es una estructura simplicial y Pegados es la lista de identificaciones obtenida con EstructuraDelta. DiferencialCociente:=proc(N,S,Pegados) local k,p,i,j,dd,dif: Dif:=DiferencialSimplicial(N,S): P:=ProyeccionCociente(N,S,Pegados): for k from 1 to N do: 51

53 DD[k]:=evalm(P[k-1]&*Dif[k]&*transpose(P[k])): for i to rowdim(dd[k]) do: for j to coldim(dd[k]) do: if DD[k][i,j] <> 0 then DD[k][i, j]:=dd[k][i,j]/abs(dd[k][i,j]): fi: od: od: od: eval(dd): end proc: Finalmente, obtenemos la homología del espacio cociente utilizando la rutina HomolCociente. Notemos que toda la información que se requiere es la dimensión del espacio, una descomposición simplicial del mismo (dada a partir de los simplices de dimensión n) y la manera en que se pegan los simplices de cada dimensión (obtenida a partir de la manera en que se identifican los simplices de dimensión n 1). HomolCociente:=proc(N,S,P) local i,j,dif: Dif:=DiferencialCociente(N,S,P): print(partelibre); print(h[0]= nops(p[0])-nops(p[1])+nops(kernel(dif[1]))); for i from 1 to N-1 do: print(h[i]= nops(kernel(dif[i]))-nops(p[i+1])+ nops(kernel(dif[i+1]))): od: print(h[n]= nops(kernel(dif[n]))); print(partetorsion); for j from 1 to N do: print(coeftorsion(ismith(dif[j]))); od: end proc: Para completar el cálculo de homología del toro y plano proyectivo calculamos: HomolCociente(2,cuadradoToro,ToroDelta); HomolCociente(2,cuadradoProyectivo,ProyecDelta); 52

54 Así, H n T Z, si n = 0,2; Z Z, si n = 1; 0, si n 3. H n RP 2 Z, si n = 0; Z 2, si n = 1; 0, si n 2. Después de haber establecido nuestros procedimientos de cálculos de homología, y ver cómo funcionan en algunos espacios de dimensión 2, veamos ahora como aplicarlos a las variedades compactas de dimensión 3 obtenidas como cocientes del cubo. 4.3 HOMOLOGIA DE LAS VARIEDADES TOROCOSM Estudiemos primero el caso φ t = cos t sin t sin t cos t con t 0 = 2π. Para determinar X = 2πZ Z 2 G, sean 2πa, b, c 2πZ Z 2 y t, x, y G. 2πa, b, c t, x, y = 2πa + t, b c + φ 2πa x y = 2πa + t, b + x, c + y. Es decir, todo punto t, x, y G está relacionado con los puntos de la forma 2πa + t, b + x, c + y con a, b, c Z 3. Por lo tanto, X resulta ser el toro de dimensión 3. A esta variedad compacta tridimensional la llamamos Torocosm. 53

55 Geométricamente, X se puede obtener a partir de un cubo identificando cada par de caras opuestas como indica la figura: Calcularemos la homología del Torocosm mediante los procedimientos de cálculos de la sección previa. Necesitamos una descomposición simplicial del cubo de manera que se identifiquen n-simplices con n-simplices, y además estén orientados como indica las flechas de las identificaciones. Necesitamos también, la lista que especifica cómo se identifican los 2-simplices. Para obtener la descomposición simplicial comenzamos dividiendo el cubo en 4 prismas de base triangular como muestra la figura: Luego, dividimos cada uno de estos prismas en tres tetraedros utilizando el mismo procedimiento que en el Teorema De esta manera, obtenemos una descomposición simplicial del cubo en 12 tetraedros obtenidos a partir de 10 vértices. Ordenamos los vértices de manera que la orientación de los simplices respete el sentido de las flechas de las identificaciones. La siguiente figura muestra un orden posible para los vértices. De esta manera quedan determinados los siguientes 12 tetraedros: L:=[[1,6,7,8],[1,3,7,8],[1,2,3,7],[3,7,8,10],[3,5,7,10], [2,3,5,7],[4,7,9,10],[4,5,7,10],[2,4,5,7],[1,6,7,9], [1,4,7,9],[1,2,4,7]]: 54

56 Por lo tanto, la descomposición simplicial del cubo viene dada por: cubotorocosm:=complejosimp(3,l); Determinamos la lista de identificaciones: P:=[{1,10},{2},{3,20},{4},{5},{6,23},{7},{8},{9},{11,18}, {12,29},{13},{14},{15,30},{16},{17},{19,26},{21},{22},{24}, {25},{27,32},{28},{31}]; Finalmente, evaluamos la homología del Torocosm: Pegados:=EstructuraDelta(3,cuboTorocosm,P): HomolCociente(3,cuboTorocosm,Pegados); Así, H n X Z, si n = 0; Z 3, si n = 1; Z 3, si n = 2; Z, si n = 3; 0, si n 4. DICOSM Consideremos el caso t 0 = π. Para determinar el espacio cociente X, sean πa, b, c πz Z 2 y t, x, y G. 55

57 πa, b, c t, x, y = πa + t, b c + φ πa x y = πa + t, b ± x, c ± y. Geométricamente, podemos construir el cociente a partir del cubo identificando las caras laterales por traslación, y las caras superior e inferior como indica la siguiente figura: Notemos que rotamos la cara superior 180 y luego la identificamos con la cara inferior. La variedad compacta obtenida recibe el nombre de Dicosm. Para calcular la homología del Dicosm utilizaremos la misma descomposición simplicial del cubo usada para el Torocosm. Si bien la forma de los tetraedros es la mima, la estructura simplicial es diferente ya que las orientaciones de los simplices cambian. Por lo tanto, debemos reordenar los vértices para que los simplices queden correctamente orientados. Conseguirlo no es para nada complicado ya que sólo debemos permutar los cuatro vértices de las esquinas superiores del cubo de manera cíclica (la permutación corresponde a la rotación de 180 ). En la siguiente figura mostramos el orden de vértices establecido: Con este nuevo orden de vértices obtenemos las siguientes listas de tetraedros e identificaciones: L:=[[1,7,9,10],[1,3,7,9],[1,2,3,7],[3,6,7,9],[3,5,6,7], [2,3,5,7],[4,6,7,8],[4,5,6,7],[2,4,5,7],[1,7,8,10],[1,4,7,8], [1,2,4,7]]]: P:=[{1,26},{2,21},{3},{4},{5},{6,24},{7},{8},{9},{10,19}, 56

58 {11,32},{12,28},{13},{14},{15},{16,30},{17},{18,27},{20}, {22},{23},{25},{29},{31}]; Finalmente, evaluamos la homología del Dicosm: cubodicosm:=complejosimp(3,l); Pegados:=EstructuraDelta(3,cuboDicosm,P); HomolCociente(3,cuboDicosm,Pegados); Así, H n X Z, si n = 0; Z Z 2 Z 2, si n = 1; Z, si n = 2; Z, si n = 3; 0, si n 4. TETRACOSM Consideremos finalmente t 0 = π 2. Para determinar el espacio cociente X, sean π 2 a, b, c π 2 Z Z2 y t, x, y G. π 2 a, b, c t, x, y = π 2 a + t, b c + φπ 2 a x y = π a + t, b y, c + x. 2 En este caso el cociente se puede obtener a partir de un cubo identificando sus caras laterales por traslación, y sus caras superior e inferior como muestra la figura: 57

59 Notemos que rotamos la cara superior 90 y luego la identificamos con la cara inferior. La variedad compacta obtenida recibe el nombre de Tetracosm. El Tetracosm difiere del Dicosm en que rotamos la cara superior 90 en lugar de 180. Por lo tanto, podemos utilizar la misma descomposición simplicial del cubo ya obtenida, sólo debemos ordenar los vértices (rotándolos en forma cíclica) de manera que los simplices estén coherentemente orientados. El orden de los vértices se muestra en la siguiente figura. Para completar el cálculo de la homología del cociente, detallamos a continuación la lista de los tetraedros de la descomposición simplicial del cubo y la manera en que se identifican los 2-simplices: L:=[[1,7,8,10],[1,3,7,10],[1,2,3,7],[3,7,9,10],[3,5,7,9], [2,3,5,7],[4,6,7,9],[4,5,7,9],[2,4,5,7],[1,6,7,8],[1,4,6,7], [1,2,4,7]]: P:=[{1,18},{2,21},{3},{4},{5},{6,23},{7},{8},{9},{10,27}, {11,26},{12,28},{13},{14},{15,31},{16},{17},{19,32},{20}, {22},{24},{25},{29},{30}]: Obtenemos finalmente: cubotetracosm:=complejosimp(3,l); Pegados:=EstructuraDelta(3,cuboTetracosm,P); HomolCociente(3,cuboTetracosm,Pegados); 58

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