Concurso Nacional de Proyectos FONDECYT 2005 ***

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1 Concurso Nacional de Proyectos FONDECYT 2005 *** COMPROBANTE DE RECEPCION DE INFORME FINAL NUMERO : * RESPONSABLE :ROMMEL ANDRES BUSTINZA PARIONA RUT : COOP.INTERN TIPO :FONDECYTREG. ETAPA :2007 DURACION : 3 A'-no(s) TITULO : FURTHER APPLICATIONS OF LOCAL DISCONTINUOUS GALERKIN METHODS TO LINEAR AND NONLINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS DISCIPLINA :METODOS NUMERICOS Y COMPU (MATEMATICAS) FECHA RECEPCION :17/03/2008 TIMBRE RECEPCION k Concurso Nacional de Proyectos FONDECYT 2005 COMPROBANTE DE RECEPCION DE INFORME FINAL NUMERO : * RESPONSABLE :ROMMEL ANDRES BUSTINZA PARIONA RUT : COOP.INTERN. : TIPO :FONDECYTREG. ETAPA :2007 DURACION : 3 A-no(s) TITULO : FURTHER APPLICATIONS OF LOCAL DISCONTINUOUS GALERKIN METHODS TO LINEAR ANO NONLINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS DISCIPLINA :METODOS NUMERICOS Y COMPU (MATEMATICAS) FECHA RECEPCION :17/03/2008 TIMBRE RECEPCION

2 / RECIBIDO DE PARTES / INFORME FINAL GOBIERNO DE CHILE CONICYT FONDECVT PROYECTO FONDECYT REGULAR CONTENIDO (MARQUE CON UNA X EL CASILLERO QUE CORRESPONDA) Formulario de Informe Final Publicaciones Resumen de Tesis Título/Grado Información acerca de inventos y patentes Otros (especificar) Informe Incentivo Coop. Internacional (Si corresponde) Firma Coinvestigadores(as) 'INCLUYE NO INCLUYE > X X Firma Investigador(a) Responsable X X X Fecha: 13 / 03 /

3 CONTENIDO DEL INFORME FINAL I. CUMPLIMIENTO DE LOS OBJETIVOS PLANTEADOS EN EL PROYECTO. Marque con una X el casillero correspondiente. Cumplimiento Objetivos Total Parcial No 1 Aplicación del método LDG para X problemas lineales y no lineales en elasticidad incompresible. Fundamentar el cumplimiento parcial o incumplimiento 2 Acoplamiento de los métodos LDG y X BEM para un problema de transmisión no lineal exterior. 3 Formulación de Galerkin discontinuo X Inicialmente no estaba dentro de los aumentada para problemas elípticos objetivos planteados en el proyecto. lineales Su desarrollo se origina como una segunda alternativa para el análisis numérico de problemas en elasticidad incompresible usando el método LDG, por lo cual empezamos el estudio con el problema de Poisson. 4 Aplicación del método LDG para X Aquí se planteó resolver un problema resolver problemas de Signorini. elíptico con condiciones de contacto, lo cual dificulta un poco la aplicación inmediata del método LDG para resolver numéricamente este tipo de problemas. Finalmente, logramos extender la aplicación del método, teniendo que resolverse una desigualdad variacional a nivel discreto, considerando (de momento) espacios de aproximación del más bajo orden posible. 5 Aplicación del método LDG X Se propone una formulación LDG para aumentado para el problema de el problema de Darcy, aumentando Darcy. con términos de mínimos cuadrados para evitar así la introducción del operador de lifting. Los órdenes de convergencia obtenidos son los esperados, y además se presenta un estimador de error a-posteriori, el cual es confiable y quasi eficiente. Esperamos complementar este trabajo con algunos ensayos numéricos que validen la teoría desarrollada.

4 Otro(s) aspecto(s) que Ud. considere importante(s) en la evaluación del cumplimiento de los objetivos planteados en la propuesta original o en las modificaciones autorizadas por los Consejos.

5 II. RESULTADOS OBTENIDOS Describa brevemente los resultados obtenidos en el proyecto en un máximo de cinco páginas, tamaño carta, espacio seguido. Para cada uno de los objetivos específicos, describa o resuma los resultados. Relacione las publicaciones y/o manuscritos enviados a publicación con los objetivos específicos. Incluya en anexos la información de apoyo que estime pertinente y necesaria para la evaluación. i) Un análisis unificado del método de Galerkin local para una clase de problemas no lineales Aquí se estudia las principales características del método de Calerkin local aplicado a problemas elípticos de valor inicial no lineales, provenientes (por ejemplo) de la conducción de calor y de la mecánica de fluidos, cuyos respectivos análisis se realizaron en forma independiente, y se encuentran en [7]. Como resultado de este estudio, se logró unificar la aplicación de este método para ambos tipos de problemas, y de forma más general, para problemas elípticos no lineales. El desarrollo de este análisis ha dado lugar al artículo [8], publicado en el Applied Numerical Mathematics. u) Un esquema de Galerkin discontinuo para resolver problemas de valores de contorno en elasticidad lineal y no lineal En esta parte, se estudia el siguiente problema de elasticidad lineal, definida en una región íl ci R2 de frontera poligonal. c=2e(u)+pi en l, diva= f en divu=o en f, y u = g en donde (u,p) es la solución buscada, f E {L2()]2 y g E [H 1/2 (Of)] 2 son funciones dadas. A su vez, 1 y e(u) denotan al tensor identidad de orden 2 y al tensor de pequeñas deformaciones (o de Cauchy), respectivamente. Aquí, el trabajo consistió en establecer una formulación variacional discreta usando el método de elementos finitos de Calcrkin discontinuo (considerando espacios de aproximación usuales para estos caso) lográndose probar la existencia y unicidad de la solución de tal esquema (mostrando que silos datos del problema son todos nulos, la única solución del sistema es la trivial). Desafortunadamente, no nos es posible obtener los órdenes de convergencia optimales para el error correspondiente. Por otro lado, se propone un estimador de error a posteriori confiable y se presentan varios ejemplos numéricos, los cuales hacen notar que los órdenes de convergencia para problemas con singularidades, son mejorados al hacer adaptividad. De hecho, los órdenes de convergencia que se recuperan experimentalmente son los optimales, cosa que no se ha podido demostrar aún. La presentación de los resultados obtenidos se encuentra en el artículo [9], publicado cii SCIENTIA Series A: Mathematical Sciences. Con esto en mente y con el objetivo de extender la técnica al caso no lineal, se ven dos alternativas. La primera de ellas consiste básicamente en imponer la simetría de los tensores en el espacio de aproximación. De esta forma, siguiendo las ideas dadas en [8], se logra demostrar que la formulación LDC resultante tiene solución única, se obtienen los órdenes de convergencia esperados, y se deduce un estimador de error a posteriori, el cual es confiable y quasi eficiente. La deducción de los resultados obtenidos se encuentra en [10], el cual ha sido enviado a Mathematics of Computation para su publicación. Esperamos complementar esto con ensayos numéricos que validen la teoría desarrollada. En relación a la segunda técnica, ésta se basa en aumentar la formulación agregando términos de mínimos cuadrados, lo cual motivó el desarrollo del análisis respectivo para el problema de Poisson (por simplicidad), y será explicado en el item iv). iii) Acoplamiento de los métodos de Galerkin discontinuo y elementos de frontera para un problema de transmisión no lineal exterior A modo de presentación del modelo a tratar, introducimos un dominio del plano l2 acotado y simplemente conexo 9 0 con frontera poligonal U 0. Asimismo, denotamos por 2 1 al dominio anular

6 y simplemente conexo contenido entre ro y otra frontera poligonal F i. Luego, dados f E L2(2\lo) con soporte compacto, go E H 1/2 ( F 0 ), gi E H 1/2 ( F 1 ), y 92 E L2 (F 1 ), consideramos el problema de transmisión exterior no lineal: div a(.,vu i ) = f en Ç1, u 1 = Yo en u2 =f en 2\(loUl 1), ul u2 =y 1 en a(.,vui)ui - Vu2 v i = Y2 en F 1, U2 ( X ) = 0(1) as Ix] -* +, donde u 1 denota el vector normal unitario exterior a F 1, y a : fl i x. es una función vectorial no lineal que satisface las condiciones especificadas en [8], y que garantizan, en particular. la Lipschitz-continuidad y monotonicidad fuerte del operador no lineal asociado. En este sentido, logramos extender el análisis de error a priori desarrollado para problemas lineales exteriores (ver [161), para lo cual hubo que definir apropiadamente los conocidos flujos numéricos. Esto ha dado lugar a varias publicaciones. En primer lugar, citamos a [121 (publicado en Numerical Mathematics and Advanced Applications), donde se tiene una versión preliminar y resumida de este trabajo, mientras que el análisis detallado del mismo se encuentra en el artículo [13], enviado al IMA Journal of Numerical Analisys. Además, en [141 se tiene la extensión natural al caso tridimensional, la cual ha sido publicada en ESAIM: PROCEEDINGS. iv) Un método de Galerkin discontinuo aumentado para problemas elípticos Aquí se considera un dominio fi c IR2 simplemente conexo y acotado, de frontera poligonal [', la cual se descompone en dos partes disjuntas Fp y F N, respectivamente, con IF D I O. Luego, dados f E L 2 (fl), 9D E H1/2 ( 17D) y YN E L2 (FN), buscamos u E H 1 (Q) tal que iu=f en fl UYD en F D y -=gn en FN, 0v donde u denota al vector unitario exterior a F. Ahora, aplicando lo desarrollado CII [8] y considerando la formulación en gradiente, procedemos a aumentarla con ciertos términos de mínimos cuadrados provenientes de las ecuaciones de equilibrio y/o constitutiva. De esta manera, podemos demostrar que la formulación aumentada resultante admite solución única sin necesidad de introducir operador de lifting alguno, así como la obtención de los órdenes de convergencia optiinales. Otra ventaja respecto al método LDC, es que podemos aproximar el flujo incógnita o := Vn por elementos de Raviart-Thornas por pedazos, lo cual reduce el número de grados de libertad (al incrementar el grado de aproximación). Una versión resumida de lo expuesto se encuentra en [1] (publicado en Comptes Rendus de l'academie des Sciences Paris, Series 1), mientras que una versión más completa y general se ha plasmado en [2] (enviada a IMA Journal of Numerical Analysis), el cual contiene además un detallado análisis de error a posteriori, e incluye ejemplos numéricos que validan los resultados teóricos obtenidos. Asimismo, los principales resultados de este análisis han sido descritos en [4] (enviado a Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics). y ) Aplicación del método LDG para resolver problemas con condiciones tipo Signorini El objetivo en esta parte es tratar de extender la aplicación del método LDG para resolver cierta clase de problemas elípticos con condiciones de contacto tipo Signorini. Por ejemplo, consideremos un dominio f en IR 2, cuya frontera está compuesta de dos curvas poligonales cerradas F y F 0. Dados f E L2 (íl), go : F0 - IR and g : F -+ IR, interesa encontrar u tal que iu = f, en u=go, en ro, u>0, 0,,u>g, u(0u g)=0 cnt. Se ha logrado demostrar que la desigualdad variacional resultante tiene solución única. También se tiene avanzado el anális de error a priori, observándose (experimentalmente) en los ejemplos numéricos que los órdenes de convergencia son los esperados. Esperamos completar el análisis prontamente. Una versión preliminar de este trabajo se encuentra en [15].

7 vi) Un estimador a posteriori para el problema de Darcy, aplicando el método LDG aumentado Para describir el problema modelo de interés, consideramos í un dominio acotado y simplemente conexo en IR 2 con frontera poligonal F. Luego, dados los términos fuente f E [L 2 (Q)J', f2 e L2(f) y g E L 2 (I'), buscamos (u,p) tal que u + KVp = f en 9, divu = f2 en fl, y u y = g en donde K e C() es un tensor simétrico y uniformemente positivo representando la permeabilidad del medio poroso dividido por la viscosidad, y u denota el vector normal unitario exterior a 0Ç. El término fuente f está relacionada usualmente a la fuerza de gravedad, f2 es la razón de flujo volumétrico, y g es la componente normal del campo de velocidad u en la frontera F. Asumimos que los datos f2 y g satisfacen la relación de compatibilidad f0 f + f, Y = 0, y para propósitos de unicidad, suponemos que p E L(l) := {q E L 2() : f0 q = 0}. Extendiendo la aplicación del método LDG aumentado propuesto en [2], obtenemos un esquema discreto, el cual tiene solución única y converge a la solución exacta con los órdenes de convergencia esperados. Asimismo, siguiendo las ideas dadas en [6] se deduce un estimador de error a posteriori, el cual es confiable y quasi-eficiente. Una versión preliminar de este trabajo se encuentra en [5], quedando pendiente la inclusión de ejemplos numéricos que corroboren lo predicho por la teoría. References [1] T. P. BARRIOS, R. BUSTINZA: An a'agmented discontinuous Galcrkin raethod for elliptic problerns. Comptes Rendus de l'academie des Sciences Paris, Series 1, vol. 344, pp , (2007). [2] T.P. BARRIOS, R. BUSTINZA: A priori and a posteriori error analyses of two augruented Galerkin discoritin'uous formulations. Pre-priot , Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción, Chile, (2007). Submitted fo IMA Journal of Numerical Analysis. [3] T.P. BARRIOS, R. BUSTINZA: An a posteriori error estimator of art augmented DG scheme for Darcy flow. Submitted to Numerical Mathematics and Advanced Applications, Proceedings volume of ENUMATH 2007, Springer. [4] T.P. BARRIOS, R. BUSTINZA: An augmented LDG methodfor linear diffusion problems. Subrnitted to Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (ICIAM 2007). [5] T.P. BARRIOS, R. BUSTINZA: A posteriori error anal ysis of an augmented discoritinuous forrnulation for Durcy flow. In preparation. [6] R. BECKER, P. HANsBO, M.G. LARSON: Energy riorru a posteriori error estirnation for discorttinuous Galerkin methods. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 192, pp , (2003). [7] R. BUSTINZA: Numerical Artalysis of Transrnission Problems with Discontinuities. Ph.D. thesis, Universidad de Concepción, Concepción, Chile, 2004 (in Spanish). [8] R. BUSTINZA: A unified analysis of the local discontinuous Galerkin method for a class of nonlirtear pro biems, Applied Numerical Mathematics, vol. 56, 10-11, pp , (2006). [9] R. BUSTINZA: A note on the local discontinuous Galerkin method for linear probierns in elasticity. SCIENTIA Series A: Mathematical Sciences, vol. 13, pp , (2006). [10] R. BUSTINZA: A priori and a posteriori error anal yses of the local discontirtuous Galerkin method for a class of nonlinear pro blems in elasticity. Submitted to Mathematics of Computation. [11] R. BUSTINZA, G.N. GATICA: A local discon.tinuons Galerkin rnethod for nonlinear diffusion prohlerns with mixed boundary conditions. SIAM,Journal on Scient,iflc Computing. vol. 26, 1, pp , (2004).

8 [12] R. BUSTINZA, G.N. GATICA, F.-J. SAYAS: A LDG-BEM coupling for a class of noitlinear exterior transrnission problems. Numerical Mathematics and Advanced Applications, Proceedings volume of ENUMATH 2005, vol XIX, pp , (2006). [13] R. BUSTINZA, G.N. GATICA, F.-J, SAYAS: Qn the coupling of local discontinuous Calerkin aud boundary elernent methods for nonlinear transmission problems. IMA Journal of Nurnerical Analysis, to appear. [14] R. BUSTINZA, G.N. GATICA, F.-J. SAYAS: A look at how LDG an.d BEM can be coupled. ESAIM: PROCEEDINGS, vol. 21, PP , (2007). [15] R. BUSTINZA, F.-J. SAYAS: Local discontinuous GalerkirL rnethods for Signorini type problems. In preparation. [16] G.N. GATICA, F.-J. SAYAS: An a-priori error analysis for the coupling of local discontinuous Calerkin and boundary elernent methods. Mathernatics of Cornputations, vol. 75, 256, pp , (2006).

9 III. PRODUCTOS GENERADOS POR EL PROYECTO En esta sección debe incluir todo documento o material cuyo contenido corresponda substancialmente a los objetivos del proyecto que se informa y en los que se indique el N del proyecto FONDECYT. Aténgase a los formatos que se incluyen para cada tipo de producto generado. Adjunte copia de los documentos no enviados previamente a FONDECYT. Utilice las hojas adicionales que sean necesarias. Si Ud. tiene un proyecto de Incentivo ala Cooperación Internacional, destaque con (*) las publicaciones generadas como producto del mismo a continuación de las que corresponden al Regular 1. Artículos en revistas científicas nacionales o extranjeras con Comité Editorial. Marque con una "X" lo que corresponda. Para trabajos En Prensa/ Aceptados! Enviados adjunte copia de carta de aceptación o de envío. Rommel Bustinza A unified analisis of the local discontinuous Galerkin method for a class of nonlinear problems Applied Numerical Mathematics Ref. bibliográfica Año: 2006 Vol. 56 N Pág ( Estado de la publicación a Otras fuentes de financiamiento, si las hay U Publicada O Aceptada E Enviada Li En preparación Revista, Rommel Bustinza, Gabriel N. Gatica, Francisco-Javier Sayas A LDG-BEM coupling for a class of nonlinear exterior transmission problems Numerical Mathematics and Advanced Applications Proceedings volume of ENUMATH 2005, Springer Ref. bibliográfica Año: 2006 Vol. XIX N - Pág Estado de la publicación a U Publicada E Aceptada E Enviada E En preparación Otras fuentes de Proyecto FONDECYT No , Spanish FEDER/MCYT Project financiamiento, si las hay MTM , Programa Europa XXI (Gobierno Aragón + CAl), y FONDAP in Applied Mathematics Rommel Bustinza, Gabriel N. Gatica, Francisco-Javier Sayas Qn the coupling of the local discontinuous Galerki9/and boundary element methods for nonlinear transmission problems (*) / IMA Journal of Numerical Analysis Ref. bibliográfica Año: N Pág. Estado de la publicación a E Publicada U Aceptada O Enviada O En preparación Otras fuentes de Proyecto FON DECYT No , Spanish FEDER/MCYT Project financiamiento, si las hay MTM , Programa Europa XXI (Gobierno Aragón + CA!), y FONDAP in Applied Mathematics

10 Rommel Bustinza A note on the local discontinuous Galerkin method for 11 problems in elasticity Scientia Series A: Mathematical Sciences Ref. bibliográfica Año: 2006 Vol. 13 N - Pág Estado de la publicación a U Publicada O Aceptada El Enviada Li En preparación Otras fuentes de financiamiento, si las hay Tomás P. Barrios, Rommel Bustinza An augmented discontinuous Gaierkin method for elliptic problems Comptes Rendus de l'academie des Sciences Paris, Series 1 / Ref. bibliográfica Año: 2007 Vol. 344 N - Pág Estado de la publicación a Publicada O Aceptada E Enviada O Enrjparación Otras fuentes de financiamiento, si las hay Rommel Bustinza, Gabriel N. Gatica, Francisco-Javier Sayas A look at how LDG and BEM can be coupled (*) ESAIM: PROCEEDINGS (1 Ref. bibliográfica Año: 2007 Vol. 21 N - Pág Estado de la publicación a U Publicada O Aceptada O Enviada O En preparación Otras fuentes de Proyecto FONDECYT No , Spanish FEDER/MCYT Project financiamiento, si las hay MTM , Programa Europa XXI (Gobierno Aragón + CAl), y FONDAP in Applied Mathematics Tomás P. Barrios, Rommel Bustinza A priori and a posteriori error analyses of an augmented Galerkin discontinuous formulation IMA Journal of Numerical Analysis Ref. bibliográfica Año: N Pág. Estado de la publicación a Cl Publicada Cl Aceptada U Enviada El En preparación En Prensa Otras fuentes de Proyecto FON DECYT No financiamiento, si las hay

11 Rommel Bustinza A priori and a posteriori error analyses of the local discontinuous Galerkin method for a class of nonlinear problems in elasticity Mathematics of Computation Ref. bibliográfica Año: N Pág. Estado de la publicación a Otras fuentes de financiamiento, si las hay EJ Publicada O Aceptada Enviada O En preparación V Tomás P. Barrios, Rommel Bustinza An augmented LDG method for linear diffusion problems Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM) 6th International Congress on industrial and Applied Mathematics (ICIAM 2007). Ref. bibliográfica Año: N Pág. Estado de la publicación a El Publicada EJ Aceptada Enviada LI En preparación Otras fuentes de Proyecto FONDECYT No financiamiento, si las hay Tomás P. Barrios, Rommel Bustinza An a posteriori error estimator of an augmented DG scheme for Darcy flow Numerical Mathematics and Advanced Applications Proceedings volume of ENUMATH 2007, Springer-Verlag. Ref. bibliográfica Año: N Pág. Estado de la publicación a Otras fuentes de financiamiento, si las hay O Publicada EJ Aceptada Enviada U En preparación En Prensa Proyecto FON DECVT No Tomás P. Barrios, Rommel Bustinza A posteriori error analysis of ari augmented discontinuous formulation for Darcy flow Ref. bibliográfica Año: N Pág. Estado de la publicación a O Publicada O Aceptada U Enviada En preparación Otras fuentes de Proyecto FONDECYT No financiamiento, si las hay 1 10

12 Rommel Bustinza, Francisco-Javier Sayas Local discontinuous Galerkin methods for Signorini type problems (*) Ref. bibliográfica Año: N Pág. Estado de la publicación a E Publicada E Aceptada E Enviada U En preparación Otras fuentes de Proyecto FONDECVT No , Spanish FEDER/MCYT Project financiamiento, si las hay 1 MTM , Programa Europa XXI (Gobierno Aragón + CAl). 2. Otras publicaciones/ productos. Tipo de publicación o LI Monografía LI Seminario Taller /Curso producto E Libro E Informe Técnico LI Capítulo de Libro E Software Marque con una "X" lo que LI Mapa LI Patente corresponda LI Exposición de Arte Otro, Especificar: Editor(es) (Libros o Capítulos de Libros) Nombre de la Editorial! Organización Lugar y Fecha de Publicación País: Ciudad: Fecha:

13 3. Presentaciones a Congresos Nacionales e Internacionales. Adjunte copia del resumen o texto de la ponencia y de la tapa del libro de Resúmenes, si no la ha enviado previamente. Tomás P. Barrios, Rommel Bustinza Título (Idioma Original) On the a-priori and a-posteriori error analysis of augniented discontinuous Galerkin formulations for diffusion problems. Nombre del Congreso XXI Jornadas de Matemática de la Zona Sur Lugar y Fecha País: Chile Ciudad: Concepción Fecha: Abril de 2007 Autor(a)(eslas) Título (Idioma Original) Tomás P. Barrios, Rommel Bustinza An augmented discontinuous Galerkin method for elliptic problems. Nombre del Congreso ICIAM 2007 Lugar y Fecha País: Suiza Ciudad: Zurich Fecha: Julio de 2007 Auto r(a)(es/as) Tomás P. Barrios, Rommel Bustinza Título (Idioma Original) Nombre del Congreso ENUMATH 2007 A posteriori error analysis of an augmented discontinuous Galerkin formulation for Darcy flow. Lugar y Fecha País: Austria Ciudad: Graz Fecha: Septiembre de 2007 Rommel Bustinza, Francisco 3. Sayas Título (Idioma Original) On the Locally Discontinuous Galerkin method for problems with Signorini-type conditions. Nombre del Congreso XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones, X Congreso de Matemática Aplicada (CEDYA 2007) Lugar y Fecha País: España Ciudad: Sevilla Fecha: Septiembre de 2007 Título (Idioma Original) Nombre del Congreso Lugar y Fecha 1 Rommel Bustinza Dos formulaciones de Galerkin discontinuas para el problema de Neumann. XXV Coloquio de la Sociedad Matemática Peruana País: Perú Ciudad: Lima Fecha: Octubre de

14 Auto r(a)(es/as) Rommel Bustinza, Francisco J. Sayas Título (Idioma Original) Solving a class of variational inequalities with the local discontinuous Galerkin method. Nombre del Congreso Tercer Encuentro de Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales, Valparaíso Numérico III Lugar y Fecha País: Chile Ciudad: Valparaíso Fecha: Diciembre de Tesis y / 0 Memorias en ejecución y o terminadas en el marco del proyecto. Adjunte copia del resumen no informado anteriormente y certificación de aprobación, si corresponde. Nombre y Apellidos del(de la)/de los(las) Alumno(a) (os/as) y Tutor(a) Título! Grado Institución, Facultad, Departamento Lugar País: Estado de Tesis En Ejecución: Terminada: Fecha de Inicio: Fecha de Término: Título de la Tesis Nombre y Apellidos del(de la)/de los(las) Alu m no (a )(os/as) y Tutor(a) Título/ Grado Institución, Facultad, Departamento Lugar País: Estado de Tesis En Ejecución: Terminada: Fecha de Inicio: Fecha de Término: 13

15 IV. DESTAQUE OTROS LOGROS DEL PROYECTO TALES COMO: Estadías de investigación. Formación de recursos humanos exceptuando tesistas ya informados. Actividades de difusión y/o extensión en la temática del proyecto. Cualquier otro logro no contemplado en los ítem anteriores y que Ud. quiera destacar. 1) Estadía de Investigación: Investigador invitado al Centro Politécnico Superior, Universidad de Zaragoza, Zaragoza (España), desde el 3 al 28 de Septiembre de 2007, para continuar trabajando con el profesor Francisco-Javier Sayas (profesor titular de la Universidad de Zaragoza) en la extensión del análisis desarrollado para resolver problemas con condiciones de frontera tipo Signorini, con los métodos de Galerkin discontinuo. 2) Durante la etapa 2007 del presente proyecto, continuó la interacción con el profesor Tomás P. Barrios, de la Universidad Católica de la Santísima Concepción, con la finalidad de extender el método de Galerkin discontinuo aumentado para el problema de Darcy, obteniéndose el orden de convergencia esperado, y deduciendo un estimador de error a posteriori, el cual es confiable y eficiente. 3) Durante los días comprendidos entre el 21 de Enero y 1 de Febrero de 2008 el profesor Bustinza realizó una visita corta al Institut d'analyse et Calcul Scientifique (IACS) de la Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Lausanne, Suiza, dando un Seminario el día 30 de Enero en el cual presentó el tema: "A priori and a posteriori error analices of an augmented discontinuous Galerkin formulation". A raíz de esta visita, se contactó al profesor Marco Picasso, académico de esa casa de estudios, quien podría ser un posible colaborador externo en el futuro. 14

16 V. RESUMEN Describa en forma precisa y breve el tópico general del proyecto, sus metas y objetivos y los resultados alcanzados. Utilice un lenguaje apropiado para la comprensión del público no especialista en el tema. Esta información podrá ser difundida. (No debe exceder este espacio en fuente Verdana 9) El presente proyecto se enmarca dentro del Análisis Numérico de las Ecuaciones Diferenciales Parciales. En particular, nos centramos en la extensión de la aplicabilidad de los métodos de Galerkin discontinuo (de manera especial en el método de Galerkin discontinuo local (LDG, en inglés)) a otros problemas elípticos lineales y no lineales que aparecen modelados en mecánica del medio continuo (en régimen estacionario, por ejemplo). Nos preocupamos de hacer el análisis numérico respectivo: existencia y unicidad de la solución a nivel continuo y/o discreto, obtención de los órdenes de convergencia (optimales) así como del análisis de error a posteriori, complementando con algunos ensayos numéricos que validen los resultados teóricos obtenidos. Durante la ejecución de este proyecto se desarrolló primero el análisis numérico unificado del método LDG para resolver ciertos tipos de problemas no lineales asociados al problema de Poisson así como a fluidos no Newtonianos. Basados en esta técnica, abordamos el problema de elasticidad incompresible no lineal, el cual presento al inicio ciertas dificultades técnicas para establecer el buen planteamiento de la solución discreta. Una vez superada esta dificultad, procedimos con el análisis de error: a priori y a posteriori, obteniendo los resultados esperados. Nuestro siguiente objetivo fue extender el método LDG para resolver cierta clase de problemas de transmisión no lineal exterior, vía el acoplamiento con el método de elementos de frontera (BEM, en inglés). Aquí se logró establecer la existencia y unicidad de solución discreta, así como la obtención de los órdenes de convergencia esperados. Por otro lado, también se ha estabilizado el método LDG, aumentando la formulación discreta respectiva con adecuados términos de mínimos cuadrados que provienen de las ecuaciones de equilibrio o de las leyes constitutivas asociadas al modelo en cuestión. Esto surgió como una segunda alternativa para analizar el problema de elasticidad. Por ello, primero se abordo el problema de Poisson, demostrándose también la existencia y unicidad de la solución discreta, obteniéndose los ordenes de convergencia esperados, así como un estimador de error a posteriori de tipo residual, el cual es confiable y quasi eficiente, lo cual se valido experimentalmente con algunos ensayos numéricos. El siguiente paso en esta dirección fue estudiar el problema de Darcy con esta metodología, garantizándose el buen planteamiento del esquema discreto, la convergencia del método a la razón esperada, y también se hizo el análisis de error a posteriori, cuyo estimador es también de tipo residual, y es confiable y quasi eficiente. Finalmente, nos interesamos en resolver problemas lineales con condiciones de frontera tipo Signorini con el método LDG, pero empleando espacios de aproximación del más bajo orden, por razones técnicas. Como en los modelos precedentes, aquí también se consiguió probar la solubilidad única del esquema discreto, el cual se escribe como un problema de minimización, obteniéndose el orden de convergencia esperado. 15

)/^ INFORME FINAL PROYECTO FONDECYT REGULAR CONTENIDO X X. Firma Investigador Responsable. 12 años. ovcrn CARLOS PIZARRO WILSON RUT

)/^ INFORME FINAL PROYECTO FONDECYT REGULAR CONTENIDO X X. Firma Investigador Responsable. 12 años. ovcrn CARLOS PIZARRO WILSON RUT INFORME FINAL PROYECTO FONDECYT REGULAR GOBIERNO DE CHILE COMCyT FONDEC Vr 12 años 1050882 NIIMFRC) ovcrn 1 DUR CARLOS PIZARRO WILSON RUT INVESTIGADOR RESPONSABLE DIRECCION 1 6762640 o 6762638 FONO carlos.pizarro@udp.cl

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