Introducción al Análisis Complejo

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1 Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010

2 Introducción Este trabajo corresponde al curso de Complementos de Análisis, de cuarto año del profesorado de Matemática en el Instituto de Profesores Artigas. Se trata de una introducción al Análisis Complejo, en la que se exponen algunos resultados de la Teoría de Cauchy. El objetivo de este trabajo es utilizar dicha teoría para calcular integrales impropias. El proyecto no estará centrado en las demostraciones de los teoremas y proposiciones, sin embargo, se presentará una demostración del Teorema Fundamental del Álgebra y de la conocida relación de Euler: cos. En el Capítulo 1 se exponen los conceptos iniciales vinculados con el cuerpo C de los números complejos, así como la derivación e integración compleja, y la convergencia uniforme de series de potencias. El Capítulo 2 está dedicado a las funciones analíticas y a la Teoría de Cauchy. Por último, en el Capítulo 3 se tratan las consecuencias de la Teoría de Cauchy: en primer lugar el Principio de módulo máximo y el Teorema de Liouville, necesario para demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra. En segundo lugar, los lemas de deformación de curvas y de Jordan, con lo que se plantea una forma de calcular integrales impropias, restringiendo funciones complejas a la recta real. Cabe aclarar que solo se podrán calcular aquellas integrales impropias que cumplas con las condiciones requeridas. Profundizando en Análisis Complejo se obtienen resultados que posibilitan el cálculo de más integrales impropias. I.P.A. Matemática 2 Leandro Villar

3 Índice Introducción... 2 Índice Conceptos iniciales, derivabilidad, integración El cuerpo C de los números complejos Topología en C Curvas Funciones complejas Derivación compleja Integración compleja Convergencia uniforme de series de potencias Funciones analíticas y Teoría de Cauchy Funciones analíticas Teoría del índice Teoría de Cauchy local Teoría de Cauchy global Consecuencias de la Teoría de Cauchy Teorema Fundamental del Álgebra Cálculo de integrales impropias Bibliografía I.P.A. Matemática 3 Leandro Villar

4 Capítulo 1 Conceptos iniciales, derivabilidad, integración. 1.1 Cuerpo C de números complejos. La ecuación 1 0 tiene solución vacía en el cuerpo de los números reales, por lo que R no es un cuerpo algebraicamente cerrado. El cuerpo C de números complejos aparece entonces tras la búsqueda de un cuerpo algebraicamente cerrado que contenga a R como subcuerpo. Cada elemento de C puede escribirse como un par ordenado,, donde a y b son números reales. La suma de números complejos se define como:,,,. La multiplicación de números complejos se define como:,.,,. R se identifica con el subconjunto de C, C, 0 C. Formalmente, R y C 0 son isomorfos. El complejo 0,1 es raíz de la ecuación 1 0, ya que 0,1. 0,1 1,0 1 R. Al complejo 0,1 se lo llama, y es útil para expresar a los complejos en su forma habitual. Como,, 0 0,1, 0, el complejo z puede expresarse como en donde x e y son números reales. x es llamada parte real e y parte imaginaria del número z. El conjunto C se identifica con el espacio euclidiano R 2, y cada complejo suele representarse mediante un punto del plano. El eje de abscisas C, 0 y el eje de ordenadas C, 0 son llamados eje real y eje imaginario, respectivamente. El módulo del número complejo z es. Es un número real que coincide con la norma euclidiana en R 2 del vector,. El argumento del complejo z, z 0 son los números reales φ tales que ; Son infinitos reales que difieren en 2 ;. Notación: arg. Llamamos, al el único elemento arg tal que <. El conjugado de un complejo es. I.P.A. Matemática 4 Leandro Villar

5 1.2 Topología en C Introducción al Análisis Complejo C, es un espacio métrico, siendo la distancia,. Las bolas son llamadas discos en C,, así es el disco abierto de centro y radio r: C: y es el disco cerrado de centro y radio r: C:. De ahora en adelante Ω es un conjunto abierto no vacío de C. Los abiertos de C son uniones de discos abiertos. Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto, y un conjunto es acotado se si está contenido en algún disco abierto de centro 0. Un conjunto es conexo cuando es imposible descomponerlo como unión de dos abiertos disjuntos y no vacíos. Se le llama región a un abierto conexo no vacío. Un conjunto C es compacto si toda cobertura de K posee una subcobertura finita. En C esto es equivalente a decir que K es cerrado y acotado. C con la topología generada por los discos abiertos, no es un espacio compacto. Si a C se le agrega un elemento, donde C { }φ, se llama plano complejo compactificado a C C. En C se define disco abierto de centro y radio r a C:. Si se considera en C la topología generada por discos abiertos de centro, C, entonces C es un espacio compacto. I.P.A. Matemática 5 Leandro Villar

6 1.3 Curvas :, R es una curva paramétrica con parametrización, en la que t es una variable real y está orientada para t creciente. γ es C 1 a trozos si existe y es continua la derivada salvo en finitos puntos, en los que existen sus límites laterales. Se define. La curva :, R va de a, siendo y. Decimos que la curva es cerrada si. Dada una curva curva se define como la curva orientada en sentido opuesto. Si la curva es :, orientada para creciente, entonces :, orientada para decreciente. Dadas dos curvas y tales que el extremo inicial de coincide con el extremo inicial de, se define + como la curva que se obtiene recorriendo primero y luego. Ω es conexo por caminos si para todo par de complejos y existe una curva con recorrido en Ω que va de a. Ω es conexo sí y solo sí es conexo por caminos. Una curva cerrada contenida en Ω es homotópica a un punto si existe una deformación continua de, sin salir de Ω, la cual la transforma en un punto. Dos curvas y contenidas en Ω con el mismo extremo inicial y el mismo extremo final son homotópicas en Ω si la curva es homotópica a un punto en Ω. Un abierto Ω es simplemente conexo si es conexo y además toda curva cerrada contenida en Ω es homotópica a un punto. En la siguiente figura no es homotópica a un punto, mientras que sí. I.P.A. Matemática 6 Leandro Villar

7 1.4 Funciones Complejas Introducción al Análisis Complejo Trabajaremos con funciones en las que su dominio es un conjunto Ω abierto y no vacío de C, por lo que todos sus puntos son interiores. :Ω C es una función compleja de variable compleja. Como, anotamos, y,, por lo que,,.,,, son las derivadas parciales de u y v respecto de x e y, cuando estas existen. Si C, lim si 0 existe 0 tale que si entonces. :Ω C es continua en si y solo si u y v son continuas en. :Ω C es continua en si y solo si lim. :Ω C es continua si es continua en todo Ω. f es C n si u y v lo son, o sea, si existen y son continuas las derivadas parciales de orden n de u y v. f es C si u y v lo son, o sea, si existen y son continuas las derivadas parciales de orden n para todo n. Función exponencial compleja La función exponencial compleja es : C C,. Se tiene que cos. f es una función continua; además es C. 0, arg, se cumple que cos y que y sen. Entonces cos + sen cos sen. Además, siendo,, y también arg 2 ;. Función logaritmo compleja C 0, se define log como todos los complejos w tales que. log no es una función, ya que si, entonces. Se define, como el único complejo w 0 tal que. Si 0,,. es una función continua para todo complejo que no pertenezca a la semieje real negativo. I.P.A. Matemática 7 Leandro Villar

8 Función raíz n-ésima compleja Introducción al Análisis Complejo Dado, 2, se define como todos los complejos w tales que. no es una función, ya que a cada 0 le corresponden n complejos distintos, los cuales son los vértices de un n-ágono regular centrado en el origen. Si,, entonces ; Se define valor principal de la raíz n-ésima de z como el único complejo,,. Si 0, entonces..... que cumple que es una función continua para todo complejo que no pertenezca a la semieje real negativo. I.P.A. Matemática 8 Leandro Villar

9 1.5 Derivación compleja, funciones holomorfas Definición: Función derivable en un punto. Una función :Ω C es derivable en si existe el siguiente límite: Dicho límite es llamado derivada de f en. lim Definición: Si la función :Ω C es derivable en todo punto de Ω se dice que f es holomorfa. La funciones : C C holomorfas son llamadas funciones enteras. El conjunto de todas las funciones holomorfas en Ω se denota Ω. Las siguientes proposiciones se demuestran de forma análoga que sus correspondientes en funciones reales de variable real. Proposición: Derivada de la suma, producto y cociente de funciones. Si y son holomorfas en Ω, entonces y son holomorfas y, Si además no se anula, / es holomorfa y / / Teorema: Toda función holomorfa es continua. Ejemplos: Aplicando la definición de derivada a la función :Ω C, se obtiene que 0 Ω. De igual forma la derivada de la función :Ω C, es :Ω C, 1. Para todo, 1, la derivada de :Ω C, es :Ω C,, lo que puede demostrarse por inducción completa y con la derivada del producto. Para todo, 1, la derivada de :Ω C, es :Ω C,. En el caso de que 0 Ω, f no es derivable en 0. Se demuestra utilizando la derivada del cociente. La función no es holomorfa en C 0 ya que no es continua en el semieje real negativo. I.P.A. Matemática 9 Leandro Villar

10 Ecuaciones de Cauchy-Riemann La función : C C, es C, ya que 0 y, donde ambas son C. Pero f no es holomorfa, porque siendo, 0: lim lim lim Pero este último límite no existe ya que sus restricciones a y a son distintas (2 y 0, respectivamente). Para que una función :Ω sea holomorfa hay que exigirle a y que sean diferenciables en todo punto de Ω (alcanza con probar que y que son continuas) y además cumplan con las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:,, Ω. Teorema: Ecuaciones de Cauchy-Riemann. f es holomorfa en Ω si y solo si y son diferenciables en todo punto de Ω y cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:,, Ω. Teorema: Expresiones de la derivada. Si f es holomorfa en Ω entonces, y además. ( ). Ejemplo: En la función exponencial compleja :,, y son diferenciables, además cos, sen, por lo que cumples las ecuaciones de Cauchy- Riemann. La expresión de será entonces cos sen. Corolario: Si Ω tiene módulo constante en el abierto conexo Ω, entonces f es contante en Ω. Los dos teoremas siguientes se demuestran de forma análoga que sus correspondientes en funciones reales de variable real. Teorema: Regla de la cadena I.P.A. Matemática 10 Leandro Villar

11 Si Ω y Ω, con Ω Ω, entonces la función compuesta : Ω C, es holomorfa en Ω y su derivada es. Teorema: Derivada de la función inversa. Sea : Ω Ω invertible con inversa : Ω Ω continua. Si Ω y 0, Ω, entonces Ω y con, Ω, Ω. Ejemplo: Derivada del logaritmo complejo La función restringida Ω C, tiene como imagen el abierto Ω C R, 0. Además es invertible y se cumple que. Utilizando el teorema anterior, es holomorfa en Ω, y su derivada es 1 1 I.P.A. Matemática 11 Leandro Villar

12 1.6 Integración compleja Introducción al Análisis Complejo Definición: Integral compleja Sea :Ω una función continua, y una curva C 1 a trozos :,,, se define la integral de a lo largo de la curva como: Propiedades de la integral compleja: 1) la misma). es independiente de la parametrización C 1 a trozos (si la orientación de la curva es 2) 3) 4), con C constante. 5) Ejemplo: Calculemos la integral de la función :Ω C, a lo largo de circunferencia de centro en el punto y radio 0, recorrida una sola vez en sentido antihorario. La parametrización será, 0,2. Entonces: Definición: Dada una función :Ω C se llama primitiva de en Ω a cualquier función Ω que cumpla que, Ω. Teorema: Regla de Barrow Si una función :Ω C es continua y existe primitiva de en Ω, entonces para toda curva cerrada Ω con extremo inicial y extremo final se cumple:. Si Ω es cerrada, entonces 0. I.P.A. Matemática 12 Leandro Villar

13 La función :Ω, es holomorfa, por lo que es continua en Ω. Sin embargo, por el contrarrecíproco de la Regla de Barrow no tiene primitiva. A diferencia de lo que sucede con las funciones reales de variable real, las funciones complejas continuas no tienen necesariamente primitiva. El Teorema fundamental del cálculo es válido pero agregando una hipótesis extra a la continuidad de la función, que la integral para toda curva cerrada sea 0. Pero en el abierto Ω,,, 0, la función holomorfa y su derivada es. Entonces es una primitiva de en Ω. es Corolario: Si Ω tiene derivada nula en Ω, entonces es constante en cada componente conexa de Ω. Teorema fundamental del cálculo: Sea continua en Ω. a) Si existe alguna función definida en Ω que cumpla para toda componente conexa R de Ω para algún punto, para todo y para toda curva Ω que una con, entonces es una primitiva de en Ω. en Ω. b) Si 0 para toda curva cerrada contenida en Ω, entonces existe una primitiva de Teorema: Acotación de integrales Sea Ω una curva C 1 a trozos, con :, y con longitud L. Sea continua en Ω, y sea á. Entonces se cumple: I.P.A. Matemática 13 Leandro Villar

14 1.7 Convergencia uniforme de series de funciones complejas es una sucesión de funciones complejas, en las que el conjunto es el dominio común a todas las. Definición: Convergencia puntual Una serie de funciones converge puntualmente a la función para todo, si para cada existe el siguiente límite: lim De otra forma: dado, y dado 0, existe tal que si, entonces Si la serie de funciones converge puntualmente a la función para todo, escribimos, Definición: Convergencia absoluta La serie de funciones converge absolutamente para todo, si la serie de los módulos converge puntualmente para todo. Definición: Convergencia uniforme La serie de funciones converge uniformemente en, si existe una función definida en tal que dado 0, existe tal que si, entonces En la convergencia puntual, el depende de cada, mientras que para la convergencia uniforme, el que se debe encontrar debe ser independiente de. Sin una serie de funciones converge uniformemente, entonces converge puntualmente. Sin embargo no es cierto el recíproco. I.P.A. Matemática 14 Leandro Villar

15 Ejemplo: Serie geométrica La serie geométrica de razón, converge puntualmente para todo tal que 1: 1 1, 0 La convergencia de esta serie no es uniforme en 0. Teorema: Criterio de la mayorante de Weierstrass Si para todo y converge, entonces converge uniforme y absolutamente en. Ejemplo: La serie de funciones converge uniformemente en cualquier conjunto compacto contenido en 0. Demostración: Sea á. Como 0 y es compacto, entonces 1. Además, para todo. Llamando, se tiene que converge por ser geométrica de razón real no negativa y 1. Entonces, por el criterio de la mayorante de Weierstrass, converge uniformemente en. Teorema: Convergencia uniforme y continuidad. Si la función es continua en para todo 0, y si converge uniformemente en, entonces es continua en. Teorema: Convergencia uniforme e integración Si la función es continua en para todo 0, y si converge uniformemente en, entonces para cualquier curva C 1 contenida en : Ejemplo: Para cualquier curva 0 que una el origen con el punto, por ser compacta, y sustituyendo por ; I.P.A. Matemática 15 Leandro Villar

16 1 1 Introducción al Análisis Complejo 1 1 Como además 1 es una primitiva de primitiva en 0. Además se tiene que aplicando la regla de Barrow a series de potencias de 1 es: para todo que no sea real 1, es 0, el desarrollo en I.P.A. Matemática 16 Leandro Villar

17 Capítulo 2 Funciones anlíticas, Teoría de Cauchy 2.1 Funciones analíticas Definición: Una función :Ω se dice analítica en el punto Ω, si existe un disco, 0, tal que para todo Ω: La serie converge puntualmente para todo fijo en. Dicha serie se llama desarrollo en serie de potencias centrado en de la función. Una función :Ω se dice analítica en Ω si es analítica en todo Ω. Teorema: Sea analítica en. Escribimos,, 0. Se cumple: a), analítica en y,. b) En existen las derivadas de orden, para todo 1 (. c) es C en. d) Los coeficientes del desarrollo en serie de centrado en son: e) La serie compacto.,,! 0. converge uniforme y absolutamente en todo conjunto Sea la serie. Utilizando el criterio de la raíz de Cauchy para clasificar series de términos positivos, la serie converge absolutamente si limsup 1 y diverge si limsup 1. Si, entonces la serie converge absolutamente si 1/ limsup y diverge si 1/ limsup I.P.A. Matemática 17 Leandro Villar.

18 El máximo para el que Introducción al Análisis Complejo converge absolutamente para todo es 1/ limsup. Este es llamado radio de convergencia de la serie de potencias y al disco abierto limsup se lo llama disco de convergencia de la serie de potencias. Si 0, entonces, y C. Por el teorema anterior, la función : C C, tiene como desarrollo centrado en el origen la serie. Se cumple que limsup! 0 y! 0 C. Entonces puede escribirse!!. Sea R, entonces: 1 1! 2! 3! 4! 3! 1 2! 4! 1! 3! 3! La reordenación de los términos puede hacerse ya que la serie converge absolutamente. El primer paréntesis es el desarrollo de la función real cos y el segundo paréntesis corresponde al desarrollo de la función real. Entonces se deduce que cos. Además cos cos. De donde 2cos, y también 2. Lo que da lugar a las siguientes expresiones: cos 2 2 Teorema: Sea analítica en Ω, siendo Ω un abierto conexo. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) 0, Ω. b) Para algún Ω se cumple 0, 0. c) Existe un punto de acumulación Ω del conjunto donde se anula. Corolario: Si una función analítica no es idénticamente nula en una región Ω, entonces los puntos donde se anula son aislados. Teorema: Funciones analíticas construidas mediante integrales I.P.A. Matemática 18 Leandro Villar

19 Sea : Ω una función continua. Sea Ω una curva. Se define para cada fijo, el valor complejo dado por la integral siguiente: Entonces, como función de es analítica en, y la derivada n-ésima de para todo está dada por la siguiente fórmula integral:! I.P.A. Matemática 19 Leandro Villar

20 2.2 Teoría del índice Introducción al Análisis Complejo Definición: Índice de una curva cerrada Dada una curva cerrada :,, orientada para creciente, y dado punto, se llama índice de en el punto, y se denota, a la cantidad entera de vueltas que da alrededor de. Teorema del índice: Sea una curva cerrada C 1 a trozos. Para todo se cumple que: 1 2 Propiedades del índice: Para toda curva cerrada, el índice definido para todo cumple que: a) Es un número entero constante en las componentes conexas de C. b) Es cero en la componente conexa no acotada de C. I.P.A. Matemática 20 Leandro Villar

21 2.3 Teoría de Cauchy local Introducción al Análisis Complejo Siendo Ω un abierto en, Ω es un rectángulo contenido en Ω. indica todos los puntos que están en el interior y en borde del rectángulo. es el borde del rectángulo, el cual, considerado como una curva, es C 1 a trozos y está formada por cuatro segmentos que son los lados del rectángulo. Dicha curva se considera orientada en sentido antihorario y recorrida una sola vez. Teorema de Cauchy local en rectángulos: Sea Ω, y Ω un rectángulo. Entonces 0 Además se cumple el recíproco de este teorema si es una función continua. El recíproco es conocido como Teorema de Morera. El Teorema de Cauchy local en rectángulos, junto con el Teorema de Morera se plantearía de la siguiente manera: Teorema: Sea una función continua en el abierto Ω. Entonces: Ω 0 Teorema de Cauchy-Goursat local en rectángulos: Sea Ω y sea Ω tal que lim 0. Sea Ω un rectángulo tal que su borde no pasa por. Entonces: 0 Teorema: Fórmulas integrales de Cauchy local en rectángulos Sea Ω. Sea Ω un rectángulo. Sea un punto en el interior de. Sea el borde del rectángulo, recorrido una sola vez en sentido antihorario. Entonces: 1 2 y además se cumple la siguiente relación con las derivadas de : I.P.A. Matemática 21 Leandro Villar

22 ! 2 Teorema: Analiticidad de las funciones holomorfas Una función es holomorfa sí y solo sí es analítica. La importancia de este teorema radica en que prueba que las funciones holomorfas y las funciones analíticas son exactamente las mismas. De aquí en más, Ω representa no solo el conjunto de todas las funciones holomorfas en Ω, sino también al conjunto de todas la funciones analíticas en Ω. Como toda función holomorfa es analítica, se cumple lo siguiente: Sea Ω. Se cumple: a) Existen en Ω las derivadas de orden, para todo 1 ( Ω. b) es C en Ω. c) Los coeficientes del desarrollo en serie de centrado en son: d) La serie compacto Ω.,,! 0. converge uniforme y absolutamente en todo conjunto Corolario: Si es analítica en Ω, entonces también es analítica en todos los puntos del disco donde converge la serie de potencias de centrada en. Corolario: Si Ω es acotada en algún entorno de entonces se puede extender holomórficamente a Ω. I.P.A. Matemática 22 Leandro Villar

23 2.4 Teoría de Cauchy global Introducción al Análisis Complejo Teorema de Cauchy global: Sea Ω y sea una curva homotópica a un punto en Ω. Entonces: 0 Además se cumple el recíproco de este teorema si es una función continua. El Teorema de Cauchy junto con su recíproco se plantearía de la siguiente manera: Teorema: Sea una función continua en el abierto Ω. Entonces para toda curva cerrada homotópica a un punto: Ω 0 El Teorema de Cauchy es la pieza fundamental que nos permitirá calcular integrales impropias. Consideraremos una curva cerrada homotópica a un punto como + + Entonces 0. Si pudiéramos calcular todas las integrales menos una de ellas por separado, esta última también la podríamos calcular despejándola en la igualdad anterior. Corolario: Sea Ω. Sean y dos curvas en Ω, ambas con el mismo extremo inicial y el mismo extremo final. Si es homotópica a en Ω, entonces: Corolario: Relación entre curvas homotópicas e índice: a) Sea Ω una curva cerrada. Si es homotópica a un punto en Ω, entonces 0, para todo Ω. b) Sean y dos curvas cerradas en Ω, y con el mismo extremo inicial y el mismo extremo final. Si y son homotópicas en Ω, entonces, para todo Ω. I.P.A. Matemática 23 Leandro Villar

24 Las siguientes fórmulas integrales nos serán de utilidad para cuando queramos calcular integrales impropias, ya que si logramos escribir a una función como, o como podremos utilizar alguna de la siguiente fórmulas para calcular la integral de a lo largo de una curva cerrada homotópica a un punto. Teorema: Fórmula integral de Cauchy global Sea Ω y sea una curva cerrada homotópica a un punto en Ω. Sea Ω un punto por el que no pasa. Entonces: 1 2. Teorema: Fórmula integral de Cauchy global para las derivadas Sea Ω y sea una curva cerrada homotópica a un punto en Ω. Sea Ω un punto por el que no pasa. Entonces:! 2. I.P.A. Matemática 24 Leandro Villar

25 Capítulo 3 Consecuencias de la Teoría de Cauchy 3.1 Teorema Fundamental del Álgebra Definición: Sea una función continua en Ω. tiene un máximo local en Ω si existe un disco abierto Ω tal que. Teorema: Principio del módulo máximo Sea Ω un abierto conexo y Ω. Si tiene algún máximo local en Ω, entonces es constante en Ω. Corolario: Sea Ω un abierto conexo y Ω. Sea un disco cerrado Ω, y sea á. Si no es constante en Ω entonces el máximo en se alcanza solamente en la frontera. Teorema: Desigualdad de Cauchy Sea Ω. Para todo Ω, para todo 0 tal que Ω se cumple: siendo á.! Teorema de Liouville: Si una función entera está acotada, entonces es constante. Demostración: Sea C un punto cualquiera fijo, y una cota de para todo C. Por la desigualdad de Cuachy, para la derivada primera se cumple que: 0 0 I.P.A. Matemática 25 Leandro Villar

26 Como la desigualdad es válida para todo 0, tomando se llega a que 0. Como es un complejo cualquiera, se deduce que 0. Entonces por el corolario de la Regla de Barrow es constante. Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio con coeficientes complejos de grado 1 tiene exactamente raíces complejas, no necesariamente distintas. Demostración: Primero supongamos que el polinomio de grado k, con 0 no se anula para ningún. Consideremos la función 1 no se anula nunca y es entera ya que es el cociente de funciones holomorfas en, y además no se anula. Probemos ahora que es acotada. Tomando: 1 lim lim 0 Por la definición de límite cuando, y fijando 0, existe 0 tal que si entonces. Por lo tanto está acotada por fuera del disco cerrado 0. En 0, es continua, por lo que tiene un máximo. Tomando máx, se tiene que,. Por el teorema de Liouville, es constante en. Esta constante no es cero ya que no se anula nunca. Entonces es contante y tiene grado cero, lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto el polinomio tiene al menos una raíz compleja. Sea una raíz de. Entonces es divisible por y, donde es un polinomio de grado 1. El mismo proceso puede repetirse veces, hasta que el grado de sea cero, lo donde resultaría que. Entonces:,,, son las raíces, no necesariamente distintas, del polinomio. Además, la constante no es cero, ya que de serlo sería nulo y no tendría grado 1. I.P.A. Matemática 26 Leandro Villar

27 3.2 Cálculo de integrales impropias. Lema de deformación de curvas: Sea : continua, y el arco de circunferencia,. a) Si lim entonces b) Si lim 0 entonces lim lim 0 Aplicación: Nuestro objetivo será calcular integrales impropias que ya sabemos que son convergentes. Una integral impropia de primera especie se define como: lim ó lim R Para utilizar la Teoría de Cauchy, consideraremos una curva cerrada como se muestra en el siguiente dibujo. La función será la restricción R de una función de variable compleja. Nuestra curva será entonces,. I.P.A. Matemática 27 Leandro Villar

28 Si podemos escribir / para todo de un abierto Ω que contenga al semiplano 0, si es holomorfa en Ω y está en la región encerada por, entonces podemos aplicar la fórmula de Cauchy para las derivadas: Si luego tomamos límite cuando : si existe lim de curvas. 2! 2! lim, el cual trataremos de calcular mediante el Lema de deformación Ejemplo 1: 1 4 Como se mencionó antes, consideremos la curva,, donde el arco de circunferencia, 0. es: La función es holomorfa en Ω 2 2 Como 2 queda por fuera de la curva, dicha curva es homotópica a un punto en Ω. En la región encerrada por está el punto 2, donde se anula el denominador de. 2 2 Aplicando la fórmula de Cauchy para las derivadas: Entonces se tiene que: Aplicando luego el Lema de deformación de curvas: lim lim 4 0 lim 0 Por lo que tomando límite cuando : I.P.A. Matemática 28 Leandro Villar

29 16 Ejemplo 2: Dado que es par, 1, así que calcularemos Consideremos la curva,, donde el arco de circunferencia, 0. es: La función 1 es holomorfa en Ω. Como queda por fuera de la curva, dicha curva es homotópica a un punto en Ω. En la región encerrada por está el punto, donde se anula el denominador de. 2 2 Aplicando la fórmula de Cauchy para las derivadas: Entonces se tiene que: Aplicando luego el Lema de deformación de curvas: lim lim 1 0 lim 0 Por lo que tomando límite cuando y por la paridad de : 2 4. Lema de Jordan, primera parte: Se cumple que para todo 0: 0 I.P.A. Matemática 29 Leandro Villar

30 y: lim 0 Lema de Jordan, versión general: Si es una función compleja continua para todo con y que además cumple que,. Entonces para 0 constante, y para Γ un arco contenido en la semicircunferencia, 0 : Si además lim 0, entonces: lim Ejemplo 1 Calcularemos esta integral como lim lim, 0, y trabajaremos con la función, que es holomorfa en Ω C 0. Debemos considerar una curva que deje por fuera al 0, ya que por el Teorema de Cauchy, la integral de a lo largo de esa curva homotópica a un punto en Ω es 0. Nuestra curva será,, donde el arco de circunferencia, 0 y el arco de circunferencia, 0. I.P.A. Matemática 30 Leandro Villar

31 Por el Teorema de Cauchy : Además:,, 0 Entonces: Realizando el cambio de variable en la segunda integral tenemos que: Entonces: Como 2, y tomando límite cuando 0 y : lim lim 2 lim lim La función es continua en el compacto 0,, 0,2, por lo que es uniformemente continua. Entonces: lim También podemos realizar la siguiente acotación: lim Tomando límite cuando, y utilizando el Lema de Jordan: Concluimos entonces que: lim Ejemplo 2: cos 1 I.P.A. Matemática 31 Leandro Villar

32 Calcularemos esta integral como lim Introducción al Análisis Complejo, y trabajaremos con la función, que es holomorfa en Ω C,. Consideraremos la curva, 0 0, donde el arco de circunferencia, 0 y es la circunferencia,. La curva deja por fuera a y a, por lo que es homotópica a un punto en Ω. Por el Teorema de Cauchy, la integral de a lo largo de es 0. Entonces:, 1 Lo que podemos escribir como: 1, Realizando el cambio de variable en la primera integral tenemos que: Entonces: Como 2, y tomando límite cuando y : lim lim 1 A la última función podemos aplicarle el Lema de Jordan, ya que lim 0 0. Entonces: I.P.A. Matemática 32 Leandro Villar

33 lim Consideremos ahora la función g apliquémosle la fórmula integral de Cauchy: la cual es holomorfa en Ω y 1. es 1 ya que da una sola vuelta alrededor de. Entonces: 1 2 Finalmente tenemos lo siguiente: 2 Por la paridad de : cos 1 cos 1 1 cos 1 2 Profundizando en el estudio de las funciones complejas se obtienen otros resultados que posibilitan el cálculo de integrales impropias. Por ejemplo, el estudio de las singularidades (puntos donde una función no está definida, o de estarlo, la función no es holomorfa) y la Teoría de los residuos, amplía la gama de integrales que pueden ser calculadas. Como se dijo anteriormente, este trabajo es solo una introducción al Análisis Complejo, en el cual se trató una de sus aplicaciones. En los cursos anteriores de Análisis nos conformábamos con estudiar la convergencia de una integral impropia, ya que eran muy pocas las herramientas disponibles para poder calcularlas. Si bien la Teoría de Cauchy no nos permite calcular cualquier integral, nos aporta una herramienta más. I.P.A. Matemática 33 Leandro Villar

34 Bibliografía (1) Catsigeras, E.: Funciones de variable compleja (2006) (2) Krantz, S.G.: Complex analysis: the geomtric viewpoint (1990) (3) Vera, G.: Lecciones de análisis complejo (?) I.P.A. Matemática 34 Leandro Villar

Variable Compleja. José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com

Variable Compleja. José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com Variable Compleja José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación

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