Modelo Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

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1 odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función de los rngos de ls trices de coeficientes () plid () según el teore de Rouchè-Frobenius. rg rg n Si rg rg n. Siste coptible deterindo. Se discute el tipo de siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes ( ). ( ) det ; ; ; Discusión. i. Si rg rg n. Siste coptible deterindo. ii. Si rg < rg. Pr clculr el rngo de l tri plid se tiene en cuent que rg rg rg. Pr estudir si l tri plid tiene rngo se estudin los enores orldos l enor. De los dos enores orldos uno de ellos es el deterinnte de l tri de coeficientes que es cero el otro es el fordo por l ª ª ª colun. rg rg. Siste incoptible. b.. Teniendo en cuent que el siste es coptible deterindo se puede resolver edinte el étodo de Crer. ; Solución ; ; ;

2 Septiebre. jercicio B. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste de ecuciones lineles dependiente del práetro ) Discútse el siste según los diferentes vlores de b) Resuélvse el siste pr. l siste está definido por ls trices de coeficientes plid. rg rg n Si rg rg n el siste será coptible deterindo por lo tnto se discute el tipo de solución del siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) ( ) ( ) ( ) Discusión i. Si ±. rg rg n S.C.D. (solución únic étodo de Crer) ii. Si rg <. rg. Pr estudir el rngo de l tri plid se prte del enor de orden dos distinto de cero utilido en l tri de coeficiente se estudin sus enores orldos uno de ellos es el deterinnte de l tri de coeficientes que es cero solo qued por estudir el enor n rg rg < siste coptible indeterindo. iii. Si rg <. rg. Pr estudir el rngo de l tri plid se sigue el iso procediiento utilido en el prtdo nterior quedndo por estudir solo el enor rg rg siste incoptible. iv. Si rg <. rg. Pr estudir el rngo de l tri plid se sigue el iso procediiento utilido en el prtdo

3 nterior quedndo por estudir solo el enor rg rg siste incoptible b. Pr siste coptible deterindo. Se puede resolver por culquier étodo. Utilindo el étodo de Crer Solución Junio. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependientes del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R b) Resuélvse pr.. rg rg. n. Si n rg rg Siste coptible deterindo. Se discute el tipo de solución del siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) det ; Discusión i. Si. n rg rg Siste coptible deterindo.

4 ii. Si. rg < ( ) rg. rg. De los enores orldos l enor solo qued por estudir rg rg. Siste incoptible. b. Pr siste coptible deterindo se puede resolver edinte el étodo de Crer. odelo. Proble.- (Clificción ái puntos) Discútse el siste siguiente en función del práetro R l siste viene definido por ls tices de coeficientes () plid (). n ; rg rg Si n rg rg Siste coptible deterindo. Se discute el tipo de solución del siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) ( ) ( ) Discusión. i. Si. n rg rg Siste coptible deterindo.

5 ii. Si.. rg < ( ) rg. rg. De los enores orldos l enor solo qued por estudir rg rg. Siste incoptible. iii. Si.. rg < ( ) rg. rg. De los enores orldos l enor solo qued por estudir rg rg. Siste coptible indeterindo. Septiebre. jercicio B. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste de ecuciones dependiente del práetro rel () Discútse el siste según los diferentes vlores de. (b) Resuélvse el siste pr. (c) Resuélvse el siste pr.. Siste de tres ecuciones con tres incógnits que viene definido por ls trices de coeficientes() plid(). rg rg Si el deterinnte de es distinto de cero el rngo de coincide con el de con el núero de incógnits el siste será coptible deterindo. Teniendo en cuent lo nterior se discute el tipo de solución del siste pr los vlores del práetro que nulen el deterinnte de l tri de coeficientes ( ). ( ) ( )( ) ( )( ) Discusión. i. Si. n rg rg. Siste coptible deterindo.

6 ii. Si. rg < rg. Pr estudir el rngo de l plid se prte del enor de orden dos distinto de cero solo se estudin sus enores orldos. De los enores orldos solo qued por estudir el fordo por l ª ª ª colun rg rg. Siste incoptible. iii. Si. rg < rg. Pr estudir el rngo de l plid se prte del enor de orden dos distinto de cero solo se estudin sus enores orldos. De los enores orldos solo qued por estudir el fordo por l ª ª ª colun n rg rg. Siste coptible indeterindo. b. Pr. Siste coptible deterindo (étodo de Crer). o Solución ( ) c. Pr. Siste coptible indeterindo de rngo. De ls tres ecuciones que tiene el siste solo dos son linelente independientes. Pr seleccionr ls linelente independientes se escogen ls que contienen los térinos del enor de orden dos distinto de cero que tribuo rnngo sos l siste. S' S l siste se resuelve en función de un práetro. Se seleccion coo práetro l vrible cuos coeficientes no forron prte del enor de orden dos distinto de cero selecciondo pr deterinr el rngo del siste ( ). ( ) ; ( ) Solución ( ) R

7 Junio. jercicio. (Puntución ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ( ) ( ) () Discútse el siste según los diferentes vlores de. (b) Resuélvse el siste en el cso en el que tiene infinits soluciones. (c) Resuélvse el siste en el cso.. L discusión del siste se hce en función del rngo de ls trices de coeficientes () de l plid () rg rg Si n rg rg. Siste coptible deterindo por tnto se estudi el siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) ( )( ) ; ( )( ) Discusión. i. Si. rg rg n. Siste coptible deterindo ii. Si. rg <. rg rg. De los enores orldos l enor solo qued por estudir rg <. rg rg n. Siste coptible indeterindo iii. Si. rg <. rg. rg. De los enores orldos l enor solo qued por estudir rg. rg rg. Siste incoptible

8 b. l siste tiene infinits soluciones cundo es coptible indeterindo ( ) l rngo del siste (rg rg ) indic que solo h dos ecuciones linelente independientes pr segurrse de coger ls corrects se eliin l ecución cuos coeficientes no forron prte del enor de orden (se eliin l tercer. Pr resolver el siste teniendo en cuent que h incógnits ecuciones se consider un de ls vribles coo constnte se trnsfor en práetro resolviendo ls otrs vribles en función del práetro. Pr no equivocrse en l elección del práetro se to l vrible cuos coeficientes no forron prte del enor de orden (). Pr resolver el siste resultnte se puede epler culquier étodo o recoiendo el étodo de Crer. Solución ( ) R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c. Pr siste coptible deterindo. ( ) ( ) ; Solución odelo. jercicio. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel

9 ) Discútse el siste pr los diferentes vlores de. b) Resuélvse el siste en el cso en que teng infinits soluciones. c) Resuélvse el siste pr.. l siste est descrito por l tri de coeficientes () l tri plid (). rg rg n Si el rg rg n. Siste coptible deterindo. Se discute el tipo de solución pr los vlores del práetro K que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) ( )( ) det ( )( ) Discusión i. Si. rg rg n. Siste coptible deterindo ii. Si. rg <. Se busc un enor de orden dos distinto de cero pr coprobr si l tri tiene rngo. rg. l rngo de l tri plid se estudi en los enores orldos. De los dos enores orldos uno de ellos es el deterinnte de l tri de coeficientes por lo tnto solo qued por estudir rg. Siste coptible indeterindo (rg rg < n ). iii. Si. rg <. Se busc un enor de orden dos distinto de cero pr coprobr si l tri tiene rngo. rg. l rngo de l tri plid se estudi en los enores orldos. De los dos enores orldos uno de ellos es el deterinnte de l tri de coeficientes solo qued por estudir rg. Siste incoptible indeterindo (rg rg ).

10 b. Se pide resolver el siste coptible indeterindo ( ). Por ser de rngo el siste tiene dos ecuciones linelente independientes por lo que se debe eliinr un. unque en este cso qued clro que deberá ser l ª o l ª (son igules) nte culquier dud se eliinrn ls que no foren prte del enor de orden dos distinto de cero. Pr resolver el siste se trnsfor un vrible en práetro se resuelve el siste en función de él. L vrible que se trnsfor en práetro en l que sus coeficientes no forron prte del enor de orden dos distinto de cero ( ) Solución ( ) R. c.. Siste coptible deterindo. Se resuelve por culquier étodo (Crer). ( )( ) ( )( ) Junio. jercicio. (Puntución ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse el siste según los diferentes vlores de b) Resuélvse el siste en el cso en que teng infinits soluciones. c) Resuélvse el siste pr.. l siste est definido por l tri de coeficientes () por l plid (). n ; rg rg Si el rg rg n. Siste coptible deterindo por lo que se discute el siste pr los vlores del práetro que nuln l tri de coeficientes.

11 ( ) ( ) Discusión i. Si. Siste coptible deterindo. ii. Si. rg <. H que buscr un enor de orden dos distinto de cero. rg. Prtiendo del enor en l tri plid solo qued un enor orldo por estudir el fordo por ls coluns ª ª ª. rg incoptible Siste rg. rg iii. Si. rg <. H que buscr un enor de orden dos distinto de cero. rg. Prtiendo del enor en l tri plid solo qued un enor orldo por estudir el fordo por ls coluns ª ª ª. rg < coptible indeterindo Siste. n rg rg < Siste equivlente ' S b. ' S Restndo ls ecuciones se obtiene el vlor de. Solución ( ) R c.. Siste coptible de terindo (Crer)

12 ; ; Solución Septiebre. F.. jercicio B. (Puntución ái puntos) Se considern ls trices ( ) ; X ; O c) Pr clcúlense tods ls soluciones del siste linel X. c. Siste hoogéneo rg rg Siste coptible. ( ) S.C.I. S.C.D. Pr rg rg < n. Siste coptible indeterindo. Tondo coo ecuciones linelente independientes ls que contienen el enor de orden dos distinto de cero ' S Pr resolver el siste se to coo práetro l vrible cuos coeficientes no forron prte del enor de orden. ( ) R ' S Septiebre. F.G. jercicio. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse el siste pr los diferentes vlores del práetro. b) Resuélvse el siste pr el vlor de pr el cul el siste tiene infinits soluciones. c) Resuélvse el siste pr. Operndo e igulndo ls trices se obtiene el siste de ecuciones lineles. ste prier pso no es necesrio hcerlo.

13 . l siste est definido por l tri de coeficientes () l tri plid (). rg rg n Si el deterinnte de l tri de coeficientes en distinto de cero el rg rg n el siste es coptible deterindo. Se estudi el tipo de solución pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. det ( ) Discusión. i. Si. rg rg n. Siste coptible deterindo. ii. Si. rg <. rg. l rngo de l plid se estudi prtir del enor de orden dos estudindo sus enores orldos. De los dos enores orldos uno es el deterinnte de l tri de coeficientes que es nulo solo nos qued uno ás por estudir que está fordo por ls coluns ª ª ª. rg < rg rg < n. Siste coptible indeterindo rg rg b. Pr. S S' l rngo del siste () infor del núero de ecuciones linelente independientes que son ls que se deberán usr pr resolver el siste. Pr seleccionr ls ecuciones linelente independientes recoiendo tor ls ecuciones que contienen los coeficientes del enor de orden dos distinto de cero que h peritido definir el rngo del siste de est for nos seguros que ls ecuciones escogids son linelente independientes en nuestro cso l ª l ª. Coo el núero de incógnits es superior l núero de ecuciones linelente independientes es necesrio trnsforr un incógnit en práetro resolver el siste en función del práetro. n l selección de l incógnit que se debe trnsforr en práetro recoiendo tor coo práetro l vrible cuos coeficientes no se usron en el enor de orden dos (). S' S' Pr resolver el siste se puede usr culquier étodo recoiendo el étodo de Crer por ser el ás etódico. ( )

14 ( ) Solución R c. Siste coptible deterindo. Solución Junio. F.G. jercicio B. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse el siste según los diferentes vlores de. b) Resuélvse el siste en el cso en que teng infinits soluciones. c) Resuélvse el siste pr. Ls trices que definen el tipo de siste son l tri de coeficientes () plid (). ; rg rg n Si rg rg n siste coptible deterindo teniendo en cuent esto se estudi el tipo de solución pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. det Discusión. i. Si rg rg n Siste coptible deterindo. ii. Si. rg <. rg

15 rg. De los dos enores orldos l enor solo qued por estudir el fordo por l ª ª ª colun rg. rg rg. Siste incoptible iii. Si. rg <. rg rg. De los dos enores orldos l enor solo qued por estudir el fordo por l ª ª ª colun rg <. rg rg < n. Siste coptible indeterindo b. Pr el siste es coptible indeterindo de dos ecuciones tres incógnits. Pr escoger ls ecuciones que son linelente independientes se ton ls que contienen los coeficientes del enor de orden dos (ª ª). Pr resolver el siste se trsfor un vrible en práetro recoiendo tor coo práetro l vrible cuos coeficientes no forron el enor de orden (). Solución c. Pr siste coptible deterindo se resuelve por el étodo de Crer. ; ; ( ) ; ; Solución ( )

16 Junio. F.G. jercicio B. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel d) Discútse el siste según los diferentes vlores de. e) Resuélvse el siste pr el vlor de pr el cul el siste tiene infinits soluciones. f) Resuélvse el siste pr. l siste lo crcterin l tri de coeficientes () l plid ( ). rg rg ; n Si n rg rg Siste coptible deterindo. Se discute el tipo de solución pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) ( ) ( ) ( ) Discusión i. Si rg rg n. Siste coptible deterindo (Crer). ii. Si rg < ( ) rg. l rngo de l plid se estudi prtir del enor de orden distinto de cero utilido pr deterinr el rngo de l tri de coeficientes. De los orldos enores orldos l enor de orden dos del que prtios solo qued por estudir el enor de orden tres fordo por l º º º colun. rg rg. Siste incoptible iii. Si rg < rg. De los enores orldos solo qued por estudir el fordo por l ª ª ª colun.

17 rg rg rg < n. Siste coptible indeterindo. b. Pr siste coptible indeterindo de rngo lo cul indic que solo h dos ecuciones linelente independientes. Se ton coo linelente independientes ls ecuciones que contienen los térinos del enor de orden dos distinto de cero. ' S Siste de dos ecuciones con tres incógnits pr resolverlo se trnsfor un vrible en práetro escogiéndose coo práetro l vrible cuos coeficientes no forron prte del enor de orden (). S' plicndo el étodo de Crer se obtiene l solución. ( ) ( ) ( ) ( ) Solución ( ) R c. Pr. Siste coptible deterindo. étodo de Crer. S ; ; ( ) ; ; Solución odelo. jercicio. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel

18 ) Discútse el siste pr los diferentes vlores de. b) Resuélvse el siste en el cso en que teng infinits soluciones. c) Resuélvse el siste pr.. Siste de tres ecuciones con tres incógnits que viene descrito por ls tices de coeficientes () plid (). rg rg. n L discusión del tipo de solución en función del práetro se puede hcer de dos fors i. Por el teore de Rouché ii. Por Guss. Por el teore de Rouché-Frobenius. Si el deterinnte de l tri de coeficientes es distinto de cero el rngo de l tri es tres el de l plid tbién ( rg rg ) coincide con el núero de incógnits siste coptible deterindo. Por lo tnto se discute el siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. Por Guss. Por ser un siste con igul núero de ecuciones que de incógnits si el deterinnte de l tri de coeficientes es distinto de cero el siste es coptible deterindo. Por lo tnto se discute el siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) ( ) det ( ) Discusión (Rouché-Fröbenius) i. Si. rg rg n. Siste coptible deterindo (solución únic). Se puede clculr edinte el étodo de Crer. ii. Si. rg <. rg. rg ( no puede tener enor rngo que ). Si se to coo referenci el enor de sus enores orldos solo que qued por estudir el fordo por l ª ª ª colun el otro es el deterinnte de l tri de coeficientes que pr es nulo.. rg rg. Siste incoptible (no tiene solución). iii. Si. rg <. rg. rg ( no puede tener enor rngo que ). Si se to coo referenci el enor

19 de sus enores orldos solo que qued por estudir el fordo por l ª ª ª colun el otro es el deterinnte de l tri de coeficientes que pr es nulo.. rg rg < n. Siste coptible indeterindo (infinits soluciones). Discusión (Guss) i. Si.. Siste coptible deterindo (solución únic). Se puede clculr edinte el étodo de Crer. ii. Si Siste incoptible (no tiene solución). Se produce un incongruenci entre l ª ª ecución. iii. Si { } Siste coptible indeterindo (infinits soluciones). b. l siste tiene infinits soluciones pr. Dos étodos Crer ó Guss. Crer. QUIV Siste de dos ecuciones con tres incógnits. Pr resolverlo se trnsfor un vrible en práetro ( ) se resuelven ls otrs dos en función del práetro () edinte culquier étodo (Crer) Solución Guss. Solución c. Pr. Siste coptible deterindo solución únic. Dos étodos Crer ó Guss. Crer.

20 Solución Guss. { } Solución Septiebre. jercicio B. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse el siste según los vlores de. b) Resuélvse el siste en el cso en que teng infinits soluciones c) Resuélvse el siste pr. Siste de tres ecuciones con tres incógnits en el que l tri de coeficientes depende de un práetro. l siste viene definido por ls trices n rg rg Si rg rg n. Siste coptible deterindo. Teniendo en cuent lo nterior se discute el tipo de solución del siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes ( ). ( ) ( ) ( ) det ( ) ( ) Discusión i. Si. rg rg n. Siste coptible deterindo. ii. Si. rg <. rg

21 teniendo en cuent que rg rg. De los enores orldos solo qued por estudir el enor rg rg Siste Incoptible iii. Si. rg <. rg teniendo en cuent que rg rg. De los enores orldos solo qued por estudir el enor rg rg < n Siste coptible indeterindo. b. l siste tiene infinits soluciones pr. quivlente Siste de dos ecuciones con tres incógnits se resuelve en función de un de ls vribles que se convierte en un práetro ( ). l siste se resuelve por sustitución Solución ( ) c.. Teniendo en cuent el prtdo siste coptible deterindo. Crer. ( ) ( ) ( ) Junio. jercicio. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste de ecuciones dependiente el práetro rel ) Discútse el siste según los diferentes vlores del práetro. b) Resuélvse el siste en el cso en que teng infinits soluciones. c) Resuélvse el siste pr.. l siste está definido por ls tices de coeficientes (C) plid ().

22 C ntre ests trices se dn ls siguientes relciones C rg C rg n (núero de incógnits) Si el C rg C rg n siendo en ese cso el siste coptible deterindo por tnto se discute el tipo de solución del siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) ( ) C det ( ) C det Discusión. (Rouché) i. Si. C rg C rg n. Siste coptible deterindo. Siste de Crer. ii. Si. rg C C C < rg C. Pr estudir el rngo de l plid se tiene en cuent que rg rg C. Si se prte del enor de orden dos de l tri de coeficientes sus enores orldos son l tri de coeficientes cuo deterinnte es cero el enor fordo por l ª ª ª colun. rg rg C < n. Siste coptible indeterindo. Discusión. (Guss) i. Si. C Siste coptible deterindo. Siste de Crer. ii. Si Se siplificn l ª ª ecución { } Siste coptible indeterindo. b. Pr. l siste equivlente los forn ls dos ecuciones que contienen l enor de orden distinto de cero. Pr resolver el siste se to coo constnte se trnsfor en un práetro ( ). l siste se puede resolver por culquier étodo obteniendo R

23 Si el siste se h discutido por Guss este prtdo se resolverí con el siste socido l tri <> cus soluciones son ls iss. c. Pr el siste es del tipo Crer siendo el deterinnte de coeficientes ( ) C det C ; C ; C Septiebre. jercicio. (Puntución ái puntos) Ddo el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel () Discutir el siste pr los distintos vlores de. (b) Resolver el siste pr.. Siste de tres ecuciones con tres incógnits que viene descrito por ls tices de coeficientes () plid (). rg rg. n L discusión del tipo de solución en función del práetro se puede hcer de dos fors iii. Por el teore de Rouché iv. Por Guss. Por el teore de Rouché-Frobenius. Si el deterinnte de l tri de coeficientes es distinto de cero el rngo de l tri es tres el de l plid tbién ( rg rg ) coincide con el núero de incógnits siste coptible deterindo. Por lo tnto se discute el siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. Por Guss. Por ser un siste con igul núero de ecuciones que de incógnits si el deterinnte de l tri de coeficientes es distinto de cero el siste es coptible deterindo. Por lo tnto se discute el siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) ( ) det ( ) Discusión (Rouché-Frobenius) iv. Si. rg rg n. Siste coptible deterindo (solución únic). Se puede clculr edinte el étodo de Crer.

24 v. Si. rg <. rg. rg ( no puede tener enor rngo que ). Si se to coo referenci el enor de sus enores orldos solo que qued por estudir el fordo por l ª ª ª colun el otro es el deterinnte de l tri de coeficientes que pr es nulo.. rg rg. Siste incoptible (no tiene solución). vi. Si. rg <. rg. rg ( no puede tener enor rngo que ). Si se to coo referenci el enor de sus enores orldos solo que qued por estudir el fordo por l ª ª ª colun el otro es el deterinnte de l tri de coeficientes que pr es nulo.. rg rg < n. Siste coptible indeterindo (infinits soluciones). Discusión (Guss) iv. Si.. Siste coptible deterindo (solución únic). Se puede clculr edinte el étodo de Crer. v. Si Siste incoptible (no tiene solución). Se produce un incongruenci entre l ª ª ecución. vi. Si { } Siste coptible indeterindo (infinits soluciones). b. Dos étodos Crer ó Guss Crer. Solución

25 . QUIV Siste de dos ecuciones con tres incógnits. Pr resolverlo se trnsfor un vrible en práetro ( ) se resuelven ls otrs dos en función del práetro () edinte culquier étodo (Crer) Solución Guss. { } Solución. Solución Junio. jercicio. (Puntución ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discutir el siste pr los distintos vlores de. b) Resolver el siste pr. ) l siste está crcterido por ls tices rg rg n Si el deterinnte de es distinto de cero rg rg n el siste será coptible deterindo pudiendo clculr l solución por el étodo de Crer por lo tnto se discute el tipo de solución del siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes.

26 Discusión. i) Sí ; rg rg n. Siste coptible deterindo L solución se puede obtener edinte el étodo de Crer. ii) Sí ; rg <. ; rg. rg. Los enores orldos l enor uno es el deterinnte de l tri de coeficientes que es cero es otro es rg. rg rg siste incoptible. b) Pr Siste coptible deterindo. Septiebre. jercicio B. (Puntución ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel () Discutir el siste pr los distintos vlores de. (b) Resolver el siste pr.. Siste de tres ecuciones con tres incógnits que viene definido por ls siguientes trices rg rg Si el siste es coptible deterindo por lo tnto se discute el tipo de solución en función de los vlores de que nulen el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) Discusión. i. Si.. Siste coptible deterindo. L solución se puede obtener edinte el étodo de Crer.

27 ii. Si. rg <. Pr estudir si l tri tiene rngo se busc un enor de orden dos distinto de cero ( ) rg. rg. H que estudir si l tri plid tiene rngo pr ello se estudin los enores orldos l enor. De los dos enores orldos uno es el deterinnte de l tri de coeficientes que es nulo el único que qued por estudir es. rg. rg rg < n. Siste coptible indeterindo Otr for de hcer este cso seri por Guss. { } Siste coptible indeterindo b. Pr el siste es coptible deterindo según l discusión del prtdo por tnto se resuelve por el étodo de Crer. odelo.. (Puntución ái puntos) Se el siste de ecuciones lineles dependiente del práetro ( ) ) Discutir el siste pr los diferentes vlores del práetro. b) Resolver el siste en el cso de que teng infinits soluciones. c) Resolver el siste pr.. l siste se puede discutir de dos fors I. Por rngo de trices. II. Por Guss I. Por Rngos de trices. l siste viene definido por ls trices n ; rg rg

28 n todo siste con igul núero de ecuciones que de incógnits si el deterinnte de l tri de coeficiente () es distinto de cero el siste es coptible deterindo. Teniendo en cuent lo nterior se discute el siste pr los vlores del práetro que nuls el deterinnte de. ( ) ( ) [ ] Discusión. Si. n rg rg. Siste coptible deterindo.. Si rg - < rg el único enor de orden orldo que qued por estudir es n rg rg rg < Siste coptible indeterindo. l siste equivlente está fordo por dos ecuciones que son ls ecuciones que contienen los térinos del enor de orden dos (ª ª ecución). S II. Por Guss ( ) ; Discusión. Si. Siste coptible deterindo.. Si.. Siste coptible indeterindo. b. Dependiendo del étodo plicndo en el prtdo I. Por Rngos de trices. cte S

29 plicndo el étodo de Crer se clculn e en función de ( ) ( ) R SOLUCIÓN II. Guss ; cte c De l ª ecución se despej ; se sustitue en l ª ecución pr despejr. ; R SOLUCIÓN c. Dependiendo del étodo epledo en I. Por Rngos de trices.. Siste coptible deterindo l solución se obtiene por el étodo de Crer. - ; ; SOLUCIÓN II. Guss Pr se sustitue en el siste tringul rido. Resolviendo por sustitución ; SOLUCIÓN

30 Septiebre. jercicio B. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste linel de ecuciones que depende del práetro rel p p p () Discutir el siste según los distintos vlores de p. (b) Resolver el siste pr p.. l siste viene definido por ls trices p p p rg rg n (núero de incógnits) Sí el el siste es coptible deterindo por lo tnto se discute el siste pr los vlores del práetro p que nuln el. p p p Discusión i. Si p por tnto rg rg n. Siste coptible deterindo. L solución se puede obtener por el étodo de Crer. ii. Si p. rg <. Se busc un enor de orden dos distinto de cero pr coprobr si tiene rngo. rg. rg >. H que estudir si puede tener rngo tres. Se estudin los enores orldos l enor de orden nterior. De los dos posible uno es el deterinnte de l tri de coeficientes que es cero el otro es el fordo por l ª ª ª colun. rg. rg rg Siste incoptible. b.. Según l discusión del prtdo el siste es coptible deterindo se resuelve por el étodo de Crer.

31 p p Junio.. (puntución ái puntos). Se consider el siguiente siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel Se pide. () Discutir el siste pr los distintos vlores de. (b) Resolver el siste en los csos en los que se posible.. Siste hoogéneo se crcteri por que l tri l son igules (se diferencin en un colun de ceros) por tnto tbién son igules sus rngos por lo que siepre son coptibles. Si el siste es coptible deterindo. Teniendo en cunt lo nterior el siste se discute en función de los vlores del práetro que nulr el. det Discusión i. Si.. n rg rg Siste coptible deterindo. Solución trivil ( ). ii. Si. n rg rg rg < <. Siste coptible indeterindo. b. Si siste coptible deterindo. Solución trivil. Si siste coptible indeterindo de rngo por lo tnto solo h dos ecuciones linelente independientes. Pr segurrse que l ecuciones elegids son ls linelente independientes se escogen l ecuciones que contienen los térinos del enor de orden distinto de cero. Pr resolver el siste se trnsfor un vrible en práetro ( ) se resuelven en función de. Solución ( ) R

32 Septiebre. jercicio. (Puntución ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependientes del práetro rel () Discútse el siste según los diferentes vlores del práetro. (b) Resuélvse el siste pr.. l siste lo describen dos trices l tri de coeficientes() l tri plid( ) ' rg rg n n todo siste con igul núero de ecuciones que de incógnits sí el deterinnte de l tri de coeficientes es distinto de cero el siste es coptible deterindo se puede resolver por el étodo de Crer. Teniendo en cuent lo nterior el siste se discute pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ) ( )( ) ( )( ) ² ² ² Discusión i. Sí. rg rg n. Siste coptible deterindo(solución únic). ii. Si. s estudio se puede hcer de dos fors - edinte los rngos de siguiendo el criterio de Rouché. rg. - ; rg < ' Los enores orldos son el deterinnte de l tri de coeficiente que es nulo pr el enor fordo por ls coluns ª ª ª que por no ser nulo indic que el rg es tres. rg rg siste incoptible - Guss Siste incoptible l ª ª ecución se hn convertido en incongruentes. iii. Sí. s estudio se puede hcer de dos fors tbién

33 - edinte los rngos de siguiendo el criterio de Rouché. rg. - ; rg < ' Los enores orldos son el deterinnte de l tri de coeficiente que es nulo pr el enor fordo por ls coluns ª ª ª que por ser nulo indic que el rg es dos. rg rg < n siste coptible indeterindo con un grdo de indeterinción. (Grdo de indeterinción n(incógnits) rg indic el núero de práetro necesrios pr resolver el siste) Teniendo en cuent que el rg el siste tiene dos ecuciones linelente independientes que son ls que forn el siste equivlente que perite clculr ls infinits soluciones. Ls ecuciones linelente independientes son ls que contienen los térinos del enor de rngo dos distinto de cero ' S - Guss. Siste coptible indeterindo con un grdo de indeterinción. (Grdo de indeterinción n(incógnits) nº de ecuciones indic el núero de práetro necesrios pr resolver el siste) b. - Rouché Se resuelve eplendo el siste equivlente ' S Tondo l coo constnte trnsforándol en un práetro( ) ' S se obtiene un siste con igul núero de ecuciones que de incógnit que se resuelve por el étodo de Crer. R S - Guss prtir de l tri tringulrid se obtiene el siste socido

34 Tondo l coo constnte trnsforándol en un práetro( ) despejndo de l segund ecución sustituendo en l prier se resuelve el siste. R odelo.. (Puntución ái puntos) Se consider el siguiente siste linel de ecuciones. Dependiente del práetro ) ( ) Discutir el siste pr los distintos vlores de. b) Resolver el siste pr.. n todo siste con igul núero de ecuciones que de incógnits si el deterinnte de l tri de coeficientes es distinto de cero el siste es coptible deterinndo pudiéndose obtener l solución por el étodo de Crer. Teniendo en cuent lo nterior se discute el siste pr los vlores del práetro que nuln el deterinnte de l tri de coeficientes. ( ). det ; ; Discusión; I) Si siste coptible deterindo. II) Si plicndo el étodo de Guss F F S Siste coptible indeterindo. b. Pr ; Siste coptible deterindo. étodo de Crer

35 ; - ; Junio. jercicio. (Puntución ái puntos) Considérese el siste de ecuciones dependiente del práetro rel () Discútse el siste según los vlores d (b) Resuélvse el siste pr. ) Siste de ecuciones con tu incógnit en función de un práetro. Pr estudir un siste con igul núero de ecuciones que de incógnits en función de un práetro h que sber que vlores del práetro nuln el deterinnte de l tri de coeficiente. ( ) ( ) det Discusión I) Si. S.C.D solución únic que se puede obtener por el étodo de CRR. II) Si. S siste equivlente { S' S.C.I con dos grdos de indeterinción. III) Si. S ste siste se puede estudir por dos étodos. ) Guss Se tringulrí l tri socid l siste } { { } L tercer ecución se convierte en un incongruenci por lo que el siste es incoptible

36 ) studindo los rngos de ls trices que definen el siste. ' rg rg teniendo en cuent que el deterinnte de es nulo pr rg rg Tondo el enor el rngo de l plid será tres si lguno de los enores orldos l nterior es distinto de cero en cso contrrio será dos. Los enores orldos son el deterinnte de l tri de coeficientes que es nulo pr por tnto rg Según el teore de Rouché el siste es incoptible por tener los rngos de sus trices diferentes. b) S dos étodos b ) Crer ( ) ( ) ( ) ( ). Solución ( ) b )Guss tri que se soci l siste Solución ( )

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