MATRICES SELECTIVIDAD

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1 MATRICES SELECTIVIDAD 1.- Sea K un número natural y sean las matrices a) Calcular A k. b) Hallar la matriz X que verifica que A K X = B C. Solución: 1 K K ; X K A A B 1 1 C Dada la matriz A Se pide: a) Comprobar que se verifica la igualdad A 3 +I = 0. b) Justificar que A tiene inversa y calcularla. c) Calcular A Solución: b) A ; c) A 100 = -A Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro a 0 a A a Solución: si a -4, el Rng (A) = 3; Si a = -4 el Rng(A) = ; si a = el Rng(A) = Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A = I, se pide: a) Expresar A -1 en términos de A. b) Expresar A n en términos de A e I. c) Calcular a para que A = I, siendo A la matriz, 1 1 A 0 a Solución: a) A = I; b) A n = I (para n par), A n = A (para n impar); c) 1 1 A Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes la identidad: a ab b a ab b (a b)

2 6.- Encontrar un número real λ 0 y todas las matrices B de dimensiones x (distintas de la λ matriz nula) tal que B B x 0 Solución: B, x,zr, λ=3. z a) Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = A B. Comprobar que entonces se tiene la fórmula: 1 1 b) Dada la matriz 0 1 Solución: B 1 0 IB B A. 1 1 A, hallar la matriz B que verifique que A+B = AB Dadas las matrices A 3 1 1, B a) Hallar la matriz inversa de A. b) Hallar la matriz X, tal que: AXA T = B. Solución: a) ; b) X A Dadas las matrices A 0 1, B a) Determinar la matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que A = BX Solución: a) B b) X a) S i A es una matriz tal que A a) Cuál es el valor del determinante de A? 0 0 b) Calcular un número K tal que Solución: a) det(a) = 0; b) K = K Hallar una matriz X tal que A -1 XA = B, siendo A ; B 1 1

3 Solución: 9 11 X Sea la matriz A a) Comprobar que: A 3 A =0. b) Hallar A n. Solución: A n = n-1 ª Dadas las matrices A, I a) Hallar dos constantes α y β tales que A = αa + Βi. b) Calcular A 5 utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior. Solución: a) α =, β = -1; b) A 5 = 5ª 4I 0 K t 1 K t 14.- Dadas las matrices A 0 0 K ; B 0 1 K a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B k k t Solución: a) A 10 1 = ; B 0 1 k a 15.- Dada la matriz A encontrar todas las matrices p 0 1 c a b Solución: p 0 a 1 a 16.- Dada la matriz M a 1 1 a 1 b tales que AP = PA d a) Determinar el rango de M según los valores del parámetro a. b) Determinar para que valores de a existe la matriz inversa de M. Calcular dicha matriz inversa para a =. Solución: a) a 0, 1, -1 (Rng3); a = 0 (Rng); a = 1 (Rng); a = -1 (Rng) b) a0,1, M 6 6 6

4 Se consideran las matrices A ; I a) Hallar (A I). b) Calcular A 4 haciendo uso del apartado anterior Solución: a) (A I) ; b) A Se pide 18.- Dada las matrices A, I a) Comprobar que det(a ) = (det(a)) y que det(a + I) = det(a) + det(i). b) Sea M una matriz cuadrada de orden Se puede asegurar que: det(m )=(det(m))? c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden, tales que: det (M + I) = det(m) + det(i). a b Solución: a)si; b)si; c) M c a 19.- a) Hallar todas las matrices a a A distintas de la matriz nula, tales que A = A. 0 b b) Para cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado anterior, calcular: M = A + A + A A 10 Solución: a) A ; b) M m m1 m(m 1) 0.- Estudiar el rango de la matriz A m 1 m según los valores del parámetro m. m 1 m1 Solución: m 0 y (Rng 3); m = 0 (Rng ); m = (Rng ) 1.- Sean las matrices 0 A y B 6 7 Hallar una matriz X tal que XAX -1 = B. Solución: 3z X z t t Dadas las matrices A a b 0 B c c a) Encontrar las condiciones que deben cumplir a,b y c para que se verifique: AB = BA.

5 b) Para a = b = c = 1; calcular B Solución: a) a = b = c; b) B Calcular una matriz cuadrada X, sabiendo que verifica XA + BA = A Solución: X Dada la siguiente matriz de orden n a) Calcular el determinante de A. b) Calcular el determinante de A 3. c) Calcular el determinante de A 5. Solución: a) A = 10; b) A 3 = 100; A 5 = Sean las matrices A Y B a) Hallar una matriz X tal que AXA -1 = B. b) Calcular A 10. c) Hallar todas las matrices M que satisfacen (A M)(A + M) = A M x y Solución: a) X ; b) A ; c) M x 6.- Dada la matriz a1 1 A a a1 a) Determinar el rango de A según los valores del parámetro a. b) Decir cuando la matriz A es invertible; Calcular la inversa para a = 1. Solución: a) a -1 y b) A (Rng= 3), a = -1 (Rng= ), 1 5 a (Rng= )

6 a Dada la matriz A 1 a a a) Estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro a. b) Obtener la matriz inversa de A para a = -1. Solución: a) a - y 1 (Rng 3), a = - (Rng ), a = 1 (Rng 1); b) A Resolver la ecuación: Solución: (x 1) x 1 (x 1) x 1 x 1 x 1 0 (x 1) x 1 x Si A =(C 1,C,C 3 ) es un matriz cuadrada de orden 3 con columnas C 1, C, C 3 y se sabe que det(a)=4. Se pide: a) Calcular el det(a 3 ) y det (3A). b) Calcular det(b) y det(b -1 ), sabiendo que B =(C 3,C 1 C,5C 1 ). Solución: a) det(a 3 ) = 64, det (3A) = 108; b) det(b) = 40, det(b -1 ) = 1/40 m 1 m 30.- Dada la matriz M m a) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible. b) Determinar los valores del parámetro M, para los cuales la matriz M 5 es invertible. c) Para m = -1, calcular, si es posible, la matriz inversa de M. Solución: a) m 1, 0; b) m 1, 0; c) A Dadas las matrices A, 1 1 que verifique la ecuación matricial: AXB = A + B. 1 Solución: 3 3 X B, obtener una matriz cuadrada X de orden, Dada la matriz A Y I 1 0 1

7 a) Hallar las constantes a, b tales que A = Aa + Bi. b) Sin calcular explícitamente A 3 y A 4, y utilizando la expresión anterior, obtener la matriz A 5. Solución: a = -1, b = 3; b) 19 5 A Sabiendo que y utilizando las propiedades de los determinantes, calcular: α β γ a) El determinante de la matriz Solución: a) 196; b) 30; c) α β γ 4 b) α 3β 3γ c) 3α 3β 4 3γ 6 α β γ α 6 β γ 3 1 a Dada la matriz A a Estudiar para que valores de a tiene inversa y calcularla siempre que sea posible. Solución: a 0; a 1a A 0 a Obtener para todo número natural n, el valor de Solución: A n + B n = n-1 I n n 36.- Dada la matriz m1 1 m 1 A 1 m1 m m1 a) Estudiar el rango en función del parámetro m. x 0 y b) En el caso de m = 0 resolver el sistema A 0 z 0 t Solución: a) m (Rng 3), m = (Rng 1), m = -1( Rng ); b) (-λ, -λ, λ, 0) a 0 a 37.- Dada la matriz A a a1 0 0 a a a) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a. b) Para qué valores de a existe la matriz inversa de A?, Calcularla para a = 1.

8 Solución: a) a 0, (Rng 3), a = (Rng ), a = 0 (Rng ); b) a a 38.- Dada la matriz A 1 a 1 1 a a) Calcular el rango en función de los valores de a A x b) Para a =, discutir el sistema A y 1 en función de los valores de b y resolverlo cuando z b sea posible. c) Para a = -1, resolver el sistema x 1 A y z Solución: a) a ± (Rng 3), a=± (Rng ); b) b 3 (S.I.), b=3 (S.C.I.), resultado (1 λ,1, λ); c)(,1,-3) 39.- a).discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones AX = B, donde: 0 1 m1 x m A 0 m1 1 X y B m m 0 0 z, m, b) Resolverlo para m = 0 y m = 1. Solución: a) m, 0 (S.C.D.), m = (S.I.), m = 0 (S.C.I.); b) m = 0 (-1, λ, λ), m = 1 (1, 1, -3) 40.- Dadas las matrices A 1 0 1, I a) Calcular A 4ª + 3I. b) Demostrar que la matriz A -1 de A es 1/3(4I A). c) Hallar la matriz inversa de A I Solución: a) la matriz 0, c) A Calcula el rango de la matriz Solución: ar,rnga a A 0 a a 0 a

9 senx cosx Dada la matriz M cosx senx a) Calcular el determinante de dicha matriz. b) Hallar la matriz M. c) Hallar la matriz M 5. Solución: a) det(m) = -1; b) M = I; c) M 5 = M 43.- Dadas las matrices A 1 0, B a 1 3 a 3a 3 a) Estudiar el rango de la matriz B en función del parámetro a. b) Para a = 0, calcular la matriz X que verifique AX = B Solución: a 1 (Rng 3), a = 1 (Rng ); b) X Calcular el valor del determinante Solución: (x 1)(y 1)(z 1) x y z Sean a, b, c, d R, vectores columnas. Si det(a, b, d) 1; det(a, c, d) 3; det(b, c, d) Calcular razonadamente el determinante de las siguientes matrices a) det(a, 3d, b) b) det( ab, c, d) c) det( db, a, b 3a d) Solución: a) 3; b) -5; c) Dadas las matrices 1 λ A 1 1, B a) Hallar el valor de λ para el cual la ecuación matricial XA = B tiene solución única. b) Calcular la matriz X para λ = 4. c) Calcular el determinante de la matriz A B en función de λ.

10 Solución: λ = -1; b) X ; c) det(a B) = - (1+λ) a) Dada la matriz 1 x A, X 1 z y obtener las relaciones que deben de cumplir x, y, z, t t para que la matriz X verifique AX = XA. b) Dar un ejemplo de la matriz X distinta de la matriz nula y de la matriz identidad que cumpla la igualdad anterior. c) Calcular la inversa de la matriz A. Solución: 48.- Dadas las matrices cuadradas A y B se sabe que: 1 0 A B 0 0, 1 0 a) Calcular la matriz A B b) Calcular las matrices A y B A AB BA B Solución: a) A B 0,b) A 0 1 0, B a a x 0 a 1 1 a 49.- Dadas las matrices A y, X 0, O a a 1 1 z 0 a a a 1 w 0 a) Calcular el determinante de A y determinar el rango de A según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema homogéneo AX = 0 en el caso de a = 1. c) Resolver el sistema homogéneo AX = 0 en el caso de a = -1. Solución: a) a ±1 (Rng 4), a = 1 /Rng 1), a = -1 (Rng 3), det = (1 a) (1 a ); b) (-α -λ-β, α, λ, β); c)(0, 0, 0, μ) 1 1 a 50.- Dada la matriz A 3 a 0 a 1 a) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa b) Calcular la matriz inversa de A para el caso a = Solución: a) a ± b) A

11 Dada las matrices A 1 1, B k a) Hallar los valores de k para los cuales existe la matriz inversa de A. b) para k = 6, hallar A -1. c) Resolver la ecuación matricial AX A = B, para K = 6. Solución: a) kr, A 1 ; b) ; c) X A Sabiendo que el valor del determinante a) 3x y z Solución: a) -6; b). x y z , calcular el valor de los determinantes: 4 6 x 4 y 6 z b) 3x 1 3y 3z Dadas las matrices 1 a a x 0 A 1 a 1, X y, 0 0 a1 a z 0 a) Determinar el valor o valores de a para los cuales no existe la matriz inversa de A. b) Para a = -, hallar A -1. c) Para a = 1, calcular todas las soluciones del sistema AX = 0. Solución: a) a=0, 1, ; b) ; c) (λ, -λ, λ) A a Dada la ecuación matricial B Donde B es una matriz cuadrada: a) Calcular el valor o valores de a para los que esta ecuación tiene solución. b) Calcular B en el caso a = Solución: a) a = 6/7; b) B a 55.- Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetros a a Solución: a 6 (Rng 4), a = 6 (Rng 3)