Matemáticas Financieras Avanzadas

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1 Matemáticas Financieras Avanzadas

2 1 Sesión No. 4 Nombre: Interés compuesto. Calculo de Monto, Valor actual y tiempo. Objetivo Al término de la sesión el estudiante aplicará el cálculo del valor actual de una cantidad que recibirá o pagará en un tiempo futuro, a través de una serie de ejercicios aplicativos. Contextualización En esta sesión aprenderemos a calcular el valor actual o presente en un momento determinado, de una cantidad que se recibirá o pagará en un tiempo posterior. Asimismo, comprenderás a calcular el valor actual de deudas que devengan interés. Además, se calculará el tiempo en aquellas situaciones financieras donde esta variable se desconoce. Fuente:

3 2 Introducción al Tema A veces se sabe el monto que debe pagarse y se requiere determinar el capital a invertir a una tasa de interés determinada, para llegar a tener dicho monto; se está entonces en presencia de un problema denominado de valor actual o valor presente. Fuente

4 3 Explicación Valor actual o presente Para calcularlo se retorna a la fórmula: M = C (1+i) n En la cual se despeja el capital: C = M (1+i) n = M(1 + i) n Generalizando, puede decirse que si se conocen tres de las cuatro variables involucradas: monto (M), capital(c), tiempo(n) y tasa de interés (i), puede calcularse la cuarta. Ejemplo 1: Juan Pérez desea adquirir una casa con valor de $850,000. Le pidieron que entregue 50% de anticipo y 50% en un plazo de año y medio, al término de la construcción y entrega del inmueble. Cuánto dinero debe depositar en el banco en este momento para poder garantizar la liquidación de su adeudo, si la tasa de interés vigente es de 6% anual capitalizable mensualmente? Solución: Sr. Pérez paga en este momento $425,000 (50% de la operación) y debe pagar el otro 50% en un plazo de año y medio, como se aprecia en la siguiente gráfica:

5 4 Para calcular la cantidad a depositar se utiliza la fórmula de capital: C = M (1+i) n = M(1 + i) n n = año y medio = 18 meses C = 425, = 388, un año = 12 meses A fin de garantizar el pago de su adeudo, Sr. Pérez debe depositar $388,507.87, los cuales, con la reinversión de los intereses se incrementarán hasta formar el monto de $425,000 en un plazo de año y medio. Como se ve en este ejemplo C es el valor actual de M. esto es, puede considerarse que el capital C y el monto son dos valores equivalentes dada una determinada tasa de interés y un período también determinado. En el campo de los negocios es indispensable considerar que el valor del dinero cambia a través del tiempo, pues muchas veces se realizan inversiones en el momento presente que generan flujos de efectivo que se recibirán dentro de uno o más años. El valor presente de dichos flujos deberá compararse con la inversión que se está realizando (también a valor presente) y, para lograrlo, se deben descontar ambos, inversión e ingresos, a fin de poderlos comparar en forma equivalente en el momento presente. Ejemplo 2: La compañía de Novedades Actuales planea realizar una inversión de $50,000 para producir un artículo de moda que espera le genere ingresos de $80,000 dentro de 2 años. Si se considera una inflación promedio de 25% anual, conviene la inversión? Solución: se comparan los $50,000 que se deben invertir en el momento presente con los $80,000 que se espera recibir en 2 años. Para hacerlo es necesario que ambas cantidades sean equivalentes. Se traen a valor presente los $80,000 y así se tiene una misma base de comparación. La tasa de inflación se acumula de la misma forma que el interés. M = 80,000 n = 2 años, i = 0.25

6 5 C = 80000( ) 2 = 51, 200 Los $80,000 que la empresa recibirá en dos años equivalen a $51,200 descontados de la inflación. Este valor presente de los ingresos se compara con el valor presente de la inversión y muestra que efectivamente se logrará una utilidad $1,200 y que, por lo tanto, conviene invertir. Valor actual de deudas que devengan interés En determinadas ocasiones se pueden encontrar deudas que devengan interés y de las cuales se quiere conocer su valor en un momento anterior a su liquidación. Ejemplo 3: Se descuenta en un banco un documento de $500,000 con vencimiento a 3 meses que devenga 2% de interés mensual. El banco lo descuenta a una tasa de 22% anual. Cuál es la cantidad que se recibe? Se calcula el Monto original: Se calcula el valor actual: M = 500,000(1+.02) 3 C = 530,604(1+.22) -3/12 M = 530,604 C = 504, Como la tasa de interés cobrada por el banco es menor que la que se cargó en el valor del documento, el acreedor tuvo un beneficio adicional. Cálculo del Tiempo Ejemplo 4: En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1000 si se considera una tasa de interés a) de 36% anual convertible mensualmente, y b) de 24% anual también convertible mensualmente? Solución: La fórmula que se utilizará para el cálculo del tiempo es: n = log M C log(1 + i)

7 6 a) Ahora, dado que j 12 = 0.36, el interés mensual i = 0.36 año = meses = 0.03 También C = 1000 y M = 2(1000) = 2000 porque se duplicará Entonces n = log = meses log (1+.03) b) i = 24% año = 24% 12 meses 2000 log 1000 = 2% =.02 entonces n = log (1+.02) = 35 meses

8 7 Conclusión En esta sesión aprendimos a traer a valor presente un monto con vencimiento futuro, además aplicamos el cálculo del tiempo que es una de las variables del interés compuesto. En la siguiente sesión se explicará el concepto de Anualidades. Fuente:

9 8 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Valor Presente/Valor actual. (2010). Consultado el 4 de junio de 2013: Valor presente y futuro. (2010). Consultado el 4 de junio de 2013: Ramirez, M. (20 de octubre del 2012). Despeje del tiempo en problemas de interés compuesto. Consultado el 4 de junio de 2013: Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

10 9 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca del cálculo de valor presente y tiempo, aplica los conceptos para solucionar los siguientes ejercicios: 1) Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $650,000 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses? 2) Cuál era la población de un país hace diez años si en la actualidad tiene ,000 habitantes y su tasa de crecimiento se estima en 3.2% anual? 3) Una distribuidora de automóviles ofrece a sus clientes 10% de descuento en la compra al contado de un automóvil nuevo, o bien, 50% del precio al contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses. Que alternativa debe escogerse si el dinero puede ser invertido a una tasa de interés?: a) 2% b) 3% c) 4% 4) Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $160, para que junto con sus intereses sea de $500, si acumula intereses al 9% semestral? Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma.

11 10 Bibliografía 1. Cantú, Jesús. (2005). Matemáticas financieras. México: Banca y Comercio. 2. Díaz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemáticas financieras. México: McGraw Hill. 3. Villalobos, José L. (2007). Matemáticas financieras. México: Pearson Educación.

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