Para construir intervalos de confianza recordemos la distribución muestral de la proporción muestral $p :

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1 Itervalos de Cofiaza para ua proporció Cuado hacemos u test de hipótesis decidimos sobre u valor hipotético del parámetro. Qué proporció de mujeres espera compartir las tareas de la casa co su pareja? Qué proporció de la població sufre de fatiga cróica? Qué proporció de la població sufre de Cácer? Cada ua de estas pregutas es sobre el valor de la proporció P. Es decir, queremos estimar P. Ua proporció muestral $p es u estimador putual (u úmero) de la proporció e la població P. U estimador de itervalo de cofiaza de la proporció e la població P, es u itervalo, calculado a partir de los datos de la muestra, e el cual osotros cofiamos se ecuetra la proporció de la població P. El ivel de cofiaza es la probabilidad de que el método de estimació os dé u itervalo que cotiee al parámetro ( P e este caso). El ivel de cofiaza se deota por, dode valores comues de so 0,10; 0,05; y 0,01, para ua cofiaza de 90%, 95%, y 99%. Para costruir itervalos de cofiaza recordemos la distribució muestral de la proporció muestral $p : pˆ ~ & N( P, P( ), etoces aproximadamete 95% de los valores de $p estará etre dos desviacioes estádar de P. P( N( P, ) 95% 4 p - p ( 1 - p ) p p + p ( 1 - p ) p P( Hacemos u itervalo: pˆ ± 1,96. Esperamos que el 95% de los itervalos de cofiaza formados por P( pˆ ± 1,96 va a coteer al parámetro P y 5% o lo va a coteer. El problema es que si o coocemos el parámetro o coocemos la desviació estádar. Solució: Estimar la desviació estádar, co el error estádar de $p : S( pˆ) = pˆ(1 pˆ)

2 U itervalo de 95% de cofiaza para P esta dado por: pˆ ± 1,96 pˆ(1- pˆ) P 5 y ( E teoría esta aproximació fucioa bie si se cumple que: 5. E la práctica la comprobamos co: p 5 y ( p 5 ˆ ˆ) Estudio: Sídrome de fatiga cróica Se realiza u estudio para coocer la proporció de adultos que sufre del sídrome de fatiga cróica (SFC). Para este estudio, se elige al azar 4000 miembros de ua Isapre, a los que se les evía u cuestioario por correo. E el cuestioario se les preguta por cualquier fatiga iusual que haya iterferido sus resposabilidades e el trabajo o e la casa e los últimos 6 meses. De las 3066 persoas que respodiero (posible sesgo por o respuesta), 590 afirmaro haber sufrido de fatiga cróica. Se quiere estimar la proporció de adultos que piesa que sufre de sídrome de fatiga cróica. De las 3066 respuestas, 590 dice sufrir fatiga cróica, u estimador putual será? U itervalo de cofiaza 95% para la verdadera proporció de adultos que piesa que sufre de SFC, está dado por?: Este itervalo os da valores posibles de la proporció e la població que piesa que sufre del SFC basado e ua muestra de tamaño = Pesemos: Sabemos si el itervalo de 95% de cofiaza cotiee a la verdadera proporció e la població que piesa que sufre de SFC? Este ivel de 95% cofiaza sigifica que hay ua probabilidad de 95% de que la verdadera proporció P está e el itervalo [0,179 ; 0,06]? Podemos exteder estos resultados al resto de la població geeral de adultos? Iterpretació! El itervalo que costruimos o cotiee P o o lo cotiee. No es correcto decir que la probabilidad de que el itervalo [0,188 ; 0,196] cotega a P es 0,95. El valor del parámetro P es fijo. No varía. La iterpretació del ivel de 95% de cofiaza tiee que ver co la proporció de veces que itervalos como el que costruimos cotiee a P si lo hiciéramos muchas veces.

3 p m.a.s #1 m.a.s. # m.a.s. #3 m.a.s. #4 Si repetimos este procedimieto muchas veces, calculado muchos itervalos de cofiaza de 95% para P, podemos esperar que aproximadamete 95% de estos itervalos cotega P (y aproximadamete 5% o). Revisemos los percetiles de la tabla N(0,1): Nivel de Cofiaza z N(0,1) 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 0,999 -z +z Z U itervalo de cofiaza ( )*100% para P está dado por: p $ ± z dode es u percetil de la distribució N(0,1) z1 p(1- $ p) $ Este itervalo da valores posibles para la proporció e la població P basada e sólo ua proporció muestral $p. Esta aproximació esta basada e el supuesto de que los datos proviee de ua muestra aleatoria de la població y fucioa bie si P 5 y ( 5. Esta codició se puede corroborar co p 5 y ( p 5. ˆ ˆ)

4 Forma geeral de los Itervalos de Cofiaza: estimador putual ± percetil error estádar distribució muestral del estimador PES revisitado Recordemos el experimeto diseñado para probar si u sujeto tiee PES (poderes extrasesoriales). De u mazo corriete bie barajado, se elige 96 cartas, ua por ua, co reemplazo. A la persoa e cuestió se le pide que adivie la pita de la carta. Sea P la proporció de respuestas correctas si el sujeto o tiee PES. La persoa tiee 35 correctas de las 96 cartas, Etoces la proporció muestral de respuestas correctas es: $p = Costruya u itervalo de 95% cofiaza para P basado e los resultados observados. Este itervalo de cofiaza cotiee a 0,5? Si es así, que implica? Si o lo cotiee, que podemos iferir? Pesemos: Si el ivel de cofiaza aumeta de 95% a 99%, el itervalo de cofiaza será: más acho, más agosto, o el mismo? Si el tamaño muestral aumeta (pero la proporció muestral es la misma), el itervalo de cofiaza será: más acho, más agosto, o el mismo? Si el tamaño de la població aumeta, el itervalo de cofiaza será: más acho, más agosto, o el mismo? Cuidado médico para aciaos Ivestigadores e u estudio de diabetes ecotraro que a sólo ua pequeña proporció de aciaos diabéticos se le estaba haciedo los tests recomedados. Se estudiaro a pacietes de Alabama, Iowa, y Marylad que era tratados por médicos iteristas. El estudio ecotró que 84% o teía exámees de sagre, 54% o estaba viedo u oftalmólogo, y casi la mitad o teía exame de colesterol. a) Cuál es la població bajo estudio? b) Basado e los resultados del estudio, costruya u itervalo de 90% de cofiaza para la proporció de pacietes que tiee exame de sagre. c) Iterprete el itervalo. d) Costruya u itervalo de 95% de cofiaza para la proporció de pacietes que tiee exame de sagre. Es este itervalo más acho o más agosto del calculado e (b)? e) Cuál es la mitad del acho del itervalo?

5 Defiició: El marge de error para ua proporció es la mitad del acho del itervalo de cofiaza, y está dado por: E = z p(1- $ p) $ p$ E = Marge de Error ( ) p$( p$) p 1 z $p p$ + z Acho $( p$) Se calcula u itervalo de 99% cofiaza para P que resulta: (0,7, 0,4) a) Cuál es el valor de la proporció muestral $p? b) Cuál es el marge de error? c) Dé dos sugerecias para reducir el marge de error. Cuál es el tamaño de la muestra? Co la fórmula del marge de error podemos coocer cuato puede ser u tamaño muestral míimo. Tamaño de la muestra: z p$( p$) = E Pero esta fórmula cotiee a la proporció muestral pˆ y todavía o teemos la muestra! Ecotremos el máximo. Dibuje pˆ versus pˆ (1- pˆ ) p(1 - p) Por ejemplo, grafique pˆ = 0,5 vs pˆ (1- pˆ ) = 0, p

6 Defiició: Si descoocemos la variabilidad e la població, el tamaño muestral requerido para estimar la proporció de ua població co ivel de cofiaza y marge de error E esta dado por: z = z = E 1 E z = E La Cruz Roja quiere veir a sacar sagre a la Uiversidad de Talca y os pide que estimemos la proporció de estudiates y fucioarios que estaría dispuestos a doar sagre. Co cofiaza 99% y u 4% de marge de error a cuatas persoas debemos etrevistar? E la oficia de admisió de la UTal quiere estimar la proporció de alumos que abadoa la Uiversidad después del primer año de estudio. A cuatos estudiates debe etrevistar para costruir u itervalo de cofiaza para P del 90% co u marge de error de putos porcetuales? Correcció para població fiita (cpf) (Opcioal) La fórmula para calcular el tamaño muestral supoe que el tamaño de la població es grade o es u muestreo co reemplazo. Cuado queremos sacar ua muestra de ua població pequeña e coveiete usar la cpf c = 1 + Ejemplo: Crédito uiversitario. E el año 001 u grupo de alumos de la recié creada carrera de Psicología e la UTal, hizo u trabajo sobre el crédito uiversitario. Ellos quería coocer la proporció que tiee crédito uiversitario etre los alumos de Psicología de la UTal. Co u ivel de cofiaza de 95% y u marge de error del 5% a cuatos estudiates debiero ecuestar? N z = E = 1,96 (0,05) = 384,16 Pero e el año 001 había 71 alumos iscritos! Fialmete, tuviero que ecuestar a 60 persoas. c 384 = = 59,

7 Itervalos de Cofiaza para la media de ua població Como hemos mecioado la media muestral x basada e ua muestra aleatoria, es u bue estimador putual de la media poblacioal µ. La preguta es qué ta bue estimador es? Será el valor observado de la media muestral igual a la media poblacioal? Probablemete o. Será etoces cercao a µ? Pero qué ta cercao? Defiicioes: La media muestral x es u estimador putual de la media de poblacioal µ. U estimador de itervalo de cofiaza para la media poblacioal µ es u itervalo de valores, calculados a partir de los datos de la muestra, etre los cuales podemos cofiar que se ecuetra la media poblacioal µ. El ivel de cofiaza es la probabilidad de que el método de estimació os dé u itervalo de cofiaza que cotiee al parámetro (µ e este caso). Para costruir u itervalo de cofiaza para µ usamos la distribució muestral de la media muestral x ~ & N(, ), etoces aproximadamete 95% de los valores de estará a 1,96 desviacioes estádar de µ. N µ, σ µ σ 95% ( µ σ x µ ) µ + σ X U itervalo de cofiaza ( )*100% para µ está dado por: x ± z σ z dode es u percetil de la distribució N(0,1) Este itervalo será exacto si los datos proviee de ua muestra aleatoria de ua població Normal. Será aproximado para cualquier otra població y tamaños de muestra > 30 (Teorema de Límite Cetral).

8 Bebidas Supoga que ua máquia de bebidas esta calibrada de tal maera que la catidad de líquido etregado es aproximadamete ormal co desviació estádar 0,15 decilitros (ota: 1 decilitro es 0,1 litro). a) Calcule u itervalo de 95% de cofiaza para la media de la catidad de líquido etregado basado e ua muestra aleatoria de 36 vasos co promedio de,5 decilitros. b) U itervalo de 90% de cofiaza será más acho o más agosto que el calculado e la parte (a)? c) Qué tamaño de muestra ecesitaría si quisiera obteer u marge de error para u itervalo de 95% de cofiaza sea 0,0? Ua vez más os ecotramos co el problema de que e geeral o coocemos la desviació estádar de la població (σ), por lo tato estimamos σ co la desviació estádar de la muestra seleccioada (s), y teemos que usar la distribució t de Studet e vez de la Normal. U itervalo de cofiaza ( )*100% para µ está dado por: x± t ( 1) 1- s ( 1) dode t es el percetil apropiado de la distribució t co (-1) grado de libertad. 1- Este itervalo os da valores posibles para la media de la població µ basados e la media muestral x. Se basa e el supuesto de que los datos proviee de ua muestra aleatoria de ua població co distribució ormal co desviació estádar σ descoocida. Si el tamaño de la muestra es grade, el supuesto de ormalidad o es crucial, si embargo debemos preocuparos si la distribució de los datos es sesgada o tiee valores extremos. El marge de error de la media poblacioal es: ( 1) E = t 1- s. Colesterol U médico iteresado e coocer la media del colesterol e la població toma ua muestra de tamaño 5. Calcule los límites de cofiaza de 99% para el promedio de colesterol saguíeo si e la muestra se ecotró u promedio de 190 y ua desviació estádar 15. Iterprete el itervalo de cofiaza ecotrado.

9 8.5 Itervalos de cofiaza y Test de Hipótesis Se puede docimar la hipótesis H 0 : µ = µ 0 versus H1 : µ µ co u ivel de sigificació 0 usado la siguiete regla de decisió: Rechazar H 0 si el correspodiete itervalo de cofiaza ( )x100% para la media de la població µ o cotiee al valor hipotético e H 0. Nota: El test tiee que ser de dos colas y el ivel de cofiaza más el ivel de sigificació tiee que sumar 100%. Patroes de sueño e iños U estudio de los patroes de sueño de iños de seis meses e Estados Uidos afirma que u itervalo de 95% de cofiaza para el promedio de tiempo que los iños duerme (e u periodo de 4 horas) es (11,5-15,) horas. Supoga que queremos docimar H 0 : µ = 15 versus H1 : µ 15. a) Qué decisió tomamos si = 0, 05? b) Qué decisió tomamos si = 0, 01? Tabla resume: Situació Parámetro Test Estadístico Itervalo de Cofiaza Muestra aleatoria de ua població ormal co σ coocida Media µ x µ z = 0 x σ ± z σ 1 Muestra aleatoria de ua població ormal co σ descoocida Media µ µ 0 x ( ) t = ± 1 x t s S 1- Muestra aleatoria de ua població Proporció P pˆ p0 z = p $ ± p ( p ) 0 0 z 1 p(1- $ p) $

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