Datos y probabilidad Qué cree la mayoría de los estadounidenses? Piensa al respecto

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1 Datos y probabilidad Qué cree la mayoría de los estadounidenses? La mayoría de los estadounidenses son optimistas acerca del futuro. Alguna vez te has preguntado de dónde provienen las afirmaciones como la anterior. Después de todo, cómo puede alguien saber qué cree la mayoría de los estadounidenses? Para averiguar la opinión del público estadounidense, un grupo conocido como Organización Gallup conduce entrevistas sobre una variedad de temas. Este grupo, que ha estado realizando encuestas por más de 60 años, entrevista a una pequeña muestra del público estadounidense y, en base a sus respuestas, saca conclusiones acerca de toda la población estadounidense. La Organización Gallup afirma que el error de los resultados de sus encuestas es más o menos tres por ciento. Piensa al respecto Supón que vas a hacer una encuesta para averiguar los sabores de helado favoritos de tus compañeros de clase. Si tuvieras que realizar la misma encuesta para todos los alumnos de la escuela, crees que los resultados serían iguales?

2 Carta a la familia Estimados alumno(a) y familiares: Muchos juegos que jugamos en casa se basan en las probabilidades. En el siguiente capítulo, estudiaremos conceptos básicos de probabilidad. Primero, vamos a sacar canicas de una bolsa. Por ejemplo, si tenemos una bolsa que contiene 6 canicas verdes y 4 amarillas, podemos responder preguntas como las siguientes: Si se saca una canica al azar, qué color de canica es más probable que se saque? Cuál es la probabilidad de sacar una canica verde? Supón que alguien saca una canica amarilla, la pone aparte y luego saca otra canica de la bolsa, cuál será la probabilidad de que saque una canica verde en esta ocasión? También averiguaremos si un juego de azar es un juego justo y practicaremos un juego en que se puede usar la probabilidad para desarrollar una estrategia para ganar. Otro uso común de la probabilidad es en el muestreo estadístico. Al obtener una muestra estadística, se elige un pequeño grupo al azar y sus respuestas se usan para sacar conclusiones sobre toda la población. Recuerdan encuestas o estadísticas que hayan estado basadas en el muestreo estadístico? Creen que sea una manera precisa y justa de sacar conclusiones sobre una población grande? Sea cual sea el uso que se Éstas son las patillas. haga de las probabilidades, su cálculo depende de los datos. Vamos a repasar y a estudiar Ésta es la caja. diversas maneras de presentar datos, incluyendo los diagramas de caja y patillas. Luego, estudiaremos cuándo es más apropiado usar cada tipo de presentación. Edad Vocabulario Aprenderemos varios términos nuevos en este capítulo cuartil muestra representativa muestra población Qué pueden hacer en el hogar? Pueden unirse a su hijo(a) en el estudio de probabilidades, jugando juntos diversos juegos de azar. Su hijo(a) les puede enseñar los juegos que realizamos en clase, pero también pueden jugar juegos de cartas, en los que sea importante saber qué cartas es más probable obtener o qué cartas es menos probable obtener. Asimismo, pueden hablar sobre la importancia de la probabilidad en la vida diaria, como por ejemplo la probabilidad de que llueva. impactmath.com/family_letter 665

3 Dependencia & Piensa comenta Muchos juegos de cartas se basan en la casualidad o la probabilidad, para hacerlos divertidos. Con algunos juegos, el ganar depende simplemente de las cartas que escoges o de los dados que lanzas. En esta lección, explorarás situaciones y juegos que involucran probabilidad. Hay 10 canicas en una bolsa, 6 azules y 4 moradas. Si sacas una canica al azar, de qué color es más probable que sea? La probabilidad de que la canica que saques sea morada es 4 de 10. Cuál es la probabilidad de que la canica sea azul? Supongamos que sacas una canica azul y que no la devuelves. Luego sacas otra canica. Cuál es la probabilidad de que también sea azul? Investigación 1 Combinaciones y probabilidad 666 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad Probablemente hayas oído que la gente habla de la probabilidad de muchas maneras. Por ejemplo, en la sección Piensa y comenta se establece que la probabilidad de que la canica sea morada es 4 de 10. También puedes decir 4 que la probabilidad de escoger una morada es 4 en 10, 4:10, 1, ó 40%. Sección de problemas A Una bolsa contiene seis bloques numerados del 1 al 6. Imagina que sacas un bloque de la bolsa. 1. Cuál es la probabilidad de que saques el número 2? Explica cómo calculaste tu respuesta. 2. Cuál es la probabilidad de que saques un número impar? Explica. 3. Cuál es la probabilidad de sacar 2, 3 ó 5? 4. Cuál es la probabilidad de sacar un número impar que sea 2, 3 ó 5? 5. Supón que una amiga te dice que sacó 2, 3 ó 5. Cuál es la probabilidad que haya sacado un número impar?

4 Sección de problemas B Supón que tomas un bloque de la bolsa de seis bloques y anotas su número. Después, devuelves el bloque a la bolsa, los mezclas y sacas otro. 1. Cuál es la probabilidad de que el número en el segundo bloque sea 2? Compara tu respuesta con la del problema 1 de la Sección de problemas A. 2. Cuál es la probabilidad de que el segundo número sea impar? Compara tu respuesta con la del problema 2 de la Sección de problemas A. 3. Supón que el primer bloque que sacaste fue 3. El segundo bloque podría haber sido 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Esto te da seis maneras en que podrías haber sacado dos bloques: 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5 ó 3-6. a. Enumera todas las maneras posibles en que podrías haber sacado dos bloques. Cuántas son? b. En cuántas de estas maneras ambos números son impares? Cuál es la probabilidad de sacar dos números impares? c. Cuál es la probabilidad de que saques el mismo número dos veces? Datos deinterés Muchas personas, incluyendo los meteorólogos, los ingenieros, los especialistas en seguros y los geneticistas usan los conceptos de probabilidad todos los días. Ahora, imagina que sacas un bloque de la bolsa, te lo metes al bolsillo y sacas un segundo bloque. 4. Cuál es la probabilidad de que el primer número sea impar? 5. Ahora calcularás la probabilidad de que el segundo número sea impar. a. Enumera todas las posibles maneras en que podrías haber sacado los dos bloques. Cuántas maneras hay? b. En cuántas de estas maneras el segundo número es impar? Cuál es la probabilidad de que saques un número impar la segunda vez? c. Compara la probabilidad que calculaste en la parte b con la que calculaste en el problema 4. Qué observas? (Ayuda: Escribe ambas probabilidades como razones para compararlas.) 6. Cuál es la probabilidad de que ambos números sean impares? 7. Ahora supón que, antes de escoger un segundo bloque, observas el número en el primer bloque. a. Si el primer número es impar, cuál es la probabilidad de que el segundo número también sea impar? Refiérete a tu lista del problema 5 como ayuda. b. Si el primer número es par, cuál es la probabilidad de que el segundo número sea impar? LECCIÓN 10.1 Dependencia 667

5 Comparte & resume 1. Supón que sacas un bloque de la bolsa de 6 bloques y luego, sin devolverlo, sacas otro. Cuál es la probabilidad de sacar el mismo número dos veces? Compara tu respuesta con la parte c del problema 3 de la Sección de problemas B y explica cualquier diferencia. 2. Compara las probabilidades que calculaste en la parte b del problema 3 y en el problema 6. Explica cualquier diferencia. 3. Observa de nuevo los problemas 5 y 7 de la Sección de problemas B. a. Compara tus respuestas con las partes a y b del problema 7. Trata de explicar cualquier diferencia. b. Compara tus respuestas de la parte b del problema 5 con las del problema 7 y trata de explicar cualquier diferencia. Investigación 2 Cara o escudo? Shaunda lanzó una moneda al aire dos veces, y en ambas ocasiones obtuvo cara. Es más probable que el siguiente lanzamiento de moneda sea escudo para nivelar el patrón. Es igualmente probable que salga cara o escudo, aunque acabamos de sacar dos caras seguidas. & Piensa comenta Con qué razonamiento estás de acuerdo, con el de Shaunda o el de Zach? Explica. 668 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

6 Shaunda y Zach decidieron llevar a cabo un experimento para probar sus ideas. Shaunda sugirió, Podemos lanzar una moneda hasta que saquemos dos caras seguidas. Después podemos ver cual es el siguiente lanzamiento. MATERIALES moneda Datos deinterés Una manera de simular el lanzamiento de una moneda es tener una computadora o calculadora que dé un número aleatorio entre 0 y 1. Si el número es menor que 0.5, el resultado es cara. Si el resultado es 0.5 ó mayor, el resultado es escudo. Zach dice, Si lo hacemos sólo una vez, no probará nada. Necesitamos hacer el experimento muchas veces. Sección de problemas C 1. Sigue la sugerencia de Zach e intenta el experimento por lo menos 10 veces. Lleva la cuenta de cuántas veces sacas escudo después de dos caras y cuántas veces sacas cara después de dos caras. 2. Apoyan tus resultados el argumento de Shaunda (los escudos son más probables) o el de Zach (las caras son tan probables como los escudos)? Por qué? Shaunda y Zach pensaron que necesitaban más de 10 resultados, pero estaban cansados de lanzar monedas. Así que crearon un programa de computación para simular el lanzamiento de una moneda muchas veces. Éstos son los resultados de 200 lanzamientos. E E E E C C E C C C E C C C C E C E C E C C E C E C E E E C E C E E C E C E E C C E C E C E C C E E E C E E E C C C E C E E E C C E E E E E E C C C E E E E C E C C C C E E E E C E E E E C C E C E E C C E E C E E C E E C C E C C C C E C E C E C C E C E C C C E C E C E C E C E C E E E E E E C E C C E E E C C C C C C C E E C E E C E C E C C C E E E E C E E C C C E E C C E C C E C C E C C E E E C C C 3. Empezando con el primer lanzamiento, leyendo de izquierda a derecha, calcula el primer evento de dos caras seguidas. Computa el resultado del siguiente lanzamiento y después continua el proceso, buscando el siguiente evento de dos caras seguidas. 4. Realiza otro experimento empleando los 200 lanzamientos, y esta vez busca dos escudos seguidos y computa los resultados del siguiente lanzamiento. 5. Comenta sobre que razonamiento apoya tus resultados, si el de Shaunda o el de Zach. 6. Shaunda y Zach hicieron otros 500 lanzamientos en su computadora. Para dos caras seguidas, el siguiente lanzamiento fue 38 veces cara y 31 veces escudo. Para dos escudos seguidos, el siguiente lanzamiento fue 30 veces cara y 38 veces escudo. Apoyan estos resultados a Shaunda o a Zach? LECCIÓN 10.1 Dependencia 669

7 Zach recordó que una vez obtuvo cuatro caras seguidas. Eso me sorprendió. Cuál crees que sea la frecuencia de ese evento? Shaunda sugirió dibujar un diagrama de árbol para calcularla. En cada rama hay dos posibilidades, cara o escudo. Podemos rotular todas las ramas. COMIENZO C E C E C E C E C E C E C E C E C E C E C E C E C E C E C E CCCC CCCE CCEC CCEE CECC CECE CEEC CEEE ECCC ECCE ECEC ECEE EECC EECE EEEC EEEE Esto demuestra que hay 16 resultados posibles al lanzar una moneda 4 veces. Cada rama tiene la misma posibilidad de que suceda y sólo una es CCCC. Así que puedes esperar que te salgan 4 caras cada 16 veces que lo intentes. Sección de problemas D Tratar 16 veces de sacar cuatro caras no es suficiente para comprobar la conclusión de Shaunda. Se necesita más información, pero lanzar monedas es tedioso. Shaunda y Zach usaron su programa de computadora para generar otros 500 lanzamientos C C C E C E E C C C E C C C C E C E E C C C C C E E E E C E C C C E E E E C C E E E E E E E C C E E E E E C E C E C C C C C C E E C E C E C C E E C C E E E C C C E E C C C E C C C C E C C C E E C E C E C E E E E C C E E C E E E C E E C E C E E C C E C E E C E E E C C E E E E E C C C E E C C E E E E E E C E E C C E C E E E E C E C E E C C C C C C E E C C E C E E C C E E E C C E C C E C E E C C E E E E E E E E C E C E C C C E C C E C E C C C C E E C E C E C C C C C E E E C C E C E C C E E C C C C E C E E E E E E C E E E E C C E E C E E C E E C E E C C E E C E E C E C C C E E E C C C C C E C C C E C E C C E C C C C C E E C C E E C C C C E E E C E E E E E C E C C C C E E E C C C E E E E C C E C E E E E E C E C C C C E E E C E C E C C E E C C E C E E E E C E E C E C C C C C C C E C C E C E C C C C C C E C E C C C C E C E E E E E E E C C C E E C E C C E C E C E E C E C E C C C C C C C C C C E E C E C E C E E C C E E C E C C C E E E E C E C E E E E C C E C C C C E C C E E E C C C E E E E C E 670 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

8 Escoge un punto de inicio en cualquier parte de este conjunto de lanzamientos y observa los siguientes cuatro lanzamientos. Si todos son caras, haz una anotación. Después observa los cuatro lanzamientos posteriores a esos cuatro y anota si todos son caras. Por lo menos, examina 48 conjuntos de cuatro lanzamientos. (Si llegas al final del conjunto, empieza otra vez desde el inicio.) 1. Cuántas veces fueron caras los cuatro lanzamientos? Apoyan tus resultados la conclusión de Shaunda? 2. En el diagrama de árbol de Shaunda, cuántas veces se produce, en cualquier orden, la combinación de dos caras y dos escudos? Esto es una predicción de cuantas veces de 16 podrías esperar sacar dos caras y dos escudos. 3. Usa el diagrama de árbol para calcular la probabilidad de todas las combinaciones de caras y escudos para cuatro lanzamientos. Anota los resultados en una tabla. Combinación 4H 3H 1T 2H 2T 1H 3T 4T Probabilidad 4. Selecciona una de las predicciones de tu tabla. Luego, obtén alguna prueba usando el cuadro de los 500 lanzamientos. Comenta si tu prueba apoya la predicción. Datos deinterés Cuando sólo consideras el resultado final (no su orden), lanzar una moneda cinco veces seguidas es la misma situación matemática que lanzar cinco monedas al mismo tiempo. Comparte & resume 1. Si tratas de evaluar la probabilidad de algo, sería mejor realizar un experimento 1 vez ó 100 veces? Explica tu razonamiento. 2. Jonah hizo un diagrama de árbol para lanzar una moneda 5 veces. De su diagrama, consideró que podría sacar cuatro caras y un escudo 5 veces en 32 intentos. Después lanzó cinco monedas 64 veces. a. Cuál es el número más probable de ocasiones que Jonah sacará cuatro caras y un escudo? b. En realidad, Jonah obtuvo cuatro caras y un escudo en 8 ocasiones. Contradice esto tu respuesta de la parte a? Explica. LECCIÓN 10.1 Dependencia 671

9 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica 1. Martin y Jill juegan un juego un vaso con ocho canicas numeradas del 1 al 8. Ellos mezclan las canicas en un vaso y después sacan dos. a. Enumera todos los pares de números que es posible sacar del vaso. (Nota: Sacar 1 y 2 es lo mismo que sacar 2 y 1.) b. Cuál es la probabilidad de que los dos números sean 4 y 7? c. Cuál es la probabilidad de que los dos números sumen 11? d. Cuál es la probabilidad de que los dos números incluyan un número par? e. Cuál es la probabilidad de que los dos números tengan una suma par? 2. El Sr. Richards, un maestro de matemáticas, trabaja en el verano como payaso de circo. Sus camisas de payaso vienen en tres colores: amarillo, verde y rojo. También tiene cuatro pares de pantalones de payaso: amarillo, morado, naranja y verde. a. Enumera las 12 combinaciones posibles de camisas y pantalones del Sr. Richards. b. El Sr. Richards selecciona su ropa aleatoriamente, de manera que cada traje tenga las mismas probabilidades de seleccionarse. Cuál es la probabilidad de que seleccione una camisa amarilla y pantalones naranjas? c. Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de estos artículos sean amarillos? d. Cuál es la probabilidad de que seleccione pantalones morados? e. Cuál es la probabilidad de que sus pantalones y camisa sean de colores diferentes? 3. Jerry sacó todas las espadas numeradas de un juego de barajas, así que ahora tiene nueve cartas: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 de espadas. Las mezcla y después las sostiene para que Alanah seleccione una. Después de que Alanah selecciona su carta, Jerry las sostiene para que Marquez escoja una. a. Cuál es la probabilidad de que Alanah seleccione un número menor a 8? b. Cuál es la probabilidad de que Alanah escoja un número par? c. Enumera todas las maneras posibles en que Alanah y Marquez podrían haber seleccionado sus cartas. Por ejemplo, si Alanah seleccionó 5 y Marquez seleccionó 3, la combinación es (5, 3). d. Cuál es la probabilidad de que Alanah seleccione una carta mayor que la de Marquez? e. Si Alanah sacó el 8, cuál es la probabilidad de que seleccionara una carta mayor a la de Marquez? 672 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad impactmath.com/self_check_quiz

10 4. La Srta. Cooper tiene tres niños. Supón que ella tiene la misma probabilidad de tener un niño o una niña. a. Haz un diagrama de árbol que puedas usar para calcular las probabilidades en esta situación; como por ejemplo, cuál es la probabilidad de que sus tres hijos sean niños. b. Cuál es la probabilidad de que los tres hijos sean niños? c. Cuál es la probabilidad de que la Srta. Cooper tenga dos niñas y un niño? d. Supón que sabes que la Srta. Cooper tiene por lo menos una niña. Cuál es la probabilidad de que tenga dos niñas y un niño? Conecta & amplía 5. Un librero contiene tres libros, Después de que las campanas repican, Cuidado con la rana y Acorralado! Cuando Malik tiró accidentalmente los libros al piso, los devolvió al estante sin poner atención en su orden. a. Reproduce este experimento por lo menos 12 veces: Rotula tres trozos idénticos de papel A para Después de que las campanas repican, B para Cuidado con la rana y C para Acorralado! Dobla cada trozo para que no puedas ver las etiquetas. Mézclalos y después aviéntalos al piso y recógelos uno por uno. Con qué frecuencia los tomas en orden alfabético? b. Enumera todas las maneras en que podrían colocarse los libros en el estante. c. En cuántas de estas maneras estarían los libros en orden alfabético? Concuerda esto con tus resultados experimentales de la parte a? 6. Zoe tiene un cubo con caras numeradas como sigue: Cada cara tiene un número entero. Dos caras tienen el mismo número. La suma de los seis números es 41. Zoe lanza el cubo 10 veces con estos resultados: a. Evidentemente 3, 4, 11 y 12 están en cuatro de las caras. Cuántas posibilidades hay para las otras dos caras? Cuáles son? b. Cuál de estas posibilidades crees que es más probable? LECCIÓN 10.1 Dependencia 673

11 7. Sinopsis Un parque de atracciones atrae a clientes con este juego: SÓLO $1 GANA un Lanza 5 monedas juguete de peluch e! El GRAN lanzamiento de monedas 3 caras + 2 escudos Ó 2 caras + 3 escudos Cualquier otra combinación GANAS! Recuerda El valor absoluto de un número es su distancia a 0 en una recta numérica. Por ejemplo: a. Dibuja un diagrama de árbol para encontrar la probabilidad de ganar este juego. b. Cuál es la probabilidad de que un jugador gane? Cuál es la probabilidad de que un jugador pierda? c. Los premios para los ganadores le costaron al parque de atracciones $2 cada uno. Si 500 personas juegan, cuánto dinero esperará ganar el parque? Explica. 8. Cary hizo un experimento. Usando un programa de computadorizado, examinó el número de caras en varios números de lanzamientos de moneda. Por ejemplo, simuló lanzar una moneda 10 veces y obtuvo 4 caras. De 100 lanzamientos, sacó 46 caras. El elaboró la siguiente tabla con sus resultados. Número de Número real Número anticipado Diferencia lanzamientos de caras de caras Anticipada real , ,000 5,087 Repaso mixto a. Completa las dos últimas columnas de la tabla de Cary. b. Cary se dio cuenta que los números en la columna Diferencia iban aumentando. Supuso que esto demuestra que a medida que aumenta el número de pruebas, los resultados se alejan más de la probabilidad real de la situación. Explica por qué este razonamiento es incorrecto. Reescribe cada expresión tan simplemente como sea posible. 9. t t t (r3 3r 3 ) (a p ) 2p 674 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

12 Ordena cada grupo de números de menor al mayor. En tus propias palabras Supón que juegas un juego en que sacas una canica de color de una bolsa y después sacas otra. Qué deberían de decir las reglas acerca de sacar canicas para que tengas las mismas probabilidades en el segundo saque que tuviste en el primero? Qué deberían de decir las reglas para que tuvieras diferentes probabilidades? , 0.6, 0.32, 2 3, , , , , Joy hizo un inventario de los árboles en su propiedad y elaboró una tabla de sus resultados. Árbol Cedro Secoya Eucalipto Manzano Roble Número a. Joy hizo una gráfica circular de sus datos. Explica cómo calculó el porcentaje para cada sección. Después, explica cómo determinó el tamaño de cada sección. Da un ejemplo de cada cálculo. b. Joy también hizo una pictografía de sus datos, pero hay algo mal con su pictografía. Cuál es el problema y cómo podría corregirlo? Tipo de árbol Cedros Secoyas Eucaliptos Manzanos Robles Eucaliptos 5.9% Árboles en la propiedad Secoyas 41.2% Manzanos 11.8% Cedros 17.6% Árboles en la propiedad Robles 23.5% Clave = 2 árboles c. Joy hizo una tercera gráfica de sus datos. Tiene sentido unir los puntos en su gráfica? Por que sí o por qué no? Número Árboles en la propiedad Eucaliptos Manzanos Cedros Robles Secoyas Tipo de árbol LECCIÓN 10.1 Dependencia 675

13 Aplica la probabilidad Alguna vez te preguntaste si los juegos que juegas son realmente justos? El determinar el número de posibles resultados o desenlaces, de un juego puede ayudarte a juzgar su imparcialidad con frecuencia. MATERIALES 2 monedas Explora Supón que tu amigo y tú juegan un juego en que lanzas dos monedas. Si las monedas muestran las mismas caras, ganas 1 punto. Si muestran caras diferentes, tu amigo gana 2 puntos. Es justo este juego? Juega 10 rondas del juego para ver qué sucede. Investigación 1 Es justo? En los siguientes problemas, comprobarás si los juegos son justos determinando sus probabilidades. Sección de problemas A Taylor y Manuel tienen tres discos. Dos son azules por ambos lados y uno es azul por un lado y rojo por el otro. Los amigos toman turnos para lanzar los tres discos. Taylor gana 1 punto si todos caen azules y Manuel gana 2 puntos si no todos son azules. 1. Es justo este juego? Explica tu respuesta. 2. Si el juego no es justo, asigna puntos de manera diferente para hacerlo justo. 676 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

14 Sección de problemas B Tres personas juegan el juego 1, 2, 3 Muestra! A la cuenta de tres, cada jugador muestra 1, 2 ó 3 dedos. Los puntos se ganan de acuerdo con estas reglas: El jugador A recibe 1 punto si exactamente dos jugadores muestran el mismo número de dedos. El jugador B recibe 1 punto si los tres jugadores muestran un número diferente de dedos. El jugador C recibe 1 punto si los tres jugadores muestran el mismo número de dedos. El ganador es la persona con la mayoría de los puntos después de nueve rondas. 1. Predice qué jugador ganará. 2. Juega 1, 2, 3 Muestra! en grupos de cuatro. Tres personas deben ser los jugadores A, B y C y el cuarto deberá anotar los resultados para estimar la probabilidad de ganar. Juega un juego completo (nueve rondas). Completa una tabla como la siguiente para tu juego. Cuenta de Probabilidad Jugador puntos ganados estimada A B C 3. Qué jugador fue el ganador? Fue correcta tu predicción? 4. Ahora recopila la información de toda la clase. En qué por ciento de las veces ganó cada jugador? 5. Empleando un diagrama de árbol o una gráfica, enumera todos los posibles resultados para una ronda de 1, 2, 3 Muestra! Por ejemplo, 122 es el resultado del jugador A que muestra 1 dedo y los jugadores B y C que muestran 2 dedos cada uno. 6. Dados los resultados que enumeraste en el problema 5, cuál es la probabilidad de que cada jugador gane una ronda? 7. Es justo este juego? Explica. 8. Cómo asignarías los puntos para hacer justo el juego? Explica por qué crees que tu sistema es justo. LECCIÓN 10.2 Aplica la probabilidad 677

15 Comparte & resume Un cierto juego tiene cuatro resultados. El resultado A tiene probabilidad 1 de 1 0, el resultado B tiene probabilidad de 1 5, el resultado C tiene probabilidad de y el resultado D tiene probabilidad de 2 5. Cuatro jugadores seleccionan resultados y ganan un cierto número de puntos cuando sus resultados ocurren. Cómo deberían asignarse los puntos a cada resultado para que el juego sea justo? Investigación 2 Cuál es la diferencia? Al leer las reglas para el juego Cuál es la diferencia? piensa si el juego es justo. Reglas para Cuál es la diferencia? Dos jugadores lanzan un solo dado cada uno. Los jugadores calculan la diferencia restando el número menor que sacaron del número mayor. El jugador A gana 1 punto si la diferencia es 2 ó menos. El jugador B gana 1 punto si la diferencia es 3 ó más. El primer jugador en llegar a 5 puntos gana. MATERIALES 2 dados Ahora observarás el juego con más detalle y decidirás si es justo. Sección de problemas C 1. Juega seis juegos de Cuál es la diferencia? con un compañero. Una persona deberá ser el jugador A en los seis juegos. Anota tus puntuaciones en una tabla. Juego Total Jugador A Jugador B 2. Describe cualquier sucesión que notes en los resultados. 3. Escribe los totales en la pizarra. Después compara tus totales con otros que calcularon en tu clase. 4. Parece justo el juego? Explica. 678 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

16 Sección de problemas D En su análisis de Cuál es la diferencia? Luis y Kate notaron que algunas diferencias ocurren más frecuentemente que otras. Luis dijo, Una diferencia de 5 no ocurre muy frecuentemente. Si saco 6, yo tendría que sacar 1. Si yo sacara 6, tú tendrías que sacar 1. Éstas son sólo dos maneras. 1. Luis y Kate decidieron calcular cuántos resultados dan una diferencia de 1. Empezaron a encontrar las maneras posibles al usar una tabla. Completa su tabla y añade más columnas si es necesario. Resultados con una diferencia de 1 Dado Dado Cuántos resultados tienen una diferencia de 1? 3. Kate decidió que ellos deberían contar cuántos resultados dan cada diferencia, no sólo diferencias de 5 y 1. Completa la tabla a continuación. Comienza por poner tu respuesta del problema 2 en la fila de Número de resultados para una diferencia de 1. Diferencia Número de resultados 2 4. Observa otra vez las reglas de Cuál es la diferencia? Usa tu tabla para explicar si el juego es justo. MATERIALES 2 dados Sección de problemas E Luis y Kate se convencieron de que Cuál es la diferencia? es bastante injusto. Kate dijo, Qué tal si pudiéramos cambiar el sistema de puntuación? Podríamos hacer el juego justo? 1. Luis sugirió estas nuevas reglas: El jugador A gana un punto por las diferencias de 0, 2, 3, 4, 5 y 6. El jugador B gana 1 punto por una diferencia de 1. Son justas estas reglas? Explica tu respuesta. 2. Usa tu tabla del problema 3 de la Sección de problemas D y escribe nuevas reglas que harían justo el juego. Juega unos cuantos juegos con tus nuevas reglas y di si los resultados apoyan tu sugerencia. LECCIÓN 10.2 Aplica la probabilidad 679

17 3. Reto Si un jugador puede recibir sólo 1 punto por un lanzamiento, hay exactamente tres maneras de asignar las diferencias para dar a los jugadores una oportunidad igual de ganar. Trata de determinar las tres. 4. Zander se unió a Kate y Luis. Él sugirió estas reglas para tres jugadores, aún lanzando dos dados: El jugador A gana 1 punto si la diferencia es 0 ó 1. El jugador B gana 1 punto si la diferencia es 2 ó 3. El jugador C gana 1 punto si la diferencia es 4 ó 5. a. Qué jugador crees que tiene la ventaja en este juego? Explica. b. Halla una manera de asignar las diferencias que sea justa para los tres jugadores. c. Juega unos cuantos juegos con dos compañeros de clase para ver si los resultados muestran que las reglas son justas. Comparte & resume 1. Inventa un juego injusto en que los jugadores ganen puntos en base a los resultados de dos lanzamientos de una moneda. 2. Ahora reescribe las reglas para que tu juego sea justo. Explica cómo sabes que el juego es justo. Investigación 3 El premio escondido En el programa de concursos Premio escondido, se esconde un premio debajo de una de tres cajas disponibles. Sólo el anfitrión del programa sabe dónde se colocó el premio. 680 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

18 Datos deinterés Los programas de concursos de la televisión se han producido desde que se hizo la primera televisión experimental a finales de la década de Las cadenas televisivas comerciales empezaron a operar en 1941 y la televisión a color se introdujo en la década de Carmen ha ganado el derecho de hacer el intento de ganar un premio. El anfitrión le pide a Carmen que diga debajo de que caja cree que está el premio: A, B o C Una vez que Carmen haya dicho una caja, el anfitrión le mostrará que una de las cajas no seleccionadas está vacía. El anfitrión entonces le preguntará, Quieres cambiar de opinión? & Piensa comenta En esta situación, el reto es aconsejarle a Carmen si debería cambiar de opinión una vez que el anfitrión reveló una de las cajas vacías. Cuál es tu reacción inicial? Le aconsejarías a Carmen que cambie de opinión o que se quede con su primera conjetura? Para resolver el problema del premio escondido, ahora harás un experimento y recopilarás datos. Sección de problemas F Trabaja en parejas para preparar y correr el siguiente experimento. Escribe la palabra Premio en una de tres idénticas hojas de papel. Después dobla las tres hojas, cuidando de que no las puedas diferenciar o sólo colócalas sobre un escritorio con la palabra premio boca abajo. Premio Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Una persona pretende ser el anfitrión del programa de concursos y la otra el concursante. Mientras el concursante se voltea, el conductor vuelve a arreglar los papeles cuidando de recordar donde está el premio. El concursante indica el papel que cree que es el premio. El anfitrión voltea una de las hojas de papel no seleccionadas. Si el concursante no seleccionó el premio, el anfitrión debe ser cuidadoso de voltear el papel no seleccionado que no es el premio. El concursante decide si cambia o no de opinión. LECCIÓN 10.2 Aplica la probabilidad 681

19 1. Primero ve que sucede cuando el concursante decide no cambiar su opinión. Juega el juego 10 veces, siempre quedándote con la primera opción. Anota el número de veces que ganes en la columna del medio de una tabla como la siguiente. Ganas o pierdes? Juegos No cambies Cambia de de opinión opinión Ahora ve lo que sucede cuando el concursante siempre cambia de opinión. Juega otras 10 veces, cambia siempre al papel no seleccionado en el paso 4. Anota tus resultados en la última columna de tu tabla. 3. Basándose en tus resultados, crees que el concursante debería o no debería cambiar de opinión? 4. Tu conjetura inicial concuerda con el resultado que obtuviste con tu experimento? 5. Trata de explicar por qué el consejo que le darías a Carmen es correcto. Comparte & resume Al tratar de decidir qué estrategia usar cuando juegas un juego, por qué es útil conducir un experimento? Siempre te dará un experimento la mejor estrategia? Explica. 682 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

20 Investigación 4 El juego del número mayor El juego que examinarás a continuación conlleva casualidad, pero para obtener una alta puntuación también se debe tener una buena estrategia. Maya y Simón juegan un juego de colocación de valores. El objetivo es formar los mayores números posibles con tres dígitos. Cada uno dibuja un tablero de juego como el siguiente. Hay tres columnas, para centenas, decenas y unidades, respectivamente. Tablero de juego del Número mayor Ronda 1 Ronda 2 Ronda 3 Ronda 4 Total C D U Reglas para el Número mayor 1. Coloca, en una bolsa, seis bloques numerados del 1 al En cada ronda, los jugadores se turnan para crear números con tres dígitos de esta forma: Saca un bloque de la bolsa. Escribe el número en una de las tres columnas del tablero de juego. Una vez puesto ahí, el número no se puede mover. Sin devolver el primer bloque, saca un segundo bloque. Escribe el número en una de las dos columnas restantes. Sin devolver ningún bloque a la bolsa, saca un tercer bloque. Escribe el número en la columna restante. 3. Cada juego consiste en cuatro rondas. Al final del juego, cada jugador tiene cuatro números de tres dígitos. 4. Suma los cuatro números de tres dígitos para calcular el total. 5. El ganador es el jugador con el total más alto. Por ejemplo, Maya sacó 3 y lo colocó en la columna de las decenas. Después sacó 1 y lo colocó en la columna de las unidades. Finalmente sacó 6 y lo colocó en la columna de las centenas. Su número de tres dígitos es 631. LECCIÓN 10.2 Aplica la probabilidad 683

21 MATERIALES 6 bloques numerados del 1 al 6 bolsa de papel Sección de problemas G Juega una vez al Número mayor con un compañero para ver quien obtiene el total más alto. 1. Calcula los totales más altos o más bajos que sean posibles. 2. El número más alto posible de tres dígitos es 654. Una manera de obtener 654 es sacar 6, 5 y después 4. Calcula la frecuencia con la que puedes sacar estos números en ese orden 3. En las partes a a la f, el jugador ha colocado el primer número y acaba de sacar un segundo número. Dónde le aconsejarías al jugador que colocara el segundo número? Expón tus razones. a. 4 Segundo turno: 5 b. 2 Segundo turno: 4 c. 3 Segundo turno: 4 d. 5 Segundo turno: 2 e. 1 Segundo turno: 5 f. 6 Segundo turno: 3 4. Juega dos veces más. Son tus puntuaciones mejores o peores que la primera vez que jugaste? Crees que tu estrategia mejoró? Si es así, explica por qué crees que estás tomando mejores decisiones. Maya y Simón tratan de determinar la mejor estrategia para jugar al Número mayor. Simón sacó primero un 3 y lo colocó en el lugar de las decenas y luego sacó un 4. 3 Ellos hablaron sobre dónde colocar el 4. Una sugerencia fue terminar la ronda muchas veces. Maya dijo, Pondré el 4 en el lugar de las unidades. Después puedo sacar un tercer bloque diez veces para ver qué puntuación saco. Simón aceptó colocar el 4 en el lugar de las centenas y accedió a sacar 10 números también. Maya 3 4 Simón 4 3 MATERIALES bloques numerados del 1 al 6 bolsa de papel Sección de problemas H Retira de tu bolsa los bloques 3 y 4 y mezcla los bloques restantes. 1. Saca un bloque de la bolsa. Anota el número que hubiera sacado Maya y después devuelve el bloque de Maya a la bolsa. Haz esto 10 veces. 2. Ahora saca un bloque 10 veces y anota el número que Simón hubiera sacado en cada ocasión. 684 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

22 Recuerda En un diagrama de tallo y hojas, el "tallo" expresa los valores de posición exactamente a la izquierda de las "hojas". Por ejemplo, la segunda línea de este diagrama 23 39, 54, 81 significa que tres de los puntajes fueron 2,339, 2,354 y 2,381. Esto lo indica la clave que se muestra en la parte inferior derecha del esquema. 3. Calcula los totales para las dos estrategias. Qué crees que es la mejor? 4. Maya y Simón sugirieron este juego de recaudación de fondos para la feria de la escuela: Los visitantes de la feria donan $1 para jugar al Número mayor. Si ellos obtuvieran una puntuación por encima de cierto total, ganan un premio de aproximadamente $5. Maya y Simón quieren conocer qué puntuación deberá tener el jugador para ganar el premio. Para recoger información sobre el juego, les pidieron a 50 personas en el centro comercial que jugaran. Ellos hicieron un esquema de tallo y hojas de sus puntuaciones. Tallo Hojas , 54, , 22, 23, 40, 60, 72, , 17, 23, 24, 35, 37, 51, 59, 67, 78, , 06, 31, 46, 54, 55, 72, , 19, 27, 32, 50, 72, 74, , 11, 22, 47, 53, 59, , 45, , 82 Clave: ,339 a. Cuál fue la puntuación más alta para estas 50 personas? Cuál fue la puntuación más baja? b. Crea un conjunto de cuatro puntuaciones que podrían dar la mayor puntuación. Crees que obtener tus puntuaciones es probable o improbable? c. Supón que Maya y Simón deciden que un visitante de la feria debe tener una puntuación de 2,350 ó más para ganar el premio. Cuántas de estas 50 personas habrían ganado? d. Recuerda que los visitantes de la feria pagan $1 por jugar y que cada premio le cuesta a la escuela $5. Cuánto dinero se ganaría o perdería con el juego de recaudación de fondos si 50 personas jugaran y las puntuaciones ganadoras fueran de 2,350 ó más? Explica. e. Cuánto dinero se ganaría o perdería con estos 50 juegos si las puntuaciones ganadoras fueran de 2,100 ó más? Explica. f. De estas 50 puntuaciones, cuál crees que es un buen límite para la puntuación ganadora? Da tus razones. Comparte & resume James, un alumno de sexto grado, juega al Número mayor y casi siempre pierde. Qué consejo le darías como estrategia ganadora para el juego? LECCIÓN 10.2 Aplica la probabilidad 685

23 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica 1. Alejandro y Lamond tienen dos fichas. Una roja por ambos lados; la otra roja de un lado y azul del otro. Cada niño lanza una ficha. Lamond gana 1 punto si las fichas son iguales y Alejandro gana 1 punto si no lo son. a. Es justo el juego? Explica cómo lo sabes. b. Los niños obtienen una tercera ficha, roja en un lado y azul en el otro. Plantea un juego justo que implique lanzar las tres fichas. 2. Supón que giras la ruleta mostrada a continuación y después lanzas un cubo numerado 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Otro jugador y tú suman los dos resultados. Tú ganas 2 puntos si la suma es 5 y tu amigo gana 3 puntos si la suma es 3. Es justo este juego? Explica tu respuesta Rashard y Kellie se preparan para jugar a las damas y diseñan una competencia para decidir quién hará el primer movimiento. Ellos colocarán tres fichas rojas y dos negras en una bolsa y después cada quien saca una. Si las dos fichas son del mismo color, Rashard gana; si son de diferente color, Kellie gana. a. Diseña un experimento que podría ayudarte a decidir si la competencia es justa. Corre el experimento 20 veces. Describe tu experimento y tus resultados. b. Enumera todos los posibles pares de fichas que pueden escogerse. Ayuda: Hay 10 pares posibles, todos igualmente probables. Usa R1, R2 y R3 para representar las fichas rojas y B1 y B2 para las fichas negras. Por ejemplo, un par posible es R1, B2. c. En cuántos de los 10 pares posibles los colores son iguales? Concuerda esto con tus resultados experimentales? d. Es justo el juego? Explica. Si no es justo, quién tiene la ventaja? 686 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad impactmath.com/self_check_quiz

24 4. Timoteo y Jin Lee tienen cubos con números diferentes. El cubo de Jin Lee: 1, 3, 5, 7, 8, 9 El cubo de Timoteo: 4, 4, 4, 5, 6, 8 Juegan lanzando un cubo y quien saque el número mayor gana un punto. Los empates se ignoran. Es justo el juego? Explica. Ayuda: Supón que Jin Lee saca un 1 y después le toca lanzar a Timoteo. Enumera todas las posibilidades. Después supón que Lee saca un 3 y enumera todos los posibles resultados para Timoteo. Haz esto para todos los números que Jin Lee pueda sacar. 5. Para una ronda extra en el programa de concursos Premio escondido, a Carmen le muestran cuatro cartas, numeradas del 1 al 4. Las cartas se barajan y Carmen debe seleccionar dos sin mirar. El anfitrión del juego observa las cartas que Carmen seleccionó y después le muestra una a ella asegurándose de que no es la carta numerada con el 1. Carmen puede entonces conservar la otra carta o cambiarla por una de las que no seleccionó. Carmen ganará el premio extra si la carta final que seleccione tiene el número 1. a. Diseña un experimento para decidir si es mejor para Carmen seleccionar otra vez o conservar su carta original. Describe tu experimento. b. Qué es mejor, conservar la carta original o cambiarla? Puede ser que desees correr tu experimento para ayudarte a contestar esta pregunta. c. Explica por qué tu respuesta a la parte b es correcta. 6. He aquí las puntuaciones de 50 personas que jugaron el Número mayor. Tallo Hojas , 26, , 13, 29, 32, 44, 61, , 11, 17, 22, 36, 40, 43, 51, 62, 81, , 25, 28, 36, 41, 55, , 20, 32, 47, 48, 53, 69, 88, , 17, 24, 40, 61, 76, , 44, , 27 Clave: ,315 a. De estos datos, cuántos jugadores de entre 50 esperarías que anotaran más de 2,300? b. Con qué frecuencia esperarías que un jugador anotara de 1,800 a 2,200? c. Con qué frecuencia esperarías que un jugador anotara menos de 2,100? LECCIÓN 10.2 Aplica la probabilidad 687

25 Conecta & amplía 7. Consuela y Sarah decidieron jugar al Número mayor con sus hermanas y hermanos pequeños. Usaron bloques numerados del 1 al 5 y tableros con sólo decenas y unidades en las columnas. Supón que un jugador saca primero 3. Qué lugar es mejor para el número, la columna de las unidades o la columna de las decenas? Explica. 8. Mai, Keenan y Andrés juegan un juego de dardos con este blanco. Mai gana 1 punto si ella le pega al triángulo blanco. Keenan gana 1 punto si él le pega al paralelogramo. Andrés debe pegarle a la región morada para ganar un punto. Es justo este juego? Explica tu respuesta. 9. Erika y Eneas lanzaron una moneda 20 veces. Eneas ganaba 1 punto si caía cara y Erika ganaba 1 punto si caía escudo. Al final de los 20 lanzamientos, había 14 caras y 6 escudos. Erika dijo que eso era imposible, porque si lanzas una moneda 20 veces, deberían salir 10 caras y 10 escudos. Tiene razón Erika? Explica tu respuesta. 10. En el carnaval escolar, los alumnos juegan juegos y juntan puntos que pueden intercambiar por premios. En el juego A, lanzan 2 monedas y ganan 2 puntos si las monedas muestran la misma cosa. En el juego B, lanzan un dado y ganan 2 puntos si el número es 3 ó 4. En el juego C, lanzan dos dados y ganan 4 puntos si los números son iguales. a. Ching-Li decide jugar un sólo juego. Quiere seleccionar el juego que le da la mejor oportunidad de juntar muchos puntos. Qué juego debería seleccionar? Por qué? b. Cómo podrías reasignar los puntos de los juegos para que no importe qué juego seleccione Ching-Li? 688 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

26 11. Reto Inventa un juego que use tres dados y que podría jugarse en un carnaval de recaudación de fondos. El jugador paga una cantidad establecida por jugar y recibe un premio que vale cierta cantidad, en centavos, que se calcula usando los números del dado. Examina diferentes maneras en que se podrían usar los tres dados para calcular los premios. Por ejemplo, un jugador puede multiplicar dos números cualquiera y restar el tercero. Cuál sería un precio razonable por jugar tu juego para que el carnaval no perdiera dinero? 12. Latrell y Nykesha juegan dardos con este blanco. Latrell gana 1 punto por cada dardo que cae en la región morada. Nykesha gana 1 punto por cada dardo que cae en la región blanca. Es justo este juego? Explica. 13. Dos amigos, Deanna y Rodrigo, estuvieron en un programa de concursos. Para su ronda adicional, a Rodrigo lo sacaron del foro. A Deanna le dieron dos cajas, numeradas 1 y 2 y dos billetes de papel, marcados con $500 y $1,000. $500 $1000 A Deanna le dijeron que colocara los billetes en las cajas como ella quisiera. A Rodrigo lo regresarían al foro para escoger una caja y, si al menos un billete estuviera en esa caja, para jalar el billete de adentro sin mirar. Los amigos ganarían la cantidad del billete multiplicada por el número de la caja. a. De cuántas maneras puede Deanna colocar los billetes en las cajas? Descríbelas. b. Cómo debería Deanna colocar los billetes en las cajas? Explica tu razonamiento. (Ayuda: Por cada manera que describas en la parte a, imagina cuanto dinero ganarían los amigos si pudieran jugar varias veces.) LECCIÓN 10.2 Aplica la probabilidad 689

27 14. Carin y DJ juegan un juego. Cada jugador empieza con cinco cartas y el primer jugador que voltee correctamente las cinco cartas gana. Las cartas de Carin Las cartas de DJ Recuerda Un baraja estándar tiene cuatro palos: diamantes, tréboles, corazones y espadas. Hay 13 cartas en cada palo: as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, jota, reina y rey. propias En t us palabras Describe cómo puedes usar la probabilidad para determinar si el juego es justo o describe cómo puede usarse para determinar una estrategia ganadora. El primer jugador voltea la primera carta y después cualquiera de los dos conjetura si la siguiente carta será mayor o menor o pasa el turno al otro jugador. Si conjetura correctamente, el jugador tiene otro turno. Si no conjetura correctamente, se le retiran todas sus cartas y él o ella debe empezar otra vez con cinco cartas nuevas en su siguiente turno. Si el jugador pasa, el otro jugador tiene su turno. Si él o ella pasa el turno al primer jugador, ese jugador reemplaza su última carta con una nueva del montón. Por ejemplo, la primera carta de Carin fue un 3, así que ella conjeturó que sería más alta y volteó la siguiente carta, un 7. No estaba segura de qué conjeturar después, así que pasó a DJ. 3 7 Las cartas de Carin La primera carta de DJ era una reina, así que conjeturó que la próxima sería más baja. La siguiente carta fue una jota y de nuevo conjeturó que sería más baja otra vez. La tercera carta fue un 8 y pasó el turno a Carin. Las cartas de Carin Las cartas de DJ Las cartas de DJ 3 7 Q J 8 Carin tomó una nueva carta, un as, del montón y la puso sobre su 7. Nada es más bajo que un as, así que conjeturó que sería más alta. Las cartas de Carin Las cartas de DJ 3 A Q J 8 Juega el juego algunas veces. Usa una baraja verdadera o una hecha de papel. Usa los resultados para desarrollar una estrategia para jugar. Explica por qué tienes una buena estrategia. 690 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

28 Repaso mixto Calcula la raíz cuadrada positiva de cada número Resuelve cada ecuación (3a 2.4) 14a b k 0. 01k k b 3.4 5b Evalúa sin usar tu calculadora. Escribe tus respuestas en notación científica Álgebra En los ejercicios 26 al 28, escribe una ecuación para representar la situación. 26. el número de casas, T, que Geoff vende en un año si él vende h casas por mes 27. la distancia d recorrida en h horas por avión a una velocidad promedio de 200 millas por hora 28. el ancho de un cuarto si la razón del ancho w a la longitud l del cuarto es 3:2 29. Geometría Identifica todos los pares de triángulos similares. D E B F G A C H 30. Una caja de hojuelas de maíz de 24 onzas cuesta $2.99 y una caja de 32 onzas cuesta: $4.19. Cuál cuesta menos por onza? Por qué? 31. Janie quiere empapelar un cuarto de 6 metros por 9 metros con techos de 3 metros de alto. El cuarto tiene dos ventanas de 1.5 metros cuadrados y una entrada, de 80 cm de ancho por 2.4 metros de alto. Cuántos metros cuadrados de papel tapiz necesitará (incluyendo papel tapiz adicional para practicar)? LECCIÓN 10.2 Aplica la probabilidad 691

29 Muestreo y predicciones Supón que les pediste a 10 personas de tu clase que nombraran a los mejores jugadores profesionales de baloncesto de todos los tiempos y 7 dijeran Michael Jordan. Si tu escuela tiene 1,000 alumnos, pudieras predecir que cerca de 700 de ellos también mencionarían a Michael Jordan. Qué tal si trataras de predecir para un grupo de 1,000 personas en otra área del país? Los alumnos del séptimo grado de Chicago donde Michael Jordan jugó para los Bulls puede que no representen las opiniones de las personas en Boston, donde juegan los Celtics. Entender cómo evaluar grupos, y cómo usar esta información para hacer predicciones sobre grupos más grandes, es el enfoque de esta lección. MATERIALES tarjetas cuadradas de colores bolsa de papel Explora Trabaja en grupos de dos o tres para jugar Qué hay en la bolsa? Cada grupo necesitará aproximadamente 20 tarjetas cuadradas de colores. De estas 20 tarjetas, tu grupo deberá seleccionar un total de 10. Coloca las 10 tarjetas dentro de una bolsa de papel. Después, sin revelar sus colores, intercambia bolsas con otro grupo. Alguien de tu grupo debe sacar 4 tarjetas de la bolsa que les dieron. Comenta cómo predecir, basándose en esas 4 tarjetas, el número de tarjetas de cada color que hay en la bolsa. Por ejemplo, si las tarjetas que se seleccionaron son RAzAzAm 1 roja, 2 azules y 1 amarilla alguien podría decir, Pienso que es más probable que haya más azules que de los otros colores, así que mi conjetura es 5Az, 2R, 2Am y 1V. Devuelve las tarjetas a la bolsa, sacude la bolsa y saca 4 tarjetas otra vez. Anota los colores de las tarjetas en una tabla como la siguiente y añade una segunda predicción sobre el contenido de la bolsa. Al hacer tu nueva predicción, recuerda el primer grupo de tarjetas. Intento Tarjetas sacadas Predicción 1 RAzAzAm 4Az, 3R, 3Am, 0V 2 AzAzAzV 6Az, 2R, 1Am, 1V Saca un tercer grupo de 4 tarjetas y haz otra predicción. Finalmente, observa todas las tarjetas de la bolsa. Fueron acertadas tus predicciones? 692 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

30 Investigación 1 Qué hay en la bolsa? Con frecuencia, los investigadores médicos necesitan predecir cómo funcionará una nueva droga al probarla con una parte de la población. Los anunciantes prueban la efectividad de un comercial de televisión en una parte de población antes de gastar grandes cantidades de dinero por ponerlo al aire. Y en la Lección 8.4, aprendiste sobre el método de capturarmarcar-recapturar que usan los biólogos para estimar cuántos animales de algún tipo particular viven en una cierta área. V O C A B U L A R I O población muestra Estas personas usan una técnica que se llama muestreo. El grupo más pequeño se llama muestra. El grupo más grande del cual se saca la muestra se llama población. En la actividad de Explora, la población fue de 10 tarjetas cuadradas en la bolsa y tomaste muestras de 4 tarjetas cuadradas. Sección de problemas A Los siguientes son experimentos reales de Qué hay en la bolsa? realizados por alumnos. Observa sus muestras y haz tu propia predicción sobre los contenidos de las bolsas. Después verifica tu predicción contra los contenidos reales de la bolsa, los cuales revelará tu maestra. 1. En este juego, había 20 bloques en cada bolsa. Los bloques vienen en amarilla, azul, roja y verde. Dana y Sabina sacaron tres muestras de 5 bloques. Después de sacar cada muestra, devolvieron los bloques. Muestra 1: AmAzRVV Muestra 2: VAmAmAzR Muestra 3: RVRAzAm a. Predice los colores de los 20 bloques. b. Dana y Sabina han visto tres muestras de 5 ó 15 datos en total. Dado que hay 20 tarjetas en la bolsa, pudieron haber visto algunos tarjetas dos veces y por supuesto algunos tarjetas jamás se sacaron. Deberían Dana y Sabina estar bastante confiadas sobre su predicción? Explica. c. Verifica tus predicciones contra el contenido real de la bolsa, al revelarlo la maestra. LECCIÓN 10.3 Muestreo y predicciones 693

31 2. Andrea y Tyson jugaron un juego con discos rojos, verdes, azules y amarillos. Ellos tenían una bolsa con 10 discos de color. Tomaron 5 muestras de 4 discos a la vez. Muestra 1: RRVV Muestra 2: VAmRR Muestra 3: RAzRV Muestra 4: RAmRR Muestra 5: AzRRR a. Qué colores predices que estaban en el grupo de 10? b. Verifica tu predicción contra el contenido real de la bolsa. 3. En qué problema, el 1 ó el 2, hiciste una predicción más precisa? En cuál podrías esperar hacer una predicción más precisa? Por qué? Comparte & resume Sook Leng y Peter juegan Qué hay en la bolsa? con 100 bloques de colores. Ellos tomaron la muestra 1, devolvieron los bloques a la bolsa y después tomaron la muestra 2. Muestra 1: RRVAmVAzRRVR Muestra 2: RVVRAzRAzVAzAm Explica cómo podrías usar sus datos de muestra para hacer predicciones sobre los colores de los 100 bloques de la bolsa. Investigación 2 Explora los tamaños de las muestras 694 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad Con frecuencia, las personas usan una muestra para darse una idea de las características de una población particularmente cuando tomaría mucho tiempo y dinero para examinar a la población entera. Si tienes una buena muestra, la proporción de la muestra con una cierta característica o con cierta creencia puede usarse para hacer una predicción sobre la población. En un poema, por ejemplo, una característica que puedes observar es la longitud de palabra. El siguiente poema tiene palabras largas, como interrupted, la cual tiene 11 letras. También tiene palabras con sólo dos letras. En esta situación la población la forman las 109 palabras del poema.

32 Acquainted with the Night por Robert Frost I have been one acquainted with the night. I have walked out in rain and back in rain. I have outwalked the furthest city light. I have looked down the saddest city lane. I have passed by the watchman on his beat And dropped my eyes, unwilling to explain. I have stood still and stopped the sound of feet When far away an interrupted cry Came over houses from another street, But not to call me back or say good-by; And further still at an unearthly height One luminary clock against the sky Datos deinterés El famoso poeta estadounidense Robert Frost ( ) es más conocido por sus versos sobre la vida en Nueva Inglaterra y su amor por la naturaleza. Proclaimed the time was neither wrong nor right. I have been one acquainted with the night. Sección de problemas B 1. Antes de seguir leyendo, haz un estimado o estima la longitud promedio de palabra en el poema. La manera precisa para calcular la longitud promedio de palabra es contar todas las letras en el poema y dividir esto entre el número de palabras. Sin embargo, tu tarea es ver el grado de exactitud con que puedes predecir la respuesta usando una muestra. 2. El poema tiene 14 líneas. a. Por cada línea, cuenta los números de letras y palabras. Anota tus totales en una tabla como la siguiente. Líneas Letras Palabras b. Calcula la longitud promedio de palabra para la línea 6. c. Calcula la longitud promedio de palabra para la línea 10. d. Crees que puedes estimar la longitud promedio de palabra para el poema a partir de una muestra de una línea? LECCIÓN 10.3 Muestreo y predicciones 695

33 3. En una tabla anota los resultados de los diferentes tamaños de muestra. Líneas Letras Palabras Longitud promedio de palabra Datos deinterés Una manera en que los maestros pueden verificar la facilidad de la lectura de un trozo escrito para sus alumnos es usando una técnica de muestreo semejante. Ellos cuentan el número de enunciados y sílabas en tres pasajes aleatorios de 100 palabras y grafican sus resultados de modo que la gráfica les da el nivel aproximado del material de lectura. Escoge 2 líneas del poema aleatoriamente. Suma los números de las letras para las 2 líneas y luego suma los números de palabras. Calcula la longitud promedio de palabra y escribe tus resultados en la primera fila de tu tabla. Después selecciona una muestra de 4 líneas cualesquiera y anota los resultados. Después selecciona una muestra de 6 líneas cualesquiera y después 8 líneas cualesquiera y después 10 líneas cualesquiera. Ingresa los datos que recogiste en tu tabla. 4. Dan la misma longitud promedio de palabra todas las muestras? Comenta con tu compañero(a) a cuál muestra crees que proporciona la predicción más exacta. 5. Calcula la longitud promedio de palabra en el poema al dividir el número total de letras en el poema entre el número total de palabras. Fue acertada tu predicción? 6. Si quisieras seleccionar una muestra de una línea para sesgar la predicción hacia palabras más largas, cuál línea escogerás? Explica. Tus resultados pueden ser diferentes de los de otros alumnos en tu clase, dependiendo de las líneas seleccionadas. 7. Crea un conjunto de datos de la clase del número de líneas en las muestras que dieron las predicciones más acertadas. Cada alumno debe informar cuántas líneas él o ella utilizó para la muestra de la mejor predicción. a. Cuenta el número de veces que se reportó cada tamaño de muestra. b. Qué tamaño de muestra parece ser más confiable para predecir la longitud promedio de palabra en el poema? Comparte & resume 1. Cuenta los números de letras en los nombres de los seis alumnos que se sienten más cerca de ti. Cuál es la longitud promedio de palabra para estos datos? 2. Crees que tu grupo de seis alumnos es una muestra razonable para predecir el número promedio de letras en los nombres de cada persona de tu clase? 3. Describe una situación para la cual seis alumnos es un buen tamaño de muestra y una situación para la cual seis alumnos no es un buen tamaño de muestra. 696 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

34 Investigación 3 Haz predicciones a partir de muestras Para un proyecto de estadística, el grupo de Allison quería predecir cuál de las siguientes actividades después de las clases eran las favoritas de los alumnos de séptimo grado en las cuatro escuelas en su distrito. practicar deportes tocar música escuchar música ver televisión & Piensa comenta ir a centros comerciales jugar video juegos leer dibujar o pintar Cómo le recomendarías al grupo de Allison reunir una muestra que les ayudara a hacer una predicción precisa? Haz una lista de sugerencias. LESSOLECCIÓN 10.3 Muestreo y predicciones 697

35 Como aprendiste, una muestra adecuada deberá ser lo suficientemente grande para dar resultados precisos. Además, deberá ser representativa de la población. V O C A B U L A R I O muestra representativa Una muestra representativa tiene aproximadamente las mismas proporciones que la población con respecto a la característica que se estudia. Por ejemplo, el grupo de Allison querrá que su muestra tenga la misma proporción de hombres y mujeres que la población del distrito, debido a que pudiera ser más probable (o menos probable) que los niños se involucraran más que las niñas en una actividad particular. Finalmente, cualquiera que conduzca una encuesta que use una muestra querrá un método que sea práctico de llevar a cabo. Esto proporciona tres preguntas importantes que hacer cuando se examina si un método para encuestar es bueno. Es lo suficientemente grande la muestra para obtener resultados precisos? Es representativa la muestra de la población? Es práctico el método de sondeo? Sección de problemas C El grupo de Allison propuso cinco estrategias para llevar a cabo su encuesta. Estrategia 1 Preguntar a los 600 alumnos de séptimo grado en las cuatro escuelas. Estrategia 2 Repartir cuestionarios a los 130 alumnos de séptimo grado en la competencia de bandas de distrito la semana que viene. Estrategia 3 Obtener una lista de todos los alumnos de séptimo grado en el distrito y llamar al azar al 5% de cada escuela. Estrategia 4 Encuestar a cada tercer alumno de séptimo grado de los 125 que hay en nuestra escuela al momento de entrar a sus salones. Estrategia 5 Encuestar a los 12 alumnos de séptimo grado en un autobús escolar. 1. Qué estrategia o estrategias crees que pudieran proporcionar los datos menos representativos? Y los más representativos? 2. Qué estrategia proporcionará el menor tamaño de muestra? Y el mayor tamaño de muestra? 3. Qué estrategia parece ser la menos práctica? Y la más práctica? 4. Qué estrategia crees que es la mejor? Explica tu razonamiento. 698 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

36 Sección de problemas D El grupo de Allison decidió encuestar a cada tercer alumno que entre a cada salón de séptimo grado en su escuela. Los cinco salones promedian 25 alumnos cada uno. Ellos mostraron los resultados de su sondeo en una gráfica circular. Actividades favoritas después de las clases Dibujar o pintar Tocar música Ir a centros comerciales Leer Escuchar música Jugar deportes Jugar video juegos Ver televisión 1. De qué tamaño es la muestra de alumnos encuestados? 2. Cuántos alumnos en la muestra prefieren practicar deportes después de clases? 3. Cuál es la medida del ángulo (en grados) de la sección que representa el 10% de los alumnos que prefieren ir a centros comerciales? 4. Basándote en la muestra, predice cuantos preferirían leer en un distrito de 600 alumnos de séptimo grado. 5. Supón que pudieras elegir al azar a 1 alumno de séptimo grado de los 600 en el distrito escolar de Allison. Cuál es la probabilidad de que él o ella prefieran jugar videojuegos? Explica cómo calculaste tu respuesta. 6. Si Allison predijera las actividades de ocio favoritas de todos los alumnos en el distrito, desde el jardín de niños hasta el doceavo grado, proporcionará una visión precisa un muestreo de sólo los alumnos de séptimo grado? Comparte & resume 1. Nombra algunas situaciones en las cuáles pudiera ser más probable predecir de una muestra que de una medición de la población entera. 2. Revisa las sugerencias de tu clase para la sección Piensa & comenta en la página 697. Para cada sugerencia, comenta sobre estas tres preguntas: Es lo suficientemente grande la muestra? Es representativa la muestra? Es práctico el método de sondeo? LECCIÓN 10.3 Muestreo y predicciones 699

37 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica 1. Tobias y Kareem jugaban a Qué hay en la bolsa? De 12 tarjetas cuadradas ocultas, tomaron cinco muestras de 3. Muestra 1: AzAmV Muestra 2: AmAzV Muestra 3: AzVAz Muestra 4: VAzAz Muestra 5: RAzV Qué colores predices que había en el grupo de 12 tarjetas cuadradas? 2. Jemma y Desiree jugaban a Qué hay en la bolsa? Había 20 colores ocultos y sacaron cuatro muestras de 5. Muestra 1: RAmRVR Muestra 2: AmAzVAmAz Muestra 3: AzAmVAmAz Muestra 4: RAmVRAm Qué colores predices que había en el grupo de 20? 3. Juan y Kelly jugaban un simulacro en computadora de Qué hay en la bolsa? El software crea un grupo de 200 tarjetas cuadradas en una bolsa con una combinación de cuatro colores. Los usuarios ingresan el tamaño de la muestra y el número de muestras. Juan y Kelly seleccionaron cuatro muestras de 10. Muestra 1: RAzAzVVVVAmAmAm Muestra 2: RRAzVVVVVAmAm Muestra 3: RRRVVVVAmAmAm Muestra 4: RRAzAzVVVVVAm a. De esta muestra, qué por ciento para cada color crees que seleccionó el software? b. Es la muestra lo suficientemente grande para que te sientas satisfecho con tu predicción? 700 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad impactmath.com/self_check_quiz

38 4. Akiko y Tankia juegan a Qué hay en la bolsa? La bolsa tiene 15 canicas, una mezcla de rojo, azul, amarillo y verde. Las niñas deciden tomar cinco muestras de 4. Muestra 1: VAzVR Muestra 2: AzRVV Muestra 3: RAzVV Muestra 4: AzVRR Muestra 5: RAmVV a. Predice qué colores forman el grupo de 15 canicas. b. Describe un método para hacer una predicción. 5. La tienda local de helados, 5 Flavors, tuvo las siguientes ventas en una semana: Vainilla: 300 bolas Chocolate: 350 bolas Fresa: 180 bolas Limón: 70 bolas Frambuesa: 100 bolas a. 5 flavors es una tienda de una cadena de cinco tiendas similares por todo el condado. Suponiendo que las otras tiendas tienen ventas similares, predice cuántas bolas de helado de fresa se venderán por semana en el condado. b. Crees que estos datos son suficientes para hacer una predicción para las cinco tiendas para todo el año? Explica. LECCIÓN 10.3 Muestreo y predicciones 701

39 6. Literatura Este poema lo escribió Emily Dickinson. Datos deinterés Aunque la poesía de la poetisa americana Emily Dickinson se conoce alrededor del mundo, sólo un par de sus casi 2,000 poemas se publicaron durante su vida. Bee! I m expecting you! Was saying Yesterday To Somebody you know That you were due The Frogs got Home last Week Are settled, and at work Birds, mostly back The Clover warm and thick You ll get my Letter by The seventeenth; Reply Or better, be with me Yours, Fly. a. Este poema tiene 12 líneas. Cuántas líneas crees que deberás usar como una muestra para predecir la longitud promedio de palabra en el poema? b. Escoge una muestra de líneas al azar y predice la longitud promedio de palabra. Indica que líneas usaste. c. Calcula la media real de la longitud de palabras en el poema. Fue acertada tu predicción? 7. Escoge una página de una novela, un cuento que lees para la clase de inglés o un libro para una clase de estudios sociales. a. Observa el primer párrafo completo en una página típica. (Si la primera línea en la página es una continuación de la página previa, inicia hasta el siguiente párrafo.) Cuenta el número de palabras en el párrafo y divide esto entre el número de enunciados en el párrafo. Cuál es la longitud promedio del enunciado? b. Crees que puedes predecir de manera precisa la longitud promedio del enunciado para el libro entero? Explica. c. Calcula la longitud promedio del enunciado para por lo menos 10 párrafos seleccionados al azar de 10 páginas diferentes. d. Tendrás ahora más confianza al hacer una predicción para la longitud promedio del enunciado en el libro? Crees que tu predicción será precisa? Explica. 702 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

40 8. Jenny y Carmelita intentaban predecir el resultado de una elección para presidente estudiantil en la cual 350 alumnos eran elegibles para votar. Jenny muestreo a 50 alumnos en una fiesta ofrecida para el equipo de fútbol americano. Carmelita muestreo a las primeras 30 personas que entraron a la escuela después de las 8:00 A.M. Qué muestra es probable que sea más representativa? Por qué? Conecta & amplía Recuerda La media es la suma de todos los datos dividida entre el número de datos en la suma. 9. Se les hizo esta pregunta a diez alumnos encuestados de una clase de 100 alumnos de séptimo grado: Cuál es la primera fruta en que piensas? a. De los 10 alumnos encuestados, 6 dijeron naranjas, 2 dijeron manzanas, 1 dijo toronjas y 1 dijo limones. Usa los resultados de esta muestra para predecir los resultados para la clase completa. b. Comenta la precisión de tu predicción. c. La escuela a la que asisten estos alumnos está en Florida. Supón que la escuela estuviera en Hawai. Crees que los alumnos probablemente nombrarían las mismas frutas? Explica. 10. El club de actuación de la escuela secundaria Marilyn planea organizar una noche de cine para reunir dinero para vestuarios y accesorios. Quieren saber qué tipo de película atraerá el mayor interés: comedia, romance o acción/aventura. Los miembros del club deciden llevar a cabo un sondeo y tienen tres sugerencias sobre a quiénes preguntar: todos los alumnos de séptimo grado todos los alumnos en un salón de cada año todo el club de actuación a. Para cada sugerencia, comenta sobre los tres temas de representación, tamaño de la muestra y factibilidad. b. Qué sugerencia crees que sea la mejor? 11. Grace anota sus puntos en cada partido de baloncesto en que juega. En los cuatro primeros partidos, sus resultados son, 3, 3, 5 y 7. a. Cuál es la media de este conjunto de puntos? b. Suponiendo que estas puntuaciones son típicas para Grace, predice el número total de puntos que anotará en los siguientes 10 partidos. c. Qué grado de certeza crees que tenga tu predicción? Explica. LECCIÓN 10.3 Muestreo y predicciones 703

41 704 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad 12. Peter lleva un registro de las carreras que anota en cada juego de béisbol que juega. Sus resultados para los primeros 16 juegos de la temporada son los siguientes: a. Cuál es la media de carreras de Peter? b. Usa los 16 primeros juegos de Peter para predecir el número total de carreras que es probable anote en la temporada, la cual dura 40 juegos. c. Qué grado de certeza crees que tenga tu predicción? Explica. 13. En la investigación 2 de la Lección 8.4, usaste proporciones para estimar poblaciones de animales en un experimento de capturar-marcarrecapturar. Como ejemplo, consideraste estas situaciones: Para estimar el número de águilas calvas en los Estados Unidos, los ornitólogos marcaron y liberaron a 240 águilas por todo Estados Unidos. Un par de meses más tarde, capturaron 100 aves y determinaron que 3 de éstas tenían marcas. Para estimar el número de lobos rojos en ciertos bosques, los biólogos capturaron 20 lobos, los marcaron y luego los liberaron. De los 15 lobos que capturaron más tarde, 5 tenían marcas. a. Estima el número de águilas calvas en los Estados Unidos y el número de lobos rojos en los bosques en el estudio. b. Calcula los porcentajes de águilas capturadas para estimar la población total; haz lo mismo para los lobos. Luego compara los porcentajes. Tienen sentido? Explica. 14. En las siguientes situaciones, debe tomarse una muestra para estimar información sobre la población completa. Haz lo siguiente para analizar cada situación: Identifica la población. Comenta sobre los factores que podrían considerarse cuando se decide el tamaño que debe tener una muestra. Comenta cómo podría elegirse una muestra. Comenta cómo se usaría la muestra de datos para hacer una predicción de la población. a. La compañía Clear Light quiere desarrollar una nueva bombilla. Espera vender 1,000,000 al año y garantizar a los clientes que las bombillas durarán un promedio de 200 horas antes de fallar. Para probar una bombilla, deberá dejarse encendida hasta que falle.

42 b. Las autoridades en un país de 25 millones de habitantes necesitan probar la efectividad y efectos secundarios de una vacuna. El tamaño de la muestra de voluntarios deberá ser lo suficientemente grande para que las autoridades estén seguras de los resultados antes de permitir que se use la vacuna. c. Los fabricantes de juguetes ACME tienen un nuevo juego electrónico que funciona con baterías. Quieren estar seguros de que el juego durará 30 horas antes de necesitar baterías nuevas. Esperan vender 10,000 al año. 15. En una hoja de papel, escribe las letras del alfabeto, una letra por línea. Luego selecciona algún material de lectura, como un libro, revista o periódico. Escoge aleatoriamente una línea de texto del material de lectura. Revisa cuidadosamente la línea, letra por letra. En tu lista del alfabeto, haz una marca de cuenta junto a las letras, cada vez que éstas aparezcan. Por ejemplo, para la palabra would, haz una marca junto a la W, O, U, L y D. a. A partir de esa línea de texto, cuáles son las tres consonantes más comunes? Cuál es la vocal más común? b. Elige aleatoriamente otra línea y añade las cuentas de las letras para esa línea a la cuenta de la primera línea. Cuáles son las tres consonantes más comunes y la vocal más común? c. Continúa seleccionando líneas solas al azar hasta que las letras más comunes sean las mismas para tres líneas seguidas. Cuáles son las letras? d. Cuántas líneas tuviste que probar? e. Crees que tu muestra es lo suficientemente grande para predecir las letras más comunes en tu material de lectura? f. Crees que tus letras serán las letras más comunes en el lenguaje en que está escrito tu material de lectura? 16. Supón que quieres determinar el platillo favorito de todos los alumnos de tu escuela. Diseña una estrategia para determinar una muestra. Cuál crees que será el tamaño mínimo que necesitas para obtener una predicción razonablemente precisa? LECCIÓN 10.3 Muestreo y predicciones 705

43 Datos deinterés La genética determina por completo el color del iris en los ojos de los seres humanos. 17. Zara conduce un sondeo sobre el color de ojos para los 25 alumnos en su salón y trazó los resultados en una gráfica circular. Color de los ojos Avellana 20% Verde 8% Azules 32% Pardos 40% propias En t us palabras Describe las características de una buena muestra. a. 40% de los alumnos tenían ojos cafés. Cuántos alumnos son éstos de la clase de 25? b. Cuántos alumnos tenían los ojos de otro color? c. Dibuja una pictografía para presentar en otra forma los datos. Recuerda que hay 25 alumnos en la clase. d. Dibuja una gráfica lineal de los datos. e. Qué tipo de representación crees que es la mejor para mostrar los datos? f. Qué tipo de representación crees que es la peor para mostrar los datos? Explica. 18. Una escuela desea hacer campaña de seguridad vial y por ello encuestaron a un grupo de 200 alumnos de séptimo grado en un área urbana. El sondeo determinó que los alumnos viajan a la escuela de cinco maneras. El viaje en autobús y automóvil fueron los métodos más comunes. El estudio también determinó que 35 alumnos toman el metro, 30 caminan y 25 viajan en bicicleta. a. Cuántos alumnos en total viajan a la escuela en autobús o en automóvil? b. Cuál es un resultado posible que podría arrojar el estudio acerca del número de alumnos que viajan en automóvil? c. Reto Determina todas las soluciones posibles para el número de alumnos que viajan en automóvil y el número que viaja en autobús. 706 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

44 Datos deinterés Las encuestas Gallup reciben ese nombre por George Horace Gallup ( ). Nacido en Iowa, es mejor conocido por su método de sondeo de opinión pública sobre política. Repaso mixto 19. Estudios sociales Las encuestas Gallup usan un tipo de muestreo para predecir los resultados de las elecciones. Existe una manera de determinar la precisión de estas predicciones, basado en la población y en el tamaño de la muestra. Supón que se seleccionaron aleatoriamente 1,000 personas de una población votante de 1,000,000 y se les preguntó por cuál de los dos candidatos votaron. El margen de error para la encuesta es de 4%. Esto significa que es muy probable que el porcentaje de votos para cada candidato predicho por la encuesta esté dentro de 4 puntos porcentuales de la cifra real. a. Por qué una encuesta Gallup seleccionaría personas al azar? b. Si la muestra de 1,000 personas muestra que el 47% tienen la intención de votar por el candidato A, cuál esperarías que fuera el rango de porcentaje de votos para el candidato A el día de elección? c. Es improbable que el 47% sea exactamente correcto. Cuáles son el menor y mayor números de votos que esperarías que recibiera el candidato A? Es posible que el candidato obtenga más del 50% de los votos y gane la elección? Explica. Evalúa cada expresión (3.1) [2 5(3.1)] (2 5)(3.1) ( 4 3 2) Geometría Relaciona cada ángulo con una de las medidas a continuación f c a b d e LECCIÓN 10.3 Muestreo y predicciones 707

45 27. Cuáles de estas figuras son redes para un cubo? Es decir, cuáles de estas se doblarán para formar un cubo? Figura A Figura B Figura C Figura D Figura E Suministra la información faltante para cada máquina de estiramiento o encogimiento ? 56 pies 7 3 cm 3? 81 cm m 10? 121 pulg 10 3? Si se hace pasar una tira de 1 cm de chicle a través de cada super máquina, qué longitud tendrá cuando salga? CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

46 Herramientas estadísticas y gráficas Aquí hay una lista de las edades de los 64 residentes de la ciudad de Smallville Imagina que trabajas para el periódico local y quieres publicar estos datos en una gráfica. Tienes tres opciones del tipo de gráfica a usarse. Edad de los residentes Edad de los residentes Edad de los residentes Edad Clave 0 = 3 Personas 1 10 Edad Pictografías Gráfica circular Histograma Número de personas & Piensa comenta Qué tipo de gráfica crees que transmite mejor los datos? Por qué? LECCIÓN 10.4 Herramientas estadísticas y gráficas 709

47 Investigación 1 Diagramas de caja y patillas En este punto, algunos tipos de gráficas ya te son familiares, como las pictografías, gráficas lineales, gráficas circulares, gráficas de barras, diagramas de tallo y hojas y los histogramas. A continuación, hay otro tipo de gráfica, un diagrama de caja y patillas, para la población de Smallville. Estas son las patillas. Esta es la caja Edad V O C A B U L A R I O cuartil Un diagrama de caja y patillas separa los datos en cuatro secciones: dos patillas y dos partes de la caja. Cada sección representa alrededor del 25% de los datos. Los puntos que dividen las secciones se llaman cuartiles. Los problemas siguientes te ayudarán a entender estas estadísticas y cómo se muestran en un diagrama de caja y patillas. Sección de problemas A Cada primavera, Mark recibe cumplidos sobre los tulipanes de su jardín. Para monitorear un año el crecimiento de las flores, midió la longitud de la hoja más larga en cada flor. En un día, un cantero de nueve tulipanes tuvo las siguientes longitudes de hojas, en centímetros: Mark hizo un diagrama de caja y patillas de estos datos Longitud de hojas (cm) 710 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

48 Recuerda La mediana de un conjunto de datos es el valor central si hay un número impar de valores y la media de los dos valores centrales si hay un número par de valores. Datos deinterés Muchas flores se cultivan por su altura. Cada año, las semillas de las plantas más altas se recogen para sembrarlas el siguiente año. 1. Dos puntos importantes en los diagramas de caja y patillas son el mínimo (menor punto de datos) y el máximo (mayor punto de datos). a. Cuál es el mínimo y el máximo de este conjunto de datos? b. Cómo se muestran estos valores en la gráfica? 2. Uno de los cuartiles es la mediana del conjunto de datos. a. Cuál es la mediana de este conjunto de datos? b. Cómo se muestra el valor en la gráfica? 3. Para calcular los dos cuartiles restantes, puedes considerar los datos por debajo de la mediana como un conjunto de datos y los datos por encima de la mediana como otro conjunto de datos Conjunto de datos inferior Mediana Conjunto de datos superior La mediana del conjunto de datos menores es el primer cuartil y la mediana del conjunto de datos mayores es el tercer cuartil. La mediana del conjunto de datos completo es también el segundo cuartil. a. Cuál es el primer cuartil? Cuál es el tercer cuartil? b. Cómo se muestran estos valores en la gráfica? 4. El rango de un conjunto de valores es la diferencia entre los valores máximo y mínimo. Cuál es el rango de alturas en este conjunto de datos? LECCIÓN 10.4 Herramientas estadísticas y gráficas 711

49 Sección de problemas B He aquí los datos y el diagrama de caja y patillas para las edades de los 64 residentes de Smallville En la gráfica se marcaron las estadísticas importantes. Fíjate que hay cinco puntos importantes: el mínimo, el máximo y el primero, segundo y tercer cuartiles. Primer cuartil: 12 Segundo cuartil: 30 Mínimo: 1 Tercer cuartil: 55.5 Máximo: Edad 1. Copia el conjunto de datos en tu hoja. Dibuja una barra (/) para dividir las dos mitades en cualquier lado de la mediana. Luego dibuja dos barras más, que dividan cada una de estas mitades. 2. Tus barras representan los cuartiles en el conjunto de datos. a. Cuántos valores se representan por cada patilla? Qué porcentajes de la población de la ciudad representan éstos? b. Cuántos valores se representan por cada sección de la caja? Qué porcentajes de la población de la ciudad representan éstos? 3. Por qué es más corta la patilla de la izquierda que la patilla de la derecha? 4. Por qué no está la mediana en el centro exacto de la caja? 5. Nombra otro tipo de gráfica que sería útil para representar este conjunto de datos. 712 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

50 Sección de problemas C He aquí dos diagramas de caja y patillas para las edades de los ciudadanos de dos ciudades. Ciudad A Ciudad B Edad 1. Cuál es el segundo cuartil o mediana para la ciudad A? 2. Qué ciudad tiene un mayor rango de edades? 3. Alrededor de qué porcentaje de la población de la ciudad B tiene entre 15 y 80 años de edad? 4. Una de las ciudades es una ciudad universitaria. Cuál crees que sea? Por qué? 5. Si estos datos se representaran en un diagrama de tallo y hojas, qué información adicional conocerías? Ahora dibuja tus propios diagramas de caja y patillas Sección de problemas D Rhiannon llevó un registro de los puntos que anotó durante toda la temporada de baloncesto. En 11 partidos, ella anotó estos número de puntos: Escribe las puntuaciones en orden. 2. Cuál es la mediana de este conjunto de datos? 3. Cuáles son el primer y tercer cuartil? 4. Cuál es el rango de puntos anotados? 5. Dibuja un diagrama de caja y patillas de las puntuaciones de Rhiannon. LECCIÓN 10.4 Herramientas estadísticas y gráficas 713

51 Simona y Derek anotaron las siguientes carreras en varios juegos de béisbol. Juego Simona Derek En el mismo eje, dibuja un diagrama de caja y patillas para cada jugador. 7. Compara los rangos de anotaciones de cada jugador. 8. Quién crees que sea el mejor anotador? Usa las gráficas que hiciste para explicar tu respuesta. Comparte & resume Supón que tienes un conjunto de datos con 18 valores, ordenados de menor a mayor. Explica tan detalladamente como puedas cómo crear un diagrama de caja y patillas del conjunto de los datos. Investigación 2 Selecciona una gráfica para mostrar datos Cuándo tienes una opción de gráfica para organizar y mostrar datos, qué haces? La mejor gráfica para una situación es la que muestra más claramente los datos para el propósito que necesitas. Estos son algunos tipos de gráficas sobre los que aprendiste y de los que puedes seleccionar. gráfica lineal histogramas gráficas de barras Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Impreso con permiso del The World Almanac and Book of Facts. gráficas circulares diagramas de tallo y hojas diagramas de caja y patillas Por ejemplo, los datos a continuación, que muestran las temperaturas mensuales promedio para Knoxville, Tennessee, en grados Fahrenheit, se usaron para crear seis gráficas en la siguiente página. 714 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

52 Temperatura ( F) Temperaturas mensuales Temperaturas mensuales Temperaturas mensuales 30s s 70s s 1 60s E M M J S N 0 Mes Temperatura ( F) Gráfica lineal Gráfica circular Histograma Número de meses Temperaturas mensuales Temperaturas mensuales Temperaturas mensuales Tallo Hojas Clave: 5 8 = 58 Temperatura ( F) E F M A M J J A S O N D Mes Temperatura ( F) Diagrama de tallo y hojas Gráfica de barras Diagrama de caja y patillas Sección de problemas E Recuerda En un histograma, la altura de una barra te indica cuántos valores de datos hay en un rango de valores particular. En una gráfica de barras, la altura de una barra te da un valor de datos particular. 1. Qué gráficas dan una idea de cómo cambiaron las temperaturas en el transcurso del año? 2. A partir de las gráficas que nombraste en el problema 1, describe las temperaturas mensuales promedio de Knoxville. 3. Considera las gráficas que no mencionaste en el problema 1. a. Por qué estas gráficas no te dan una idea del cambio de temperatura en el transcurso del año? b. Supón que un periódico imprimió una gráfica circular pero no dio otras gráficas o datos. Qué podría decir un lector del promedio de las temperaturas mensuales de Knoxville? c. Supón que un periódico imprimió una diagrama de tallo y hojas. Qué podría decir un lector del promedio de las temperaturas mensuales de Knoxville? 4. Qué gráficas parecen ser más útiles para mostrar los datos de temperatura? Explica. 5. Son las otras gráficas inútiles para mostrar los datos? Explica. LECCIÓN 10.4 Herramientas estadísticas y gráficas 715

53 Sección de problemas F Kyung y Isandro reunieron algunos datos sobre mascotas para un proyecto escolar. Las mascotas más populares Kyung encuestó a los 27 alumnos en su clase sobre sus mascotas favoritas. Estos son sus resultados: Perros Gatos Aves Peces Ratones Peces tropicales Isandro encontró 10 alumnos que tienen peces tropicales y les preguntó cuántos peces tenía cada uno en sus tanques. Las respuestas fueron las siguientes: Costo por semana Kyung e Isandro reunieron información sobre cuánto les cuesta a los alumnos, por semana, el cuidado de sus mascotas, en promedio. Estos son sus resultados: menos de $5: 23% entre $5 y $10: 48% más de $10: 29% Expectativa de vida de los perros Isandro investigó los siguientes datos sobre cuánto viven los perros en promedio: Años 0 a 4 5 a 8 9 a a 16 Más de 16 Porcentaje 17% 8% 26% 37% 12% 1. Los niños querían usar las gráficas para mostrar sus datos efectivamente. Para cada uno de los cuatro tipos de datos que reunieron, elige dos de los siguiente tipos de gráficas que creas serían útiles y uno que sería inapropiado. Explica tus selecciones. gráficas lineales histogramas gráficas de barras gráficas circulares diagramas de tallo y hojas diagramas de caja y patillas 2. Para cada conjunto de datos, selecciona un tipo apropiado de gráfica y haz una gráfica para mostrar los datos. 716 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

54 Comparte & resume Para cada tipo de gráfica, describe el tipo de datos o situación en que sería mejor emplearlas. 1. gráfica lineal 2. gráfica circular 3. histograma 4. diagrama de tallo y hojas 5. gráfica de barras 6. diagrama de caja y patillas LECCIÓN 10.4 Herramientas estadísticas y gráficas 717

55 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica 1. Dos tiendas de helados, Scoops y el Sundae Sunday, reportan el número de conos de helado que vendieron por día en una semana. Día Lun Mar Mier Jue Vie Sab Dom Scoops Sundae Sunday a. En un eje, dibuja un diagrama de caja y patillas para cada tienda. b. Qué tienda tiene el mayor rango de ventas de helado? c. Qué tienda tiene la mediana de ventas más alta? 2. Por 4 semanas (20 noches), cuatro alumnos anotaron el número de minutos que invirtieron en hacer tareas cada noche. Della Chris Bob Anna Tiempo (min) a. Qué alumno tiene la mediana de tiempo más alta? Sugiere algunas razones posibles para esto. b. Si la escuela sugiere que una mediana de tiempo de estudio de 70 minutos es adecuada, qué alumnos invierten una cantidad adecuada de tiempo de estudio? c. Qué alumno estudió más tiempo en una noche? d. Qué alumno estudio menos tiempo en una noche? e. Qué alumno tiene el menor rango de tiempos de estudio? f. Qué alumno tiene el menor tiempo de estudio sobre 50 minutos? g. Cuántos alumnos trabajaron por más de 2 horas en cualquier noche? 718 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad impactmath.com/self_check_quiz

56 3. Durante la temporada de fútbol americano, Albert, Bettina y Paul vendieron refrescos en sus carritos de bebidas durante los partidos locales. Llevaron registro de cuantas bebidas vendieron en cada partido y dibujaron los siguientes diagramas de caja. Ellos quieren usar los datos para determinar las mejores ubicaciones para sus carros. Albert Bettina Paul Bebidas vendidas a. Quién tiene la mediana más alta? b. Quién vendió el menor número de bebidas en un partido? c. Quién tuvo la mayor proporción de ventas de más de 30 bebidas por partido? d. Quién tuvo el mayor rango de ventas? e. Quién tuvo el 75% de sus ventas de más de 70 bebidas por partido? f. Quién vendió más de 140 bebidas durante un partido? g. Qué información sobre la mejor ubicación puedes obtener a partir de estas gráficas? 4. Un granjero registró la temperatura cada 2 horas durante el día. Tiempo 6 A.M. 8 A.M. 10 A.M. 12 mediodía 2 P.M. 4 P.M. 6 P.M. 8 P.M. Temp ( F) a. Dibuja una gráfica que muestre el cambio de temperatura durante el día. b. Usa tu gráfica para estimar la temperatura a las 11 A.M. c. Durante que horas del día la temperatura fue superior a los 60 F? d. Se recomienda que las cosechas se rieguen cuando la temperatura esté entre 50 F y 60 F. A partir de estos datos, a qué horas debería el granjero regar la cosecha? LECCIÓN 10.4 Herramientas estadísticas y gráficas 719

57 5. Alexis vive en una granja. Para un proyecto de matemáticas, midió el crecimiento de varios polluelos en su primera semana de vida. La tabla muestra los promedios de sus polluelos. Qué tipo de gráfica usarías para mostrar estos datos? Explica. Día Masa (gramos) Craig contó los colores de los dulces en un paquete de dulces. Qué tipo de gráfica sugieres que use para mostrar sus datos? Explica. Color Rojo Verde Amarillo Café Azul Naranja Número La Sra. Isaacs encuestó a su clase sobre los meses de sus cumpleaños. Qué tipo de gráfica podría usarse para mostrar estos datos? Explica. Mes Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Alumnos Conecta & amplía 8. El Sr. Ritter encuestó a su clase sobre el tipo de ejercicio que prefieren. De los 24 alumnos, 10 dijeron correr, 5 dijeron caminar, 4 dijeron nadar y 3 dijeron ciclismo. Los otros 2 dijeron que nunca se ejercitan. Qué tipo de gráfica sugieres que use para mostrar los datos? Explica. 9. Ben trabaja como asistente de florista. Él clasificó una colección de rosas rojas y amarillas de tallo largo y luego midió sus longitudes. Para comparar las dos variedades, dibujó diagramas de caja. Rosas rojas Rosas amarillas 720 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad Longitud (cm) a. Cuál es la mediana de la longitud de las rosas rojas? b. Cuál es la mediana de la longitud de las rosas amarillas? c. Qué longitudes están entre el 50% medio de la rosas rojas? Qué longitudes están entre el 50% medio de las rosas amarillas? d. Qué color de rosa comprarías para un jarrón de 40 cm de alto? Por qué?

58 e. Qué porcentaje de rosas rojas midieron más de 63 cm de largo? f. Qué porcentaje de rosas amarillas midieron menos de 57 cm de largo? g. Reto Las rosas rojas cuestan $3 y las rosas amarillas cuestan $2. Una clienta gastó exactamente $25 en rosas. Qué combinaciones pudo comprar ella? 10. Los diagramas de caja y patillas usan la mediana como una medida central de un conjunto de datos. La mediana es otra medida de tendencia central. Lana encuestó a dos grupos de alumnos de 13 alumnos cada uno. Les preguntó a los alumnos cuántos carteles colgaban en sus recámaras. Ella hizo dos diagramas de caja y patillas de sus resultados. Grupo Y Grupo Z Número de carteles El conjunto de datos para el Grupo Z es el siguiente: a. En qué se diferencian el conjunto de datos para el grupo Y y el conjunto de datos para el grupo Z? Explica. b. Calcula la media para los datos del grupo Z. c. Es la media del grupo Y mayor o menor que la media del grupo Z? Explica. d. La media y la mediana para el grupo Z son iguales, pero esto no es verdadero para todos los conjuntos de datos. Por ejemplo, calcula la media y la mediana de este conjunto de datos: e. Considera tus respuestas para las partes c y d. La mediana para el grupo Y es 5. Estima la media para los datos del grupo Y. Explica cómo realizaste tu estimación. LECCIÓN 10.4 Herramientas estadísticas y gráficas 721

59 propias En t us palabras Describe la información que buscas al seleccionar un tipo de gráfica para representar cierto conjunto de datos. 11. Julian midió las alturas en pulgadas de 15 zanahorias que cultivó. Dibuja un diagrama de caja y patillas de sus datos Megan lanzó dos dados 100 veces y determinó la diferencia entre los dos números cada vez. Éstos son sus resultados. Diferencia Número de veces a. Qué diferencia ocurrió más frecuentemente? Por qué crees que sucedió esto? b. Dibuja un diagrama de caja y patillas de los resultados de Megan. c. Dibuja una gráfica de barras de los resultados de Megan. d. Qué gráfica sientes muestra que mejor los datos? Explica. 13. Ciencia de la Tierra Las distancias máximas entre los nueve planetas en nuestro sistema solar y el Sol se dan a continuación. Distancia del Sol Planeta (millones de millas) Mercurio 43.4 Venus 67.7 Tierra 94.5 Marte Júpiter Saturno Urano 1,867.0 Neptuno 2,818.0 Plutón 4,586.0 Impreso con permiso del The World Almanac and Book of Facts Derechos de impresión 1998 Primedia Reference Inc. Todos los derechos están reservados. a. Representa estos datos usando cualquier tipo de gráfica que prefieras. Explica tu selección de gráfica. b. Escribe unos cuantos enunciados que describan cualquier observación que puedas hacer acerca de los planetas a partir de tu gráfica. 722 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

60 Repaso mixto Menciona si cada conjunto de datos de números pares puede describir una relación lineal. 14. (4, 15); (7, 24); (3, 12); (5, 18); (6, 21) 15. (0, 5); (2, 1); (1, 2); (3, 4); ( 1, 8) 16. ( 1, 0.5); (1, 4.5); (3, 9.5); (2, 7); (0, 2) Determina la pendiente para cada relación. 17. y 2x y x y 6x 9 Da las coordenadas de la intersección y para cada relación. 20. y 2x y x y 6x Dibuja un diagrama de flujo para esta regla: salida 1.1(n 3.2). Usa esto para calcular el valor de salida con el valor de entrada de De la siguiente lista, halla todos lo pares de fracciones que suman Geometría Usa el teorema de Pitágoras para calcular cada longitud lateral faltante. 25.? ? Encuentra una sola máquina para hacer el mismo trabajo que la conexión dada De qué tamaño será el gusano de gomita cuando salga de esta conexión? Da tu respuesta en metros. 3 cm ? LECCIÓN 10.4 Herramientas estadísticas y gráficas 723

61 Capítulo 10 Repaso & autoevaluación Resumen del capítulo V O C A B U L A R I O cuartil muestra muestra representativa población En este capítulo, aprendiste más sobre la probabilidad. Estudiaste situaciones en que los resultados son influenciados por resultados y situaciones previas en las que cada resultado era independiente de los otros. También determinaste la imparcialidad de varios juegos de azar y diseñaste estrategias, basadas en probabilidades, para aumentar tus probabilidades de ganar. En este capítulo se introdujeron las bases de muestreo de una población y cómo hacer predicciones a partir de muestras. Aprendiste que, en el muestreo, el tamaño de una muestra y el que sea representativa son factores importantes. Finalmente, te encontraste con otro tipo de gráfica estadística, el diagrama de caja y patillas, que usa el máximo, mínimo y cuartiles de un conjunto de datos. Posteriormente repasaste otros tipos de gráficas y consideraste cuál podría ser mejor para mostrar los diferentes tipos de datos. Estrategias y aplicaciones Las preguntas en esta sección te ayudarán a repasar y aplicar las ideas y estrategias importantes desarrolladas en este capítulo. Reconoce cuando los resultados previos influyen sobre los posteriores 1. Luis tiene dos monedas de 25, una moneda de 10 y cuatro monedas de un centavo en una bolsa de su mochila. Él necesita una moneda de 25 para una máquina expendedora. Supón que busca dentro de su mochila sin mirar y saca la primera moneda que toca. a. Cuál es la probabilidad de que Luis seleccione una moneda de 25? b. La primera moneda que sacó Luis fue un centavo, así que buscará adentro otra vez y sacará la primera moneda que toque. Qué le dará una mejor posibilidad de seleccionar una moneda de 25 : devolver el centavo a la mochila primero o dejarlo afuera? Explica tu razonamiento y apoya tu respuesta con probabilidades reales. c. Luis tenía las manos llenas, de modo que devolvió la moneda antes de sacar una segunda. Sacó otro centavo. Lo devolvió a la mochila y sacó otra vez otro centavo. Lo devolvió de nuevo y trató una vez más, murmurando, Tengo que sacar algo más que un centavo esta vez! Es esto verdad? Es decir, tiene más probabilidades Luis de sacar una moneda de 25 o una de 10 que un centavo? Explica. 724 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad impactmath.com/chapter_test

62 Identifica si un juego es justo 2. Ben y Gabriela juegan un juego con dos monedas de 10 y dos monedas de 5. Lanzaron las cuatro monedas. Si uno de los pares de las monedas cae cara arriba, Ben gana 1 punto. Si ambos pares caen cara arriba, Ben gana 2 puntos. En cada lanzamiento por el que Ben no sume puntos, se premia a Gabriela con 1 punto. Juegan hasta llegar a 5 puntos. Determina si este juego es justo. Si no es justo, identifica quien tiene la ventaja. Explica o muestra cómo calculaste tu respuesta. Usa la probabilidad para tomar decisiones y crear estrategias 3. Tres tableros y dos ruletas se usan para jugar el juego Cúbrelo. Tablero A Tablero B Tablero C Para jugar el juego, cada uno de dos jugadores selecciona un tablero. Toman turnos. En cada turno, un jugador gira ambas ruletas, calcula el producto de los dos números y entonces cubre un espacio en el tablero con ese producto, si hay uno. El ganador es el primer jugador que cubra todos los espacios. a. Qué tablero da la mejor probabilidad de ganar Cúbrelo? Explica tu selección. b. De los dos tableros restantes, cuál es mejor? Explica. Repaso y autoevaluación 725

63 Analiza la aptitud de una muestra o un proceso de muestreo 4. Una revista de decoración de hogares quería determinar si los estadounidenses creen que una sala debe pintarse o tapizarse. Las personas a cargo del sondeo consideraron diferentes maneras de obtener esta información. Para cada sugerencia, comenta si la muestra sería adecuada y si el proceso parece práctico. Explica tus respuestas. a. Una sugerencia fue hacer una encuesta en la revista con dos números telefónicos libres de pago. Si prefieres el papel tapiz, llamas a un número. Si prefieras la pintura, llamas al otro número. b. Otra sugerencia fue el obtener una lista de compras de casas durante el último mes en 100 ciudades a lo largo del país, elegidas al azar. Los encuestadores llamarían al 20% de los nuevos dueños de casas y les preguntarían cuál es su preferencia. c. La tercera sugerencia fue llamar a una muestra aleatoria de 100 números telefónicos de todo el país y pedirles a las personas que contesten. d. Una cuarta sugerencia fue preguntar la opinión de una muestra aleatoria de 10,000 personas de todo el país. 726 CAPÍTULO 10 Datos y probabilidad

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