XIV Congreso de la Asociación Chilena de Control Automático, ACCA 00 Octubre 2000

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1 XIV Congreso de la Asocacón Chlena de Control Autoátco, ACCA 00 Octubre 2000 MODELACIÓ Y VIUALIZACIÓ TRIDIMEIOAL ITERACTIVA DE VARIABLE ELÉCTRICA E CELDA DE ELECTRO-OBTECIÓ CO ELECTRODO BIPOLARE César Mena, Rcardo ánchez, Lautaro alazar cesar@enalab.net Departaento de Ingenería Eléctrca Unversdad de Concepcón Concepcón, Chle Resuen: El uso de electrodos bpolares flotantes en celdas de electro-obtencón de cobre consttuye una tecnología no convenconal que proete pactos econócos y operaconales. Este artículo presenta una herraenta coputaconal para la sulacón y análss de tales celdas electroquícas. e desarrolla un nuevo odelo para electrodos flotantes y se eplea un étodo de dferenca fnta para obtener la dstrbucón trdensonal de potencal y el capo de densdad de corrente en el nteror de la celda. El análss de los resultados se basa en una técnca para la vsualzacón nteractva de capos vectorales trdensonales coo líneas de flujo. Abstract: The use of floatng bpolar electrodes n electrownnng cells of copper consttutes a nonconventonal technology that proses econoc and operatonal pacts. Ths paper presents a coputatonal tool for the sulaton and analyss of such electrochecal cells. A new odel s developed for floatng electrodes and a ethod of fnte dfference s used to obtan the threedensonal dstrbuton of the potental and the feld of current densty nsde the cell. The analyss of the results s based on a technque for the nteractve vsualzaton of three-densonal vectoral felds as lnes of flow. Keywords: Modellng, ulaton of ystes and Processes, Vsualzaton, Coputer Graphcs. 1. ITRODUCCIÓ Debdo a los convenentes requerentos energétcos, la tecnología de electro-obtencón (EO) de cobre usando electrodos bpolares proete portantes ventajas econócas y operaconales respecto a la tecnología convenconal que usa electrodos unpolares. n ebargo, para hacer factble un proceso de EO de cobre usando electrodos bpolares, los prototpos exstentes deben ser optzados, ya que producen naceptables depóstos de cobre, de espesor no hoogéneo. La dstrbucón del depósto de cobre esta relaconada drectaente con la dstrbucón del capo de densdad de corrente en las superfces catódcas de los electrodos, por lo que es necesaro estudar dferentes estructuras geoétrcas desde el punto de vsta eléctrco. Para tal efecto, es uy útl dsponer de una aplcacón coputaconal que perta la sulacón y el análss de celdas de EO, pues se reducen los costos y el tepo que plcan el uso de prototpos, étodo epleado para el dseño de celdas de EO de cobre basadas en electrodos bpolares. Este trabajo se nspra en los trabajos prevos desarrollados por Bttner et al. (1998; 1999), donde se justfca el nterés en esta nueva tecnología y se desarrolla un odelo eléctrco para su sulacón. En este artículo se presentan los fundaentos de un odelo eléctrco ás precso y eleentos de vsualzacón, con los cuales se desarrolló una herraenta para la sulacón y análss nteractvo de celdas de EO. La aplcacón perte estudar geoetrías rectangulares arbtrarías de celdas que ncluyan electrodos unpolares y bpolares flotantes. 362

2 XIV Congreso de la Asocacón Chlena de Control Autoátco, ACCA 00 Octubre MODELACIÓ ELÉCTRICA DE UA CELDA DE ELECTRO-OBTECIÓ 2.1 Fundaentos teórcos del proceso de electrodo El proceso electroquíco en el que se basa la EO de cobre extrae el cobre de una solucón ácda que contene sulfato de cobre (electrolto). Cuando se hace crcular una corrente DC desde ánodo a cátodo a través del electrolto, el agua se descopone en el ánodo, generando oxígeno gaseoso, y el ón cúprco se reduce, depostándose cobre etálco en el cátodo. e debe antener la coposcón del electrolto aproxadaente constante, edante un crcuto hdráulco que renueve el electrolto. Para que se produzca la proceso electroquíco en el sentdo deseado, se debe aplcar una dferenca de potencal entre los electrodos, la que debe ser ayor que la dferenca entre los potencales de equlbro (potencales de electrodo) de las sereaccones de reduccón y oxdacón. se aplca un voltaje nferor, la reaccón ocurre en el sentdo opuesto. La fora aproxada de la característca corrente-voltaje de la reaccón se uestra en la Fg. 1(a), donde j [A/ 2 ] es la densdad de corrente y E R es el potencal de equlbro en condcones no estándar. El orgen del potencal de electrodo E R, asocado al cabo de fase, se relacona con la foracón de la denonada doble capa electroquíca en la nterfase etal-electrolto. Cuando se pone en contacto dos fases con conductvdades eléctrcas sgnfcatvas se produce una redstrbucón de carga. La regón que contene esta dstrbucón tene una extensón que corresponde al rado de los ónes y se conoce coo doble capa electroquíca. Esta dstrbucón de carga causa un auento gradual de potencal en el nteror de la doble capa, coo se uestra en la Fg. 1(b). 0 j E R (a) v Potencal Metal (b) Electrolto Dstanca Fg. 1. (a) Característca corrente-voltaje de un proceso de electrodo. (b) Doble capa electroquíca y potencal de electrodo asocado. 2.2 Base de la odelacón eléctrca La odelacón ntegral de este proceso revste una gran dfcultad, debdo a la nteraccón de varables eléctrcas, quícas y ecáncas. e utlza coo base el odelo desarrollado por Bttner et al. (1998; 1999), que coo una prera aproxacón recurre a la teoría electrostátca y consdera un capo de correntes estaconaras, orgnado por dstrbucones de carga constantes. El objetvo es obtener la dstrbucón de la densdad de corrente, en partcular en la superfce de los electrodos catódcos, ya que dcha dstrbucón se relacona drectaente con la del depósto de cobre. e consdera que el electrolto es una solucón conductora perfecta hoogénea, los electrodos son conductores perfectos y que las paredes de la celda son deléctrcas. e deterna la dstrbucón de potencal eléctrco (V) en todo el voluen de la celda. Luego, el vector de capo eléctrco (E) y el vector densdad de corrente (J) se obtenen respectvaente de: E = -V (1) J = E, (2) donde, [ -1-1 ] es la conductvdad eléctrca. La deternacón de V nvolucra un problea de condcones de contorno. e plantean condcones de contorno en las nterfaces donde ocurre cabo de aterales. En el nteror de la solucón electrolítca, V queda deternado por la ecuacón de Laplace: 2 V = 0 (3) Los electrodos consttuyen volúenes equpotencales. El dono de la doble capa electroquíca es no hoogéneo. La clave del odelo es consderar esta zona con ancho nulo, defnendo la condcón de contorno para la nterfase electrodo-electrolto coo una dscontnudad de potencal, esto es: V = V - DV, (4) donde, V es el potencal en el lado del electrolto y V es el potencal etálco, el potencal constante del electrodo. La agntud de la dscontnudad, DV, es el potencal de electrodo, eddo en el sentdo electrodo respecto a la solucón electrolítca. La condcón de contorno para la nterfaz deléctrco-conductor es que la coponente del capo eléctrco noral a la nterfase es nula en el lado del conductor, esto es: V nˆ = 0, (5) sendo nˆ un vector untaro noral a la superfce de una nterfase, orentado haca el electrolto. La curva de polarzacón de la Fg. 1(a) establece la relacón entre los potencales de electrodo y la densdad de corrente en cada punto de la nterfaz electrodo-electrolto. e consdera una aproxacón lneal de tal relacón, la que para ánodo y cátodo se expresa respectvaente coo: DV A = e A + K A J nˆ = e A - K A V nˆ, (6) DV C = +e C K C J nˆ = +e C + K C V nˆ, (7) donde; K A y K C son constantes postvas, e A y e C son los potencales de equlbro de cada sereaccon. 363

3 XIV Congreso de la Asocacón Chlena de Control Autoátco, ACCA 00 Octubre 2000 los potencales etálcos fueran varables ndependentes, la expresón en dferencas fntas de (3)-(7) en cada punto del dono genera un sstea de ecuacones lneales, que junto a la condcón de equpotencaldad, deternaría la dstrbucón de potencal en el nteror de la celda. n ebargo, el potencal etálco de electrodos bpolares flotantes es una varable dependente. Para resolver el problea electrostátco es necesaro encontrar esta relacón de dependenca e nclurla en el sstea de ecuacones. En el odelo desarrollado Bttner et al. (1998; 1999) se usan sólo electrodos lanares, en rgor, se debería aplcar la condcón de contorno (4) en abas caras del electrodo. n ebargo, se usa una solucón alternatva que no requere del potencal etálco. Tal solucón fuerza una dscontnudad de potencal entre las dos caras del electrodo bpolar y se consgue anpulando drectaente las ecuacones de dferenca. Los resultados obtendos con tal odelacón concuerdan cualtatvaente con algunos resultados experentales. n ebargo, la pleentacón de la condcón de contorno usada en el electrodo flotante es contradctora. En efecto, sólo debería ser usada con potencales de electrodo constantes en toda la superfce de cada nterfase electrodo-electrolto. los potencales de electrodo no son constantes, coo en (Bttner et al., 1998b; Bttner, 1999), no se satsface la condcón (4). Esta contradccón no se hace evdente en los resultados porque las varacones de los potencales de electrodos son relatvaente pequeñas. Con objeto de ejorar la precsón de los resultados y, valdar el odelo para ejores aproxacones de la curva de polarzacón, en la sguente seccón se desarrolla un étodo para deternar los potencales etálcos en electrodos flotantes, lo que perte resolver el problea electrostátco en fora consstente. Con el odelo ejorado, se pueden pleentar electrodos rectangulares con voluen, en los cuales la reaccón electroquíca ocurre en toda la superfce del electrodo. Los detalles de la pleentacón nuérca del odelo se encuentran en (Mena, 2000). A dferenca del odelo desarrollado por Bttner et al. (1998; 1999), se utlza un étodo teratvo para resolver el sstea de ecuacones. Es la opcón ás efcente y precsa para ssteas de ecuacones con atrces ralas y de gran densón, coo resulta en este problea. Adeás, splfca notableente la pleentacón del algorto y perte ncorporar fáclente aproxacones no lneales de la curva de polarzacón. 2.3 Cálculo del potencal en electrodos flotantes La foracón de los potencales de electrodo esta deternada fundaentalente por los ecansos de acuulacón de carga, debdo al flujo de ónes o electrones en la nterfase electrodo-electrolto. De la teoría electroagnétca se obtene una relacón ntegral del flujo de electrones que atravesan una superfce que encerra carga eléctrca (ecuacón de Contnudad): J ds dvol, (8) t Vol ( ) donde, ds es un eleento dferencal orentable de superfce que tene la fora nˆ d, sendo d la agntud del dferencal de superfce y nˆ el vector noral ya defndo. La ecuacón relacona el flujo de densdad de corrente que atravesa una superfce cerrada con la varacón nstantánea de carga en el voluen encerrado por la sa. e consdera una superfce cerrada, que encerre un electrodo flotante y que concda con la nterfase electrodo-electrolto por el lado del electrolto, de odo de encerrar copletaente la doble capa electroquíca. e usa la sa referenca para edr los potencales de electrodo en nterfaces anódcas y catódcas, los potencales de electrodo deben ser calculados apropadaente en cada regón de su nterfase con el electrolto (con (6) o (7) ). Luego, el análss se abstrae del tpo de reaccón que ocurre en la superfce y será váldo para electrodos unpolares y bpolares. Coo los potencales de electrodo se defnen para el estado de equlbro dnáco, en el que cesa la acuulacón de carga, la relacón buscada entre el potencal del electrodo flotante y los potencales de electrodo se obtene cuando el térno de la derecha en la ecuacón (8) es nulo, esto es para J ds V ds 0 (9) Los potencales de electrodo retenen la nforacón relatva al proceso de acuulacón de carga. De este odo, al ncorporar de alguna fora la condcón de contorno establecda en (4) en la ecuacón (9), se obtene la solucón buscada. De acuerdo con la teoría del cálculo vectoral (Protter y Morrey, 1964), la cantdad V ds corresponde a una dferencal total. Esta aprecacón genera una aproxacón nuérca de la solucón, basándose en el Lea fundaental de dervacón. Para d sufcenteente pequeño, el lea perte consderar la sguente aproxacón V ds V(x+ds) - V(x), cuando d 0 (10) la superfce se dscretza en eleentos de superfce, para sufcenteente grande el ntegrando de (9) se aproxa usando (10), y al ncorporar la condcón dada en (4) resulta: 1 V ( x ds ) DV ( x ) V 0 J ds, (11) y en consecuenca: V 1 V ( x ds ) DV ( x ) 1 (12) 364

4 XIV Congreso de la Asocacón Chlena de Control Autoátco, ACCA 00 Octubre 2000 El resultado de (12) es váldo en aterales no hoogéneos y puede usarse con cualquer tpo de geoetría. Las coordenadas x+ds corresponden a puntos separados undades de la superfce del electrodo en la dreccón nˆ. En general, los potencales V(x+ds) deben nterpolarse. En el contexto de una solucón nuérca global del problea electrostátco, se puede elnar la dependenca en los potencales de electrodos en (12). los potencales se calculan en fora teratva, en el sguente orden: 1. Potencales de electrodo 2. Potencales del electrolto en la nterfase electrodo-electrolto 3. Potencales del electrolto en el resto del dono 4. Potencales de electrodos flotantes, entonces, al reeplazar apropadaente (4) en (12), para el caso de electrolto hoogéneo, se obtene la sguente fórula recursva: ( n) ( n) V ( x ds ) V ( x ) ( n) ( n1) 1 V V, (13) e apreca que V converge a un valor deternado cuando la ntegral de flujo es nula, lo que concuerda con la condcón físca de equlbro dnáco. 3. VIUALIZACIO DE DATO Debdo a la densonaldad de los datos generados por el odelo en estudo, resulta ndspensable dsponer de herraentas de vsualzacón adecuadas para su análss. Esta seccón descrbe algunas convenentes herraentas que fueron pleentadas en una herraenta de análss nteractvo. 3.1 Vsualzacón de líneas de flujo lunadas La herraenta ás portante a desarrollar es una que perta la vsualzacón trdensonal de un capo vectoral estaconaro. La representacón vsual de capos vectorales es un tea de contnua nvestgacón en vsualzacón centífca, pero exsten técncas adecuadas para uchos probleas. Para esta aplcacón resulta uy convenente la técnca de vsualzar líneas de flujo. Las líneas de flujo perten aprecar gráfcaente la estructura drecconal de un capo vectoral estaconaro. on trayectoras contnuas, cuyos vectores tangentes concden con el capo vectoral. e obtenen ntegrando el capo vectoral a partr de una poscón ncal en el espaco (punto sella). Coo el capo resultante esta defndo en un dono dscretzado, se debe usar nterpolacón para calcular el capo en coordenadas nteredas del dono. Para obtener una adecuada precsón, se debe usar un étodo de ntegracón de paso adaptvo con un adecuado control del error. En esta aplcacón se usa el étodo descrto en (tallng et al., 1995), el cual consdera nterpolacón trlneal y un étodo de ntegracón Runge-Kutta de cuarto orden. Coúnente se enfrentan dos probleas al usan líneas de flujo. Un problea es que no resulta uy obvo coo dstrbur las líneas de flujo para obtener una adecuada representacón del capo vectoral. En probleas electroestátcos se puede lograr una adecuada vsualzacón de la estructura del capo edante la generacón de líneas a partr de superfces equpotencales. En esta aplcacón, los electrodos consttuyen adecuadas superfces equpotencales, en partcular porque nteresa analzar el capo noral en sus superfces. En consecuenca, se desarrolla un étodo autoátco que genera líneas de flujo sobre la superfce de cada electrodo. e dstrbuyen hoogéneaente puntos sella en la superfce del electrodo edante un paráetro de densdad de líneas, ajustable por el usuaro. Las líneas se ntegran desde los puntos sella haca el exteror del electrodo y son truncadas por el étodo de ntegracón adaptvo o cuando se encuentra una sngulardad del capo. El segundo problea se refere a la ltacón del hardware gráfco convenconal a la lunacón de prtvas de superfce. La lunacón de las líneas es ndspensable para lograr una adecuada percepcón de la orentacón espacal, pero sn el soporte de hardware gráfco es dfícl lograr un rendento nteractvo. En esta aplcacón, se utlza una recente técnca de lunacón de líneas que supera este nconvenente (tallng et al., 1997). Requere un odelo de lunacón especal para líneas en 3 (Banks, 1994) y basa la pleentacón del odelo en el apeo de textura, característca que perte eplear un acelerador gráfco para los cálculos de sobreado. En sua a una efcente lunacón que faclta la percepcón de la orentacón espacal, edante un étodo que perte la percepcón de profunddad se proporcona una adecuada ndcacón de la ubcacón espacal de la línea de flujo. Adconalente, su puede colorear la línea de flujo de acuerdo a un capo escalar, en este caso, es relevante vsualzar el potencal eléctrco y la ntensdad del vector densdad de corrente. Coo las líneas de flujo de corrente se orentan del ayor a enor potencal, el apeo del potencal en color es sufcente para pertr deternar el sentdo de las líneas, cuando es abguo. 3.2 Herraentas de vsualzacón copleentaras e consderan algunas herraentas adconales para la exploracón nteractva de datos (Gallagher, 1995). 365

5 XIV Congreso de la Asocacón Chlena de Control Autoátco, ACCA 00 Octubre 2000 Extractor de rebanadas: Esta herraenta consste en un plano que puede ser ubcado por el usuaro en el espaco trdensonal. obre él, se apea una cantdad escalar relevante codfcada en color, la que se obtene en la poscón que ocupa el plano en el nteror de la celda. Vsualzacón del depósto de cobre: Esta herraenta perte la vsualzacón cualtatva del depósto de cobre en la superfce de los electrodos. Coo este se relacona drectaente con la coponente de la densdad de corrente noral a la superfce catódca, tal agntud se apea en color en las superfces catódcas de los electrodos. Para ayor flexbldad de análss, tabén se apea la coponente noral a las superfces anódcas. Cursor trdensonal: Esta es una herraenta cuanttatva que perta conocer las agntudes de los datos en el voluen de la celda. El cursor actúa coo una sonda que entrega el valor de los datos correspondentes a su poscón en la celda. egentacón de datos: Coo las líneas de flujo se agrupan por electrodos, se puede pleentar un sple y poderoso ecanso poder elnar probleas de oclusón de objetos de nterés. e basa en restrngr la vsualzacón a un conjunto reducdo de datos selecconados con el ouse. 4. IMPLEMETACIO Y REULTADO Los fundaentos de la odelacón y de vsualzacón presentados en este artículo se usaron para desarrollar una herraenta coputaconal para la sulacón y el análss de celdas de EO, su GUI se uestra en la Fg. 2. u desarrollo y los algortos nuércos epleados se detallan en (Mena, 2000). La aplcacón se pleento en C++ utlzando la lbrería gráfca OpenGL. Esta herraenta perte construr y analzar nteractvaente cualquer geoetría de celdas ocupando electrodos rectangulares, pudendo ser unpolares y/o bpolares paralelos. La concordanca de los resultados obtendos al sular las celdas prototpos estudadas en (Bttner, 1999), confra que el odelo ejorado entrega resultados adecuados para el análss de celdas de EO. En sua, el odelo ejorado es ás precso y efcente. En Fg. 2 a Fg. 4 se lustran ejeplos del tpo de vsualzacón de resultados que produce la aplcacón. La lunacón de líneas de flujo y la sugestón de profunddad perten aprecar adecuadaente la estructura del capo de densdad de corrente. La Fg. 2 lustra coo el color de las líneas de flujo, codfcando el potencal eléctrco, se puede usar para ndcar el sentdo de las líneas de flujo cuando resulta abguo (en este caso, desde aarllo a rojo). Fg. 2. Interfaz Gráfca de Usuaro (GUI) de la aplcacón desarrollada para el análss de celdas de EO. 366

6 XIV Congreso de la Asocacón Chlena de Control Autoátco, ACCA 00 Octubre 2000 de una herraenta de sulacón y análss, basada en un adecuado odelo del proceso. En este artículo se ha presentado los fundaentos con los cuales se pleentó una aplcacón coputaconal orentada al logro de dcha herraenta. Fg. 3. Celda de EO con un electrodo bpolar. (a) - (b) Electrodo bpolar déblente polarzado. (b) Líneas de flujo generadas en electrodo bpolar uestran que no es atravesado por corrente que sale del ánodo. (c) Electrodo bpolar polarzado. Fg. 4. Celda de EO asétrca con 4 electrodos bpolares. Vsta ortogonal nferor. 5. COCLUIO Para estudar dferentes estructuras geoétrcas, de odo de optzar el proceso de EO de cobre usando electrodos bpolares flotantes, es portante dsponer (a) (b) (c) Con objeto de obtener resultados ás precsos, se contrbuyó a ejorar el odelo eléctrco dsponble. En partcular, el odelo de electrodo bpolar, el que se obtuvo a partr de una forulacón analítca para calcular el potencal etálco en electrodos flotantes. La aplcacón desarrollada proporcona una nterfaz gráfca de usuaro que faclta el dseño geoétrco de las celdas, perte sular la celda con control del error nuérco y proporcona herraentas de vsualzacón adecuadas para analzar los datos generados por el nuevo odelo eléctrco. En partcular, se aplcó una convenente técnca para la vsualzacón nteractva de capos vectorales. REFERECIA Banks, D.C. (1994) Illunaton n Dverse Codensons, En: Coputer Graphcs Ann. Conf. eres, Julo, pp Bttner, R., L. alazar, M. Valenzuela y A. Paglero (1998a) Modelng the electrc feld and potental of an electrownnng cell wth bpolar floatng electrodes, En: Proceedngs of the IEEE IECO 98, pp Bttner, R., A. Paglero, L. alazar y M. Valenzuela (1998b) Electrc feld and potental deternaton for electrownnng cells wth bpolar electrodes by fnte dfference odels, En: Conference Record of the IEEE IA 98 Conference, pp Bttner, R. (1999) Modelacón y Análss de Celdas de Electro-obtencón de Cobre Basadas en Electrodos Bpolares, Tess de Magíster, Unversdad de Concepcón. Gallagher, R.. (1995) Coputer Vsualzaton - Graphcs Technques for centfc and Engneerng Analyss, CRC Press, Florda. Mena, C. (2000) Aplcacón gráfca para el estudo de un odelo de celda electrolítca usando técncas de vsualzacón de capos vectorales, Tess de Ingenería, Unversdad de Concepcón. arxv: v1 [cs.gr]. Protter, M.H. y C.B. Morrey (1964) Modern Mateatcal Analyss, Calforna. tallng, D., M. Zockler y H.C. Hege (1995) Fast and Resoluton Independent Lne Integral Convoluton, En: Coputer Graphcs Ann. Conf. eres, pp tallng, D., M. Zockler y H.C. Hege (1997) Fast Dsplay of Illunated Feld Lnes, En: IEEE Transacton on Vsualzaton and Coputer Graphcs, Vol. 3, º 2, pp