ELABORACION DE NOTAS DE CLASE DE LA ASIGNATURA ANALISIS DE ESTRUCTURAS II. Jorge Eliécer Escobar Florez

Transcripción

1 ELORCION DE NOTS DE CLSE DE L SIGNTUR NLISIS DE ESTRUCTURS II Jorge Elécer Escobar Florez UNIVERSIDD INDUSTRIL DE SNTNDER Escuela de Ingenería cvl ucaramanga 007

2 ELORCION DE NOTS DE CLSE DE L SIGNTUR NLISIS DE ESTRUCTURS II Jorge Elécer Escobar Florez Trabao de grado para optar por el ttulo de Ingenero cvl Drector: Dalton oreno Grardot ng. Cvl Sc. UNIVERSIDD INDUSTRIL DE SNTNDER Escuela de Ingenería cvl ucaramanga 007

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5 Dos por su nfnta ondad. ms padres, por ser un modelo y un eemplo de vda, por su apoyo, comprensón y amor ncondconal. ms famlares por acompañarme a lo largo del camno. ms amgos por hacer de este proceso unverstaro una experenca grandosa e nolvdable. drán y a Luís lberto por su apoyo ncondconal e nvaluable en los momentos crucales de m proyecto. na Leonor por su compañía, apoyo y conseos en cada momento de este proyecto. todas las personas que de alguna u otra manera e han ayudado en la consecucón de este logro. Jorge Escobar

6 GRDECIIENTOS Qusera agradecer de manera especal: Daton oreno Grardot, Ingenero Cvl, drector del proyecto y amgo, por su respaldo, confanza y colaboracón oportuna. la Escuela de Ingenería Cvl, por brndarme las bases necesaras para enfrentarme al nuevo reto, la vda profesonal. todas y cada una de las personas que me brndaron su apoyo, su carño y su comprensón en las dferentes etapas de m vda. m famla, por ser la fuente prncpal de motvacón durante todos estos años para alcanzar ms sueños.

7 TL DE CONTENIDO INTRODUCCION...1 OJETIVOS ÉTODO DE L VIG CONJUGD INTRODUCCIÓN CONCEPTOS PREVIOS Prncpo de Superposcón RCO TEÓRICO CONDICIONES DE POYO DE L VIG CONJUGD poyo smple en la vga real poyo empotrado en la vga real Voladzo en la vga real EJERCICIOS DE PLICCIÓN SLOPE DEFLECTION Introduccón SUPOSICIONES ÁSICS DEL ÉTODO: Convencones: DEDUCCIÓN DE LS ECUCIONES DEL SLOPE-DEFLECTION: omentos de empotramento omentos generados por desplazamentos PLNTEIENTO GENERL DEL ÉTODO DEL SLOPE-DEFLECTION: plcacón del Slope Deflecton en Vgas plcacón de Slope Deflecton en el análss de pórtcos EJERCICIOS PROPUESTOS:...105

8 3. ÉTODO DE CROSS INTRODUCCIÓN LIITCIÓN Conceptos prevos DISTRIUCIÓN DE OENTOS EN UN NODO Factor de dstrbucón ( μ ) Transmsón de momentos entre extremos PROPIEDDES DE LOS POYOS PRINCIPIOS ÁSICOS DEL ÉTODO DE L DISTRIUCIÓN DE OENTOS DE CROSS nálss de vgas contnuas sn desplazamento relatvo entre nodos NÁLISIS DE PÓRTICOS SIN DESPLZIENTO RELTIVO ENTRE NODOS SIPLIFICCIONES PR EL ÉTODO DE CROSS Smplfcacón por extremo rtculado Smplfcacón por smetría ÉTODO DE KNI CONCEPTOS PREVIOS: Suposcones báscas del método omentos de empotramento Nodo Rígdo CSO DE ESTRUCTUR SIN DESPLZIENTO Ecuacón para el cálculo de los momentos flectores en los extremo de una barra - sn desplazamento entre nodos Dstrbucón de momentos en un Nodo Propedades de los apoyos Smplfcacones en el étodo de Kan Procedmento para soluconar estructuras sn desplazamento relatvo entre nodos medante el método de Kan...164

9 4..6 Eerccos de plcacón PÓRTICOS DE VRIOS PISOS CON DESPLZIENTOS HORIZONTLES EN LOS NODOS: CRGS HORIZONTLES PLICDS ÚNICENTE EN LOS NODOS Ecuacón para el cálculo de los momentos flectores en los extremo de una barra - con desplazamento entre nodos Dstrbucón de momentos en los Nodos debdo a los efectos de rotacón y desplazamento relatvo entre nodos: Procedmento de análss para pórtcos con desplazamento horzontal por el método de Kan IDELIZCIÓN Y NÁLISIS DE ESTRUCTURS IDELIZCIÓN ESTRUCTURL CRGS, FUERZS Y COINCIONES DE CRGS Cargas y Fuerzas Combnacones de cargas nálss de la estructura...34 NEXO...85 NÁLISIS DEL SISTE DUL...86 CONCLUSIONES. 31 ILIOGRFI. 315

10 LIST DE TLS Pág Tabla 1. Dervas áxmas.6

11 LIST DE FIGURS Fgura 1: Vga Cargada...6 Fgura : Dagrama de Cuerpo Lbre del dferencal dx...7 Fgura 3: DCL para un dferencal dx...10 Fgura 4: Condcones de poyo Smple...1 Fgura 5: Condcones de un poyo Empotrado...13 Fgura 6: Condcones de un poyo en Voladzo...13 Fgura 7: Pórtco Sometdo a un Sstema de Cargas...36 Fgura 8: nálss del Elemento Fgura 9: Vga Cargada...39 Fgura 10: omentos de Empotramento...41 Fgura 11: omentos de Empotramento...4 Fgura 1: Rotacón en el nodo de la barra Fgura 13: Dagrama de omentos de la Vga Cargada...44 Fgura 14: Rotacón en el nodo de la barra Fgura 15: Desplazamento Relatvo entre nodos de la barra Fgura 16: Cálculo de omentos debdos al desplazamento Relatvo entre nodos...48 Fgura 17: Rotacón de la barra en sentdo de las manecllas del relo...50 Fgura 18: Rotacón de la barra en sentdo contraro a las manecllas del relo...50 Fgura 19: Cálculo de momentos totales...51 Fgura 0: Dagramas de Cortante y de omento de la Estructura...61 Fgura 1: Estructura Cargada...75 Fgura : nálss del Elemento...76 Fgura 3: nálss del elemento C...77

12 Fgura 4: arra trasladada y rotada (Combnacón entre Casos 1 y )...78 Fgura 5: Rgdez Rotaconal Fgura 6: Rotacón Untara en el nodo Fgura 7: Estructura con un omento aplcado en el nodo Fgura 8: Estructura Deformada por el omento...11 Fgura 9: nálss de la estructura deformada...11 Fgura 30: nálss de cada barra de la estructura Fgura 31: omento aplcado en el extremo Fgura 3: Dagrama de Cuerpo Lbre de la arra Fgura 33: Cálculo de omentos Extremos en la arra Fgura 34: Vga con poyos Smples y Empotramento Fgura 35: Factor de Dstrbucón en poyos Smples Fgura 36: Factor de Dstrbucón en poyo empotrado Fgura 37: Vga Cargada y en voladzo Fgura 38: Smplfcacón de Estructura por Extremo rtculado...13 Fgura 39: nálss de la barra Fgura 40: Estructuras con Smetría geométrca...14 Fgura 41: Estructuras con Smetría geométrca Fgura 4: Estructura con Smetría de Cargas Fgura 43: Pórtco con Smetría de cargas Fgura 44: Estructura Incal y Estructura Smplfcada por Smetría Fgura 45: Estructura Smétrca con Número Impar de Luces Fgura 46: Estructura Sometda a Cargas Fgura 47: nálss de la Estructura Fgura 48: Estructura Cargada y Smplemente poyada Fgura 49: DCL de la Estructura Fgura 50: Pórtco con carga Horzontal Fgura 51: Pórtco con fuerzas Cortantes Fgura 5: Dagrama de Cuerpo Lbre de una Columna Fgura 53: Representacón de las Dervas...5

13 Fgura 54: Espectro de Dseño...7

14 RESUEN TITULO: ELORCION DE LS NOTS DE CLSE DE L SIGNTUR TEORI DE ESTRUCTURS II * UTOR: JORGE ELIECER ESCOR FLOREZ** PLRS CLVES: nálss de Estructuras, Teoría de Estructuras, étodos de nálss Estructural, Vga Conugada, Slope Deflecton, étodo de Cross, étodo de Kan, Idealzacón estructural. DESCRIPCION El presente trabao de grado consstó en la elaboracón de un materal de consulta y estudo para los estudantes de la asgnatura Teoría de Estructuras II dctada en la Escuela de Ingenería Cvl de la Unversdad Industral de Santander. En el desarrollo de este proyecto se realzaron actvdades como: sstenca y toma de notas en las clases de la asgnatura, Lectura, análss y clasfcacón de la nformacón dsponble, Redaccón y elaboracón del lbro y una revsón peródca del lbro por parte del drector y del estudante. El lbro consta de 5 capítulos: ETODO DE L VIG CONJUGD, ETODO DEL SLOPE DEFLECTION, ETODO DE CROSS, ETODO DE KNI E IDELIZCIÓN Y NLISIS ESTRUCTURL, y un anexo: NÁLISIS TRICIL DE UROS Y DEL SISTE DUL. Cada uno de los capítulos consta de un marco teórco explcatvo y eerccos lustratvos desarrollados paso a paso que le permtrán al estudante afanzar sus conocmentos. Con la realzacón de este proyecto no se quso gualar, n reemplazar los excelentes textos exstentes sobre este tema. demás es mportante menconar, que los obetvos planteados para este lbro no se cumplrían sn la ayuda del docente, ya que aparte de conocer y manear los fundamentos teórcos del nálss Estructural, cuenta con el bagae profesonal como docente y como ngenero. * Trabao de Grado, odaldad Informe de Práctca. ** Facultad de Ingeneras Físco-ecáncas, Escuela de Ingenería Cvl, Drector: Ing. Dalton oreno Grardot.

15 SURY TITLE: CLSS NOTES OUT THE SIGNTURE THEORY OF STRUCTURES II UTHOR: JORGE ELIECER ESCOR FLOREZ ** KEY WORDS: nalyss of structures, Theory of Structures, Structural nalyss ethods, Conugated eam, Slope Deflecton, Cross ethod, Kan ethod, Structural Idealzaton. DESCRIPCION The present Grade proect conssted on the elaboraton of a materal for consultaton and study for the students of the subect Theory of Structures II taught n the School of Cvl Engneerng of the Unversdad Industral de Santander. Durng the development of ths proect some actvtes were made: Takng notes durng the classes of the subect, Readng, analyzng and classfcaton of the nformaton avalable, elaboratng and wrtng the book and a scheduled nspecton of the book by the drector of the proect and the student. The book conssts of 5 chapters: CONJUGTED E ETHOD, SLOPE DEFLECTION ETHOD, CROSS ETHOD, KNI ETHOD, and IDELIZTION NLISIS OF STRCUTURES, and an annex: TRIX NLYSIS OF WLLS ND THE DUL SYSTE. Each one of these chapters conssts of an explanatory theoretcal frame and llustratve exercses developed step by step that wll allow the student to strengthen ther knowledge. Wth the accomplshment of ths proect t was not wanted to equal, or to replace the excellent exstng texts of ths subect. In addton t s mportant to menton, that the obectves rased for ths book would not be fulflled wthout the help of the teacher, who besdes, knows and handles the theorcal foundatons of the Structural nalyss, and also counts wth the professonal baggage as a teacher and also as an engneer. * Grade Proect. **UIS Physcomecanc Engneerng Faculty, Cvl Engneerng School, Drector: Grardot oreno, Dalton.

16 INTRODUCCION Este lbro es una propuesta de proyecto de grado que nace como evolucón de unas notas de clase del curso de nálss de Estructuras II de la Unversdad Industral de Santander orentado y asesorado por el profesor Dalton oreno que tene como fn presentar una herramenta de apoyo que faclte la consulta, comprensón y desarrollo de competencas para el conocmento y aprendzae de algunos métodos de análss estructural tradconales, temas báscos de la Ingenería Cvl El conocmento de estos métodos es de gran mportanca ya que han sdo el fundamento teórco que rgen el comportamento de las estructuras, esto unto con la experenca adqurda en el eercco del proceso de dseño ayudan a formar en el ngenero cvl un buen crtero estructural para calcular estructuras confables unque actualmente exsten programas computaconales que calculan estructuras más compleas de manera rápda y exacta, es necesaro motvar en los estudantes el conocmento de la fundamentacón teórca de los msmos con el fn de desarrollar su capacdad analítca, lógca y raconal y cultvar su aprecacón, su sentdo y su ntucón, con relacón al comportamento de las estructuras, sn perder de vsta aspectos relevantes. Se pretende que el ngenero cvl al adqurr el acervo cognosctvo conuntamente con el desarrollo de las destrezas y competencas báscas propas de su formacón, sea un profesonal extoso en el maneo de los conocmentos de nálss de Estructuras, con mucha responsabldad socal para de esta manera lograr construr conuntamente un meor país 1

17 El trabao escrto está dseñado para ser utlzado dentro de los procesos de enseñanzaaprendzae y podría ser usado como materal de apoyo en la matera de nálss de Estructuras II para reforzar el desarrollo profesonal Sería una pretensón arrogante de m parte querer reemplazar o gualar con este escrto, los valosos y excelentes lbros que sobre esta matera se han escrto, smplemente es m ntencón presentar un materal de apoyo sencllo que faclte al estudante entender algunos métodos de análss de estructuras

18 OJETIVOS OJETIVO GENERL Desarrollar un materal escrto de consulta para los estudantes de Ingenería Cvl, que contenga los temas tratados en la asgnatura Teoría de Estructuras II. OJETIVOS ESPECÍFICOS Ofrecer al estudante de Ingenería cvl una herramenta de estudo y consulta sobre los temas: Vga Conugada, Slope Deflecton, étodo de Kan, étodo de Cross y nálss atrcal de sstema Dual (uro Pórtco). Presentar un marco teórco acorde a las explcacones del docente del curso y complementado con el análss de la lteratura dsponble buscando usar un lenguae claro. Demostrar algunos eerccos Tpo de cada tema, que srvan como modelo en la solucón de problemas y que permtan aclarar las posbles dudas que el estudante presente. Plantear una sere de eerccos sobre los temas tratados en clase de Teoría de Estructuras II, para que el estudante logre afanzar los conocmentos adqurdos. Promover un aprendzae sgnfcatvo a través de la resolucón de problemas por parte de los estudantes sobre los sguentes tópcos: Idealzacón Estructural, Dversas combnacones de fuerzas y nálss para encontrar desplazamentos, rotacones, reaccones y fuerzas nternas en los dferentes elementos estructurales. 3

19 1. ÉTODO DE L VIG CONJUGD 1.1 INTRODUCCIÓN El cálculo de las deformacones que sufre un elemento estructural o una estructura completa bao la accón de cargas u otro tpo de efectos tene mucha mportanca en el análss y dseño de estructuras, ya que exsten límtes permsbles para las deformacones por motvos de segurdad y estétcos. En ambos casos, además de producrse una mala aparenca de la estructura, una deformacón excesva puede producrle daños a otros elementos estructurales o no estructurales, tales como agretamentos en techos y en paredes por eemplo. Las deflexones son mportantes en el análss dnámco de las estructuras, como cuando se estuda la respuesta de un edfco ante un ssmo o cuando la estructura soporta maqunara pesada, la cual tene componentes que rotan o se desplazan peródcamente generando entre otros, vbracones mportantes. través de la hstora se han desarrollado métodos muy mportantes para el cálculo de las deformacones en las estructuras, los cuales han sdo fundamentales para el análss estructural. lgunos de estos métodos fueron tratados en asgnaturas como Resstenca de aterales y nálss de Estructuras 1. Entre ellos tenemos: étodo del Área omento étodo de la Doble Integracón étodo del Trabao Real étodo del Trabao Vrtual étodo de La Vga Conugada 4

20 Este ultmo método será el que se estudará en el presente captulo. su vez este método srve como base para explcar algunos otros métodos que se analzán en los próxmos capítulos. 1. CONCEPTOS PREVIOS 1..1 Prncpo de Superposcón El prncpo de superposcón es la base fundamental de una gran cantdad de métodos de análss estructural. Este prncpo puede enuncarse de la sguente manera: El desplazamento o esfuerzo total en un punto de una estructura sometda a varas cargas se puede determnar sumando los desplazamentos o esfuerzos que ocasona cada una de las cargas que actúan por separado. Para que esto sea váldo, es necesaro que exsta una relacón lneal ente las cargas, los esfuerzos y desplazamentos. Dos requstos fundamentales deben cumplrse para que el prncpo de superposcón sea aplcable: El materal estructural debe comportarse de manera elástca - lneal, a fn de que sea valda la ley de Hooke y la carga sea proporconal al desplazamento. La geometría de la estructura no debe sufrr cambos mportantes cuando se aplcan cargas. S los desplazamentos son grandes, entonces camban consderablemente la poscón y la orentacón de las cargas. Este efecto se presenta en elementos sometdos a flexo-compresón. 1.3 RCO TEÓRICO 5

21 El método de la vga conugada, desarrollado por Otto ohr alrededor del año de 1860, es un método bastante sencllo y práctco que nos permtrá encontrar las pendentes y las deflexones causadas por un sstema de cargas externas aplcadas sobre la vga real medante el calculo de los cortantes y momentos nternos de una vga análoga llamada vga conugada" de gual longtud pero cargada con el dagrama /EI de la vga orgnal. La analogía entre la vga real y la vga conugada se basa en la smlardad exstente entre las relacones de la carga (W), la fuerza cortante (V) y el momento flexonante (), y las relacones entre /EI, la pendente (θ) y la deflexón (y). contnuacón se muestra la deduccón de los prncpos de este método. Se recurre a conceptos báscos de geometría y de otras asgnaturas vstas anterormente. Fgura 1: Vga Cargada W dx Consderando una vga smplemente apoyada, deformada elástcamente por un sstema de cargas cualquera aplcado perpendcularmente al ee de la vga y tomando un elemento dferencal dx. Para su análss se tene: 6

22 Fgura : Dagrama de Cuerpo Lbre del dferencal dx θ d dθ C dθ ρ D Δ dθ C Δ ds D Δ El momento nterno de la vga deforma el elemento dx de tal manera que las tangentes de cada lado del elemento se ntersecan formando un ángulo gual a dθ. su vez, el momento genera una elongacón de la fbra a tensón mas aleada del ee neutro gual a Δ ( Δ / en cada lado). Las deformacones que sufren las estructuras en la ngenería cvl son muy pequeñas comparadas con la longtud de los elementos y por consguente los rados de curvatura r son muy grandes. ao las anterores condcones es permtdo hacer las sguentes consderacones: dx ds Δx Δs Ecuacón 1.1 Hacendo uso de estas aproxmacones y de la geometría del gráfco se pueden plantear las sguentes relacones: d θ = ( Δx / ) C Δx dθ = Ecuacón 1. C 7

23 dx = dθ r r = Rado de curvatura de la fbra en el ee neutro dx d θ = Ecuacón 1.3 r Tenendo en cuenta algunos conceptos prevos vstos en la asgnatura de resstenca de materales: Ley de Hooke: σ = E ε σ ε = Ecuacón 1.4 E Δx ε = donde ε = dx largamento o cortamento total Longtud Incal Ecuacón 1.5 y σ = I C σ max = Ecuacón 1.6 I Sendo y = Dstanca desde el ee neutro hasta el punto donde se quere evaluar el esfuerzo. C = Dstanca maxma desde el ee neutro hasta la fbra mas externa del elemento. Reemplazando la Ecuacón 1.6 en la Ecuacón 1.4, se obtene: ε = C E I hora, reemplazando la anteror expresón en la ecuacón 1.5: Δx dx = C E I 8

24 ultplcando ambos lados de la ecuacón por dx, y dvdendo por C se tene: dθ = dx E I θ = dx Ecuacón 1.7 E I Donde: E = odulo de elastcdad del materal I = El momento de Inerca de la vga con respecto al ee neutro La anteror expresón se puede relaconar con la ecuacón = r E I Ecuacón 1.8 La curva elástca presenta una relacón entre el rado de curvatura y la pendente de la curva, la cual se expresa medante la sguente ecuacón: 1 d y / dx = Ecuacón 1.9 3/ r (1 + ( dy / dx) ) S las pendentes son pequeñas, como se ha vendo suponendo, el térmno (dy/dx), que representa la pendente de la curva es desprecable, obtenendo así: 1 d y dx d y = dx r = E I Integrando la expresón anteror se obtene la ecuacón 1.10, con la cual se puede calcular la rotacón θ en cualquer punto de la vga: 9

25 dy θ = = dx dx Ecuacón 1.10 EI Sendo esta la msma expresón obtenda en la ecuacón 1.7 Integrando por segunda vez la ecuacón anteror ncal, se obtene la deflexón y en cualquer punto de la vga: y = dx dx Ecuacón 1.11 EI Recordando las relacones exstentes entre la carga (W), la fuerza cortante (V) y el momento () para un elemento de longtud dx: Fgura 3: DCL para un dferencal dx dw V + d V + dv dv = w dx V = wdx Ecuacón 1.1 d = V dx = Vdx = ( wdx ) dx Ecuacón 1.13 En el sguente cuadro se resumen las ecuacones báscas necesaras para el método: 10

26 θ = dx EI Ecuacón 1.10 V = wdx Ecuacón 1.1 y dx dx EI = Ecuacón 1.11 ( wdx) = dx Ecuacón 1.13 hora, consdere una vga fctca llamada Vga Conugada de longtud gual a la de la vga real y cargada con el dagrama de momento dvddo entre la rgdez EI ( W = ), EI calculando la fuerza cortante y el momento flexonante para esta vga hacendo uso de la smltud con las ecuacones 1.1 y 1.13, se obtene: = Wdx = dx EI V con Ecuacón 1.14 ( Wdx) = con = dx dx Ecuacón 1.15 EI S se comparan las ecuacones 1.14 y 1.15 con las ecuacones 1.10 y 1.11 se deduce que la rotacón (θ) en la vga real es gual a la fuerza cortante V con en la vga conugada y que la deflexón (y) en la vga real es gual al momento flexonante con de la vga conugada. Lo anteror se puede resumr en dos teoremas fundamentales conocdos como los teoremas de la vga conugada y se presentan a contnuacón: Teorema 1: La pendente (θ) en un punto de la vga real es gual a la fuerza cortante ( V con ) en el msmo punto de la vga conugada. θ ( X) V con ( X) real = 11

27 Teorema : La deflexón (y) en cualquer punto de la vga real es gual al momento ( con ) del punto correspondente en la vga conugada. y ( X) con ( X) real = 1.4 CONDICIONES DE POYO DE L VIG CONJUGD Hacendo uso de los anterores teoremas se establecen las condcones de apoyo que tendrá la vga conugada para que se produzca la correcta equvalenca entre vga real y la conugada. Es decr, cuando se dbua la vga conugada es muy mportante que el cortante y el momento que se generan en sus apoyos sean tales que correspondan a la pendente y al desplazamento que ocurren en los apoyos de la vga real poyo smple en la vga real: En este tpo de apoyo hay rotacón pero no deflexón, lo cual mplca que en la vga conugada hay cortante pero no momento, es decr las msmas condcones que ofrece el msmo apoyo smple. Fgura 4: Condcones de poyo Smple 1

28 1.4. poyo empotrado en la vga real: En este tpo de apoyo no hay rotacón n deflexón, de tal manera que en la vga conugada no puede haber cortante n momento, lo cual sólo se logra deando los extremos lbres como s estuvera en el are. Fgura 5: Condcones de un poyo Empotrado Voladzo en la vga real: En el extremo lbre de la vga real se presenta rotacón y deflexón, de tal manera que vga conugada tendrá cortante y momento. El empotramento modela estas dos condcones. Fgura 6: Condcones de un poyo en Voladzo 13

29 Importante: En todos los casos, la vga conugada debe ser determnada, pues una vga conugada ndetermnada mplcaría tener una vga real nestable. Cargando la vga conugada con el dagrama ( W = EI ) del lado de compresón de la vga real y tomando como convencón el orgen de la vga en su extremo zquerdo, el sentdo postvo del ee x haca la derecha y el sentdo postvo del ee y puede decrse que: un cortante postvo representa una rotacón de la vga en el sentdo de las manecllas del relo (pendente negatva) y un momento postvo se nterpreta como una deflexón haca abao. 1.5 EJERCICIOS DE PLICCIÓN Eercco 1.1 Encuentre el valor de θ θ D, θ y Δc para la sguente vga:, 60 KN 40 KN.0 m. 1.0 m. 4.0 m. Como prmer paso se construye los dagramas de cortante y momento de la vga real. = 0 = R 4 R = 60 KN D D 14

30 F y = 0 = R R = 40 KN Conocdo el dagrama de momentos de la vga real se procede a cargar la vga conugada con el dagrama /EI, Se deben tener en cuenta las condcones de apoyo que tendrá la vga conugada. nalzando la vga real, tanto el apoyo como en el apoyo D son apoyos smples los cuales permten que los extremos roten. Estas rotacones son cortantes en la vga conugada y se representan como apoyos smples. 80 EI 60 EI R = θ R D = θ D Cálculo de θ y θ D : La rotacón en el nodo y en el nodo D son guales a las reaccones en el punto ( R ) y en el punto D ( R D ) de la vga conugada, éstas se calculan aplcando en el dagrama de cuerpo lbre de la vga conugada las ecuacones báscas de equlbro. Para facltar los cálculos se dvde el dagrama /EI en 4 seccones y se calcula el valor de la fuerza de cada seccón y su punto de aplcacón con respecto al nodo. 15

31 1 3 4 X1 X X3 X4 Seccón Fgura Fuerza (Rad.) Punto de plcacón (m)* F1 = ()( ) = 1 67 EI EI X = F = (1)( ) = EI EI X = F3 = (1)( ) = EI EI X 3 = F4 = (1)( ) = EI EI X = * Las dstancas X son meddas desde el apoyo D hasta la poscón de la resultante F R D = (.67) ( ) + (1.67) ( ) + (1.5) ( ) + (0.67) ( ) 4 ( R ) = 0 EI EI EI EI = θ = = = 8.51x10 rad EI F y = ( 80 ) EI 10 + ( ) + ( EI 60 ) EI 30 + ( ) x10 EI 3 + ( R D ) = 0 R D = θ D = 9.49x10 3 rad 16

32 Cálculo de θ : La rotacón en el punto de la vga real ( θ ) es gual al cortante en el punto de la vga conugada ( V ). Para esto se analza el dagrama de cuerpo lbre de la vga conugada a la zquerda del punto : F 1 1 V.0 m. R F y = R F1 + V = 0 V = R 8.0x x10 5.1x10 4 = = rad. EI V = θ = 5.1x10 4 rad. Cálculo de C : La deflexón en el punto C de la vga real ( C ) es gual al momento en C de la vga conugada ( a la derecha del punto C: C ). Para esto se analza el dagrama de cuerpo lbre de la vga conugada 17

33 F 4 V C C m. D C = C 1 F4 + 1 ( RD ) = C = Δ C = 1 (9.49x10 ) = 8.49x10 rad El sgno postvo ndca que la deflexón es haca abao (negatva). Eercco 1. Calcular las deflexones y rotacones en los puntos y C de la sguente vga: P R I 3/4 L C I L/4 Incalmente se calcula el dagrama de cortante y de momento de la vga: 18

34 V [KN] P (+) Dagramas de Cortantes X [m] [KN-m] 0 (-) X [m] PL Dagramas de omento ntes de cargar la vga conugada con el dagrama /EI es mportante tener en cuenta que el segmento de la vga real presenta una nerca I, lo cual hace que el dagrama orgnal de momento se reduzca a la mtad en este tramo. Tambén es mportante analzar las condcones de apoyo que presenta la vga real. El apoyo se encuentra empotrado, mpdendo así la rotacón y la deflexón del nodo. Este apoyo se representa en la vga conugada como un apoyo lbre. Caso contraro se da en el apoyo C de la vga real, el cual es un apoyo lbre que permte la rotacón y deflexón del nodo, convrténdose en un empotramento en la vga conugada. 19

35 PL 8EI 1 PL 4EI 3 θc Δ C PL EI 3/4 L L/4 Para facltar los cálculos se dvde el dagrama /EI en 3 seccones y se calcula el valor de la fuerza de cada seccón y su punto de aplcacón con respecto al nodo C. Seccón Fgura Fuerza (Rad.) Punto de plcacón (m)* PL 3 PL 5 F1 = ( L)( ) = X 1 = L 4 8EI 3 EI PL 9 PL 3 F = ( L)( ) = X = L 4 8 EI 64 EI 4 F 3 = 1 ( 1 4 L)( 1 4 PL ) = EI 1 3 PL EI * Las dstancas X son meddas desde el apoyo C hasta la poscón de la resultante F X 3 = 1 6 L Cálculo de θ y : Para el cálculo de la rotacón y la deflexón de la vga real en el punto, se consgue el valor del cortante y del momento en el punto de la vga conugada. Para esto se utlza el dagrama de cuerpo lbre de la vga conugada a la zquerda de. 0

36 PL 8EI 1 V 3/4 L F = F1 + F + ( V ) = 0 V y = θ = 3 3 PL EI PL EI 15 PL = 64 EI rad = + L 1 + = F L 4 F = Δ 1 3 = L PL 3 + L EI PL EI =Δ = 7 56 PL EI 3 Cálculo de θ C y C : La rotacón y la deflexón en punto C de la vga real son guales a las reaccones que presenta la vga conugada en este punto. Para conocer estos valores se aplca los prncpos báscos de equlbro a toda la vga: F = F + F + F + ( R ) 0 R C y = θ C = 1 3 C = 3 3 PL EI PL EI PL EI 17 PL = 64 EI rad = + L = 0 8 F + L 4 F L 6 C C F = Δ 5 = L PL 3 + L EI PL 1 + L EI PL EI 1

37 C = Δ C = PL EI 3 m. El método de la vga conugada tambén es de gran utldad para resolver vgas estátcamente ndetermnadas como se muestra a contnuacón. 4.3 Eercco 3 Encuentre el valor de los momentos extremos deflexón máxma Δ X que se presenta en la sguente vga. y, las reaccones R y R y la La vga es estátcamente ndetermnada y no puede ser resuelta aplcando las ecuacones báscas de equlbro. Para soluconarla se hace uso del prncpo de superposcón y del método de la vga conugada. Consdere como redundantes los momentos en los extremos y. Hacendo uso del prncpo de superposcón se aplca el efecto de la carga P, del momento y del momento por separado, obtenendo así tres vgas, las cuales se muestran a contnuacón:

38 P [KN-m] PL 4 = 0 X [m] + X [m] + X [m] P PL 4 X [m] Como se ha vsto en eemplos anterores, es necesaro defnr los apoyos de la vga conugada. nalzando la vga real se observa que los apoyos y se encuentran restrngdos para rotar y desplazarse, por lo tanto la vga conugada no tendrá apoyos, es decr, se supone que está en el are, pero se mantene en equlbro bao la accón de la carga /EI. Se cargará la vga conugada con los dagramas de momento de los 3 efectos dvddos entre el factor de rgdez EI ( P, y ).Para hacer más fácles y entendbles los cálculos, se calcula el valor de la fuerza resultante de cada dagrama y su punto de aplcacón con respecto al nodo. Seccón Fgura Fuerza (Rad.) Punto de plcacón (m)* L F = ( L) ( ) = X 1 EI EI 3 L 1 = 3

39 3 1 PL 1 PL 1 F = ( L) ( ) = X = L 4EI 8 EI 1 1 L 1 F = ( L) ( ) = X 3 EI EI 3 L 3 = * Las dstancas X son meddas desde el apoyo hasta la poscón de la resultante F Cálculo del momento y : El valor de los momentos extremos y de la vga real son desconocdos; pero analzando el dagrama de carga de la vga conugada se observa que tanto el momento como el están presentes. Dbuando los resultados de los 3 dagramas en la vga y hacendo una sumatora de momentos con respecto al punto de aplcacón de la fuerza resultante F 3 para elmnar la ncógnta se tene la sguente expresón: [ X X ] F + [ X X ] F 0 F 3 = = L L 1 L EI 1 = L PL L 8 EI 1 L 3 1 L EI 1 1 PL = L 6 8 EI Despeando se obtene: 4

40 PL = 8 Conocdo el valor de., se hace una sumatora de fuerzas para conocer el valor de F y = F F F = L EI ( PL 8) 1 8 L EI PL EI 1 8 PL EI 1 L + = 0 EI 1 L + = 0 EI Despeando para PL = 8 se tene: KN m. De esta manera se calculó el valor de los momentos extremos de la vga real. Como era de esperarse, los momentos aplco en la mtad de la vga. y son guales. Esto se debe a que caga P se Cálculo de las reaccones R y R : Conocdos los valores de los momentos en los extremos de la vga real, el calculo del valor de las reaccones se consgue aplcando las ecuacones báscas de equlbro en la vga real: = L + P R L = 0 Sendo = como se demostró anterormente se tene: 5

41 P R = Y por consguente: P R = Cálculo de la deflexón máxma Δ X : Superponendo los tres efectos analzados y dbuando el dagrama de momentos total, se obtene el sguente grafco: = PL 8 P = PL 8 [KN-m] PL 8 PL 8 X [m] PL 8 L/ PL 8 Este es el msmo dagrama de momento generado solamente por la carga P pero se ha desplazado haca abao el valor del momento o ( PL 8 ). La deflexón máxma de la vga real se presenta en el punto donde el momento de la vga conugada con es máxmo. En este punto, la pendente de la vga real es gual a 0 ( θ = 0 ) o equvalentemente en la vga conugada, es el punto en donde el cortante REL es gual a 0 ( V = 0 ). En este caso, debdo a la smetría que presenta la vga real, la con deflexón máxma se presenta en el centro de la luz. 6

42 Para el cálculo de la deflexón máxma de la vga real se toma el dagrama de cuerpo lbre de la vga conugada a la zquerda o derecha del punto C, y se calcula el valor del momento en este punto. F PL 8 C PL 8 F 1 V C L/4 L/4 El calculo de la resultante se obtene dvdendo el dagrama de carga /EI en dos trángulos, que por smetría son guales lo msmo que la dstanca desde el punto C al punto de aplcacón de la resultante. Seccón Fgura Fuerza (Rad.) Punto de plcacón (m)* 1 1 L PL 1 PL 5 F1 = ( ) ( ) = X 1 = L 4 8EI 64 EI 1 F = 1 L PL ( ) ( ) = 4 8EI 1 64 PL EI * Las dstancas X son meddas desde el punto hasta la poscón de la resultante F X = 1 1 L C = L 1 64 PL EI 5 1 L 1 64 PL = 0 EI = 1 19 PL EI 3 Δ X = X = 1 19 PL EI 3 7

43 Exste otra alternatva para hallar el Δ X ecuacones 1.10, 1.11, 1.1 y 1.13 se tene:. Recordando que W = y revsando las EI = = Wdx = dx EI = dx dx EI V con θ con y = ( Wdx) = con = V con = dx dx EI Integrando la ecuacón del cortante de la vga conugada V con se obtene el valor de momento con que corresponde a la deflexón de la vga real. Utlzando como lmtes de ntegracón el punto (L=0) hasta el punto C (L/) y evaluando esta ntegral, se obtene la deflexón en el punto C. Prmero se obtene la ecuacón que rge la carga W de la vga conugada en el tramo C, la cual no es más que la ecuacón de la recta que une los puntos y C evaluada en cualquer punto: W ( x) = EI = P EI x PL 8EI Integrando la ecuacón de la carga W se obtene el cortante P PL V ( x) = Wdx = x dx EI 8EI P x L V ( x) = x EI 4 V con : E ntegrando la ecuacón del cortante V (x) se obtene la ecuacón de momento (x) la cual se evaluará entre 0 y L/: 8

44 L P x L X = V( x) = x dx 0 EI 4 X L 3 3 P x L P L =Δ X = x EI 6 8 = EI 96 0 X = Δ X = 1 19 PL EI 3 Comprobando que se llega al msmo resultado. Eercco 1.4 Una vga doblemente empotrada sufre un asentamento ( ) en su extremo. Encontrar el valor de los momentos extremos en la vga., y de las reaccones R y R generados Cuando uno de los apoyos sufre un asentamento, se generan momentos y reaccones en los extremos de la vga. Para analzar este problema es necesaro realzar un dagrama de cuerpo lbre y desglosar la vga en una suma de efectos para encontrar la carga de la vga conugada. Obsérvese que la vga no posee rotacones en los extremos, pero sí presenta un desplazamento (relatvo). 9

45 [KN-m] = 0 X [m] X [m] + X [m] Procedemos a cargar la vga conugada con el dagrama de momentos dvddo por EI. La vga conugada no se encuentra apoyada en nngún sto, por lo tanto no presenta reaccones pero s presenta momento b, el cual se encuentra smbolzado por delta (que corresponde al desplazamento de la vga real). = Δ F EI = Δ EI F 1 Fy = F 1 F = 0 1 L 1 L Fy = = 0 EI EI = 30

46 31 Como se puede ver, los momentos extremos son guales. hora para conocer el valor de los momentos y en funcón del desplazamento, se plantea una sumatora de momentos de toda la vga con respecto al punto : = + + = L F L F = + + = L EI L L EI L Recordando que Δ = y =, se tene que: Δ = + EI L EI L Despeando, se encuentra que: Δ = EI L Δ = 6 L EI Y por consguente: Δ = 6 L EI Calculo de las reaccones R y R :

47 Una vez conocdos los valores de los momentos extremos de la vga real, smplemente aplcaremos la estátca básca para encontrar el valor de las reaccones: = R L + + = 0 R R = + L = L 6 EI Δ L 1 EI = = Δ 3 L L F = R R = 0 y R 1 EI = Δ 3 L Para evtar confusón en la nterpretacón de los sgnos se debe tener en cuenta que el valor delta es postvo de abao haca arrba. EJERCICIOS PROPUESTOS: En los sguentes eerccos calcular deflexones máxmas, rotacones, momentos y reaccones medante el método de la vga 3

48 conugada: 33

49 . SLOPE DEFLECTION.1 Introduccón El profesor George. aney presentó en 1915 el método del análss de estructuras Slope-deflecton en una publcacón sobre ngenería estructural de la unversdad de nesota. Su trabao fue una extensón de estudos anterores acerca de esfuerzos secundaros realzados por Henrch anderla y Otto ohr entre los años Su populardad se mantuvo entre los ngeneros de la época por cas 15 años hasta la aparcón de el método de dstrbucón de momentos (método de Cross). Este método permte conocer los momentos en los extremos de las barras que conforman una estructura medante la solucón de un sstema de ecuacones que tene en cuenta los desplazamentos y las rotacones en los nodos. Tambén es mportante tener en cuenta que este método sólo es aplcable a estructuras con nodos rígdos como es el caso de las vgas contnuas y pórtcos rígdos, ya que no se consdera el efecto de deformacones por carga axal que son las que se producen en las cerchas. Hoy día, este método en su forma convenconal es poco útl debdo a los programas tan avanzados de análss de estructuras que exsten en la actualdad. Sn embargo se sgue consderando como uno de los métodos de desplazamento más mportante de acuerdo con las sguentes consderacones: Para algunos sstemas estructurales smples (vgas, marcos rígdos) el método puede presentar una solucón rápda y practca. Las ecuacones fundamentales del método srven de base para el desarrollo del método de dstrbucón de momentos. 34

50 Las ecuacones fundamentales del método establecen la base de ntroduccón de métodos de formulacón matrcal.. SUPOSICIONES ÁSICS DEL ÉTODO: - Todos los membros de la estructura son prsmátcos ( E I constantes ). - Las deformacones de la estructura son debdas prncpalmente al efecto de los momentos. - La estructura se comporta en el rango elástco (obedece a la ley de Hooke). - Las deformacones producdas por fuerzas axales y cortantes son desprecadas...1 Convencones: - Los momentos en los nodos en sentdo de las manecllas del relo son negatvos. - Las rotacones de los nodos en sentdo ant-horaro son postvos..3 DEDUCCIÓN DE LS ECUCIONES DEL SLOPE-DEFLECTION: Imagne un pórtco el cual ha sdo sometdo a un sstema de cargas cualquera: peso propo, carga vva, fuerza de ssmo, vento, etc. Como resultado de la aplcacón de este sstema de cargas la estructura sufre deformacones (rotacones y desplazamentos) en los nodos y a su vez se generan fuerzas en cada uno de los elementos de la estructura. 35

51 Fgura 7: Pórtco Sometdo a un Sstema de Cargas C C Tomando el elemento del sstema pórtco después de deformado se tene: Fgura 8: nálss del Elemento - P W θ θ Δ RELTIVO Para el análss de este elemento se hace uso de la ecuacón básca usada en el análss matrcal de estructuras: [ ] FT = F empotramento + F desplazamentos Ecuacón.1 Donde: F T = Fuerzas fnales en los extremos de la barra. 36

52 F empotramento = Fuerzas generadas en los extremos de la barra debdo a las cargas externas ( PW, ) actuantes sobre la barra. En este caso se restrngen los desplazamentos de los nodos y se puede representar por medo del comportamento de los extremos. F desplazamentos la barra. = Fuerzas generadas en el elemento debdas a los desplazamentos de Como se menconó al nco del presente captulo, el método del Slope-deflecton despreca las deformacones debdas a las fuerzas axales y cortantes en los elementos, tenendo solamente en cuenta las deformacones por flexón (momentos). sí, la ecuacón básca en el análss matrcal aplcada al método del Slope-deflecton queda convertda en: [ F ] = F + [ F ] TOTLES emp des [ ] TOTLES = emp + desplazamento Ecuacón. P W P W θ θ TOTLES Δ RELTIVO + = Δ RELTIVO θ F F θ DESPLZIETOS TOTLES DESPLZIENTOS [ TOTLES ] = omentos totales generados en los extremos de la barra. 37

53 empotramentos (, ) = omentos generados en los extremos de la barra por cargas externas PW actuantes sobre la barra cuando todos los desplazamentos son guales a cero, es decr, la barra está empotrada. desplazamentos (,, relatvo) θ θ Δ. =Fuerzas generadas en elementos debdas a los desplazamentos contnuacón se estudan los momentos de empotramento y los momentos debdos a los desplazamentos..3.1 omentos de empotramento empotramentos : Como ya se menconó anterormente, los momentos de empotramento son los que se generan en los nodos de la barra debdo a las cargas ( PW, ) externas aplcadas sobre ella. = omento generado en el nodo de la barra debdo a (, ) F F PW. = omento generado en el nodo de la barra debdo a (, ) PW. Los momentos de empotramento se calculan: Usando un método de análss de estructuras como: Área momento, castglano, carga untara, vga conugada entre otros. manera de eemplo, se calculan los momentos de empotramento de la sguente vga usando el método de castglano. 38

54 Fgura 9: Vga Cargada W Se consderan como redundantes las reaccones del extremo (, R ). Las condcones en el nodo son tales que: Luego: θ = 0 y Δ = 0 θ L = dx 0 0 = E I Ecuacón.3 L Δ = dx 0 0 = E I R Ecuacón.4 Planteando la ecuacón de momentos para la vga se tene: W x R x 0 = ( x ) + ( ) = 0 W x ( x ) = + ( R x ) Ecuacón.5 Dervando la ecuacón de momento con respecto a cada una de las redundantes: = 1 = R ( x) ( x) x Para el caso de θ : L L W x 0 0 E I θ = 0 = dx = + R x 1 dx [ ] 39

55 3 W x R x 0 = + x 6 L 0 3 W L R L 0 = + L Ecuacón.6 6 Despeando R de la anteror ecuacón se tene: R W L = + Ecuacón.7 L 3 Para el caso de Δ : 0 L L W x 0 0 E I R [ ] Δ = = dx = + R x x dx 3 4 x R x W x 0 = 3 8 L R L W L L 0 = Ecuacón Despeando R de la anteror ecuacón se tene: 3 3 R = ( W L ) + ( L ) Ecuacón.9 8 Igualando las ecuacones.7 y.9 se encuentra el valor de : 3 W L 3 L W L + = + 8 L 3 W L = Ecuacón

56 Reemplazando la ecuacón.10 en cualquera de las expresones de R se obtene: R W L = Ecuacón.11 Una vez conocdos los valores de las reaccones en el nodo se plantea la estátca de la vga, obtenendo el valor de las reaccones del nodo : W L = Ecuacón.1 1 R W L = Ecuacón.13 sí, los momentos de empotramento para una vga de seccón constante y con una carga constante sobre toda la vga son: F F W L = = Ecuacón.14 1 Fgura 10: omentos de Empotramento WL 1 W WL 1 Por medo de tablas de cálculo de momentos, las cuales muestran un gráfco de la vga con el sstema de carga y el valor de los momentos en funcón de las cargas ( PW, ) actuantes en la barra y la longtud de la barra..3. omentos generados por desplazamentos 41

57 hora se estudan los momentos debdos a desplazamentos desplazamentos. Fgura 11: omentos de Empotramento θ DESPLZIETOS θ Δ RELTIVO DESPLZIENTOS Como se puede ver en la fgura anteror, los momentos generados en los extremos de la barra se producen por 3 desplazamentos. a. Rotacón del nodo ( θ ) b. Rotacón del nodo ( θ ) c. Desplazamento relatvo entre nodos ( Δ relatvo) contnuacón se analza cada desplazamento por separado omentos generados en los extremos de la barra por una rotacón en el nodo ( ) θ. Para encontrar la relacón exstente entre los momentos generados en los extremos de la barra y la rotacón ocurrda en el nodo ( θ ), consdérese una barra - smplemente apoyada en su extremo y empotrada en su extremo, la cual ha sufrdo una rotacón en su extremo como se muestra a contnuacón: 4

58 Fgura 1: Rotacón en el nodo de la barra - θ θ θ θ = omento generado en el nodo debdo a una rotacón en el nodo ( ) θ. θ = omento generado en el nodo debdo a una rotacón en el nodo ( ) θ. contnuacón se hace uso del teorema de la vga conugada para calcular el valor de los momentos θ y en funcón de la rotacón ( ) θ θ. Para no saturar el dbuo y evtar posbles confusones, se usa la sguente convencón: θ = θ = 43

59 Fgura 13: Dagrama de omentos de la Vga Cargada = + + Dagramas de omentos 1 (L) EI EI Vga Cargada θ EI 1 (L) EI Planteando una sumatora de momentos en el nodo, se tene: = 0 1 L 1 L 1 L L = 0 EI 3 EI 3 = hora hacendo una sumatora de fuerzas en y usando la anteror relacón: Fy = 0 44

60 1 L 1 L + + θ = 0 EI EI ( ) 1 L 1 L + + θ = 0 EI EI 1 L + θ = 0 4 EI Despeando, se obtene: = 4EI L θ Ecuacón.15 Y por consguente: = EI L θ Ecuacón.16 Luego θ = 4EI L θ Ecuacón.17 θ = EI L θ Ecuacón omentos generados en los extremos de la barra por una rotacón en el nodo ( θ ). 45

61 Para encontrar la relacón exstente entre los momentos generados en los extremos de la barra y la rotacón ocurrda en el nodo ( θ ) se consdera una barra - empotrada en su extremo y smplemente apoyada en su extremo, la cual ha sufrdo una rotacón en su extremo como se muestra a contnuacón: Fgura 14: Rotacón en el nodo de la barra - θ θ θ θ = omento generado en el nodo debdo a una rotacón en el nodo ( θ ). θ = omento generado en el nodo debdo a una rotacón en el nodo ( θ ) Realzando el msmo análss que se hzo para el caso de la rotacón en el nodo, se obtene: θ = θ = 4 EI L θ Ecuacón.19 EI L θ Ecuacón omentos generados en los extremos de la barra por un desplazamento relatvo ( Δ R ). 46

62 Para encontrar la relacón exstente entre los momentos generados en los extremos de la barra y el desplazamento relatvo ( Δ R ) entre nodos se consdera una barra - empotrada en sus dos extremos, la cual ha sufrdo un descenso vertcal en uno de sus apoyos como se muestra a contnuacón:. Fgura 15: Desplazamento Relatvo entre nodos de la barra - Δ R Δ RELTIVO Δ R Δ R = omento generado en el nodo debdo al desplazamento relatvo ( Δ R ). Δ R = omento generado en el nodo debdo al desplazamento relatvo ( Δ R ). Nuevamente se hará uso del método de la vga conugada para calcular el momento en funcón del desplazamento relatvo entre los extremos del elemento. Para no saturar el dbuo y evtar posbles confusones se usa la sguente convencón: Δ R = Δ R = 47

63 Fgura 16: Cálculo de omentos debdos al desplazamento Relatvo entre nodos Δ R = Δ R + Dagramas de omentos + Vga Conugada (L) EI 1 EI Δ R EI 1 (L) EI Hacendo sumatora de fuerzas en y: F y = 0 1 L 1 L + = 0 EI EI 48

64 = Ecuacón.1 hora, planteando una sumatora de momentos con respecto al nodo : = 0 L L 1 L L Δ R = 0 EI 3 EI 3 L L =Δ 3EI 6EI R L 6EI =Δ R Despeando : 6EI = Δ Ecuacón. R L Y por consguente: 6EI = Δ Ecuacón.3 R L Luego: Δ R = Δ R = 6EI Δ R Ecuacón.4 L 6EI Δ R Ecuacón.5 L 49

65 Importante: El sgno del momento varía, dependendo s el desplazamento relatvo hace grar la barra en sentdo horaro ó ant-horaro. En el desarrollo de este captulo se plantea la sguente convencón para determnar el sgno del momento debdo al Δ R. Caso. S el desplazamento relatvo Δ R hace que la barra tenda a rotar en sentdo de las manecllas del relo, los momentos en los extremos son postvos. Fgura 17: Rotacón de la barra en sentdo de las manecllas del relo Δ R Δ RELTIVO Δ R Δ R = Δ R = 6EI Δ R Ecuacón.6 L Caso. S el desplazamento relatvo Δ R hace que la barra tenda a rotar en sentdo anthoraro, los momentos en los extremos son negatvos. Fgura 18: Rotacón de la barra en sentdo contraro a las manecllas del relo Δ R Δ R Δ RELTIVO 50

66 Δ R = Δ R = 6EI Δ R Ecuacón.7 L Sumando los 3 efectos analzados se puede decr que: El momento generado en el nodo, debdo a los desplazamentos θ, θ y Δ R es gual a: desplazamentos = ( θ ) + ( θ ) + ( Δ ) R 4 6 desplazamentos = EI θ + EI θ ± EI Δ R Ecuacón.8 L L L El momento generado en el nodo, debdo a los desplazamentos θ, θ y Δ R, es gual a: desplazamentos = ( θ ) + ( θ ) + ( Δ ) R 4 6 = EI θ + EI θ ± EI Δ Ecuacón.9 L L desplazamentos R omentos totales Fgura 19: Cálculo de momentos totales P W θ θ TOTLES Δ RELTIVO TOTLES 51

67 Retomando la ecuacón TOTLES = empotramento + desplazamentos Y aplcándola al nodo de la barra -, se tene: = + F Total desplazamentos F Total = ( ) + θ + ( θ ) + ( Δ ) R 4EI EI 6EI = + θ + θ ± Δ Ecuacón.30 L L L F R Y lo msmo se hace en el nodo, obtenendo: F Total = ( ) + θ + ( θ ) + ( Δ ) R EI 4EI 6EI = + θ + θ ± Δ Ecuacón.31 L L L F R Sendo estas las ecuacones báscas usadas en el método del Slope-deflecton para una barra - de seccón constante: 4EI EI 6EI = + θ + θ ± Δ Ecuacón.30 L L L F R EI 4EI 6EI = + θ + θ ± Δ Ecuacón.31 L L L F R 5

68 .4 PLNTEIENTO GENERL DEL ÉTODO DEL SLOPE-DEFLECTION: Para soluconar estructuras hacendo uso del Slope-deflecton se sguen los sguentes pasos: a. plcar las ecuacones báscas de momento del Slope a cada una de las barras de la estructura. Estos momentos quedan en funcón de las rotacones en los extremos y de los desplazamentos relatvos entre los extremos de cada barra. b. Plantear una ecuacón de equlbro de momentos en cada uno de los nodos de la estructura. En algunas estructuras es necesaro plantear ecuacones de equlbro en algunos elementos o en toda la estructura, como se verá mas adelante en los eerccos tpo. l establecer todas las ecuacones de equlbro necesaras se obtene un sstema de ecuacones, él cual debe tener gual número de ecuacones como grados de lbertad desconocdos tenga la estructura. l soluconar este sstema se consguen los valores de las rotacones en los extremos θ y de los desplazamentos relatvos Δ. c. Conocdos los valores de θ y de Δ R, estos se susttuyen en las ecuacones de momentos fnales planteadas en el paso a. d. Calculados los momentos, se pueden obtener los cortantes y las reaccones hacendo uso de la estátca básca..4.1 plcacón del Slope Deflecton en Vgas Eemplo.1 53

69 Calcular los momentos en los extremos de las barras - y -C de la sguente vga, medante las ecuacones del Slope-deflecton. Para dar solucón a la vga propuesta, se aplcan las ecuacones báscas del Slope a cada una de las barras de la estructura. Como la estructura no presenta desplazamentos relatvos en nnguno de los apoyos, el últmo térmno de las ecuacones no se tene en cuenta. Las ecuacones para cada barra son: F 4EI EI = + θ + θ L L F EI 4EI = + θ + θ L L Cálculo de omentos de empotramento Consderando todos los nodos de la estructura empotrados se calculan los momentos de empotramento para cada una de las barras: F P a b 804 = = = KN m. L 6 54

70 F P a b 80 4 = = = KN m. L 6 F C F W L 50 4 = C = = = KN m. 1 1 Reemplazando los valores en las ecuacones se tene: = θ + θ = θ + θ C = θ + θc C = θ+ θc 4 4 Evaluando cada uno de los valores de las ecuacones, se obtene: = θ θ = θ θ = θ θ C C = θ θ C C Las condcones de apoyo de la estructura son tales que: θ θ = desconocdo = desconocdo θ C = 0 (empotramento del nodo) 55

71 Tenendo en cuenta las anterores consderacones, las ecuacones quedan convertdas en: = θ θ (1) = θ θ () C C = θ (3) = θ (4) Hasta este punto se tenen en el sstema 4 ecuacones y 6 ncógntas ( θ, θ,,, C, C). Planteando la condcón de equlbro ( = 0 ) en los nodos y, se tene: Nodo : = = 0 = 0 Luego la ecuacón (1) queda convertda en: 0 = θ θ (1) Nodo : = 0 = + C + = 0 C 56

72 sí, sumando las ecuacones () y (3) se obtene: 0 = θ θ (5) S se toman las ecuacones (1) y (5) se tene un sstema de dos ecuacones y dos ncógntas ( θ, θ ): 0 = θ θ 0 = θ θ Resolvendo el sstema se obtene: 3 θ = rad 3 θ = rad Reemplazando los valores de las rotacones en las ecuacones ncales de momentos del eercco se encuentran los valores de los momentos extremos: C C 3 3 ( ) ( ) = = 0 kn m. 3 3 ( ) ( ) = = kn m. 3 ( ) = = kn m. 3 ( ) = = 59.7 kn m. Comprobacón: = = 0 ( ) 57

73 = + C = = 0 ( ) Esto se hace con el fn de verfcar que la solucón del sstema de ecuacones se hzo de manera correcta Estátca de la estructura: Conocdos los momentos resultantes en los extremos de cada elemento se pueden calcular los cortantes para cada barra medante las ecuacones báscas de equlbro ( = 0, F = 0 ), así como las reaccones en los nodos. V V VC VC 80 Kn Kn-m Kn-m 50 Kn/m Kn-m Kn-m 0 R V V VC VC R RC arra : 0 80 Kn Kn-m V V ( ) = V = 0 V = kn. 58