"UN MODELO DINÁMICO PARA EL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS Y SEDIMENTOS EN LECHOS DE CAUCES NATURALES ALUVIALES.

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1 "UN MODELO DINÁMICO PARA EL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS Y SEDIMENTOS EN LECHOS DE CAUCES NATURALES ALUVIALES. - PONENCIA PRESENTADA A LA ACADEMIA PANAMERICANA DE INGENIERIA POR: Francisco Pablo García Gutiérrez. Ingeniero Civil (Honores). Univ. de Lancaster (Inglaterra), Master of Science en Ing. Hidráulica. Univ. de Newcastle upon Tyne (Inglaterra) Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Univ. Politécnica de Valencia (España) Catedrático de Hidráulica, Hidrología e Investigador. Universidad Autónoma Gabriel Rene Moreno. Santa Cruz - Bolivia. DIRECCIÓN : Teléfono: (591-3) SANTA CRUZ - BOLIVIA Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 1

2 SUMARIO/ABSTRACTO En el presente trabajo se presenta el desarrollo de lo que -en conjunto- es más que una ecuación como resultado de la inclusión y consideración de todos los componentes que hacen a la dinámica del movimiento de partículas sólidas y sedimentos en lechos fluviales, -por ello se le ha denominado modelo- ya que a través de la misma se tiende a explicar la compleja dinámica del movimiento de partículas en lechos de cauces fluviales que dan origen a la mayoría de los procesos asociados a la dinámica fluvial. A partir de este modelo se puede apreciar los estados de las partículas en conjunción con el flujo y además, las condiciones y relaciones de dichos estados con la compleja interacción que existe, a su vez, entre la dinámica del flujo y las partículas que forman el lecho. El establecimiento de este modelo ha permitido, entre otros, establecer con claridad las variables que intervienen y que hacen al movimiento incipiente y al umbral del movimiento de partículas, y establecer las condiciones dinámicas generales que dan origen al movimiento y transporte de sedimentos. Por otro lado, la aplicación de la misma permite el estudio de la formación de cauces aluviales y las formas particulares que estos adoptan en conjunción con el flujo, siendo un caso particular las pendientes transversales de equilibrio en meandros y, aplicaciones de carácter más general a través de la velocidad de las partículas en la vecindad del lecho, dando así origen al fenómeno más general de transporte de sedimentos. Santa Cruz, Bolivia, Julio de 2014 Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 2

3 CONTENIDO: 1.- Introducción 2. Consideraciones básicas para el análisis dinámico del movimiento de partículas en cauces naturales aluviales 3. Planteamiento del modelo Fuerzas que actúan sobre la partícula Evaluación de fuerzas y sus variables.- 4. Ecuación vectorial del movimiento de partículas. 5. Desarrollo de variables Fuerza de arrastre o resistencia Fuerza de sustentación y coeficiente de sustentación Velocidad del flujo y tensión de corte en el lecho Consideraciones sobre el cobijamiento y el factor de forma en la tensión de corte Velocidad de la partícula en el lecho. 6.- Ecuación del movimiento de partículas en el lecho Desarrollo incluyendo efectos de pendiente longitudinal. 7.- aplicaciones Perfiles estables o perfiles de equilibrio Curva de Shields o de umbral del movimiento de partículas Transporte de sedimentos Conclusiones.- Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 3

4 1.- INTRODUCCION.- La importancia de la interacción entre el flujo líquido (considerando además de que éste discurre por lo contornos móviles acompañado de cierta cantidad de partículas sólidas) y el movimiento de las partículas - causadas por éste como agente., que forman los contornos de los canales naturales o ríos, radica básicamente en que el primero impone y transmite cierta dinámica a las partículas que componen los límites del canal y éstas, en respuesta a la acción del flujo líquido, tienden a establecer "formas" o "topografía" características. Es de suma importancia analizar el/los mecanismos asociados al movimiento de las partículas que forman el lecho del cauce y que permanecen en él o en su vecindad durante el paso del flujo líquido, esencialmente porque son éstos los mecanismos los que originan el establecimiento y "variación" de la topografía del lecho en canales con meandros o curvas frente a las condiciones que impone el flujo líquido, y viceversa: ya que éstas variaciones de topografía del lecho producen asimismo efectos en el esquema del flujo líquido. Es decir, que de manera general existe una "interacción" entre ambos procesos, y ésta no debe ignorarse en el análisis. De ahí que surge la necesidad de plantear un modelo dinámico del movimiento de partículas sólidas que forman el lecho, que responda a las situaciones impuestas por el flujo y, de manera más general a la convivencia por así decirlo- entre ambos flujos. Si bien, el trabajo que aquí se presenta tuvo sus orígenes en el año de 1989 en la Universidad Politécnica de Valencia, los postulados y resultados dan origen a una serie de situaciones que en la actualidad son de aplicación general en problemas relacionados al transporte de sedimentos e hidráulica fluvial, los cuales son los que finalmente dan personalidad a los sistemas fluviales que nos rodean. 2. CONSIDERACIONES BASICAS PARA EL ANALISIS DINAMICO DEL MOVIMIENTO DE PARTICULAS EN CAUCES NATURALES ALUVIALES. Para poder iniciar el análisis es necesario presentar las bases sobre las cuales éste se ha de desarrollar, con el único fin de transmitir al lector de forma clara y concisa desde un principio todo el proceso, de manera que éste pueda seguirlo y apreciarlo en su justa dimensión. Así pues, para emprender el análisis se han de tener en cuenta las siguientes consideraciones: I. Se utilizará un sistema de coordenadas denominado natural por el autor, ya que este permite seguir la trayectoria de las partículas de la manera en que se dan en la naturaleza, y aplicado a un lecho aluvial con características móviles. De esa manera se plantea un triedro co-ortogonal con sus componentes de acuerdo a lo que se muestra en la Fig. 1. Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 4

5 Figura 1.- Esquema general en Planta y sistema de coordenadas En este sentido y para generalizar aún más el tratamiento que se dará al tema, se considera que el triedro co-ortogonal s, n, z, está inclinado según el ángulo del perfil transversal del lecho en el punto en consideración. Para visualizar este concepto considere la Figura 2, que muestra la sección transversal A-A' del esquema general de definición del sistema en planta dado en la Figura 1. Así la coordenada s, sigue la línea central del canal, la coordenada n la transversal y además tangente al lecho en el punto, con lo que s-n definen un plano tangente al lecho en el punto en consideración, y finalmente la coordenada z con dirección hacia arriba perpendicular al lecho en el punto. Los vectores unitarios asociados a tal sistema són, respectivamente: e s, e n y e z. II. En principio se asume que el ángulo que forma el perfil transversal, α, es pequeño, de manera que puede ser aproximado por: = tan = sen (1) III. IV. En el análisis se considerarán los efectos de la pendiente longitudinal del lecho, φ. (ver Fig. 2). Se asumirán condiciones completamente móviles. Es decir que no se presenta una condición estática sin fricción o bajo consideraciones netamente en relación con la tensión de corte crítica o que haga referencia a un balance estático de las fuerzas que intervienen. Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 5

6 Figura 2.- Sección transversal A-A V. En el sentido estricto cuando se está estableciendo la pendiente transversal, la dirección del movimiento de las partículas en el lecho es hacia la margen interna y consecuentemente la dirección de la tensión de corte. Si se asume que la pendiente transversal ha llegado a alcanzar un equilibrio estático, es decir que no hay movimiento neto de las partículas en dirección transversal, y que se produce una variación en las condiciones hidráulicas (caudal) que llevaron a la situación mencionada del equilibrio; entonces, si adicionalmente se supone que el caudal ha disminuido, las partículas del lecho, siguiendo la disminución del caudal, se desplazarán hacia la margen externa y asimismo la dirección de la tensión de corte en el lecho, hasta alcanzar la nueva situación de equilibrio impuesta por esta última condición hidráulica. La situación del fenómeno como ha sido planteada, refleja la situación más cercana a la realidad, ya que se toma en cuenta el efecto de la no-permanencia del flujo líquido, hecho que por supuesto es el que presenta en los canales naturales. Así, para establecer el criterio para evaluar la dinámica de las partículas del lecho frente a las condiciones hidráulicas, en el presente trabajo se asumirán situaciones de aplicación general; es decir, que los desplazamientos de las partículas pueden darse tanto hacia la margen interna como hacia la margen externa y consecuentemente las demás variables que intervienen. Es de observar, que la mayoría de los modelos planteados con anterioridad han considerado situaciones dentro de lo que se denomina "flujo curvo completamente Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 6

7 desarrollado" y se ha planteado la situación de equilibrio en la que las partículas se desplazan hacia la margen interna, siguiendo la estructura "clásica" del establecimiento de la pendiente transversal. 3. PLANTEAMIENTO DEL MODELO. Para iniciar el planteamiento es necesario definir las situaciones en las que se encuentran de manera general las partículas o sedimentos en los lechos fluviales. En ese sentido, y con referencia a la Figura 3 se pueden tomar dos situaciones,: - La primera supone un arreglo de partículas esféricas asentadas sobre un lecho compuesto de similares partículas en geometría y masa. - La segunda está compuesta por partículas de sedimentos naturales asentadas sobre un lecho también de sedimentos naturales. Es de hacer notar en esta última que los sedimentos de manera general tienen forma muy similar a la esférica pero las tres dimensiones que las definen según ejes perpendiculares son diferentes. - En ambos casos las partículas se desplazarán sobre lechos compuestos de la misma naturaleza y no sobre lechos lisos. - Debe tomar en cuenta que los tamaños y distribuciones de las partículas y sedimentos son no-uniformes, en más o menos grado dependiendo del sistema fluvial en particular. Figura 3.- Arreglo y disposición de partículas esféricas y sedimentos naturales en lechos de cauces aluviales FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE LA PARTICULA.- Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 7

8 La idea general, con referencia a las figuras 1 y 2, es establecer la relación existente entre el ángulo que forma el perfil transversal en el punto de consideración, α, y las variables que intervienen en el proceso. Estas variables serán definidas a lo largo del desarrollo del planteamiento, sin embargo, para ubicar al lector el planteamiento general se basa en lo siguiente (Observe que todas las cantidades son vectoriales): - La tensión de corte del flujo en el lecho, sufre un desviación δ de la coordenada s, y de igual manera la velocidad de flujo en la vecindad del lecho Ub. - Las partículas de sedimento siguen una trayectoria que se desvía β de la trayectoria dada por la coordenada s, y consecuentemente da la dirección de la velocidad de las partículas en el lecho Vp. - La fuerza de arrastre Fd que ejerce el flujo sobre la partícula, sufre una desviación γ, de s. - La fuerza de sustentación Fl sobre la partícula tiene una dirección positiva hacia arriba según la coordenada z, es decir perpendicular la plano s-n. - El peso sumergido de las partículas ω, el cual tiene una dirección hacia abajo en la línea que actúa la acción de la gravedad g. - Las Fuerza resistiva Fr que es función del peso sumergido y de la fuerza de sustentación, tendrá la dirección opuesta a la fuerza de arrastre. - En líneas generales lo que se busca es una relación entre todas estas componentes, y sobre todo, una relación que permita llegar a conclusiones sobre la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre las partículas de sedimentos. Es decir una relación entre α, δ, β, y γ. Considere la Figura 4, que es un detalle ampliado de la Figura 2 donde se muestran las fuerzas que actúan sobre una partícula que descansa sobre el lecho. Figura 4.- Detalle de Fuerzas que actúan sobre la partícula Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 8

9 3.2.- EVALUACION DE FUERZAS Y SUS VARIABLES.- Procedamos pues a evaluar las diversas variables que intervienen en el movimiento de la partícula en consideración. En primer lugar y debido a la presencia de las corrientes secundarias, la orientación de la tensión promedio de corte en el lecho sufre una desviación de la trayectoria media o dirección s que tiende a mover las partículas. Sea pues δ la desviación de la tensión media de corte en el lecho de la trayectoria media del flujo dado por s. ( ver Fig. 1 ). Así pues el vector tensión de corte en el lecho con referencia a la Figura 5-A, está dado por: τbs = Componente de τ en la dir. s. Asimismo, el vector τ se toma como paralelo a la dirección del flujo evaluado justo encima del lecho, de esa manera la velocidad del flujo cercana al lecho está dada por: = bs es + tan en (2) Ub=Ubs es +Ubn en (3) Ub = Vector velocidad de flujo cerca del lecho. Ubs, Ubn = Componentes del vector velocidad de flujo cerca del lecho en dir. s y n. Hay que tener en cuenta que la componente vertical se ha despreciado, ya que su efecto no es apreciable en las partículas que permanecen en el lecho. Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 9

10 Figura 5.- Componentes de la Tensión de corte y Velocidad de partículas en el lecho. De la consideración mencionada se desprende que: Ubn tan = (4) Ubs 6. Para evaluar el vector asociado a la aceleración de la gravedad, g, considere la figura Figura 6.- Componentes del vector g (fuerza de gravedad) Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 10

11 Se tiene que el plano z-n es perpendicular al plano s-n. Así pues, con relación a la Fig. 5-B, la proyección del vector g sobre el plano z-n es L 1, y sobre la paralela a la dir. s es L 2. De manera que después de efectuar operaciones se tiene: g = g g = Aceleración de la gravedad. Sen en - Cos ez+ g Sen e Cos (5) φ = Angulo de la pendiente longitudinal. s De donde haciendo uso de (1) y asumiendo que cos φ = 1, finalmente se tiene; g = g Se llega a resultado similar, si se considera la proyección de la aceleración de la gravedad sobre el plano z-s, y la componente en dirección "s". Tan es + g Tan en - g ez (6) Si la pendiente longitudinal no tuviera efecto sobre el vector gravedad, g, se puede tomar que: g = g En lo que sigue del desarrollo, se utilizará el vector g de la forma dada por (7), para dar mayor claridad en la manera de presentar el análisis. Sin embargo, en la parte final del mismo se incluirá el efecto de considerar el vector g completo. Continuando con el análisis, se asume que la fuerza de resistencia al avance o fuerza de arrastre ("drag" en la literatura Anglo-sajona) que sufre la partícula en consideración, Fd, tiene una desviación pequeña γ de la dirección "s", inicialmente distinta de δ. Observe que generalmente se asume que el arrastre y la tensión de corte tienen la misma dirección. Asimismo, se asume que la dirección de movimiento de la partícula del lecho, o el vector velocidad en el lecho de la partícula, sufre otra pequeña desviación β de la dirección "s", que además no coincide con la dirección de la tensión de corte como lo indican otros autores. Para detalles ver las Figuras 1 y 4. Sea la resistencia al avance o arrastre de la partícula, denotada por Fd. Con relación a la Fig. 4, se tiene que el vector fuerza de arrastre está dado por: Tan en - ez (7) = F Fds = Fuerza de resistencia media en dir. "s". F D Ds es + Tan en (8) Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 11

12 De manera similar, el vector velocidad cercana al lecho de la partícula está dada por: (Ver fig. 5-B): Vp =Vps Vps,Vpn = Componentes del vector velocidad en el lecho (Vp) en direcciones s y n, respectivamente. La fuerza media de sustentación o empuje vertical ("lift" en la literatura Anglosajona), F1, se asume perpendicular a la superficie del lecho y que actúa hacia arriba en dirección positiva de "z". Así se tiene: es +Vpn en=vps es + Tan en (9) Tan =Vpn / Vps (10) Generalmente la magnitud de F1 está dada por la relación establecida por Chepil (1959), de la forma: r = Un coeficiente. Fd = Módulo de la fuerza de arrastre. F1= F1 e (11) z F1 = r Fd (12) Esta última relación puede expresarse, de forma alternativa, por: F1 r Fds ez (13) Las fuerzas resistivas debidas a la colisión de las partículas del lecho con otras partículas deben considerarse, siguiendo lo argumentado en los puntos IV y V de la sec. 1, y puede expresarse en términos de la fuerza de resistencia de Coulomb, que es la que se opone al desplazamiento de las partículas. Esta fuerza tiene, por lo tanto, sentido opuesto al del movimiento de las partículas dado por β, y analíticamente está dada por la siguiente expresión: Fr = - Fz (14) Fr μ = Fuerza de resistencia (Coulomb). = Coeficiente de fricción dinámico de Coulomb. Generalmente se determina experimentalmente. Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 12

13 Fz θ = Resultante de fuerzas sobre la partícula en dirección de "z" hacia abajo y es función del vector Fl y del vector peso sumergido W que se definirá a continuación. (Es decir: Fr = f(f1, W)). = Vector unitario que dá la dirección del movimiento de las partículas en el lecho. El peso sumergido de la partícula en el fluido, o dicho de otras palabras la diferencia entre la masa de la partícula y la masa de fluido que ocuparía el mismo volumen, está dada por: 3 4 s Ds = - 1 g (15)A 3 2 ω ρ ρ s g Ds = Peso sumergido de la partícula. = Densidad de fluido. = Densidad de la partícula. = Aceleración de la gravedad. = Diámetro de la partícula. Si se considera que: = s - 1 (16) Se tiene que la ecuación (15)A puede expresarse como: 3 4 Ds = g (15)B 3 2 Así, el vector peso sumergido estaría dado por: (con referencia a la Fig. 4): Que, tomando en cuenta la rel. (1) y que para α pequeño, Cos α = 1, se tiene que: Si se toma en cuenta el efecto de la pendiente longitudinal, se tiene que (18)A, puede re-escribirse como: = Sen en - Cos ez (17) = Tan en - ez (18)A = z Tan es + Tan en - e (18)B Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 13

14 Para evaluar Fz, la resultante de fuerzas sobre la partícula en dirección "z", se introducen las relaciones (13) y (18)A en (14), y se tiene que: - r Fds Hacia abajo F z = (19) por: De la relación (9), se tiene que la dirección de la trayectoria de las partículas está dada = es + tan en (20) Introduciendo (19) y (20) en (14), se tiene que: - r Fds + F r = - es tan en (21) Finalmente, es necesario tomar en cuenta, para completar el planteamiento, el efecto de la fuerza centrífuga que se ejerce sobre la partícula en el punto en consideración. Sea pues, R p el radio de curvatura de la trayectoria que describe la partícula en su movimiento (desviada un ángulo β de la dirección "s"). La partícula se mueve con velocidad V p, por lo que el módulo de la aceleración centrípeta es Vp 2 / Rp. Así, con relación a la Figura 7 adjunta, se tiene que justo encima de la coordenada n, en el plano definido por n y z la proyección de la aceleración centrífuga (dirigida hacia la derecha de la partícula), es: Vp Ac n - z = Cos (22) Rp Y en la dirección s es: (asumiendo β pequeño) Acs 2 Vp Sen e s (23) De manera que las relaciones (22) y (23) dan la proyección del vector aceleración centrífuga según las direcciones de s y del plano n-z. Así, la aceleración en el plano n-z puede también proyectarse sobre las componentes n y z para dar: Acn= - Acz = - Ac n - z Cos en (22)A Ac n - z Sen ez (22)B Con lo que el vector aceleración centrífuga estaría dado por: Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 14

15 Ac= Vp Rp 2 Sen es - Cos Cos en - Cos Sen ez (23) Figura 7.- Efecto de la aceleración centrífuga. La expresión (23), puede reducirse a la siguiente aproximación haciendo uso de la rel. (1) y de que α y β son pequeños: Ac= Vp Rp 2 Tan es - en - Tan ez (24) La fuerza centrífuga estaría dada por el producto de la expresión (24) y el peso sumergido de la partícula dado por (15)B, es decir que el vector fuerza centrífuga es: Fc = W Ac (25) Es de observar que las componentes de esta fuerza en direcciones "s" y "z" son pequeñas en relación con la componente en dirección "n", ya que Tan β y Tan α son pequeños. Tome en cuenta el lector que para un arco cóncavo el signo de las proyecciones cambia. Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 15

16 4. ECUACION VECTORIAL DEL MOVIMIENTO DE PARTICULAS. Con lo expresado hasta ahora se está en condiciones de plantear la relación que establece el balance de fuerzas que actúan sobre la partícula, o dicho más apropiadamente, la ecuación vectorial del movimiento de partículas. Así, con referencia a la Figura 4, se tiene que: Sen + Sen + Fr + Fc = 0 Fd + es en (26) forma: Tomando en cuenta que α y φ son pequeños, esta ecuación puede re-escribirse en la Fd + Tan es + Tan en + Fr + Fc = 0 (27) Fd Fr ω Tan φ e s ω Tan α e n Fc = Vector fuerza de arrastre. = Vector Fuerza resistiva. = Fuerza gravitacional hacia aguas abajo. = Fuerza gravitacional transversal. = Vector fuerza centrífuga. Así, de las ecuaciones (8) y (21) en (27), se desprende que en la dirección s la ecuación del movimiento es: Fds + Tan = - r Fds (28) De las ecuaciones (8), (21) y de (24) con sus consideraciones dimensionales, se tiene que la ecuación del movimiento en la dirección n es: Las ecuaciones (28) y (29) representan pues las ecuaciones dinámicas del movimiento de las partículas en el lecho de un cauce según las direcciones s y n, respectivamente. Vp Fds Tan + Tan = - r FdsTan - (29) Rp 2 Es posible, antes de proceder a relacionar las variables que intervienen en el proceso, considerar algunos términos de las ecuaciones (28) y (29). - El término ω Tan φ, se considera muy pequeño, ya que generalmente la pendiente longitudinal es pequeña, por lo que se despreciará para la primera parte del desarrollo. Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 16

17 Sin embargo, y como se mencionó anteriormente este se incluye en un análisis posterior donde se considera el efecto de la pendiente longitudinal. - El término Vp 2 / Rp que da la aceleración centrífuga es también bastante pequeño: primero porque el radio de curvatura de la partícula que es del orden de radio de curvatura de la trayectoria, es generalmente muy grande comparado con Vp, y segundo; porque Vp en sí es muy pequeña comparada con Rp. Por lo que, atendiendo a las características morfológicas de los cauces aluviales en consideración, la aceleración centrífuga puede despreciarse de este análisis. Este término es mucho más pequeño que el de la pendiente longitudinal y de los otros términos que intervienen. Así finalmente de las relaciones (28) y (29) se tiene que: En dirección s: Fds = - r Fds (30) En dirección n: - r FdsTan Fds Tan + Tan = (31) 5. DESARROLLO DE VARIABLES.- Como se estableció al inicio de la sección 2, la idea básica es la de relacionar el ángulo que forma el perfil transversal α con las diversas variables que intervienen en el proceso. Sin embargo, para precisar más el objetivo, observe el lector que lo que se persigue es hallar la relación entre todas las variables, con excepto de aquellas que por medio del análisis se determine su inefectividad. Para ello es necesario definir ciertas variables en el sentido exacto con que se adoptarán e introducirán en el presente estudio, aduciendo a este hecho, el incluir e introducir sobre todo las vertientes más recientes de las investigaciones que en cada caso se hayan realizado. Es así que, a lo largo de este desarrollo se harán paréntesis con el fin de presentarlas y dejarlas claramente establecidas. Como primera tarea, y por inspección de las ecuaciones (30) y (31) se observa que se precisa una definición para la fuerza de arrastre (drag), sin más pues, se procede a ello a continuación FUERZA DE ARRASTRE. Esta se define como el resultado de: "el esfuerzo tangencial que ejerce el fluido sobre la partícula (arrastre en la partícula) o, la diferencia de presiones en la partícula (arrastre de forma), o una combinación de ambas". Esta pues se genera al haber movimiento de fluido relativo a la partícula y su componente es paralelo al de la velocidad de aproximación. La expresión generalmente aceptada está dada por: Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 17

18 Fd = Cd Vap 2 2 Ap (32) Vap = Velocidad relativa de aproximación. Ap = Proyección del área de la partícula en un plano normal al del flujo. Cd = Coeficiente de arrastre, que es función del número de Reynolds de la partícula (Rw) y de un factor de forma (SF). Para el contexto en el cuál se pretende utilizar esta definición, la más razonable parece la expresión debida a Raudkivi (3), en la cual explícitamente se identifica la velocidad relativa. Así esta expresión, similar a la utilizada por Kikkawa etal.(4) y por Parker (5) es: D Fd = 2 2 s 2 Cd Ub -Vp Ub -Vp (33) Ds Ub Vp = Diámetro de la partícula. = Velocidad de flujo cercana al lecho. = Velocidad de la partícula en el lecho. Como esta expresión será de utilidad en el desarrollo, es necesario ponerla en una forma más asequible para la manipulación matemática. Así pues, sea: Fd = K1 Ub -Vp (34) D K1= 2 2 s 2 Cd Ub -Vp (34)A Por la importancia que tendrá dentro del desarrollo de este trabajo el coeficiente de arrastre, es menester precisar un poco más en el criterio adoptado para su aplicación práctica Coeficiente de arrastre Su evaluación solo es posible a través de consideraciones en el estado permanente, en el cual no existen aceleraciones inerciales por lo que éste debe evaluarse para todos y cada uno de los caudales que se consideren en un determinado problema no-estacionario. Para su evaluación práctica, se considera la similitud existente entre el fenómeno en cuestión y la de una partícula en caída libre en un fluido en reposo. Así pues, como bien se sabe, una partícula en caída libre en un fluido en reposo, donde además se considera que el recipiente es lo bastante grande como para que su geometría no interfiera con el experimento y viceversa, la partícula alcanzará una velocidad terminal o velocidad de caída en el momento en que la fuerza de arrastre iguale a la componente del peso sumergido de la partícula. Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 18

19 Esencialmente en esta experiencia la velocidad relativa de la partícula sería la velocidad terminal (w), ya que la velocidad del fluido es a efectos prácticos nula por estar éste último en reposo. De manera que, en los resultados experimentales, el número de Reynolds de la partícula basado en w, se correlaciona con el coeficiente de arrastre (Cd) para dar como resultado la relación entre éstos, que generalmente se presenta en la literatura de forma gráfica. Análogamente, cuando una partícula está en reposo en el lecho y actúa sobre ella flujo cortante, la velocidad relativa (de la partícula) sería la velocidad de aproximación del flujo mencionada. De manera que se puede obtener el Número de Reynolds de la partícula relacionado con la velocidad del flujo cercana al lecho (Ub), y de la gráfica existente o de alguna relación analítica obtener el coeficiente de arrastre (Cd) buscado. Esta idea está relacionada con los estudios y conclusiones de Coleman (1967). Asimismo, las apreciaciones de Ikeda (6) en las que indica que la velocidad del flujo a nivel de partícula está de acuerdo con la de caída libre brindan evidencia adicional al procedimiento propuesto. La diferencia con la propuesta de Ikeda es que éste relaciona la velocidad de la partícula con la velocidad de corte y, a partir de esta velocidad de corte define un número de Reynolds (Rw ) como U D/υ, argumentando que el coeficiente de arrastre es función única de este último. Quizá la razón detrás de este procedimiento estriba en que éste se apoya más en el sentido físico del fenómeno, ya que Rw es la relación entre el tamaño de una partícula (D) y la altura de la subcapa laminar δ, ya que δ es proporcional a υ/u. A efectos prácticos, y una vez que la velocidad de flujo cercana al lecho, o la velocidad a nivel de partícula es conocida, se puede utilizar la siguiente aproximación basada en correlaciones de mejor ajuste y aplicable a esferoides, para determinar el coeficiente de arrastre y dada por C.M. White (7): 24 Cd = + Rew ,4 Rew ; 0 3 Rew 2 10 (35) Rew = DUb/υ. Número de Reynolds de la partícula. D = Diámetro medio de la partícula FUERZA DE SUSTENTACION Y COEFICIENTE DE SUSTENTACION. Tanto el arrastre como la sustentación son los componentes de las Fuerzas hidrodinámicas netas y es completamente "irrealístico" el ignorar cualquiera de éstas, como en muchos casos se ha hecho en el pasado. Es por ello importante dedicar unas cuantas líneas a la presentación de la "sustentación" de manera que el lector puede ubicarla en su justa dimensión, ya que hoy, por un lado, es bastante aceptada la existencia del "arrastre", pero en muchos casos la importancia de la "sustentación" no ha sido apreciada completamente. Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 19

20 Antes de sacar conclusiones, es útil dentro del marco de este estudio el analizar el desarrollo de las investigaciones en este campo. Uno de los primeros en estudiar la sustentación fue Chepil (1958) mediante la determinación de las fuerzas de sustentación sobre elementos de rugosidad en superficies en un túnel de viento realizando mediciones directas e indirectas. Dentro del rango de sus estudios, se encontró que el coeficiente de sustentación era de 0.85 del valor de la fuerza de arrastre para cualquier tamaño y velocidad del flujo. Posteriormente Coleman (1967), presentó un estudio preliminar de la fuerza de arrastre y sustentación que actúan sobre una esfera que descansa sobre un lecho hipotético, examinando datos para esferas plásticas y de acero. Así demostró, aunque sin explicación, que la sustentación es negativa para Rw 100, y que ésta se convierte en positiva a partir del límite dado. Christensen (1972), afirma que la relación entre la fuerza de sustentación y arrastre, representadas por r, varía con el número de Reynolds de la partícula (Rw ), el arreglo de las partículas, etc. y demuestra que "r" varía de -0.4 a 0.9. Con lo expresado se está en posición para destacar dos aspectos fundamentales relacionados con la sustentación, a saber: - La sustentación depende fuertemente del número de Reynolds de la partícula dado por: U = velocidad de corte. D = Diámetro de la partícula. υ = viscosidad cinemática del fluido. D w =U (36)B R - Dependiendo del número de Reynolds de la partícula definidos líneas arriba, hay regiones donde éste es negativo y otras donde es positivo. Por analogía con la relación (32) y (33), la sustentación puede definirse analíticamente por la siguiente expresión: F1= C1 M2 Ds C1 = Coeficiente de sustentación. M1 = Coeficiente igual a π/ Ub -Vp 2 (36) ó, de manera alternativa: Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 20

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