CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL

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1 CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPÍTULO Concepto de áre Sums de Riemnn Integrl definid Propieddes de l integrl definid Integrl indefinid Propieddes de l integrl indefinid Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl Integrción por cmbio de vrible Integrción por prtes Integrción de funciones rcionles Integrción de funciones trigonométrics Integrles irrcionles Are de l región entre dos curvs Volumen de un sólido de revolución Longitud de rco de un curv Are de un superficie de revolución Integrl impropi Regl del punto medio Regl del trpecio Regl de Simpson 2. CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPÍTULO 2.. El problem del áre En est sección prtimos de l bse que el concepto de áre es bien conocido. Esto no signific que el lumno deb tener un ide precis y forml de dicho concepto, si no más bien que todos poseemos un ide intuitiv que no necesit clrción. El tipo de región más simple con el que nos podemos encontrr es un rectángulo, cuy áre se define como el producto de su bse por su ltur. A prtir de est definición podemos obtener ls fórmuls pr el áre de regiones más complicds: triángulos, prlelogrmos, polígonos regulres, etc. El grn problem se plnte cundo se intent clculr el áre de regiones más generles que ls poligonles. Los primeros mtemáticos que intentron resolver el problem de un form seri fueron los griegos, utilizndo el método de ehución. Este método, tribuido Arquímedes, consiste en encjr l región entre dos polígonos, uno inscrito y otro circunscrito. Si l diferenci entre ls áres de los dos polígonos es pequeñ, entonces podemos proimr el áre de l región por culquier número comprendido entre el áre del polígono inscrito y el áre del polígono circunscrito. El método que empleremos quí es precido. Se trt de proimr l región por un unión de rectángulos de tl

2 62 MATEMÁTICAS form que el áre de l región se proime por l sum de ls áres de los rectángulos L integrl definid El sumtorio Como hemos indicdo nteriormente, el áre de un región se v obtener como un sum (posiblemente infinit) de áres de rectángulos. Pr fcilitr l escritur y comprensión de tl proceso, vmos introducir un notción. L sum de n términos, 2,..., n se denot por i = n, i= donde i se llm índice de l sum, i el i-ésimo término de l sum y los límites inferior y superior de l sum son y n, respectivmente. Estos límites deben ser constntes con respecto l índice de l sum y l únic restricción es que el límite superior debe ser culquier entero superior (o igul) l límite inferior. El sumtorio posee ls siguientes propieddes: () (2) k i = k i, donde k es un constnte que no depende del índice de l sum. i= i= [ i ± b i ]= i ± i= i= i= b i Por ejemplo, lguns fórmuls de sum importntes son ls siguientes: () (2) (3) (4) c = cn. i= i = i= i 2 = i= i= n(n +). 2 n(n + )(2n +). 6 i 3 = n2 (n +) Sums de Riemnn Consideremos un función f definid en el intervlo cerrdo [, b]. Un prtición P de dicho intervlo es un conjunto de números { 0,, 2,..., n } tles que = 0 < < 2 < < n < n = b.

3 CÁLCULO INTEGRAL 63 Si i es l nchur del i-ésimo subintervlo [ i, i ], es decir, i = i i, entonces se define l norm de P, y se denot por P, como l longitud del subintervlo más grnde. En otrs plbrs, P = m i n { i} =m{, 2,..., n }. Si c i es culquier punto del subintervlo i-ésimo, entonces l sum f(c i ) i, i c i i, i= se llm sum de Riemnn de l función f socid l prtición P. Entre todos los posibles vlores de c i, podemos destcr los siguientes: () c i = m i pr todo i, donde f(m i ) es el vlor mínimo de f en el i-ésimo subintervlo. Entonces l sum de Riemnn s(f,p) = f(m i ) i i= se denomin sum inferior de f socid P (ver Figur 3.). y y = f() 0 b ¹ Figur 3.: Sum inferior de Riemnn. (2) c i = M i pr todo i, donde f(m i ) es el vlor máimo de f en el i-ésimo subintervlo. Entonces l sum de Riemnn S(f,P) = f(m i ) i i= se denomin sum superior de f socid P (ver Figur 3.2). Es fácil comprobr que s(f,p) f(c i ) i S(f,P) pr culquier prtición P del intervlo [, b]. i= Un función f definid en [, b] se dice integrble en [, b] si eiste el límite de ls sums de Riemnn de f (cundo l norm de P tiende 0) y denotmos este límite medinte lim P 0 i= f(c i ) i = b f()d.

4 64 MATEMÁTICAS y y = f() 0 b ¹ Figur 3.2: Sum superior de Riemnn. Dicho vlor se denomin integrl definid de f entre y b. y b son los límites inferior y superior de integrción, respectivmente. No tods ls funciones son integrbles. Sin embrgo, el siguiente resultdo nos grntiz que l fmili de funciones integrbles en un intervlo es muy grnde: Tod función continu en un intervlo cerrdo [, b] es integrble en dicho intervlo. L relción entre el áre de un región y el concepto de integrl definid qued reflejd en el siguiente resultdo: Si f es continu y no negtiv en un intervlo cerrdo [, b], entonces el áre de l región limitd por f, el eje ylslínes verticles = y = b viene dd por áre = b f()d Propieddes de l integrl definid L integrl definid de un función f stisfce ls siguientes propieddes: () (2) (3) (4) (5) f()d =0. f()d = b b b b cd = c(b ). [f() ± g()]d = f()d. b f()d ± b b b cf()d = c f()d. g()d.

5 CÁLCULO INTEGRAL 65 (6) b f()d = c f()d + b c f()d. (7) Si f es no negtiv en el intervlo cerrdo [, b] entonces b f()d 0. (8) Si f y g son integrbles en [, b] stisfciendo que f() g() pr todo vlor de en [, b], entonces b f()d b (9) Si m f() M pr todo vlor de en [, b] entonces g()d. (0) b f()d b f() d. m(b ) b f()d M(b ) L integrl indefinid El problem de l integrción puede interpretrse como el problem dul de l derivción, y tl relción qued clrmente de mnifiesto en el Teorem Fundmentl del Cálculo. Antes de llegr este teorem importntísimo, necesitmos introducir el concepto de primitiv (o ntiderivd). Sen f y F dos funciones. Se dice que F es un primitiv (o ntiderivd) delfunción f si F () =f() pr todo vlor posible de. El siguiente resultdo es de un importnci crucil, y que nos grntiz que culquier primitiv de un función puede ser obtenid medinte l dición de un constnte un primitiv conocid. Est será l bse del segundo teorem del cálculo integrl o Regl de Brrow. Si F es un primitiv de f en un intervlo I, entonces G es tmbién un primitiv de F en el intervlo I si y sólo si G() =F ()+C pr todo vlor de, siendo C un constnte. Como un notción, culquier primitiv de l función f se indicrá por f()d, y se denominrá, genéricmente, integrl indefinid de f. Como consecuenci de lo nterior y de ls propieddes de l derivción de funciones, se tienen ls siguientes propieddes: () (2) 0d = C. kd = k + C.

6 66 MATEMÁTICAS (3) kf() =k f()d. (4) [f() ± g()]d = f()d ± g()d. (5) n d = n+ n + + C Primer Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl Si f es un función continu en [, b], entonces l función F definid por F () = f(t)dt es continu en [, b], diferencible en (, b) y stisfce que F () =f() Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl Si f es un función continu en [, b] entonces b donde F es culquier primitiv de f en el intervlo [, b]. f()d = F (b) F () 2.4. Métodos de integrción Integrles de ls funciones elementles Ls regls del cálculo integrl descrits nteriormente permiten encontrr l integrl indefinid de cierts funciones prtir de l integrl indefinid de otrs funciones más elementles o básics. Pero en último etremo, l integrl indefinid de ests funciones básics debe obtenerse prtir de l definición. Pr fcilitr l búsqued de integrles indefinids, en l Tbl 3. listmos lguns de ls más elementles;l list no es demsido ehustiv y siempre se puede recurrir culquier de los libros recomenddos pr obtener un tbl más complet Integrción por cmbio de vrible El método de integrción por sustitución o cmbio de vrible se poy en el siguiente resultdo teórico.

7 CÁLCULO INTEGRAL 67 kd = k + C n d = n+ n + + C d =ln + C e d = e + C d = ln + C cos d =sen + C sen d = cos + C tn d = ln cos + C cotn d =ln sen + C sec d =ln sec +tn + C cosec d = ln cosec + cotn + C sec 2 d =tn + C cosec 2 d = cotn + C sec tn d =sec + C cosec cotn d = cotn + C d 2 2 = rcsen + C d = rctn + C d 2 = rcsec 2 + C cosh d =senh + C senh d = cosh + C Tbl 3.: Fórmuls básics de integrción.

8 68 MATEMÁTICAS Sen f y g funciones tles que f g es un función continu en un intervlo I. SiF es un primitiv de f en I, entonces f(g())g ()d = F (g()) + C. Como consecuenci de lo nterior, podemos utilizr l siguiente estrtegi: () Escoger un sustitución u = g() decud. (2) Hllr du = g ()d. (3) Reescribir l integrl en términos de l nuev vrible u. (4) Clculr l integrl resultnte en términos de u. (5) Cmbir u por g() pr obtener l primitiv en términos de Integrción por prtes Est técnic es especilmente útil cundo l función integrr es un producto de funciones lgebrics o trscendentes, de tl suerte que un fctor se deriv fácilmente y otro fctor se integr sin much dificultd. El método se sustent en el siguiente resultdo teórico: Si u y v son funciones de y tienen derivds continus, entonces udv = uv vdu. L estrtegi que debe utilizrse pr utilizr este método es l siguiente: () Trtr de que dv se l prte más complicd del integrndo que se just un fórmul de integrción básic. Entonces u será el resto del integrndo. (2) Alterntivmente, trtr de que u se l prte del integrndo cuy derivd es un función más simple que u. Entonces dv será el fctor restnte del integrndo. Alguns de ls integrles por prtes más comunes se ofrecen continución: () n e d, n sen d, n cos d Considerr u = n y dv = e d, sen d, cos d, respectivmente. (2) n ln d, n rcsen d, n rctn d Considerr u =ln, rcsen, rctn y dv = n d, respectivmente. (3) e cos bd, e sen bd Tomr u =cosb, sen b y dv = e d, respectivmente.

9 CÁLCULO INTEGRAL Integrción de funciones rcionles L integrción de funciones rcionles se poy en l técnic de l descomposición en frcciones simples, cuy integrción es más sencill. Se l función rcionl R(), donde R() = P () Q() = b 0 + b + + b n n m m. R es un función rcionl propi sielgrdo deldenomindor es myorque elgrdo delnumerdor, es decirm > n. En cso contrrio, l función R se dice que es impropi. Podemos restringirnos, sin pérdid de generlidd, l cso de funciones rcionles propis, y que de no ser sí siempre podemos dividir el polinomio P entre Q pr obtener R() =C()+ S() Q(), donde l función rcionl S()/Q() y es propi. Pr descomponer un función rcionl propi en frcciones simples debemos seguir los siguientes psos: () Fctorizr el denomindor. Hy que descomponer completmente el denomindor Q() en fctores de l form (p + q) k y ( 2 + b + c) k, donde 2 + b + c es irreducible (tiene ríces complejs). (2) Fctores lineles. Por cd fctor de l form (p+q) k, l descomposición en fctores simples debe incluir l siguiente sum de k frcciones simples: A (p + q) + A 2 (p + q) A k (p + q) k. (3) Fctores cudráticos. Por cd fctor de l form ( 2 + b + c) k, l descomposición en fctores simples debe incluir l siguiente sum de k frcciones: B + C ( 2 + b + c) + B 2 + C 2 ( 2 + b + c) B k + C k ( 2 + b + c) k. Cundo el denomindor tiene fctores de multiplicidd myor que uno, entonces l obtención de l integrl indefinid puede ser muy lborios. En estos csos es recomendble utilizr el siguiente método, que tmbién es válido en culquier otr situción Método de Hermite-Ostrogrdski Consideremos l función rcionl R = P/Q, entonces P () X() d = Q() Q () + Y () Q 2 () d, donde Q () es el máimo común divisor de Q() ydesuderivdq (), Q 2 () es el cociente Q()/Q (), y los polinomios X() e Y () son polinomios con coeficientes indetermindos cuyos grdos son inferiores en un unidd los grdos de Q () y Q 2 (), respectivmente. Los polinomios X e Y se clculn derivndo en l iguldd nterior, de form que se tiene P () Q() = X ()Q () Q ()X() Q () 2 + Y () Q 2 ().

10 70 MATEMÁTICAS Integrción de funciones trigonométrics Integrles de senos y cosenos En este prtdo vmos resolver ls integrles de l form sen m cos n d, siendo m o n un entero positivo. Se deben seguir ls siguientes regls: () Si n =2k +es impr, n>, entonces se utilizn ls igulddes siguientes: cos n = cos n cos cos 2 = sen 2 y l integrl qued sen m cos n d = sen m ( sen 2 ) k cos d = t m ( t 2 ) k dt donde l últim iguldd se obtiene trs relizr el cmbio de vrible t =sen. (2) Si m =2k +es impr, m>, entonces se utilizn ls igulddes siguientes: sen m = sen m sen sen 2 = cos 2 y l integrl qued sen m cos n d = ( cos 2 ) k cos n sen d = t n ( t 2 ) k dt donde l últim iguldd se obtiene trs relizr el cmbio de vrible t =cos. (3) Si m y n son pres y no negtivos entonces se utilizn ls siguientes fórmuls de reducción: sen cos = sen 2 2 sen 2 = ( cos 2) 2 cos 2 = ( + cos 2) Integrles de secntes y tngentes En este prtdo vmos resolver ls integrles de l form sec m tn n d, siendo m o n un entero positivo. Se deben seguir ls siguientes regls:

11 CÁLCULO INTEGRAL 7 () Si m =2k es positivo y pr, entonces utilizmos l iguldd sec 2 =+tn 2 y l integrl qued: sec m tn n d = (sec 2 ) k tn n sec 2 d = ( + tn 2 ) k tn n sec 2 d = ( + u 2 ) k u n du donde l ultim iguldd se obtiene medinte el cmbio de vrible u =tn. (2) Si n =2k +es positivo e impr, entonces utilizmos l iguldd tn 2 =sec 2 y l integrl qued: sec m tn n d = = = sec m (tn 2 ) k sec tn d sec m (sec 2 ) k sec tn d u m (u 2 ) k du donde l ultim iguldd se obtiene medinte el cmbio de vrible u =sec. (3) Si m y n son impres, se trnsform un fctor tn 2 en sec 2 y se plicn los csos nteriores. Si es necesrio, se vuelve plicr est trnsformción. (4) Si n =0y m es impr y positivo, entonces se utiliz integrción por prtes: u = sec m 2 dv = sec 2 d (5) Si n =0y m es pr y positivo, se utiliz el cmbio de vrible t =tn y l integrl qued sec m d = (sec 2 ) m 2 2 sec 2 = ( + tn 2 ) m 2 2 sec 2 d = ( + t 2 ) m 2 2 dt (6) Si no se puede plicr ningun de ls regls nteriores, debemos intentr convertir l integrl senos y cosenos Cmbios de vrible trigonométricos Ls sustituciones trigonométrics se emplen en integrles donde prcen los siguientes rdicles: 2 2, 2 + 2, 2 2. Los cmbios que deben hcerse son los siguientes: () Pr integrles que contienen 2 2, hcer = sen t. Entonces 2 2 = cos t. (2) Pr integrles que contienen 2 + 2, hcer = tn t. Entonces = sec t. (3) Pr integrles que contienen 2 2, hcer = sec t. Entonces 2 2 = ± tn t. El signo + o depende de si >o <, respectivmente.

12 72 MATEMÁTICAS Funciones rcionles de senos y cosenos Pr ls integrles de funciones rcionles en senos y cosenos eisten vrios cmbios de vrible especiles. Se trt de clculr l integrl R(sen, cos )d, donde R es un función rcionl. Los cmbios propidos son los siguientes: () Si R es impr en sen, es decir, R( sen, cos ) = R(sen, cos ), entonces debemos hcer t =cos. (2) Si R es impr en cos, es decir, R(sen, cos ) = R(sen, cos ), entonces debemos hcer t =sen. (3) Si R( sen, cos ) =R(sen, cos ), entonces debemos hcer t =tn. (4) Si no se puede plicr ninguno de los csos nteriores, entonces hcemos el cmbio universl t = tn(/2), de modo que 2t sen = +t 2, cos = t2 +t 2, d = 2dt +t Integrles irrcionles No siempre es posible epresr l integrl de un función irrcionl medinte funciones elementles. En est sección veremos lgunos tipos de funciones irrcionles que sí permiten epresr su integrl indefinid por medio de funciones elementles Integrles del tipo R(, p /q,..., p k/q k )d Se efectú l sustitución = t m, siendo m el mínimo común múltiplo de {q,q 2,...,q k } Integrles del tipo R(, ( ) p /q + b ( ) pk /q + b k,..., )d c + d c + d Se efectú l sustitución + b c + d = tm, siendo m el mínimo común múltiplo de {q,q 2,...,q k }.

13 CÁLCULO INTEGRAL Integrles del tipo R(, 2 + b + c)d Se efectún ls siguientes sustituciones: () Si >0 entonces hcemos 2 + b + c = ± + t, con lo que = t2 c b 2 t. (2) Si 2 + b + c = ( α)( β), siendo α y β ls ríces reles, entonces hcemos 2 + b + c =( α)t, de modo que = β αt2 t Integrles del tipo m ( + b n ) p d Ests integrles se conocen con el nombre de integrles binomis, y los eponentes m, n y p deben ser números rcionles. En primer lugr se reliz el cmbio de vrible t = n y l integrl se trnsform en l siguiente m ( + b n ) p d = t q ( + bt) p dt, n donde q = m + n. L integrl nterior se puede clculr eplícitmente en los siguientes csos: () Si p es entero entonces se desrroll el binomio ( + bt) p o ( + bt) p,según se p positivo o negtivo, y se obtiene un integrl irrcionl del tipo R(, p /q,..., p k/q k ). (2) Si p no es entero pero q sí lo es, entonces l integrl se trnsform en un irrcionl del tipo R(t, (+bt) r/s ). (3) Si( p no es entero pero p + q sí, entonces l integrl se trnsform en un integrl irrcionl del tipo ( ) ) r/s + bt R t,. t 2.5. Aplicciones del cálculo integrl Are de l región entre dos curvs Y hemos visto que el áre que hy bjo un curv se puede clculr utilizndo l integrl definid. Con muy escss modificciones podemos clculr el áre que hy entre dos curvs. Consideremos dos funciones f y g

14 74 MATEMÁTICAS definids en un intervlo [, b] tles que f() g() pr todo vlor de [, b]. Entonces el áre de l región limitd por ls gráfics de f y g ylslínes rects = y = b viene dd por A = b [f() g()]d. Figur 3.3: Are de l región comprendid entre dos gráfics. En generl, puede ocurrir que no siempre se verifique f() g() ni lo contrrio. Entonces debemos dividir el intervlo [, b] en subintervlos donde sí ocurr, plicr l fórmul nterior en cd subintervlo y posteriormente sumr los resultdos. En otrs plbrs: El áre de l región limitd por ls gráfics de dos funciones f y g, ylslínes rects = y = b viene dd por b A = f() g() d Cálculo de volúmenes de los sólidos de revolución En est sección vmos clculr el volumen de un sólido tridimensionl que prece frecuentemente en ingenierí y en procesos de producción. Nos estmos refiriendo los sólidos de revolución, los cules se obtienen l hcer girr un región pln lrededor de un rect contenid en el mismo plno y que no cort l región. Ejemplos de sólidos de revolución son el cilindro circulr recto, l esfer y el toro Método de discos Pr clculr el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, debemos utilizr ls siguientes fórmuls: () Si el eje de revolución es horizontl: V = π b [R()] 2 d. En este cso estmos suponiendo que l región pln que gir es l región limitd por l gráfic de R(), el eje,ylslínes rects = y = b. Como eje de revolución se consider el eje.

15 CÁLCULO INTEGRAL 75 Figur 3.4: Método de discos pr el cálculo de volúmenes. (2) Si el eje de revolución es verticl: V = π d c [R(y)] 2 dy. En este cso estmos suponiendo que l región pln que gir es l región limitd por l gráfic de R(y), el eje y,ylslínes rects y = c y y = d. Como eje de revolución se consider el eje y Método de rndels Se utiliz este método cundo se trt de clculr el volumen de un sólido de revolución con un gujero. Este tipo de sólidos precen cundo l región pln que gir y el eje de revolución no están juntos. Supongmos que l región pln es l región determind por ls gráfics de ls funciones R() y r() (con R() r()), y ls línes rects = y = b.sisegirestregión lrededor del eje entonces el volumen del sólido resultnte es V = π b [R() 2 r() 2 ]d. Si l regiónplneslregión determind por ls gráfics de ls funciones R(y) y r(y) (con R(y) r(y)), y ls Figur 3.5: Método de rndels pr el cálculo de volúmenes.

16 76 MATEMÁTICAS línes rects y = c y y = d. y se gir est región lrededor del eje y entonces el volumen del sólido resultnte es V = π d c [R(y) 2 r(y) 2 ]dy Método de cps Consideremos l región pln determind por l gráfic de un función f(), y ls rects =, = b e y = c. El volumen del sólido de revolución obtenido l girr dich región lrededor de un eje verticl = 0 viene ddo por b V =2π p()h()d, donde p() es l distnci de l eje de revolución y h() es l distnci entre c y f(). Usulmente, el eje de revolución es el eje y ylregión está junto l eje, por lo que p() = y h() =f(). Figur 3.6: Método de cps pr el cálculo de volúmenes. Si considermos l región pln determind por l gráfic de un función f(y), y ls rects y = c, y = d y =, el volumen del sólido de revolución obtenido l girr dich región lrededor de un eje horizontl y = y 0 viene ddo por d V =2π p(y)h(y)dy, c donde p(y) es l distnci de y l eje de revolución y h(y) es l distnci entre y f(y). Cundo el eje de revolución es el eje ylregión está junto l eje y, entonces p(y) =y y h(y) =f(y) Cálculo de volúmenes Anlicemos hor un sólido S culquier. Vmos suponer que eiste un rect, que considerremos el eje, y dos plnos prlelos entre sí y perpendiculres l eje, tles que el sólido se encuentr entre mbos plnos (de ecuciones = y = b). Cd plno = 0, 0 b, prlelo los nteriores y perpendiculr l eje interseccion S según un región (denomind sección trnsversl) cuy áre se denot por A( 0 ). Hciendo esto pr cd vlor 0 en el intervlo [, b] podemos construir un función A(), definid en [, b], que mide el áre de ls secciones trnsversles. Entonces el volumen de S viene ddo por V = b A()d.

17 CÁLCULO INTEGRAL 77 Csos prticulres de est fórmul hn sido obtenidos en l sección nterior dedicd los sólidos de revolución Longitudes de curvs Un segmento de curv se dice rectificble si tiene un longitud de rco finit. El problem de determinr l longitud de un curv es muy ntiguo (lguns contribuciones y fueron relizds por los mtemáticos C. Huygens ( ) y J. Gregory ( )) y no por ello es sencillo. Un condición suficiente pr que l gráfic de un función f se rectificble entre los puntos (, f()) y (b, f(b)) es que l derivd f se un función continu en [, b]. Se dice entonces que l función f es continumente derivble o de clse C. El fundmento teórico que nos permite obtener un fórmul pr l longitud de rco es el siguiente. Consideremos dos puntos i y i en el intervlo [, b]. Entonces por el teorem del vlor medio se tiene f( i ) f( i )=f (c i )( i i ), c i ( i, i ). Si proimmos l longitud de rco de l curv por l longitud de un poligonl que se poy en los puntos {( i,f( i ))} entonces l tomr límites se obtiene L b (f) = lim n i= = lim n i= = lim donde i = i i y y i = f( i ) f( i ). = n i= b En consecuenci, obtenemos ls siguientes fórmuls: ( i ) 2 +( y i ) 2 ( ) 2 yi + i i +f (c i ) 2 i +f () 2 d () Si l función y = f() represent un curv suve en el intervlo [, b],llongituddercodef entre y b viene dd por b L b (f) = +f () 2 d. (2) Si l función = g(y) represent un curv suve en el intervlo [c, d], entonces l longitud de rco de g entre c y d es d L d c(g) = +g (y) 2 dy. c Ares de superficies de revolución Si se gir l gráfic de un función continu lrededor de un rect, l superficie resultnte se denomin superficie de revolución. Pr clculr el áre de un superficie de revolución se prte de l fórmul del áre de un tronco de cono circulr recto y se plic los conos obtenidos l rectificr l curv por medio de un poligonl que se poy en los puntos {( i,f( i ))}. El resultdo obtenido es el siguiente.

18 78 MATEMÁTICAS Si y = f() tiene derivd continu en el intervlo [, b], entonces el áre de l superficie de revolución S formd l girr l gráfic de f lrededor de un eje horizontl o verticl es S =2π b r() +f () 2 d, donde r() es l distnci entre l gráfic de f y el eje de revolución correspondiente Integrles impropis L definición de integrl definid que hemos presentdo requiere que el intervlo [, b] de integrción se finito y que l función f integrr se continu. Sin embrgo, eisten funciones que no cumplen estos requisitos (bien porque el intervlo no es finito o bien porque l función f present lgun discontinuidd) y que, sin embrgo, pueden ser integrds, en un sentido que precisremos continución Intervlos infinitos Cundo el intervlo de integrción es infinito, se pueden presentr ls siguientes posibiliddes: y y = f() 0 ¹ Figur 3.7: Integrles impropis de primer clse. () Si f es continu en [, ), entonces (2) Si f es continu en (,b], entonces b (3) Si f es continu en (, ) =R, entonces pr culquier número rel c. f()d = lim b f()d = f()d = c b b lim f()d + f()d. f()d. c f()d.

19 CÁLCULO INTEGRAL 79 Si los límites eisten, l integrl correspondiente se dice que converge o que es convergente; en cso contrrio, diremos que l integrl diverge o que es divergente Integrndos discontinuos En este prtdo nlizmos l integrles impropis que precen cundo eiste lgun discontinuidd infinit en los límites de integrción o en el interior del intervlo. Se pueden presentr ls siguientes posibiliddes: y y = f() 0 c b ¹ Figur 3.8: Integrles impropis de segund clse. () Si f es continu en [, b) y present un discontinuidd infinit en b, entonces b f()d = lim c b c f()d. (2) Si f es continu en (, b] y present un discontinuidd infinit en, entonces b f()d = lim c + b c f()d. (3) Si f es continu en [, b] ecepto en un punto c (, b) donde present un discontinuidd infinit, entonces b f()d = c f()d + b c f()d. Si los límites eisten, l integrl correspondiente se dice que converge o que es convergente; en cso contrrio, diremos que l integrl diverge o que es divergente Integrción numéric Hy ocsiones en ls que es imposible determinr eplícitmente l integrl indefinid de un función, por lo que no podemos clculr el áre que hy bjo l gráfic de l función utilizndo l Regl de Brrow. En estos csos, sólo nos qued recurrir l cálculo numérico de dichs integrles, utilizndo un técnic de proimción. A continución describimos lgunos de los métodos más sencillos.

20 80 MATEMÁTICAS Regl de ls sums inferiores y superiores Se f un función continu en [, b]. L regl de ls sums inferiores pr proimr b f()d viene dd por b f()d b n i= f(m i )= b n [f(m )+f(m 2 )+ + f(m n )], donde f(m i ) es el vlor mínimo de f en el i-ésimo subintervlo [ i, i ]. Análogmente, l regl de ls sums superiores pr proimr b f()d viene dd por b f()d b n i= f(m i )= b n [f(m )+f(m 2 )+ + f(m n )], donde f(m i ) es el vlor máimo de f en el i-ésimo subintervlo [ i, i ] Regl de los etremos izquierdos y derechos Se f un función continu en [, b]. L regl de los etremos izquierdos pr proimr b f()d viene dd por b f()d b f( i )= b n n [f( 0)+f( )+ + f( n )]. i= Análogmente, l regl de los etremos derechos pr proimr b f()d viene dd por b f()d b n i= f( i )= b n [f( )+f( 2 )+ + f( n )] Regl del punto medio Se f un función continu en [, b]. L regl del punto medio pr proimr b f()d viene dd por b f()d b n i= f( i )= b n [f( )+f( 2 )+ + f( n )], donde i es el punto medio del i-ésimo subintervlo [ i, i ], es decir, i = 2 ( i + i ) Regl del trpecio Se f un función continu en [, b]. L regl del trpecio pr proimr b f()d viene dd por b f()d b n i= f( i )+f( i ) 2 = b 2n [f()+2f( )+ +2f( n )+f(b)].

21 CÁLCULO INTEGRAL 8 y y = f() 0 b ¹ Figur 3.9: Regl del punto medio pr l integrción numéric. y y = f() 0 b ¹ Figur 3.0: Regl del trpecio pr l integrción numéric Regl de Simpson L regl de los trpecios se obtiene de proimr l curv por un poligonl, con lo que l región bjo l curv se proim por un unión de trpecios. En consecuenci, el áre de dich región se proim por l sum de ls áres de los trpecios. Otr posibilidd puede ser grupr los puntos de l prtición de tres en tres y proimr l función por segmentos prbólicos (en lugr de rectilíneos). Entonces l integrl de l función se puede proimr por l integrl de los segmentos prbólicos. Se f un función continu en [, b]. LregldeSimpson pr proimr b f()d viene dd por b f()d b 3n [f()+4f( )+2f( 2 )+4f( 3 )+ +2f( n 2 )+4f( n )+f(b)], siendo n un número pr.

22 82 MATEMÁTICAS y y = f() p() 0 = 0 b = 2 ¹ Figur 3.: Regl de Simpson pr l integrción numéric Estimción de errores Cundo se trbj con proimciones es importnte conocer con qué precisión estmos clculndo el vlor de l integrl. Además, es posible que lgún método se sensiblemente mejor que los demás, si bien puede que se bjo cierts hipótesis. A continución enuncimos los errores que se cometen en ls regls de proimción más usules. () Si f tiene derivd segund continu en [, b], entonces el error E M cometido l proimr b f()d por l regl del punto medio es M(b )3 E M 24n 2, siendo M un cot superior pr f, es decir, f () M pr todo vlor de. (2) Si f tiene derivd segund continu en [, b], entonces el error E T cometido l proimr b f()d por l regl del trpecio es M(b )3 E T 2n 2, siendo M un cot superior pr f, es decir, f () M pr todo vlor de. (3) Si f tiene derivd curt continu en [, b], entonces el error E S cometido l proimr b f()d por l regldesimpsones M(b )5 E S 80n 4, siendo M un cot superior pr f (4), es decir, f (4) () M pr todo vlor de. 3. ACTIVIDADES DE APLICACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS A.3.. Hllr l integrl indefinid y comprobr el resultdo por derivción:

23 CÁLCULO INTEGRAL 83 3 d 2 d d ( 2 +3)d ( 3/2 +2 +)d (2) 3 d ( 3 +2)d ( )d 2 3 d ( ) d 2 d ( 4 3 +)d ( 2 2 +) d 2 d 2 + d ( (2 ) 2 (3 +)d ( 2 2 +) )( +)d d 5/ ( 2 ) 3 d 5 4/3 ( 3 )d 3(4 2) 2 d A.3.2. Hllr l integrl indefinid y comprobr el resultdo por derivción: 3 d (2 + /2 )d ( + )(3 2)d ( 2y +3y 3 )dy 4 d d (2t 2 ) 2 dt y 2 ydy 4 2 d d t 2 +2 t 2 dt ( + 3t)t 2 dt A.3.3. Hllr l integrl indefinid y comprobr el resultdo por derivción: 2( + 2) 4 d d + ( ) 2 d d 9 2 d 2 ( d ( + ) 3 t t 2 dt ( t 2 t 2 ) dt t 2 ( 3 ) 4 d d 2 d (9 y) ydy A.3.4. Clculr ls siguientes integrles indefinids por el método del cmbio de vrible: +2d ( +) + d d 2 + 3d 2 d 2 + d ( + ) 2 d 3 +d 2 2 d ( 2 +) 3 d ( ) 2 d d A.3.5. Clculr ls siguientes integrles:

24 84 MATEMÁTICAS e 2 d e ( + e ) 2 d e ( + e ) 2 d 5 e d e 2 ( 2 ) d e 2 d e e d (e e ) 2 d e d e 3/ 2 d e + e d e + e (3 )e ( 3)2 d A.3.6. Clculr ls siguientes integrles: + d 2 4 d d 2/3 ( + /3 ) d A.3.7. Clculr ls siguientes integrles: 3 2 d ln 2 d d + + d 2 + d ( + ln ) 2 d d d 3 d 2 d + d (3 )7 ( 3)2 d ( 2) ( ) 3 d 5 2 d + 2 d e e e d + e 3 d e d +e 4 d (ln ) 2 d A.3.8. Clculr ls siguientes integrles trigonométrics: 2cosd tn 2 d sen 2 3 cos 3d sec 2 tn d 3 2 sen 3 d (cosec +sen)cosecd 4cos 2 4 sen 4d tn d sec 2 3d sec 2 d sen cos 2 d sec d A.3.9. Clculr ls siguientes integrles trigonométrics: (2 sen +3cos)d (sec 2 θ sen θ)dθ (t 2 sen t)dt sen(2)d sec 2 cosec 2 2 d cotn 3 d tn 4 sec 2 d cotn πd ( cosec t cotn t)dt cos( 2 )d cotn 2 d cosec 2d

25 CÁLCULO INTEGRAL 85 A.3.0. Clculr ls siguientes integrles trigonométrics: sec 2 tn d cos θ θ sen θ dθ cos t +sent dt sec tn sec d e cos e d e tn e d (sen 2 + cos 2) 2 d (cosec 2θ cotn 2θ) 2 dθ sen 2 cos 2d A.3.. Clculr ls siguientes integrles de ls funciones trigonométrics inverss: 4 2 d d d d 9 2 d 2 +4 d 3 2 d +4 2 d e 2 d d 2 d 4 2 d A.3.2. Clculr ls siguientes integrles: d rctn + 2 d e d e 2 sen +cos 2 d ( +) 2 d rcsen 2 d d d t 4 dt 2 d ( + ) d d A.3.3. Clculr ls siguientes integrles: 2 4 d d et 3dt d d d d ( ) 2 2 d d A.3.4. Clculr ls siguientes integrles de funciones hiperbólics: senh( 2)d cosech d d + +e 2 d cosh 2 ( ) senh( )d cosech(/) cotnh(/) 2 d 2 d d cosh senh d senh 2 d 4 + d 25 2 d A.3.5. Clculr ls siguientes integrles:

26 86 MATEMÁTICAS (3 2) 4 d t 2 3 t 3 +9t + dt t sen 2 tdt sec 3 tn 3d ( 2 +5) 3/2 d 2 d cos e sen d 2 e + d ( ) v + (3v ) 3 dv e +e d ( + e t ) 2 dt e t cos d A.3.6. Clculr ls siguientes integrles: 2t t 2 +4 dt dt (2t ) 2 tn(2/t) t 2 dt ( + e ) 2 d 3 t 2 + dt t dt t 4 ( ) 2 d d 2 4 d sec 2 4+tn 2 d ( + ) 3 d d A.3.7. Clculr ls siguientes integrles: e 2 d 3 e d (ln ) 2 d ( 2 )e d e 2 d 3 ln d (ln ) 2 d d e 2 d t ln(t +)dt e 2 (2 +) 2 d 2 d 2+3 A.3.8. Clculr ls siguientes integrles: cos 3 sen d cos 2 3d sen 2 d sec 4 5d sen 5 2 cos 2d sen 4 πd 2 sen 2 d sec 3 πd sen 5 cos 2 d sen 2 cos 2 d sec 3d tn 3 ( )d A.3.9. Clculr ls siguientes integrles: tn 5 (/4)d sec 5 π tn πd tn 3 3 sec 3d cotn 2 t cosec t dt sec 2 tn d sec 6 4 tn 4d cotn 3 2d sen 3 cos 2d tn 2 sec 2 d sec 3 tn d cosec 4 θdθ sen θ sen 3θdθ

27 CÁLCULO INTEGRAL 87 A Clculr ls siguientes integrles: (25 2 ) 2 +9 d t 2 3/2 d ( t 2 ) d ( 2 +3) 3/2 3/2 dt + 2 d 6 42 d 2 4 d e 2 +e 2 d ( + 2 ) 2 d 2 9 d d 2 d 2 2 A.3.2. Clculr ls siguientes integrles: d d d 6 4 d d d d ( 2 +2) 2 d d 4 ( ) 3 d d d A Clculr ls siguientes integrles: d ( 2 +2) 2 d d d 2 ( +) 2 d (2 9) d ( 2 )( 2 +4) d d d A Hllr el áre comprendid entre l curv y =6 2 yelejeox. A Hcer un esquem de l región cotd superiormente por l curv y = e inferiormente por l curv y =, y determinr su áre. 4 A Hllr el áre de l región comprendid entre ls curvs y = 2 e y = /3 pr [, ]. A Un curv que ps por el punto (4, dy ) posee un pendiente vrible de 3 d = 2 ( + ). 2 ) Hllr l ecución de l curv. b) Representr gráficmente l curv. c) Clculr el áre bjo l curv en el intervlo [0, ]. A Hllr el áre de l región comprendid entre ls curvs y = ) en el intervlo [2, 3]. b) l derech de =3. 2 e y = 3 A Clculr el áre de l región S comprendid entre l curv de ecución y = 2 e yelejeox. A Hllr l constnte pr que el áre encerrd por ( 2 y 2 )+ 3 cudrds. =0se igul 20 uniddes

28 88 MATEMÁTICAS A El plno de un triángulo móvil permnece perpendiculr un diámetro fijo de rdio ; l bse del triángulo es un cuerd del círculo y su vértice opuesto está en un rect prlel l diámetro fijo y distnci h del plno del círculo. Hllr el volumen del sólido engendrdo por el movimiento de este triángulo desde un etremo l otro del diámetro. A.3.3. L bse de un sólido es l región compredid entre l curv y =sen y ls rects =0, = π/2 e y =0. Ls secciones plns del sólido perpendiculr l eje OX son triángulos equiláteros. Hllr el volumen del sólido. A Un leñdor rrnc un cuñ de un árbol cilíndrico de rdio. Su primer corte es prlelo l suelo y lleg hst el eje del cilindro. El segundo corte form un ángulo α con el primero y lo intersect en su diámetro. Clculr el volumen de l cuñ. Indicción: Situr el eje OX de form que ls secciones trnsversles perpendiculres él sen rectángulos. A Clculr el volumen del sólido generdo l girr respecto del eje OY l región limitd por ls prábols y = 2 y 8 = y 2. A Clculr el volumen del sólido generdo l girr el triángulo equilátero de vértices (0, 0), (2, 0) y (, 3) lrededor del eje OX. A L figur limitd por l hipocicloide 2/3 + y 2/3 = α 2/3 yelejeox gir lrededor de dicho eje. Hllr el volumen del cuerpo de revolución engendrdo. A Dd l curv de ecución y = ln, >0, clculr el volumen engendrdo l girr lrededor del eje OX l región limitd por dich curv y ls rects = y = /2. A Se el volumen de revolución engendrdo por f() =( ), >0, l girr lrededor del eje OX, entre ls rects =0y = c, conc>. Hllr c pr que dicho volumen se igul l volumen del cono engendrdo por el triángulo de vértices (0, 0), (c, 0) y (c, f(c)) l girr lrededor del eje OX. A Hllr el volumen del sólido engendrdo l girr lrededor de l rect de ecución =2,l región limitd por l curv y = 2,elejeOX y l rect =2. A Clculr l longitud del rco de l curv y 2 = 3, ) entre los puntos (0, 0) y (4, 8). b) entre dich curv y l rect = 4 3. A Clculr l longitud del rco de l curv f() =ln desde el punto = 3 hst = 8. A.3.4. Clculrllongituddelcurvy =ln e + e entre los vlores = y 2 = b. A Clculr l longitud del rco de l involut de un círculo desde t =0hst t =2π. = (cos t + t sen t) y = (sen t t cos t) } A Clculrllongituddercodelcurv = t6 6 y =2 t4 4 entre los puntos de intersección de dich curv con los ejes coordendos. A Hllr l longitud de l primer espir de l espirl de Arquímedes ρ = ϕ.

29 CÁLCULO INTEGRAL 89 A Hllr l longitud de l espirl logrítmic ρ = e mϕ entre cierto punto (ρ o,ϕ o ) y un punto móvil (ρ, ϕ). A Clculr el áre de l superficie generd por l curv y =ln desde =hst =5,lgirr lrededor del eje =0. A Hllr el áre de l superficie engendrd l girr lrededor del eje OX el contorno cerrdo formdo por ls curvs = y 2 e y = 2. A Clculr el áre de l superficie generd l girr lrededor del eje OX l curv y = 3 3 de bciss = 2 y =2. entre los puntos A Usr ls regls del trpecio y de Simpson pr proimr ls siguientes integrles. Comprr ls proimciones con los vlores reles. ) c) e) 2 π/3 0 π/4 ln d b) (sen ) 2 d d) tn d f) π/4 0 π/2 /3 d e 3 cos 2d cot d A Usr los vlores de bjo pr encontrr un proimción l integrl.5. e d usndo los métodos siguientes: ) l regl del trpecio con 0 =. y =.5; b) l regl de Simpson con 0 =., =.3 y 2 =.5. ep(.) = ep(.3) = ep(.5) = ACTIVIDADES PRÁCTICAS DEL CAPÍTULO 4.. Introducción L práctic se v relizr con el progrm de cálculo mtemático DERIVE for Windows, versión 4.05, de Soft Wrehouse. DERIVE for Windows permite relizr cálculos y mnipulciones mtemátics de crácter generl, lo cul signific que reliz muchs coss de form ceptble unque no tiene l potenci de otros progrms específicos. No obstnte, DERIVE for Windows permite relizr todos los cálculos que un usurio medio puede necesitr. En est práctic nos vmos centrr en el cálculo integrl en un vrible. Veremos cómo clculr integrles inmedits y utilizndo los distintos métodos de integrción: por cmbio de vrible, por prtes, eponenciles y logrítmics, trigonométrics, rcionles y binomis. Finlizremos l práctic nlizndo lguns plicciones del cálculo integrl l cálculo de longitudes, áres y volúmenes. Antes de comenzr l práctic será conveniente que recordemos brevemente l botoner de DERIVE for Windows (ver Figur 3.2), y que simplific enormemente l introducción de dtos y l relizción de cálculos. Los botones permiten relizr ls siguientes tres (de izquierd derech): New (brir un nuev hoj de trbjo), Open (brir un hoj de trbjo eistente), Sve (gurdr l sesión de trbjo), Print (imprimir l sesión de trbjo), Remove (eliminr l epresión mrcd), Unremove (recuperr l últim epresión elimind), Renumber

30 90 MATEMÁTICAS (renumerr ls epresiones), Author epression (introducir un epresión sencill), Author vector (introducir un vector), Author mtri (introducir un mtriz), Simplify (simplificr), Approimte (clculr un vlor proimdo), Solve (resolver lgebricmente o numéricmente un epresión), Substitute for vribles (relizr un sustitución), Clculte limit (clculr un límite), Clculte derivtive (clculr un derivd), Clculte integrl (clculr un integrl), Clculte sum (clculr un sum), Clculte product (clculr un producto), 2D-plot window (relizr un gráfico bidimensionl) y 3D-plot window (relizr un gráfico tridimensionl). Figur 3.2: El uso de l botoner de DERIVE for Windows nos puede simplificr mucho el trbjo. Otro elemento interesnte es l eistenci de tecls clientes que nos permiten evitr los menús, con lo que se gn en rpidez Ejemplos de ilustrción DERIVE for Windows clcul sin yud l myorí de integrles: polinómics, trigonométrics y rcionles. Cundo l integrl no es sencill, o bien cundo DERIVE for Windows no sbe qué hcer, podemos yudrle de vris forms: trnsformndo el integrndo en otro más fácil de integrr o indicándole el método de integrción que debe utilizr. En este último cso, el progrm nos proporcion un serie de utiliddes que pueden ser crgds medinte ls opciones File Lod Mth o File Lod Util. Pr escribir los integrndos podemos utilizr tods ls funciones que entiende DERIVE for Windows, ls cules se presentn en l siguiente tbl. Función Tecler Función Tecler Función Tecler SQRT() e EXP() ln() LN() log b () LOG(,b) sen() SIN() cos() COS() tn() TAN() cotn() COT() sec() SEC() cosec() CSC() rctn() ATAN() rccot() ACOT() rcsen() ASIN() rcos() ACOS() rcsec() ASEC() rcosec() ACSC() senh() SINH() cosh() COSH() tnh() TANH() cotnh() COTH() sech() SECH() cosech() CSCH() rcsenh() ASINH() rcosh() ACOSH() rctnh() ATANH() rccoth() ACOTH() rcsech() ASECH() rcosech() ACSCH() Clculr ( )d Introducimos l epresión 4^2-2+7 y seleccionmos Clculus Integrte con l opción vrible igul, por defecto (ver Figur 3.3). El progrm está preprdo pr clculr integrles indefinids (por defecto) y definids. En el primer cso, el progrm dmite un constnte de integrción (por defecto, 0). Pr obtener l solución debemos pulsr l tecl Simplify y resultrá:

31 CÁLCULO INTEGRAL 9 Clculr Figur 3.3: Ventn del progrm que nos permite clculr integrles de funciones d Escribimos l epresión (3+5)/(^3-^2-+) y procedemos ectmente igul que en el ejemplo nterior. El resultdo obtenido es LN(-) + LN(+) Clculr π 0 cos()d Seleccionmos Author y teclemos COS(). A continución elegimos Clculus Integrte con ls opciones (vrible), π (límite superior) y 0 (límite inferior). El resultdo obtenido (si estmos trbjndo con precisión ect) es 0. Clcul el áre bjo l curv y =cosh() entre 2 y 2 Siguiendo los psos nteriores, introducimos l epresión COSH() y continución seleccionmos en el menú Clculus Integrte con ls opciones (vrible), 2 (límite superior) y -2 (límite inferior). El resultdo obtenido es e 2 e 2. Cundo l integrl no es tn sencill y el progrm no consigue integrr l función debemos yudrle indicándole cuál de los métodos de integrción debe utilizr. En los siguientes ejemplos mostrmos lgunos csos típicos. Pr poder utilizr l integrción por sustitución o por prtes debemos de crgr l utilidd MISC.MTH, según se h eplicdo nteriormente. Clculr e + e d 4+4e Est integrl l podemos clculr siguiendo los mismos psos que en los ejemplos nteriores. Sin embrgo, quí l vmos clculr medinte un cmbio de vrible. Consideremos el cmbio t = t() =e, entonces l mner de indicárselo DERIVE for Windows es medinte l orden INT SUBST. Concretmente deberímos tecler

32 92 MATEMÁTICAS INT SUBST((#e^+)/(#e^-4+4#e^(-)),,LN()) y obtendrímos como resultdo el vlor de 3 2 e + LN(e 2) En generl, si desemos integrr l función f() medinte el cmbio de vrible = g(t), debemos escribir INT SUBST(f(),,g()) Clculr l integrl (5 2 3)4 3+ d El progrm DERIVE for Windows puede clculr l integrl nterior, cuyo resultdo es ( LN(2) 2 LN(2) 0 ) 9LN(2) LN(2) 3. Sin embrgo, ls integrles de este tipo se suelen resolver por prtes, y que l función que desemos integrr se descompone como un producto de dos funciones, un que se deriv fácilmente (5 2 3) y otr que se integr fácilmente (4 3+ ). Por este motivo, vmos ilustrr como indicrle DERIVE for Windows que utilice derivción por prtes. Un vez crgdo el fichero MISC.MTH teclemos INT PARTS(u(),v(),), donde u() y v() son ls prtes que se derivn e integrn fácilmente, respectivmente. En nuestro ejemplo, debemos tecler INT PARTS(5^2-3,4^(3+),). Un de ls crcterístics de DERIVE for Windows es su cpcidd de clculr integrles que requieren el cómputo de otrs integrles previs. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en l integrción por reducción que se plic integrles con eponentes enteros grndes. Durnte el proceso se encuentr un prte integrd y un prte sin integrr en l que prece l mism integrl inicil pero con vlores de estos eponentes disminuidos. En los ejemplos que siguen plicmos l integrl l cálculo de longitudes, áres y volumenes. Un cble eléctrico cuelg entre dos torres de l mism ltur que están seprds 80 metros. El cble dopt l posición de un ctenri cuy ecución es y = 00 cosh(/00). Clcul l longitud del cble entre ls dos torres. Cundo tenemos un curv y = f(), l longitud de l curv entre los puntos (, f()) y (b, f(b)) es l integrl b +f () 2 d. En nuestro cso, l derivd es f () = sinh(/00) por lo que l longitud será l integrl sinh(/00)2 d, cuyo vlor es Si crgmos l utilidd INT APPS.MTH entonces DERIVE for Windows pone nuestr disposición l función ARC LENGTH, con lo que podrímos hber clculdo l longitud de l ctenri con sólo escribir ARC LENGTH(00 COSH(/00),,-40,40).

33 CÁLCULO INTEGRAL 93 Clculr el áre de l región limitd por ls curvs f() =2 2 y g() = En primer lugr debemos hllr los puntos de corte, pr lo que plntemos l ecución 2-^2= que resolvemos con yud de l opción Solve pr obtener = 2 y =. Entonces eláre seclcul con l función siguiente: AREA(,-2,,y,,2-^2) cuyo resultdo es 4.5. En generl, l sintis de l función áre es AREA(,,b,y,f(),g()), donde y b son ls bciss de los puntos de corte y se supone que l función g es myor o igul que l función f. Clculr el áre de l superficie del prboloide z =2 2 y 2 que estásobrelregión cudrd limitd por y y Pr el cálculo de áres de superficies,derive for Windows dispone de l función SURFACE AREA, cuy sintis es l siguiente: SURFACE AREA(f(,y),,, 2,y,y,y 2), donde z = f(, y) es l superficie y el recinto es el rectángulo [, 2 ] [y,y 2 ]. En nuestro cso, bst con escribir SURFACE AREA(2-^2-y^2,,-,,y,-,) pr obtener como resultdo el vlor de Clculr el volumen de l semiesfer de rdio Dd un función z = f(, y) definid en un recinto (rectngulr o no), podemos clculr el volumen que hy entre el recinto y l superficie z = f(, y) definid sobre él. Pr ello debemos utilizr l función VOLUME, cuy sintis es VOLUME(,, 2,y,b (),b 2(),z,c (,y),c 2(,y)), donde se supone que 2, b () y b 2 (), c (, y) z c 2 (, y). Por tnto, el volumen de l semiesfer es VOLUME(,-,,y,-SQRT(-^2),SQRT(-^2),z,0,SQRT(-^2-y^2)) cuyo resultdo es (en precisión proimd) o 2π/3 (en precisión ect) Ejercicios de plicción A continución se enuncin unos ejercicios sobre cálculo integrl de funciones reles de un vrible. Si el lumno encuentr lgun dificultd debe revisr detenidmente los ejemplos nteriores.

34 94 MATEMÁTICAS ) Clculr l integrl b) Clculr l integrl c) Clculr l integrl d. sec 2 t tn t(tn t ) d. /4 d. +/ d) Clculr l integrl ( 2 +) 3 d. e) Clculr l integrl f) Clculr l integrl ( cos ) d. d. +e 2 g) Clculr el áre de l región comprendid entre ls gráfics de f() = y g() = h) Clculr el volumen del sólido generdo l girr l región limitd por f() =2 2 y g() =en torno lrecty =. i) Clculr el volumen del sólido generdo l girr l región cotd por ls gráfics y = 2 +, y =0, =0 y =en torno l eje y Bibliogrfí C. PulogorrónyC.Pérez. Cálculo mtemático con DERIVE pr PC, Ed. RA-MA, Ed., BIBLIOGRAFÍA DEL CAPÍTULO R.E. LARSON, R.P. HOSTETLER y B.H. EDWARDS Clculo y Geometrí Anlític, 5 ed., vol.. McGrw- Hill, Mdrid, 995. Cpítulos 5, 6 y 9. J. STEWART Cálculo, 2 ed. Grupo Editoril Iberoméric, Méico, 994. Cpítulos 4, 5, 7, y secciones 8.2 y PREGUNTAS DE EVALUACIÓN E.3.. Clculr ls siguientes integrles indefinids ln( 2 + +) d d. E.3.2. Clculr el volumen del sólido de revolución generdo l girr lrededor del eje OX el recinto limitdo por l curv y = e sen(3) entre =0y = π/3.

35 CÁLCULO INTEGRAL 95 E.3.3. Clculr l siguiente integrl indefinid 6 2 d. E.3.4. Clculr el áre del recinto limitdo por l curv y =e sen y por ls rects y =0, =0y = π. E.3.5. Un tnque está situdo sobre un colin de 20 metros de ltur. Lnz un proyectil que sigue un tryectori dd por y() = , donde e y se miden en metros, como muestr l siguiente figur. 20 y 3 0 ¹ 0 Cuál es l distnci recorrid por el proyectil durnte su tryecto hst impctr en el suelo? E.3.6. Clculr l siguiente integrl: d E.3.7. Un objeto volnte sle del origen y sciende por el eje y. Al mismo tiempo un perseguidor prte del punto (, 0) y se dirige en todo momento hci él con velocidd doble que l suy. L ecución de l tryectori del perseguidor es y = 3 (3/2 3 /2 +2) Cuánt distnci h recorrido el objeto volnte en el instnte de ser cpturdo? Y cuál h sido l distnci recorrid por el perseguidor? E.3.8. Resolver l integrl indefinid siguiente: d. E.3.9. Resolver l integrl indefinid siguiente: d ( 3 ) 2.

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