int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

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1 Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso

2 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo, es decir, se puede prescindir de signr un número un vrible y trtrl como un constnte genéric. Est herrmient disponible en MtLb nos permitir relizr operciones de integrción simbólic como clculr integrles definids, impropis o clculr áres, por ejemplo. 2 Cálculo de primitivs El cálculo de primitivs con MtLb es muy sencillo. utilizndo el comndo int, emplendo ls sintxis L integrción simbólic se llev cbo donde: int(s) o int(s, vr) S puede ser un expresión simbólic o el nombre de un expresión simbólic. En el comndo int(s), si l expresión contiene un únic vrible simbólic, el cálculo se llevrá cbo con respecto es vrible. Si l expresión contiene más de un vrible, l integrción se relizrá respecto l vrible simbólic por defecto (x). En el comndo int(s, vr), l integrción se relizrá con respecto l vrible vr. sintxis se utiliz pr integrr expresiones con más de un vrible simbólic. Est Del mismo modo que l derivción, l integrción se puede extender vectores y mtrices. Ejemplo.- Clcul (2cos(x) 6x)dx. >> S = 2 cos(x) 6 x; >> int(s) 2 sin(x) 3 x 2 MtLb no incluye l constnte de integrción que se debe tener en cuent en el cálculo de primitivs. Not 2.1 Si x no está definid como un vrible simbólic, utilizremos l siguiente sintxis: int( S, x ) En el cso del ejemplo nterior, tendrímos lo siguiente: 2

3 >> int( 2 cos(x) 6 x ) 2 sin(x) 3 x 2 O bien: >> int( 2 cos(x) 6 x, x ) 2 sin(x) 3 x 2 Sin embrgo, est versión de Mtlb nos d un viso como el que sigue: Wrning. The method chr/int will be removed in future relse. Use sym/int insted. Ejemplo.- Clcul x+1 (x 2 +1)(x 2 +4) dx. >> int((x + 1)/((x 2 + 1) (x 2 + 4)), x) log(x i) (1/6 i/6)+log(x+i) (i/6+1/6)+log(x 2 i) (i/12 1/6)+log(x+2 i) (i/12 1/6) Ejercicios: 1. Clcul I = e 4x dx. 2. Clcul x 5 logxdx. 3. Clcul cos(sen(x))dx. Mtlb permite introducir prámetros en ls integrles y, en consecuenci, podremos trbjr con ellos como si fuern constntes. Vemos un ejemplo. Ejemplo.- Clcul sen(x)cos(bx)dx. >> syms b x; >> int(sin( x) cos(b x), x) (b sin( x) sin(b x) + cos( x) cos(b x))/( 2 b 2) 3

4 Not 2.2 En los dos ejemplos nteriores, podrímos prescindir del segundo rgumento en el comndo int y en ese cso, l integrciń se relizrí con respecto l vrible simbólic por defecto x. 4

5 3 Integrles definids Ls integrles definids tmbién son conocids como integrles propis. Se dice que un integrl es propi si el integrndo está definido y es finito en un intervlo cerrdo y cotdo, cuyos extremos son los límites de integrción. Pr clculr integrles definids se utilizn ests vrintes del comndo int que vimos en l primer sección: int(s,, b) o int(s, vr,, b) donde: S puede ser un expresión simbólic o el nombre de un expresión simbólic. y b son los límites de integrción. Pueden ser esclres o vribles simbólics. El comndo int(s,, b) relizrá l integrl, si S solo depende de un vrible simbólic, con respecto dich vrible simbólic o, en cso de depender de más de un, lo hrá con respecto l vrible simbólic por defecto (x). El comndo int(s, vr,, b) relizrá l integrl con respecto l vrible simbólic vr. Ejemplo.- Clcul l integrl definid π 0 (sen(y) 5y2 )dy. >> syms y; >> int(sin(y) 5 y 2, 0, pi) 2 (5 pi 3)/3 Si l vrible x no está definid como simbólic, utilizrímos l siguiente sintxis: int( f, x,, b) L integrción es menudo un proceso difícil y puede suceder que ni siquier exist un respuest completmente cerrd pr un problem ddo. En ese cso, puede ocurrir que Mtlb no encuentre un solución y devolverá int(s) junto con un mensje del tipo Explicit integrl could not be found. Por otro ldo, si se dese obtener el resultdo en form deciml y con un número preciso de decimles, trs l instrucción int se usrí vp(i,n), que evlurá l expresión simbólic I con n cifrs decimles prefijds. Ejemplo.- Clcul el vlor de l integrl 1 0 x2 dx y expres el resultdo con tres cifrs decimles. 5

6 >> int(x 2, 0, 1) 1/3 >> vp(ns, 3).333 Not 3.1 Si tenemos el formto por defecto ( formt short) el número máximo de decimles es 4. 6

7 Ejercicios.- 1. Sen ls funciones f(x) = x y g(x) = (x + 1) 2. Clcul 2 (f + g)dx. Compr el resultdo 0 obtenido con 2 f(x)dx + 2 g(x)dx Clcul π kf(x)dx con f(x) = sen(x) y k = 5. π 2 k π f(x)dx. π 2 Compr el resultdo con el cálculo de 3. Clcul 1 1 f(x)dx donde f(x) = x2. 4. Se f(x) = cos(x). Clcul I = π f(x)dx. Explic qué sucede si clculmos 0 f(x)dx + π π π f(x)dx. 0 4 Integrles impropis El cálculo de integrles impropis combin el concepto de integrl definid y el de límite. Existen tres tipos de integrles impropis: Primer especie. Son quells en ls que l función integrr es cotd pero el intervlo de integrción no lo es. Segund especie. Son quells en ls que l función integrr no es cotd, mientrs que el intervlo de integrción sí que está cotdo. Tercer especie. Son un combinción de los dos tipos nteriores. A lo lrgo de est sección, veremos los psos seguir pr clculr integrles impropis emplendo MtLb. Ejemplo.- Clcul l integrl de primer especie 0 >> f = sin(x)/x; >> int(f, 0, inf) pi/2 Ejemplo.- Clcul l integrl de segund especie 1 0 sen(x) dx. x 1 dx. x 7

8 >> int(1/x, 0, 1) Inf Ejemplo.- Clcul l integrl de tercer especie 4 >> J = int(1/(x 2 5 x + 4), 4, Inf) J = Inf 1 dx. x 2 5x+4 5 Aplicciones geométrics 5.1 Cálculo de áres El cálculo de l integrl de un función no negtiv en un intervlo [, b] se interpret geométricmente como el áre delimitd por l gráfic de l función, el eje de bsciss y ls rects x =, x = b. Ejemplo.- Clcul el áre bjo l curv y = 5x 2 2x + 1 en el intervlo [0, 1]. >> int(5 x 2 2 x + 1, 0, 1) 5/3 Not 5.1 L prábol del ejercicio nterior tiene su gráfic en el semiplno positivo, pues sus ríces son complejs, como se puede comprobr utilizndo el comndo solve: >> solve(5 x 2 2 x + 1) 1/5 (2 i)/5 (2 i)/5 + 1/5 5.2 Cálculo de volúmenes Volumen de un sólido de secciones conocids Si cortmos un cuerpo por un plno perpendiculr l eje de bsciss, obtenemos un sección de áre A(x) en cd punto de bscis x. Entonces, el volumen de ese cuerpo comprendido entre los plnos perpendiculres l eje OX en los puntos de bsciss y b, viene ddo por: 8

9 V = b A(x)dx De modo nálogo, se puede definir el volumen de un sólido comprendido entre los plnos perpendiculres l eje OY. Ejemplo.- Hll el volumen limitdo por un elipsoide x2 + y2 + z2 = 1 2 b 2 c 2 Si cortmos el elipsoide por el plno x = k, l sección es l elipse y2 b 2 y 2 b 2 ( 2 k 2 ) + 2 z2 c 2 ( 2 k 2 ) = z2 c 2 = 1 k2 2, es decir, suyos semiejes son b 2 k 2 y c 2 k 2. El áre A(k) de l elipse viene dd por Entonces, el volumen pedido es A(k) = π bc 2 (2 k 2 ) V = Si clculmos l integrl con Mtlb obtenemos: >> syms b c x; >> A = pi (b c/ 2 ) ( 2 x 2 ); >> V = int(a, x,, ) V = (4 pi b c )/ Volumen de un cuerpo de revolución A(x)dx Si se hce girr l curv y = f(x) lrededor del eje de bsciss, se gener un sólido de revolución cuyos cortes l eje OX tienen áre A(x) = π(f(x)) 2. Por tnto: V = b π(f(x)) 2 dx Ejemplo.- Clcul el volumen del sólido generdo l hcer girr l región cotd por l función f(x) = x, l rect x = 3 y el eje de bsciss. Por lo tnto, si clculmos l integrl con Mtlb obtenemos: >> V = pi int( sqrt(x) 2, x, 0, 3) V = (9 pi)/2 9

10 5.3 Longitudes de rcos de curvs Se l curv y = f(x) con f función derivble y con derivd continu en [, b]. L longitud del rco de dich curv entre los puntos de bsciss y b, viene dd por: L = b 1 + (f (x)) 2 Ejemplo.- Clcul l longitud del rco de l curv y = (1 x 2 ) 1 2 (1,0). desde el punto (0, 1) l punto Se f(x) = (1 x 2 ) 1 2, entonces f (x) = x 1 x 2. Nótese que no existe l derivd de l función en el punto 1, s que tendrímos un integrl impropi. Por lo tnto, L = b (f (x)) 2 dx = 1 + x2 1 x dx = 2 Si utilizmos Mtlb pr clculr est integrl, obtenemos: >> L = int( sqrt(1/(1 x 2)), x, 0, 1) L = pi/ x 2 dx Not 5.2 Se podrín hcer todos los cálculos usndo Mtlb. En ese cso, tendrímos: >> f = sqrt(1 x 2); >> df = diff(f) df = x/(1 x 2) (1/2) >> A = sqrt(1 + df 2) A = (1 x 2/(x 2 1)) (1/2) >> L = int(a, x, 0, 1) L = pi/2 10

11 6 Integrción numéric L integrción numéric es utilizd pr clculr el vlor numérico de un integrl definid cundo no se puede clculr de form nlític. 6.1 Regl del trpecio Se un función f y queremos clculr b f(x)dx. b f() + f(b) f(x)dx (b ) 2 MtLb tiene implementd l regl del trpecio y el comndo propio es trpz, cuy sintxis es l siguiente trpz(x, y) Donde x e y son vectores de l mism dimensión. De est form, clculmos l integrl de y con respecto x. Ejemplo.- Clcul medinte l Regl del trpecio l integrl I 1 = 2 0 e(cos(x2 )) dx. Implementmos el código en un fichero (trpecio.m). = 0; b = 2; syms x; f = exp(cos(x 2)); f = subs(f, ); fb = subs(f, b); intf = ((b )/2) (f + fb) Ejecutmos: >> trpecio intf = Si repetimos el cálculo utilizndo trpz, obtenemos: >> x = [0 : 0.1 : 2]; >> y = exp(cos(x. 2)); >> I1 = trpz(x, y) I1 =

12 Si clculmos l integrl de form exct emplendo el cálculo simbólico obtenemos: >> f = exp(cos(x 2)); >> int(f, 0, 2) W rning : Explicit integrl could not be found. int(exp(cos(x 2)), x = 0..2) Ejercicio.- Clcul medinte l Regl del trpecio l integrl I 2 = 3 1 (e x2 )dx. 6.2 Regl de Simpson Se un función f y queremos clculr b f(x)dx.. b f(x)dx b 6 Ejemplo.- Clcul l integrl 2 0 e(cos(x2 )) dx. Implementmos el código en un fichero (simpson.m). = 0; b = 2; c = ( + b)/2; syms x; f = exp(cos(x 2)); f = subs(f, ); fb = subs(f, b); fc = subs(f, c); intf = ((b )/6) (f + 4 fc + fb) Ejecutmos: >> simpson intf = Ejercicio.- Clcul l integrl 3 1 e( x2) dx. ( f() + 4f( + b ) 2 ) + f(b) 12

13 7 Ejercicios A continución se proponen lgunos ejercicios en los que se utilizrán los conceptos desrrolldos en los prtdos nteriores. 1. Clcul 3 1 dx. x Clcul 0 b 2 1 x dx. 3. Clcul 1 16 (. Repetir el cálculo utilizndo l definición de integrl impropi y compr x 4) los resultdos obtenidos. 4. Clcul l integrl x medinte l regl del trpecio. 5. Clcul l integrl 3 1 ex sen(x)dx medinte l regl de Simpson. 6. Clcul el áre delimitd por l curv y = x 2 +3, el eje OX y ls rects x=0, x=4. Represent gráficmente l función, los ejes crtesinos y ls rects que delimitn el áre pedid. 7. Clcul l longitud del rco de l curv y = x 2 desde el origen hst el punto (2,4). 8. Clcul el volumen del sólido generdo l hcer girr l región cotd por l función f(y) = y 1, l rect y = 3 y el eje de ordends. 13

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