x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = 1 x dx x 2 dx = 1 2 x2 ln x x2

Transcripción

1 Tema 5 Integración Indefinida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = x dx dv = xdx v = x y por tanto x ln x dx = x ln x x x dx = x ln x Ejercicio Calcular la integral arctan xdx x dx = x ln x x 4 + C Solución: Como en el ejercicio anterior, esta integral se resuelve por partes. Haciendo u = arctan x y dv = dx, obtenemos u = arctan x du = +x dx dv = dx v = x

2 TEMA 5. y en consecuencia arctan xdx = x arctan x x +x dx = x arctan x ln +x + C Nota: La integral x/(+x ) dx se calcula de forma inmediata derivando ln +x o bien mediante el método de cambio de variable, de modo que si hacemos w =+x, entonces dw =xdxy, por tanto, x +x dx = Ejercicio 3 Calcular la integral w dw = ln w + C = ln +x + C cos x + sen x dx Solución: Esta integral podemos resolverla mediante el método de cambio de variable. Si hacemos u = sen x entonces du = cos xdx, y obtenemos cos x + sen x dx = du +u =ln +u + C =ln + sen x + C Ejercicio 4 Calcular la integral (cos 3 x cos x + 3 cos x 5) sen xdx Solución: Podemos resolver esta integral por el método de cambio de variable. Haciendo el cambio de variable t = cos x tenemos dt = sen xdxy, por tanto, (cos 3 x cos x + 3 cos x 5) sen xdx= ( ) t 4 = = cos4 x 4 4 t t 5t + cos3 x 3 + C 3 cos x Ejercicio 5 Comprobar que las funciones + 5 cos x + C (t 3 t +3t 5) dt f(x) =ln x + x +, g(x) = arg senh x se diferencian en una constante.

3 3 Solución: De la tabla 5. de integrales inmediatas sabemos que f (x) =g (x) = x + por lo que tanto f como g son primitivas de una misma función y, por tanto (véase teorema 5..), se diferencian en una constante. Ejercicio 6 Calcular la integral x 4x +3 dx Solución: Es la integral de una función racional, por lo que en primer lugar calculamos las raíces de x 4x + 3 = 0. Obtenemos que x =yx = 3 son las raíces del denominador, así que existen A y B tales que x 4x +3 = Multiplicando por x 4x + 3 obtenemos Por tanto A x + B x 3 =A(x 3) + B(x ) = (A + B)x +( 3A B) A + B =0, 3A B = y, en consecuencia, A = / yb =/. Así obtenemos que y por tanto x 4x +3 dx = x 4x +3 = (x ) + (x 3) (x ) dx + (x 3) dx = ln x + ln x 3 + C = ln x 3 x 3 + C =ln x x + C

4 4 TEMA 5. Ejercicio 7 Calcular la integral x 9 x dx Solución: Si hacemos el cambio de variable u =9 x, basta con derivar u para obtener du = 4x dxy, en consecuencia, x 9 x dx = u / du = 4 4 = 6 (9 x ) 3/ + C Ejercicio 8 Calcular la integral [ ] 3 u3/ + C 4x 4 30x 3 +37x 3x + 3x 5 x 4 +7x 3 4x +0x 4 dx Solución: Es la integral de una función racional. El primer paso es calcular las raíces de 3x 5 x 4 +7x 3 4x +0x 4 = 0. Aplicando, por ejemplo, el método de Ruffini, observamos que x = es raíz doble y x = raíz simple, quedando como resto 3x +, por lo que obtenemos que 3x 5 x 4 +7x 3 4x +0x 4=(x ) (x )(3x +) Sabemos, por tanto, que 4x 4 30x 3 +37x 3x + 3x 5 x 4 +7x 3 4x +0x 4 = B + (x ) + C x + Dx + E 3x + A x Multiplicando ahora por 3x 5 x 4 +7x 3 4x +0x 4 obtenemos 4x 4 30x 3 +37x 3x +=A(x )(x )(3x +) + B(x )(3x +)+C(x ) (3x +) +(Dx + E)(x ) (x ) =(3A +3C + D)x 4 +( 9A +3B 6C 4D + E)x 3 +(8A 6B +5C +5D 4E)x +( 6A +B 4C D +5E)x +(4A 4B +C E)

5 De esta última ecuación deducimos que las constantes A, B, C, D, E satisfacen el sistema 3A +3C + D = 4 9A +3B 6C 4D + E = 30 8A 6B +5C +5D 4E = 37 6A +B 4C D +5E = 3 4A 4B +C E = Este sistema tiene por solución A =3,B=, C= 3, D=4,E=, por lo que sustituyendo en las expresiones anteriores, y teniendo en cuenta las propiedades de la integral, obtenemos 4x 4 30x 3 +37x 3x + 3x 5 x 4 +7x 3 4x +0x 4 dx = 3 x dx (x ) dx 3 4x + x dx + dx (5.) 3x + Las integrales pendientes son inmediatas y se obtiene 3 dx =3ln x + C, x (x ) dx = x + C, y 3 x dx = 3ln x + C, 4x + 3x + dx = 4 6x 6 3x + dx + = 3 ln / 3x + + 3x + dx (3/)x + dx = 3 ln 3x + + 3/ 3/ ( 3/x) + dx = 3 ln 3x + + 3/ arctan( 3/x)+C 5

6 6 TEMA 5. Sustituyendo estas expresiones en (5.) y teniendo en cuenta que x 3ln x 3ln x =3ln x obtenemos que 4x 4 30x 3 +37x 3x + 3x 5 x 4 +7x 3 4x +0x 4 dx =3ln x x + x + 3 ln 3x + + 3/ arctan( 3/x)+C Ejercicio 9 Calcular la integral cos x ( + sen x)( sen x) dx Solución: Para resolver esta integral en primer lugar realizamos el cambio de variable t = sen x. Así tenemos dt = cos xdx, por lo que cos x ( + sen x)( sen x) dx = dt ( + t )( t) dt Esta última es la integral de una función racional. La escribimos como suma de fracciones simples: ( + t )( t) = At + B +t + C t Multiplicando por ( + t )( t) obtenemos =(At + B)( t)+c( + t )=(C A)t +(A B)t +(B + C) porloquea, B y C son solución del sistema C A =0, A B =0, B + C = cuya solución es A = B = C =/

7 7 En consecuencia obtenemos que dt ( + t )( t) dt = t + +t dt + t dt = t 4 +t dt + +t dt t dt = 4 ln +t + arctan t ln t + C Ahora sólo falta deshacer el cambio de variable t = sen x, y obtenemos Ejercicio 0 Calcular la integral cos x ( + sen x)( sen x) dx = 4 ln + sen x + arctan(sen x) ln sen x + C e x sen xdx Solución: Resolveremos esta integral por partes. Si hacemos u = sen x y dv = e x dx, entonces u = sen x du = cos xdx dv = e x dx v = e x y por tanto e x sen xdx= e x sen x e x cos xdx (5.) Aplicando de nuevo la integración por partes en la segunda integral, donde tomamos u = cos x du = sen xdx dv = e x dx v = e x obtenemos e x cos xdx= e x cos x + e x sen xdx (5.3) Si ahora sustituimos (5.3) en (5.) obtenemos e x sen xdx= e x sen x e x cos x e x sen xdx

8 8 TEMA 5. de donde deducimos que e x sen xdx= e x sen x e x cos x + C por lo que finalmente resulta que e x sen xdx= ex (sen x cos x)+c

9 9 Ejercicios propuestos Las soluciones se encuentran al final. Ejercicio Calcular la integral Ejercicio Calcular la integral Ejercicio 3 Calcular la integral x ln x dx x 3 cos xdx arctan x +x dx Ejercicio 4 Calcular la integral Ejercicio 5 Calcular la integral Ejercicio 6 Calcular la integral Ejercicio 7 Calcular la integral x 3 +(x 3x +4) dx e x 6 e x dx 4x 3 +4x +8x +8 x 4 +x 3 +5x +8x +4 dx 3x 7 +x 6 +3x 5 47x 4 69x 3 +77x +35x +77 x 5 +7x 4 +0x 3 8x 7x +7 dx Ejercicio 8 Calcular la integral 8x 4 +53x 3 +3x +36x + (x + 5)(3x + )(4x +3) dx

10 0 TEMA 5. Ejercicio 9 Calcular la integral (ln x) 4 dx Ejercicio 0 Calcular la integral tan x + tan x 3 tan x + dx Soluciones de los ejercicios propuestos:. x ln x dx = x3 9 + x3 ln x + C 3. x 3 cos xdx= x 3 sen x +3x cos x 6x sen x 6 cos x + C arctan x +x dx = (arctan x) + C x 3 +(x 3x +4) dx = arctan(x 3x +4)+C e x ( e x ) dx = arcsen + C 6 e x 4 4x 3 +4x ( ) +8x +8 x x 4 +x 3 +5x +8x +4 dx =ln x +4 + arctan 4 x + + C 3x 7 +x 6 +3x 5 47x 4 69x 3 +77x +35x +77 dx = x 3 + x x 5 +7x 4 +0x 3 8x 7x +7 x + (x +3) + C 8x 4 +53x 3 +3x +36x + dx = 3ln x +5 + (x + 5)(3x + )(4x +3) 3 ln 3x + + arctan( ( ) 3 x 3x)+ 3 arctan + C 3 (ln x) 4 dx = x(ln x) 4 4x(ln x) 3 +x(ln x) 4x ln x +4x + C 0. tan x + tan x 3 tan x + dx =ln tan x + C tan x