INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

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1 INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN El almán Gottfrid Libniz (66-76), quin, junto con su antagonista l inglés Isaac Nwton (6-77), fu l crador dl cálculo infinitsimal. MATEMÁTICAS II º Bachillrato Alfonso Gonzálz IES Frnando d Mna Dpto. d Matmáticas

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3 I) CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA Dada f()= nos prguntamos qué función F() s tal qu al drivarla nos da f()? Claramnt s F()=, pro no sólo sa sino también F()= +, F()= -5,... y n gnral F()= +C (sindo C ct.). A F() s l llama "primitiva d f()". La notación qu s sigu s: f() d = F() + C F'() = f() intgrando primitiva d f() ct. d intgración A f() d s l llama "intgral (indfinida) d f()". Nóts qu una f() pud tnr infinitas primitivas, qu s difrncian, como vmos, n una constant. Ejmplos: a) ( ) I d = + C pq. = b) d = c) cos d = d) d = ) d = f) d = La ct. d intgración C a vcs s omit pus s sobrntind. Nóts qu la intgración s la opración contraria d la drivación, por lo qu la tabla d intgrals (vr ano final d st libro) s prácticamnt idéntica a la d drivadas pro al rvés. Vamos a justificar, por jmplo, l caso d la intgral d una potncia, qu, por cirto, s la más utilizada (l rsto s haría igual): n+ n I n n + (n + ) n d = pusto qu = = (C.Q.D.) n + n + n + Ejrcicio: Utilizando la tabla, hallar las siguints intgrals inmdiatas, y fctuar la comprobación: a) d = b) d = ) d = c) d = f) d = d) d = g) d = h) d = En l próimo tma vrmos l concpto d intgral dfinida, y ntoncs comprndrmos qu l obtnr una primitiva d una función s rlvant, pus nos prmitirá obtnr l ára bajo una curva. Más adlant vrmos qu no todas las funcions tinn por qué tnr una primitiva, al mnos "lmntal". Vr ano final. Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

4 II) PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Son conscuncia d las propidads d la drivada: ) f() ± g() = f() ± g() s dcir, la intgral d la suma (difrncia) s la suma (difrncia) d las intgrals. ) k f() d = k f() d s dcir, las constants multiplicativas pudn ntrar o salir d la intgral. La utilización conjunta d ambas propidads, junto con la tabla, nos prmit rsolvr un gran númro d intgrals. Para llo, a vcs tndrmos qu introducir o trar una constant n l intgrando, sgún convnga, como vrmos n l siguint Ejrcicio: Rsolvr las siguints intgrals inmdiatas (al margn figura cada primitiva); s rcominda fctuar la comprobación: ) ( ) + + d = ) 6 d = ) ( ) + + d = ) ( ) + d = (d formas) = C = C ( + ) 5) ( ) 50 + d = 6) ( ) + d = 7) ( ) d = 5 ( + ) 5 ( + ) 5 ( ) 0 8) d = = + C 9) + d = ( ) = ln C Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

5 (*) 0) d = = arctg + C + (d formas) ) d = = ln C + 8 ) d = = + C ) ctg d = = ln sn + C ) tg d = = ln sc + C 5) 5 5 d = = + C 6) sn d = + sn = ln( + sn ) + C 7) + d = + 8) d = ln 9) d = 0) sn cos d = = sn + C ) cos d = sn ) sn( + 8) d = ) cos( + ) d = cos( + 8) = + C sn( + ) ) cos(ln ) d = = sn(ln ) + C Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

6 (*) 5) tg d = = + tg + C (*) 6) tg d = tg = + ln(cos ) + C 7) sn cos d = sn 8) cos d = = cosc + C sn (*) 9) 5 ( tg ) + tg d = tg 0) + d = = + ln + C ) d = = arcsn + C ) d = = arcsn + C ) d = = arcsn + C ) d = = arcsn ln + C ln (*) 5) d = = arcsn + C CONSECUENCIA: Para adquirir una buna técnica d intgración s condición prvia l sabrs prfctamnt la tabla d drivadas 6) + d = arctg 7) + 6 d = arctg 8) ( ) d = = + C (*) 9) d + + = = + C + Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

7 (*) 0) + + d = + = + ln + + C ) 5 + d = = ln + C ) ( ) + + d = 7 5 = C 7 5 ) ( ) d = 5 = + + C 5 ) + d = + = + ln( + ) + C 5) sn d = = ln cos + C cos 6) + d = Ejrcicios final tma: a 5 Ejrcicios PAEG: spt 0 A, jun 0 A, spt 005 B, jun 00 B III) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN o CAMBIO DE VARIABLE S trata d rsolvr una intgral no inmdiata º) Escogmos l cambio apropiado: =g(t) y calculamos la difrncial n ambos mimbros: d=g'(t) dt f() d mdiant l siguint procdiminto: D momnto bastará con sabr qu la difrncial d una función s igual a la drivada d dicha función, multiplicada por su incrmnto d corrspondint (s dcir, l d sría como una spci d unidad d mdida). Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

8 º) Sustituimos las dos prsions antriors ( y d) n la intgral a rsolvr (con lo qu ahora pasará a dpndr d t), simplificamos y, si hmos scogido l cambio adcuado, obtndrmos una intgral inmdiata n t, qu rsolvrmos. º) Una vz rsulta dshacmos l cambio, s dcir, ponmos la prsión obtnida d nuvo n función d El sabr lgir l cambio d variabl apropiado n cada caso a vcs pud rsultar complicado, y n cualquir caso lo da la práctica. A vcs s algo intuitivo, pro n cirtas intgrals (trigonométricas, tipo arco tangnt, tc.) pudn dars algunas rglas orintativas:. En las intgrals NO inmdiatas n las qu haya, sul funcionar l cambio RADICANDO=t. aparzcan d distinto índic, pud funcionar l mcm d los índics cambio RADICANDO=t. En las intgrals NO inmdiatas n las qu aparzca a, pud nsayars a =t. Para intgrals trigonométricas NO inmdiatas istn cirtos cambios stablcidos, como vrmos n l apdo. VII, al final dl tma. Ejmplo: Rsolvr d mdiant 5 l cambio t =- Ejrcicios final tma: 6 Ejrcicios PAEG: jun 007 A, jun 00 B IV) INTEGRAL TIPO ARCOTANGENTE A) Vamos a vr, n primr lugar, un caso particular fácil d rsolvr: d dond a dt +c no Transformando l intgrando hasta qu adopt la forma a + c tin raícs s rsulv + t Ejmplo: + 9 d = Ejmplos: d( )= d, d(t )=t dt, tc. y, n gnral, =g(t) d=g'(t) dt En la PAEG, algunas vcs s indica al alumno l cambio a ralizar, pro no simpr 5 En st tipo d intgrals con una sola raíz cuadrada pud funcionar l siguint cambio: radicando=t Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

9 Ejrcicio PAEG: jun 0 B, spt 0 B B) Vamos ahora l caso gnral: d a + b + c transforma 6 dond a +b+c s rsulv º) Hallando sus raícs compljas a ± bi no tin raícs rals º) Hacindo l cambio -a=bt s dt n + t Ejmplo: d + + = NOTA: No quda bin rsolvr l caso sncillo (apdo. A) mdiant st cambio d variabl Ejrcicios final tma: 7 C) Si l numrador s un binomio d r grado, s rsulv análogamnt, pro la intgral rsultant srá d tipo npriano-arcotangnt: M + N a + b + c d dond a +b+c no tin raícs rals s rsulv º) Sparando n dos intgrals: una tipo ln (inmdiata) y otra tipo arctg, para lo cual habrá qu ajustar constants n l numrador. º) La ª intgral, la tipo arctg, s rsulv como n l caso antrior, hacindo l cambio -a=b t IMPORTANTE!: No convin invrtir los dos pasos antriors, pus ntoncs s obtin una primitiva cuya prsión no s dl todo corrcta 7. Ejmplo: Ejrcicio 8a 6 Eist otro procdiminto, llamado compltar l cuadrado, pro l qu aquí indicamos sul rsultar más sncillo. 7 En ralidad sí podría procdrs d sa forma, pro al final habría qu simplificar la primitiva rsultant Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

10 D) Si l dnominador s un polinomio cuadrático qu carc d raícs R y l numrador s d grado igual o mayor qu l dnominador, s fctúa prviamnt la división polinómica, s rconstruy a continuación l intgrando (mdiant la rgla D=d C+R), y s intgra finalmnt aplicando los procdimintos antriors. Ejrcicios final tma: 8 Ejrcicios PAEG: spt 000 A, jun 99 B, spt 006 A (caso particular, con división prvia), jun 009 A (caso particular, con sparación prvia) V) INTEGRACIÓN POR PARTES Esta utilísima técnica s utiliza para hallar, n cirtos casos, la intgral d un producto d funcions. S basa n la difrncial 8 d un producto: d(u v)=v du+u dv u dv=d(u v)-v du u d v = u v v du Eistn infinidad d rglas mnmotécnicas para sta fórmula, como por jmplo: "Un día vi un vijo soldadito vstido d uniform". Ejmplo: d = intgramos ambos mimbros Consjos para lgir u y dv: ) Hay qu lgir un u cuya drivada no s compliqu más. Eist una sncilla rgla mnmotécnica para lgir u: ) El dv rstant ( s tin qu llvar simpr l d!) ha d rsultar fácil d intgrar. A arcsn, arccos, arctg, tc. L logaritmo P polinomio (o cocint d polinomios) E ponncial S sn, cos, tg, tc. 8 Rcordar qu la difrncial d una función s igual a la drivada d dicha función, multiplicada por su incrmnto d corrspondint. Por lo tanto, consrva las mismas propidads qu la drivada; n particular, para la difrncial dl producto, s cumpl qu d(u v)=v du+u dv Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

11 Obsrvacions:. En l caso p onncial trigonométrica d podmos tantar ambas posibilidads. Ejrcicios: ) cos d =. Es muy frcunt qu, al rsolvr una intgral por parts, haya qu aplicar la fórmula dos o más vcs (como n l apdo. 5 dl siguint jrcicio).. En algunos casos, para qu dv rsult una intgral inmdiata, hay qu partir l polinomio, como n l apdo. 7 dl siguint jrcicio.. En otros casos, al aplicar la fórmula, vulv a aparcr la intgral dl principio, pro cambiada d signo: n tal caso llamarmos a ésta I, y la dspjarmos (Es lo qu s conoc como itración, como n l apdo. 6 dl siguint jrcicio). ) ln d = = sn + cos + C ) arctg d = = ln + C = arctg ln + + C ) arcsn d = 5) cos d = (Hay qu procdr vcs) = arcsn + + C = sn + cos sn + C Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

12 6) cos d = (Por itración) (sn + cos ) 7) d = + = + C Ejrcicios final tma: 9 Ejrcicios PAEG: spt 00 B, spt 009 A, jun 98 A, spt 99 B, spt 97 A VI) INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES S trata d hallar P() d Q() dond: Q() s factorizabl (s dcir, tin raícs rals) grad P()<grad Q() (n caso contrario los dividimos) NOTA: Intrsa prviamnt comprobar si l numrador s la drivada dl dnominador, pus n s caso sría inmdiata: u (aunqu, como pud imaginars, algo tan sncillo no s lo habitual...) u El tipo d intgral qu nos ocupa s rsulv por l MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES. Dpndindo d cómo san las raícs d Q() tndrmos casos: º) SÓLO RAÍCES REALES SIMPLES: Ejmplo: + + d Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

13 I) Dscomponmos l dnominador, tnindo n cunta qu sus raícs son = y =: -+=(-)(-) II) Dscomposición dl intgrando n fraccions simpls 9 : + A B = + + (*) III) Dtrminación d las constants A y B: para llo, multiplicamos ambos mimbros d la prsión antrior por l m.c.m. d los dnominadors, sto s -+=(-)(-): +=A(-)+B(-) A continuación, lo qu funciona s dar a los valors d las raícs (rcuérds qu la prsión antrior s cumpl para todo ): = =-A; A=- = 5=B IV) Sustituimos n (*) los valors obtnidos d A y B intgramos cada sumando por sparado: + 5 ( ) d = d + d = ln( ) + 5 ln( ) + C, o bin = ln + C + ( ) 5 Ejrcicios: ) Rsolvr d hacindo prviamnt 0 l cambio =t Soluc : ln + C ) Rsolvr d mdiant l cambio =t Soluc : arctg + C 7 5 Ejrcicios PAEG: jun 0 B (+ trigonométrica inmdiata), jun 000 A, spt 98 A, jun 008 A, spt 0 A (+ cambio d variabl), spt 0 B (+ cambio d variabl) º) APARECEN RAÍCES REALES MÚLTIPLES: Ejmplo: + 5 d + I) Factorizamos l dnominador por Ruffini, obtnindo las raícs =- y = dobl: - -+=(+)(-) II) Dscomposición dl intgrando n fraccions simpls : 9 Est rsultado dbría sr dmostrado, pro llo supra las prtnsions d st studio. Esta dscomposición sólo funciona si grad P()<grad Q(). 0 Para las dos intgrals d st jrcicio rcordar los consjos dl apdo. III a la hora d scogr un cambio d variabl. Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

14 + 5 A B C = ( ) (**) III) Quitamos dnominadors n la prsión antrior multiplicando por l m.c.m. d stos, s dcir, - -+=(+)(-) : +5=A(-) +B(+)(-)+C(+) A continuación, damos a los valors d las raícs y, admás, otro valor sncillo como por jmplo =0 (rcuérds qu la antrior prsión s cumpl para todo ): =- =A; A=/ = 8=C; C= =0 5=A-B+C 5=/-B+ B= -/ IV) Finalmnt, sustituimos n (**) los valors obtnidos d las constants intgramos cada sumando por sparado: + 5 d = d + d + d = d d + ( ) d ( ) ( ) + = ln( + ) ln( ) + = ln + ln + C,obin, = ln + C Ejrcicios: ) + + d + Soluc : ln ( ) ( + ) + + C ( + ) ) d Soluc : ln + + C + Ejrcicios PAEG: spt 0 A, spt 00 A, spt 00 A, jun 97 A, spt 007 A, jun 006 A º) APARECEN RAÍCES COMPLEJAS : Ejmplo: d + I) Factorizamos l dnominador por Ruffini: +=(+)( -+) (Nóts qu tin una única raíz ral, =-, y dos raícs compljas) II) Dscomposición dl intgrando n fraccions simpls: También dbría sr dmostrado. Est tipo d intgrals no ntran n la PAEG d Castilla-La Mancha, al mnos n l prsnt curso 0-05, salvo l caso sncillo tipo arcotangnt visto n l apdo. IV A Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

15 A M + N = (***) III) Quitamos dnominadors n la prsión antrior multiplicando por l m.c.m. d stos, s dcir, +=(+)( -+): =A( -+)+(M+N)(+) A continuación, damos a l valor d la única raíz ral, =-, y admás, otros dos valors arbitrarios sncillos: =- =A; A=/ =0 =A+N obtniéndos finalmnt M=-/ y N=/ = =A+(M+N) IV) Finalmnt, sustituimos n (***) los valors rcién obtnidos d las constants intgramos cada sumando por sparado: d = d + d = inmdiata tipo ln-arctg Ejrcicios: ) d + 5 Soluc : ln 5 arctg( ) C + + ( ) ) 6 + d + Soluc : ln + arctg + C Ejrcicios final tma: 0 Ejrcicios PAEG: jun 00 A Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

16 RESUMEN: PROCESO LÓGICO A LA HORA DE INTEGRAR COCIENTES DE POLINOMIOS P() Q() d? Es P() la drivada d Q()? SÍ P() Q() d = ln Q() + C NO Es grad P() grad Q()? SÍ Dividimos P() ntr Q() y rconstruimos l intgrando NO Q() tin raícs compljas a±bi? SÍ Hacindo l cambio -a=b t s convirt n tipo arctg, o lnarctg (Apdo. VI, º) NO Q() tin raícs IR simpls? SÍ Dscomposición n fraccions simpls dl intgrando (Apdo. VI, º) NO Q() tin raícs IR múltipls Dscomposición n fraccions simpls dl intgrando (Apdo. VI, º) Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

17 VII) INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS En algunos casos s rsulvn transformando l intgrando mdiant idntidads trigonométricas; h aquí algunas d las más habituals: sn + cos = sn = cos sn = cos cos = sn cos = sn = cos + sn cos = cos sn + cos = cos + cos cos = cos = sn cos sn = Ejmplos: ) sn d = sn = + C ) cos d = cos ( sn ) d = ) cos cos sn d = d = sn = sn + C ) sn ( sn ) d = d = + sn (+ sn )( sn ) sn sn = + + C 8 5) d = = + tg sc + C (Hacindo l cambio d variabl =sn t) arcsn = + + C Pud nsayars, o bin utilizar la idntidad trigonométrica corrspondint (lo más rápido y rcomndabl), o bin por parts, ligindo u=sn, y rmplazando a continuación cos =-sn, con lo cual saldrá por itración (procso muy tdioso ). También pud intntars por parts, ligindo u=sn, y rmplazando postriormnt cos =-sn ; finalmnt, habrá qu aplicar itración. Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

18 También pudn rsolvrs, n cirtos casos, mdiant l apropiado cambio d variabl; básicamnt, hay trs casos principals, qu s prsntan a continuación, junto con todos los lmntos rstants para hacr l cambio: º Si l intgrando s impar n sn : cos = t sn = cos sn d = dt d = dt t sn = t º Si l intgrando s impar n cos : sn = t cos = sn cos d d = = dt dt t cos = t º Si 5 l intgrando s par n sn y cos : tg = t + tg = cos sn = tg cos (+ tg ) d = dt dt d = + t cos = + t sn = t + t Los dos primros cambios suln funcionar muy bin, no así l trcro, qu sul conducir a intgrals racionals muy arduas, con raícs compljas múltipls. Finalmnt, convin sabr qu ist un cambio gnral, tg/=t, aunqu también pud dar lugar a un dsarrollo laborioso. Ejmplos: 6) cos d = (Hacindo l cambio d variabl sn =t) 7) 5 sn d = (Hacindo l cambio d variabl cos =t) sn = sn + C Ejrcicios final tma: y ss. 5 cos cos cos +C = A vcs st cambio funciona n otros casos; vr jrcicio h dl final dl tma Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

19 ANEXO: ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN. Como comntábamos al principio dl tma, hay funcions qu no tinn primitiva lmntal. H aquí un par d conocidos jmplos d intgrals d st tipo: d sn d. En otros casos podmos llgar a obtnr dos primitivas d difrnt aspcto, como por jmplo: ( ) arc tg d = arc tg Ln + = arc tg + Lncos arc tg En fcto, n st caso s fácil vr qu ( ) = cos arc tg +. Vamos a probarlo: α ( ) tgα = α = arc tg cos α = cos arc tg (C.Q.D.) vr dibujo + Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

20 TABLA d INTEGRALES INMEDIATAS FUNCIONES SIMPLES FUNCIONES COMPUESTAS d = k d = k 5 6 = n + n+ n d (n ) d = ln a d a = ln a u = n + n+ n u u d (n ) u u u = u a = ln u u a ln a u u d = u = 7 cos d = sn u cos u = sn u 8 sn d = cos u sn u = cos u u d = + tg d = sc d = tg ( ) 9 ( ) cos 0 ( ) = u + tg u = u sc u = tg u cos u u d = + ctg d = cosc d = ctg ( ) sn u d = arcsn u d = arctg + u = u + ctg u = u cosc u = ctg u sn u + u = arcsn u = arctg u En sta tabla, k y n son númros rals, a s un númro ral positivo, y u s una función. Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

21 EJERCICIOS d INTEGRAL INDEFINIDA º BACH.. Calcular las siguints intgrals potncials (s rcominda hacr la comprobación): a) d b) 5 d c) d d) 6 d ) t t dt f) d g) t dt h) d i) d j) d t m) d n) d o) d p) + d k) ( t ) dt l) d (Soluc: a) / b) 6 /6 c) j) d) k) t 7 /7 l) m) ) t 6 /6 f) n) o) 5 g) t / h) p) + ) i) 6 6. Calcular las siguints intgrals d funcions compustas: a) ( + ) d b) (7 + 5) d c) ( + ) d d) ( + ) d ) t (t + ) dt ( + ) d g) ( + ) d 7 h) ( + ) d i) d j) ( + ) f) + ( + + ) k) dt l) d 6 m) + d n) d o) ( + )( + + 5) d t + t p) d q) d r) (6 + ) (8 + 5) d ( + ) + s) + d t) + u) cos sn d v) cos sn d w) sn cos d ) arctg d y) + z) ε) (*) ln d α) arctg d + d β) ln d γ) ln arcsn d - δ) + + d cos d sn d d arcsn (Soluc: a) (+) / b) (7+5) / c) ( +) / d) ( +) / ) (t +) / f) ( +) /6 g) h) i) j) k) l) 6 ( + ) 8 ( + ) ( + ) + + t + ( + ) m) ( + ) n) ( ) o) ( ++5) 7 / p) 9( + ) q) + r) (8 +-5) / s) + t) + u) sn / o -cos / v) sn / w) cos / ) y) cosc z) ln / α) /ln β) ln / γ) ε) arctg arc sn ) NOTA: En todas las solucions s omit, por razons d spacio, la ct. d intgración C. arc tg δ) arc sn Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

22 . Calcular las siguints intgrals d tipo logarítmico: a) d b) d c) d d) d ) + 5 a + b + f) d g) d h) d i) d j) sn cos d + sn + cos k) d l) ln d (+ ) arctg m) d arcsn n) sc d + tg o) (*) d cos d sn (Soluc: a) ln b) ln (-) c) ln + 5 d) 6 g) ln ( + + ) h) ln i) ln ( ) m) ln (arcsn ) n) ln ( + tg ) o) ln sn ) ln (a + b) ) a 9 ln + f) ln j) ln k) ln (ln ) l) ln (arctg ) sn + cos. Calcular las siguints intgrals d tipo ponncial: a) d b) d c) d d) d ) d f) d - g) d h) + d i) ( ) + sn + d j) cos d k) ln d tg l) sc d m) p) (6 ) d q) arctg d n) + 7 d r) (Soluc: a) -/ b) / c) h) + i) o) /ln p) 6 /ln6 q) d arcsn d) + / ) -+ / f) d o) d g) + j) sn k) l) tg m) arctg n) arcsn (7 / 5) ln7 5 r) 5 ln 5 ) 5. Calcular las siguints intgrals trigonométricas sncillas: a) cos( ) d b) sn d c) f) sn( + ) d g) cos( + 6) d h) sn d i) cos d d) sn ( + ) d ) cos( + 5) d cos( + 55) d j) sn( k) cos( 5) d l) 7 sn( + 5) d m) cos d n) sn d o) p) cos (arctg ) d + cos ln d + 7) d sn (Soluc: a) b) cos c) sn d) cos (+) ) sn( + 5) f) cos (-+) Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

23 g) sn( + 6) h) m) sn n) cos cos i) sn( +55) j) cos ( + 7) k) 6 o) sn (ln ) p) sn(arctg )) sn ( 5) l) 7cos ( + 5) 6 6. Calcular las siguints intgrals por l método d sustitución o cambio d variabl: + d mdiant +=t b) d hacindo t =- c) d con t= + a) ( ) 0 d) ( + ) d hacindo +=t ) d + f) ( + ) 0 d g) + d h) + d (Soluc: a) ( + ) ( + ) b) ( ) ( ) f) ( + ) 0 ( + ) 9 ( + ) Ln g) ( ) 0 9 c) arc tg d) + + ( + ) + h) Ln ( ) + + ) ) ( arctg ) Rcordar algunos consjos:. En las intgrals NO inmdiatas n las qu haya, sul funcionar l cambio RADICANDO=t. aparzcan d distinto índic, pud funcionar l cambio mcm d los índics RADICANDO=t. En las intgrals NO inmdiatas n las qu aparzca a, pud nsayars a =t. Para intgrals trigonométricas NO inmdiatas vr los cambios vistos n l tma. NOTA: Algunas intgrals d st jrcicio también s podrían habr hcho por parts, como por jmplo l apartado g. 7. Calcular las siguints intgrals d tipo arco tangnt: a) d b) + + d c) d d) 8 + d ) sc d + tg f) a + a d g) + d h) + 9 d i) d ( + ) j) (+ ln ) d k) ( + 7) d l) d m) + d n) + + d + (Soluc: a) arctg(+) b) arctg ( + ) c) arctg d) arctg ) f) ln( + a ) ln a g) arctg h) arctg i) arctg j) arctg(ln) k) arctg( + 7) l) arctg ln ln 6 m) arctg( + ) n) arctg ) 8. Calcular las siguints intgrals d tipo npriano-arco tangnt: a) d b) d c) d d) d ) d 5 + Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

24 f) k) d + d g) + 7 d + + h) + + d i) d j) (Soluc: a) + ln arctg b) ln + + arctg( + ) c) + ln arctg d) + ln arctg ) ln arctg f) ln arctg 5 5 g) + h) + i) ln( + + ) + arctg ln + + arctg ln arctg j) ln( + ) + arctg k) ln( + ) + arctg ) d 9. Calcular por parts las siguints intgrals: a) ln d b) ln d c) ln d d) ln d ) d f) ln( + ) d g) arc cos d h) sn d i) + d j) ( ) d - + k) sn d l) ( + ) d m) cos d n) d o) ( + ) sn d p) Ln d (Soluc: a) ln b) ln c) ln d) ln -ln+ 9 9 ) ( -+) f) ln(+)-+ln(+) g) arccos h) cos - cos+sn i) ( ) + j) sn + cos n) m) ( + ) k) o) (sn cos ) l) sn cos p) Ln ) 0. Calcular las siguints intgrals racionals: a) + d b) d c) d d) ) + 5 d f) 5 + d g) + + d h) + + i) d j) 9 + d k) 8 + d l) m) + d n) 8 d o) + d p) q) + + d r) + d + d d + + d d (Soluc: a) ln ( ) ( ) 7 5 b) ln ( + ) 6 7 c) ln( ) d) 5 ln 5 ) ln + f) + + ln[( )( ) ] g) ln ( ) + + arctg( + ) Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

25 h) ( + ) ln ( ) i) 5 ln ( + ) + arctg j) 9 ln( + ) + + k) ( ) 7 5 ln ( ) + + arctg ln( ) m) ln( ) 5 7 l) + n) ( ) ln 0 ( ) p) ln( ) q) + ln( ) r) ln( + ) ) 9 o) ln( + 6). Calcular las siguints intgrals trigonométricas no inmdiatas, hacindo cambios o transformando los intgrandos: a) 5 cos d d) sn cos d (Hacr cos=t) c) sn + tg d (Dscomponr l intgrando) cos ) sc d f) Sustituir ctg = cos ctg d sn (Hacr sn=t) b) 5 sn d g) cos d h) cos d + sn cos (hacr tg=t) i) cos j) sn d (Multiplicar por l conjugado) k) d (Ángulo dobl) l) + cos sn cos m) d (hacr tg=t) n) cos d sn cos sn sn d (sn=t o cos=t) o) cos cos sn cos d 5 5 (Soluc: a) sn sn sn + b) cos cos + cos c) sc ln cos d) sn ) sn + π L n, o bin Ln ( sc + tg ), o bin Ln tg + f) cos c sn g) sn 6 sn + h) Ln ( + tg ) i) tg j) sn k) Ln ( tg ) 5 l) m) tg tg + n) cos Ln cos o) sn sn ) cos 5 d. Calcular por l método más adcuado (ntr paréntsis figura una ayuda) las siguints intgrals: a) d(inmdiata) b) d (tipo ln) c) ( ) d (por parts) ( ) d) ( ) ln d (por parts) ) d (raícs R simpls) f) + 5 d (raícsr simpl + g) d (ln-arctg) h) + d (raícs R simpls) i) sc d (cambio sn=t) j) + sn d (cambio sn=t) k) cos d sn cos cos (transformar l intgrando) l) cos sn d (inmdiata) m) sn d (por parts) n) arctg d (por parts) o) d (por parts) p) d (ln-arctg) q) d (raícsr simpls) r) ln( + ) d (por parts) + 9 s) ln d - (inmdiata) t) sn(ln) d u) ln( + ) d v) + d w) + d (hacr la división) ) d (hacr la división) + Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

26 y) β) + d (hacr la división) z) d α) + 9 d (tipo arcsn) γ) d ln ln ln ( + ) 7+ tg d cos (hacr ln =t) δ) sn d (cambio variabl+por parts) ε) + d ζ) + sn d sncos (Sol: a) ) ln + 6 b) ln c) d) ln f) ( ) ln + g) + ln( + + 5) + arctg h) ( ) ln ( ) 65 i) ln sn ln sn + (sn ) (sn + ) j) sn ln k) --cosc-ctg l) cos sn 9 m) cos sn cos + + n) 9 7 arctg arctg + o) + p) ln + 9 arctg q) ln ln ( ) ln r) ln + + ln + s) ln t) (snln cosln ) u) ln ln + + v) arctg+ln( +) w) --ln(-) ) ln( ) + + y) γ) ln ln( ) + + z) (ln ) (ln + ) 6 (ln ) ln + 9 α) δ) ( sn cos ) (7 tg) + β) arcsn ln sn ) ε) ( ) + + ζ) ( ) Ln arctg Tórico-prácticos:. Calcular la primitiva d f()=ln qu s anula n =. Dtrminar f() sabindo qu f ()=, f(0)=0, f (0)= y f (0)= (Soluc: f()= + +) 5. Hallar un polinomio cuya drivada sa +-6 y tal qu l valor d su máimo sa trs vcs mayor qu l d su mínimo. (Soluc: p()= /+ /-6+7/) 6. a) Calcular todas las funcions qu vrifican b) Estudiar su drivabilidad. si 0 f '() = + si > 0 + C si 0 Soluc : f() = ; f() drivabl R + + C si > 0 7. Hallar una función F() tal qu F(0)= y qu sa una primitiva d f() = + ( Soluc : F() = Ln ( ) ) + + Ln Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital

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