Capítulo III SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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1 Capítulo III SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES.1 INTRODUCCIÓN: La resolución de las Ecuaciones Diferenciales persigue encontrar epresiones equivalentes que, prescindiendo de derivadas o diferenciales, satisfagan las condiciones de esas ecuaciones. En otros términos, la determinación de las Funciones Primitivas constitue la parte fundamental de la solución de las ecuaciones diferenciales. Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuación diferencial: d - 1 d La resolución de dicha ecuación consiste en encontrar la función que, sin contener derivadas o diferenciales, sea equivalente a la epresión anterior. Inmediatamente se cae en cuenta que, para encontrar la solución, solamente se requiere integrar la epresión previa, obteniéndose la siguiente función primitiva: - + C Donde: C: Constante de integración arbitraria La última epresión constitue una familia de curvas parabólicas, con eje focal paralelo al eje, coincidente con la recta 1/, cuo gráfico se presenta a continuación. 65 I-005

2 La posición vertical del foco de cada parábola de la familia dibujada (también la posición vertical del vértice de las curvas especificadas) depende del valor asignado a la constante arbitraria de integración C. La tabla que sirve de base para la generación del gráfico anterior se la puede elaborar en una hoja electrónica con un contenido similar al siguiente: En ocasiones, la solución de las ecuaciones diferenciales puede basarse en procesos de simple integración como el que se presentó en el ejemplo previo; alternativamente se puede recurrir a procesos de derivación; en otras circunstancias se pueden utilizar artificios matemáticos que dependerán de la forma general de las ecuaciones, en otras ocasiones se utilizarán propiedades especiales de las ecuaciones diferenciales. Cuando no es factible determinar las funciones primitivas correspondientes a una ecuación diferencial, puede resultar conveniente la utilización de métodos numéricos que nos permitan entender su comportamiento, e inclusive pueden favorecer la obtención de una representación gráfica. Problema Resuelto 1*: Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. e + 1 Función solución d - Ecuación diferencial d Solución: Calculando la primera derivada de la función solución: d 6e d Reemplazando la función solución su derivada en la ecuación diferencial. 66 I-005

3 d d d d (6e ) (e + 1) 6e (6e + ) 6e e 6e 6e + 6 Verificado NOTA 1: Se ha verificado que la función es solución de la ecuación diferencial mediante derivación de la función reemplazo de la función su derivada en la ecuación diferencial. Al obtenerse una identidad se verifica la hipótesis del problema. NOTA : Es importante notar que la función presentada no es la única solución de la ecuación diferencial. Cualquier valor que preceda a la epresión eponencial e cumplirá con la ecuación diferencial, por lo que una solución general sería: A.e + 1 Función solución general Donde: A: Constante arbitraria Problema Resuelto : Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. Función solución 67 I-005

4 d Ecuación diferencial d Solución: Calculando la primera derivada de la función solución: d d Reemplazando la función solución su derivada en la ecuación diferencial: d d d } d () } () No se verifica NOTA: La función presentada no es solución de la ecuación diferencial propuesta. Problema Resuelto : Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. Función solución d Ecuación diferencial d Solución: Calculando la primera derivada de la función solución: d d Reemplazando la función solución su derivada en la ecuación diferencial: d d ( ) () Verificado 68 I-005

5 NOTA: La función presentada no es la única solución de la ecuación diferencial. La siguiente es la solución general: A. Función solución general Donde: A: Constante arbitraria Problema Resuelto *: Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. - 1 Función solución d Ecuación diferencial d - 1 Solución: Calculando la primera derivada de la función solución: d 1 d Reemplazando la función solución su derivada en la ecuación diferencial. d d d } d (1) ( 1) 1 69 I-005

6 1 1 Verificado NOTA: La función presentada no es la única que es solución de la ecuación diferencial. La siguiente es la solución general: A( - 1) Función solución general Donde: A: Constante arbitraria. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES: Consiste en colocar, en epresiones separadas de la ecuación diferencial, las funciones de cada variable con su respectivo diferencial proceder a la integración. Los detalles característicos de la ecuación diferencial son los que definen los mecanismos para lograr la separación de las variables. Problema Resuelto 5: Resolver la siguiente ecuación diferencial representarla gráficamente: Solución: Despejando la primera derivada de : La derivada se puede epresar como: d d Reemplazando: 70 I-005

7 d d Separando las diferenciales del miembro izquierdo: d ( )d Integrando ambos miembros: d ( ) d Ejecutando las integrales: C C Solución Donde: C: Constante de integración arbitraria La hoja electrónica que permite graficar la función puede ser la siguiente: 71 I-005

8 Verificación: El punto de partida es la función solución: C La derivada de respecto a es: La ecuación diferencial original es: Reemplazando la derivada en la ecuación diferencial se tiene: 6 78 ( ) Verificado NOTA 1: Se ha conseguido resolver la ecuación diferencial mediante su transformación en un proceso de integración. Para el efecto se han realizados manejos algébricos que permiten la separación de las variables de sus diferenciales. NOTA : La presencia de la constante de integración arbitraria dentro de la solución de la ecuación diferencial da lugar a una familia de curvas que cumplen con la ecuación diferencial. Problema Resuelto 6: Resolver la siguiente ecuación diferencial representarla gráficamente: - e 0 7 I-005

9 Solución: Despejando la primera derivada de : e La derivada se puede epresar como: d d d e d Separando las diferenciales del miembro izquierdo: d e d Integrando ambos miembros: d e d Ejecutando las integrales: e + C Solución Donde: C: Constante de integración arbitraria La hoja electrónica que dio origen al gráfico es: 7 I-005

10 Verificación: La función solución es: e + C La derivada de respecto a es: 6 e e La ecuación diferencial original es: e 0 Reemplazando la derivada en la ecuación diferencial se tiene: 67 8 (e ) e Verificado Problema Resuelto 7: Resolver la siguiente ecuación diferencial: Solución: Despejando la segunda derivada de : I-005

11 La segunda derivada normalmente se la epresa como: d d Pero la segunda derivada es también la derivada de la primera derivada : d d Reemplazando: d d Separando las diferenciales del miembro izquierdo: d ( + + 5)d Integrando ambos miembros: d ( + + 5) d Ejecutando las integrales: C1 Reemplazando por su epresión equivalente: d d d + d C1 Separando las diferenciales: d C1 d Integrando ambos miembros: d C1 d Ejecutando las integrales: C1 + C C1 + C Solución 75 I-005

12 Donde: C 1 : C : Verificación: Constante de integración arbitraria Constante de integración arbitraria La función solución es: C1 + C La primera derivada de respecto a es: C C1 La segunda derivada de es: La ecuación diferencial original es: Reemplazando la segunda derivada en la ecuación diferencial simplificando se tiene: 6 78 ( + + 5) Verificado NOTA 1: La resolución de la ecuación diferencial de segundo orden ha sido transformada en un doble proceso de integración, lo que produjo constantes de integración arbitrarias. La verificación se efectuó mediante un doble proceso de derivación. NOTA : Con el objeto de facilitar la realización de las integraciones requeridas, ejecutándolas de manera separada, la segunda derivada se epresó como la derivada de la primera derivada. Problema Resuelto 8: Resolver la siguiente ecuación diferencial: 76 I-005

13 + Solución: Despejando la segunda derivada: + 5 La segunda derivada es la derivada de la primera derivada de la función: d d d + 5 d Separando las diferenciales del miembro izquierdo: d ( + 5)d Integrando ambos miembros: d ( + 5) d Ejecutando las integrales: C C1 Reemplazando por las diferenciales correspondientes: d d C1 Separando las diferenciales del miembro izquierdo: d ( C1)d Integrando ambos miembros: ( d C1) d Ejecutando las integrales: C1 + C Solución Donde: C 1 : C : Constante de integración arbitraria Constante de integración arbitraria 77 I-005

14 Verificación: La función solución es: C1 + C La primera derivada de respecto a es: C C1 La segunda derivada de es: + 5 La ecuación diferencial original es: Reemplazando la segunda derivada en la ecuación diferencial se tiene: 6 78 ( + 5) Verificado Problema Resuelto 9: Resolver la siguiente ecuación diferencial: + Cos() Solución: Despejando la segunda derivada de : Cos() Cos() + La segunda derivada es la derivada de la primera derivada: d d d 7 Cos() + d Separando las diferenciales del miembro izquierdo: 78 I-005

15 d Cos() 7 + d Integrando ambos miembros: 7 d Cos() + d Ejecutando las integrales: 7 Sen() + + C 1 Reemplazando por su epresión equivalente: d d d 7 Sen() + + C 1 d Separando las diferenciales: d Sen() C1 d Integrando ambos miembros: 7 d Sen() + + C1 d Ejecutando las integrales: 7 Cos() + + C1 + C 8 Solución Donde: C 1 : C : Verificación: Constante de integración arbitraria Constante de integración arbitraria La función solución es: 7 Cos() + + C1 + C 8 La primera derivada de respecto a es: 6 1 Sen() + + C Sen() + + C 1 79 I-005

16 La segunda derivada de respecto a es: 6 7 Cos() + 7 Cos() + La ecuación diferencial original es: + Cos() 7 0 Reemplazando la segunda derivada en la ecuación diferencial se tiene: Cos() + + Cos() Cos() + + Cos() 7 0 [ Cos() + 7] + Cos() Verificado Problema Resuelto 10: Resolver la siguiente ecuación diferencial representarla gráficamente: - Sen(t) 0 Solución: Despejando la segunda derivada de : Sen(t) Por la forma de las epresiones que aparecen en la ecuación diferencial, es la segunda derivada de respecto a t (no es la segunda derivada de respecto a ). d dt Pero la segunda derivada es también la derivada de la primera derivada: d dt Reemplazando se tiene: d Sen(t) dt 80 I-005

17 Separando las diferenciales del miembro izquierdo: d Sen(t)dt Integrando ambos miembros: d Sen(t)dt Ejecutando las integrales: 1 Cos(t) + C 1 Reemplazando por su epresión equivalente: d dt d 1 Cos(t) + C 1 dt Separando las diferenciales: d 1 Cos(t) + C1 dt Integrando ambos miembros: 1 d Cos(t) + C1 dt Ejecutando las integrales: 1 - Sen(t) + C1t + C 9 Solución Donde: C 1 : C : Constante de integración arbitraria Constante de integración arbitraria 81 I-005

18 NOTA: Las curvas obtenidas son sinusoides que se desarrollan sobre ejes de referencia correspondientes a rectas en diferentes partes del plano con inclinaciones diferentes. La posición orientación del eje de referencia depende de los valores de las constantes C1 C La tabla que dio origen al gráfico es: Verificación: La función solución es: 1 Sen(t) + C1t + C 9 La primera derivada de respecto a t es: Cos(t) + C Cos(t) + C 1 La segunda derivada de respecto a t es: Sen(t) Sen(t) La ecuación diferencial original es: Sen(t) 0 Reemplazando la segunda derivada en la ecuación diferencial se tiene: 8 I-005

19 67 8 Sen(t) Sen(t) Verificado Problema Resuelto 11: Resolver la siguiente ecuación diferencial: - + e Solución: Despejando la tercera derivada de : e 1 + La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada: d d Reemplazando: d e d 1 + Separando las diferenciales: d ( e 1 + )d Integrando ambos miembros: d ( e 1 + Ejecutando las integrales: )d 1 e + + C1 e C1 La segunda derivada es la derivada de la primera derivada: d d Reemplazando: d e C1 d 8 I-005

20 Separando las diferenciales: d (e C1)d Integrando ambos miembros: d C1 (e Ejecutando las integrales: )d 6 e + + C1 + C e + + C1 + C Reemplazando por su epresión equivalente: d d d e + + C1 + C d Separando las diferenciales: d e + + C1 + C d Integrando ambos miembros: d e + + C1 + C d Ejecutando las integrales: C1 e C + C C + 1 e C C Solución Donde: C 1 : C : C : Verificación: Constante de integración arbitraria Constante de integración arbitraria Constante de integración arbitraria La función solución es: 8 I-005

21 1 1 C1 e C + C La primera derivada de respecto a es: C1 e C e + + C1 + C La segunda derivada de es: 6 e C1 e C1 La tercera derivada de es: e 1 + La ecuación diferencial original es: + e Reemplazando la tercera derivada en la ecuación diferencial se tiene: 67 8 ( e 1 + ) + e Verificado NOTA 1: La solución a la ecuación diferencial es una familia de parábolas de cuarto grado más una función eponencial amortiguada (eponente con signo negativo) para los valores positivos de. NOTA : La resolución de la ecuación diferencial de tercer orden ha sido transformada en un triple proceso de integración, lo que produjo constantes de integración arbitrarias. La verificación se efectuó mediante un triple proceso de derivación. NOTA : Para facilitar la realización de las integrales requeridas en la resolución de la ecuación diferencial, ejecutándolas por separado, la tercera derivada se epresó como la derivada de la segunda derivada, la segunda derivada se describió como la derivada de la primera derivada. Problema Resuelto 1: Resolver la siguiente ecuación diferencial: 85 I-005

22 d d Solución: Separamos todas las epresiones en de las epresiones en :.d.d Integrando ambos miembros:.d. d Ejecutando las integrales: + C Agrupando las variables en un solo miembro: C Multiplicando por : C Reemplazando C por una nueva constante k : - k Solución NOTA: Cuando k tiene valor positivo, la solución es la ecuación de una familia de hipérbolas con centro en el origen de coordenadas eje focal coincidente con el eje de las. Si el valor de k es negativo la solución es también una familia de hipérbolas con centro en el origen de coordenadas, pero el eje focal coincide con el eje de las. 86 I-005

23 NOTA: En ambas circunstancias estamos hablando de una relación no de una función, pues en el primer caso para cada valor de eisten valores de (dos puntos, en dos segmentos de curva), en el segundo caso para cada valor de eisten valores de. Verificación: La solución es: k Obteniendo diferenciales en la epresión (las reglas de diferenciación son similares a las de derivación):.d.d 0 Separando las diferenciales:.d.d.d.d Reagrupando las diferenciales en forma de derivadas: d Verificado d NOTA: A diferencia de los problemas anteriores en que la ecuación diferencial solo contenía una de las derivadas de la variable dependiente, pero no la variable, en el presente caso, debido a la presencia simultánea de, alguna función de la variable independiente, la verificación ha consistido en recuperar la ecuación diferencial original en base a su solución matemática. Problema Resuelto 1: Resolver la siguiente ecuación diferencial: 87 I-005

24 d d Solución: Separamos todas las epresiones en de las epresiones en : d d Integrando ambos miembros: d d Ejecutando las integrales, que claramente conducen a epresiones logarítmicas por presentar en el numerador de las fracciones las derivadas (propiamente las diferenciales) de los correspondientes denominadores: ln( ) ln( ) + C Por facilidad de simplificación posterior se reemplaza la constante C por el logaritmo natural de otra constante ( k ), de modo que todas las epresiones sean funciones logarítmicas. ln( ) ln( ) + ln( k) La suma de logaritmos es el logaritmo de un producto: ln( ) ln( k.) Aplicando el antilogaritmo natural a ambos miembros: k. Solución NOTA 1: Debido a que los procesos de integración condujeron solamente a epresiones logarítmicas, resultó conveniente reemplazar la constante de integración por el logaritmo de otra constante, pues permitió una simplificación importante de la epresión final de la solución. NOTA : La solución (la función primitiva) es la ecuación de una familia de rectas que pasan por el origen tienen una pendiente variable k (en Geometría Analítica la ecuación de esa familia de rectas se escribe m. ). 88 I-005

25 Verificación: La solución es: k. Obteniendo la derivada de respecto a : d d k En la función solución se despeja k : k Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí: d Verificado d NOTA 1: Mientras maor sea la complejidad de la ecuación diferencial, más artificiosa se puede volver la verificación. NOTA : En todos los casos en que aparecen variables sus derivadas se toma como punto de partida la solución obtenida como punto de llegada la ecuación diferencial original. Problema Resuelto 1*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: d 1 - d Solución: Separamos todas las epresiones en de las epresiones en : 89 I-005

26 .d (1 )d Integrando ambos miembros:.d (1 ). d Ejecutando las integrales: + C Multiplicando por : + C Agrupando las variables en un solo miembro: + C 0 Reemplazando -C por otra constante ( k ): k 0 Solución Donde: k: Constante arbitraria NOTA 1: En muchos casos es conveniente el reemplazo de constantes de integración por otras epresiones también constantes para simplificar las epresiones. NOTA : La hoja electrónica es especialmente útil para encontrar valores para las constantes involucradas, de modo que los gráficos de las funciones sean representativos de la solución. Verificación: La solución es: + + k 0 Derivando respecto a se tiene: 90 I-005

27 d +. 0 d d d Despejando la derivada: d. d 1 Despejando la derivada: d 1 - d Verificado Problema Resuelto 15*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: d d Solución: Sec().Tan() Separando las variables: d Sec( ) Tan().d Colocando las funciones trigonométricas en Senos Cosenos: Cos().d Integrando: Sen() d Cos() Sen() Cos ().d d Cos() Ejecutando las integrales: [ Cos() ] C Sen () ln + Agrupando las variables en un solo miembro: [ Cos() ] C Sen () + ln Solución Donde: C: Constante arbitraria de integración 91 I-005

28 NOTA 1: La solución a la ecuación diferencial es una epresión periódica que tiene valores dentro del campo de los reales en ciertos intervalos carece de soluciones en otros intervalos. Los intervalos en que no eiste solución corresponden a aquellos valores en que el Coseno de adquiere valores negativos por consiguiente no es factible obtener su logaritmo, lo que se refleja en la hoja electrónica que se utiliza para generar los gráficos. NOTA : Debido a la presencia de funciones Seno Coseno, cuos valores fluctúan entre , no eiste solución real para todos los valores de C, pues cuando C - o C +1 no eisten valores reales que cumplan con la Función Primitiva. Verificación: La solución es: [ Cos() ] C Sen () + ln Obteniendo diferenciales de la epresión: Sen() Cos ().d + d 0 Cos() 9 I-005

29 Sen() Cos ().d d 0 Cos() Pero la epresión Sen()/Cos() es igual a Tan() : Cos ().d Tan().d 0 Separando las variables: Cos ().d Tan().d Agrupando las diferenciales: d Tan() d Cos() Reemplazando Cos() por el inverso de Sec() : d Sec().Tan() Verificado d NOTA: Generalmente los pasos seguidos en la resolución de la ecuación diferencial dan la pauta de los artificios requeridos para su verificación.. FACTORES Y DIVISORES DE INTEGRACIÓN: Eisten determinadas epresiones algébricas que al multiplicar o dividir a las ecuaciones diferenciales las simplifican pues facilitan la separación de variables posibilitan su integración; tales factores o divisores se denominan factores o divisores de integración, de acuerdo al caso. Problema Resuelto 16*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( + )d + ( + )d 0 Solución: Factorando la ecuación diferencial para facilitar la separación de variables: ( + )d + (1 + )d 0 Dividiendo para el producto (+ ).(1+ ) constituido por las epresiones que impiden la integración directa de los términos de la ecuación diferencial, que es el divisor de integración. El inverso de la epresión es el factor de integración. ( + )d + (1 + )d 0 ( + ).(1 + ) ( + )d (1 + )d + 0 ( + ).(1 + ) ( + ).(1 + ) 9 I-005

30 .d 1+.d + + Integrando:.d d + C Ejecutando las integrales: 1 1 ln(1 + ) + ln( + ) C Multiplicando por : ln(1 + ) + ln( + ) C Reemplazando C por el logaritmo natural de k : ln(1 + ) + ln( + ) ln( k) El logaritmo del producto es la suma de logaritmos: ln {(1 + ).(+ )} ln( k) Aplicando el antilogaritmo a ambos miembros: (1+ ).( + ) k Solución Donde: k: Constante arbitraria de integración Verificación: La solución es: 9 I-005

31 (1 + ).( + ) k Obteniendo diferenciales de la epresión anterior: (1 + ).().d + ( + ).().d 0 (1 + ).d + ( + ).d 0 Efectuando los productos: ( + ).d + ( + ).d 0 Reordenando: ( + )d + ( + )d 0Verificado Problema Resuelto 17*: Resolver la siguiente ecuación diferencial:.d -.d.d Solución: Agrupando las diferenciales:.d.d.d ( ).d.d Dividiendo para el producto (- )., que es el divisor de integración : ( ).d ( ). d d d d ( ).d ( ). Descomponiendo el miembro derecho en fracciones parciales reemplazando: 1 A B + ( ) Obteniendo denominador común en el miembro derecho: 1 A( ) + B. ( ) ( ) Destruendo paréntesis en el numerador: 95 I-005

32 d 1 A A + B. ( ) ( ) Agrupando: 1 ( B A ) + A ( ) ( ) Convirtiendo al numerador de la fracción izquierda en un polinomio similar al del numerador derecho ( B A ) + A ( ) ( ) De donde, al igualar los polinomios de los numeradores de las fracciones se tiene: B A 0 A 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: A 1 / B 1 / La fracción original es equivalente a: 1 1 / 1 / + ( ) 1 1 d d + Multiplicando por :.d.d Integrando:.d d d + d d d d Ejecutando las integrales:.ln( ) ln( ) ln( ) + C Reemplazando C por el ln(k) :.ln( ) ln( ) ln( ) + Agrupando los logaritmos: k. ln( ) ln ln( k) Calculando los antilogaritmos: 96 I-005

33 k. Solución - Donde: k: Constante arbitraria de integración Problema Resuelto 18*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( - )d + ( + )d 0 Solución: Factorando la ecuación diferencial para facilitar la separación de variables: ( )d + ( + )d 0 Dividiendo para el producto., que es el divisor de integración : ( )d + ( + )d 0. ( )d ( + )d ( )d ( + )d + 0 ( 1)d + ( + )d 0 Separando los componentes de la integración simplificando:.d d +.d +.d 0 97 I-005

34 d.d +.d +.d 0 Integrando:.d.d +.d +.d C Ejecutando las integrales: 1.ln( ) ln( ) C C 1.ln( ) C Solución Donde: C: Constante arbitraria de integración NOTA: Para graficar la solución podría resultar conveniente representarla como una ecuación de segundo grado en que la variable independiente es, que puede ser representada como una nueva variable z. Reordenando la epresión: ln( ) + C ln( ) + C 0 Reemplazando la constante -C por una constante k : ln( ) + + k 0 Agrupando el término independiente de : ln( ) + + k 0 Multiplicando por : ln( ) + + k 0 Poniendo la epresión en función de : 1 [ ] + [ ] +..ln( ) + + k 0 Para simplificar el procedimiento puede utilizarse la siguiente ecuación paramétrica: z o z Ecuación paramétrica para graficación Reemplazando la ecuación paramétrica en la epresión previa: 98 I-005

35 1 z + z +..ln( ) + + k 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado para la variable z se tiene: ± (1)..ln( ) + z (1) z ± ln( ) k + k 1 ± 16 1.ln( ) + + k z Etraendo el 16 de la epresión radical: 1 ± 1.ln( ) + + k z 1 ± 1.ln( ) k z 1 z ± 1.ln( ) k Reemplazando z en función de : z 1 ± 1.ln( ) k Despejando : ± ± 1.ln( ) 1 k Para el valor negativo del radical interior no eisten valores dentro del conjunto de los números reales por lo que la epresión para la graficación es: ln( ) - - k Solución para graficación Un aspecto que es importante mencionar es que no siempre se podrá obtener con facilidad una representación gráfica de las funciones equivalentes a las ecuaciones diferenciales condiciones de frontera planteadas. 99 I-005

36 Problema Resuelto 19*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( + 1).d + ( - 1).d 0 Solución: Dividiendo para (+1).(-1), que son los factores que impiden la integración directa: ( + 1).d + ( 1).d 0 ( + 1).( 1) ( + 1).d ( 1).d + 0 ( + 1).( 1) ( + 1).( 1).d.d Separando la parte entera (divisible) de la parte no divisible en las fracciones: La determinación de la parte entera polinómica la parte fraccionaria polinómica se puede realizar mediante una sencilla división, en la que el cociente es la parte entera el residuo dividido para el divisor es la parte fraccionaria no divisible. D ( ) d ( )... Q ( ) R ( ) D( ) R( ) Q( ) + d( ) d( ) 100 I-005

37 Reemplazando las equivalencias se tiene: d + 1+.d Separando los componentes de la integración simplificando: d d ( + 1).d + + ( 1).d Integrando: d d ( + 1).d + + ( 1).d + C Ejecutando las integrales: Donde: + + ln( -1) ln( + 1) C Solución C: Constante arbitraria de integración NOTA: Cuando es difícil o imposible despejar una de las variables, de modo que se pueda construir la representación gráfica de una función (como en la epresión anterior), la hoja electrónica se puede organizar de tal manera que por tanteos convergentes se llegue a una aproimación aceptable de evaluación (que la evaluación del miembro izquierdo sea mu parecida a la evaluación del miembro derecho). 101 I-005

38 La tabla a través de la cual se pudo construir el gráfico anterior es: Para cada valor de se asignan diferentes valores de, de modo que en las columnas C, E G se evalúa el miembro izquierda de la ecuación se procura que alcance un valor que se aproime mucho a 00, Problema Resuelto 0*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: d d ( - ) Solución: Separando las diferenciales: ( ).d.d Dividiendo para., que son los factores que impiden la integración directa: 10 I-005

39 ( ).d. ( ).d.d. d Separando los componentes del miembro izquierdo:.d.d.d d Integrando:.d d d d d Ejecutando las integrales:.ln( ).ln( ) + C Reemplazando C por el ln(k) :.ln( ).ln( ) + ln( k) El logaritmo del producto es la suma de logaritmos: -.ln( ).ln( k.) Solución Donde: k: Constante arbitraria de integración NOTA: La solución podría tener una epresión eponencial alternativa que eventualmente podría favorecer su representación gráfica. Introduciendo el valor el como eponentes de las epresiones logarítmicas: ln( ) ln( k. ) ln( ) ln( k. ) Reemplazando la constante por otra más simple: ln( ) ln( k1. ) Agrupando las epresiones logarítmicas: ln( ) + ln( k1. ) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos: ln( k1.. ) La epresión eponencial equivalente es: e k1.. De esta epresión se podría despejar obtener una epresión de esa variable en función de, lo que facilitaría la graficación. 10 I-005

40 e k1. La epresión que se puede utilizar para crear gráficos sería: e ± k1. Esta epresión tiene soluciones dentro del campo de los reales (cuando el argumento del radical es positivo) soluciones en el campo de los números complejos (cuando el argumento es negativo). Problema Resuelto 1*: Resolver la siguiente ecuación diferencial:..d + (1 + ).d 0 Solución: Dividiendo para.(1+ ), que son los factores que impiden la integración directa:..d + (1 + ).d 0.(1 + ) Separando en fracciones:..d (1 + ).d + 0.(1 + ).(1 + ).d d + 0 (1 + ) Integrando: 10 I-005

41 .d + (1 + ) d 0 Ejecutando las integrales: 1 ln(1 + ) + ln( ) C Multiplicando por simplificando: ln(1 + ) +.ln( ) C ln(1 + ) + ln( ) C Reemplazando C por el ln(k) : ln(1 + ) + ln( ) ln( k) El logaritmo del producto es la suma de logaritmos: ln (.(1 + )) ln( k) Aplicando antilogaritmos:.(1 + ) k Solución Donde: k: Constante arbitraria de integración Problema Resuelto *: Resolver la siguiente ecuación diferencial: Ctg ( q ).dr + r.dq 0 Solución: Dividiendo para r.ctg(q) : 105 I-005

42 Ctg( θ).dρ + ρ.dθ 0 ρ.ctg( θ) Separando en fracciones: Ctg( θ).dρ ρ.d θ + 0 ρ.ctg( θ) ρ.ctg( θ) dρ dθ + 0 ρ Ctg( θ) Pasando la función trigonométrica al numerador: dρ + Tan( θ).dθ 0 ρ Integrando: dρ + ρ Tan( θ).dθ C Ejecutando las integrales: [ Cos( θ) ] C ln( ρ ) ln Reemplazando C por el ln(k) : [ Cos( θ) ] ln( k) ln( ρ ) ln Pasando el logaritmo con signo negativo al miembro derecho: ln( ρ ) ln( k) + ln [ Cos( θ) ] El logaritmo del producto es la suma de logaritmos: ln( ρ ) ln [ k.cos( θ) ] Aplicando antilogaritmos: r k.cos( q) Solución Donde: k: Constante arbitraria de integración 106 I-005

43 . CAMBIO DE VARIABLES: Un artificio empleado con bastante frecuencia en ecuaciones diferenciales es el cambio de variables, que significa la introducción de una o varias nuevas variables en función de las variables a eistentes, lo que permite la eliminación de una o algunas de las variables primarias la simplificación de la ecuación diferencial original. El tipo de epresiones que se utilizan en el cambio de variables depende de la forma general de las ecuaciones planteadas. Son usuales las nuevas variables que se obtienen a partir de operaciones básicas que afectan a las variables originales, a constantes específicas, o a las derivadas de las funciones involucradas en la ecuación diferencial...1 Ecuaciones Diferenciales con Funciones Homogéneas: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con funciones homogéneas del mismo orden para las diferenciales, es conveniente introducir una nueva variable tal que una de las variables iniciales sea igual a la nueva variable multiplicada por la otra variable inicial. Problema Resuelto : Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( + ).d -.d 0 Solución: Debido a que las potencias o las sumas de potencias de todos los componentes dan (,,. ), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables. La epresión para la sustitución de variables sería: v. Ecuación de cambio de variable La epresión diferencial correspondiente es: 107 I-005

44 d v.d +.dv Reemplazando en la ecuación diferencial original se tiene: ( + (v.) ).d (v.).(v.d +.dv) 0 Resolviendo:.(1 + v ).d.v.(v.d +.dv) 0 Factorando : ((1 + v ).d v.(v.d +.dv) ) 0 (1 + v ).d v.(v.d +.dv) 0 Agrupando las diferenciales: (1 + v ).d v.d v..dv 0 (1 v ).d v..dv 0 Dividiendo para el divisor de integración se tiene: (1 v ).d v..dv 0 (1 v ). (1 v ).d v..dv 0 (1 v ). (1 v ). d v.dv 0 (1 v ) Integrando ambos miembros: d v.dv C (1 v ) d v.dv + C (1 v ) Ejecutando las integrales, que son del tipo logarítmico: ln( ) + ln(1 v ) C Reemplazando la constante C por ln(k) : ln( ) + ln(1 v ) ln( k) El logaritmo del producto es la suma de logaritmos: 108 I-005

45 ln {.(1 v )} ln( k) Calculando el antilogaritmo:.(1 - v ) k Solución intermedia Reemplazando v en función de : v. 1 - k Solución Ł ł Donde: k: Constante arbitraria Para la representación gráfica es preferible utilizar la epresión en que aparece despejada: ± k. NOTA 1: Debido a la forma general de la ecuación diferencial original, que tiene factores +., la Ecuación de Cambio de Variable podría ser indistintamente v. o v.. NOTA : Generalizando, las ecuaciones con funciones homogéneas en pueden ser resueltas mediante cambios de variable de la forma v. o v.. Problema Resuelto *: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( + ).d +..d I-005

46 Solución: Debido a que las potencias o las sumas de potencias de todos los componentes dan (,,. ), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables. La epresión para la sustitución de variables sería: v. Ecuación de cambio de variable La epresión diferencial correspondiente es: d v.d +.dv Reemplazando d en la ecuación diferencial original se tiene: ( + (v.) ).d +.(v.).(v.d +.dv) 0 Resolviendo:.d + v..d + v..(v.d +.dv) 0.d + v..d + v..d + v..dv 0 Factorando : (d + v.d + v.d + v..dv) 0 d + v.d + v.d + v..dv 0 d + v.d + v..dv 0 Agrupando de acuerdo a las diferenciales: (d + v.d) + v..dv 0 (1 + v ).d + v..dv 0 Dividiendo para el divisor de integración se tiene: (1 + v ).d + v..dv 0 (1 + v ). (1 + v ).d v..dv + 0 (1 + v ). (1 + v ). d v.dv + 0 (1 + v ) Integrando ambos miembros: 110 I-005

47 d v.dv + C (1 + v ) Ejecutando las integrales: ln( ) 1 + ln(1 + v ) C Multiplicando por : ln( ) + ln(1 + v ) C Introduciendo el número en la epresión logarítmica: ln( ) + ln(1 + v ) C Reemplazando la constante C por ln(k) : ln( ) + ln(1 + v ) Agrupando logaritmos: ln (.(1 + v )) ln( k) ln( k) Aplicando antilogaritmos:.(1 + v ) k Solución intermedia Reemplazando v en función de : v. 1+ k Destruendo los signos de agrupación: +. k. + k +. k Solución Donde: k: Constante arbitraria 111 I-005

48 Problema Resuelto 5*: Resolver la siguiente ecuación diferencial:.d -.d - -.d 0 Solución: Debido a que las potencias simplificadas de todos los componentes dan 1 (,, + ), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado 1, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables. La epresión para la sustitución de variables sería: v. Ecuación de cambio de variable La epresión diferencial correspondiente es: d v.d +.dv Reemplazando d en la ecuación diferencial original se tiene:.(v.d +.dv) (v.).d Resolviendo: (v.).d 0.v.d +.dv v..d.dv. 1 v.d 0 Factorando :..dv 1 v.d 0 (1 v ).d 0 11 I-005

49 .dv 1 v.d 0 Dividiendo para el divisor de integración se tiene:.dv. 1 v 1 v.d 0.dv 1 v.d 0. 1 v. 1 v dv d 0 1 v Integrando ambos miembros: dv 1 v d 0 Ejecutando las integrales: Sen 1 (v) ln( ) C Reemplazando la constante C por ln(k) : Sen 1 (v) ln( ) ln( k) Agrupando logaritmos: Sen 1 (v) ln( ) + ln( k) El logaritmo del producto es la suma de logaritmos: - Sen 1 (v) ln( k.) Solución intermedia Reemplazando v en función de : v - Sen 1 ln( k.) Solución Ł ł Donde: k: Constante arbitraria NOTA: Para representar gráficamente a la función se necesita calcular el Seno de las epresiones. 1 Sen Sen Sen { ln( k.) } 11 I-005

50 Sen{ ln( k.) } Solución para graficación.sen{ ln( k.) } Problema Resuelto 6*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( + ).d + ( - ).d 0 Solución: Debido a que las potencias de todos los componentes dan 1 (,,, - ), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado 1, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables. La epresión para la sustitución de variables sería: v. Ecuación de cambio de variable La epresión diferencial correspondiente es: d v.d +.dv Reemplazando d en la ecuación diferencial original se tiene: ( + v.).d + (v. ).(v.d +.dv) 0 Agrupando las epresiones con el mismo diferencial: ( + v.).d + (v. ).v.d + (v. )..dv 0 ( + v.).d + (v. v.).d + (v 1).dv 0 ( + v. + v. v.).d + (v 1).dv 0 11 I-005

51 ( + v. + v.).d + (v 1).dv 0.( + v + v ).d + (v 1).dv 0 Dividiendo para el divisor de integración:.( + v + v ).d + (v 1).dv 0 ( + v + v ). Separando en fracciones:.( + v + v ).d (v 1).dv + ( + v + v ). ( + v + v ). d (v 1).dv v + v 0 Completando en el numerador de la segunda fracción la mitad de la derivada del denominador: d (v + 1 ).dv v + v Separando la segunda fracción en : d (v + 1).dv dv v + v + v + v d 1 (v + ).dv dv v + v + v + v Integrando: d 1 (v + ).dv dv +. + v + v + v + v Ejecutando las integrales: ln( ) C 1 dv +.ln( + v + v ) + v + v C Agrupando el denominador en un trinomio cuadrado perfecto: ln( ) ln( ) ln( ) 1 dv +.ln( + v + v ) C (v + v + 1) dv +.ln( + v + v ) C (v + 1) ln( + v + v ) Tan (v + 1) C Multiplicando por : 115 I-005

52 1.ln( ) + ln( + v + v ) Tan (v + 1) C Reemplazando C por k : 1 ln( ) + ln( + v + v ) Tan (v + 1) k La suma de logaritmos es el logaritmo del producto: ln -1 {.( + v + v )}- Tan (v + 1) k Reemplazando v en función de : v 1 ln. + + Tan + 1 k 1 ln + + Tan 1 k + ln -1 { +. + }- Tan + 1 k Solución intermedia Solución.. Ecuaciones Diferenciales con Relaciones Epresas entre las Variables: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con relaciones epresas entre las variables puede ser conveniente introducir una nueva variable tal que refleje esas relaciones epresas. Problema Resuelto 7*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( / ) ( / ) [ 1 + e ].d + e. 1 -.d 0 Solución: Ł ł Debido a la presencia de epresiones de la forma /, la relación para la sustitución de variables es directamente identificable: v o v. Ecuación de cambio de variable La epresión diferencial correspondiente es: d v.d +.dv Reemplazando d en la ecuación diferencial original se tiene: 116 I-005

53 v. v. v. (1 + e ).(v.d +.dv) + e (1 ).d 0 v v (1 + e ).(v.d +.dv) + e (1 v).d 0 v v v v v.d +.dv + e.v.d + e..dv + e.d e.v.d 0 v v v.d +.dv + e..dv + e.d 0 Agrupando diferenciales: v v (v.d + e.d) + (.dv + e..dv) 0 Factorando: v v (v + e ).d + ( + e.).dv 0 v v (v + e ).d +.(1 + e ).dv 0 Simplificando mediante el divisor de integración: v v (v + e ).d +.(1 + e ).dv 0 v (v + e ). Separando en fracciones: v v (v + e ).d.(1 + e ).dv + v v (v + e ). (v + e ). d (1 + e ).dv + 0 v v + e Integrando: v d (1 + e ).dv + 0 v v + e Ejecutando las integrales: ln( ) + ln( v + v e ) C v 0 Reemplazando C por el logaritmo natural de k : ln( ) + ln( v + v e ) ln( k) la suma de logaritmos es el logaritmo del producto: ln v (.(v + e )) ln( k) Aplicando antilogaritmos: 117 I-005

54 .(v + v e ) k Destruendo el paréntesis:.v + v.e k Solución intermedia Reemplazando v en función de : v (. +.e / ) k ( / ) +.e k Solución La información en la hoja electrónica que permite generar la familia de curvas se obtiene asignando valores a buscando mediante prueba error los valores de que permiten cumplir con la función primitiva. 118 I-005

55 Problema Resuelto 8*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: (1- + ) d + ( - ) d 0 Solución: La ecuación de cambio de variable es: v. Ecuación de cambio de variable Equivalente a: v La epresión diferencial correspondiente es:.dv v.d d Reemplazando d : v v 1 + v d +.dv v.d (1 v + v ) d + (.v ) 0.dv v.d (1 v + v ) d + (v 1) 0 (1 v + v ) d + (v 1) (.dv v.d) 0 Destruendo paréntesis:.dv v.d 0 (d v.d + v.d) + (.v.dv v.d.dv + v.d) 0 Agrupando diferenciales: (d v.d + v.d v.d + v.d) + (.v.dv.dv) 0 ( d) + (v 1)..dv 0 Dividiendo para que es el divisor de integración: d + (v 1)..dv 0 Separando en fracciones simplificando: 119 I-005

56 d (v 1)..dv + 0 d + (v 1).dv 0 Integrando: d + (v 1).dv C Ejecutando las integrales: v ln( ) + - v C Solución intermedia Reemplazando v en función de : v.. ln( ) + - (.) C Solución Problema Resuelto 9*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: d d ( - Solución: ) Separando las diferenciales de la ecuación se tiene: d ( ).d Las epresiones que aparecen en la ecuación diferencial sugieren la siguiente transformación: 10 I-005

57 v - Ecuación de cambio de variable Equivalente a: + v La epresión diferencial correspondiente es: d d + dv Reemplazando d simplificando: d d [( + v) ].(d + dv) ( + v ).(d + dv) d v.(d + dv) Destruendo el paréntesis: d v.d + v.dv Agrupando diferenciales: d v.d v.dv (1 v ).d v.dv Separando variables: v d 1 v.dv Separando la parte entera de la parte no divisible de la fracción: v 1 v v v 1 v ( v 1) v v 1 Separando en fracciones: v 1 v v 1 v ( v v 1 v 1) 1 v Reemplazando en la epresión diferencial anterior: v d.dv 1 v 1 d 1.dv v 1 11 I-005

58 Factorando el denominador de la fracción: 1 d 1.dv (v + 1).(v 1) Descomponiendo en Fracciones Parciales la epresión fraccionaria: ( v 1 A B ).( v 1) v + 1 v 1 Obteniendo denominador común en el miembro derecho: ( v ).( v 1 ) A.( v ( v 1 ) + B.(v + 1 ) + 1 ).( v 1 ) Destruendo paréntesis en el numerador derecho: ( v 1 + 1).( v 1) A.v A + B.v + B (v + 1).( v 1) Agrupando: 1 ( A + B ).v + ( B A ) ( v + 1 ).( v 1) ( v + 1 ).( v 1 ) Al igualar los polinomios de las fracciones se tiene el siguiente par de ecuaciones: A+ B 0 B A 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: A 1/ B 1/ La fracción original es equivalente a: 1 1/ 1 / + ( v + 1).( v 1) v + 1 v 1 Reemplazando en la epresión diferencial: 1/ 1/ d 1 +.dv v + 1 v 1 Separando componentes: 1/ 1/ d dv +.dv.dv v + 1 v 1 1 dv 1 dv d dv + v + 1 v 1 Integrando: d 1 dv + dv 1 v + 1 Ejecutando las integrales: dv v 1 1 I-005

59 1 1 -v + ln( v + 1) - ln( v - 1) + C Solución intermedia Reemplazando v en función de : v 1 1 -( - ) + ln( - + 1) - ln( - - 1) + C Solución.. Ecuaciones Diferenciales con Funciones Linealmente Dependientes: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con dependencia lineal entre las epresiones que involucran a las variables que afectan a las diferenciales, es apropiado reemplazar una de esas relaciones lineales por una nueva variable. Problema Resuelto 0*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( + ).d + ( + - ).d 0 Solución: Las epresiones + + (el segundo polinomio en función de las variables es un múltiplo del primero por lo que son linealmente dependientes) dejan traslucir la conveniencia de un cambio de variable del tipo: v + o v - Ecuación de cambio de variable La epresión diferencial correspondiente es: d dv d Reemplazando d en la ecuación diferencial original se tiene: [ + (v ) ].(dv d) 0 ( + v ).d + ( + v ).(dv d) 0 ( v ).(dv d) 0 v.d + v.d + Reagrupando: + ( v ).dv 0 ( v ).dv 0 ( v v + ).d ( v).d + Separando variables diferenciales de esas variables: ( v).d ( v )dv. Factorando el miembro izquierdo: ( v).d ( v )dv. Trasladando las epresiones en v al miembro derecho: 1 I-005

60 v.d.dv v Separando la parte entera de la parte fraccionaria: (6 v).d.dv v 6 v.d.dv.dv v v.d.dv.dv v Integrando:.d.dv. dv v v + ln( v) + C Reemplazando C por el logaritmo natural de k : v + ln( v) + ln( k) Agrupando logaritmos: { k.( v) } v + ln - Solución intermedia Reemplazando v en función de : v + { k.( ) } { k.( ) } ( + ) + ln + + ln Pasando todas las epresiones al miembro izquierdo cambiando de signo: + + ln { k.( ) } 0 { k.( - - ) } ln Solución NOTA: Para la utilización del artificio propuesto se han comparado eclusivamente las partes que contienen las variables, dentro de los polinomios que multiplican a las diferenciales; se han ignorado los términos independientes. 1 I-005

61 NOTA: La representación gráfica de la solución no es directa sino que requiere la evaluación de la función para algunos valores de la variable independiente, a partir de lo cual se estima el valor aproimado de la variable dependiente que le corresponda. Problema Resuelto 1: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( + - 1).d + ( + ).d 0 Solución: Las epresiones + +, donde la segunda epresión es múltiplo de la primera, determinan la siguiente transformación: v + o v - Ecuación de cambio de variable Las diferenciales correspondientes son: d dv d Reemplazando en la ecuación diferencial las equivalencias de d, en función de la nueva variable v, se tiene: { + (v ) 1 }.d + { + (v ) }.(dv d) 0 Simplificando agrupando las diferenciales: { + v 1 }.d + { + v }.(dv d) 0 ( v 1).d + v.(dv d) 0 v.d d + v.dv v.d 0 v.d d + v.dv 0 Agrupando: ( v + 1).d + v.dv 0 15 I-005

62 Separando las diferenciales: v.dv (v + 1).d Separando las variables: v.dv d v + 1 Integrando ambos miembros: v.dv v + 1 d Reemplazando la fracción de la integral izquierda por su equivalente: v + 1.dv d Ejecutando las integrales: v.ln( v + 1) + C Trasladando al miembro izquierdo: v.ln( v + 1) C v -. ln( v + 1) - C Solución intermedia Reemplazando v en función de : v + ( + ).ln( + + 1) C +.ln( + + 1) C + -.ln( + + 1) C Solución 16 I-005

63 .. Ecuaciones Diferenciales con Funciones Lineales Independientes no Homogéneas: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con funciones lineales independientes no homogéneas es conveniente encontrar transformaciones lineales de las variables de modo que se pueda obtener una Ecuación Diferencial Equivalente con Funciones Homogéneas. Posteriormente se resuelve la ecuación como se describió en el numeral anterior. Es importante asegurarse que las epresiones de las variables (no se toman en consideración los términos independientes) que acompañan a las diferenciales no sean linealmente dependientes como en los problemas inmediatamente anteriores. Problema Resuelto : Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( + - 5).d + ( - + ).d 0 Solución: Debido a que los factores que multiplican a las diferenciales no son proporcionales en la parte que corresponde a las variables, no es posible aplicar el artificio anterior. Por tener una ecuación lineal no homogénea es necesario transformarla en una ecuación lineal homogénea. Para encontrar las epresiones que permitan la simplificación de la ecuación diferencial se deben resolver como simultáneas las epresiones que multiplican a las diferenciales, igualadas a cero: La solución al sistema de ecuaciones es: Las variables deben ser reemplazadas por nuevas variables s t, mediante las siguientes ecuaciones paramétricas que toman en consideración los valores solución del sistema de ecuaciones: s - o s + Ecuación 1 de cambio de variable t - o t + Ecuación de cambio de variable Las diferenciales correspondientes son: d ds d dt Reemplazando las epresiones anteriores en la ecuación diferencial se tiene: {( s + ) + (t + ) 5 }.ds + { (s + ) (t + ) + }.dt 0 { s + + t + 5 }.ds + { s + 6 t 8 + }.dt 0 { s t}.ds + { s - t}.dt 0 + Ecuación diferencial intermedia 1 17 I-005

64 La nueva ecuación es lineal homogénea. La resolución del sistema de ecuaciones simultáneas, basada en los factores que afectan a las diferenciales d d, es equivalente a la búsqueda de un nuevo centro de coordenadas que coincide con la intersección de las rectas, por lo que luego de realizar la traslación de ejes al utilizar las nuevas variables, definidas por esa coordenada de intersección, los factores que afectan a las diferenciales carecen de términos independientes, pues las rectas que representan esos factores pasan por el nuevo eje de coordenadas. Se requiere de un segundo cambio de variable del siguiente tipo: t v.s o t v Ecuación de cambio de variable s Las diferenciales correspondientes son: dt v.ds + s.dv Reemplazando t dt : { s + v.s }.ds + { s v.s }.(v.ds + s.dv) 0 Dividiendo para s : ( 1 + v).ds + ( v).(v.ds + s.dv) 0 (ds + v.ds) + (v.ds + s.dv v.ds v.s.dv) 0 Destruendo signos de agrupación: ds + v.ds + v.ds + s.dv v.ds v.s.dv 0 Agrupando diferenciales: 18 I-005

65 (ds + v.ds + v.ds v.ds) + (s.dv v.s.dv) 0 (1 + v + v v ).ds + (s v.s).dv 0 (1 + v v ).ds + s( v).dv 0 Factorando: ( 1 + v)(1 v).ds + s( v).dv 0 Dividiendo para s.(1+v).(1-v) que es el divisor de integración: (1 + v)(1 v).ds + s( v).dv 0 s.(1 + v).(1 v) Separando en fracciones simplificando: (1 + v)(1 v).ds s( v).dv + 0 s.(1 + v).(1 v) s.(1 + v).(1 v) ds ( - v).dv + 0 Ecuación diferencial intermedia s (1+ v).(1 - v) Descomponiendo la segunda fracción en fracciones parciales reemplazando: v A B + (1+ v ).(1 v ) 1+ v 1 v Obteniendo denominador común en el miembro derecho: v A.( 1 v ) + B.(1 + v ) (1+ v ).(1 v ) (1 + v ).( 1 v ) Destruendo paréntesis en el numerador: v (1+ v ).(1 v ) A A.v + B + B v. (1 + v ).( 1 v ) Agrupando: v ( A + B ) + ( B A ).v (1 + v ).( 1 v ) ( 1 + v ).(1 v ) De donde, al igualar los polinomios de las fracciones se tiene: A+ B B A Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: A / 5 B 1 / 5 La fracción original es equivalente a: v / 5 1 / 5 + (1 + v ).(1 v ) 1 + v 1 v Reemplazando en la Ecuación Diferencial Intermedia se tiene: 19 I-005

66 ds ( / 5).dv (1 /5).dv s 1+ v 1 v ds dv 1 dv + 0 s v 5 1 v Integrando: ds s 5 dv v 5 Ejecutando las integrales: dv 0 1 v 1 1 ln( s) - ln( 1 + v) - ln( 1 - v) + C 0 Solución intermedia Reemplazando la tercera ecuación de cambio de variable: t v s 1 t 1 t ln( s) - ln 1 ln 1 + C 0 10 Ł + s ł - 5 Ł - Solución intermedia s ł Reemplazando las primeras ecuaciones de cambio de variable: s t 1 ( - ) 1 - ln( - ) - ln 1+ - ln C 0 Solución 10 Ł - ł 5 Ł - ł Problema Resuelto *: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( - - 1).d + ( + - 1).d 0 Solución: La ecuación es lineal no homogénea requiere ser transformada en una ecuación lineal homogénea. El sistema de ecuaciones simultáneas que permite esa simplificación es: La solución al sistema de ecuaciones es: 1 0 Las variables deben ser reemplazadas por nuevas variables s t, mediante las siguientes ecuaciones paramétricas: s -1 o s + 1 Ecuación 1 de cambio de variable 10 I-005

67 t o t Ecuación de cambio de variable Las diferenciales correspondientes son: d ds d dt Reemplazando las epresiones anteriores en la ecuación diferencial se tiene: {( s + 1) (t) 1 }.ds + { (t) + (s + 1) 1.dt } 0 { s + 1 t 1 }.ds + { t + s }.dt 0 ( s - t) ds + (t + s) dt 0 Ecuación diferencial intermedia 1 La nueva ecuación es lineal homogénea. Se requiere de un segundo cambio de variable del siguiente tipo: t v.s o t v Ecuación de cambio de variable s Las diferenciales correspondientes son: dt v.ds + s.dv Reemplazando t dt : { s (v s) } ds + { (v s) + s} (v ds + s dv) 0 Dividiendo para s : ( 1 v) ds + (v + 1) (v ds + s dv) 0 Simplificando destruendo signos de agrupación: (ds v.ds) + (v.ds + v.s.dv + v.ds + s.dv) 0 ds v.ds + v.ds + v.s.dv + v.ds + s.dv 0 Agrupando diferenciales: (ds v.ds + v.ds + v.ds) + (v.s.dv + s.dv) 0 (1 v + v + v).ds + (v.s + s).dv 0 (1 + v ).ds + (v.s + s).dv 0 Factorando: (1 + v ).ds + s.(v + 1).dv 0 Dividiendo para s.(1+v ) que es el divisor de integración: (1 + v ).ds + s.(v + 1).dv 0 s.(1 + v ) Separando en fracciones simplificando: 11 I-005

68 (1 + v ).ds s.(v + 1).dv + 0 s.(1 + v ) s.(1 + v ) ds (v + 1).dv + 0 s 1 + v ds v.dv dv Ecuación diferencial intermedia s 1 + v 1+ v Integrando: ds v.dv dv + + s 1+ v 1 + v Ejecutando las integrales: ln( s) + 1 ln( v ) + Tan (.v) + C 0 Solución intermedia 1 Reemplazando la tercera ecuación de cambio de variable: t v s ln( s) + 1 t -1 ln 1+ + Tan Ł s ł Ł t + C 0 s ł Solución intermedia Reemplazando las primeras ecuaciones de cambio de variable: s 1 t ln( - 1) + 1 ln 1+ Ł ( - 1) + ł -1 Tan + C 0 Solución Ł - 1ł NOTA: Para enfrentar la resolución de nuevas formas de ecuaciones diferenciales se busca una aproimación a esquemas cua solución a se conoce, a través de manejos algébricos. El cambio de variables es uno de los mecanismos más apropiados para lograr esa aproimación...5 Ecuaciones Diferenciales No Convencionales: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales no convencionales es apropiado realizar reemplazos por nuevas variables que conduzcan a la simplificación de la ecuación diferencial, permitan su aproimación hacia las formas convencionales. Problema Resuelto *: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( + - 7)..d - ( + - 8)..d 0 1 I-005