Fuerzas distribuidas: centroides y centros de gravedad

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1 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 219 PÍTUL 5 Fuers distribuids: centroides centros de grvedd En l fotogrfí se muestr l construcción de un trmo del viducto Skw, el cul cru l bhí que se encuentr entre Sn Frncisco klnd. En este cpítulo se introducirá el concepto del centroide de un áre; en cursos posteriores se estblecerá l relción eistente entre l ubicción del centroide el comportmiento de l crreter tendid sobre el viducto.

2 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 220 FUERZS DISTRIUIDS: ENTRIDES Y ENTRS DE GRVEDD 5.1 Introducción Áres línes 5.2 entro de grvedd de un cuerpo bidimensionl 5.3 entroides de áres línes 5.4 Primeros momentos de áres línes 5.5 Plcs lmbres compuestos 5.6 Determinción de centroides por integrción 5.7 Teorems de Pppus-Guldinus 5.8 rgs distribuids en vigs 5.9 Fuers sobre superficies sumergids Volúmenes 5.10 entro de grvedd de un cuerpo tridimensionl. entroide de un volumen 5.11 uerpos compuestos 5.12 Determinción de centroides de volúmenes por integrción 5.1. INTRDUIÓN Hst hor se h supuesto que l trcción ejercid por l Tierr sobre un cuerpo rígido podí representrse por un sol fuer W. Est fuer, denomind fuer de grvedd o peso del cuerpo, debí plicrse en el centro de grvedd del cuerpo (sección 3.2). De hecho, l Tierr ejerce un fuer sobre cd un de ls prtículs que constituen l cuerpo. En este sentido, l cción de l Tierr sobre un cuerpo rígido debe representrse por un grn número de pequeñs fuers distribuids sobre todo el cuerpo. Sin embrgo, en este cpítulo se prenderá que l totlidd de dichs fuers pequeñs puede ser reempld por un sol fuer equivlente W. Tmbién se prenderá cómo determinr el centro de grvedd, esto es, el punto de plicción de l resultnte W, pr cuerpos de vris forms. En l primer prte del cpítulo se describen cuerpos bidimensionles como plcs plns lmbres que están contenidos en un plno ddo. Se introducen dos conceptos que están mu relciondos con l determinción del centro de grvedd de un plc o de un lmbre: el concepto de centroide de un áre o de un líne el concepto del primer momento de un áre o de un líne con respecto un eje ddo. Tmbién se prenderá que el cálculo del áre de un superficie de revolución o del volumen de un cuerpo de revolución está directmente relciondo con l determinción del centroide de l líne o del áre utilidos pr generr dich superficie o cuerpo de revolución (teorems de Pppus-Guldinus). demás, como se muestr en ls secciones , l determinción del centroide de un áre simplific el nálisis de vigs sujets crgs distribuids el cálculo de ls fuers ejercids sobre superficies rectngulres sumergids, como compuerts hidráulics porciones de press. l finl del cpítulo se prenderá cómo determinr tnto el centro de grvedd de cuerpos tridimensionles como el centroide de un volumen los primeros momentos de dicho volumen con respecto los plnos coordendos. ÁRES Y LÍNES 5.2. ENTR DE GRVEDD DE UN UERP IDIMENSINL Pr inicir, considere un plc pln horiontl (figur 5.1). L plc puede dividirse en n elementos pequeños. Ls coordends del pri- Fotogrfí 5.1 El blnce preciso de los componentes de un móvil requiere de un comprensión de los centros de grvedd centroides, que son los tópicos principles de este cpítulo. W G = W ΣM : W = Σ W ΣM : W = Σ W 220 Figur 5.1 entro de grvedd de un plc.

3 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 221 mer elemento se representn con 1 1, ls del segundo elemento se representn con 2 2, etcéter. Ls fuers ejercids por l Tierr sobre los elementos de l plc serán representds, respectivmente, con W 1, W 2,..., W n. Ests fuers o pesos están dirigidos hci el centro de l Tierr; sin embrgo, pr todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichs fuers son prlels. Por tnto, su resultnte es un sol fuer en l mism dirección. L mgnitud W de est fuer se obtiene prtir de l sum de ls mgnitudes de los pesos de los elementos entro de grvedd de un cuerpo bidimensionl 221 F : W W 1 W 2 W n pr obtener ls coordends del punto G, donde debe plicrse l resultnte W, se escribe que los momentos de W con respecto los ejes son igules l sum de los momentos correspondientes de los pesos elementles, esto es M : W 1 W 1 2 W 2 n W n (5.1) M : W 1 W 1 2 W 2 n W n Si hor se increment el número de elementos en los cules se h dividido l plc simultánemente se disminue el tmño de cd elemento se obtienen, en el límite, ls siguientes epresiones: W dw W dw W dw (5.2) Ests ecuciones definen el peso W ls coordends del centro de grvedd G de un plc pln. Se pueden derivr ls misms ecuciones pr un lmbre que se encuentr en el plno (figur 5.2). Se observ que usulmente el centro de grvedd G de un lmbre no está loclido sobre este último. W = W G Figur 5.2 ΣM : W = Σ W ΣM : W = Σ W entro de grvedd de un lmbre.

4 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Fuers distribuids: centroides centros de grvedd 5.3. ENTRIDES DE ÁRES Y LÍNES En el cso de un plc pln homogéne de espesor uniforme, l mgnitud W del pcso de un elemento de l plc puede epresrse como W t donde peso específico (peso por unidd de volumen) del mteril t espesor de l plc áre del elemento En form similr, se puede epresr l mgnitud W del peso de tod l plc como W t donde es el áre totl de l plc. Si se emplen ls uniddes de uso común en Estdos Unidos, se debe epresr el peso específıco en lb/ft 3, el espesor t en pies ls áres en pies cudrdos. Entonces, se observ que W W estrán epresdos en librs. Si se usn ls uniddes del SI, se debe epresr en N/m 3, t en metros ls áres en metros cudrdos; entonces, los pesos W W estrán epresdos en newtons. Si se sustitue W W en ls ecuciones de momento (5.1) se divide todos los términos entre t, se obtiene M : M : n n n n Si se increment el número de elementos en los cules se divide el áre simultánemente se disminue el tmño de cd elemento, se obtiene en el límite d d (5.3) Ests ecuciones definen ls coordends del centro de grvedd de un plc homogéne. El punto cus coordends son tmbién se conoce como el centroide del áre de l plc (figur 5.3). Si l plc no es homogéne, ests ecuciones no se pueden utilir pr determinr el centro de grvedd de l plc; sin embrgo, ésts ún definen l centroide del áre. En el cso de un lmbre homogéneo de sección trnsversl uniforme, l mgnitud W del peso de un elemento de lmbre puede epresrse como W L donde peso específico del mteril áre de l sección trnsversl del lmbre L longitud del elemento Se debe señlr que en el Sistem Interncionl de uniddes generlmente se crcteri un mteril ddo por su densidd (ms por unidd de volumen) en lugr de crcterirlo por su peso específico. Entonees, el pcso específico del mteril se puede obtener prtir de l relción g donde g 9.81 m/s 2. omo se epres en kg/m 3, se observ que estrá epresdo en (kg/m 3 )(m/s 2 ), esto es, en N/m 3.

5 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Primeros momentos de áres línes 223 = L = L ΣM : = Σ ΣM : L = Σ L ΣM : = Σ ΣM : L = Σ L Figur 5.3 entroide de un áre. Figur 5.4 entroide de un líne. El centro de grvedd de un lmbre coincide con el centroide de l líne L que define l form del lmbre (figur 5.4). Ls coordends del centroide de l líne L se obtienen prtir de ls ecuciones L dl L dl (5.4) 5.4. PRIMERS MMENTS DE ÁRES Y LÍNES L integrl d en ls ecuciones (5.3) de l sección nterior se conoce como el primer momento del áre con respecto l eje se represent con Q. En form similr, l integrl d define el primer momento de con respecto l eje se represent con Q. sí se escribe Q d Q d (5.5) Si comprmos ls ecuciones (5.3) con ls ecuciones (5.5), se observ que los primeros momentos del áre pueden ser epresdos como los productos del áre con ls coordends de su centroide: Q Q (5.6) prtir de ls ecuciones (5.6) se conclue que ls coordends del centroide de un áre pueden obtenerse l dividir los primeros momentos de dich áre entre el áre mism. Los primeros momentos de un áre tmbién son útiles en l mecánic de mteriles pr determinr los esfueros de corte en vigs sujets crgs trnsversles. Por último, prtir de ls ecuciones (5.6) se observ que si el centroide de un áre está loclido sobre un eje coordendo, entonces el primer momento del áre con respecto ese eje es igul cero. De mner invers, si el primer momento de un áre con respecto un eje coordendo es igul cero, entonces el centroide del áre está loclido sobre ese eje. Se pueden utilir relciones similres prtir de ls ecuciones (5.5) (5.6) pr definir los primeros momentos de un líne con respecto los ejes coordendos pr epresr dichos momentos como los productos de l longitud L de l líne ls coordends de su centroide.

6 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Fuers distribuids: centroides centros de grvedd Figur 5.5 P d' ) b) d ' P' Se dice que un áre es simétric con respecto un eje si pr todo punto P del áre eiste un punto P de es mism áre tl que l líne PP se perpendiculr dich líne está dividid en dos prtes igules por el eje en cuestión (fıgur 5.5). Se dice que un líne L es simétric con respecto un eje si stisfce condiciones similres. undo un áre o un líne L posee un eje de simetrí, su primer momento con respecto es igul cero su centroide está loclido sobre dicho eje. Por ejemplo, en el cso del áre de l figur 5.5b, l cul es simétric con respecto l eje, se observ que pr cd elemento de áre d de bscis eiste un elemento de áre d que tiene l mism superficie cu bscis es. Se conclue que l integrl en l primer de ls ecuciones (5.5) es igul cero, por tnto, se tiene que Q 0. Tmbién se conclue prtir de l primer de ls relciones (5.3) que 0. Por consiguiente, si un áre o un líne L poseen un eje de simetrí, su centroide está loclido sobre dicho eje. demás, se debe señlr que si un áre o un líne posee dos ejes de simetrí, su centroide debe estr loclido en l intersección de esos dos ejes (figur 5.6). Est propiedd permite determinr de inmedito el centroide de áres como círculos, elipses, cudrdos, rectángulos, triángulos equiláteros u otrs figurs simétrics, sí como el centroide de línes que tienen l form de l circunferenci de un círculo, el perímetro de un cudrdo, entre otros. D' D D' D ' ' Figur 5.6 ) b) Figur 5.7 d' d Se dice que un áre es simétric con respecto un centro si pr cd elemento de áre d de coordends eiste un elemento de áre d de igul superficie con coordends (figur 5.7). Entonces, se conclue que mbs integrles en ls ecuciones (5.5) son igules cero que Q Q 0. Tmbién, prtir de ls ecuciones (5.3), se conclue que 0, esto es, que el centroide del áre coincide con su centro de simetrí. En form nálog, si un líne posee un centro de simetrí, el centroide de l líne coincidirá con el centro. Se debe señlr que un figur con un centro de simetrí no necesrimente posee un eje de simetrí (figur 5.7) que un figur con dos ejes de simetrí no necesrimente tiene un centro de simetrí (figur 5.6). Sin embrgo, si un figur posee dos ejes de simetrí que son perpendiculres entre sí, el punto de intersección de dichos ejes es un centro de simetrí (figur 5.6b). L determinción de los centroides de áres simétrics de línes áres que poseen un solo eje de simetrí se estudirá en ls secciones En ls figurs se muestrn los centroides de forms comunes de áres de línes.

7 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Primeros momentos de áres línes 225 Form Áre Áre tringulr h h 3 bh 2 b 2 b 2 Un curto de áre circulr Áre semicirculr r 4r 3 0 4r 3 4r 3 r 2 4 r 2 2 Un curto de áre elíptic Áre semielíptic b b 3 4b 3 b 4 b 2 Áre semiprbólic Áre prbólic h h 5 3h 5 2h 3 4h 3 Enjut prbólic = k 2 h 3 4 3h 10 h 3 Enjut generl = k n h n + 1 n + 2 n + 1 4n + 2 h h n + 1 r Sector circulr 2r sen α 3α 0 α r 2 Figur 5.8 entroides de áres comunes.

8 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Fuers distribuids: centroides centros de grvedd Form Longitud Un curto de rco circulr rco semicirculr r 2r 0 2r 2r r 2 r r rco de círculo r sen 0 2r Figur 5.8 entroides de forms comunes de línes PLS Y LMRES MPUESTS En muchos csos, un plc pln puede dividirse en rectángulos, triángulos u otrs de ls forms comunes mostrds en l figur 5.8. L bscis X de su centro de grvedd G puede determinrse prtir de ls bsciss 1, 2,..., n de los centros de grvedd de ls diferentes prtes que constituen l plc, epresndo que el momento del peso de tod l plc con respecto l eje es igul l sum de los momentos de los pesos de ls diferentes prtes con respecto ese mismo eje (figur 5.9). L ordend Y del centro de grvedd de l plc se encuentr de un form similr, igulndo momentos con respecto l eje. sí, se escribe M : M : X (W 1 W 2 W n ) 1 W 1 2 W 2 n W n Y (W 1 W 2 W n ) 1 W 1 2 W 2 n W n ΣW = W 3 W 1 W2 G 3 X G Y G 1 G 2 Figur 5.9 ΣM : X Σ W = Σ W ΣM : Y Σ W = Σ W entro de grvedd de un plc compuest.

9 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 227 o en form condensd, 5.5. Plcs lmbres compuestos 227 X W W Y W W (5.7) Ests ecuciones se pueden resolver pr ls coordends X Y del centro de grvedd de l plc. 3 X Σ = Y 1 2 Figur 5.10 Q = X Σ = Σ Q = Y Σ = Σ entroide de un áre compuest. Si l plc es homogéne de espesor uniforme, el centro de grvedd coincide con el centroide de su áre. L bscis X del centroide del áre puede determinrse observndo que el primer momento Q del áre compuest con respecto l eje puede epresrse como el producto de X con el áre totl como l sum de los primeros momentos de ls áres elementles con respecto l eje (figur 5.10). L ordend Y del centroide se encuentr de form similr, considerndo el primer momento Q del áre compuest. sí, se tiene 1 W 1 W 2 W 3 Q X ( 1 2 n ) n n Q Y ( 1 2 n ) n n 2 3 o en form condensd, Q X Q Y (5.8) Ests ecuciones proporcionn los primeros momentos del áre compuest o pueden utilirse pr obtener ls coordends X Y de su centroide. Se debe tener cuiddo de signrle el signo propido l momento de cd áre. Los primeros momentos de áres, l igul que los momentos de ls fuers, pueden ser positivos o negtivos. Por ejemplo, un áre cuo centroide está loclido l iquierd del eje tendrá un primer momento negtivo con respecto dicho eje. demás l áre de un gujero se le debe signr un signo negtivo (fıgur 5.11). De mner similr, en muchos csos es posible determinr el centro de grvedd de un lmbre compuesto o el centroide de un líne compuest dividiendo l lmbre o l líne en elementos más simples (vése problem resuelto 5.2). Figur Semicírculo 2 Rectángulo completo 3 gujero circulr

10 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge mm 120 mm 60 mm 40 mm PRLEM RESUELT 5.1 Pr el áre pln mostrd en l figur, determine: ) los primeros momentos con respecto los ejes, b) l ubicción de su centroide. 60 mm SLUIÓN omponentes del áre. El áre se obtiene con l sum de un rectángulo, un triángulo un semicírculo después se rest un círculo. Utilindo los ejes coordendos mostrdos, se determinn el áre ls coordends del centroide pr cd un de ls áres componentes luego se introducen en l tbl que prece en l prte inferior. El áre del círculo se indic como negtiv puesto que debe restrse de ls demás áres. Nótese que l coordend del centroide del triángulo es negtiv pr los ejes mostrdos. Los primeros momentos de ls áres componentes con respecto los ejes coordendos se clculn se introducen en l tbl. 120 mm r 1 = 60 mm r 2 =40 mm 60 mm = mm 4r 1 = mm 3 r 1 = 60 mm _ r 2 = 40 mm 80 mm 60 mm 80 mm mm 80 mm 40 mm 20 mm 60 mm 60 mm omponente, mm 2, mm, mm, mm 3, mm 3 Rectángulo (120)(80) Triángulo 1 2 (120)(60) Semicírculo 1 2 (60) írculo (40) X = 54.8 mm Y = 36.6 mm ) Primeros momentos del áre. on ls ecuciones (5.8) se escribe Q mm 3 Q mm 3 Q mm 3 Q mm 3 b) Ubicción del centroide. Si se sustituen los vlores ddos en l tbl, dentro de ls ecuciones que definen el centroide de un áre compuest se obtiene X : X ( mm 2 ) mm 3 Y : Y ( mm 2 ) mm 3 X 54.8 mm Y 36.6 mm 228

11 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge in. 26 in. PRLEM RESUELT 5.2 L figur mostrd está hech prtir de un pedo de lmbre delgdo homogéneo. Determine l ubicción de su centro de grvedd. 24 in. SLUIÓN 12 in. 26 in. omo l figur está hech de un lmbre homogéneo, su centro de grvedd coincide con el centroide de l líne correspondiente. Por tnto, se determinrá dicho centroide. Si se seleccionn los ejes mostrdos, con origen en, se determinn ls coordends del centroide de cd segmento de líne se clculn los primeros momentos con respecto los ejes coordendos. 10 in. 24 in. 5 in. Segmento L, in., in., in. L, in 2 L, in L 60 L 600 L 180 on l sustitución de los vlores obtenidos en l tbl, en ls ecuciones que defınen el centroide de un líne compuest, se obtiene X L L: X (60 in.) 600 in 2 X 10 in. Y L L: Y (60 in.) 180 in 2 Y 13 in. 229

12 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 230 r PRLEM RESUELT 5.3 Un brr semicirculr uniforme de pcso W rdio r está unid un perno en descns contr un superficie sin fricción en. Determine ls recciones en SLUIÓN 2r 2r G Digrm de cuerpo libre. Se dibuj un digrm de cuerpo libre de l brr. Ls fuers que ctún sobre l brr son su peso W, el cul está plicdo en el centro de grvedd G (cu posición se obtiene prtir de l figur 5.8); un rección en, representd por sus componentes un rección horiontl en. Ecuciones de equilibrio 2r l M 0: (2r) W 0 W W W = W F 0: 0 W W = W F 0: W 0 W Sumndo ls dos componentes de l rección en : W 1 2 W W W tn tn 1 W Ls respuests tmbién pueden epresrse como sigue: 1.049W b W 230

13 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 231 RESLUIÓN DE PRLEMS EN FRM INDEPENDIENTE En est lección se desrrollron ls ecuciones generles pr loclir los centros de grvedd de cuerpos bidimensionles lmbres [ecuciones (5.2)] los centroides de áres plns [ecuciones (5.3)] de línes [ecuciones (5.4)]. En los problems que se presentn continución, se deberán loclir los centroides de áres compuests línes o tendrán que determinrse los primeros momentos del áre de plcs compuests [ecuciones (5.8)]. 1. Loclición de centroides de áres compuests línes. Los problems resueltos ilustrn el procedimiento que debe seguirse l resolver problems de este tipo. Sin embrgo, h ciertos puntos que se deben enftir. ) El primer pso en l solución debe ser decidir cómo construir el áre o l líne dd, prtir de ls forms comunes de l figur 5.8. Se debe reconocer que, en el cso de áres plns, un form en prticulr se puede construir de vris mners. demás, mostrr ls diferentes componentes (como se hce en el problem resuelto 5.1) udrá estblecer correctmente sus centroides sus áres o longitudes. No debe olvidrse que, pr obtener l form desed, es posible restr o sumr áres. b) Se recomiend que pr cd problem se constru un tbl que conteng ls áres o ls longitudes ls coordends respectivs de sus centroides. Es esencil recordr que ls áres que son removids (por ejemplo los gujeros) se tomn como negtivs. demás se debe incluir el signo de ls coordends negtivs. Por tnto, siempre debe observrse l ubicción del origen de los ejes coordendos. c) undo se posible, se deben utilir considerciones de simetrí [sección 5.4] pr determinr con mor fcilidd l ubicción de un centroide. d) En ls fórmuls de l figur 5.8 pr el sector circulr pr el rco del círcuio, el ángulo siempre debe ser epresdo en rdines. 2. álculo de los primeros momentos de un áre. Los procedimientos pr ubicr el centroide de un áre pr determinr los primeros momentos de un áre son similres; sin embrgo, pr clculr estos últimos no es necesrio determinr el áre totl. demás, como se señló en l sección 5.4, se debe reconocer que el primer momento de un áre con respecto un eje centroidl es igul cero. 3. Resolución de problems que involucrn l centro de grvedd. En los problems que se presentn continución se consider que los cuerpos son homogéneos; por tnto, sus centros de grvedd coinciden con sus centroides. demás, cundo un cuerpo que está suspendido de un solo perno está en equilibrio, el perno el centro de grvedd del cuerpo deben estr loclidos sobre l mism líne verticl. Pudier precer que muchos de los problems en est lección tienen poco que ver con el estudio de l mecánic. Sin embrgo, ser cp de loclir el centroide de forms compuests será esencil en vrios tópicos que se estudirán más delnte. 231

14 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 232 Problems Loclice el centroide del áre pln mostrdo en cd figur. 10 in. 9 in. 90 mm 135 mm 300 mm 12 in. 150 mm 8 in. 200 mm 400 mm Figur P5.1 Figur P5.2 Figur P mm 8 in. 9 in. 24 in. 4.5 in. 6 in. 16 in. 225 mm 9 in. 21 in. 13 in. 375 mm Figur P5.4 Figur P5.5 Figur P5.6 r = 16 in. r 2 = 150 mm = 8 in. r 1 = 75 mm = 8 in. Figur P5.7 Figur P Pr el áre del problem 5.8, determine l relción r 2 /r 1 tl que 4r 1 /3.

15 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Pr el áre mostrd en l figur, demuestre que si r 1 tiende r 2, l loclición de su centroide tiende ser igul l centroide de un rco circulr con rdio (r 1 r 2 )/2. Problems 233 α r 1 r 2 α Figur P Loclice el centroide del áre pln mostrd en cd figur. 12 in. 6 in. 6 in. 9 in. 3 in. 3 in. 240 mm = k mm Figur P5.11 Figur P5.12 Figur P5.13 Un curto de elipse 8 in. 9 in. 200 mm 90 mm 90 mm 80 mm r = 72 mm 150 mm Prábol 120 mm Prábol 50 mm Vértice 48 mm Enjut elíptic Vértice 100 mm Figur P5.14 Figur P5.15 Figur P5.16

16 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Fuers distribuids: centroides centros de grvedd El eje horiontl se tr trvés del centroide divide l áre mostrd en dos áres componentes 1 2. Determine el primer momento de cd áre componente respecto l eje eplique los resultdos obtenidos. 4 in. 4 in. 1 2 in in in in. 2 in. Figur P5.17 Figur P5.18 Dimensiones en mm 5.19 El primer momento respecto l eje del áre sombred que se muestr en l figur se represent medinte Q. ) Eprese Q en términos de r. b) Determine el vlor de pr el cul Q es máimo encuentre dicho vlor máimo. q Figur P5.19 r q 5.20 Un vig compuest se construe tornillndo cutro plcs cutro ángulos de mm, como indic l figur. Los tornillos están igulmente espcidos lo lrgo de l vig, l cul sostiene un crg verticl. Tl como se demuestr en mecánic de mteriles, ls fuers cortntes ejercids sobre los tornillos colocdos en son proporcionles los primeros momentos respecto l eje centroidl de ls áres sombreds con rojo, respectivmente, en ls prtes b de l figur. Si l fuer ejercid en el tornillo es de 280 N, determine l fuer ejercid sobre el tornillo. 300 mm 12 mm 60 mm 12 mm 450 mm 60 mm 12 mm 12 mm Figur P5.20 ) b)

17 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Un lmbre delgdo homogéneo se dobl pr formr el perímetro de l figur que se indic en cd inciso. Loclice el centro de grvedd de l figur formd con el lmbre Fig. P Fig. P Fig. P Fig. P5.8. Problems Un brr uniforme de cero pes 1.75 lb se dobl pr formr un rco de 20 in. de rdio como el que muestr l figur. L brr se sostiene medinte un psdor puesto en l cuerd. Determine ) l tensión en l cuerd, b) l rección en. 20 in El lmbre homogéneo D está dobldo como indic l figur se sostiene medinte un psdor puesto en. Si l 200 mm, determine el ángulo pr el que el trmo del lmbre se mntiene horiontl. Figur P5.25 l q 150 mm D 150 mm Figur P5.26 P El lmbre homogéneo D está dobldo como indic l figur se sostiene medinte un psdor instldo en. Si 30, determine l longitud l pr l cul el trmo D del lmbre se mntiene horiontl Si l figur que se muestr está formd con un lmbre homogéneo delgdo, determine l longitud l del trmo E del lmbre pr el cul el centro de grvedd de l figur se locli en el punto cundo ) 15, b) 60. r D q E kb q Figur P5.28 l 5.29 Determine l distnci h tl que el centroide del áre sombred esté tn cerc como se posible de l líne cundo ) k 0.2, b) k 0.6. h 5.30 Si l distnci h es selecciond pr minimir l distnci desde l líne hst el centroide del áre sombred que muestr l figur, demuestre que h. Figur P5.29 P5.30 b '

18 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Fuers distribuids: centroides centros de grvedd 5.6. DETERMINIÓN DE ENTRIDES PR INTEGRIÓN El centroide de un áre limitd por curvs nlítics (esto es, curvs definids por ecuciones lgebrics) por lo generl se determin evlundo ls integrles que precen en ls ecuciones (5.3) de l sección 5.3: d d (5.3) Si el elemento de áre d es un pequeño rectángulo de ldos d d, l evlución de cd un de ests integrles requiere un integrción doble con respecto. Tmbién es necesri un integrción doble si se usn coordends polres pr ls cules d es un elemento de ldos dr rd. Sin embrgo, en l morí de los csos es posible determinr ls coordends del centroide de un áre con un sol integrción. Esto se logr seleccionndo d como un rectángulo o tir delgd o como un sector circulr delgdo (fıgur 5.12); el centroide de un rectángulo delgdo está loclido en su centro el centroide de un sector delgdo está loclido un distnci de 2 r 3 prtir de su vértice (como en el cso de un triángulo). Entonces, ls coordends del centroide del áre en considerción se obtienen epresndo que el primer momento del áre totl con respecto cd uno de los ejes coordendos es igul l sum (o integrl) de los momentos correspondientes de los elementos del áre. Representndo con el el ls coordends del centroide del elemento d, se escribe Q el d Q el d (5.9) Si el áre no se conoce ún, ést tmbién puede clculrse prtir de estos elementos. P(, ) P(, ) d el el el d el r 2r 3 θ el el P( θ, r) Figur 5.12 entroides áres de elementos diferenciles.

19 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 237 Ls coordends el el del centroide del elemento del áre d deben epresrse en términos de ls coordends de un punto loclido sobre l curv que limit l áre en considerción. demás, el áre del elemento d debe epresrse en términos de ls coordends de dicho punto de los diferenciles propidos. Esto se h hecho en l figur 5.12 pr tres tipos comunes de elementos; l porción de círculo de l prte c debe utilirse cundo l ecución de l curv que limit l áre esté dd en coordends polres. Deben sustituirse ls epresiones propids en ls fórmuls (5.9) debe utilirse l 5.6. Determinción de centroides por integrción 237 P(, ) P(, ) el el = el = /2 d = d el d el el = + 2 el = el d = ( ) d d r θ el 2r 3 el el = 2r cosθ 3 el = 2r sen θ 3 d = 1 r 2 2 dθ P( θ, r) Figur 5.12 ) entroides áres de elementos diferenciles. b) c) ecución de l curv que limit l áre pr epresr un de ls coordends en términos de l otr. De est form, se reduce un sol integrción. Un ve que se h determindo el áre hn sido evluds ls integrles en ls ecuciones (5.9), ests ecuciones pueden resolverse pr ls coordends del centroide del áre. undo un líne está defınid por un ecución lgebric, puede determinrse su centroide l evlur ls integrles que precen en ls ecuciones (5.4) de l sección 5.3: L dl L dl (5.4) El diferencil de longitud dl debe reemplrse por un de ls siguiente epresiones, dependiendo de cuál coordend, o, se seleccione como l vrible independiente en l ecución utilid pr definir l líne (ests epresiones pueden derivrse con el uso del teorem de Pitágors): d d dl 1 d 2 dl r 2 dr 2 d d dl 1 d 2 d d

20 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Fuers distribuids: centroides centros de grvedd Después de que se h utilido l ecución de l líne pr epresr un de ls coordends en términos de l otr, se puede llevr cbo l integrción se pueden resolver ls ecuciones (5.4) pr ls coordends del centroide de l líne TEREMS DE PPPUS-GULDINUS Estos teorems fueron formuldos primero por el geómetr griego Pppus durnte el siglo III después de risto fueron replntedos posteriormente por el mtemático suio Guldinus o Guldin ( ), se refieren superficies cuerpos de revolución. Un superficie de revolución se gener medinte l rotción de un curv pln con respecto un eje fıjo. Por ejemplo (figur 5.13), se Esfer ono Toroide Figur 5.13 Fotogrfí 5.2 Todos los tnques de lmcenmiento que se muestrn en l fotogrfí son cuerpos de revolución. Por tnto, ls áres de sus superficies sus volúmenes pueden determinrse con los teorems de Pppus- Guldinus. puede obtener l superficie de un esfer rotndo un rco semicirculr con respecto l diámetro ; se puede producir l superficie de un cono rotndo un líne rect con respecto un eje se puede generr l superficie de un toroide o nillo rotndo l circunferenci de un círculo con respecto un eje que no intersec dich circunferenci. Un cuerpo de revolución se gener medinte l rotción de un áre pln lrededor de un eje fıjo. omo se muestr en l fıgur 5.14, se puede generr un esfer, un cono un toroide rotndo l form propid con respecto l eje que se indic. Figur 5.14 Esfer ono Toroide TEREM I. El áre de un superficie de revolución es igul l longitud de l curv genertri multiplicd por l distnci recorrid por el centroide de dich curv l momento de generr l superficie. Demostrción. onsidérese un elemento dl de l líne L (figur 5.15) que rot lrededor del eje. El áre d generd por el elemento dl es igul 2 dl. Por tnto, el áre totl generd por L es 2 dl. En l sección 5.3 se encontró que l integrl dl es igul

21 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 239 dl L 5.7. Teorems de Pppus-Guldinus 239 d Figur L, por tnto, se tiene 2 L (5.10) donde 2 es l distnci recorrid por el centroide de L (figur 5.15). Se debe señlr que l curv genertri no debe crur el eje sobre el cul rot; si lo hicier, ls dos secciones, un cd ldo del eje, generrín áres que tendrín signos opuestos el teorem no podrí plicrse. TEREM II. El volumen de un cuerpo de revolución es igul l áre genertri multiplicd por l distnci recorrid por el centroide del áre l momento de generr el cuerpo. Demostrción. onsidérese un elemento d del áre, el cul se rot con respecto l eje (figur 5.16). El volumen dv generdo por d Figur 5.16 dv 2 el elemento d es igul 2 d. Por tnto, el volumen totl generdo por es V 2 d, puesto que l integrl des igul (sección 5.3), se tiene V 2 (5.11) donde 2 es l distnci recorrid por el centroide de. Es importnte señlr que el teorem no puede plicrse si el eje de rotción intersec l áre genertri. Los teorems de Pppus-Guldinus proporcionn un form sencill de clculr ls áres de superficies de revolución los volúmenes de cuerpos de revolución. En form invers, estos teorems se emplen pr determinr el centroide de un curv pln cundo el áre de l superfıcie generd por l curv es conocid o pr determinr el centroide de un áre pln cundo el volumen del cuerpo generdo por el áre es conocido (vése el problem resuelto 5 8).

22 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 240 = k 2 b PRLEM RESUELT 5.4 Determine por integrción direct l loclición del centroide de un enjut prbólic. SLUIÓN Determinción de l constnte k. El vlor de k se determin sustituendo b en l ecución dd. Se tiene b k 2 o k b 2. Por tnto l ecución de l curv es b 2 o b 1 2 d = d Elemento diferencil verticl. Se seleccion el elemento diferencil mostrdo se determin el áre totl de l figur. el = 2 el = d d 0 b 2 b d 0 El primer momento del elemento diferencil con respecto l eje es el d; por tnto, el primer momento de tod el áre con respecto dicho eje es 3 b 3 Q el d d 2 d 0 0 b 2 b b 4 omo Q, se tiene que b 3 2 b 4 el d 3 4 De l mism form, el primer momento del elemento diferencil con respecto l eje es el d el primer momento de tod el áre es 2 Q el d d 1 2 b 2 b d 0 b 2 10 Since Q, we hve b 3 b 2 10 el d 1 30 b d = ( ) d Elemento diferencil horiontl. Se pueden obtener los mismos resultdos considerndo un elemento horiontl. Los primeros momentos del áre son el = + 2 b el = ( ) d b 2 d b b d 2 b 4 Q el d 2 Q el d ( ) d b d 2 b b 1 d 1 2 b 0 Pr determinr, ls epresiones obtenids se sustituen nuevmente en ls ecuciones que definen el centroide del áre. 240

23 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 241 r PRLEM RESUELT 5.5 Determine l ubicción del centroide del rco mostrdo. α α SLUIÓN θ = α omo el rco es simétrico con respecto l eje, 0. Se seleccion un elemento diferencil, como se muestr en l figur, se determin l longitud del rco por integrción. r dθ θ = r cosθ dl = r dθ L dl r d r d 2r El primer momento del rco con respecto l eje es Q dl (r cos )(r d ) r 2 cos d r 2 [sen ] 2r 2 sen θ = α omo Q L, se escribe (2r ) 2r 2 sen r se n PRLEM RESUELT 5.6 r Determine el áre de l superficie de revolución mostrd en l figur, l cul se obtiene rotndo un curto de rco circulr con respecto un eje verticl. 2r SLUIÓN 2r De cuerdo con el teorem I de Pppus-Guldinus, el áre generd es igul l producto de l longitud del rco l distnci recorrid por su centroide. Refiriéndose l figur 5.88, se tiene 2r 2 r 2r 1 1 2r 2 L 2 2r 1 1 2r 2 r 2 ( 1) 241

24 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge mm 60 mm 20 mm 20 mm 20 mm 30 mm 400 mm PRLEM RESUELT 5.7 El diámetro eterior de un pole es 0.8 m l sección trnsversl de su coron es como se muestr en l figur. Se sbe que l pole está hech de cero que l densidd de dicho mteril es kg/m 3, determine l ms el peso de l coron. 100 mm 60 mm I 50 mm I 30 mm II _ II SLUIÓN El volumen de l coron se puede encontrr con el teorem II de Pppus Guldinus, el cul estblece que el volumen es igul l producto del áre de l sección trnsversl dd por l distnci recorrid por su centroide en un revolución complet. Sin embrgo, el volumen se puede determinr más fácilmente si se observ que l sección trnsversl se puede trnsformr prtir del rectángulo I, cu áre es positiv del rectángulo II, cu áre es negtiv. 375 mm 365 mm Distnci vijd Áre, mm 2, mm por, mm Volumen, mm 3 I (375) (5 000)(2 356) II (365) ( 1 800)(2 293) Volumen de l coron omo 1 mm 10 3 m, se tiene que 1 mm 3 (10 3 m) m 3, se obtiene V mm 3 ( )(10 9 m 3 ) m 3. m V ( kg/m 3 )( m 3 ) W mg (60.0 kg)(9.81 m/s 2 ) 589 kg m/s 2 m 60.0 kg W 589 N PRLEM RESUELT 5.8 on los teorems de Pppus-Guldinus, determine: ) el centroide de un áre semicirculr b) el centroide de un rco semicirculr. Se debe recordr que el volumen el áre superficil de un esfer son, respectivmente, 4 3 r 3 4 r 2. r r = r 2 2 L = r SLUIÓN El volumen de un esfer es igul l producto del áre de un semicírculo l distnci recorrid por el centroide del semicírculo en un revolución lrededor del eje. V r 3 2 ( 1 2 r 2 4r ) 3 De l mism form, el áre superficil de un esfer es igul l producto de l longitud del semicírculo genertri por l distnci recorrid por su centroide en un revolución. 2 L 4 r 2 2 ( r) 2 r 242

25 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 243 SLUIÓN DE PRLEMS EN FRM INDEPENDIENTE En los problems propuestos correspondientes est lección se usrán ls ecuciones d d (5.3) L dl L dl (5.4) pr loclir, respectivmente, los centroides de áres línes plns. demás, se plicrán los teorems de Pppus-Guldinus (sección 5.7) pr determinr ls áres de superficie de revolución los volúmenes de cuerpos de revolución. 1. Determinción de los centroides de áres línes por integrción direct. undo se resuelven problems de este tipo, se debe seguir el método de solución mostrdo en los problems resueltos : clculr o L, determinr los primeros momentos del áre o de l líne resolver ls ecuciones (5.3) o (5.4) pr ls coordends del centroide. demás, se debe poner tención especil en los siguientes puntos. ) L solución se inici con l definición o determinción cuiddos de cd término en ls integrles de ls fórmuls plicbles. Es bstnte recomendble mostrr en el esquem del áre o de l líne dd l elección que se h hecho pr d o pr dl ls distncis su centroide. b) omo se eplicó en l sección 5.6, l l en ls ecuciones nteriores representn ls coordends del centroide de los elementos diferenciles d dl. Es importnte reconocer que ls coordends del centroide de d no son igules ls coordends de un punto loclido sobre l curv que limit l áre en considerción. Se debe estudir con detlle l fıgur 5.12 hst que se comprend en form cbl este punto que es tn importnte. c) Pr trtr de simplifıcr o minimir los cálculos, siempre se debe eminr l form del áre o de l líne dd ntes de defınir el elemento diferencil que se utilirá. Por ejemplo, lguns veces es preferible utilir elementos rectngulres que sen horiontles en lugr de verticles. Por lo generl es mejor empler coordends polres cundo un líne o un áre tienen simetrí circulr. d) pesr de que l morí de ls integrciones en est lección son sencills, en lguns ocsiones es posible que se tengn que utilir técnics más vnds como l sustitución trigonométric o l integrción por prtes. Por supuesto, empler un tbl de integrles es el método más rápido pr evlur integrles difíciles. 2. plicción de los teorems de Pppus-Guldinus. omo se mostró en los problems resueltos 5.6 l 5.8, estos teoroms, que son simples pero mu útiles, permiten plicr el conocimiento sobre centroides pr el cálculo de áres volúmenes. pesr de que los teorems hcen referenci l distnci recorrid por el centroide l longitud de l curv genertri o del áre genertri, ls ecuciones resultntes [ecuciones (5.10) (5.11)] contienen los productos de ests cntiddes, los cules son simplemente los primeros momentos de un líne ( L) de un áre ( ), respectivmente. Por tnto, pr quellos problems en los cules l líne o el áre genertri consist de más de un form común, sólo se necesit determinr L o ; de est mner, no se tiene que clculr l longitud de l curv genertri o el áre genertri. 243

26 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 244 Problems Determine por integrción direct el centroide del áre mostrd en cd figur. Eprese l respuest en términos de h. = k 2 3 h h = h(1 k 3 ) = k 1 3 h Figur P5.31 Figur P5.32 Figur P Determine por integrción direct el centroide del áre mostrd en cd figur. 2 2 = b 2 r 1 r 2 b R R Figur P5.34 Figur P5.35 Figur P Determine por integrción direct el centroide del áre mostrd en cd figur. Eprese l respuest en términos de b. = k 2 2 b = k( ) 2 b = k 1 3 2b 244 Figur P5.37 Figur P5.38

27 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Determine por integrción direct el centroide del áre mostrd en l figur Determine por integrción direct el centroide del áre mostrd en cd figur. Eprese l respuest en términos de b. ( Problems = h L L 2 ( 245 b = 2b(1 k 2 ) = k 2 b 2 h Figur P5.39 L 2b Figur P5.40 Figur P b Un lmbre homogéneo se dobl en l form indicd por l figur. Determine por integrción direct l coordend de su centroide. r 45 = cos 3 = sen 3 θ θ 0 θ 2 45 Figur P5.42 Figur P5.43 *5.44 Un lmbre homogéneo se dobl en l form indicd por l figur. Determine por integrción direct l coordend de su centroide. Eprese l respuest en términos de. *5.45 *5.46 Determine por integrción direct el centroide del áre mostrd en l figur. = k 2 = sen L L 2 45 θ r = R cos 2θ Figur P5.44 L 45 2 Figur P5.45 Figur P5.46

28 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge Fuers distribuids: centroides centros de grvedd ' ' 5.47 Determine el volumen el áre de l superficie del sólido que se obtiene l rotr el áre del problem 5.2 respecto ) el eje, b) l líne 19 in. b Figur P Determine el volumen el áre de l superficie del sólido que se obtiene l rotr el áre del problem 5.4 respecto ) el eje, b) l líne 40 in Determine el volumen el áre de l superficie del sólido que se obtiene l rotr el áre del problem 5.1 respecto ) el eje, b) l líne 400 mm. R 5.50 Determine el volumen del sólido que se gener l rotr el áre semielíptic mostrd en l figur respecto ) el eje, b) el eje, c) el eje. R Figur P L 5.51 Si R 0.75 in. L 3 in, determine el volumen el áre de l superficie del eslbón de cden mostrdo en l figur, el cul fue hecho prtir de un brr de 0.5 in. de diámetro Verifique si ls epresiones pr los volúmenes de ls primers cutro forms dds en l figur 5.21 de l págin 261 son corrects Se tldr un gujero de 15 mm de diámetro en un pie de cero de 20 mm de espesor, después se velln como indic l figur. Determine el volumen de cero removido durnte el proceso de vellndo. 25 mm 20 mm 5.54 Tres perfiles diferentes de bnds motrices se someten un estudio. Si, en todo momento, ls bnds hcen contcto con l mitd de l circunferenci de su pole, determine el áre de contcto que h entre l bnd l pole en cd diseño. 15 mm Figur P in in. r = 0.25 in in in. 3 in. 3 in. 3 in. Figur P5.54 ) b) c) 5.55 Determine el volumen el áre de l superficie del cuerpo que se muestr en l figur. 52 mm 42 mm 20 mm 60 mm Figur P5.55

29 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge El escudete (un plc decortiv colocd sobre l prte de tuberí que sle de un pred) fue moldedo en ltón como indic l figur. Si l densidd del ltón es de kg/m 3, determine l ms del escudete. Problems 75 mm L cubiert redonded de un mes de mder tiene el perfil que muestr l figur. Si el diámetro de l cubiert es de 44 in. ntes de drle form, el peso específico de l mder es de lb/in 3, determine el peso del desperdicio que result de l producción de cubierts. 75 mm 25 mm in in. 0.5 in. Figur P5.56 Figur P5.57 P in L cubiert redonded de un mes de mder tiene l form que muestr l figur. Si cd cubiert se le plicn tres cps de lc cd litro de lc cubre 500 ft 2 de mteril, determine l cntidd de glones de lc requeridos pr drle este cbdo cubierts El reflector de luminio de un pequeñ lámpr de lt intensidd tiene espesor uniforme de 1 mm. Si l densidd del luminio es de kg/m 3, determine l ms del reflector. 56 mm 32 mm 26 mm 66 mm Figur P mm 28 mm 8 mm *5.60 El reflector de un pequeñ lintern eléctric tiene l form prbólic que muestr l figur. Determine el áre de l superficie interior del reflector. 15 mm 7.5 mm = k mm 7.5 mm 12.5 mm Figur P5.60

30 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge = Fuers distribuids: centroides centros de grvedd w w Figur 5.17 L d W d ) w b) dw = d P L W W = *5.8. RGS DISTRIUIDS EN VIGS El concepto del centroide de un áre puede utilirse pr resolver otros problems distintos los relciondos con los pesos de plcs plns. Por ejemplo, considérese un vig que soport un crg distribuid; est crg puede estr constituid por el peso de los mteriles soportdos direct o indirectmente por l vig o puede ser ocsiond por el viento o por un presión hidrostátic. L crg distribuid puede representrse l grficr l crg w soportd por unidd de longitud (figur 5.17); est crg está epresd en N/m o en lb/ft. L mgnitud de l fuer ejercid sobre un elemento de vig de longitud d es dw w d, l crg totl soportd por l vig es W L w d 0 Se observ que el producto w d es igul en mgnitud l elemento de áre d mostrdo en l figur Por tnto, l crg W es igul en mgnitud l áre totl bjo l curv de crg: W d hor se procede determinr dónde debe plicrse, sobre l vig, un sol crg concentrd W, de l mism mgnitud W que l crg distribuid totl, si se deben producir ls misms recciones en los poos (figur 5.17b). Sin embrgo, debe clrrse que est crg concentrd W, l cul represent l resultnte de l crg distribuid dd, es equivlente est últim sólo cundo se consider el digrm de cuerpo libre de tod l vig. El punto de plicción P de l crg concentrd equivlente W se obtiene epresndo que el momento de W con respecto un punto es igul l sum de los momentos de ls crgs elementles dw con respecto : (P)W dw o, como dw w d d W, (P) L d (5.12) 0 Fotogrfí 5.3 Los techos de ls construcciones que se muestrn en l fotogrfí pueden ser cpces de soportr no sólo el peso de l nieve, sino tmbién ls crgs distribuids no simétrics cusds por el montonmiento de l nieve. Puesto que l integrl represent el primer momento con respecto l eje w del áre bjo l curv de crg, ést puede ser reempld por el producto. Por tnto, se tiene que P, donde es l distnci desde el eje w hst el centroide del áre (nótese que dicho centroide no es el centroide de l vig). En este sentido, un crg distribuid que ctú sobre un vig puede reemplrse por un crg concentrd, l mgnitud de dich crg es igul l áre bjo l curv de crg su líne de cción ps trvés del centroide de dich áre. Sin embrgo, se debe señlr que l crg concentrd es equivlente l crg distribuid dd sólo en lo que respect ls fuers eterns. Est crg concentrd puede utilirse pr determinr recciones pero no debe ser empled pr clculr fuers interns defleiones.

31 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 249 *5.9. FUERZS SRE SUPERFIIES SUMERGIDS El procedimiento usdo en l sección nterior puede emplerse pr determinr l resultnte de ls fuers de presión hidrostátic ejercids sobre un superficie rectngulr sumergid en un líquido. onsidérese l plc rectngulr mostrd en l figur 5.18, l cul tiene un longitud L un ncho b, donde b se mide perpendiculr l plno de l figur. omo se señló en l sección 5.8, l crg ejercid sobre un elemento de l plc de longitud d es w d, donde w es l crg por unidd de longitud. Sin embrgo, est crg tmbién puede epresrse como p d pb d, donde p es l presión mnométric en el líquido b es el ncho de l plc; por tnto, w bp. omo l presión mnométric en un líquido es p h, donde es el peso específıco del líquido h es l distnci verticl prtir de l superficie libre, se conclue que w bp b h (5.13) lo cul demuestr que l crg por unidd de longitud w es proporcionl h, por tnto, vrí linelmente con. De cuerdo con los resultdos de l sección 5.8, se observ que l resultnte R de ls fuers hidrostátics ejercids sobre un ldo de l plc es igul en mgnitud l áre trpeoidl bjo l curv de crg su líne de cción ps trvés del centroide de dich áre. El punto P de l plc donde se plic R se conoce como el centro de presión. continución se considern ls fuers ejercids por un líquido sobre un superfıcie curv de ncho constnte (figur 5.19). omo l determinción por integrción direct de l resultnte R de dichs fuers podrí no ser fácil, se consider el cuerpo libre obtenido por l seprción del volumen de líquido D el cul está limitdo por l superficie curv por ls dos superficies plns D D como se muestr en l fıgur 5.19b. Ls fuers que ctún sobre el cuerpo libre D son el peso W del volumen de líquido seprdo, l resultnte R 1 de ls fuers ejercids sobre D, l resultnte R 2 de ls fuers ejercids sobre D l resultnte R de ls fuers ejercids por l superficie curv sobre el liíquido. L resultnte R es igul opuest tiene l mism líne de cción que l resultnte R de ls fuers ejercids por el líquido sobre l superficie curv. Ls fuers W, R 1 R 2 se pueden determinr medinte los métodos convencionles; un ve que se hn encontrdo estos vlores, l fuer R se obtiene l resolver ls ecuciones de equilibrio pr el cuerpo libre de l figur 5.19b. Entonces l resultnte R de ls fuers hidrostátics ejercids sobre l superficie curv se obtienen invirtiendo el sentido de R. Los métodos presentdos en est sección pueden emplerse pr determinr l resultnte de ls fuers hidrostátics ejercids sobre ls superfıcies de press de compuerts rectngulres álbes. Ls resultntes de ls fuers que ctún sobre superficies sumergids de ncho vrible se determinrán en el cpítulo Fuers sobre superficies sumergids w d E P L Figur 5.18 R ) R 1 D R W b) Figur 5.19 R R L presión p, l eul represent un crg por unidd de áre, se epres en N/m 2 o en lb/ft 2. L unidd derivd del SI N/m 2 recibe el nombre de pscl (P). bserve que el áre bjo l curv de crg es igul w E L, donde w E es l crg por unidd de longitud en el centro E de l plc de cuerdo con l ecución (5.13), se puede escribir R w E L (bp E )L p E (bl) p E donde represent el áre de l plc. Por tnto, se puede obtener l mgnitud de R si se multiplic el áre de l plc por l presión en su centro E. Sin embrgo, l resultnte R debe ser plicd en P, no en E. Fotogrfí 5.4 omo se epuso en est sección, l pres Grnd oulee soport tres diferentes tipos de crgs distribuids: los pesos de los elementos que l constituen, ls fuers de presión ejercids por el gu sobre su cr sumergid ls fuers de presión ejercids por el suelo sobre su bse.

32 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge 250 w = 1500 N/m L = 6 m w = N/m PRLEM RESUELT 5.9 Un vig soport un crg distribuid como lo muestr l figur; ) determine l crg concentrd equivlente b) determine ls recciones en los poos. SLUIÓN = 4 m 1.5 kn/m I = 2 m 6 m II 4.5 kn/m ) rg concentrd equivlente. L mgnitud de l resultnte de l crg es igul l áre bjo l curv de crg l líne de cción de l resultnte ps trvés del centroide de dich áre. Se divide el áre bjo l curv de crg en dos triángulos se construe l tbl que se present continución. Pr simplificr los cálculos l tbulción, ls crgs por unidd de longitud dds se hn convertido kn/m. omponente, kn, m, kn m Triángulo I Triángulo II kn X = 3.5 m Por lo tnto, X : X (18 kn) 63 kn m X 3.5 m L crg concentrd equivlente es su líne de cción está loclid un distnci W 18 knw X 3.5 m l derech de 13.5 kn 4.5 kn b) Recciones. L rección en es verticl se represent con ; l rección en está representd por sus componentes. omo se muestr en l figur, l crg dd se puede considerr como l sum de dos crgs tringulres. L resultnte de cd crg tringulr es igul l áre del triángulo ctú en su centroide. Se escriben ls siguientes ecuciones de equilibrio pr el cuerpo libre mostrdo: 2 m F 0: 0 l M 0: (4.5 kn)(2 m) (13.5 kn)(4 m) (6 m) 0 4 m 6 m 10.5 kn l M 0: (4.5 kn)(4 m) (13.5 kn)(2 m) (6 m) kn Solución lterntiv. L crg distribuid dd se puede reemplr por su resultnte, l cul se determinó en l prte. Ls recciones pueden determinrse con ls ecuciones de equilibrio F 0, M 0 M 0. De nuevo se obtiene kn 7.5 kn 250

33 bee76985_ch05.qd 10/24/06 11:02 M Pge ft 9 ft 10 ft PRLEM RESUELT ft Vértice Prábol 18 ft L sección trnsversl de un pres de concreto es como se muestr en l figur. onsidere un sección de l pres de 1 ft de espesor determine: ) l resultnte de ls fuers de rección ejercids por el suelo sobre l bse de l pres b) l resultnte de ls fuers de presión ejercids por el gu sobre l cr de l pres. Los pesos específicos del concreto del gu son, respectivmente, 150 lb/ft lb/ft 3. H 22 ft M V 9 ft 6 ft E 2.5 ft 6 ft F 4 ft W 4 W 2 W 1 W 3 14 ft 3 ft D P 6 ft 18 ft SLUIÓN w = bp = (1 ft)(18 ft)(62.4 lb/ft 3 ) ) Rección del suelo. Se seleccion como cuerpo libre l sección de 1 ft de espesor EFD de l pres el gu. Ls fuers de rección ejercids por el suelo sobre l bse están representds por un sistem equivlente fuer-pr en. trs fuers que ctún sobre el cuerpo libre son el peso de l pres, representdo con los pesos de sus componentes W 1, W 2 W 3 ; el peso del gu W 4 l resultnte P de ls fuers de presión ejercids sobre l sección D por el gu que se encuentr l derech de dich sección. sí se tiene W (9 ft)(22 ft)(1 ft)(150 lb/ft 3 ) lb W 2 (5 ft)(22 ft)(1 ft)(150 lb/ft 3 ) lb W (10 ft)(18 ft)(1 ft)(150 lb/ft 3 ) lb W (10 ft)(18 ft)(1 ft)(62.4 lb/ft 3 ) lb P 1 2 (18 ft)(1 ft)(18 ft)(62.4 lb/ft 3 ) lb Ecuciones de equilibrio F 0: H lb 0 H lb F 0: V lb lb lb lb 0 l M 0: V lb ( lb)(6 ft) ( lb)(11.5 ft) (9 000 lb)(17 ft) (7 488 lb)(20 ft) ( lb)(6 ft) M 0 M lb ft l Se puede reemplr el sistem fuer-pr obtenido por un fuer que ctú un distnci d l derech de, donde 4 ft D R W 4 R G P = lb P 6 ft W 4 = lb = 36.5 R = lb d lb ft lb ft b) Resultnte R de ls fuers ejercids por el gu. Se elige como cuerpo libre l sección prbólic de gu D. Ls fuers involucrds son l resultnte R de ls fuers ejercids por l pres sobre el gu, el peso W 4 l fuer P. omo ests fuers deben ser concurrentes, R ps trvés del punto de intersección G de W 4 P. Se dibuj un triángulo de fuers prtir del cul se determinn l mgnitud l dirección de R. L resultnte R de ls fuers ejercids por el gu sobre l cr es igul opuest: R lb d