Tema 4. Integración compleja

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Roberto Montes Villalobos
hace 8 años
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1 Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur. Te 4. Integrción coplej 4.1. Curvs. Conjuntos conexos Aunque tods ls definiciones que dos quí están recogids en culquier curso de Análisis Rel, ueno será recordrls por su iportnci en todos los tes posteriores. Definición Arco o curv Denoinreos rco (o curv o cino) tod plicción, γ, de un intervlo cerrdo, [, ], de R en C. Es decir, un rco es un expresión γ(t) = α(t) + iβ(t) con t 0 [, ] y α, β son dos funciones reles. Si el pr de funciones (α, β) es derivle y sus derivds son continus direos que el rco es un rco diferencile. En este cso existe [α ) (t)] 2 % [β ) (t)] 2 dt, y direos que el rco es rectificle. Entonces denoinos longitud del rco : L ' [α ) (t)] 2 % [β ) (t)] 2 dt El rco se denoin siple si no se cort sí iso, es decir t 1 t 2 iplic que γ(t 1 ) γ(t 2 ). Un rco se dice que es cerrdo si γ() = γ(); esto es, epiez y c en el iso punto. Un rco siple y cerrdo es un rco pr el que se verific γ(t 1 ) γ(t 2 ) pr todo t 1,t 2 0(, ) y deás, es γ() = γ(). Direos que el rco está orientdo positivente cundo lo recorreos dndo los vlores del práetro t los vlores de ner ordend, de tl for que el origen del rco es el punto γ() y el extreo el punto γ(); Reservreos l orientción negtiv cundo considereos el origen coo γ() y el extreo γ() Por cuestiones de notción, el rco se suele escriir encionndo l gráfic, C, que produce en el plno cundo se represent gráficente. En este cso, si no se encion l plicción γ, entendereos que recorreos un rco cerrdo en sentido positivo si lo hceos en sentido contrrio ls gujs del reloj. Un rco o curv se denoin diferencile trozos si γ es un función continu y existe un prtición de [, ], = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n =. tl que γ es derivle y con derivd continu en cd suintervlo (t i, t i+1 ) y en cd punto t i existen ls dos derivds lterles (excepto en el punto donde sólo dee existir l derivd por l derech y en el punto que sólo

Conjuntos conexos Aunque tods ls definiciones que dos quí están recogids en culquier curso de Análisis Rel, ueno será recordrls por su iportnci en todos los tes posteriores. Definición 4.1.

2 existe l derivd por l izquierd. L gráfic de l figur 4.1 se corresponde con un curv de este tipo. Figur 4.1 L longitud, L, de estos rcos se definirí coo L = en el intervlo [t i-1, t i ]. n j i'1 L i donde L i es l longitud de γ Definición Conjunto conexo Un suconjunto, A, de C se denoin conexo si ddos dos puntos culesquier de él, existe un rco diferencile trozos que los une y tl que todos los puntos del rco están contenidos en el conjunto; es decir, si ddos z 1, z 2 0 A, existe un rco: γ:[, ]6 C, tl que γ()= z 1,γ()= z 2 y γ(t) 0 A œt 0 [, ] Así, el conjunto de l figur 4.2 es conexo y no lo es el de l figur 4.3. Figur 4.2 Figur 4.3 Intuitivente, l noción de conjunto conexo v unid l hecho de que todos los puntos de A se pueden conectr edinte cinos contenidos en él. Proposición Se D un suconjunto ierto y conexo de C. Entonces, se verific que no existen dos suconjuntos iertos A y B no vcios y disjuntos tles que A c B = D.

L i donde L i es l longitud de γ Definición 4.1.

3 Proposición Si D es un suconjunto ierto y conexo de C, los únicos suconjuntos de D que son iertos y cerrdos l vez son el vcío y él iso. Definición Conjunto sipleente conexo Un suconjunto conexo, A, de C direos que es sipleente conexo si su copleentrio en C es conexo Figur 4.4 En l figur 4.4, el conjunto A es sipleente conexo y el B no lo es. Gráficente, hlndo en lenguje coloquil un suconjunto sipleente conexo es quél que no tiene gujeros. Un suconjunto sipleente conexo es conexo pero el recíproco no es cierto. Cundo un conjunto no es sipleente conexo tién lo llreos últipleente conexo. Por últio, direos que un suconjunto, D, de C es un doinio si es ierto y conexo Integrl coplej rel. Definios priero lo que entendeos por integrl de un función coplej de vrile Definición Integrl coplej de vrile rel Se g(t) = x(t) + iy(t), t 0 [, ], direos que g(t) es integrle en [, ] si lo son x(t) e y(t) y, en tl cso, escriios: g(t)dt ' x(t)dt % i y(t)dt Puesto que l definición de integrl de g(t) se reduce dos integrles de vrile rel, se otienen ineditente ls siguientes propieddes:

Un suconjunto sipleente conexo es conexo pero el recíproco no es cierto. Cundo un conjunto no es sipleente conexo tién lo llreos últipleente conexo.

4 Proposición (%i)f(t)dt ' (%i) f(t)dt (f 1 (t)%f 2 (t))dt ' f 1 (t)dt % f 2 (t)dt Proposición * g(t)dt* # *g(t)*dt Se el rco diferencile, C, definido por z(t) =x(t) + iy(t), t 0 [, ], y se l función de vrile coplej f(z) = u(x, y) + iv(x, y) definid y continu sore un conjunto, U, que conteng l curvc. Definición Integrl coplej Se denoin integrl de líne de f(z) lo lrgo de l curv C, y se denot por expresión siguiente: ' [u(x(t),y(t)) % iv(x(t),y(t))][x ) (t)%i y ) (t)]dt ' [u[x(t),y(t)]x ) (t)&v[x(t),y(t)]y (t)]dt%i [u[x(t),y(t)]y ) (t)%v[x(t),y(t)]x ) (t)]dt l donde l últi integrl existe porque si f(z) es continu, tién lo son u y v. L expresión nterior se escrie, de ner siplificd, en l for: ' f [z(t)]z ) (t)dt Si el rco, C, es diferencile trozos definireos ' j n i'1 i donde C i es el trozo de rco, C, definido en el intervlo [t i-1. t i ]. Si C es l gráfic de un rco diferencile su representción prétric no es únic, es decir, C puede estr definid edinte dos funciones distints, sen por ejeplo z(t) =x(t) + iy(t), t 0 [, ] y Z(T) = X(T) + iy(t); T 0 [A, B] dos funciones derivles con continuidd que definn C; entonces l integrl podreos escriirl, según se elij un pretrizción u otr en ls fors: ' f [z(t)]z ) (t)dt

= u(x, y) + iv(x, y) definid y continu sore un conjunto, U, que conteng l curvc. Definición 4.2.

5 B ' f [Z(T)]Z ) (T)dT A Pues ien, pr ls dos definiciones el resultdo es el iso; es decir, l integrl coplej no depende de l pretrizción que elijos pr l curv. r que l definición de integrl de line que heos doptdo se correct deeríos otener el iso resultdo en os csos Propieddes eleentles de l integrl coplej Proposición Se -C el rco C recorrido en sentido contrrio, entonces &C '& Proposición Sen z 1, z 2 los extreos del rco C 1 y z 2., z 3 los del rco C 2. Se C el rco resultnte con origen en z 1 y finl en z 3 psndo por z 2 ( C se le denoin el rco unión o su de C 1 y C 2 ). Entonces ' % '& 1 2 &C Proposición Si f (z) y g(z) son dos funciones continus sore C y α, β 0 C, entonces [αf(z) % βg(z)]dz ' α % β g(z)dz Proposición Se f(z) un función continu sore el rco C, y se L l longitud de dicho rco. En tl cso, se verific: * * #ML donde M es un cot superior de *f(z)* sore l curv C y L es l longitud de dich curv Teore de Cuchy El siguiente teore tiene especil iportnci en todo el desrrollo de l Teorí de funciones de vrile coplej. Su enuncido es el siguiente:

3.2 Sen z 1, z 2 los extreos del rco C 1 y z 2., z 3 los del rco C 2. Se C el rco resultnte con origen en z 1 y finl en z 3 psndo por z 2 ( C se le denoin el rco unión o su de C 1 y C 2 ).

6 Teore de Cuchy Se f(z) un función nlític en un doinio, D, del plno coplejo y se C un rco cerrdo y diferencile trozos tl que, tnto él coo su interior, están contenidos en D. Entonces ' 0 Teore de Cuchy pr doinios últipleente conexos Supongos que C es un curv cerrd y que C 1, C 2,..., C k son curvs, tién cerrds, contenids en el interior de C. Se D l región del plno interior C y exterior tods ls curvs C i i=1,2..,k. Si f(z) es nlític en D, se verific que : ' j k i'1 i o, de otr for, si denotos por Γ l curv ford por C recorrid en sentido positivo y tods ls C i recorrids en sentido negtivo, entonces Γ ' Priitivs Figur 4.5 Definición Priitiv de un función Dd un función, f(z), definid y continu en un doinio, D, se dice que otr función, F(z), nlític en D es un priitiv de f(z) si F (z) = f(z). Proposición Si f(z) es un función continu en un doinio, D, l condición necesri y suficiente pr que dit priitiv en D es que l integrl no depend del cino, C, contenido en D.

Se D l región del plno interior C y exterior tods ls curvs C i i=1,2..,k.

7 Proposición Si f(z) es un función continu en D se verific que es independiente del cino contenido en D si, y sólo si, pr tod curv cerrd, C, contenid en D es ' 0 Ls dos proposiciones nteriores se pueden resuir en l siguiente: Teore Si f(z) es un función continu en un doinio, D, entonces ls tres condiciones siguientes son equivlentes (ls curvs se suponen contenids en D): ) f(z) dite priitiv en D ) L integrl, no depende del cino C. (Solente de los extreos). c) Pr todo cino cerrdo, C, es ' 0 Osérvese que si f(z) es un función nlític en D y le exigios, deás, D que se sipleente conexo, entonces, pr tod curv cerrd, C, contenid en D tendríos que tnto ell coo su interior estrá contenid en D y, por plicción del Teore de Cuchy, será por tnto, f(z) ditirá priitiv en D. ' 0

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