Universidad Católica del Maule. Fundamentos de Computación Especificación de tipos de datos ESPECIFICACIÓN ALGEBRAICA DE TIPOS DE DATOS

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1 Especificación algebraica ESPECIFICACIÓN ALGEBRAICA DE TIPOS DE DATOS Un tipo abstracto de datos se determina por las operaciones asociadas, incluyendo constantes que se consideran como operaciones sin argumentos. Entre estas operaciones vamos a distinguir unas que denominaremos constructoras, que sirven para construir o generar todos los datos del tipo que se está especificando. Para un mismo tipo de datos, como veremos puede haber distintas elecciones de constructores. Según los constructores elegidos, puede que haya una única forma de representar con esos constructores cada dato, en cuyo caso decimos que los constructores son libres, o que haya diferentes representaciones para un mismo dato. En este caso, necesitamos identificar las razones por las que hay varias formas de decir lo mismo, proporcionando ecuaciones de equivalencia entre términos costruidos. Las otras operaciones de la interfaz del tipo de datos se clasifican en observadoras y modificadoras. Las observadoras son las que devuelven información sobre los datos que se están especificando, y esta información pertenece a otros tipos de datos ya conocidos. Las modificadoras son operaciones cuyo resultado es un dato del mismo tipo que se especifica. El comportamiento de las operaciones se especifica mediante ecuaciones que pueden ser condicionales. La metodología de constructoras consiste en que, una vez elegidas las constructoras para el tipo de datos, las ecuaciones definen el comportamiento de las operaciones observadoras y modificadoras en función de su efecto sobre los términos construidos, o sea, sobre los términos que se definen sobre variables tipadas apropiadamente y las operaciones constructoras. Entonces, para una operación observadora o modificadora op cuyos datos de entrada tienen tipos T1 T2... Tn, las ecuaciones que definen su comportamiento tienen la forma Op(c 1,c 2,...,c n ) = t0 t 1 = t 1... t k = t k Donde los términos c i son términos construidos de tipo T i para i entre 1 y n, mientras que t0 y tj, tj (con j entre 1 y k, y k 0) son términos que además de las constructoras pueden involucrar también la propia operación op (dando lugar a definiciones de carácter recursivo) y otras operaciones modificadoras u observadoras. Hay que notar que la condición de la ecuación anterior es una conjunción (que puede ser vacía) de ecuaciones. Dado un predicado P, es decir, una operación con perfil P: T1, T2...Tn bool, donde bool es el tipo usual de valores booleanos. Abreviaremos una condición de la forma P(t1...tn) = verdadero como P(t1,...,tn), y una condición de la forma P(t1,...,tn) = falso como P(t1,...,tn), donde denota la negación sobre booleanos. Más en general, una ecuación de la forma t = verdadero, donde t es un término de tipo bool, se abrevia como t en las condiciones. Las operaciones que constituyen la interfaz de un tipo de datos, incluyendo las constructoras, puedn ser parciales. Esta situación se explicará en la especificación Preparado por Paulo A. González G. 1

2 señalando por un lado las operaciones parciales (mediante un subíndice p en el perfil de la operación), y escribiendo por otro lado ecuaciones de error que indican en qué situación la operación no está definida. Sin embargo, no haremos un tratamiento de los errores, es decir, que vamos a suponer implícitamente que cualquier operación aplicada a un error devuelve un error. Lenguaje abstracto de especificación La notación que usaremos en el curso, la llamaremos lenguaje abstracto de especificación que no necesariamente corresponderá a un lenguaje concreto de especificación entre varios que se conocen. Especificación: Nombre_Especificación Usa: Boléanos, otra-especificación, especificación2,..., especificación. Tipos nombre-tipo Operaciones: c: Nombre_tipo. f: Nombre_tipo1,... Nombre_tipoN Nombre_tipo. g: Nombre_tipo1,..., Nombre_tipoN p Otro_tipo Operaciones privadas Variables: Ecuaciones: p: Nombre_tipo1,..., Nombre_tipoN bool h: Nombre_tipo1,..., Nombre_tipoN Otro_tipo. X, Y : Nombre_tipo. Z : Otro_tipo T1 = T2 T1 =T2 c1=c1 Fin-especificación En primer lugar, tenemos la interfaz del tipo de datos, que consta de: El nombre de la especificación. Una posible importación de otras especificaciones de tipos dando sus nombres. Preparado por Paulo A. González G. 2

3 La declaración del nombre nombre-tipo del tipo de datos que se define, que en caso todos los ejemplos es solamente uno pero en general pueden ser varios. Y la declaración de las operaciones asociadas, cada una de ellas declarada con su perfil, es decir, los tipos de los datos de entrada y el tipo del resultado. En el esquema anterior, c es una constante pues no tiene argumentos, f es una operación total y g es una operación parcial como indica el subíndice p junto a la flecha del perfil. Las dos primeras podrían ser constructoras o modificadoras, mientras que la tercera es observadora pues su resultado tiene un tipo diferente al especificado. Después de las operaciones de la interfaz aparece la declaración de operaciones privadas o auxiliares que son útiles en la especificación pero no se pueden usar fuera de la misma. En el esquema ejemplo tenemos un predicado p (pues el tipo de su resultado es bool) declarado como operación privada, junto a otra operación privada h. Cuando sea conveniente o habitual, usaremos notación infija para las ecuaciones, en tal caso usaremos el signo de subrayado para indicar las posiciones de los argumentos en la declaración de la operación, como por ejemplo _+_ para la operación binaria de suma. Tras la interfaz viene la declaración de variables, cada una con su tipo correspondiente, que se usarán en los términos para formar ecuaciones, y finalmente, a lista de ecuaciones posiblemente condicionales. En el esquema ejemplo, tenemos una ecuación sin condición y otra condicional. Hay que recordar que las ecuaciones se pueden clasificar tal como hemos explicado anteriormente en: Ecuaciones de equivalencia entre términos construidos cuando las constructoras no son libres. Ecuaciones de error, en caso de operaciones parciales. Y ecuaciones que definen el comportamiento de las oepraciones modificadoras y observadoras en función de las constructoras. Ejemplo de especificación de booleanos Debido a su sencillez y a ser bien conocido tanto en el contexto de la lógica como en el de los lenguajes de programación, consideraremos como primer ejemplo de especificación algebraica el tipo de datos de valores booleanos. Especificación: BOOLEANOS Tipos: bool Operaciones: Verdadero : bool {constructora} Falso : bool {constructora} Preparado por Paulo A. González G. 3

4 _ : bool bool _ _ : bool bool bool _ _ : bool bool bool Tenemos constantes verdadero y falso, la operación unaria de negación y operaciones binarias de conjunción y disyunción. Puesto que el tipo del resultado de todas las operaciones es bool, que es el tipo que se especifica, en este ejemplo no hay operaciones observadoras. Entre las operaciones dadas en la interfaz, tenemos que elegir un conjunto de constructoras. Las dos constantes obviamente representan de forma única los dos valores del tipo de datos que se define, por lo que constituyen un conjunto de constructoras apropiado, tal como se ha señalado en la interfaz anterior. Al tratarse de dos constantes, el conjunto de términos que definen estpa constituido por esas dos mismas constantes, y como cada valor está representado exactamente por una de ellas, no hacen falta ecuaciones de equivalencia entre los términos construidos. Es decir, las constructoras son libres. Con esta elección de constructoras (que no es la única posible), las operaciones son modificadoras y debemos definir su comportamiento en términos de las constructoras. Para ello consideramos, en primer lugar, la operación de conjunción, que es binaria, con dos argumentos de tipo bool. Como hay dos constructoras del tipo bool, en principio para cada uno de los argumentos tenemos dos posibilidades con lo cual sería posible considerar cuatro ecuaciones de la forma siguiente: verdadero verdadero = verdadero verdadero falso = falso falso verdadero = falso falso falso = falso Que representa la tabla de verdad de la conjunción. Sin embargo, no es necesario distinguir tantos casos (cuando el número de constructoras se incrementa, este detalle adquiere más importancia a la hora de facilitar la lectura y comprensión de la especificación), pues basta con tener información sobre un argumento para saber el resultado, usamos una variable b de tipo bool para representar de forma genérica el otro argumento: verdadero b = b falso b = falso En este ejemplo da igual el argumento sobre el cual se empiezan a distinguir los casos, pues el comportamiento de la conjunción es simétrico con respecto a los dos argumentos, es decir, se trata de una operación binaria conmutativa. Sin embargo, aunque esta propiedad sea cierta, no vamos a poner en la especificación una ecuación de conmutatividad de la forma Preparado por Paulo A. González G. 4

5 b b = b b que no sigue la metodología de constructoras, pues no define el comportamiento de la operación que se está especificando sobre valores del tipo de datos (dados como términos construidos). Razonando con las dos ecuaciones anteriores, se puede ver que la ecuación de conmutatividad es de hecho consecuencia de esas dos ecuaciones y es, en ese sentido, innecesaria en esta clase de especificaciones. Las ecuaciones que especifican el comportamiento de la disyunción son parecidas a las de conjunción y las de negación son inmediatas, de forma que el resto de la especificación tiene la siguiente forma, donde las ecuaciones aparedcen tras la declaración de las variables que se usan. variables b : bool ecuaciones verdadero = falso falso = verdadero verdadero b = b falso b = falso verdadero b = verdadero falso b = b En la especificación no hay ninguna ecuación condicional. Otra característica habitual de las especificaciones ecuacionales, que tampoco se aprecia en este ejemplo debido a su sencillez, es la definición recursiva de las operaciones. Parametrización Muchas de las especificaciones de tipos de datos habituales que iremos viendo por ejemplo las pilas, colas listas, conjuntos, etc. Son genéricas o paramétricas con respecto a los datos que contienen, es decir, la especificación de la constgrucción genérica de datos que se define es completamente independiente de los elementos concretos que constituyen esos datos. En tales casos, la especificación está parametrizada con respecto a un parámetro que indica los requisitos que deben cumplir los datos concretos para que tenga sentido aplicarles la construcción paramétrica. Aunque la estructura de un parámetro es similar a la de una especificación, y dentro de esta se usa como una especificación importada, el parámetro debe entenderse como un argumento formal de la especificación que se va a instanciar adecuadamente cuando se use el tipo de datos genérico. Por ejemplo, una ves definidos los conjuntos en general, podemos usar los conjuntos booleanos, los conjuntos naturales, etc. El primer ejemplo de parámetros que consideramos solamente exige la existencia de un tipo. Preparado por Paulo A. González G. 5

6 parámetro ELEM tipo elemento fin-parámetro Aunque esto puede ser suficiente en algunas situaciones, en muchos casos interesa que el tipo tenga una operación de igualdad que permita comparar elementos entre sí. Por ejemplo, si queremos poder decidir si dos conjuntos son iguales, debemos poder compara los elementos que los conforman para ver si son iguales o no. El siguiente parámetro exige un tipo de operaciones de igualdad y desigualdad. Las ecuaciones no definen esas operaciones, sino que dan requisitos que deben cumplir para que en efecto las consideremos como tales. Específicamente, la desigualdad debe ser la negación de la igualdad, y la operación de igualdad tiene que decir que los elementos son iguales si y solo si lo son realmente. Preparado por Paulo A. González G. 6

7 parámetro ELEM= usa BOOLEANOS tipos elemento operaciones _= = _ : elemento elemento bool _ _ : elemento elemento bool variables x, y : elemento ecuaciones (x ==y) = verdadero x = y x = y (x==y) = verdadero x y = (x==y) fin-parámetro Hay que notar que x = y es una ecuación que afirma que los elementos x e y de tipo elemento son iguales,, mientras que x == y es el predicado de igualdad aplicado a los dos argumentos x e y, que da lugar a un término de tipo bool. Entonces (x == y) = verdadero es una ecuación que afirma que el resultado de esa aplicación del predicado de igualdad es igual a la constante booleana verdadero. Así, las dos primeras ecuaciones en el parámetro ELEM= afirman conjuntamente la equivalencia (x == y) = verdadero x = y Según la cual la información que devuelve la operación de igualdad refleja fielmente la información sobre el tipo de datos. Esta equivalencia puede dar la falsa impresión de que nunca vamos a necesitar la operación de igualdad porque siempre podemos usar las ecuaciones del lenguaje abstracto de especificación en su lugar. Cuando la igualdad devuelve verdadero, tal y como aparece en la equivalencia anterior, efectivamente es así, pero cuando la igualdad devuelve falso la situación cambia porque en el lenguaje de especificación que vamos a usar en general no existe ningun recurso que permita escribir la negación de una ecuación (en las condiciones solamente pueden aparecer conjunciones de ecuaciones). En cambio, en presencia de un predicado de igualdad como x == y es una expresión de tipo bool en el cual disponemos de la negación, (x==y) es otra expresión del mismo tipo que intuitivamente afirma que xe y son distintos, lo cual, usando la definición en el parámetro ELEM=, podemos escribir como x y y va a ser de gran utilidad a la hoar de distinguir casos según que dos elementos sean iguales o distintos. De nuevo se insiste en que x y es un término de tipo bool obteniendo al aplicar el predicado de desigualdad, de la misma forma que x == y es un término booleano obtenido al aplicar la igualdad, y en particular x y no es la negación de una ecuación, aunque la notación pudiera dar la impresión. En generalm la existencia de una operación de igualdad sobre un tipo nos va a permitir escribir cualquier expresión booleana basada en ese predicado. Aunque los dos parámetros anteriores, ELEM y ELEM=, son los más habituales en los ejercicios que siguen a lo largo de la primera parte de este apunte, un parámetro puede Preparado por Paulo A. González G. 7

8 definirse de la forma adecuada a la especificación que se desee y veremos algunos otros ejemplos como órdenes totales, valores modificables, etc. El nombre de una especificación parametrizada es de la forma ESPEC[PARAM] que indica el nombre del parámetro requerido. Cuando se instancie con un tipo de datos concreto, se llamará de la forma ESPEC[CONCRETO]. Entonces las apariciones de los tipos y operaciones formales del parámetro se sustituyen por los tipos y operaciones concretos apropiados. Muchas veces sobrecargaremos la notación de las operaciones, de forma que se llamen igual las operaciones concretas que las formales, con lo cual la sustitución es inmediata. En el caso de los nombres de tipos, haremos explícita la concreción de manera que un nombre genérico como lista que indica listas en general se convierte en lista[bool] para listas de booleanos, por ejemplo. Ejercicios Problema 1: Extender la especificación de los valores booleanos vista anteriormente con las operaciones de implicación, equivalencia y disyunción exclusiva. Solución: Extendemos la espcificaicón booleanos con la interfaz de tres operaciones binarias adicionales y las ecuaciones correspondientes, distinguiendo casos sobre constructoras en el primer argumento y usando la operación de negación para obtener el resultado en un par de casos. Especificación: BOOLEANOS+ Usa: BOOLEANOS Operaciones: _ _ : bool bool bool _ _ : bool bool bool _ xor _ : bool bool bool variables: b : bool ecuaciones: verdadero b = b falso b = verdadero verdadero b = b falso b = b verdadero xor b = falso xor b = b b Preparado por Paulo A. González G. 8

9 Problema 2 Rehacer la especificación de los booleanos dada cambiando el conjunto de constructoras. Solución: Una posibilidad es considerar como constructoras una de las constantes (por ejemplo, verdadero) y la negación. Entonces hay infinitos términos construidos de la forma... verdadero. Sabemos que el tipo de datos consta tan solo de dos valores, uno que denota certeza y otro falsedad. El primero se representa con la constante verdadero, mientras que el segundo se puede representar mediante el término verdadero, por ejemplo. Qué significan entonces los restantes términos construidos? Intuitivamente negar dos veces anula el efecto de la negación, es decir verdadero debe comportarse como verdadero, como verdadero, etc. Por lo tanto, en esta representación las constructoras no son libres y es necesario introducir ecuaciones de equivalencia entre los términos construidos, para lo cual basta la ecuación b = b, que indica que la doble negación se comporta como la identidad. Como cada valor se puede representar de múltiples formas, hay que asegurarse que las ecuaciones que definen las restantes operaciones (todas ellas modificadoras) son independientes del representante elegido. Volvemos a escribir la especificación, haciendo notar que el único cambio es la elección de constructoras, y a continuación incluimos el axioma de equivalencia y la definición de la constante falso. Especificación: BOOLEANOS++ Tipos: bool Operaciones: Verdadero : bool {constructora} Falso : bool _ : bool bool{constructora} _ _ : bool bool bool _ _ : bool bool bool _ _ : bool bool bool _ _ : bool bool bool _ xor _ : bool bool bool variables: b, c : bool Preparado por Paulo A. González G. 9

10 ecuaciones b = b {doble negación} falso = verdadero Para especificar la conjunción y disyunción, se distingue casos sobre cosntructoras en el primer argumento. Cuando el primer argumento es cierto, tenemos información para concer el resultado directamente, pero cuando es una negación, tenemos que distinguir casos en el segundo argumento. Cuando el segundo argumento es verdadero, damos el resultado directamente, y cuando es otra negación, nos apoyamos en las conocidas leyes de morgan que afirman que la conjunción/disyunción de negaciones es equivalente a la negación de la disyunción/conjunción, con lo que se reduce la conjunción inicial a una isyunción más sencilla, y viceversa. De esta forma obtenemos una definición mutuamente recursiva de ambas operaciones. La recursión está bien definida porque el tamaño de los correspondientes argumentos decrece estrictamente. En la tercera ecuación de la conjunción y de la disyunción los argumentos en la izquierda son los términos b y c, mientras que en la derecha se reducen a los subtérminos b y c. verdadero c = c b verdadero = b b c = (b c) verdadero c = verdadero b verdadero = verdadero b verdadero = (b c) Para las tres últimas operaciones hacemos la misma distinción de casos, dando lugar a definiciones recursivas, pero no mutuamente recursivas. verdadero c = c b verdadero = verdadero b c = c b verdadero c = c b verdadero = b b c = b c verdadero xor c = c b xor verdadero = b b xor c = b xor c En vez de distinguir casos sobre constructoras, podemos también escribir ecuaciones que definen unas operaciones lógicas en función de otras, de acuerdo con conocidas equivalencias lógicas. Por ejemplo. Preparado por Paulo A. González G. 10

11 Problema 3: b c = ( b) c b c = (b c) ( c b) b xor c = (b c) Especificar los números naturales con las siguientes operaciones: Cero y sucesor. Suma. Producto. Diferencia natural (cuando se resta a un número otro mayor, el resultado que se obtiene es cero). Potencia. Relaciones de igualdad y desigualdad. Relaciones de orden, <, y >. Máximo y mínimo. Cociente y resto de la división entera. Predicados para reconocer si un número natural es par o impar. Problema 4: Especificar los números enteros con las siguientes operaciones: Cero, sucesor y predecesor. Suma. Producto. Diferencia. Cambio de signo. Relación de igualdad. Relación de orden. Preparado por Paulo A. González G. 11

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