Time Series: Analysis and Forecasting

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1 Viajeros que enran en España ( ) Time Series: Analysis and Forecasing Miles de viajeros que enran en España. Fuene de información: Insiuo de Esudios Turísicos Josep Allepus Beneveno, May 3 rd Viajeros Media móvil 12 meses Promedio móvil cenrado 2 THE SPANISH INBOUND TOURISM SURVEY (FRONTUR) Visior enries broken down by ype. Serie o March 2004: Provisional daa (*) Visior enries Time Series: Analysis and Forecasing Visiors Touriss Same-day visiors Visiors Touriss Same-day January ,925,785 2,263,363 1,662,423 February ,424,8 2,656,0 1,768,4 March ,784,979 3,795,350 1,989,628 April ,039,130 3,814,244 2,224,886 May ,789,424 4,647,010 2,142,414 June ,131,022 5,110,786 2,020,236 July ,869,773 6,862,325 3,007,447 Augus ,199,270 7,824,509 4,374,762 Sepember ,629,413 5,287,799 2,341,614 Ocober ,528,664 4,473,835 2,054,829 November ,720, 2,0,064 1,920,036 December ,981,967 2,791,082 2,190,885 January ,279,476 2,436,930 1,842,546 February ,383,078 2,698,242 1,684,837 March ,488,205 3,344,836 2,143,368 April ,712,565 4,283,1 2,429,5 May ,378,651 4,864,122 2,514,529 June ,510,339 5,122,183 2,388,156 July ,117,049 6,932,115 3,184,933 Augus ,847,434 7,294,382 4,553,052 Sepember ,652,6 5,1,262 2,512,544 Ocober ,791,204 4,478,839 2,312,364 November ,907,710 2,0,163 2,107,547 December ,358,370 2,917,189 2,441,181 Toal year ,259,535 8,937,273 6,322,261 January ,673,908 2,6,122 2,067,785 February ,086,671 2,982,161 2,104,510 March ,498,956 3,348,990 2,149,966 Josep Allepus, URV Spain hp://www.euo.urv.es/esadisica/ /Benev/ime_series.pdf hp://www.ie.ourspain.es 3 Time Series: Analysis and Forecasing Cross-secional and Longiudinal Daa Cross-secional Longiudinal THE SPANISH INBOUND TOURISM SURVEY (FRONTUR) Tourism enries broken down by ype. February 2004: Provisional daa (*) Monh-o-monh variaion rae Year-o-year variaion rae Cumulaive since January Toal Cumulaive year-o-year variaion rae 5,086, ,7,579 Visiors Touriss 2,982, ,588, Same-day visiors 2,104, ,172, (*) The figures are definiively reviewed afer one year. Source: I.E.T. - Insiuo de Esudios Turísicos. DATATUR: 2001, Insiuo de Esudios Turísicos hp:\\www.ie.ourspain.es C/ José Lázaro Galdiano,6, 236 Madrid ESPAÑA fno , fax Successive independen samples a he same ime. The researchers are ineresed in characerisics of he populaion a jus ha poin in ime. Researchers are ineresed in how he characerisics of a populaion may change over ime. Trend Sudy - Same group over long period of ime. A ime series is a collecion of daa over a period of ime. 6

2 Inroducion A ime series is a se of observaions generaed sequenially in ime The observaions from a discree ime series, made a some fixed inerval h, Daily, weekly, monhly, quarerly,. a imes τ 1, τ 2,, τ N = 1,2,,n may be denoed by Y( τ 1 ), Y(τ 2 ),, Y(τ N ) Inroducion (con.) Characerisics of ime series: Time periods are of equal lengh No missing values Coninuous vs. discree ime series Discree ime series may arise in wo ways: 1. By sampling a coninuous ime series 2. By accumulaing a variable over a period of ime 7 8 Time Series in Business and Economics SERIES TEMPORALES: Ejemplos COMPONENTES Indice de Producción Indusrial Paro regisrado INEM 3000 Very common, applicaions: Economic and business planning GDP, Exchange raes.. Invenory and producion conrol Conrol and opimizaion of indusrial processes 110 IPC, Indice Precios Consumo EURIBOR_ The emphasis in ime series is on analysis and forecasing Firs, we examine some of he echniques used in analysing daa. Finally, we projec fuure evens. An analysis of hisory a ime series can be used by managemen o make curren decisions and for long-erm forecasing and planning. We usually assume pas paerns de crecimieno,...) will coninue ino he fuure. DESCRIPCIÓN/INFORMACIÓN El objeivo es esudiar las caracerísicas de la serie. Puede (debe) combinarse con oras herramienas (auocorrelaciones, análisis gráfico,asas EXPLICACIÓN El objeivo principal es explicar el porqué de la evolución de la serie 11 The emphasis in ime series is on analysis and forecasing Firs, we examine some of he echniques used in analysing daa. PREDICCION El objeivo principal es obener predicciones de la serie. Previamene es necesario esudiar las caracerísicas de la serie. Finally, we projec fuure evens. An analysis of hisory a ime series can be used by managemen o make curren decisions and for long-erm forecasing and planning. We usually assume pas paerns will coninue ino he fuure. 12

3 Forecasing Lead ime of he forecass is he period over which forecass are needed Degree of sophisicaion Simple ideas Moving averages Simple regression echniques Complex saisical conceps: Box-Jenkins mehodology Auocorrelaion Observaions a successive ime poins are no random, bu correlaed wih each oher Can use his correlaion o develop models for esimaing and forecasing ime series daa Approaches o forecasing Approaches o forecasing (con.) Self-projecing approach Cause-and-effec approach Self-projecing approach Advanages Quickly and easily applied A minimum of daa is required Reasonably shor-o mediumerm forecass They provide a basis by which forecass developed hrough oher models can be measured agains Disadvanages No useful for forecasing ino he far fuure Do no ake ino accoun exernal facors Cause-and-effec approach Advanages Bring more informaion More accurae mediumo long-erm forecass Disadvanages Forecass of he explanaory ime series are required Some radiional self-projecing models Overall rend models The rend could be linear, exponenial, parabolic, ec. A linear Trend has he form Trend = a + b Shor-erm changes are difficul o rack Smoohing models Respond o he mos recen behavior of he series Employ he idea of weighed averages They range in he degree of sophisicaion The simple exponenial smoohing mehod: z F = Az 1 + (1 A)F 1 + a 17 Some radiional self-projecing models (con.) Seasonal models Very common Mos seasonal ime series also conain long- and shor-erm rend paerns Decomposiion models The series is decomposed ino is separae paerns Each paern is modeled separaely 18

4 Drawbacks of he use of radiional models There is no sysemaic approach for he idenificaion and selecion of an appropriae model, and herefore, he idenificaion process is mainly rial-and-error There is difficuly in verifying he validiy of he model Mos radiional mehods were developed from inuiive and pracical consideraions raher han from a saisical foundaion Too narrow o deal efficienly wih all ime series 19 Forecass are no always correc The realiy is ha a forecas may jus be a bes guess as o wha will happen. Wha are he reasons forecass are no correc? One exper liss eigh common errors: failure o carefully examine he assumpions, limied experise, lack of imaginaion, neglec of consrains, excessive opimism, reliance on mechanical exrapolaion, premaure closure, and overspecificaion. 20 Componens of a ime series Four Primary Componens of a Time Series: A ime series paern componen random (error) componen rend paern seasonal paern cyclic paern 21 Secular Trend: The rend is he long-run direcion of he ime series. Seasonal variaion is he paern in a ime series wihin a year. These paerns end o repea hemselves from year o year for mos businesses. Cyclical Movemens he flucuaion above and below he long-erm rend line. The Irregular variaion is divided ino wo componens: 1. The episodic variaions are unpredicable, bu hey can usually be idenified. A flood is an example. 2. The residual variaions are random in naure. 22 Mahemaical Represenaions Una serie emporal Y(), puede admiir una descomposición del ipo: Addiive: Y = T + S + C + I Muliplicaive: Y = T * S * C *I Esquema mixo Observaions: Tradiional ime series analysis is aheoreic. No economic heory guides us in wriing down his decomposiion. Typically, one of hese componens will dominae and his will affec he behavior of he series. Y ( ) = T( )* C( )* E( ) + I( ) 23 24

5 Example: Secular Trend Caracerísicas dominanes de la serie? IPC, Indice Precios Consumo Example: Seasonal Componen Example: Cyclical Componen 120 Indice de Producción Indusrial Paro regisrado 20 Paro regisrado Cyclical Variaion The rise and fall of a ime series over periods longer han one year. A ypical business cycle consiss of a period of prosperiy followed by periods of recession, depression, and hen recovery. There are sizable flucuaions unfolding over more han one year in ime above and below he secular rend. Example: Random/Irregular 10 EURIBOR_

6 y=2+0,3 120 y=123-0,3+0,003^ y=123-0,3 50 y=123-,3+,0003-,000014*^ EXP( *) 0.0 1/(1+EXP(5-.1*)) EXP( *) /(1+EXP(5+.1*)) Irregular or Random Componens Special evens ha pull macro variables off heir usual pahs. Can be expeced or unexpeced. Many analyss prefer o subdivide he irregular variaion ino episodic and residual variaions. Episodic flucuaions are unpredicable, bu hey can be idenified. The iniial impac on he economy of a major srike or a war can be idenified, bu a srike or war canno be prediced. Afer he episodic flucuaions have been removed, he remaining variaion is called he residual variaion. The residual flucuaions, ofen called chance flucuaions, are unpredicable, and hey canno be idenified. Of course, neiher episodic nor residual variaion can be projeced ino he fuure. Secular Trends Ofen called Time Trends Visual represenaion is called Time Pah or Time Shape A coninuous se of inegers is used o represen ime in hese models. = 1,2,,n Linear Time Trend Model Y = a +b Trend Shapes Trend Shapes (2) modelo de endencia lineal, y = a+ b modelo de endencia exponencial, a+ b, ó y = e log( y ) = a + b Modelo de endencia polinómica, 2 3 n y = a+ b + c + d w Modelo de endencia logísica, C y = a+ b 1+ e Deermine a linear rend equaion Deermine a linear rend equaion Linear Trend: The long-erm rend of many business series, such as sales, expors, and producion, ofen approximaes a sraigh line. If so, he equaion o describe his growh is: LINEAR TREND EQUATION Y= a + b Y is he projeced value of he Y variable for a seleced value of. a is he Y-inercep. I is he esimaed value of Y when = 0. Anoher way o pu i is: a is he esimaed value of Y where he line crosses he Y-axis when is zero. b is he slope of he line, or he average change in Y for each change of one uni (eiher increase or decrease) in. is any value of ime ha is seleced. To simplify he calculaions, he years are replaced by coded values. Tha is, we le 1991 be 1, 1992 be 2, and so forh. 36 We drew a line hrough poins on a scaer diagram o approximae he regression line. The leas squares mehod of compuing he equaion for a line hrough he daa of ineres gave he bes-fiing line. Normal equaions: Two equaions may be solved simulaneously o arrive a he leas squares rend equaion. They are: EQUATIONS FOR THE TREND LINE Y= n a + bσ Σ Y = aσ + bσ 2 37

7 Nonlinear Trends A linear rend equaion is used o represen he ime series when i is believed ha he daa are increasing (or decreasing) by equal amouns, on he average, from one period o anoher. Daa ha increase (or decrease) by increasing amouns over a period of ime appear curvilinear when ploed. Business series, such as auomobile sales, shipmens of sof-drink boles, and residenial consrucion, have periods of above-average and below-average aciviy each year. Deermine a rend Viajer91.xls Esimación de la endencia por el méodo de minimos cuadrados para miles de Viajeros por Transpore aéreo en España Año Pasajeros X Tendencia Log(Y) X Log(Y*) Tend.Log , , , , , , , , , 5 11, , , , , , 8 11, , , , , Tendencias lineal y exponencial por MCO para la serie de Viajeros por Transpore aéreo en España Miles de Pasajeros Tendencia T.Exponencial Removing Time Trends: Derending How predicable is he secular rend in a series? Ofen, he rend componen of a ime series dominaes, bu he ineresing par of he series is anoher componen. 41 Derending Sep 1: Esimae he Secular Trend using regression model Sep 2: Subrac he esimaed secular rend from he original series. Noe: This is also he Residual Approach o analyzing cyclical daa Seasonal Componen Found in High Frequency daa (Quarerly, monhly) Caused by naural or budge calendars Reail Sales higher during holidays Travel more frequen in summer Weaher Wan o quanify or remove in forecasing How predicable is his componen? 42 43

8 Seasonal Variaion Compue a moving average Paerns of change in a ime series wihin a year. These paerns end o repea hemselves each year. Almos all businesses end o have recurring seasonal paerns. 44 The Moving-Average Mehod : Moving-average mehod smoohs ou flucuaions The moving-average mehod is no only useful in smoohing ou a ime series; i is he basic mehod used in measuring he seasonal flucuaion, described. In conras o he leas squares mehod, which expresses he rend in erms of a mahemaical equaion (Y= a + b), he moving-average mehod merely smoohs ou he flucuaions in he daa. This is accomplished by moving he arihmeic mean values hrough he ime series. To apply he moving-average mehod o a ime series, he daa should follow a fairly linear rend and have a definie rhyhmic paern of flucuaions. If he duraion of he cycles is consan, and if he ampliudes of he cycles are equal, he cyclical and irregular flucuaions can be removed enirely using he moving-average mehod. The resul is nearly a sraigh line. The firs sep in compuing he welve-monhs moving average is o deermine he welve-monhs moving oals and deermine he arihmeic mean sales per year. 45 Méodo de la Media Móvil: MEDIAS MÓVILES Se basa en el suavizado de la serie mediane medias móviles sucesivas de orden p. PASOS: 1. Represenar gráficamene la serie y observar cuál es el período de oscilaciones más imporanes. 2. Elegir un valor de p que represene el período de oscilaciones más imporanes que caraceriza la serie (m.c.m. de ciclo y esacionalidad). Si p es par las medias móviles serían: por lo que sería necesario cenrarlas haciendo la media de medias móviles sucesivas: La endencia de la serie la componen las medias móviles cenradas obenidas en el paso Una media móvil no es más que el valor medio de un conjuno de valores adyacenes de una serie emporal, exisiendo dos ipos genéricos: medias móviles siméricas o cenradas y medias móviles asiméricas. Una media móvil simérica de la variable y de orden 2p+1, denoada por MM(2p+1), es aquella que coniene p érminos aneriores y p érminos poseriores de la variable y, y viene dada por la expresión: y MM (2 p + 1) = p + y y + y y 2 p + 1 p y Una media móvil asimérica es aquella que no cuena con un conjuno simérico de valores de y, en concreo, una media móvil asimé rica de orden p responde generalmene a la expresi ón: y p + y p y MMA ( p) = p + p 47 Deermining a Seasonal Index Índices de Variación Esacional Objecive: To deermine a se of ypical seasonal indexes A ypical se of monhly indexes consiss of 12 indexes ha are represenaive of he daa for a 12-monh period. Logically, here are four ypical seasonal indexes for daa repored quarerly. Each index is a percen, wih he average for he year equal o.0; ha is, each monhly index indicaes he level of sales, producion, or anoher variable in relaion o he annual average of.0. A ypical index of 96.0 for January indicaes ha sales (or whaever he variable is) are usually 4 percen below he average for he year. An index of for Ocober means ha he variable is ypically 7.2 percen above he annual average. Several mehods have been developed o measure he ypical seasonal flucuaion in a ime series. The mehod mos commonly used o compue he ypical seasonal paern is called he raio-o-moving-average mehod. I eliminaes he rend, cyclical, and irregular componens from he original daa (Y). The numbers ha resul are called he ypical seasonal index. 48 La esacionalidad de cada período vendrá represenada por los (IGVEAk) correspondienes a cada uno de los períodos. Cálculo de los Índices Específicos de Variación Esacional (IEVEik) según el esquema de acuerdo con el que se combinan las componenes de la serie sea: 1. Adiivo 2. Muliplicaivo INTERPRETACIÓN: En el esquema adiivo: Cuando un Índice General de Variación Esacional Ajusado sea posiivo, enonces la variable supera a la media de endencia-ciclo en dicho período, debido al efeco esacional; dándose el efeco conrario si es negaivo. En el esquema muliplicaivo: Cuando un Índice General de Variación Esacional Ajusado es mayor que 1 (que en %), enonces la variable supera a la media de endencia-ciclo en dicho período, por el efeco esacional; y viceversa si es menor que %. 49

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