OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con"

Transcripción

1 Curso -3 OBJETIVOS Objetivos Geerales Itroducir el cálculo de fucioes de ua variable como fudameto del aálisis ecoómico margial y los problemas de optimizació. Matemáticas Empresariales Doble Grado e ADE y Dereco Tema : Fucioes reales de variable real Profesora: María Martel Escobar Objetivos Específicos Coocer las fucioes elemetales y sus propiedades. Asimilar los coceptos fudametales del cálculo diferecial y sus aplicacioes a problemas de ecoomía. Adquirir destreza e el cálculo de límites, derivació e itegració de fucioes de ua variable. INDICE DE CONTENIDOS. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Defiició. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Ua fució es ua correspodecia etre dos cojutos que asiga a cada elemeto del primer cojuto uo y sólo uo del segudo cojuto.. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS. 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES. f : A B y f( : variable idepediete, y : variable depediete. Cuado AB,, ablamos de fució real de variable real. 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Domiio Es el cojuto de putos e los que tiee setido su epresió matemática. f : A B, y f(. Dom( f A Ejemplo : Obteer el domiio de las fucioes, a f(. b f(. c f(. Solució : a Domf (. b Domf (. c Domf ( [,. Gráfica: Curva del plao dada por los putos ( f, (.. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Mootoía Ua fució f es creciete (estrictamete si, y Dom(f, co < y, se verifica que f( f(y (f( < f(y. Ua fució f es decreciete (estrictamete si, y Dom(f, co < y, se verifica que f( f(y (f( > f(y. Ejemplo : g(y f( g( f(y f g y estrictamete creciete g( < g(y estrictamete decreciete f( > f(y 5 Tema

2 Curso -3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Acotació Ua fució f está acotada superiormete si eiste u úmero real M tal que para Dom(f se verifica que f( M. Ua fució f está acotada iferiormete si eiste u úmero real m tal que para Dom(f se verifica que f( m. Ua fució f está acotada si lo está superior e iferiormete. Ejemplo : M f acotada superiormete f( M. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Coveidad y cocavidad Ua fució f es covea cuado el segmeto que ue dos putos dados de su gráfica queda por ecima de la gráfica (forma de. Ua fució f es cócava cuado el segmeto que ue dos putos dados de su gráfica queda por debajo de la gráfica (forma de. El puto dode ua fució pasa de cócava a covea o viceversa se llama puto de ifleió. Ejemplo : Cócava f m f acotada m f( M acotada iferiormete f( m 6 Covea Puto de ifleió 7. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Óptimos o etremos Óptimos o etremos globales o absolutos: U puto * es u máimo global o absoluto de ua fució f f( * f(, Dom( f. U puto * es u míimo global o absoluto de ua fució f f( * f(, Dom( f. El valor de f( * es el valor máimo (o míimo de f e Dom( f. Óptimos o etremos locales o relativos: U puto es u máimo local o relativo de ua fució f f( f(, e u etoro de (e los alrededores de. U puto es u míimo local o relativo de ua fució f f( f(, e u etoro de (e los alrededores de.. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Óptimos o etremos Ejemplo: 3 Míimos locales:, 3 Máimos locales: -,, Míimo global: Máimo global: 8 9. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Operacioes co fucioes Dadas f : A, g : A, y f(. y g(. Suma: f( g(. Producto: f( g(. f( Cociete:, g (. g ( Composició: f : AB, g : B C se defie gf : AC ( g f( g( f(.. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Fució iversa Ua fució f( tiee iversa, si eiste y f A B f B A :, :, - ( f f(, A. Bisectriz y= f ( tal que: Las gráficas de f( y f ( so simétricas respecto a la recta y=. y Ejemplo: Hallar la fució resultate de compoer las siguietes fucioes. a f( y g(. Se tiee que ( f g( ( y ( g f(. b f( y g(. Se tiee que ( f g( y ( g f(. Tema

3 Curso -3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Fució iversa Ejemplo: Cálculo de la fució iversa Hallar la fució iversa de las siguietes fucioes. a y f( 3 5. y 5 5 y f y f (, luego (. b y f (. y y f y f (, luego (. c y f(. y ( y- y y ( - y y y (, luego (. y y f y f. Fució poliómica:. Grado, o lieal: y=f( = a+b, a,b (rectas.. Grado o cuadrática: y f( a bc, abc,, co a (parábolas. 3. E geeral, grado : y P ( a a... aa. P (. Fució racioal: y f(, P( y Q( poliómicas co Q(. Q ( r 3. Fució potecial: y.. r, poliómica o racioal.. r, radical.. Fució epoecial: y f( a, a.. Epoecial atural: y f( e. 5. Fució logarítmica: y = f( = log a, a >, a.. Logaritmo eperiao: y = f( = l. 3.. Fució poliómica de grado, ó lieal: f( = a+b, a,b. Se utiliza para represetar feómeos que varía (aumeta o dismiuye de forma costate a lo largo del domiio. Ejemplo previo (Modelo lieal de equilibrio Cuado los precios varía de forma costate a partir de las catidades ofertadas y demadadas de u bie dado e el mercado, obteemos fucioes lieales de la oferta y la demada. El precio de equilibrio es el puto e el que ambas fucioes se corta. E esta situació, Obteer el precio de equilibrio asumiedo las siguietes codicioes: La demada semaal de u producto es de 5 uidades cuado el precio es de uidades moetarias por uidad, y de uidades cuado el precio es de 5. El precio del productor (oferta a de cubrir uos costes fijos de uidades y se icremeta e uidades por cada uidad adicioal que se produzca. Solució: La ecuació de demada es la recta p aq b, que pasa por los putos (5, y (,5. Sustituyedo, queda: 5 ab, a, b 5 p q5. 5 ab. La ecuació de oferta es la recta p aq b, que pasa por el puto (,. Sustituyedo, queda: a b b p aq. Además, por cada uidad adicioal el precio aumeta e dos uidades: a a p q. Por tato, el puto de equilibrio del mercado vedrá dado por: p q q 5 y p (5,. p q 5 5 Gráficamete: E geeral: f( = a+b, a,b. p 5 oferta p q p a p q q Dom(f=. Gráfica: recta del plao. f y a: pediete de la recta a. a> recta creciete. a< recta decreciete. b: ordeada e el orige (puto de corte co el eje OY. p* b a> b a< q p p a p q5 q q* demada q Qué ocurre e los casos a=, b=? Represetar gráficamete. Qué epresió correspode a ua recta vertical? Qué ocurre si se tiee dos rectas y=a+b e y=a +d co a=a? 6 7 Tema 3

4 Curso -3.. Fució cuadrática: f( = a +b+c, a,b,c, a. Se utiliza para represetar feómeos que eperimeta u crecimieto asta llegar a u máimo y luego decrece (o al revés asta llegar a u míimo, y co comportamietos simétricos alrededor del máimo (o míimo Ejemplo previo (Precio alojamieto e turismo rural U estudio a aalizado el precio, p, (e de los alojamietos de turismo rural e la isla de La Palma obteiedo que se ecuetra relacioado co la temperatura media de su etoro a través de la fució cuadrática, p t 5 t, dode es t la temperatura. 8 a Represetar gráficamete la fució p. b Determiar cuál es la temperatura media que maimiza el precio. Cuál es el mayor precio que se podría alcazar? c Comparar los precios para las temperaturas de y 3 grados. E geeral: fució cuadrática : f( a b c, co a. Gráfica: parábola. Dom( f =. a, es cócava co máimo global e b/ a. a, es cóvea co míimo global e b/ a. b/ a, es el eje de simetría de la parábola. a> a< 8 9 Putos de corte co los ejes: Eje vertical: y c. b b ac Eje orizotal: y a bc. a b ac u puto de corte (tagecia co OX. b ac dos putos de corte co OX. b ac o ay putos de corte co OX. Ejemplos: co a>: Ejemplo previo (Precio alojamieto e turismo rural. Solució: p t 5 t, t, temperatura y p, precio. 8 a El coeficiete de t es egativo por lo que se trata de ua parábola cócava. Los putos de corte so (, y (,. El vértice: (,5. b La temperatura que maimiza el precio es de º. El precio máimo es de 5 c Al ser ua fució simétrica co respecto al eje, los precios cuado la temperatura se icremeta o se reduce ua misma catidad so los mismos. Aplicació (Fució de igresos. Dada ua fució de demada lieal, p f( q baq, a, b La fució de igresos será: Iq ( ( baqq bqaq, parábola cócava. Ejemplo: Dada la fució de demada p = -q, calcular el ivel de producció que maimiza los igresos, represetar la fució de igresos e idicar dóde se alcaza el igreso máimo. Solució: Iq qq q q ( (. Putos de corte: (, y (5,. Máimo e: q b/ a 5 I( u.m..3. Fució poliómica de grado : y P( a a... aa. Dom(f=. Gráfica: Putos de corte co los ejes: Co OY : y a (, a. Co OX : y a a... a a solucioes reales:,,... (,,(,,... Sigo del poliomio: Basta calcular los putos de corte co OX y evaluar e los itervalos que defie, teiedo e cueta: multiplicidad impar secate, cambio de sigo, multiplicidad par tagete, o ay cambio de sigo. Ejemplo: P ( ( ( 5. Las solucioes so:, doble (si cambio de sigo;,, simples (co cambio. f( f( f( 3 Tema

5 Curso -3. Fució racioal: P ( y f(, P( y Q( poliómicas co Q(. Q ( Ejemplo previo (Curvas Isocuatas: Segú el modelo de producció de Cobb Douglas, ua represetació de las combiacioes de capital (K y trabajo (L ecesarias para producir ua uidad de producto podría veir dada por la fució: E geeral, fució racioal: P ( y f(, P( y Q( poliómicas co Q(. Q ( Dom (f = -{ co Q( = }. Caso particular: Dom (f = -{}. f(. Gráfica: Hipérbola equilátera. K. L a Qué catidad de capital abría que ivertir si se dispusiera de ua uidad de trabajo? b Qué pasaría si se redujera las uidades de trabajo? Y si se aumetara? 5 3. Fució potecial:. Si r, se trata de fucioes poliómicas o racioales.. Si r, r = p/q Dom (f: depede de los valores de p y de q. Casos particulares: f( r y f(. p/ q q p (. y f f(. Fució epoecial: y f( a, a. Ejemplo previo (Iterés compuesto Supogamos que teemos e el baco u capital de u milló de. Determiar el capital que tedremos detro de años bajo los dos supuestos que se describe a cotiuació: ael capital crece e u 5% de iterés aual. bel capital se reduce por comisioes e u 5% aual. t 3 C(t (milloes a (.5.5 (.5. (.5.6 ( (.5 (.5 t =C(+i t b ( (.95.9 ( ( (.95 (.95 t =C(-i t a b 6 7 E geeral, fució epoecial: Dom (f = ; f( >, f( =. Gráfica: parte positiva de OY. y f( a, a.. Caso particular: fució epoecial atural y = f( = e. e lim Creciete si a>, decreciete si <a<. y = f( = a, a> y = f( = a, <a< El modelo epoecial: y = f( =C e k, ( C y k so costates. y f( e y f( e 8 9 Tema 5

6 Curso Fució logarítmica: y = f( = log a, a >, a. y = log a a y = Fució logarítmica: Gráficas: f(=l f(=e Es la iversa de la fució epoecial. Dom (f = +. Gráfica: a la dereca de OX. f(=l f(=. Creciete si a>. Decreciete si <a<. 5. Caso particular: a = e y = f( =log e = log = l = L, fució logaritmo eperiao. 3 3 Propiedades de los logaritmos: l l e l e l e l ( y l l y l l l y y l l Ejemplos l a Hallar la solució de la ecuació e. b Simplificar l7 l9. 3 l7 l9 l3 l3 3l3 l3 l3. ( y c Escribir e térmios de l,l y y l z la epresió 3 l. z ( 3 3 l y 3 l( y lz 3 l l y lz le l l y l z. z 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Límites y cotiuidad Ejemplo (idea ituitiva: l( Sea y f(, co Dom f( (, (,, lim f(? f( f( FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Límites y cotiuidad El límite de ua fució permite estudiar el comportamieto de la misma e los alrededores de u puto a. El limite de ua fució f cuado tiede a a es L, lim f ( L, a cuado las imágees de putos próimos a a está próimas a L, es decir: si está e u etoro de a f( está e u etoro de L. El límite de ua fució es úico. Límites laterales: la aproimació al puto puede ser por la dereca o por la izquierda. Límite por la dereca, lim f(, si os acercamos al puto por valores a mayores. Límite por la izquierda, lim f(, si os acercamos al puto por valores a meores. Como el límite es úico, el límite eiste si y sólo si eiste los límites laterales y so iguales: 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Límites y cotiuidad Límite e el ifiito: lim f( L, si para valores elevados y positivos (egativos de, sus imágees mediate f se acerca a L. Ejemplo (idea ituitiva: y f(, Dom f(, lim f(? y y lim lim 35 Tema 6

7 Curso -3. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: La derivada y la pediete de la curva Sea f: A, A, A cojuto abierto (itervalo abierto o uió de itervalos abiertos. La pediete de la recta secate a la curva y= f( es:. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: La derivada y la pediete de la curva La derivada y la pediete de la curva Sea f: A, A, A cojuto abierto (itervalo abierto o uió de itervalos abiertos. La pediete de la recta secate a la curva y= f( es: f y a b f( f( f y a b f( f( f f f( - f( a f( - f( a 3. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: La derivada y la pediete de la curva La derivada y la pediete de la curva Sea f: A, A, A cojuto abierto (itervalo abierto o uió de itervalos abiertos. La pediete de la recta secate a la curva y= f( es:. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: La derivada y la pediete de la curva La derivada y la pediete de la curva Sea f: A, A, A cojuto abierto (itervalo abierto o uió de itervalos abiertos. La pediete de la recta tagete alacurvay= f( es: f f f( f( y a b f f y a b f( - f( a f( - f( a f lim ( '(. 5. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Defiició y otació Derivada de ua fució e u puto. f: A, A, A cojuto abierto, es derivable e si y sólo si eiste y f( - f( es fiito lim. E caso afirmativo, dico límite se llama derivada de la fució e,y se epresa co cualquiera de las otacioes siguietes: df f( - f( f '( y'( lim. d d y f( f( (O tambié: lim lim. f es derivable e su domiio si lo es e cada puto del mismo, a la fució y =f (, se le llama fució derivada de f. 6. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Iterpretació Iterpretacioes de la derivada: Sea f derivable e, Geométricamete: f ( es la pediete de la recta tagete a y = f( e el puto (,f(, de ecuació: y f( f'( ( Matemáticamete: La derivabilidad de ua fució da ua idea de la suavidad del trazado de la curva. Físicamete: f ( mide la velocidad (letitud o rapidez de variació de la fució respecto a la variació de (la variació de y respecto a. f ( se suele llamar la fució margial y f ( represeta la tasa de variació o razó de cambio de y respecto a e. 7 Tema 8

8 Curso -3. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Cotiuidad y derivabilidad. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Derivadas de fucioes elemetales Si f( es derivable e f( es cotiua e. Cosecuecias: Si f( o es cotiua e f( o es derivable e. Resume: derivable o derivable ( pico o derivable (o cotiua f( c f '(, f f ( '(, f( a f '( a l a, f( e f '( e, f( l f '(. Ejemplos: f( f '(. f( f '(. 3 f( f '(. 3 f( f '( f( f '(. 6 f( f '(. 5 7 f( f '( f( f '(. 9 f( f '( f( 3 f '( 3 l3. l f( f '(. Hallar la ecuació de la recta tagete a f( e el puto = DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Reglas de cálculo de derivadas. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Aplicació Si f y g fucioes derivables, etoces, las siguietes fucioes lo so, co: ( f g'( f '( g'(. ( cf'( cf '(. ( f g'( f '( g( f( g'(. f f'( g ( f( g '( '( (siempre que g(. g ( g( 3 Ejemplos: 3 f( 5 e f '( 5 e. 3 f( 3 7 l f '(. e e e 3 f( f '(. 3 3 e e f( f '( e e 5 Ejemplo: Aálisis margial Fució de Coste Coste margial Coste medio Coste medio margial C f( q dc dq C C q dc dq Fució de Igresos Igreso margial Fució Beeficios Beeficios margiales I = g(q di dq B = I -C db dq Ejercicio: Hallar las fucioes margiales de las siguietes fucioes: q q Cq ( 3e. Iq q q ( DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Regla de la cadea Dada la composició de fucioes: f g f( g( f( g f ( Si f y g so derivables g f es derivable, co, ( g f( g( f( f(.. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Derivadas de fucioes compuestas Si y = f( es derivable, las siguietes fucioes lo so, co: g ( f( g'( f( f'(. f( f( g ( e g'( e f'(. f( f( g ( a g'( a l af '(. f '( g ( l f ( g'(. f( Ejemplos: y e y' e. 3 y y' 3( ( y l( y' Tema 9

9 Curso -3. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Regla de la cadea (cotiuació Otra otació: Si y g( u, u f(, se tiee: yu du d du d Ejemplo y u u u d du (u5 (6 ((3 5 (6. d du d Dadas 5 y 3. Hallar. Si = u = u = f(, por tato, quedaría: Ejemplo du d du d u u 5 Dadas y 6. Hallar para. y e u d u u f ( 5. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Derivada de la fució iversa Si y f( es derivable e, co f '(, y eiste su iversa, f, d d f es derivable e y, co: ( f '( y, o tambié,, ( dode, y f(. d f '( yy Ejemplo. Dada la ecuació de demada, p 3 q, a Obteer la tasa de cambio de p respecto a q. dp a q. dq q b Obteer la tasa de cambio de q respecto a p, para p. dp dq b Si p 3 q q. Como. dq dp qq pp 55. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Derivadas sucesivas 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES Si y=f( es derivable e su domiio, y la derivada, y =f (, tambié lo es, su derivada se deomia fució derivada seguda, y se deota: df ( ( f ''( f ''( y''. d d Si y =f (, tambié es derivable, su derivada se deomia fució derivada tercera, y se deota: 3 3 df ( ( f '''( f '''( y'''. 3 3 d d E geeral, si y=f( es veces derivable, se deomia derivada -ésima de f o derivada de orde de f a la fució que resultar de derivar veces la fució f (, se deota por: ( ( df ( f ( y. d d Se estudia las siguietes características de las fucioes aciedo uso del cálculo de derivadas. Mootoía (crecimieto y decrecimieto. Etremos u óptimos (máimos y míimos locales o relativos. Posibilidad de que sea etremos globales o absolutos. Cocavidad y coveidad. Putos de ifleió ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Mootoía y etremos locales Ejemplo previo: E la siguiete figura aparece la gráfica de ua fució f, y las rectas tagetes e, y. Qué sigo tiee f '(, f '( y f '(? 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Mootoía y etremos locales Sea f :(a,b, derivable e (a,b. Se tiee: i Si f '( f es creciete e ( a, b. ii Si f '( f es decreciete e ( a, b. Cosecuecia: Si f :(a,b, derivable co derivada cotiua e (a,b, tiee u máimo o míimo local (etremo u óptimo local o relativo e * ( a, b f( *. Los putos que aula la primera derivada de ua fució se llama putos críticos (recta tagete orizotal. Los etremos locales de ua fució está etre los putos críticos. No todos los putos críticos so etremos locales (putos de ifleió Tema

10 Curso ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Mootoía y etremos locales Ejemplo : No todos los putos críticos so etremos locales. 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Mootoía y etremos locales Ejemplo : Hallar los itervalos de crecimieto, decrecimieto y los 3 etremos locales de f( Solució: Putos críticos: =; =. 6 Ejemplo 3: Ídem co f(. Solució: Putos críticos: = -; = ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Cocavidad y coveidad Ejemplo previo f( cócava f( covea 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Cocavidad y coveidad Sea f :(a,b, derivable dos veces e (a,b. Se tiee: i Si f ''( f es covea e ( a, b (forma de. ii Si f ''( f es cócava e ( a, b (forma de. Cosecuecia: Si f :(a,b, derivable dos veces co derivadas cotiua e (a,b, tiee u puto de ifleió e * ( a, b f ''( *. a b c d f (a>f (b>f (c>f (d f ( es decreciete (f (< a b c d f (a<f (b<f (c<f (d f ( es creciete (f (> Los putos de ifleió de ua fució está etre los putos que aula la seguda derivada. No todos los putos que aula la seguda derivada so putos de ifleió ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Cocavidad y coveidad Ejemplo : No todos los putos que aula la seguda derivada so putos de ifleió. f( e. 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Clasificació de putos críticos Sea f :(a,b, derivable dos veces e (a,b y sea * (a,b u puto crítico de f. Se tiee: isi f ''( * * es u míimo local de f( f es covea e u etoro de *. iisi f ''( * * es u máimo local de f( f es cócava e u etoro de *. Criterio geeral: Sea f :(a,b, veces derivable e (a,b y sea * (a,b tal que, f( * f( * f ( * f ( * y f ( *, etoces: i Si es par y f ( * * es míimo local. ii Si es par y f ( * * es máimo local. iii Si es impar * es puto de ifleió. No todos los putos de ifleió so putos críticos, pero si lo so, la primera derivada que o aula es de orde impar Tema

11 Curso ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES Ejemplos Calcular los putos críticos y clasificarlos. Estudiar crecimieto y decrecimieto, cocavidad y coveidad y adjutar las gráficas. a f(. a b f 5 b ( 3. f 3 c ( c ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Problemas de optimizació Aplicació : Resolució de problemas de optimizació e ua variable.. Se platea la fució a optimizar (fució objetivo.. Se obtiee los óptimos o etremos locales de la fució dode ésta sea derivable, para ello: Se obtiee los putos críticos y se clasifica (mootoía y sigo de la seguda derivada o criterio geeral. Se calcula el valor de la fució e los etremos locales. 3. Se calcula el valor de la fució e los putos e los o sea derivable (por ejemplo, e los etremos de u itervalo cerrado, e putos de discotiuidad o e picos, y se compara co el valor obteido e los etremos locales.. Se estudia, mediate límites, si la fució está o o acotada (es decir, si su valor o tiede a. 5. Se establece coclusioes sobre la eistecia de óptimos o etremos globales segú lo obteido e los pasos ateriores ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Problemas de optimizació Ejemplo : Hallar los óptimos de las fucioes siguietes. 3 a f( 9 35, e. Sólo ay óptimos locales, que o so globales porque la fució o está acotada ( lim f(. 3 b f( 9 35, e [,6]. 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Problemas de optimizació Ejemplo : Ídem co: a f(, e. Sólo ay óptimos locales, que o so globales porque la fució o está acotada ( lim f(. b f(, e [,3]. Los óptimos locales o so globales, pero la fució tiee óptimos globales e los etremos del itervalo. El míimo local es global, y el máimo global está e los etremos del itervalo ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Problemas de optimizació Ejemplo 3: Obteer los etremos de la fució de beeficios: ( q3 5, q 5, q5 Bq (, 5 q. 3 B(=6.3. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: La itegral idefiida F( es ua primitiva de f(, si se verifica que F (=f(. Ejemplo F k f f ( 3 es fució primitiva de ( 6, ya que F ( (. Ejemplo : Hallar la primitiva de f( =6+ que pasa por el puto (,. F k k F ( 3 ( 3. B(3=5 B(5= B(= El cojuto de todas las primitivas de f( se llama itegral idefiida, y se escribe: f( d F( k, k para F'( f(. Propiedades: Sea fg, : I,. f( d f( ( f( g( d f( d g( d 7 Tema

estar contenido estar contenido o ser igual pertenece no pertenece existe para todo < menor menor o igual > mayor mayor o igual

estar contenido estar contenido o ser igual pertenece no pertenece existe para todo < menor menor o igual > mayor mayor o igual Tema I : Fucioes reales de variable real. Límites y cotiuidad 1. La recta real : itervalos y etoros. 2. Fucioes reales de variable real. 3. Fucioes elemetales y sus gráficas. 4. Límites de fucioes reales

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 5 putos) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes:

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 5 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 5 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A (3 putos) Para fabricar tipos de cable, A y B, que se vederá a 50 y 00 pts el metro, respectivamete,

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones. MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A = IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)

Más detalles

8 Funciones, límites y continuidad

8 Funciones, límites y continuidad Solucioario 8 Fucioes, límites y cotiuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Copia y completa la siguiete tabla, epresado de varias formas los cojutos uméricos propuestos. Gráfica Itervalo Desigualdad Valor absoluto

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Se quiere orgaizar u puete aéreo etre dos ciudades, co plazas suficietes de pasaje y carga,

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 0 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A ( 5 putos) Halle la matriz X que verifique la ecuació

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A JRCICIO 1 ( putos) Sea las matrices: -1 4-1 - 1 5 - -6 A ; B 0-1 y C 0-1 1 0 1-0 -1 Determie X e la ecuació matricial

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n.

TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n. Fucioes de varias variables (I TEMA - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Coceptos topológicos previos e el espacio euclídeo R. Sea R el espacio euclídeo de dimesioes. U puto a de

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+ IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 009 (MODELO 3) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea la igualdad A X + B = A, dode

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 8 (MODELO 4) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U joyero fabrica dos modelos

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A = y

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U cliete de u supermercado ha pagado u total de 156 euros por 24 litros de leche,

Más detalles

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma:

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

Funciones, límites y continuidad.

Funciones, límites y continuidad. Fucioes, límites y cotiuidad. Guillermo Sáchez () Departameto de Ecoomia e Hª Ecoómica. Uiversidad de Salamaca. Actualizado : -- Sobre el estilo utilizado Mathematica las salidas (Ouput) por defecto las

Más detalles

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FERNANDO ESPINOSA FUENTES Necesidad del reemplazo. Si se matiee u riesgo durate u tiempo

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 x -1 Se cosidera la matriz A = 1 1 1. x x 0 (1 5 putos) Calcule los valores de x para los que o existe

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1 MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1. Nocioes básicas De ició: Sea (; F; P ) u espacio de probabilidad y T 6= ; y sea (F t ) t2t ua ltració e F. Ua familia fx t g t2t de v.a. reales de idas sobre

Más detalles

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2 Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los

Más detalles

TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.

TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES. Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes TEMA 6 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS APLICACIONES ÍNDICE INTRODUCCIÓN DERIVADA

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS. t +

EJERCICIOS RESUELTOS. t + BXX5744_07 /6/09 4: Págia 49 EJERCICIOS RESUELTOS Calcula la tasa de variació media de la fució f() = + e los itervalos [, 0] y [0, ], aalizado el resultado obteido y la relació co la fució. La fució f()

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

Estimación puntual y por intervalos de confianza

Estimación puntual y por intervalos de confianza Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció

Más detalles

Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Económicas Guía de Ejercicios No. 2 DET 385, Métodos Cuantitativos III

Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Económicas Guía de Ejercicios No. 2 DET 385, Métodos Cuantitativos III : Derivadas de orde superior: Elaborada por: Wilfredo Saravia M Uiversidad Nacioal Autóoma de Hoduras Facultad de Ciecias Ecoómicas Guía de Ejercicios No DET 85, Métodos Cuatitativos III E los ejercicios

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

a n = Ejemplo: Representa las gráficas de las funciones f(x) = 1/x, g(x) = x 2 y h(x) =

a n = Ejemplo: Representa las gráficas de las funciones f(x) = 1/x, g(x) = x 2 y h(x) = TEMA 9: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 9. Cocepto de límite lateral. Límite. 9. Operacioes co fucioes covergetes. 9.3 Cálculo de límites. 9.4 Cotiuidad de ua fució. 9.5 Asítotas: Verticales, horizotales

Más detalles

en. Intentemos definir algunas operaciones en

en. Intentemos definir algunas operaciones en OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos

Más detalles

Gradiente, divergencia y rotacional

Gradiente, divergencia y rotacional Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010)

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferecial Parcial 3 (27/10/2010) 1. Cosidere la fució f (x) = 3(x 1) 2/3 (x 1) 2 a) Halle el domiio b) Ecuetre los putos críticos,

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery

Más detalles

Sucesiones y ĺımite de sucesiones

Sucesiones y ĺımite de sucesiones Tema 3 Sucesioes y ĺımite de sucesioes Ídice del Tema Sucesioes........................................ 60 Progresioes....................................... 63 3 Covergecia......................................

Más detalles

Planificación contra stock

Planificación contra stock Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

Tema 9 Teoría de la formación de carteras

Tema 9 Teoría de la formación de carteras Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza.

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

TEMA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE

TEMA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE TEMA CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE Derivada de ua ució e u puto Sea : D y u puto iterior de Se dice que es derivable e eiste lim Dicho límite recibe el ombre de derivada de e Notas ) Notaremos

Más detalles

MATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito.

MATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito. MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES JOHN GOODRICK. Para cada sucesió ifiita abajo, determie si coverge o o a u valor fiito. (a) {! } e = (a): No coverge. El úmero e está etre

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

8.- LÍMITES DE FUNCIONES

8.- LÍMITES DE FUNCIONES 8.- LÍMITES DE FUNCIONES.- DOMINIO DE DEFINICIÓN. Halla el domiio de defiició de f() = + 5+6 Solució: El domiio es -{,}. Halla el domiio de defiició de f() = 6 Solució: El domiio es (-,-] [, ).. Halla

Más detalles

5. Crecimiento, decrecimiento. y Economía

5. Crecimiento, decrecimiento. y Economía 5. Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I. Sucesioes. Matemática fiaciera 3. Fució epoecial y logarítmica 4. Modelos de crecimieto 80 Crecimieto, decrecimieto

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 1999-2. - CONVOCATORIA: Juio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Área bajo una curva

Profr. Efraín Soto Apolinar. Área bajo una curva Profr. Efraí Soto Apoliar. Área bajo ua curva Nosotros coocemos muchas fórmulas para calcular el área de diferetes figuras geométricas. Por ejemplo, para calcular el área A de u triágulo co base b altura

Más detalles

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas La importacia del factor de potecia e las redes eléctricas. Itroducció Las fuetes de alimetació o geeradores de voltaje so las ecargadas de sumiistrar eergía e las redes eléctricas. Estas so de suma importacia,

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -1-1 1 Sea las matrices A =

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( putos) Dibuje el recito defiido por las siguietes iecuacioes: + y 6; 0 y; / + y/3 ; 0; ( puto) Calcule

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 007-008 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

CONVEXIDAD R 2. Conjuntos convexos. Combinación lineal convexa de m puntos. λ x. Ejemplos de conjuntos convexos en R 2

CONVEXIDAD R 2. Conjuntos convexos. Combinación lineal convexa de m puntos. λ x. Ejemplos de conjuntos convexos en R 2 Cojutos coveos Ejeplos de cojutos coveos e R CONVEXIDAD Cojutos coveos Coveidad de fucioes DEFINICION: U cojuto A es coveo cuado, y A y λ [0,] se cuple λ + ( λ) y A R λ + ( λ) y λ = / y λ = 0 Cojuto coveo:

Más detalles

Tema 8. Derivabilidad y reglas de derivación. 8.1 Derivada de una función

Tema 8. Derivabilidad y reglas de derivación. 8.1 Derivada de una función Tema 8 Derivabilidad y reglas de derivació 8. Derivada de ua fució f : I R es derivable e a I si eiste el límite que llamaremos f 0 (a) f() f(a) lim a a Ejercicio 8.. Si f() 3 calcular f 0 () f(a + ) f(a)

Más detalles

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4. INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS GENNY ALEXANDRA NAVARRETE MOLANO Trabajo de grado para optar por el titulo de Matemático DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Matemático Uiversidad Nacioal de

Más detalles

1.1. Campos Vectoriales.

1.1. Campos Vectoriales. 1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA . DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. TEMA 3.- OPEACIÓN FINANCIEA Se deomia operació fiaciera a todo itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado etre dos agetes, siempre que se verifique la equivalecia,

Más detalles

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS Curso Preparació y Evaluació Social de Proyectos Sistema Nacioal de Iversioes Divisió de Evaluació Social de Iversioes MINISTERIO DE DESARROLLO SOCIAL

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. (0 5 putos) Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece

Más detalles

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones Modulo IV Iversioes y Criterios de Decisió Aálisis de Iversioes 1. Iversió e la empresa 2. Métodos aproximados de valoració y selecció de iversioes 3. Criterio del valor actualizado eto (VAN) 4. Criterio

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA Tema 3- Parte I Etapas del Modelo de Markowitz I. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN - Se

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS.

OPERACIONES CON POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Ua epresió ateática que usa úeros o variables o abos para idicar productos o cocietes es u tério. Los térios,, (ab), so todos epresioes algebraicas.

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS.

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 8º. PRESTAMOS. 1.- Coceptos básicos de préstamos. CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. Coceptos básicos de prestamos. Préstamo. U préstamo es la operació fiaciera que cosiste e la etrega,

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I)

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) Tema 6- Parte 1 1 EL MÉTODO de la TASA de DESCUENTO AJUSTADA al RIESGO : a = k + p E presecia de iflació a = k + p ( 1 + a ) = ( 1 + a )(

Más detalles