LAS MATEMÁTICAS SON MÁGICAS

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1 LAS MATEMÁTICAS SON MÁGICAS NELO ALBERTO MAESTRE BLANCO

2 1.- LAS MATEMÁTICAS SON MÁGICAS. Tal y como lo lees. Las propiedades matemáticas que continuamente se cumplen en la realidad que nos rodean tienen un equilibrio, una armonía y un cierto misterio que las hacen dignas poseedoras del calificativo de MÁGICAS. En las próximas páginas vamos a hacer un recorrido por algunos juegos de magia, usados por profesionales de este arte, que se basan en principios matemáticos. Estos principios suelen ser de una simplicidad pasmosa, pero eso hace que los juegos de magia sean aún más hermosos, como diría Rene Lavand, el ilustre mago argentino hay que buscar la belleza de lo simple, y distinguir lo simple de la simpleza. La magia matemática tiene un punto de contradicción dentro del mundo del ilusionismo, pues mientras que la magia podría definirse como el arte de hacer parecer posible lo imposible, cuando nos referimos a juegos matemáticos, lo que intentamos es todo lo contrario, es decir hacer parecer imposible lo posible, y no ya lo posible, sino lo matemático, lo exacto, lo que sabemos que va a ocurrir con toda seguridad a pesar de la aparente aleatoriedad, pero al construir los efectos haremos que esta exactitud parezca imposibilidad, y si podemos conseguir esto será, en gran parte, porque el propio principio en el que basamos el juego, tiene esa magia de que pareciendo imposible se cumple con certeza. De esta forma vamos a ver juegos en los que la magia es una aplicación de las matemáticas, y lo que vamos a hacer es darle un uso diferente, usando esas aplicaciones en la magia como contexto atractivo para mostrar lo MÁGICAS que son por si mismas las matemáticas. 1

3 2.- JUEGOS CON LA BARAJA DE POKER Cervantes llamaba a la baraja española la desencuadernada, dejando ver de alguna forma que era una novela en la que los hechos pueden pasar de miles de maneras distintas, y por tanto, es una novela nueva cada vez que se lee. Quizá la palabra miles no sea muy acertada, y como matemáticos deberíamos dar un número un poco más concreto. Los posibles órdenes de una baraja se calculan de una forma muy sencilla, son las posibilidades de ordenar una fila de 52 elementos, es decir, son las permutaciones de 52, que se calculan aplicando la operación factorial (!) quedándonos lo siguiente: 52! = 8, * una cantidad que se viene a llamar ochenta undecallones de posibilidades, más o menos. Este número de posibilidades es abismalmente grande, hasta tal punto, que podríamos demostrar que, aún en una situación sumamente favorable, a lo largo de lo que dure la existencia de las barajas de cartas, NUNCA se llegarán a alcanzar ni siquiera una millonésima parte de los órdenes posibles de ésta. Habrá ordenaciones de la baraja de poker que jamás se den, aun si contamos las de las ficticias barajas de los juegos de ordenador. Sin embargo, a pesar de la dificultad para predecir el orden de una baraja, vamos a ver como podemos controlar esa dificultad LA PREDICCIÓN DE LOS COLORES DE STEWART JAMES El mago pide a un espectador que mezcle un paquete de cartas mientras que él escribe una predicción. Una vez mezclada la baraja tanto como quiera el espectador, el mago clasifica las cartas en tres grupos de la siguiente forma: se toman juntas las dos primeras cartas del mazo, si son dos negras, va a formar parte de un montón de cartas negras; si son dos rojas, a un montón de rojas; si son una roja y una negra, se apartan en un montón de cartas desechadas. Esta operación se repite con todas las cartas del paquete, mirándolas siempre de dos en dos. El espectador cuenta las cartas en el montón negro y en el rojo, y al leer la predicción se descubre que el mago sabía con antelación cual era el montón con más cartas y cuantos naipes de más tiene ese montón con respecto al otro. El secreto se basa en dos conceptos matemáticos muy simples, tanto que a veces no se ven claramente a la primera: 2

4 - Si voy poniendo en un montón grupos de dos cartas, de las cuales una es roja y la otra negra, al final sea cual sea la cantidad de pares, habrá la misma cantidad de cartas rojas y negras. - Si tengo dos montones, y el de negras tiene n cartas mas que el de rojas, si quito una cantidad igual de cartas de ambos montones, el resto de las negras seguirá teniendo n cartas más que el resto de las rojas. Dicho esto hemos de suponer que el lector ya habrá deducido la solución del efecto. Si partimos de un montón, por ejemplo, con 4 cartas mas de color negro, al hacer la operación de distribuir en tres montones, y dado que las cartas que se desechan son siempre una de cada color, las cartas en el montón final de negras seguirán siendo 4 más que en el montón de rojas ORDEN Y CAOS El mago toma las cartas de un palo del uno al 9, y las ordena. Después ofrece al espectador desordenarlas de una manera un tanto curiosa: El espectador corta cuantas veces quiere, reparte el paquete de cartas una a una en dos montones, y coloca uno sobre el otro a su elección, después vuelve a cortar si así lo desea. Para destruir completamente el orden inicial se repite este proceso dos veces más, sin embargo al final después de todas las mezclas se hace un proceso por el cual se pasan de arriba abajo tantas cartas como marca el número de la primera y al final quedan todas las cartas ordenadas como inicialmente. El efecto se basa en que todo el proceso son unas mezclas exactas que mas que desordenar las cartas lo que hacen es reordenarlas en una nueva posición, que además a la tercera repetición se anulan dichos desordenes. La esencia es sencilla: al principio después de la carta 1 va la carta 2 y así sucesivamente, después de la nueve va la 1 de nuevo. Este orden forma un ciclo que se repite. Al hacer el reparto en dos montones, después de la 1 irá la 3, y después de esta la 5 y así sucesivamente teniendo un salto de dos unidades entre cada carta. Después del 9 en nuestro ciclo queda ahora el 2. Al hacer un nuevo reparto vuelvo a multiplicar por dos este salto, ahora tendré, 1,5,9,4,etc... si vuelvo a duplicar el salto, después de cada carta tendré un salto de 8 unidades, o lo que es lo mismo, tendré las cartas en un orden inverso al inicial. 3

5 Sin embargo, cuando pedimos al espectador que haga dos montones, al dejar las cartas cara abajo una a una sobre la mesa, esta invirtiendo el orden inicial, y como repite este proceso 3 veces, las dos primeras inversiones se anulan entre si, y me queda solo una inversión, que se suma a la situación producida por el salto de 8 unidades y deja al paquete en la misma posición que al inicio. El único detalle que resta es deshacer los cortes, para lo que miramos la primera carta, y al estar ya la fila ordenada, pasamos de arriba abajo tantas cartas como indica la primera, y de esta forma tenemos el paquete exactamente en la misma posición que al principio LA RULETA RUSA El mago hace un círculo con las 13 cartas del palo de picas. El espectador elige con que carta no quiere jugar, esa será la del mago, las doce restantes son del espectador, el que sobreviva ganará la apuesta. El ayudante elige un número cualquiera menor que 13, y empezando por la carta del mago, para no matarla a la primera, empieza a contar avanzando por el círculo de cartas. Cuando acaba la cuenta, la carta en que paro de contar esta muerta, es decir, se deja boca abajo, y se inicia una nueva cuenta. Las cartas que ya están vueltas también se cuentan. Si al contar se acaba sobre una carta ya vuelta, inicia una cuenta de nuevo. Así se continúa hasta que han muerto todas las cartas menos una, que como cabía esperar, es la elegida por el espectador, con lo cual el mago gana la apuesta. Vamos a recordar primero un par de conceptos: - un número primo es aquel que solo puede ser dividido por él mismo y por la unidad. - Dos números son primos entre sí cuando no tienen ningún divisor común. - Si tomamos dos números, uno de ellos primo, y el segundo un número que no sea múltiplo del primero, ambos serán primos entre sí. De esta forma lo que usamos para el juego es un par de números primos entre sí, pues el primero es un primo, que son las 13 cartas del palo de picas, y el segundo lo elige el espectador, pero al tener que ser menos que 13 será primo con él. 4

6 Ahora viene una parte un poco delicada, dado que el segundo número, n, es primo con 13, al contar la vuelta o bien 2n es menor que 13 o si es mayor no será múltiplo, es decir al contar sobre el círculo nos pasaremos y continuaremos, dejando viva la primera que contamos. Este razonamiento es extensible, de forma que el primer múltiplo de 13 lo alcanzaremos en la decimotercera cuenta, pero para entonces ya habremos matado doce cartas, es decir, la única que sobrevive es la que elegimos al principio. Nota matemática: Decimos que en el conjunto, por ejemplo, de las clases de resto módulo 13, (que esta formado por los números de 0 a 12), cada elemento es un generador del conjunto, pues si tomo los primeros 12 múltiplos de cualquiera de los números entre 1 y 12, al dividirlos entre 13 siempre me van a dar valores distintos, llegando a tener resto 0 solo en el caso de múltiplicar el número que haya elegido por 13. Esto realmente ocurre para las clases de resto de cualquier número primo, pues todas ellas forman dominios de integridad al no tener lo que se conoce como divisores de cero. Sin embargo, si considero la división entre 8, por ejemplo, 4 * 4 = 16, que al dividir entre 8 me daría resto 0, osea, 4 sería un divisor de cero en la clase de los restos módulo VUELVO DOS Y CORTO El mago da al espectador un paquete de diez cartas, cinco rojas y cinco negras, alternadas. Ahora le pide que corte el paquete tantas veces como quiera, que tome las dos cartas superiores juntas, que las vuelva, siempre juntas, y que las deje donde estaban, cortando de nuevo. El espectador repite este proceso varias veces, volviendo siempre las dos de arriba juntas, independientemente de si están cara arriba, cara abajo, o una cara arriba y una cara abajo. Al final el mago le pide al espectador que haga dos montones repartiendo las cartas una a una sobre la mesa, que elija uno de los montones, que lo de la vuelta, y que lo ponga junto al otro. Al extender las diez cartas se comprueba que a pesar de todas las mezclas, las cinco cartas rojas están boca arriba y las cinco negras boca abajo. El secreto se basa en la paridad, y aunque es muy simple es un poco difícil de visualizar. Al principio tengo todas las cartas cara arriba, las negras por ejemplo están en las posiciones pares y las rojas en las impares. Al volver dos cartas juntas, la que estaba en una posición par pasa a estar en una posición impar, y viceversa, lo que quiere decir que las cartas que no están en su posición natural quedan boca arriba. 5

7 De esta forma al final de los cortes y las vueltas, aunque parezca increíble, todas las cartas negras en posición par están cara arriba y todas las negras en posición impar están cara abajo, y el caso simétrico ocurre con las rojas. Al separar en dos montones lo que hago es poner a un lado las pares y a otro las impares, y al girar uno de los dos paquetes lo que consigo es que acaben en el mismo sentido todas las de un mismo color. Estos principios fueron descubiertos y estudiados por Bob Hummer PRINCIPIO DE GILBREATH El mago deja una baraja a un espectador para que este forme dos montones más o menos iguales, y después mezcle a la americana. A pesar de las mezclas, cuando se van tomando las cartas de dos en dos todas las parejas tienen una carta de cada color. Como encore, al tomar las últimas cartas del mazo de cuatro en cuatro en cada grupo hay una carta de cada palo. El juego se basa, como su título indica, en el llamado principio de Gilbreath, por ser este matemático su descubridor. Aunque la mezcla americana parece desordenar las cartas, en realidad lo que hace únicamente es intercalar dos series de cartas. Ahora bien, si las dos series de cartas tienen un orden controlado, el resultado final estará desordenado solo hasta cierto punto. Imaginemos que contamos con un paquete en el que las cartas están alternando los colores, y que lo dividimos en dos montones, de forma que la carta inferior de cada paquete sea de distinto color. Dejemos escapar, al hacer la mezcla americana, una carta de uno de los dos montones, sea del montón que sea, la siguiente carta en su mismo montón es diferente, y la primera del otro también tiene diferente color, es decir, dejemos caer del montón que sea, las dos primeras de la mesa serán una de cada color, no puedo afirmar si la negra estará arriba o abajo, pero si que serán de diferente color. Una vez eliminadas estas dos cartas, nos volvemos a encontrar en el mismo caso, y así hasta completar todo el paquete. Si hemos sido capaces de entender esto el siguiente paso debe resultar mas sencillo. Tomo los dos montones, cada uno tiene en su parte inferior los cuatro palos, que vamos a designar con números para que sea mas sencillo entenderlo. El montón primero tiene desde abajo los palos en el orden 1, 2, 3, 4, mientras que el montón segundo los tiene en el orden inverso 4, 3, 2, 1. 6

8 Si observamos estos números en dos columnas, y tomamos un conjunto de cuatro de ellos, que vengan de cualquiera de las dos columnas, pero siempre respetando que para coger un número de abajo hemos tenido que coger el anterior (algo lógico teniendo en cuenta que estamos hablando de una mezcla de pilas) observaremos que cualquier grupo tendrá una carta de cada palo. Esto se verificaría igualmente con cualquier grupo de cartas que tuviesen órdenes inversos TRABAJO, DINERO, SALUD Y AMOR El mago toma a dos ayudantes, a ser posible con algo en común. Les va a leer el porvenir usando dos grupos de 8 cartas, en los que cada carta tiene su gemela (mismo color y valor) en las manos del otro espectador. Para cada uno de los aspectos a consultar, que serán, trabajo, dinero, salud y amor, uno de ellos decide en que montón deletrear simbólicamente cada letra pasando una carta de la parte superior a la inferior. Al final de cada deletreo se toma la carta superior de cada uno y en cada caso se ve que el futuro es muy prometedor porque siempre coinciden cartas gemelas. Lo mismo se repite en cada ámbito de respuestas. El principio matemático en que se basa este juego se denomina en magia principio de la ordenación en espejo. Las cartas de los dos montones se sacan sutilmente de forma que queden unas en orden inverso a las otras. Así la carta superior de un montón tiene su gemela en la posición 8 del otro montón: la carta 2 del primer montón tiene su gemela en la posición 7 del otro montón, y así sucesivamente, de forma que, la posición de una carta y la de su gemela siempre suman 9. Ahora bien, si deletreo pasando de arriba abajo, de cualquiera de los dos montones, la palabra TRABAJO, que como se puede ver tiene 7 letras, dejaré según elija los montones, la 1 del montón A y la 8 del B; o la 2 del montón A y la 7 del B; o la 3 del montón A y la 6 del B, etc, dejando siempre como se aprecia las cartas emparejadas. Además al descartar estas cartas, quedarán dos paquetes de 7 cartas en las manos de los espectadores, con órdenes en espejo, es decir casi como en la posición inicial, solo que ahora vamos a deletrear una palabra sólo con 6 letras, DINERO. 7

9 Después repetiremos lo mismo con 5 y 4 letras, SALUD y AMOR, cumpliéndose siempre que coinciden las cartas. Al final como encore, se puede deletrear una palabra de cuatro letras carta a carta sobre la mesa con uno de los paquetes que ha quedado, y conseguiremos que coincidan las cuatro cartas que quedaban a cada espectador en sus manos LA PREDICCIÓN CON LA BARAJA El mago da a mezclar una baraja y se juega 10 a 1 contra un espectador a que va a quedar la baraja con dos cartas del mismo número juntas, recalcando la dificulta de que esto ocurra, pues solo hay 4 cartas de cada número y 52 posiciones diferentes para colocarse. Después de la mezcla el mago muestra que efectivamente se cumple lo predicho. El juego es una verdad estadística. Esta probabilidad es muy compleja de calcular usando los métodos de la probabilidad clásica, pues el cálculo de los casos favorables es un poco complejo. Sin embargo, realizando simulaciones con ordenador se concluye que hay una probabilidad de un 95% de que ocurra el hecho de que dos cartas del mismo número queden juntas. De hecho lo más probable es encontrar 2 parejas de cartas, aunque es común encontrar 3 o 4, y casi siempre el menos 1. No obstante no hay que apostar demasiado alto porque tenemos un 5% de probabilidad de error. 8

10 3.- OTROS JUEGOS DE MAGIA MATEMÁTICOS Existen otras muchas aplicaciones de las matemáticas a objetos cotidianos que se pueden disfrazar de juego de magia. Aplicaciones de la paridad, o de la estadística, que son auténticos juegos de magia en si mismas. Vamos a ver algunas de ellas DOMINÓ El mago entrega un domino a un espectador para que este forme una hilera con las fichas, respetando siempre las reglas del juego. Al final de la hilera quedan dos números, uno en cada extremo. Entonces el mago abre una predicción que tenía sobre la mesa y en ella aparecen los dos número que han quedado en los extremos de la hilera. Este juego es totalmente automático. Los dominós están formados por fichas que forman todas las combinaciones posibles de los seis número y la cara blanca, esto hace que se pueda formar con él un ciclo completo, colocando las fichas con otras de mismo número colindantes. Si eliminamos una ficha de ese ciclo, obligatoriamente la hilera terminará en los dos números que muestra esa ficha (hay que retirar por supuesto una ficha que no sea un doble). Así lo único que es necesario para realizar este efecto es retirar antes de empezar una ficha del juego y escribir en la predicción los dos números que muestra dicha ficha PREDICCIÓN DEL PAR DE CUMPLEAÑEROS El mago afirma que intuye que entre los presentes hay al menos dos personas que cumplen años en la misma fecha. Ante la asombrosa afirmación el mago pide que levanten las manos todos los que cumplen años en Enero, y a medida que los señala que vayan diciendo en que día, así continua de ser necesario por Febrero, Marzo, etc. Hasta que se comprueba que efectivamente hay dos personas que verifican la afirmación. Este es otro caso de lo que podíamos bautizar probabilidades engañosas, pues aunque parezca que es un suceso tremendamente extraño, basta calcular la probabilidad para comprobar que no hace falta un grupo muy grande para que la probabilidad de que esto ocurra es bastante alta. 9

11 Para calcular esta probabilidad vamos a atacar al suceso contrario, es decir, la probabilidad de que en un grupo de n personas ninguna haya cumplido años el mismo día.supongamos que tenemos un grupo de 30 personas, los casos posibles de las distribuciones de las fechas serán , y de estos los casos que hacen favorable el hecho de tener fechas de cumpleaños diferentes serán: 365 * 364 * 363 * * 337 * 336 con lo que la probabilidad que buscábamos al principio quedará: = es decir, en un grupo de 30 personas tenemos una probabilidad superior al 70%. En un grupo un poco más grande, de unas 50 personas sería: = como veis, aunque parezca imposible, tenemos que en un grupo de 50 personas la probabilidad es superior al 97%, con lo que podemos hacer esta afirmación una apuesta casi segura EL TRILERO DE LOS 4 VASOS El mago coloca sobre la mesa cuatro vasitos, y dentro de uno de ellos una moneda. Explica al espectador que podrá mover la moneda de un vaso a otro tantas veces como quiera, siempre de un vaso a otro que este colindante. Mientras hace estos movimientos el mago se vuelve de espaldas. Una vez movida la moneda las veces que desee el ayudante, el mago elimina uno de los vasos., después otro y otro más hasta que deja únicamente el vaso en el que se encuentra la moneda, todo ello dando siempre la espalda a los vasos. El efecto se basa una vez más en la idea de paridad. Supongamos que numeramos los 4 vasos, de forma que dos serían números pares y dos números impares. Cada vez que pedimos al ayudante que mueva la moneda a otro vaso, como solo puede moverla de un vaso a otro adyacente, moverá la moneda de un vaso par a uno impar o viceversa. De esta forma, el mago, contando cuantas veces oye caer la moneda en los vasos puede saber si después de la primera ronda de movimientos la moneda esta en un vaso par o en uno impar. 10

12 Ahora el mago elimina uno de los vasos de los extremos, el correspondiente al lugar donde sabemos que NO esta la moneda y pedimos que se mueva la moneda una vez más. Supongamos que hemos eliminado por ejemplo un vaso par, de ser así es porque la moneda se encontraba en un vaso impar. Al pedir ahora que se mueva una vez más la moneda, estamos obligando al espectador a colocarla en el único vaso par que le queda, con lo cual ya conocemos con toda certeza en que lugar se encuentra la moneda. 11

13 CONCLUSIONES Esperamos que esta pequeña colección de juegos matemáticos, sirva de ejemplo para mostrar la constante presencia de las matemáticas en los procesos de nuestra vida cotidiana, y como, observando la realidad con ojos matemáticos, podemos crear modelos que describen las cosas que nos ocurren, consiguiendo así que entendamos lo poco que tienen de casual algunas cosas que para nada lo son. Además esperamos que el camino de llegar a los conceptos matemáticos partiendo de los juegos de magia, ayude a que todos le quitemos un poco de frialdad y dureza a esta disciplina con una imagen tan castigada por la sociedad, que esta ahí cada día, haciendo que todas las cuentas nos cuadren, que todos los aparatos tecnológicos funcionen, y que nuestra vida este rodeada, sin que a veces lo notemos, de aparatos y situaciones que para cualquier persona del sigo pasado seria pura MAGIA. 12

14 BIBLIOGRAFÍA Dado que la magia es un arte que se sigue transmitiendo básicamente de alumno a discípulo, de forma oral, desconozco el origen de muchos de estos juegos de magia, por ello señalaré algunos libros que sé que contienen la explicación de alguno de los juegos o que simplemente me han ayudado o inspirado para llegar a estas notas. Magia inteligente de Martin Gardner, editado en español por Zugarto Ediciones. Cartomagia Fundamental de Vicente Canuto, editorial ICASA A la carta de Woody Aragón, editado por Alcachofa Soft S.L. Por arte de verbimagia de Juan Tamariz y Gema Navarro, editorial Frakson Y cualquiera de los libros del inolvidable Miguel de Guzmán, entre ellos los primeros que conocí, en los que descubrí las curiosidades MÁGICAS de las matemáticas, que aunque resulte curioso son los libros del antiguo 1º y 2º de BUP de editorial Anaya, escritos por José Cólera y Miguel de Guzmán entre otros. 13

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