Apuntes de Matemática Discreta 5. Combinaciones. Teorema del Binomio

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1 Aputes de Matemática Discreta 5 Combiacioes Teorema del Biomio Fracisco José Gozález Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004

2 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas ii

3 Lecció 5 Combiacioes Teorema del Biomio Coteido 51 Combiacioes Defiició Formació y úmero de combiacioes Teorema del Biomio Proposició Fórmula de Pascal Triágulo de Pascal Combiacioes co Repetició Defiició Número de combiacioes co repetició 123 Los elemetos a combiar e estas cuestioes o tiee más propiedades que su diversidad No tiee valor o capacidad aritméticos, salvo que se puede cotar No se puede operar co ellos, sumarlos o restarlos, multiplicarlos o dividirlos Simplemete, se puede combiar Thomas Kirma ( Combiacioes Supogamos que dispoemos de ua baraja de 52 cartas Cuátas maos de cico cartas diferetes puede obteerse de dicha baraja? Supogamos calculadas todas las ordeacioes posibles de las 52 cartas de la baraja Tedríamos P 52 ordeacioes distitas Parece que si elegimos cico cartas cualesquiera e cada ua de las ordeacioes (las mismas e cada ordeació, el problema estaría resuelto Si embargo, o es así, ya que por ejemplo dos de los grupos elegidos podría ser a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 y a 1 a 3 a 4 a 2 a 5 pero estas dos maos so iguales desde el puto de vista que se platea la preguta, es decir, el orde e que os de las cico cartas es irrelevate Etre las P 52 ordeacioes habrá P 5 que será iguales 105

4 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas Además cada ua de ellas estará repetida P 52 5 veces, luego por la regla del producto, detro de las P 52 ordeacioes habrá u total de P 5 P (52 5 ordeacioes iguales Así pues, el úmero de maos distitas, M, por el úmero de veces que se repite cada ua será igual al total de ordeacioes posibles de las 52 cartas, es decir, M P 5 P 52 5 P 52 de aquí que M P 52 52! P 5 P (52 5 5! (52 5! sea el úmero de maos diferetes de cico cartas que puede obteerse La ueva situació os sitúa ate la defiició de combiació que ahora veremos 511 Defiició Dada ua colecció de m objetos a 1, a 2,, a m 1, a m distitos y u úmero etero positivo m, llamaremos combiació de orde a cualquier subcolecció, a 1, a 2,, a de objetos de la colecció dada Dos combiacioes será distitas si algú o alguos elemetos de uo de los grupos o se ecuetra e el otro, es decir, si difiere e algú o alguos elemetos 512 Formació y úmero de combiacioes Al úmero de combiacioes de orde de ua colecció de m objetos, lo desigaremos por C m, y diremos que es el úmero de combiacioes de m elemetos tomados a Su úmero es Demostració C m, m!!(m! Procederemos por iducció para formar las combiacioes de m elemetos tomados a y calcular su úmero Paso básico Para 1, las combiacioes de orde 1, será: a 1 a 2 a 3 a para 2, obtedremos las combiacioes de orde dos de m elemetos Estas podrá obteerse añadiedo a cada combiació de orde 1 los elemetos que le sigue, uo a uo, es decir, a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 4 a 1 a a 2 a 3 a 2 a 4 a 2 a a 3 a 4 a 3 a a 1 a Supuestas formadas las de orde 1, de modo que e cada ua aparezca los ídices ordeados de meor a mayor, las combiacioes de orde, se obtiee añadiedo a cada combiació de orde 1 cada uo de los elemetos posteriores al último de los que e ella figure De esta forma, todas las combiacioes -arias así formadas so distitas, bie porque procede de combiacioes de orde 1, o bie, por teer diferete el último elemeto 106

5 Matemática Discreta Fracisco José Gozález Gutiérrez Además se obtiee todas las posibles, pues si faltara algua, separado e ua cualquiera de ellas el último elemeto os quedaría ua combiació de orde 1 que o habría figurado etre las que os había servido de partida de orde 1 e cotra de la hipótesis Calculemos ahora el úmero de combiacioes Supogamos formadas todas las combiacioes de orde de m elemetos, es decir, C m, Si e cada combiació permutamos de todos los modos posibles los elemetos que figura e ella, obtedríamos todas las variacioes posibles de esos m elemetos tomados a Así pues, cada combiació da lugar a P variacioes, por tato, V m, C m, P C m, V m, P m! (m!! m!!(m! Al úmero resultate se le llama úmero combiatorio y se ota e la forma ( m m!!(m! Ejemplo 51 Se dispoe de doce putos e u plao de tal maera que tres cualesquiera de ellos o está alieados (a Cuátas rectas determia dichos putos? (b Cuátas de las rectas ateriores pasa por u determiado puto a? (c Cuátos triágulos cotiee al puto a como vértice? Recordemos que dos putos cualesquiera del plao determia ua recta y que u tercer puto, o bie está alieado co los otros dos, e cuyo caso perteece a la recta que ambos determia, o bie o lo está, y e tal caso, determia co los otros putos, dos rectas, ua co cada uo de ellos Dado que dispoemos de doce putos y tres cualesquiera de ellos o está alieados, podremos asegurar que cada dos de ellos determia ua recta distita de las demás (a Supogamos que los putos so a, b, c, d, e, f, g, h, i, j y y otemos ad como la recta que determia los putos a y d Pues bie, ad y por da so iguales ya que la recta que determia a y d es la misma que la determiada d y a, por tato el orde e que tomemos los putos o ifluye e la recta que ambos determia Si embargo, los putos a y d determia ua recta distita de la que determia d y e que, a su vez, es distita de la que determia a y f, por tato el cambio de algú o alguos putos ifluye e el hecho de que las rectas que determia sea distitas Cosecuetemete, las rectas que determia los doce putos sería combiacioes de orde dos elegidas etre ellos y ( 12 C 12,2 12! ! 10! 2 será el úmero de rectas distitas que hay (b Bastaría dejar fijo el puto a y trazar ua recta a cada uo de los restates oce putos, luego habrá, e total, oce rectas que pasa por dicho puto (c Cada tres putos o alieados e el plao determia u triágulo que los tiee como vértices Dejado fijo el puto a, bastaría calcular las combiacioes de orde dos de los oce putos restates y obtedríamos ( 11 C 11,2 2 11! ! 9! 2 107

6 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas triágulos diferetes que tiee al puto a como uo de sus vértices Ejemplo 52 U estudiate tiee que respoder siete pregutas de u cuestioario de diez de cuátas formas puede hacer su elecció si (a o hay restriccioes? (b debe respoder a las dos primeras pregutas? (c debe respoder, como míimo, a tres pregutas de las cico primeras? Supogamos que las diez pregutas so: y elegimos u grupo cualquiera de siete de ellas, p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8, p 9, p 10 p 1 p 3 p 5 p 7 p 8 p 9 p 10 es claro que si cambiamos el orde etre ellas el grupo elegido es el mismo, si embargo si cambiamos algua o alguas pregutas, el grupo es distito, por tato los grupos de siete pregutas será combiacioes de orde siete elegidas etre las diez del cuestioario (a Al o haber igú tipo de restriccioes la elecció podrá hacerse de ( 10 C 10,7 10! 7 7! 3! 120 formas distitas (b Si el estudiate debe respoder a las dos primeras pregutas, hallamos todos los grupos distitos de cico pregutas que puede elegirse etre las ocho restates y a cada uo de ellos le añadimos las dos primeras Por tato, la elecció puede hacerse de formas distitas C 8,5 ( 8 5 8! 5! 3! 56 (c El estudiate debe respoder, como míimo, a tres pregutas de etre las cico primeras Hallamos todos los grupos distitos de pregutas, co 3, 4 ó 5 que puede elegirse etre las cico primeras y para cada uo de ellos elegimos 7 pregutas etre las cico restates El úmero total de formas distitas de hacer la elecció será, por tato, 5 5 ( ( 5 5 C 5, C 5, ( 5 3 ( ( 5 4 ( ( 5 3 ( ( ! 2! 3! 108

7 Matemática Discreta Fracisco José Gozález Gutiérrez Ejemplo 53 Para hacer u apuesta de la Lotería Primitiva hay que marcar seis úmeros elegidos etre el 1 y el 49 De cuátas formas diferetes puede marcar ua persoa 6, 5, 4 ó 3 úmeros? Supogamos que marcamos los úmeros 2, 3, 5, 7, 11 y 13 e este orde Si los hubiéramos marcado e cualquier otro orde la apuesta sería la misma Si embargo, cambiado algú o alguos úmeros de éstos por otros, tedríamos ua apuesta distita Por tato, las apuestas que puede hacerse será combiacioes de orde seis elegidas etre los cuareta y ueve úmeros dispoibles Marcado seis úmeros, el resultado será C 49,6 ( ! ! (49 6! formas diferetes Cico úmeros se podrá marcar de ( 49 C 49,5 5 49! ! (49 5! formas diferetes Aálogamete, cuatro úmeros se podrá marcar de ( 49 C 49,4 4 49! ! (49 4! formas distitas Fialmete, podremos marcar tres úmeros de C 49,3 ( ! ! (49 3! 2 3 formas diferetes Ejemplo 54 Demostrar que si es u úmero etero positivo, etoces C 2, + C 2, C 2+2,+1 109

8 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas C 2, + C 2, 1 ( 2 ( !!! + 2! ( 1! ( + 1! 2! ( + 1! ( + 1! + 2!! ( + 1! 2! (2 + 1! ( + 1! (2 + 1!! ( + 1! (2 + 1! (2 + 2 (2 + 2! ( + 1! (2 + 2! ( + 1! ( + 1! ( C 2+2,+1 Ejemplo 55 Se quiere elegir u comité de doce persoas de u grupo formado por diez hombres y diez mujeres Decir de cuátas formas puede hacerse la elecció (a Si o hay restriccioes (b Si debe haber 6 hombres y 6 mujeres (c Si debe haber u úmero par de mujeres (d Si debe haber 8 hombres como míimo Se quiere elegir doce persoas de etre las veite que forma el grupo Obviamete, el orde e el que se elija o ifluye e la composició del comité, auque éste si varía cuado cambiamos algua o alguas persoas Se trata, por tato, de combiacioes de orde doce escogidas de etre las veite persoas (a Si o hay restriccioes, quiere decir que la composició del comité puede ser cualquiera, luego la elecció puede hacerse de ( 20 C 20,12 20! 12 12! 8! (b Si e el comité debe haber seis hombres y seis mujeres, elegimos seis hombres de etre los diez que hay e el grupo y para cada uo de ellos se elige seis mujeres de etre las diez que hay e el mismo Los seis hombres puede elegirse de C 10,6 formas distitas y para cada ua de estas combiacioes habrá C 10,6 formas distitas de elegir a las mujeres, cosecuetemete, por la regla del producto, la elecció del comité podrá hacerse de ( 10 C 10,6 C 10,6 6 ( ! 6! 4! 10! ! 4!

9 Matemática Discreta Fracisco José Gozález Gutiérrez formas distitas (c Si debe haber u úmero par de mujeres, etoces podemos represetar su úmero e el comité por 2 y el úmero de hombres por 12 2, dode 1, 2, 3, 4, 5 Razoado igual que e el apartado (b, para cada tedremos C 10,2 C 10,12 2 comités co u úmero par de mujeres, por tato el úmero total de formas de hacer la elecció será 5 5 ( ( C 10,2 C 10, ( 10 2 ( 10 8 ( ( 10 4 ( ( ( 10 8 ( 10 2 ( ( 6 6 (d Sea el úmero de hombres que itegra el comité, etoces 8, 9 ó 10, siedo el de mujeres 12, razoado igual que e el apartado aterior, habrá 10 ( ( ( ( ( ( C 10, C 10, formas distitas de hacer la elecció Ejemplo 56 U comité de selecció etrevista a cico cadidatos para u puesto de trabajo, etregado al fial ua lista co las persoas que propoe Decir cuátas listas distitas puede etregar el comité e los casos siguietes: (a La lista ordea a los cadidatos del uo al cico (b El comité seleccioa u primer cadidato, u segudo y u tercero (c El comité decide propoer a u cadidato para el puesto y seleccioar u grupo de dos supletes + (a El úmero de listas, e estas codicioes, coicide co el úmero de formas de ordear u cojuto co cico elemetos, por tato, habrá listas distitas P (b Si el comité seleccioa u primer cadidato, u segudo y u tercero, etoces es como seleccioar ordeadamete tres persoas de etre u grupo de cico, por tato, el úmero de listas distitas es, e este caso, V 5, (c Propoemos cualquiera de los cico cadidatos para el puesto y os quedaría cico persoas para elegir a los dos supletes Dado que o importa el orde de éstos, las distitas formas de elegirlos sería combiacioes de orde dos elegidas etre las cuatro persoas que resta Por la regla del producto, el úmero de listas distitas es ( 4 5 C 4, ! 2! 2!

10 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas 52 Teorema del Biomio Si es u úmero etero positivo, etoces, (a + b 0 ( a b Demostració Observemos lo siguiete: (a + b 2 (a + b(a + b a a + a b + b a + b b dode hemos multiplicado el primer sumado (la a del primer factor (a + b por los dos del segudo y luego el segudo sumado (la b del primer factor por los dos del segudo De esta forma vemos que e cada uo de los cuatro sumados que cofigura el resultado figura uo, y sólo u elemeto de cada factor El siguiete diagrama resume la situació a b a b a 2 ab a ba b b 2 (a + b 2 a 2 + 2ab + b 2 Procediedo de forma idética, (a + b 3 (a + b(a + b(a + b a a a + a a b + a b a + a b b + b a a + b a b + b b a + b b b y u diagrama similar al aterior sería, a b a b a b a a 3 b a 2 b a a 2 b b ab 2 a a 2 b b ab 2 a ab 2 b 3 b (a + b 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 112

11 Matemática Discreta Fracisco José Gozález Gutiérrez y el siguiete árbol os permitiría escribir el desarrollo de (a + b 4 a b a b a b a b a b a b a b a a 4 b a 3 b a a 3 b b a 2 b 2 a a 3 b a 2 b 2b a a 2 b 2 ab 3b a a 3 b a 2 b 2b a a 2 b 2 ab 3b a a 2 b 2 ab 3b a ab 3 b 4b (a + b 4 a 4 + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Obsérvese que al elegir ua letra, y sólo ua (la a o la b, de cada factor, todos y cada uo de los factores resultates ha de teer el mismo úmero de letras, dos e (a + b 2, tres e (a + b 3, cuatro e (a + b 4 y así sucesivamete Veamos u ejemplo de lo que decimos e itetemos sacar algua coclusió Supogamos que queremos saber el coeficiete de alguo de los sumados del desarrollo de (a+b 7 Como hemos visto todos tedrá siete letras Cosideremos por ejemplo ababaaa, es decir a 5 b 2 y fijémoos úicamete e las aes Teiedo e cueta que cada ua de ellas perteece a u úico factor y llamado a éstos f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 y f 7 para calcular todas las opcioes posibles, podemos utilizar el siguiete esquema: a a a a a f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 2 f 1 f 5 f 3 f 5 f 7 f 6 f 3 f 2 f 4 Por lo tato, el úmero de veces que se repetirá a 5 (y, cosecuetemete, a 5 b 2 es igual al úmero de grupos de 5 factores que podamos elegir etre los 7 de que dispoemos y de tal forma que el orde o ifluye e el hecho de que dos grupos sea distitos, es decir, el coeficiete de a 5 b 2 e el desarrollo de (a + b 7 es C 7,5 U razoamieto idético os permite decir que el coeficiete de a 3 b 4 e el mismo desarrollo es C 7,3, y así podemos calcular los coeficietes de todos los sumados Este mismo razoamieto puede utilizarse para calcular el coeficiete de cualquier sumado e el desarrollo de (a + b Si es cualquier úmero etero etre 0 y, el sumado a b tiee la a repetida veces correspodiedo ua, y sólo ua, a cada factor, luego so grupos de elemetos (factores elegidos etre (total de factores y dode el orde o importa Por lo tato su úmero es C, 113

12 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas De acuerdo co todo lo expuesto, ya estamos e codicioes de escribir el desarrollo de (a + b (a + b C,0 a 0 b + C,1 a 1 b 1 + C,2 a 2 b C, 1 a 1 b + C, a b 0 ( ( ( ( ( a 0 b + ab 1 + a 2 b a 1 b + ( a b 0 a b 0 Nota 51 Platearemos ahora el mismo problema de forma ligeramete distita E el cálculo que hicimos del coeficiete de a 5 b 2 e el desarrollo de (a + b 7 os hemos fijado úicamete e las aes Qué pasaría si os fijamos tato e las aes como e las bes? El esquema siguiete refleja la situació f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 a b a a b a a b b a a a a a a a b a b a a El úmero de productos posibles de la forma a 5 b 2 tal que cada a y cada b esté e uo y sólo u factor sería igual al de palabras de siete letras que podamos formar co cico aes y dos bes o lo que es igual todas las ordeacioes posibles que pueda hacerse co ellas, es decir, P R 5,2 7 E geeral, el úmero de productos del tipo a b sería igual al úmero de palabras distitas que puede escribirse de tal forma que cada ua tuviera veces repetida la a y veces repetida la b, es decir, Por lo tato, (a + b P R 0, 0 0 P R, a 0 b + P R 1, 1 P R, a b!! (! a b ( 0 a b!! (! ( a 1 b P R 1,1 a 1 b + P R,0 a b 0 Ejemplo 57 Se laza ua moeda al aire veces De cuátas maeras puede obteerse ua, dos, tres, cuatro,, o caras? Sea A co 1 el cojuto formado por todos los resultados posibles e los que aparezca, exactamete, caras al lazar la moeda veces, es decir, A 1 {(c, x, x,, x, (x, c, x,, x, } A 2 {(c, c, x,, x, (x, c, c,, x, } A {(c, c, c,, c} 114

13 Matemática Discreta Fracisco José Gozález Gutiérrez El cojuto A 1 A 2 A estará formado por todos los resultados e los que aparezca ua, dos,, o caras Por tato, el úmero pedido es el cardial de dicho cojuto Como los A so disjutos dos a dos, por el pricipio de adició, A A El esquema siguiete os ayudará a calcular A para 1 A c c c ( c c Será todos los grupos de lazamietos que podamos elegir etre los, de tal forma que el orde o ifluye e el hecho de que dos grupos sea distitos (obsérvese que las dos primeras filas de la tabla aterior sigifica lo mismo auque esté e distito orde Por lo tato, A C, De aquí que A 1 A 1 1 C, ( 1 ( ( Ejemplo 58 De cuátas maeras puede elegir u profesor a uo o más estudiates etre seis? Sea a, b, c, d, e y f los seis estudiates y supogamos que el profesor elige a u grupo de tres, abc Es obvio que el orde e que los escoja o ifluye e el grupo elegido, si embargo el cambio de algú o alguos estudiates si ifluye ya que los grupos abc y ade so distitos Por tato, las formas de elegir los estudiates será combiacioes de orde seleccioadas de etre los seis estudiates, siedo 1 6, por tato el profesor dispoe de 6 6 ( 6 6 ( ( ( ( 6 C 6, ( maeras distitas de elegir a uo o más estudiates etre seis Ejemplo 59 Para elaborar ua pizza podemos utilizar, además de queso y tomate, los siguietes igredietes: care, champiñoes, pimietos, cebolla, salami y achoas Decir cuátas pizzas diferetes es posible elaborar e los casos siguietes: 115

14 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas (a puede teer desde todos a igú igrediete (b tiee al meos, champiñoes y achoas (c o tiee i care i salami Dos pizzas será distitas cuado e su elaboració utilicemos, además de queso y tomate, diferetes igredietes El orde e que se utiliza los mismos o es relevate, por tato las diferetes pizzas será combiacioes de orde elegidas etre los seis igredietes de que se dispoe (a Si puede teer desde todos a igú igrediete, etoces variará etre seis y cero, por tato, el úmero total de pizzas diferetes 6 C 6, ( ( ( (b Si ha de iterveir e su composició, champiñoes y achoas, etoces le añadimos estos dos igredietes a todas las posibles pizzas que pueda elaborarse co los otros cuatro El total de pizzas diferetes será, utilizado el mismo razoamieto que e (a, 4 C 4, 0 4 ( ( ( (c Al o teer care i salami, el total de pizzas diferetes será igual al aterior ya que tedríamos cuatro igredietes, luego 4 C 4, 16 0 es el total de pizzas diferetes que o lleva care i salami Ejemplo 510 Cuátos subcojutos tiee u cojuto co elemetos? Elegido cualquier subcojuto del cojuto dado, el orde e que esté situados los elemetos e el mismo es irrelevate luego dos subcojutos será distitos si, y sólo sí se diferecia e, al meos, u elemeto, de aquí que los subcojutos co elemetos sea las combiacioes de orde que pueda elegirse etre los elemetos del cojuto dado, siedo 0 Obsérvese que 0 se correspode co subcojutos co cero elemetos, es decir, el cojuto vacío Pues bie, de acuerdo co este razoamieto, el úmero de subcojutos que tiee u cojuto co elemetos será ( ( ( 1 + C, ( Ejemplo 511 Dado el cojuto A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, determiar el úmero de (a subcojutos de A (b subcojutos o vacíos de A 116

15 Matemática Discreta Fracisco José Gozález Gutiérrez (c subcojutos de A que cotiee tres elemetos (d subcojutos de A que cotiee a los elemetos 1 y 2 (e subcojutos de A co u úmero par de elemetos (f subcojutos de A co u úmero impar de elemetos y que icluya al elemeto 3 (a Veamos cuatos subcojutos tiee A Directamete del ejemplo aterior, el úmero de subcojutos que tiee A será C 7, 1 ( ( ( ( (b El úmero de subcojutos o vacíos de A se calcula directamete del puto aterior, es decir, al total le hemos restado uo ya que hay u sólo subcojuto vacío e A (Se correspode co 0 (c El úmero de subcojutos de A que cotiee tres elemetos tambié se sigue directamete del apartado (a para 3, luego es ( 7 C 7,3 7! 3 3! 4! 35 (d Para hallar todos los subcojutos que cotiee al 1 y al 2, hallamos todos los subcojutos de {3, 4, 5, 6, 7} y a cada uo de ellos le añadimos el 1 y el 2 Por tato, el úmero de subcojutos de este tipo será 5 5 ( 5 C 5, ( (e Siguiedo el mismo razoamieto que e (a, bastaría calcular el úmero de subcojutos de A para 2, 4 y 6, es decir habrá ( ( ( C 7,2 + C 7,4 + C 7, subcojutos de A que tega u úmero par de elemetos (f Bastaría hallar todos los subcojutos de {1, 2, 4, 5, 6, 7} que tega cero, dos, cuatro y seis elemetos y añadirle a cada uo de ellos el 3, por tato, habrá ( ( ( ! 1 + C 6,2 + C 6,4 + C 6, ! 4! subcojutos de A co u úmero impar de elemetos etre los cuales se icluya el 3 Ejemplo 512 positivos? De cuátas formas distitas puede descompoerse el úmero 8 como suma de eteros Ua posible descomposició sería

16 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas que cosideraremos distita de la y otra podría ser Las descomposicioes más extremas sería e u úico sumado 8 8 y e ocho sumados Así pues habrá que calcular cuátas descomposicioes puede hacerse co 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 sumados y luego sumarlas todas Calcularemos el úmero de descomposicioes co sumados dode varía etre 1 y 8 El úmero de descomposicioes que hay co sumados será igual al úmero de solucioes de la ecuació, x 1 + x x 8, 1 8 dode x i > 0, i 1, 2,,, ya que si algua de las x i fuese cero, etoces o habría sumados sio 1 Pues bie, x i > 0 x i 1 x i 1 0 y haciedo y i x i 1 y sustituyedo, tedremos que y y y es decir, y 1 + y y 8, co y i 0, i 1, 2,, luego el problema se reduce a calcular el úmero de solucioes eteras o egativas de la ecuació aterior que, como ya sabemos, es P R 1,8 1+8 P R 1,8 7, para 1 8 Por lo tato, el úmero total de descomposicioes, será 8 1 P R 8, ! ( 1!(8! ( ( 7 7 ( 7 0 (

17 Matemática Discreta Fracisco José Gozález Gutiérrez 521 Proposició Si y so dos úmeros eteros o egativos tales que 0, etoces, ( ( ( Demostració Sea A u cojuto co elemetos y B u cojuto co u sólo elemeto, por ejemplo, B {b} y tal que b o perteezca a A Etoces, A B y si C A B, por el pricipio de adició, tedremos que C A + B + 1 Pues bie, sea P el cojuto formado por todos los subcojutos de C co elemetos, es decir, y sea X cualquiera de P Hay dos opcioes: P {X C : X } Los elemetos de X so de A, es decir X es u elemeto de Q {X A : X } o los elemetos de X so 1 de A y b es elemeto que le falta, o sea es u elemeto de R {X D B : D A, D 1} Además, luego por el pricipio de adició, pero, P Q R, co Q R P Q + R P C +1, Q C, de aquí que R C, 1 C +1, C, + C, 1 es decir, ( + 1 ( ( Fórmula de Pascal Si y so dos eteros positivos tales que 1 1, etoces ( ( ( Demostració 119

18 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas Para obteer la fórmula de Pascal 1, basta sustituir por 1 e la igualdad aterior Ejemplo 513 Demostrar la proposició 521 efectuado los úmeros combiatorios E efecto, desarrollado los úmeros combiatorios del segudo miembro, ( ( + 1!!(! +! ( 1!( + 1!!( + 1 +!!( + 1!!( + 1 +!( + 1!!( + 1!( + 1! ( + 1!!( + 1! ( Blaise Pascal, matemático, físico, filósofo y escritor fracés (Clermot-Ferrad 1623-París 1662 Hijo de ua familia de la alta burguesía auveresa, que, e 1631, fijó su residecia e París, dode los medios literarios y cietíficos que frecuetó le ayudaro a crear ua vocació precoz Se dice que su padre trató de mateerlo, al pricipio, alejado de los libros de matemáticas, co objeto de estimular al jove Blaise a desarrollar otros itereses, pero a la edad de doce años el muchacho demostraba ya tal grado de iteligecia geométrica que, e adelate, se favoreció su icliació matemática A los catorce años ya acompañaba a su padre a las reuioes iformales de la Academia de Mersee e París Aquí fue dode se familiarizó co las ideas de Desargues, y dos años más tarde, e 1640, el jove Pascal publicó su Essay pour les coiques A la edad de dieciocho años aproximadamete cambió de tema y para ayudar a su padre e u trabajo fiscal, se dedicó a diseñar ua máquia calculadora; e uos pocos años costruyó y vedió uas cicueta de estas máquias Durate este tiempo la familia Pascal etró e relació co los jaseitas Sait-Cyra y Atoie Arauld Durate esta época, Pascal cotiuó sus ivestigacioes y tuvo dos etrevistas co Descartes, pero si que al parecer pudiera ecotrar ambos u camio de iteligecia comú; si duda les separaro, etre otras cosas, sus teorías sobre el vacío A cotiuació, e 1648, se iteresó Pascal e la hidrostática, y los resultados de sus ivestigacioes fuero el famoso experimeto de Puy-de-Dôme que cofirmaba el peso del aire, y los experimetos acerca de la presió ejercida por u fluido, que clarificaro la aparete paradoja hidrostática Su padre murió e 1651 y su hermaa Jacquelie igresó e 1652 e el coveto de Port-Royal Etoces Pascal se dedicó más febrilmete a las ciecias Comezó a frecuetar alguos amigos, si o libertios, al meos bastate idepedietes, el duque de Roaez, Mitto y el caballero de Méré Fue e esta época cuado Pascal, buscado solucioes a u problema propuesto por Méré, se iteresó por el Cálculo de Probabilidades Pascal relacioó el estudio de las probabilidades co el triágulo aritmético, superado e sus discusioes la obra de Cardao e tal medida que la coocida distribució triagular de úmeros ha veido recibiedo, desde etoces, el ombre de triágulo de Pascal Durate la oche del 23 de oviembre de 1654 (del que queda emocioate testimoio e su Memorial, experimetó Pascal ua especie de éxtasis religioso que lo impulsó a abadoar la ciecia y la matemática para dedicarse a la teología Siguiedo los M Sigli, que tomó como director espiritual e 1655, se retiró a Port-Royal des Champs, dode, si covertirse e miembro activo de la abadía, se dedicó a la peitecia Cuado Arauld fue ameazado co la codeació e la Sorboa, Pascal le defedió reveládose como u excepcioal polemista Desde eero de 1656 a marzo de 1657 bajo el seudóimo de MONTALTE publicó las dieciocho cartas coocidas co el ombre de Proviciales dode ataca a la Sorboa, a los jesuitas y, sobre todo, los abusos de la casuística Ya sólo volvería a los estudios matemáticos durate u breve período de tiempo e Ua oche de 1658 e que u dolor de muelas u otra dolecia le impedía dormir, decidió, como distracció cotra el dolor, dedicarse al estudio de la cicloide Milagrosamete, el dolor cesó, lo que iterpretó Pascal como u sigo de que el estudio de la matemática o desagradaba a Dios E 1661 itervio e el drama de cociecia e que se debatía los jaseitas obligados a firmar la codeació de Jaseio La hermaa de Pascal (que murió aquel mismo año ifluyó e su hermao para que tomará partido por la itrasigecia y así lo hizo cotra los propios maestros jaseitas Arauld y Nicole icliados a firmar Ate la resistecia que ecotró, Pascal se retiró de la lucha, dedicádose desde etoces a ua vida de piedad persoal Su obra fudametal quedó icompleta E el cotexto de ua itegració de la fució seo e su Traité des sius du quart de cercle, de 1658, Pascal se aproximó extraordiariamete a lo que pudo haber sido el descubrimieto del cálculo; ta cerca estuvo de ellos que Leibiz escribiría más tarde que fue leyedo esta obra de Pascal cuado se le mostró súbitamete la luz Si Pascal o hubiera muerto poco después de cumplir 39 años, o bie si su metalidad hubiera sido más exclusivamete matemática, o cabe prácticamete duda de que se hubiera aticipado a Newto y a Leibiz e sus más grades descubrimietos 120

19 Matemática Discreta Fracisco José Gozález Gutiérrez 523 Triágulo de Pascal Co la fórmula de Pascal puede obteerse u método para el cálculo de los coef icietes del desarrollo de (a + b E efecto, si teemos e cueta que para cualquier etero o egativo se verifica que ( ( 1 0 y los tomamos como valores iicial y fial, respectivamete, los coeficietes de las sucesivas potecias de (a + b puede distribuirse e ua figura que se cooce como triágulo de Pascal 2 ( 0 0 ( 1 0 ( 1 1 ( ( ( ( 3 0 ( 4 1 ( 3 1 ( 4 2 ( 3 2 ( 4 3 ( 3 3 ( 4 4 ( 4 0 ( 5 0 ( 5 1 ( 5 2 ( 5 3 ( 5 4 ( 5 5 que desarrollado los úmeros combiatorios, resulta Todas y cada ua de las filas empieza y termia co 1 y cualquier otro úmero e el triágulo es suma de los dos que está ecima suya 53 Combiacioes co Repetició Supogamos que dispoemos de m objetos a 1, a 2,, a m y que so bocadillos Supogamos, tambié, para fijar ideas supogamos que m 4, es decir, hay cuatro clases distitas de bocadillos, por ejemplo a 1 es de jamó (j, a 2 de chorizo (c, a 3 de salchichó (s y a 4 de tortilla (t 2 Figura e el Traité du Triagle Arithmétique publicado por Pascal e 1665 Tambié recibe el ombre de triágulo de Yag Hui s, e hoor al matemático chio que lo descubrió e 1261 El matemático Chu Shih-Chieh, tambié chio, lo icluye e su libro El espejo precioso de los cuatro elemetos de

20 Uiversidad de Cádiz Departameto de Matemáticas Supogamos que diez estudiates de Matemática Discreta etra e la cafetería de la Escuela dispuestos a comerse u bocadillo cada uo De cuátas maeras distitas puede pedir los bocadillos los estudiates? Desigaremos co las letras c, j, s y t a los bocadillos de chorizo, jamó, salchichó y tortilla, respectivamete Uo de los pedidos puede ser cccjjstttt que, obviamete, es igual al pedido ccjcstttt y distito al ccjjssttt El orde, por tato, es irrelevate y lo úico que hace a dos peticioes distitas es el cambio de algú o alguos elemetos etre los que o sea iguales etre sí Estamos, pues, ate u problema de combiacioes, auque los elemetos puede repetirse, luego o podremos utilizar lo estudiado e el apartado aterior Calcularemos este úmero co el método siguiete: a cada grupo de diez elemetos le hacemos correspoder otro de catorce elemetos escribiedo tatos uos como elemetos distitos haya e los grupos, seguidos de tatos ceros como veces se repita el elemeto e el mismo E uestro ejemplo, hay cuatro clases de bocadillos que lo supodremos ordeados e la forma csjt, luego habrá cuatro uos, así, la petició, cjjtttccss se correspoderá co el grupo, La siguiete tabla represeta algua de las peticioes y los grupos de ceros y uos correspodietes A B cccjjcjctt cccjjtttss ssssjjjjjj tttttttttt E la columa A teemos todas las combiacioes co repetició de cuatro elemetos tomados diez a diez y su úmero coicidirá co el úmero de grupos distitos que haya e la columa B Obsérvese que los grupos de la columa B comieza todos co u uo Para calcular cuátos grupos hay podemos prescidir de la primera posició y queda, por tato, trece elemetos, de los cuales tres so uos y los diez restates so ceros Cosecuetemete, el úmero total de grupos es igual al de permutacioes co repetició de trece elemetos dode hay tres iguales etre sí y distitos a otros diez, tambié iguales etre sí, por tato, el úmero será Así pues, P R 3,10 13 CR 4,10 P R 3, ! ( ( ! ! 10! (4 1! 10! Las combiacioes co repetició se defie de la misma forma que las combiacioes simples, salvo que ahora, o es ecesario que todos los elemetos sea distitos Por tato, dos combiacioes co repetició será iguales cuado esté formadas por los mismos elemetos repetidos igual úmero de veces 531 Defiició Llamaremos combiacioes co repetició de orde defiidas e u cojuto A co m elemetos, a los diferetes grupos de elemetos, iguales o distitos, que puede formarse co los m elemetos dados, de modo que dos grupos sea distitos cuado difiera, al meos, e u elemeto El orde de ua combiació co repetició puede ser mayor que el úmero de elemetos co los cuales se forma Cuado m, etre las combiacioes co repetició figura las combiacioes simples del mismo orde 122

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