(1) Medir el azar. ESTALMAT-Andalucía Actividades 06/07. a) Cuenta los casos en que la suma de salga múltiplo de tres y calcula la probabilidad.

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1 (1) Medir el azar Se lanzan dos dados y sumamos los puntos de las caras superiores a) Cuenta los casos en que la suma de salga múltiplo de tres y calcula la probabilidad. Una bolsa contiene 4 bolas rojas, 2 bolas verdes y 3 bolas azules. Se extraen dos bolas al azar. b) Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? Los cirujanos pueden curar el cáncer pero la tasa de éxito en el primer intento es del 65%. Si la primera operación falla, se puede repetir, pero esta vez la tasa de éxito baja al 20%. Después de un segundo fracaso, hay tan pocas posibilidades de éxito que ya no repiten la operación. c) Cuál es la probabilidad de que una persona con esta enfermedad se cure? Me sitúo en un punto al azar a bastante distancia de un edificio en forma de pentágono. d) Es más probable ver tres caras del edificio que ver dos? F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez 1 de 8

2 (2) Sorteos con bolas de colores 1.- Para elegir a un muchacho entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. Los tres van sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien saque la bola blanca gana. a) Quién lleva ventaja: el primero, el segundo o el tercero? 2.- A un preso le conceden el beneficio de librarse de la condena mediante un sorteo: Se disponen dos bolsas que contienen bolas blancas y negras. En la bolsa nº 1 se colocan 4 bolas negras y 6 blancas y en la bolsa nº 2 se colocan 4 bolas blancas y 6 negras. Tiene que elegir una bolsa y sacar una bola de ella. Si obtiene bola blanca se libra Tendría algo de suerte si eligiese la urna nº 1, lógicamente; pero tiene la misma posibilidad de elegir la nº 1 que la nº 2. b) Qué probabilidad tiene de librarse de la condena? El preso, que es un listillo, pide el que le dejen modificar la distribución de las bolas en la bolsas. Ojo!, va a seguir poniendo 10 bolas negras y 10 bolas blancas, pero repartidas entre las dos bolsas de otra manera. c) Puede conseguir que el sorteo le sea más favorable? F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez 2 de 8

3 (3) El problema de tener dos novias Jacinto, que vive en un barrio de su ciudad, tiene dos novias: una que vive en el barrio del Alcázar y otra en el barrio del Realejo. Como nunca sabe con cuál de las dos quedar, ha llegado al siguiente convenio consigo mismo: Los autobuses para el Alcázar y para el Realejo pasan cada 20 minutos, luego cogerá el primer autobús que pase, dejando así que los autobuses decidan por él. Después de un tiempo, su novia del Alcázar, que está locamente enamorada se ha empezado a quejar de que solamente va a verla un día de cada cuatro. Por otra parte, su novia del Realejo, que ya está empezando a estar harta de él, se queja de que va a verla 3 de cada 4 días. a) Aparte de ser un cretino, cuál es el problema de Jacinto? b) Cómo tendrían que ser las cosas para que visitase el mismo número de veces a las dos novias?. F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez 3 de 8

4 (4) Sorteos con bolas numeradas Queremos hacer un sorteo para elegir un nº del 1 al 100 y disponemos de una bolsa de bolas numeradas del 0 al 9. a) Cómo haces las reglas del sorteo para que todo número tenga las mismas posibilidades de salir? Y si queremos hacer un sorteo para elegir un nº del 1 al 120 y disponemos de una bolsa de bolas numeradas del 0 al 9. b) Cómo haces las reglas del sorteo para que todo número tenga las mismas posibilidades de salir? Y si queremos hacer un sorteo para elegir un nº del 1 al 77 y disponemos de una bolsa de bolas numeradas del 0 al 9. c) Cómo haces las reglas del sorteo para que todo número tenga las mismas posibilidades de salir? Habrás comprobado que, a pesar de que 77 es menor que 120, tienes alguna dificultad que antes no tenías?. d) Cuando queremos elegir un nº entre el 1 y otro nº menor que 100, has podido comprobar que no puede hacerse sacando sólo unas cuantas bolas, depende del nº mayor del conjunto que queremos sortear. Para qué números puede hacerse y para cuales no? Ahora queremos hacer un sorteo para elegir un número del 1 al 18 y disponemos de una bolsa de bolas numeradas del 1 al 5. e) Cómo haces las reglas del sorteo para que todo número tenga las mismas posibilidades de salir? Y si queremos hacer un sorteo para elegir un nº del 1 al 7 y disponemos de una bolsa de bolas numeradas del 1 al 5. f) Cómo haces las reglas del sorteo para que todo número tenga las mismas posibilidades de salir? g) Explica las conclusiones a las que has llegado con estos ejemplos. F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez 4 de 8

5 (5) Jugamos con dados y con monedas El juego consiste en lanzar tres dados, debiendo acertar uno de los que van a salir. En ese caso recibes tu apuesta. Si no, la pierdes. Si se tirara únicamente un dado el número que has elegido saldría una de cada seis veces, si se tiraran dos dados ese mismo número saldría una de cada tres veces: Como se tiran tres dados saldrá una de cada dos veces. Así que estas a la par. Incluso se diría que tienes las de ganar porque una de cada dos partidas saldrá el número que has elegido y cubrirás pérdidas. Pero si además el número sale en dos o en tres dados, empezarás a ganar dinero. a) Crees que juegas con ventaja, o hay algún timo? b) Explica como tiene que ser este juego para ser justo. Supongamos que lanzo tres monedas al aire. Si salen todas iguales te pagaré, digamos, 10 ; pero si no son todas iguales tendrás que pagarme 5. De las tres monedas dos habrán de ser necesariamente iguales. La tercera podrá ser igual o diferente que esas dos. Nos parece que de cada dos tiradas las tres monedas serán iguales. Como en caso de ser iguales ganas el doble de lo que pierdes si son distintas, el juego te favorece. c) Crees que juegas con ventaja, o hay algún timo? d) Explica como tiene que ser este juego para ser justo. F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez 5 de 8

6 (6) Cuántos cumpleaños repetidos? Si en un grupo de 100 personas, Juan pregunta quién cumple años el mismo día que yo? Es altamente probable que nadie responda positivamente. Pero si nos ponemos a averiguar si hay algunas personas con la misma fecha de cumpleaños en este grupo veremos que esto es casi seguro. Que ocurra un suceso improbable cualquiera es mucho más posible que el que ocurra un suceso improbable en particular. a) Cuánta gente debería haber en el grupo para apostar porque hay al menos dos cumplen los años el mismo día de la semana? b) Cuánta gente debería haber en el grupo para apostar porque hay al menos dos cumplen los años el mismo mes? c) Cuánta gente debería haber en el grupo para apostar porque hay al menos dos cumplen los años el mismo día del mes? d) Cuánta gente debería haber en el grupo para apostar porque hay al menos dos cumplen que tienen la misma fecha de cumpleaños? F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez 6 de 8

7 (7) Paradoja electoral Supongamos que tenemos tres candidatos a la presidencia A, b y C. Una encuesta indica que 2/3 del electorado prefieren a A antes que a B, y que 2/3 del electorado prefieren a B antes que a C. se deduce de esto que la mayoría de votantes prefiere a A antes que a C? a) Diseñar tres grupos de población (de igual tamaño), de tal forma que los individuos de cada grupo comparten las mismas preferencias electorales, de forma que se cumplan los porcentajes anteriores, y también se cumpla que 2/3 del electorado prefieren a C antes que A. Este es un ejemplo de que la relación de preferencia 2 a 2 no es transitiva. Esta paradoja se conoce como la paradoja de Arrow, en recuerdo de Kenneth J. Arrow, premio Nobel de Economía, quien demostró a partir de ella y de otras consideraciones lógicas que un sistema perfecto de votación democrática es, en principio, imposible. b) Supongamos que en otra elección, tanto el candidato A como el B cuentan cada uno con más del 40% de los votos (y por tanto C cuenta con menos del 20%). Supongamos que la elección se realiza enfrentando primero 2 candidatos, y después el vencedor con el tercero. Es posible que gane C? c) Supongamos ahora que, entre 4 partidos políticos A, B, C y D las preferencias se reparten como sigue: Un 17 % prefiere C antes que A A antes que D D antes que B Un 32 % prefiere A antes que B B antes que D D antes que C Un 34 % prefiere D antes que B B antes que C C antes que A Un 17 % prefiere B antes que A A antes que C C antes que D Determina un orden de votación según la cual resulte ganadora la opción C. d) Comprueba que cualquiera de los partidos puede resultar vencedor, eligiendo convenientemente el orden de los enfrentamientos. F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez 7 de 8

8 (8) El timo de las monedas y del trilero. Supongamos que dispongo de tres monedas. Una de ellas tiene las dos caras de color rojo, otra tiene las dos caras de color blanco y la tercera tiene una cara de color rojo y otra de color blanco. Echa las tres monedas en una caja y saca una al azar. Supongamos que en la cara visible es roja, por tanto solamente puede ser la moneda que tiene las dos caras rojas o la que tiene una cara blanca y otra roja. a) La probabilidad de que las dos caras de esta moneda sean iguales es, aparentemente, igual a la de que las dos caras sean diferentes. Si me apuesto entonces algo a que son iguales, estoy jugando con ventaja? Ahora dispongo de tres medias nueces y de una canica, que escondo debajo de una de las tres nueces. Intenta adivinar debajo de qué nuez la he puesto. Una vez que has elegido una de las nueces destapo una de las otras dos que no esconda la canica. b) Tengo ahora dos nueces boca abajo, una de las cuales esconde la canica. Crees que la probabilidad de que estés señalando la nuez que esconde la canica es 1. Si me apuesto entonces algo a que no 2 has acertado es una apuesta justa. O te estoy timando otra vez? F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez 8 de 8

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