Capítulo 10 Combinaciones y permutaciones

Transcripción

1 Capítulo 10 Combinaciones y permutaciones Los juegos de azar y las combinaciones Has jugado alguna vez póquer? Por si aún no lo has hecho, aquí hay una pequeña explicación de cómo hacerlo: El póquer se juega con un juego de naipes, el cual consta de 52 cartas, la cantidad de jugadores puede variar. El juego comienza con la repartición de cartas, 5 a cada jugador. A estas 5 cartas se les llama mano. Una vez se han repartido las cartas, los jugadores pueden observarlas. El objetivo principal del juego es obtener la mejor combinación posible de cartas, es decir la mejor mano. De acuerdo a las reglas establecidas del póquer, podemos saber qué manos (combinaciones) son válidas y la jerarquía de ellas, veamos el siguiente cuadro que explica esto: Este cuadro nos muestra diferentes combinaciones de póquer (se muestran en orden jerárquico de arriba hacia abajo), junto a cada combinación aparece la probabilidad de obtener dicha mano. Como puedes ver, mientras menos probable sea obtener una mano, su jerarquía es mayor. Por esta misma razón, una regla adicional del póquer, es que una vez se han repartido las cartas, se le da a cada jugador la opción de cambiar una de sus cartas para aumentar sus probabilidades de éxito. De hecho, dependiendo de cómo se haya decidido jugar, este procedimiento se repite una o dos veces más, aumentando así las probabilidades de obtener una mano favorable para ganar el juego. Recuerda que todos los jugadores tienen la misma probabilidad de mejorar su mano, por lo que siempre se está jugando con probabilidades. Sin embargo, es la decisión de cada jugador cambiar o no una carta y qué carta cambiar, por lo que en dicho caso cuenta mucho el conocimiento del jugador en cuanto al manejo de combinaciones y probabilidades. Todo esto nos indica que podemos saber qué tan probable es obtener una mano de póquer, y esto lo podemos saber gracias a la combinaciones y permutaciones en matemáticas. Las combinaciones no se limitan únicamente al póquer, pueden aplicarse a muchos otros casos en los que se usan distintos valores combinados para determinar un resultado, como por ejemplo en un candado que tiene clave numérica, o por ejemplo las claves personales que utilizas para acceder a tus cuentas de correo o de redes sociales en internet. Pensemos en el ejemplo más trivial y luego lo podremos expandir al mismo juego de póquer para ver cómo funciona éste.

2 Imagina un candado que utiliza números para abrirse, como el siguiente: Para hacerlo gráficamente veamos la siguiente figura, tenemos rectángulos de dos colores, gris y amarillo. Al combinarlos sin repetición de alguno de ellos encontramos que tenemos dos combinaciones en total, observa que tenemos 2 rectángulos o posiciones que dejamos fijas, mientras que varía una de ellas, esto se expresa entonces como 2 1. Observa la figura a continuación: Ahora supón que este candado en vez de tener tres espacios para lograr la clave correcta, únicamente tuviese dos espacios; observa que cada espacio consta de 10 números (0, 1,2 9). Cuenta mentalmente cuántas combinaciones pueden haber para que el candado pueda abrirse. Ya lo has hecho? Si contaste 100 distintas combinaciones lo hiciste correctamente. En este caso es fácil, pues basta con combinar cada digito desde el cero hasta el 9 con cada uno de los dígitos desde el cero hasta el 9: 00,01,02 09, 10,11, 12, 20,21, 30,31, hasta 90,91,92, 99. Pero, qué sucede cuando hay 10 espacios? Como se vuelve complejo el procedimiento, existe uno ordenado para saber cuántas combinaciones existen y no hace falta contar la cantidad de combinaciones para saberlo. Veamos bien cómo se realiza esto, simplifiquemos aún un poco más el caso. Supongamos que tengo dos elementos que combinar (sin repeti- ción): A y B. Qué combinaciones puedo obtener cuando no repito ninguno de ellos? Observa: AB BA Esto es muy fácil obtener, pues hay únicamente 2 elementos y no se pueden repetir. Ahora imagina este caso con tres elementos, A, B, C. ABC ACB BAC BCA CAB CBA Como puedes ver, en vez de 2 combinaciones, ahora tenemos 6. Cómo llegamos matemáticamente a este resultado? Observa la siguiente ilustración: Tenemos rectángulos de tres colores: amarillo, gris y rojo. Podemos observar que al combinarlos sin repeticiones de ninguno de los rectángulos, obtenemos 6 distintas combinaciones y tenemos un arreglo más que en el caso anterior; es decir, que cuando tenemos tres posiciones fijas, nos quedan dos elementos para variar, y luego éstas se vuelven posiciones fijas para las cuales tenemos un elemento que podemos variar, lo cual se expresa matemáticamente como

3 Puedes imaginar cuántas combinaciones tendríamos si tuviésemos 4 distintos elementos? Si pensaste en , tu idea es correcta. De hecho este concepto se expande a cualquier cantidad de elementos y en matemáticas se llama factorial. El factorial de un número n se define como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a n. El factorial se denota como n!. Formalmente, la definición es:, donde Π es el símbolo que indica producto. Por ejemplo, el factorial de 5 es: 5!= = 120 Observa qué tan rápido incrementan las combinaciones, de hecho el factorial de 9 es 362,880 y el de 20 es 2,432,902,008,176,640,000! Con esta información puedes imaginar qué tan difícil es obtener la mano más alta en un juego de póquer (una flor imperial). Pronto veremos cómo encontrar esto. Por ahora recordemos el ejemplo del candado con dos o tres números. Recuerdas que el candado de 2 posiciones tiene 100 combinaciones posibles? Esto también es parte de una combinación y la podemos encontrar numéricamente. En este caso, la única variante con respecto a los últimos ejemplos que vimos, por ejemplo en el que combinamos A y B, es que tenemos la posibilidad de repetir elementos, a la vez que tenemos más elementos con la misma cantidad de posiciones. Llamémosle a la cantidad de posiciones r, y a la cantidad de elementos n. En ese caso la cantidad total de combinaciones está dada por: n r Así por ejemplo en el caso de 2 posiciones y 10 números,, la cantidad total de combinaciones está dada por: 10 2 = 100 Con esta información, se vuelve más fácil calcular la cantidad de combinaciones del candado que tiene tres posiciones, sin tener que contarlas mentalmente, pues está dada por: 10 3 = 1000 A un arreglo en el cual el orden es importante, y por ende indica más posibles combinaciones, se le llama permutación. Por lo que estos candados que observamos en los ejemplos son llamados candados de permutación. En este capítulo aprenderemos precisamente sobre combinaciones y permutaciones y sus aplicaciones. 140

4 10.1 permutaciones Una permutación de un conjunto finito de elementos se entiende como cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto e interesa el lugar que ocupa cada uno. Existen dos tipos de permutaciones: 1. En las que se permite repetir elementos del conjunto : por ejemplo la clave del candado de tres espacios de arriba, podría ser Sin repetición: por ejemplo los tres mejores alumnos de tu clase. Uno no puede ser el primero y el segundo al mismo tiempo. Una combinación es un arreglo de los elementos de un conjunto finito en el que el orden no importa. La principal diferencia entre una combinación y una permutación, es que el orden es importante en las permutaciones y en las combinaciones no lo es. Así por ejemplo, podría decir que mi ensalada es una combinación de lechuga, tomate, pimientos y cebolla (a la vez podría decir que es una combinación de cebolla, tomate, pimientos y lechuga), pero no podría decir que la combinación de mi candado es 2-6-1, si éste se abre con 1-2-6; es decir que estoy utilizando los mismos elementos pero en distinto orden, y esto no es así cuando se trata de una permutación. En este sentido, una permutación de un conjunto finito S, de n elementos, es equivalente a la biyección de {1,2 n} a S, en el cual, cualquier elemento i puede ser mapeado al i-ésimo elemento de la secuencia. En este sentido, existen n! permutaciones de S. En términos sencillos, podemos decir que : el número de permutaciones que tiene un conjunto finito de elementos es igual al factorial de ese número de elementos. Así por ejemplo, el conjunto S 1 ={1,2,3}, tiene las permutaciones: {1,2,3}, {1,3,2},{2,1,3},{2,3,1}, {3,1,2},{3,2,1}, y el total de permutaciones está dado por 3!=6 Recordemos En las permutaciones el orden es importante (es decir que cada arreglo aún si tiene los mismos elementos pero en diferente orden se contabiliza), mientras que en las combinaciones el orden no es importante (es decir que dos arreglos con los mismos elementos en diferente orden cuentan como uno solo). 141

5 A. Permutaciones con repetición Éste es el caso que vimos en la introducción que se refería al candado de permutación en el que la cantidad de permutaciones que se puede obtener depende de la cantidad de elementos disponibles para cada posición, y de la cantidad de posiciones. Llamemos de nuevo a la cantidad de elementos n, y a la cantidad de posiciones r, entonces vemos que: Es decir que tenemos n cantidad de elementos en cada posición, por lo que la cantidad de permutaciones, será n n n multiplicado tantas veces como posiciones existan, en este caso, como podemos ver en la ilustración, r veces. Entonces, de forma general podemos decir que la fórmula para el número de permutaciones con repetición es: n r Ejercicio: Basado en las permutaciones con repetición, calcula cuántas posibles claves podría tener un sitio de internet si te piden utilizar 8 caracteres. Te piden que la clave tenga letras y números. Asume que hay 26 letras en el teclado y 10 dígitos posibles (del 0 al 9). Respuesta: 36 8 = 2,821,109,907,456 Si probásemos manualmente cada clave posible, asumiendo que nos toma 5 segundos ingresar la clave, enviarla y recibir una notificación del sitio que la clave es incorrecta, nos tomaría 447,284 años probar todas las claves! B. Permutaciones sin repetición Las permutaciones sin repetición también las vimos en la introducción. En este caso las permutaciones no pueden ser tantas como cuando hay repetición, pues a cada espacio de la permutación le corresponde un único elemento para cada arreglo del resto elementos de dicha permutación, en vez de n posibles elementos. Recuerda nuestra ilustración de la introducción con rectángulos de colores al respecto de este concepto. Otra forma de visualizar esta idea es la siguiente, tomemos el conjunto de letras {C,R,O,S,A}, en este caso los conjuntos {O,S,C,A,R} y {R,O,S,C,A} son permutaciones del conjunto mencionado, pero la permutación {S,A,R,R,O} no lo es pues en ella se repite un elemento (al menos no es una permutación sin repetición como las que estamos tratando ahora). Con esta idea en mente, tomemos un conjunto S de tamaño n, para éste, existen n posibles permutaciones cuando dejamos fijo el primer elemento o variamos únicamente el primer elemento. Después de haber utilizado el primer elemento, nos quedan n-1 permutaciones disponibles, después de haber utilizado el segundo nos quedan n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última permutación, 1. Por eso, cuando estamos tomando todos los elementos de un conjunto, el 142

6 cálculo del número de permutaciones posibles se realiza de la siguiente manera: Lo cual en notación de permutaciones y factoriales se escribe de la siguiente forma Observa que con esta propiedad también se cumple con la propiedad del factorial de 0. n(n-1)(n-2)(n-3) 1 En notación formal, se escribe n! y como vimos antes, a esto se le llama el factorial de un número. Le llamaremos a la cantidad de elementos de la permutación r y recordemos que la cantidad de elementos del conjunto es n, como estamos utilizando en este caso todos los elementos del conjunto, en este caso r=n. Entonces la notación para la cantidad de permutaciones es la siguiente: P =n!, cuando r=n n r Veamos un ejemplo. Toma el conjunto S={a,b,c,d}. Todas las permutaciones de 2 elementos sin repetición que se pueden obtener de este conjunto son las siguientes: {a,b} b,a},{a,c},{c,a},{a,d},{d,a} {b,c}{c,b}{b,d}{d,b} {c,d}{d,c} El total de permutaciones es 12. Ahora calculemos la cantidad de permutaciones con la fórmula que aprendimos: Factorial de Expresado de otra forma: Veamos un ejemplo, tomemos por ejemplo el caso en el que n=4 y m=7, entonces: Ahora pensemos en otro caso, qué pasa cuando r n? Es decir, qué sucede si quiero saber cuántas permutaciones de tamaño 2 tiene un conjunto de tamaño 5? Por ejemplo, para nuestro conjunto {C,R,O,S,A}, el subconjunto {R,O,S,A} es una permutación de tamaño 4, el subconjunto {R,A,S} es una permutación de tamaño 3. Entonces, la cantidad de permutaciones sin repetición de tamaño r en un conjunto de tamaño n, está dada por n (n-1) (n-2) (n-3) (n-r+1) Propiedades del factorial Se define el factorial de 0: 0!= 1 Esto es fácil de observar desde el punto de vista que el factorial de un número indica la cantidad de permutaciones posibles o arreglos, y dado el elemento 0, existe sólo una permutación posible. Factorial de n+1 (n+1)!= (n+1) n! De tal forma que podemos utilizar la propiedad mencionada, pues es evidente que se simplificarán siempre aquellos factores en el numerador con los del denominador que sean iguales o menores a m. 143

7 C. Combinaciones sin repetición Para ilustrar cómo funcionan las combinaciones sin repetición veremos cómo funciona la lotería. En este caso estamos hablando de la lotería en la cual se tiene una tómbola con cierta cantidad de bolas y a cada bola le corresponde un número. Supongamos que el resultado consta de un arreglo de 6 números y en muchas loterías el orden de los números (elementos) no importa. Por ello estamos hablando de una combinación. También al salir una bola, ésta se queda fuera y ya no puede volver a salir, por eso estamos hablando que es un evento sin repetición. Veamos un ejemplo sencillo antes de pasar a analizar las combinaciones y probabilidades de sacarse la lotería. Tomemos el conjunto S={a,b,c,d}. Qué posibles combinaciones de dos elementos existen? Recuerda que a diferencia de las permutaciones, en este caso el orden no es importante, por lo que decir {a,b} ó {b,a} es lo mismo, es decir que es la misma combinación, pues no nos importa el orden. Veamos entonces las diferentes combinaciones: {a,b},{a,c}{a,d}{b,c}{b,d}{c,d} Como puedes ver en este caso hay solamente 6 combinaciones (a diferencia de 12 permutaciones en el caso equivalente). El número de combinaciones se calcula a través de la siguiente fórmula: Otra notación que se utiliza comúnmente para referirse a una combinación es la siguiente, la cual se lee n de r en r. Calculemos las combinaciones del siguiente ejemplo: Recordemos: que el conjunto S, tenía 4 elementos, y queremos saber cuántas combinaciones existen de 2 elementos, entonces, n=4 y r=2, por lo que: Hemos encontrado la misma cantidad de combinaciones que la que encontramos anteriormente. NOTA Muchas calculadoras pueden ejecutar las funciones de combinación y permutación directamente, busca las teclas, que por lo regular indican npr y ncr, para permutaciones y combinaciones respectivamente, tal como se muestra en la imagen. 144

8 Ejercicio: calcula la cantidad de combinaciones de 3 elementos que pueden haber en un conjunto de 5 elementos, es decir 5 C 3. Veamos cómo se realiza esto en la calculadora (observa que en este ejemplo se está utilizando una calculadora Casio fx-82es, por lo que el procedimiento variará según el modelo, pero la idea general es la misma). Paso 1: Presiona la tecla del número correspondiente a n, en este caso 5. Paso 2: Presiona la tecla shift y luego presiona la tecla (o aquélla en la que se encuentre designada ncr ) Paso 3: Presiona el número correspondiente a r, en este caso 3. 2 Paso 4: Presiona la tecla = y obtén el resultado. Como puedes ver el resultado es 10. Compruébalo:

9 EJEMPLO 10.1 En una lotería determinada se cuenta con una tómbola que tiene 49 bolas numeradas. Para ganar la lotería, es necesario tener la combinación correcta de 6 bolas. Esto significa que basta con que tengamos los mismos números en nuestro billete de lotería, pero no hace falta que aparezcan en el mismo orden. Calcula cuántas combinaciones posibles existen y luego determina la probabilidad de que alguien gane la lotería. Solución: Como tenemos 49 bolas numeradas y necesitamos saber cuántas combinaciones de 6 elementos existen, diremos que n=49 y r=6. Entonces: Esto significa que en ese caso existen 13,983,816 combinaciones, por lo que la probabilidad de ganar la lotería con un billete es de 1 en 13,983,816. Expresado en porcentaje sería lo siguiente: Ejemplo: Ahora regresemos al tema de la introducción de este capítulo, cómo calcular la probabilidad de obtener un póquer una vez nos han repartido una mano? Veamos entonces lo siguiente, necesitamos saber el total de combinaciones que hay inicialmente: si tenemos un total de 52 cartas y nos reparten 5, significa que el total de combinaciones está dado por 52 C 5. Luego, debemos encontrar cuántas combinaciones de póker se pueden obtener, para lo cual debemos observar que existen 13 distintos tipos de cartas (A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K) y necesitas obtener 1 de estos tipos. Además de ello necesitas que se repita ese tipo de carta 4 veces con los 4 distintos manjares que hay; corazones, diamantes, tréboles y espadas, por lo que la cantidad de combinaciones de póker que hay está dada por 13 C 1 4 C 4. Posterior a eso recordemos que aún falta que nos repartan 1 carta más, pues una mano de un póquer tiene 5 cartas. Como en teoría tenemos un póquer en la mano ( o al menos hemos contabilizado todas las posibles manos de póquer), sabemos que quedan 12 tipos de cartas en vez de 13, y necesitamos obtener 1 carta cualquiera de los 4 manjares que hay, por lo que la cantidad de combinaciones que hay del resto de cartas está dado por 12 C 1 4 C 1. Si utilizamos estas combinaciones, la probabilidad de obtener un póquer está dada por la siguiente expresión Así que en porcentaje, la probabilidad de obtener un póquer en una mano, es de 0.024%. 146

10 D. Combinaciones con repetición Supón que puedes elegir 3 ritmos de música para las siguientes canciones que van a sonar en la fiesta y sabemos que hay un total de 5 ritmos disponibles. Cómo podríamos saber cuántas combinaciones hay en total? En esta ocasión los podemos repetir. Supongamos que los ritmos disponibles son los siguientes: a. Dubstep b. Salsa c. Reggae d. Punk Rock e. Reggaetón Podría ser que eligieras 3 canciones de corrido de reggae, o bien 1 canción de salsa y 2 de reggaetón. No importa, el punto es las combinaciones que podemos hacer. Veamos esta idea con una ilustración Dubstep Salsa Reggae Punk Rock Reggaetion Supón que tenemos un robot al cual le damos la instrucción de seleccionar los ritmos, y en este caso le pedimos que escoja 3 canciones de reggae. Los ritmos están colocados en una consola tal como aparecen en el cuadro de arriba, y para pedirle al robot que seleccione las canciones le damos instrucciones de avanzar cada vez que no queremos un ritmo y parar cada vez que queremos uno. Al avance lo simbolizaremos con una flecha, y al detenimiento con un círculo. Entonces, como queremos 3 canciones de reggae, le daríamos la siguiente instrucción: Y con esto el robot termina la lista de canciones. Veamos qué sucede si quiero 1 canción de Dubstep, 1 de reggae y 1 de Punk Rock: Qué tal si quiero 2 de salsa y 1 de reggaetón?: Has notado algo en común entre todas las instrucciones que se le dieron al robot? Si observas, hay siempre 7 instrucciones que le tenemos que dar al robot, 3 que tomamos de 5 que son el total, y si a este 5 le restamos 1 ya que se refiere al resto del recorrido, podemos notar que las instrucciones son: 3+5-1=7 Lo cual podemos generalizar como r+n-1 Esto indica que siempre que queremos saber las combinaciones con repetición, tenemos r+n-1 posiciones, y si deseamos saber las r combinaciones que existen usaremos la siguiente fórmula: Si resolvemos nuestro ejemplo de los ritmos de música, veremos que tenemos la siguiente cantidad de combinaciones con repetición, 147

11 Ejercicios. 1. Las placas de circulación de vehículos de Guatemala constan de 3 letras y 3 dígitos, respectivamente. Cuántas placas diferentes pueden construirse? 2. De cuántas formas pueden colocarse 6 libros en una librera? 3. Cuántos números telefónicos de ocho dígitos existen si ninguno de ellos puede empezar con cero o con 1? 4. Luis planea pasar a comer y luego ir al cine. En cuántas maneras puede planificar esto si dispone de 5 menús diferentes y 3 películas? 5. En una clase de 30 alumnos, 20 juegan fútbol y el resto baloncesto. De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 alumnos de entre los que juegan al fútbol y 2 de entre los que juegan al baloncesto? 6. En una reunión de un grupo de amigos hay cinco hombres y seis mujeres. Para la hora del almuerzo deciden que cuatro de ellos irán al supermercado cercano a comprar comida. a) De cuántas maneras se pueden elegir a los cuatro amigos que irán? b) Y si tienen que ir dos hombres y dos mujeres? 7. Cuatro libros de matemáticas, seis de física y dos de química se van a colocar en una estantería a) Cuántas colocaciones distintas son posibles si: b) Los libros de cada materia han de estar juntos? c) Sólo los de matemáticas tienen que estar juntos? 8. En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna? 9. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?. 10. De cuántas maneras puede Susy seleccionar su ropa para una fiesta entre 5 vestidos y dos sacos de un ropero de 9 vestidos y 3 sacos? 148