Ejercicios resueltos de Matemática discreta: Combinatoria, funciones generatrices y sucesiones recurrentes.

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1 Ejercicios resueltos de Mtemátic discret: Combitori, fucioes geertrices y sucesioes recurretes. (º Igeierí iformátic. Uiversidd de L Coruñ José Muel Rmos Gozález

2 Itroducció Estos ejercicios h sido propuestos por los profesores de Mtemátic discret del curto curso de Igeierí Iformátic e l uiversidd de L Coruñ. Fuero resueltos por mí pr yudr mi hijo, e ese mometo estudite de es crrer. E mi clidd de profesor de mtemátics de eseñz secudri, tuve previmete que estudir el tem de fucioes geertrices y sucesioes recurretes pr proceder su resolució, y que los teí olviddos de mi époc de estudite. Por ello quiero dejr de mifiesto e est breve itroducció que, si bie los resultdos h sido cotrstdos e su myorí, lguos (espero que e u ífim ctidd puede coteer lgú error, tto e su solució como e su trscripció l ser escritos, o resposbilizádome de ls cosecueci que dichos errores pued iducir. J.M. Rmos Potevedr 008

3 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic CAPÍTULO I COMBINATORIA José Muel Rmos Gozález

4 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic. U úmero telefóico cost de siete cifrs eters. Supogmos que l primer cifr debe ser u úmero etre y 9, mbos iclusive. L segud y l tercer cifr debe ser úmeros etre y 9, mbos iclusive. Cd u de ls resttes cifrs es u úmero etre 0 y 9, mbos iclusive. Cuátos úmeros de teléfoo distitos puede formrse co ests codicioes? Pr l primer cifr teemos 8 csos. Pr l segud y tercer juts so RV 9, y ls resttes será RV 0,. E cosecueci el úmero de teléfoos es U empres produce cerrdurs de combició. Cd combició cost de tres úmeros eteros del 0 l 99, mbos iclusive. Por el proceso de costrucció de ls cerrdurs cd úmero o puede precer más de u sol vez e l combició de l cerrdur. Cuáts cerrdurs diferetes puede costruirse? U posible combició serí,, 87 que serí distit de,, 87, por lo que import el orde. Por otr prte os dice que cd úmero o puede precer más de u sol vez, por lo que o hy repetició. Se trt de V 00, El cosejo directivo de u empres iformátic tiee 0 miembros. Se h progrmdo u próim reuió de ccioists pr probr u uev list de ejecutivos (elegidos etre los 0 miembros del cosejo. Cuáts lists diferetes, formds por u presidete, u vicepresidete, u secretrio y u tesorero, puede presetr el cosejo los ccioists pr su probció?si tres miembros del cosejo so igeieros e iformátic cuáts de ls teriores lists tiee: u igeiero propuesto pr l presideci? b ectmete u igeiero e l list? c l meos u igeiero e l list? Llmemos los miembros,,,..., 0 U list serí,,, otr serí,5,, dode el orde import y que el primero serí el presidete, el segudo el vicepresidete, el tercero el secretrio y el curto el tesorero, es decir que l list,,, o serí l mism que l,,, y que el primer cso el presidete serí y e el segudo serí. Obvimete o hy repetició. Así pues el úmero de lists es V 0, Si tres miembros del cosejo so igeieros. E Cuáts lists hy u igeiero propuesto pr l presideci? Fijmos el presidete ( csos y vrimos los resttes. Tedrímos etoces.v 9, José Muel Rmos Gozález

5 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic b E cuts lists hy ectmete u igeiero. Teemos igeieros pr posicioes y los 7 miembros resttes los vrimos de e..v 7, c E cuts lists hy por lo meos u igeiero. Clculmos tods ls que o tiee igú igeiero y ls restmos del totl, es decir V 0, V 7,. Co ls cifrs,,,, 5 y 7 se form úmeros de cico cifrs que o teg igu repetid. Cuátos úmeros se puede formr? b Cuátos de ellos so múltiplos de y cuátos so múltiplos de? SOLUCION: Import el orde y o hy repetició V 6, b So múltiplos de los que cb e,,,, 5, 7. El cso o os vle por hber repetició. Acb e V,.... Por tto los múltiplos de so 5.0. Como hy 70 csos, cb e u cifr cocret de ls 6, 70/6 0 y como pr ser pres tiee que cbr e o, el úmero de pres que hy es U profesor del Deprtmeto de Computció tiee siete libros de progrmció diferetes e u estterí. Tres de los libros so de FORTRAN y los otros cutro de PASCAL. De cuáts forms puede order el profesor estos libros si: o hy restriccioes? b los legujes se debe lterr? c todos los libros de FORTRAN debe estr jutos? d todos los libros de FORTRAN debe estr jutos y los libros de PASCAL tmbié? Si costituye siete libros diferetes, el resultdo es P 7 7! b Los legujes debe lterr, es decir P F P F P F P y siempre debe estr colocdos sí vrido solmete los subídices. Por cd cuter de los de Pscl tego P! ters de fortr. Por tto l solució es P.P!.! c Si los libros de Fortr debe estr jutos, puedo cosiderr u bloque los tres permutdos etre sí, es decir, por ejemplo: P (FFFP P P El úmero de csos que tedrímos e es situció serí P 5 5!, pero su vez los elemetos de FFF permut etre sí P veces, por lo que el resultdo pedido será: P 5.P 5!.! José Muel Rmos Gozález

6 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic d Si los de Fortr debe estr jutos y los de Pscl tmbié teemos los dos csos FFFPPPP o PPPPFFF, es decir P, pero su vez el bloque FFF preset P csos y el bloque PPPP preset P csos. El resultdo fil serí: P.P.P!.!.! 6. De cuáts forms se puede colocr ls letrs de l plbrs POLIINSATURADO de modo que se mteg el orde e que prece ls vocles? Método Cosideremos cjs dode coteer ls letrs que compoe es plbr y ls umermos pr idetificrls del l. Como ls vocles h de ir siempre e el orde O, I, I, A, U, A, O, pr cd posició de ls vocles lo que permut so ls cosotes, es decir P 7. Ahor solo os flt ver cuts posicioes posibles tego pr ls vocles. Ahí iterviee ls cjs. Asigo u cj l vocl U posible solució serí 567, es decir que l O estrí e l cj, l I e l y e l, e l hbrí u A e l 5 u U, e l 6 u A y e l 7 u O. Otr posible solució serí (8(6. Los orderí de meor myor y l O estrí e l cj, l cj y cotedrí l I, l cj 6 cotedrí l A, l 8 serí pr l U, l pr l A y l pr l O. Cuáts de ests disposicioes de ls cjs podemos hcer? Como podemos observr el orde de ls cjs o import, es decir que el cso 567 es el mismo que el 657 y que ls vocles tiee que coservr el orde iicil. Se trt etoces de C, 7. L solució del ejercicio es P 7.C,7 Método Otr form de plterlo es sí: Puesto que ls vocles tiee siempre que estr e el mismo lugr puedo deomirls tods por V, idepedietemete de cules se. Tedrí lguos csos como: PVLVVNSVTVRVDV, PLVVVVRDTVVVNS, dode VVVVVVV siempre serí l secueci OIIAUAO. Se ve fácilmete que se trt de permutcioes co repetició y que import el orde y eiste repetició fij del elemeto V, 7 veces y cd u de ls resttes letrs vez. RP ; 7,,,,,,, Obvimete el resultdo, utilizdo mbos métodos, coduce l mism solució:!/7! 7. U mo de bridge cost de crts del cojuto de 5 de l brj frces. Cuáts mos de bridge so posibles? b De cuáts forms se le puede dr u perso 6 pics y 5 corzoes? L brj frces cost de crts por cd plo, siedo los plos: pics, corzoes, tréboles y rombos. Y ls crts de cd plo so el AS(,,,, 5, 6, 7, José Muel Rmos Gozález

7 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic 8, 9, 0, J, Q, K. Ls tres últims so el Jocker, Quee, Kig (el equivlete l sot, cbllo y rey de l brj espñol. El úmero posibles de mos es obvimete C 5, pues el orde e que esté dds ls crts o ifluye e l mo y o puede hber repetició por o hber crts repetids. b E u mo hy C, 6 de dr 6 pics, pues tego pics pr dr 6. Alogmete pr dr 5 corzoes serí C, 5. Por último me qued todví dos crts por dr pr completr l mo, de dode puedo elegir culquier que o se pics i corzoes, es decir tréboles y rombos, es decir C 6, Por tto el resultdo fil es C, 6. C, 5. C 6, 8. Cuátos úmeros eteros etre 000 y 9999 stisfce que l sum de sus dígitos es ectmete 9? Cuátos de los úmeros teriores tiee tods sus cifrs diferetes de cero? Es equivlete cuáts solucioes eters tiee l ecució y z t 9 co e y,z,t 0 Podemos utilizr l teorí de fucioes geertrices (tem siguiete y serí el coeficiete de 9 e el producto (... (..., es decir el coeficiete de 9 e (- - que es el coeficiete de 8 e (- - 9 C 8 8 b Es equivlete cuáts solucioes eters o egtivs tiee l ecució y z t 9 co,y,z y t eteros positivos Podemos utilizr l teorí de fucioes geertrices (tem siguiete y serí el coeficiete de 9 e el producto (..., es decir el coeficiete de 9 e (- - que es el coeficiete de 5 e (- - que es 8 C E u helderí se sirve 7 tipos de heldos. De cuáts forms distits se puede elegir heldos? b De cuáts mers se puede elegir heldos si tiee que hber l meos uo de cd tipo? SOLUCION: Método : Tego 7 cjs que represet los tipos de heldo. Se trt de distribuir elemetos heldos e ls cjs José Muel Rmos Gozález

8 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic Por ejemplo: ** *** **** *** sigific que hy dos heldos del tipo, del tipo, iguo del tipo, del tipo, iguo del tipo 5, del tipo 6 y iguo del tipo 7. E totl teemos RP 8;,6 8! /!.6! Método : Serí equivlete verigur cuáts solucioes eters tiee l ecució y z t u v w, co,y,z,t,u,v,w o egtivos. Podemos utilizr l teorí de fucioes geertrices (tem siguiete y serí el coeficiete de e el producto (... 7, es decir el coeficiete de e (- -7 que es b 7 8 Serí equivlete verigur cuáts solucioes eters tiee l ecució y z t u v w, co,y,z,t,u,v,w. Podemos utilizr l teorí de fucioes geertrices (tem siguiete y serí el coeficiete de e el producto (... 7, es decir el coeficiete de e 7 (- -7 que es el coeficiete de 5 e (- -7 que es U estudite debe respoder siete de ls diez preguts de u eme. De cuáts forms puede hcer su elecció si: o hy restriccioes b debe cotestr ls dos primers preguts c debe respoder l meos cutro de ls seis primers preguts Si ls preguts ls umermos del l 0, u posible respuest serí 98567, que es l mism uque lteremos el orde y o hy posible repetició. Se trt de combicioes de 0 tomds 7 7, es decir C 0,7 b Si debe respoder ls dos primers, todos los csos comezrá por y me qued cico preguts por respoder de ls 8 resttes, por tto será C 8, 5 c Si tiee que respoder l meos cutro de ls seis primers teemos: Que respod ectmete de ls 6 primers: C 6,. C, Que respod ectmete 5 de ls 6 primers: C 6,5. C, Que respod ectmete 6 de ls 6 primers: C 6,6. C, El resultdo por tto será: 6C 6, 6C 6,5 José Muel Rmos Gozález

9 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic. E u lote de 00 ordedores se sbe que 0 de ellos cotiee circuitos itegrdos defectuosos. Se seleccio u muestr de 7 ordedores de form letori pr relizr u chequeo. Cuáts muestrs cotiee: Tres circuitos defectuosos? b Al meos u circuito defectuoso? De los 7, tres h debido ser elegidos de los 0 defectuosos, es decir C 0, y el resto será de los 90 e bue estdo. Por tto l solució es C 0,. C 90, b Al meos u circuito defectuoso, serí todos meos los que o tuvier igú circuito defectuoso, esto es: C 00,7 C 90,7. Si u prtid de bridge es u prtició orded de 5 crts e cutro grupos de crts cd uo. Cuáts prtids distits de bridge se puede jugr co u brj? SOLUCION: Al primer jugdor podemos drle C 5, mos, l segudo C 9,, l tercero C 6, y l último. Solució: C 5,. C 9,. C 6,. De cuáts forms se puede distribuir u cojuto co elemetos e cojutos de elemetos? Pesemos que teemos cjs y e cd cj teemos que poer dos de los elemetos ddos. Pr l primer cj tedrímos C,, pr l segud C -,... y sí sucesivmete hst llegr l últim que os quedrí elemetos que colocr pr, es decir C, L solució será: C,. C -,. C -,. C -6,... C,. C,! (! Tmbié se puede epresr como RP ;,,..., ( veces José Muel Rmos Gozález

10 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic. De cuáts forms puede scr u jugdor cico ipes de u brj frces y obteer u full (trío más prej?; y dobles prejs? Los trios posibles que puede scr so por crt (es decir u trío de ses, u trío de jots...etc C, y como hy crts distits e cuto umerció, e totl serí.c,. Por cd trío scdo podemos scr (logmete rzodo.c,. El totl de fulles es de 69.C,.C,.. E cuto ls dobles prejs, rzodo co e el cso terior serí:.c,. pr l primer prej. Pr l segud prej serí ls misms. y pr l crt que rest, serí crts y que o puede estr igu de ls figurs que form prte de ls prejs teriores (es decir que si ls dobles prejs fuer de J y de Q, e l quit crt o podrí hber igu J ( i igu Q (, es decir 8, quedádome crts. Solució 69.C,.C,.. 5, Cuáts permutcioes de ls letrs de l plbr MISSISSIPPI o cotiee dos o más letrs I cosecutivs? SOLUCION E totl teemos RP ;,,, Tiee dos o más cosecutivs quells que l meos cotiee el bloque II mteiédose siempre juto. Cosideremos pues ls dos I cosecutivs como u sol I y tedremos I t solo. Por tto todos los csos e los que v precer l I cosecutiv dos o tres veces es RP 0;,,,, L solució l problem será: RP ;,,, - RP 0;,,, 6 De cuáts mers se puede distribuir libros distitos etre cutro iños de modo que: cd iño recib tres libros? b los dos iños myores recib libros y los dos meores dos cd uo? Método (iterpretdo por combicioes El primer iño puede recibir C,, el segudo C 9,, el tercero C 6, y el último C, Por tto l solució es C,,. C 9,. C 6,.C, b El myor recibe libros por tto puede distribuirsele C,, l otro por tto le qued C 8,, l tercero le qued C, y l último C, L solució es C,. C 8,. C,. Método (iterpretdo por permutcioes co repetició José Muel Rmos Gozález

11 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic E este cso llmo A B C D los iños. Supogmos que está sí desigdos de myor meor edd: Fijo los libros del l, y voy sigdo los iños los libros. U posible sigció serí AAA BBB CCC DDD, otr serí ABBAABCDCDCD. De est mer reprtirí los libros etre los iños y ls forms distits de hcerlo serí RP ;,,,, b E est ocsió los reprtos serí del tipo AAAABBBBCCDD, es decir que l repetició serí pr A, pr B y pr C y D. Por tto todos los posibles reprtos serí: RP ;,,, 7. Determíese el coeficiete de 9 y e: ( y, b ( y, c ( y. SOLUCION: i y i i i b (y i coef. i i c (y ( i 9 y coef. i 9 coef. 8. Determíese el coeficiete de de dode i. El coeficiete es 0 y ; i. El coeficiete es y ; i. El coeficiete es yz e ( y z, b yz e ( y z, c yz e ( y z i 0 i coeficiete de y e (y que es. Etoces el resultdo fil serí. i i (( y z z ( y. Necesrimete i. Fltrí por coocer el i i i b ( y z y z i i ( ( ( ( ( ; -i ; i, que e obtiee 0 coeficiete El problem se reduce clculr el coeficiete de yz pr (yz que es.( - i i c (( y z (z ( y ; obvimete i -, de dode i i 0 i cuyo coeficiete e z - es 9. Flt verigur el coeficiete de y e (-y que es -. José Muel Rmos Gozález

12 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic El resultdo es 9.( 6 9. Determíese l sum de todos los coeficietes de ( y 0. SOLUCION: ( 0 i 0 i 0. Ddo u úmero rel y u etero positivo, muéstrese que ( ( (... ( b ( ( ( ( (... ( SOLUCION: El desrrollo de l derech es de ((-. b El desrrollo de l derech es Newto de ((-( i i ( ( i 0 i i i ( ( ( i 0 i ( que es el biomio de Newto que es el biomio de. Determi ls forms diferetes e que se puede elegir 0 moeds de cutro grdes recipietes que cotiee moeds de diferete deomició. Cd recipiete cotiee u solo tipo de moeds. SOLUCION: Método : Si deomio los recipietes,,,. U posible elecció de moeds serí (es decir 6 del recipiete, 5 del recipiete, 7 del recipiete, del recipiete Es obvio que o import el orde y hy repetició vrible, etoces estmos te RC,0 0 Método : Equivle sber cuts solucioes eters tiee l ecució y z t 0, dode, y, z, t represet el úmero de moeds de cd tipo que tomo del recipiete,, y respectivmete: José Muel Rmos Gozález

13 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic Podemos utilizr l teorí de fucioes geertrices (tem siguiete y serí el coeficiete de 0 e el producto (..., es decir el coeficiete de 0 e (- - que es 0 0. De cuáts forms se puede colocr doce cics del mismo tmño e cico recipietes distitos si: tods ls cics so egrs? b cd cic es de distito color? SOLUCION: Método Utilizdo ls brrs y steriscos ** **** *** * ** RP 6;, o sigdo recipiete ls cics 6 55 RC 5, Método Equivle sber cuts solucioes eters tiee l ecució y z t w, dode, y, z, t represet el úmero de cics que coloco e el recipiete,,, y 5 respectivmete: Podemos utilizr l teorí de fucioes geertrices (tem siguiete y serí el coeficiete de e el producto (... 5, es decir el coeficiete de e (- -5 que es b Si so tods de distito color 5 6 Rzodo por sigció de recipiete tedrímos y fijdo ls cics, que el cso 55 o serí igul l cso 55 y que si supoemos que l primer cic es verde, e el primer cso estrí e el primer recipiete, mietrs que e el segudo cso estrí e el 5º recipiete. Cómo se iterpretrí el cso? Que tods ls cics estrí e el primer recipiete Serí RV 5, 5 José Muel Rmos Gozález

14 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic. Cuáts solucioes eters o egtivs tiee el sistem de ecucioes ; 6? Cuáts de ests solucioes verific que,, > 0? SOLUCION: tiee tts solucioes como RP ; 7,6 6 tiee tts solucioes como RP 8; 6, 8. Por cd u de ells hemos de resolver que so RP,, 598 E totl Cuáts verific que,, > 0? Coeficiete de grdo 6 de (..., que equivle l coeficiete de de 5 (- - 0 que es L solució es Cuátos úmeros turles de cutro cifrs sigifictivs tiee sus cutro dígitos diferetes e orde creciete (como 7, y 689 o e orde decreciete (como 6 y95? Cuátos úmeros turles de cutro cifrs sigifictivs tiee sus cutro dígitos e orde o decreciete (como 67, 56 y 777 o o creciete (como 75, 9966, 555? SOLUCION Primero clculmos el úmero de los que tiee sus cutro dígitos e orde creciete: 9 El 0 o puede precer por lo que el resultdo pedido so C 9, Alicemos este resultdo. Como e ls combicioes o import el orde e que se tome los elemetos, l combició 5 efectos de uestro problem es l 5, es decir que si pesmos e culquier combició de los úmeros del l 9 tomdos de e, l podemos order, obteiedo u serie co cutro dígitos e orde creciete. José Muel Rmos Gozález

15 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic 0 Si embrgo e el cso de que el orde se decreciete el úmero es C 0, porque hor el 0 puede formr prte de l serie, por ejemplo 0876, serí efectos de uestro problem el úmero 8760 que tiee todos sus dígitos e orde decreciete. 9 0 Así pues el resultdo serí E orde o decreciete serí RC 9, y que hor se permite l repetició y E orde o creciete serí RC 0,. Si los summos estrímos repitiedo los csos 0000,,, , por lo que hy que restr 0. El resultdo serí: -0 5 De cuáts forms se puede seleccior ueve bols de u bols que cotiee tres bols rojs, tres verdes, tres zules y tres blcs? SOLUCION. Equivle resolver l ecució y z t 9, co 0, y, z, t Hciédolo por fucioes geertrices, serí el coeficiete de 9 de ( que coicide co el coeficiete de 9 de (- (- - Grdo de (- Coeficiete Grdo de (- - Coeficiete El resultdo es José Muel Rmos Gozález

16 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic 6. Cuátos úmeros de l seguridd socil (secuecis de ueves dígitos tiee l meos u vez cd uo de los dígitos, y 7? SOLUCION: No tiee el : RV 9,9 ; No tiee el los mismos; No tiee el los mismos: No tiee el y el RV 8,9. No tiee el y el los mismos y el y el los mismos. No tiee el,, y, RV 7,9 Por tto teemos: RV 0,9.RV 9, 9 RV 8,9 RV 7, Si se lz u ddo cico veces, cuál es l probbilidd de que l sum de ls cico tirds se 0? SOLUCION: Los csos fvorbles so ls solucioes de l ecució y z t u 0 co,y,z,t,u 6 Es el coeficiete de 0 de l fució ( que es el grdo 5 de (- 6 5 (- -5 Grdo de (- 6 5 Coeficiete Grdo de (- -5 Coeficiete Solucio: Como los csos posibles so L probbilidd pedid es 65/7776 0,087 o del 8,7% 8. Determi el úmero de solucioes eters pr 9 dode 5 i 0 pr todo i, i SOLUCION. Equivlete clculr el úmero de solucioes eters pr 9 dode 0 i 5 pr todo i, i Es el coeficiete de 9 de (... 5 (- 6 (- - José Muel Rmos Gozález

17 Ejercicios de combitori resueltos. Mtemátic Discret. º Igeierí Iformátic Grdo de (- 6 Coeficiete Grdo de (- - Coeficiete Solució es José Muel Rmos Gozález

18 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic CAPÍTULO II FUNCIONES GENERATRICES José M. Rmos Gozález 8

19 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic. Determi l fució geertriz pr el úmero de forms de distribuir 5 moeds de u euro etre cico persos, si ( o hy restriccioes; (b cd perso obtiee l meos u euro; (c cd perso obtiee l meos dos euros; (d l perso de myor edd obtiee l meos 0 euros; y (e ls dos persos más jóvees debe obteer l meos 0 euros. L solució se correspode co el coeficiete de 5 de: (... 5 ; b (... 5 ; c (... 5 d ( 0...(... e ( (.... Ecuetre ls fucioes geertrices pr ls siguietes sucesioes. (Grimldi ,... b,,..., c, -,, -,,... d 0, 0, 0,,,,,,... e 0, 0, 0, 6, -6, 6, -6, 6... f, 0,, 0,, 0,,... g,,, 8, 6... h 0, 0,,,,,..., co 0 Obvimete so los coeficietes del desrrollo de ( i 8 i b Si derivmos f (, obtedremos f '( i., cuyos i 0 i i i coeficietes so los de l sucesió dd. Ddo que l fució geertriz de f( es ( 8, etoces l fució geertriz de l sucesió dd es 8( 7 c f(... (.f(... ( Sumdo mbs epresioes obteemos (f(, de dode f( /( d f( 5... (... Ahor bie, es fácilmete demostrble (itétese como ejercicio que l fució geertriz de l sucesió costte k, k, k, k,... es k/(-; e prticulr pr,,, será /(-, de dode: f( / (- (E geerl l fució geertriz de l sucesió 0,..., 0,,,,,,... siedo 0 los k primieros térmios, es f( k / (- e f( ( -... y plicdo el prtdo c l fució geertriz pedid es: f( 6 / ( f f( 6... (. José M. Rmos Gozález 9

20 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic -.f( ( Sumdo mbs epresioes obteemos (- f(, de dode f( / (- g f( ( -f( ( Sumdo mbs epresioes obteemos (- f(, de dode f( / (- h f( 6....(.... El segudo fctor..., es u geerlizció del prtdo g, de dode f( /(-. Determie l sucesió geerd por cd u de ls siguietes fucioes geertrices. (Grimldi f( (- b f( /(- c f( /(- d f( /( e f( /(- f f(/(- 7 - Desrrolldo el cubo del biomio, se obtiee l sucesió de coeficietes, e este cso e orde decreciete i i i (.. pr i0..., es decir: 8, -6, 5, -7 i L sucesió pedid es -7, 5, -6, 8, 0, 0, 0, 0,... b f(. /(-; ddo que /(- es l fució geertriz de l sucesió costte,,,, result que el poliomio geertriz resultte es (..., por tto l sucesió pedid es 0, 0, 0, 0,,,,,,... c f(. /(- ; ddo que /(- es l fució geertriz de l serie poliómic, como vimos e el prtdo c del ejercicio terior,... result que el poliomio geertriz resultte es (..., de dode l sucesió pedid es 0, 0, 0,, 0,, 0,, 0,... d f( / (. Dividiedo e l form usul, obteemos como cociete: por tto l sucesió es (-. -, es decir, -, 9, -7, 8, -,... e f( / (-. Dividiedo, obteemos como cociete: por tto l sucesió es -, es decir,, 9, 7, 8,,... f f(/( Como /(-, es l fució geertriz de l sucesió costte, l dd geer l sucesió -0,,,,,,,,,,... José M. Rmos Gozález 0

21 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic. E cd uo de los siguietes ejercicios, f( es l fució geertriz de l sucesió o,,,... y g( l de l sució b 0, b, b... Eprese g( e térmios de f(, pr: b y b co b b, b 7 7 y b co y 7 c b, b y b co y d b, b, b 7 7 y b 5 co,, 7 (Grimldi b tto c f( o... g( o... restdo mbs epresioes result f( g( ( -, por tto g( f( (- f( o... g( o restdo mbs epresioes result f( g( ( - ( por g( f( (- (7-7 7 f( o... g( o... f( g( ( - ( - g( f( - ( - - ( - 5 Determie l costte e el desrrollo de ( (/ 5 (Grimldi SOLUCIÓN. ( (/ 5 5 i i 5i ( ( / (. L costte es el coeficiete de grdo 0, i 0 es decir el coeficiete de 0 y como l poteci geéric de e el sumtorio es -i.( 5-i 0 i, iguldo epoetes 0- i 0, de dode i 0. Por tto el coeficiete de 0 e el desrrollo es ( José M. Rmos Gozález

22 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic 6 Ecuetre el coeficiete de 7 e (... 5 b Ecuetre el coeficiete de 7 e (... pr etero positivo. (Grimldi Como l fució geertriz de,,, es /(-. El problem se reduce hllr el coeficiete de 7 e el desrrollo de (/(- 5 (- -5, resultdo ser el úmero 5 7 combitorio ( 7 7 (* r r (* Recordemos que (, siedo u etero positivo. r r (demostrció hech e el Grimldi b Al igul que tes el problem se reduce hllr el coeficiete de 7 e el desrrollo de (/(- (- -, resultdo ser el úmero combitorio 7 6 ( Ecuetre el coeficiete de 50 e ( (Grimldi L fució geertriz socid es, como vimos e el ejercicio, prtdo d 7 /(-. Por tto el coeficiete de grdo 50 de ( 7 /(- 6.(- -6 es el coeficiete de grdo 8 de.( , que es ( Ecuetre el coeficiete de 0 e ( (Grimldi SOLUCION: E primer lugr clculemos l fució geertriz socid l bse: f( 5 6 ( Se g( y -.g( Sumdo mbos obtego g( (- 5 /(-; por tto f( (- 5 /(-. El problem se reduce hllr el coeficiete de 0, del desrrollo [ (- 5 /(-] 5 0. (- 5 5.(- -5, que se reduce su vez hllr el coeficiete de 0 e (- 5 5.(- -5. Observemos que los grdos de e el primer fctor solo puede ser 0 o eteros positivos múltiplos de 5, por tto los csos que se puede presetr so los siguietes José M. Rmos Gozález

23 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic José M. Rmos Gozález Grdos e fctor (- 5 5 Coeficiete Grdos e fctor (- -5 Coeficiete ( ( Así pues el coeficiete pedido es Pr etero positivo, ecuetre e ( ( el coeficiete de ( 7 ; (b 8 y (c r co 0 r, y r etero. (Grimldi Grdos e fctor Coeficiete Grdos e fctor ( Coeficiete Solució: b Grdos e fctor Coeficiete Grdos e fctor ( Coeficiete

24 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Solució: c Grdos e fctor Coeficiete Grdos e fctor ( Coeficiete 0 r r r- r r- r Solució: r r r 0. Ecuetre el coeficiete de 5 e los siguiete ejercicios. (- 0 b ( -5/(- c ( /(- Obvimete 0 pues el máimo grdo de ese desrrollo es. b Lo descompoemos e.( -5(- -. Así pues el problem se reduce hllr el coeficiete de e.( -5(- - Grdos e fctor ( -5 Coeficiete Grdos e fctor (- - Coeficiete Así pues el coeficiete pedido es -5. José M. Rmos Gozález

25 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic c Grdos e fctor ( Coeficiete Grdos e fctor (- - Coeficiete Así pues el coeficiete pedido es De cuáts forms se puede sigr dos doces de robots idéticos líes de motje de modo que l meos robots se sige cd lie b l meos pero o más de 9 L geertriz es ( Siedo l solució el coeficiete de. L fució geertriz (... es (- -. Y el coeficiete de e [ (- - ] equivle hllr el coeficiete de e (- - 5 que es El vlor pedido serí 5 55 b E ls cutro lies tedrímos ( Siedo l solució el coeficiete de. L fució geertriz de es (... 6 que es (- 7 (- -. Y el coeficiete de e [ (- 7 (- - ] equivle hllr el coeficiete de e (- 7 (- -. Los csos so: José M. Rmos Gozález 5

26 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Grdos e fctor (- 7 Coeficiete Grdos e fctor (- - Coeficiete El vlor pedido serí De cuáts forms puede reprtirse 000 sobres idéticos, e pquetes de 5, etre cutro grupos de estudites, de modo que cd grupo recib l meos 50 sobres, pero o más de 000 sobres? 000 sobres e pquetes de 5 so 0 pquetes, 50 sobres e pquetes de 5 so 6 y 000 sobres igules e pquetes de 5 so 0. El problem se reduce reprtir 0 pquetes igules e cutro grupos de estudites de modo que cd grupo recib l meos 6 pquetes pero o más de 0. Es decir ( , siedo l solució del problem el coeficiete de 0 Fució geertriz de (... que es 6 (- 5 (- - Por tto, el coeficiete de 0 de [ 6 (- 5 (- - ] es el coeficiete de 96 de (- 5 (- -. Los csos so: Grdos e fctor (- 5 Coeficiete Grdos e fctor (- - Coeficiete Sol: José M. Rmos Gozález 6

27 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic. Se distribuye dos cjs de refrescos, co botells de u tipo, y de otro, etre cico peritos que reliz pruebs de sbores. De cuáts forms puede distribuirse ls 8 botells de mer que cd perito recib: l meos dos botells de cd tipo; b l meos dos botells de u tipo y tres del otro? (... 5 ( L fució geertriz del problem serí ( , y l solució serí el coeficiete de 8 [.(- - ] 0 equivle clculr el coeficiete de 8 de ( que es: 8 8 b Pr ls del tipo A (... 5 y pr ls del tipo B (... 5 y que l meos h de recibir L fució geertriz que resuelve el problem es ( (... 5 y medite ls geertrices correspodietes obtedrímos: [ (- - ] 5.[ (- - ] 5 5.(- -0 Se trt de hllr el coeficiete de de (- -0 que es 0. Si se lz veces u ddo, cuál es l probbilidd de que l sum de los resultdos se 0? E cd vez teemos: Al lzr veces, l fució geertriz del problem es ( Los csos fvorbles (es decir sum 0 lo costituye el coeficiete de 0 L fució geertriz socid es f(.(- 6 /(- El problem se reduce clculr el coeficiete de 0 de [.(- 6 /(-] que se reduce su vez clculr el coeficiete de 8 de.(- 6.(- - Los csos que se preset so: José M. Rmos Gozález 7

28 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Grdos e fctor (- 6 Coeficiete Grdos e fctor (- - Coeficiete Los csos fvorbles so: Los csos posibles so Por tto l probbilidd pedid es: 0, Croli recoge diero etre sus prims pr drle u fiest su tí. Si ocho de sus prims promete dr cd u,, o 5 dólres y ls otrs dos d cd u 5 o 0 dólres, cuál es l probbilidd de que Croli jute ectmete 0 dólres? Los csos fvorbles so quellos e los que Croli jutrá 0 dólres, que viee ddo por el coeficiete de 0 de ( 5 8.( 5 0, que, hciedo ls fucioes geertrices de los poliomios bse de los dos fctores, result ser el coeficiete de 0 de l siguiete epresió: [.(- (- - ] 8. [ 5 ( 5 ] 6.(- 8.( 5 (- -8 reduciédose clculr el coeficiete de de.(- 8.( 5 (- -8 Teemos Gr e.(- 8 Coef Gr e ( 5 Coef Gr e (- -8 Coef José M. Rmos Gozález 8

29 Ejercicios resueltos de fucioes geertrices. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic José M. Rmos Gozález 9 si multiplicmos por fils ls colums sombreds y summos todos los productos, obtedrímos los csos fvorbles, que os d: Los csos posibles so 6. 8 RV RV L probbilidd pedid es: 0, De cuáts forms puede seleccior Tomás cics de u gr surtido de cics zules, rojs y mrills, si l selecció debe icluir u úmero pr de ls zules? Elecció de ls rojs... Elecció de ls mrills... Elecció de ls zules... (Cosider que 0 es pr y por tto dmite l posibilidd de que o hy bols zules e l elecció L solució es el coeficiete de e l fució (....(... cuy fució geertriz socid es (/(-.(/(-. Se reduce l coeficiete de de (/(- (/(-. D C B A ( ( ( ( ( ( A((- B (- C ( D (- Si, teemos C; de dode C ½ Si -, teemos 8D, de dode D/8 Si 0, teemos A B 5/8; AB/8 Si, teemos A-B / - /8; A-B-/8; de ls dos últims ecucioes se obtiee A/8 y B/. 0. ( 8... ( ( 0 i i i siedo el coeficiete de grdo (Se clcul el coef de grdo e cd sumdo :. ( ( 8 ( ( ( / ( / ( / 8 / ( ( 0 i i

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