PARTE 1 PROBLEMAS PROPUESTOS FACTORIAL Calcular:

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1 PARTE 1 FACTORIAL Calcular: PROBLEMAS PROPUESTOS i. 9!, (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = ii. 10! (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = iii. 11! (11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = Calcular. i. ii. iii. iv. 16! 14! 14! 11! 8! 10! 10! 13!,,, (14)! 14! (11)! 11! 8 )! ! (10)! (10)! = (16) (15) =240 = = 2184 = 10 9 =90 = = Simplificar. i. ii. iii. iv. n+1! n! n! n 2! n 1! = n+2! n r+1! n r 1! = = n+1 n n 1 n 2 1 n n 1 n 2 1 n n n 2! n 2! n 1! n+2 n+1 n n 1! = n+1 n! n! = n (n-1) = n 2 -n = 1 n n+1 n+2 = n + 1 n r+1 n r n r 1! = = (n-r) (n-r+1) n r 1!

2 PERMUTACIONES 2.34 i. Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de letras diferentes seguidas de 3 dígitos diferentes? R =26x25x10xx9x8= ii. Resolver el problema si el primer dígito no puede ser cero. R = 26x25x9x8x7= De A a B hay 6 caminos y de B a C 4. i. De cuantas maneras se puede ir de A a C pasando por B? R = 6x4= 24 ii. De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando por B? r = 4x24=576 iii. De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C sin usar el mismo camino más de una vez? R = 24x3x5= Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán (especie trineo) si uno de tres debe manejar. 1 persona. 5x4x3x2x1=120 1 persona. 5x4x3x2x1=120 1 persona. 5x4x3x2x1=120 R = 3x5x4x3x2x1= i. Hallar el numero de maneras en que cinco personas pueden sentarse en una fila. 5!=5x4x3x2x1=120 formas de sentarse. ii. Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de otra? 2!x3! = 48 maneras 2.40 Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical, si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes? R = 8! = 8x7x6x5x4! 4!2!2! 4!x2!x2! = 8x7x6x5 2!2! = 8x7x6x5 4 = 420

3 2.42 i. Hallar el número de maneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila si los hombres y las mujeres deben quedar alternados. H = niños y M= niñas 4 H x4 M x3 H x3 M x2 H x2 M x1 H x1 M = M x4 H x3 M x3 H x2 M x2 H x1 M x1 H = = 1152 ii. Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente y uno de los niños se sientan siempre junto a una niña determinada. 7C 1 =7 1H 7Hx3Mx3Hx2MX2HX1MX1H = 252 1M 7Mx3Hx3Mx2Hx2Mx1Hx1M = = 504 iii. Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente pero los dos niños mencionados no quedan en sillas adyacentes. R = = Una urna contiene diez bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas. i. De tamaño tres con sustituciones 10X10X10=1000 Formas de tomar tres pelotas ii. De tamaño tres sin sustituciones 10x9x8=720. iii. De tamaño cuatro con sustitución 10X10X10X10=10000 Formas de tomar una pelota. iv. De tamaño cinco sin sustitución 10x9x8x7x6=30240 formas de tomar cinco pelotas hallar el numero de maneras como se puede colocar en un estante 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeño de modo que los libros de igual tamaño estén juntos. 5!x4!x3!x3!=103,680 formas de colocar los libros.

4 2.55 Una clase consta de 9 niños y 3 niñas. i. de cantas maneras el profesor puede escoger un comité de 4? 12C4=495 formas de escoger un comité. ii. Cuántos comités contaran con una niña por lo menos? 12C4=495 9C4=126 12C4-9C4= =369. iii. Cuántos tendrán una niña exactamente? 3x9C3= Una señora tiene 11 amigos de confianza. i. de cuantas maneras puede invitar a 5 de ellos a comer? 11C5=462 maneras. ii. de cuantas maneras si dos son casados y no asiste uno sin el otro? 9C3+9C5=210 formas. iii. de cuantas maneras si dos de ellos no la van bien y no asisten juntos? 9C5+2x9C4=378 formas hay 10 puntos A,B en un plano, en una misma línea no hay 3: i. Cuántas líneas forman los puntos? 10C2=45 formas. ii. Cuántas líneas no pasan por A o B? 8C2=28 formas. iii. Cuántos triángulos determinan los puntos? 10C3=120 formas. iv. Cuántos triángulos de estos se forman con el punto A? 9C2=36 formas. v. Cuántos triángulos contiene el lado AB? R=8

5 2.58 Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. i. Cuántas maneras de escoger tiene? 13C10=286 ii. Cuántas, si las dos primeras son obligatorias? 11C8=165 maneras. iii. Cuántas, si una de las dos primeras es obligatoria? 2x11C9=110 formas. iv. Cuántas, si tiene que contestar exactamente 3 de las 5 primeras? 5C3=10 8C7=8 5C3x8C7=80 formas. v. Cuántas, si tiene que contestar por lo menos tres de las 5 primeras? 5C3x8C7+5C4x8C6+5C5X8C5=276 formas A una persona se le reparte una mano de póker (5 cartas) de una baraja corriente. De cuantas maneras puede recibir. i. Una escalera flor? 4x10=40 formas. ii. Un póker? 13x43=559 formas. iii. Una escalera? 10x =10200 formas iv. Un par de ases? 4C2x12C3x4 3 =84480 formas. v. Un par cualquiera (dos cartas iguales)? 13x4C2x12C3x4 3 = El alfabeto inglés tiene 26 letras de las cuales 5 son vocales. i. Cuántas palabras de 5 letras, 3 consonantes y 2 vocales diferentes, se pueden formar? 21C3x5C2x5!= ii. Cuántas de estas contienen la letra b? 20C2x5C2x5!= formas. iii. Cuántas contienen la b y contienen c? 19C1x5C2x5!=22800 formas. iv. Cuántas empiezan por b y contienen c? 19C1x5C2x4!=4560 formas. v. Cuántas empiezan por b y terminan por c? 19x5C2x3!=1140 formas. vi. Cuántas contienen las letras a y b? 4C1x20C2x5!=91200 formas.

6 PARTICIONES ORDENADAS Y DESORDENADAS 2.61 De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños? 9! 3!3!3! = De cuántas maneras pueden dividirse por igual 9 estudiantes en tres equipos? 1680/3!= De cuántas maneras se puede dividir 10 estudiantes en tres equipos? 10C4x5C2= Hay 12 bolas en una urna. De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro veces sucesivamente, todas sin sustitución? 12! 3!3!3!3! = De cuántas maneras se pueden repartir un club de 12 miembros en tres comités de5, 4 y 3 miembros respectivamente? 12! 5!4!3! = De Cuántas maneras se pueden repartir n estudiantes en dos equipos que contengan un estudiante por lo menos? 2 n De cuántas maneras se pueden repartir 14 hombres en 6 comités en los que dos sean de 3 hombres y los otros de 2? 14! 3!3!2!2!2!2! x 1 2!4! =

7 DIAGRAMAS DE ARBOL 2.68 Construir el diagrama de árbol para el número de permutaciones de a, b, c, d Los equipos A y B juegan en un torneo de baloncesto. El primer equipo que gane dos juegos seguidos o un total de cuatro juegos gana el torneo. Hallar el número de maneras como puede suceder el juego. 4P2= 12+(juegos ganados seguidos)=14 formas.

8 2.71 U n hombre está en el origen del eje x y anda un paso unidad a la izquierda o a la derecha. Se tiene después de 5 pasos si avanza 3 o se corre -2. Construir el diagrama de árbol para descubrir todas las trayectorias posibles que puede seguir. Existen 20 maneras de cómo puede suceder el juego, como se muestra en el diagrama.

9 PARTE 2 ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS 3.25Sean A y B eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que: A B i. Suceda A o no B (A u B C ) ii. Ni A ni B sucedan (A u B) C 3.26 Sean A, B y C eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que: A B C i. Sucede exactamente uno de los tres eventos A n (B u C) C ii. Suceden por lo menos dos de los eventos (A u B) u C iii. Ninguno de los eventos sucede (A u B u C) C

10 iv. Sucede A o B pero no C (A u B) u C C 3.27 Sea el caso de lanzar una moneda de centavo, una de 10 y un dado. i. Escribir el espacio muestral apropiado S={AA1,AA2,AA3,AA4,AA5,AA6,AS1,AS2,AS3,AS4,AS5,AS6,SA1,SA2,SA3, SA4, SA5, SA6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6,} ii. Expresar explícitamente los eventos siguientes: A= {que aparezcan dos caras y un numero primo}. B= {que aparezca un dos}, C= {que aparezca exactamente una cara o un numero primo}. a) Primos: 1, 2, 3,5 A= {SS1, SS2, SS3, SS5} b) B= {AA2, AS2, SA2, SS2} c) C= {AS1, AS2, AS3, AS5, SA1, SA2, SA3, SA5} iii. Exprese explícitamente el evento en que (a) A y B sucedan, (b) suceda solamente B, (c) suceda B o C. a) A n B= {SS2} b) B-(A U C)= {AA2} c) B u C= {SS2, AA2, AS2, SA2, AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5} ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD 3.28 Cuáles funsiones definen un espacio de probabilidad de S= {a 1, a 2, a 3 }? i. P(a 1 )= 1 / 4, P(a 2 )= 1 / 3, P(a 3 )= 1 / 2 NO VALIDO ii. P(a 1 )= 2 / 3, P(a 2 )=- 1 / 3, P(a 3 )= 2 / 3 NO VALIDO iii. P(a 1 )= 1 / 6, P(a 2 )= 1 / 8, P(a 3 )= 1 / 2 SI VALIDO iv. P(a 1 )=0, P(a 2 )= 1 / 8, P(a 3 )= 2 / 8 SI VALIDO 3.29 Sea P una función de probabilidad de S= {a 1, a 2, a 3 }. Hallar P (a 1 ) si i. P(a 2 )= 1 / 3 y P(a 3 )= 1 / 4 P(a 1 )= 5 / 12 ii. P(a 1 )=2 P(a 2 ) y P(a 3 )= 1 / 4 P(a 1 )= 1 / 2 iii. P({a 2,a 3 })=2 P(a 1 ) P(a 1 )= 1 / 8 iv. P(a 3 ) =2 P(a 2 ) y P(a 2 )=3 P(a 1 ) P(a 1 )= 1 / 10

11 3.30 Se carga una moneda de manera que la posición de salir cara sea tres veces la de salir sello. Hallar P (H) y P (T). P (H)= 3 / 4 P (T)= 1 / Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. hallar la probabilidad de que gane B o C. P(A u B)= 3/ En una carrera de natación la ventaja de que gane A es dos a tres y la ventaja de que B gane es de uno a cuatro. Hallar la probabilidad p y la ventaja de que A o B ganen la carrera. P(A u B)= 3/5 La ventaja es 3 a 2 ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE 3.37 De las 10 niñas de una clase. 3 tienen ojos azules, si se escogen dos niñas al azar Cuál es la probabilidad de que: S=10C 2 =45 i. Las dos tengan ojos azules? 3C 2 = 3 parejas P(Ñ=2)= 3C2 / 10C2 = 1 / 15 =6.66% ii. Ninguna tenga ojos azules? 7C 2 =21 P(A=0)= 7C 2 / 10C 2 = 7 / 15 = 46.6% iii. Una por lo menos tenga los ojos azules? P(A>=1)= 7 / / 15 = 8 / 15

12 3.40 Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al azar un comité de tres, hallar la probabilidad de: i. Seleccionar tres niños. 10C 3 =120 P(O=3) 10C3/ 16C3= 120 / 560 = 6 / 28 = 3 / 14 ii. Seleccionar exactamente dos niños 10C2*6C1=270 (PO=2)= 10C2*6C1 / 16C3 = 270 / 560 = 27 / 56 iii. Seleccionar por lo menos un niño P(O>=1)= 27 / / / 56 = 27 / 28 iv. Seleccionar exactamente 2 niñas 6C2*10C1=150 P(A=2)= 6C2*10C1 / 16C3 = 150 / 560 = 15 / De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian español, y 20 estudian francés y español. Si se escoge un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante: i. Estudie francés y español F n E = {20} p (F n E) = 20 / 120 = 10 / 60 = 5 / 30 = 1 / 6

13 ii. No estudie francés ni español (F u E) C = {30} P (F u E) C = 1-P 8 (F u E) = 1-3 / 4 = 1 / niños y 3 niñas se sientan en una fila. Hallar la probabilidad de que 1/5 i. Las tres niñas se sienten juntas ii. Los niños y las niñas se sienten alternados 1/10 ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS PARTE sean a y b eventos. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama de ven para el evento donde: a) Ocurra a o no b. (AUB)C b) Ni a ni b sucedan. (AUB)C 3.37 sean a, b y c eventos. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama de ven para el evento: a) Ocurra a o c, pero no ocurra b. (A u B) u CC b) Ocurra exactamente uno de los tres eventos. A (B u C) C c) Ninguno de los eventos ocurra. (A u B u C) C d) Al menos dos de los eventos ocurran. (A u B) u C

14 3.38. Se lanza una moneda de un centavo, una de diez y un dado. Describa el espacio muestral S apropiado y encuentre n(s). S {AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6, AS1, AS2, AS3, AS4, AS5, AS6, SA1, SA2, SA3, SA4, SA5, SA6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6}. n(s)= para el espacio S en el problema 3.38 exprese explícitamente los eventos siguientes. A. {aparecen dos caras y un número par}. B. A= {AA2, AA4, AA6}. ] C. {que aparezca un numero dos}. B = {AA2, AS2, SA2, SS2}. D. {exactamente una cara y un número impar}. C = {AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5} para los eventos a, b, c en el problema 3.39exprese explícitamente el evento: a) A y B. (A B) = {SS2}. b) Solamente B B - (A C) = {AA2}. c) B y C. (B C)= AS2, SA2}. d) A pero no B. (A u BC) = {AA4, AA6}. Espacios equiprobables finitos determine la probabilidad de cada evento: a) Que al lanzar un dado equilibrado aparezca un número impar. número de caras impares A = 3 6 número total de caras b) Que al lanzar cuatro monedas equilibradas aparezcan 1 cara o mas. 4 * 4= formas 16 c) Que al lanzar 2 dados equilibrados ambos números excedan de cuatro. 6*6=36 4 formas 36 d) Que aparezca exactamente un 6 al lanzar 2 dados equilibrados. = 10 formas 36

15 e) Que aparezca una carta roja o una figura cuando una carta se selecciona aleatoriamente de un naipe de 52 cartas hay tres tornillos y tres tuercas en una caja. Se escogen dos partes al azar. Encuentre la probabilidad de que uno sea tornillo y la otra tuerca. 3 5 Formas, porque ambos tienen la misma probabilidad, ya que son la misma cantidad de 3, en la caja y suman 6, pero se descuenta 1, debido a que es el que se puede sacar al azar una caja contiene dos medias blancas, dos medias azules, y dos medias rojas. Se sacan 2 medias al azar. Encuentre la probabilidad de que sean pareja (del mismo color) = 6 6C2= = de 120 estudiantes, 60 están estudiando francés, 50 están estudiando español y 20 están estudiando francés y español. Se elige un estudiante al azar. Encuentre la probabilidad de que el estudiante este estudiando: a) Francés y español. F E= {20} P (F E)= = =1 6 b) Francés o español. F u E = {90} c) Ni francés ni español. (F u E) c = {30}= 1 4 P (F u E) =1 P (F u E) = 1- = 1 4 d) Solamente español. F (F E)= F- E= {40}= 1 3 e) Exactamente uno de los dos idiomas de diez niñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Dos de las niñas se escogen al azar. Encuentre la probabilidad de que: a) Ambas tengan ojos azules. 3C2 =3 pareas. b) Ninguna tenga ojos azules. 7C2= 21 parejas. P (A=0)= 7C2 10C2 =21 = 7 = = 46.6%

16 c) Al menos una tenga ojos azules. P (P 1)= 7 15 =1= 8 = = = 53.3 % 5 15 d) Exactamente una tenga ojos azules. 3C2 * 7= 21 pareas. 3C2 7C2 P (A=1)= 10C2 =21= 7 = 0.466=46.6% hay 10 estudiantes en una clase. Selecciona un comité de tres de la clase. Encuentre la probabilidad de que: a) A pertenezca al comité b) B pertenezca al comité c) A y b pertenezca al comité. A+B= 2 d) A o B pertenezca al comité ESPACIOS DE PROBABILIDAD FINITOS 3.49 Bajo cuál de las siguientes funciones se convierte S = {a1, a2, a3} en un espacio de probabilidad? (a) P (a 1 ) =0.3 P (a 2 ) = 0.4, P (a 3 ) = 0.5 (b) P (a 1 ) = 0.7 P (a 2 ) = -0.2, P (a 3 ) = 0.5 (c) P (a 1 ) = 0.3 P (a 2 ) = 0.2 P (a 3 ) = 0.5 (d) P (a 1 ) = 0.3, P (a 2 ) = 0, P (a 3 ) = Se ha alterado el peso de una moneda de manera que la probabilidad de que salga cara es tres veces mayor que la probabilidad de que salga sello. Encuentre P (H) y P (T). 4 4 P (H)= Suponga que A y B son eventos con P (A) = 0.7 P (B) = 0.5, y P (A n B) = 0.4. Encuentre la probabilidad de que: (a) no ocurra A. P (A) = 1 P (A) = 1-0.7= 0.3.

17 (b) ocurra A o B. P (A u B)= P (A)+ P (B)- P (A B). = = 0.8 (C) ocurra A pero no ocurra B. P (A) P (A B)= = 0.3. (d) no ocurra A ni B. P (A u B) = 1- P (A u B) =1-0.8 = Considere la siguiente distribución de probabilidad: Resultado Pobabilidad Considere los siguientes eventos: A = {número par, B = {2, 3, 4, 5} C = {1, 2} Encuentre: (a) P (A), (b) P (B), (c) P (C), (d) P (Ø), (e) P (B n C c ) 3.54 Para los eventos A, B, C en el problema 3.52, halle: (a) P (A n B), (b) P (A u C), (c) P (B n C), (d) P (A c ), (e) P (B n C c ) Hay tres estudiantes A, B, C en una competencia de natación, A y B tienen la misma probabilidad de ganar y cada uno tiene el doble de probabilidad de ganar que C. Encuentre la probabilidad de que (a) B gane 2 5 (b) C gane 1 5 (c) B o C gane 3 5

18 3.55 Sea P una función de probabilidad en S = {a1, a2, a3}. Encuentre P (a1) si (a) P (a 1 ) = 0.3, P (a 3 ) = 0.5; (b) P (a 1 ) = 2 P (a 2 ) y P (a 3 ) = 0.7; (c) P ({a 2, a 3 }) = 2P (a 1 ); (d) P (a 3 ) = 2P (a 2 ) = 3P (a 1 ) MIGUEL ANGEL RUIZ RAMIREZ 2 A ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

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