Simulación Computacional. Tema 1: Generación de números aleatorios

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1 Simulación Computacional Tema 1: Generación de números aleatorios Irene Tischer Escuela de Ingeniería y Computación Universidad del Valle, Cali Typeset by FoilTEX 1

2 Contenido 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme 2. Pruebas de bondad de generadores 3. Secuencias con otras distribuciones Typeset by FoilTEX 2

3 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Justicación: Uso en simulación de sistemas con componente estocástica Uso en algoritmos probabilísticos (algoritmos genéticos, redes neuronales,...) Algoritmos probabilísticos son a veces la única manera viable de resolver problemas complejos Typeset by FoilTEX 3

4 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Números aleatorios Si se habla de números aleatorios, generalmente se reere a observaciones provenientes de una variable aleatoria, con frecuencia con distribución uniforme en [0,1]. Apariencia de números aleatorias en sistemas naturales: Ruido blanco Movimiento de esporas de helecho Resultados del lanzamiento de un dado o una moneda... Para usar números aleatorios en el computador, se debe hacer el experimento y copiar los datos al computador (existen grandes bases de datos de números aleatorios) o conectar el computador a un sistema externo con componente aleatorio. Typeset by FoilTEX 4

5 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Números pseudoaleatorios Cada intento de generar datos aleatorios por computador resulta en números pseudoaleatorios la máquina tiene un número nito de estados, en algún momento repite exactamente el estado y por eso se vuelve periódico cada algoritmo de generación consiste de un conjunto nito de reglas, por eso el resultado es predecible Se busca generadores de números pseudoaleatorios, lo más parecidos a números aleatorios. Typeset by FoilTEX 5

6 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Problemas que se pueden presentar con el generador Números aleatorios Números pseudoaleatorios Son datos continuos Puede resultar en datos discretos Siguen distribución uniforme Si se divide el intervalo [0,1] en subintervalos iguales U(0,1) pueden resultar intervalos donde caen signicativamente más o menos datos que el número esperado media 1/2 media por encima o por debajo de 1/2 varianza 1/12 varianza por encima o por debajo de 1/12 Los datos son independientes: una observación no depende de las observaciones anteriores Se pueden presentar regularidades como: periodicidad autocorrelación patrones en cuanto a crecimiento patrones en cuanto a valores encima o por de bajo del valor medio Typeset by FoilTEX 6

7 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Exigencias a un generador de números pseudoaleatorios En cuanto a los datos generados: el número de observaciones en un subintervalo depende solo de la longitud período largo no hay regularidad En cuanto al algoritmo: rápido (generalmente se necesitan muchos números) poca memoria requerida Typeset by FoilTEX 7

8 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Generador linear congruente Denido por la relación de recurrencia X n+1 = (a X n + c)mod m; X 0 : semilla R n = X n m donde a se llama el multiplicador; c es el incremento y m el módulo. Se tiene 0 X n < m, por eso 0 R n < 1. Las características de un generador linear congruente dependen fuertemente de la selección de sus parámetros a, c, m y X 0. Typeset by FoilTEX 8

9 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Ejemplo X 0 = 27, a = 17, c = 43, m = 100. n X n X n+1 = (a X n + c) mod 100 R = X m 0 27 ( ) mod 100=502 mod100= ( ) mod 100=77 mod100= ( ) mod 100=1352 mod100= ( ) mod 100=927 mod100= Obviamente la recurrencia genera números entre 0 y 99, por eso, el período del generado es 100. Como vemos en este ejemplo, el período es de longitud 4. Typeset by FoilTEX 9

10 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Ejercicio en clase Generar números pseudoaleatorios usando un generador lineal congruente con X 0 = 5, a = 5, c = 13, m = 7. Cuál es su período? Typeset by FoilTEX 10

11 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Ejemplos 100 números aleatorios generados con diferentes generadores lineales congruentes 20 X 0 = 5 a = 255 c = 100 m = X 0 = 5 a = 255 c = 100 m = Typeset by FoilTEX 11

12 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Ejemplos Aplicando los mismos generadores para generar números 300 X 0 = 5 a = 255 c = 100 m = X 0 = 5 a = 255 c = 100 m = Typeset by FoilTEX 12

13 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Ejemplo: Un generador linear congruente bueno 120 a = 106 c = 1283 m = 6075 X 0 = Ventajas: El generador parece dar números con distribución uniforme en [0,1] (luego se dispondrá de una prueba más cuantitativa). Para cualquier semilla genera todos los números (período m = 6075). Limitaciones: Por su período relativamente pequeño, el generador sirve sólo si se requiere pocos números aleatorios. Parece tener regularidades (luego veremos una prueba de independencia), como se nota del gráco de los puntos generados Typeset by FoilTEX

14 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Algunas reglas para un buen generador 1. Seleccionar m muy grande (m limita el período), seleccionar c tal que c y m son primos relativos. 2. Si se toma para m una potencia de 2 o un valor cercano a una potencia de 2, el cálculo módulo es muy eciente por la representación binaria de los números en el computador. 3. Si m = 2 b y c 0 el período más largo posible es igual a m y se obtiene para c impar y a = 1 + 4k para un entero k. Si m = 2 b y c = 0 el período más largo posible es igual a m/4 y se obtiene para X 0 impar y a = ±3 + 8k para un entero k. ½De todas formas se deben realizar pruebas de uniformidad y independencia para un generador nuevo! Typeset by FoilTEX 14

15 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme El generador de estándar mínimo Propuesto por Park y Miller (1988) a = 7 5 = c = 0 m = = 2147' Como m es grande, tiene un período grande (de hecho es m 1 = ; se usan todos los números del rango con excepción de 0) No es perfecto, pero pasa la mayoría de las pruebas teóricas de aleatoriedad Requiere un procesamiento especial para no producir un overow Se debe garantizar que no se use 0 como semilla Typeset by FoilTEX 15

16 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme El generador de estándar mínimo: Desempeño Se generaron puntos con el generador de estándar mínimo. Histograma: Plot de puntos generados: Histograma con valores centrados en 100, con varianza razonable Plot de puntos generados sin regularidades visibles (Pruebas cuantitativas se verán más tarde) Typeset by FoilTEX 16

17 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme El generador de estándar mínimo: evitando overow: Factorización aproximada de m La relación de recurrencia para generadores lineales congruentes X n+1 = (a X n )mod m; X 0 : semilla puede producir un overow si m se dene cercano a MAXINT. Se evita el overow si se utiliza una factorización aproximada de m (Schrage, 1983): m a q + r donde q = m/a ; r = mmod a. Ejemplos: a = 10; m = 73 q = 7; r = 3; a q + r = 73 a = 7 5 ; m = q = ; r = 2836; a q + r = Typeset by FoilTEX 17

18 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme El generador de estándar mínimo: cálculo modular con factorización aproximada de m Aplicando la factorización aproximada y cálculo modular se puede hallar la recurrencia X n+1 = (a X n )mod m; X 0 : semilla por (a X n )mod m = { a (Xn mod q r X n /q si esto es 0 a (X n mod q r X n /q + m si no Typeset by FoilTEX 18

19 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Ejemplos: a = 10; m = 73 q = 7; r = 3; para X n = 72 se tiene (a X n )mod m = 63; por el otro lado: a (X n mod q) r X n /q = 10 (72mod 7) 3 72/7 = = 10; y sumando m se obtiene 63 a = 7 5 ; m = q = ; r = 2836; para X n =123' se tiene (a X n )mod m = ,721; por el otro lado: a (X n mod q) r X n /q = , ,576 = ,721 Typeset by FoilTEX 19

20 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme El generador de estándar mínimo: Se evita overow Para r < q; 0 < z < m 1 se puede mostrar: 0 a (z mod q) m 1 0 r z/q m 1 Es decir, durante el cálculo nunca se pasa por encima de m.. Ejemplos: a = 10; m = 73; q = 7; r = 3; para z = 72 se tiene: a (z mod q) = 10 (72mod 7) = 10 2 = 20 a = 7 5 ; m = q = ; r = 2836; para z = 123' se tiene: a (z mod q) = 7 5 (123' mod )= =471' Typeset by FoilTEX 20

21 1. Secuencias pseudoaleatorias con distribución uniforme Conclusiones 1. De un buen generador de números aleatorios se espera: la generación de datos uniformes en [0,1] con período grande sin evidencia de regularidades 2. El generador de estándar mínimo tiene estas propiedades, y es por ende apropiado para situaciones donde se depende de la generación de muchos datos (ej.: algoritmos probabilísticos) 3. Para cualquier generador nuevo se deben realizar pruebas cuantitativas (estadísticas) para vericar que tiene estas propiedades. Typeset by FoilTEX 21

22 2. Pruebas de bondad para un generador 2. Pruebas de bondad para un generador Números aleatorios tienen la propiedad de uniformidad y de independencia. Los pseudoaleatorios generados deben tener (estadísticamente) estas propiedades. Pruebas de uniformidad Prueba χ 2 Prueba de Kolmogorov - Smirnov Pruebas de independencia Pruebas de corridas Pruebas de serie Pruebas de poker Typeset by FoilTEX 22

23 2. Pruebas de bondad para un generador Ejercicio en clase: Pruebas de uniformidad El generador del ejemplo anterior (a = 106, c = 1283, m = 6075), clasicado como bueno pasa la pruebas uniformidad? frecuencia rango X 0 = 5 X 0 = 13 X 0 = El generador linear congruente con a = 106, c = 1283, m = 6075, X 0 = 5 pasa la pruebas uniformidad? rango frecuencia Typeset by FoilTEX 23

24 2. Pruebas de bondad para un generador Solución (1) 1. Generador lineal congruente con a = 106, c = 1283, m = 6075, X 0 = 5. Prueba χ 2 para un nivel de conanza de α = 0,05 rango F O F E F E χ 2 calc (F E F O) 2 Grados de libertad gl: Como no se usa los datos para estimar parámetros de la distribución, se tiene gl = 9. El valor crítico de la χ 2 con 9 grados de libertad con α = 0,05 es: χ 2 crit = 16,92 Decisión: Como χ 2 calc χ2 crit se acepta la hipótesis que los datos tienen distribución U(0, 1). Conclusión: El generador es bueno en cuanto a uniformidad. Typeset by FoilTEX 24

25 2. Pruebas de bondad para un generador Prueba Kolmogorov -Smirnov para un nivel de conanza de α = 0,05 rango F O F OA P OA P EA P EA P OA DM calc Grados de libertad gl = 999. El valor crítico de la DM con 999 grados de libertad con α = 0,05 es: DM crit 1,36/ 1000 = 0,043 Decisión: Como DM calc DM crit se acepta la hipótesis que los datos tienen distribución U(0, 1). Conclusión: El generador es bueno en cuanto a uniformidad. Typeset by FoilTEX 25

26 2. Pruebas de bondad para un generador Solución (2) 2. Generador lineal congruente con a = 106, c = 1283, m = 6075, X 0 = 5. Prueba χ 2 para un nivel de conanza de α = 0,05 rango F O F E (F E F O) 2 F E χ 2 calc Grados de libertad gl: Como no se usa los datos para estimar parámetros de la distribución, se tiene gl = 9. El valor crítico de la χ 2 con 9 grados de libertad con α = 0,05 es: χ 2 crit = 16,92 Decisión: Como χ 2 calc > χ2 crit se rechaza la hipótesis que los datos tienen distribución U(0, 1). Conclusión: El generador es malo en cuanto a uniformidad. Typeset by FoilTEX 26

27 2. Pruebas de bondad para un generador Prueba Kolmogorov -Smirnov para un nivel de conanza de α = 0,05 rango F O F OA P OA P EA P EA P OA DM calc Grados de libertad gl = 999. El valor crítico de la DM con 999 grados de libertad con α = 0,05 es: DM crit 1,36/ 1000 = 0,043 Decisión: Como DM calc > DM crit se rechaza la hipótesis que los datos tienen distribución U(0, 1). Conclusión: El generador es malo en cuanto a uniformidad. Typeset by FoilTEX 27

28 2. Pruebas de bondad para un generador Pruebas de independencia El diagrama de frecuencia de 100 pseudoaleatorios resulta en 10 datos en el intervalo [0, 0,1), 10 datos en [0,1, 0,2), etc. Entonces los números pasan las pruebas de uniformidad sin problema. Pero si se revisa los datos especícos, se encuentra que los primeros 10 números están entre 0 y 0.1, los segundos 10 entre 0.1 y 0.2 etc. Obviamente NO son aleatorios por falta de independencia. Existen muchas pruebas para la independencia que analizan si hay estructura o regularidad en los datos. Typeset by FoilTEX 28

29 2. Pruebas de bondad para un generador Corridas Una corrida es una sucesión de eventos similares. La longitud de una corrida es el número de eventos similares en la corrida. Ejemplo: Se lanza una moneda 10 veces, observando C S S C C S S S C S Las corridas son los sucesiones de eventos C y de eventos S. En el experimento obtenemos 6 corridas (3 corridas de longitud 1, 2 corridas de longitud 2 y 1 corrida de longitud 3). El número de corridas es una variable aleatoria con distribución conocida (construido a partir del experimento Bernoulli) Typeset by FoilTEX 29

30 2. Pruebas de bondad para un generador Pruebas de corridas: Principio A partir de una secuencia de números pseudoaleatorios, se construye una secuencia de eventos provenientes de un experimento Bernoulli. Se determina el valor de la variable aleatoria número de corridas, que se obtiene con la secuencia de pseudoaleatorios (corridas observadas) Dado que se conoce teóricamente esta variable aleatoria, se determina si el valor observado está suciente suciente cercano al a la media de esta variable aleatoria (dentro de un intervalo con alta signicancia) Existen varias pruebas de corrida, por ejemplo: respecto al crecimiento o decrecimiento observado en la secuencia de pseudoaleatorios respecto a obtener valores encima o por debajo de la media (1/2) respecto a la longitud de la corrida Typeset by FoilTEX 30

31 2. Pruebas de bondad para un generador Pruebas de corridas: Ejemplo Consideramos los datos Son independientes? Corridas respecto al crecimiento o decrecimiento: * Typeset by FoilTEX 31

32 2. Pruebas de bondad para un generador Desarrollo Es poco probable que una secuencia de aleatorios tiene muchas o que tiene pocas corridas: El número mínimo de corridas es 1 (secuencia creciente) El número máximo de corridas en una secuencia de N números es N 1 (cambia cada vez) Sea a la variable aleatoria que describe el número de corridas en una secuencia. Se conoce teóricamente la media µ a y la varianza σ 2 a: µ a = 2N 1 3 σ 2 a = 16N Typeset by FoilTEX 32

33 2. Pruebas de bondad para un generador Si N > 20, la distribución de a se aproxima a la distribución normal N(µ a, σ a ), es decir Z = a µ a σ a = a 2N N sigue la distribución normal centralizado N(0, 1). Dado un nivel de signicancia α, se determinan los valores críticos Z α/2 y Z α/2. Se determina el números de corridas observadas a obs Se calcula Z obs = a obs µ a σ a -Z alfa 2 Si Z obs se encuentra en el intervalo [ Z α/2, Z α/2 ], no se puede rechazar la hipótesis que los datos son independientes. Se tiene un indicio para independencia, pero sólo en el aspecto de la corridas. Si Z obs no se encuentra en el intervalo [ Z α/2, Z α/2 ], se tiene evidencia que hay dependencia en los datos. Typeset by FoilTEX 33 alfa 2 alfa 2 Z alfa 2

34 2. Pruebas de bondad para un generador Ejemplo (1) Aplicar una prueba de corridas en cuanto a crecimiento-decrecimiento a la secuencia de los 40 datos siguientes para determinar si se puede rechazar la hipótesis de independencia (usando α = 0,05). Secuencia Hay 26 corridas, es decir, a obs = 26. µ a = 2N 1 3 = 2(40) 1 3 = 26,33 σ 2 a = 16N = 16(40) = 6,79 ; por eso Z obs = 26 26,33 Comportamiento de crecimiento-decrecimiento * ,79 = 0,13 El valor crítico es Z 0,025 = ±1,96, es decir se obtiene Z obs [ Z 0,025, Z 0,025 ] Conclusión: No hay evidencia para rechazar la hipótesis de independencia. Typeset by FoilTEX 34

35 2. Pruebas de bondad para un generador Ejemplo (2) Aplicar la prueba de corridas a los datos del ejemplo introductorio: Secuencia Comportamiento de crecimiento-decrecimiento * Hay 7 corridas, por eso se obtiene Z obs = 7 26,33 6,79 = 7,42. Otra vez se tiene 40 datos, por eso µ a y σa 2 son los del ejemplo anterior. Se encuentra Z obs < Z 0,025. Conclusión: Se rechaza la hipótesis de independencia. Typeset by FoilTEX 35

36 2. Pruebas de bondad para un generador Prueba de serie Supone que se tiene una secuencia de números aleatorios. Si se agrupa la secuencia en pares, los pares deben ser uniformes en I 2. Si no son uniformes, los datos originales no son independientes. Se hace una tabla de frecuencias dos dimensional, se contrasta con la uniforme bidimensional por una prueba χ 2. Conclusión: Si se acepta la hipótesis que los datos siguen una distribución normal, no hay evidencia para dependencia en los datos. En el otro caso se encontró dependencia en los datos. Typeset by FoilTEX 36

37 2. Pruebas de bondad para un generador Ejemplo Se tiene 1200 datos pseudoaleatorios: Se forman los 600 pares: (0.41, 0.68), (0.89, 0.94), (0.74, 0.91), (0.55, 0.62), (0.36, 0.27), (0.19, 0.72)... Tabla de frecuencias de 2 dimensiones: La probabilidad teórica de cada celda es 1/25, por eso la frecuencia esperada F E es 600/25= 24. Con esta información se puede aplicar la prueba χ 2. Typeset by FoilTEX 37

38 2. Pruebas de bondad para un generador (F E F O)2 F E En la tabla se muestra el valor de Se obtiene χ 2 calc = 18,17 Grados de libertad gl: Como no se usa los datos para estimar parámetros de la distribución, se tiene gl = 24. El valor crítico de la χ 2 con 24 grados de libertad con α = 0,05 es: χ 2 crit = 36,42 Decisión: Como χ 2 calc χ2 crit se acepta la hipótesis que los datos tienen distribución uniforme bidimensional Conclusión: El resultado de la prueba no permite rechazar la hipótesis de independencia Typeset by FoilTEX 38

39 2. Pruebas de bondad para un generador Prueba de Poker Se interpreta los n dígitos decimales de un número pseudoaleatorio como una mano de un juego de cartas, que están numeradas de 0 a 9, teniendo n cartas de cada número. Si los números son independientes, se deben obtener las mismas probabilidades como las teóricas en el juego. Por ejemplo: Sea n = 3. Tenemos los eventos teóricos del juego: 3 cartas iguales probabilidad: 10/10 3 = 0,01 2 iguales, 1 diferente probabilidad: /10 3 = 0,27 3 diferentes probabilidad: /10 3 = 0,72 Con esto se puede calcular las frecuencias teóricas de N manos y contrastarlas con las frecuencias observadas en los N números aleatorios por una prueba χ 2. Si se acepta la hipótesis que los datos observados siguen la distribución teórica, no se tiene evidencia de una dependencia en los números pseudoaleatorios. Typeset by FoilTEX 39

40 2. Pruebas de bondad para un generador Conclusión 1. Las pruebas principales para revisar la uniformidad de un generador son la prueba χ 2 y la prueba de Kolmogorov-Smirnov (sirven generalmente para vericar si una variable aleatoria sigue una distribución potencial) 2. Existen muchas pruebas de independencia para poder excluir determinadas regularidades en los datos generados; cada prueba chequea un solo aspecto de una posible dependencia. Typeset by FoilTEX 40

41 3. Secuencias con otras distribuciones 3. Secuencias con otras distribuciones Principio: Se generan pseudoaleatorios con distribución uniforme U(0, 1); luego se convierten para seguir la distribución deseada. Métodos: Método de la transformada inversa Método de la convolución Método de aceptación y rechazo Typeset by FoilTEX 41

42 3. Secuencias con otras distribuciones Método de la transformada inversa Idea: Sea F la función de distribución acumulada de la distribución que se quiere generar. Sea F (a) = r. Sea p U ([0, r]) la probabilidad del intervalo [0, r], suponiendo distribución la uniforme, y p F ((, a]) la probabilidad del intervalo (, a], suponiendo distribución deseada: p U ([0, r]) = p F ((, a]) = r Es decir: si r i es una secuencia de aleatorios U[0, 1], entonces a i = F 1 (r i ) es una secuencia de números que siguen la distribución deseada F. 1 r FHxL a Typeset by FoilTEX 42

43 3. Secuencias con otras distribuciones Método de la transformada inversa para la distribución exponencial La función de distribución acumulada de la distribución exponencial con parámetro λ está dada por: F (x) = 1 e λx F (a) = r 1 e λa = r a = F 1 (r) = 1 ln (1 r) λ Nota: Se puede simplicar la generación del dato exponencial, teniendo en cuenta que la secuencia de aleatorios (1 r n ) n N tiene las mismas propiedades respecto a uniformidad y independencia que la secuencia (r n ) n N. Por eso se puede simplicar la generación del dato exponencial por: para r aleatorio en (0,1]. a = 1 λ ln r Typeset by FoilTEX 43

44 3. Secuencias con otras distribuciones Ejemplo: Generar datos con distribución exponencial con λ = 1,5 Para r = 0,5520, se obtiene a = F 1 (0,5520) = 1 ln (0,5520) = 0,3961 1,5 r a Diagrama de frecuencias de 100 números pseudoaleatorios con distribución exponencial Typeset by FoilTEX 44

45 3. Secuencias con otras distribuciones Método de la transformada inversa para la distribución uniforme U(A, B) La función de distribución acumulada de la distribución uniforme U(A, B) está dada por: F (x) = x A B A F (a) = r a A B A = r a = F 1 (r) = r(b A) + A Es decir, simplemente se multiplica el aleatorio en [0,1] con la longitud B A y se suma el punto inicial A de la uniforme U(A,B). para r aleatorio en [0,1]. a = (B A)r + A Typeset by FoilTEX 45

46 3. Secuencias con otras distribuciones Ejemplo: Generar datos con distribución uniforme U(10, 20) Para r = 0,5520, se obtiene a = F 1 (0,5520) = 0, r a Diagrama de frecuencias de 100 números pseudoaleatorios con distribución U(10, 20) Typeset by FoilTEX 46

47 3. Secuencias con otras distribuciones Método de la transformada inversa para la distribución Normal estandarizada N(0, 1) La función de distribución acumulada de la normal F N(0,1) (x) = 1 x 2π e 1 2 t2 dt, se tiene que determinar por integración numérica. Como resultado se obtiene una tabla de puntos, las valores intermedios se obtiene por interpolación lineal. A esta aproximación de la función de distribución acumulada se puede aplicar el método de la transformada inversa. Ejemplo: x F (x) (En realidad se debe tabular F en muchos puntos) Método de la inversa transformada, aplicada para la aproximación de F 1 r a 1 2 Typeset by FoilTEX 47

48 3. Secuencias con otras distribuciones Método de la transformada inversa para la distribución Normal estandarizada N(0, 1) (cont.) Para r U(0, 1) se busca en la tabla el intervalo [F (x k ), F (x k+1 )] que contiene r. r es combinación de las extremos del intervalo: r = λf (x k ) + (1 λ)f (x k+1 ); despejando λ se obtiene λ = F (x k+1) r F (x k+1 ) F (x k ). a es la combinación correspondiente de x k y x k+1 : a = λx k + (1 λ)x k+1. Typeset by FoilTEX 48

49 3. Secuencias con otras distribuciones Ejemplo: Generar datos con distribución normal N(0, 1) Para r = 0,5520, se obtiene r [0,5520, 0,8413]; = 0,847642, por eso λ = 0,8413 0,5520 0,8413 0,5 a = 0, (1 0,847642) 1 = r intervalo de r λ intervalo de a a [0,5520, 0,8413] 0, [0, 1] [0,1586, 0,5] [ 1, 0] [0,5520, 0,8413] [0, 1] [0,1586, 0,5] [ 1, 0] [0,5520, 0,8413] [0, 1] [0,5520, 0,8413] [0, 1] [0,8413, 0,9772] [1, 2] Typeset by FoilTEX 49

50 3. Secuencias con otras distribuciones Ejemplo: Generar datos con distribución normal N(0, 1) (cont.) Diagrama de frecuencias de 100 números pseudoaleatorios con la distribución que aproximan(0, 1): Notas: Obsérvese que esta aproximación no es buena dado que se usa muy pocos puntos. Para aplicaciones prácticas se deberían usar mucho más puntos tabulados. Existe un método de convolución para generar datos con distribución N(0,1) que no requiere la tabulación de la normal (ver más adelante). Typeset by FoilTEX 50

51 3. Secuencias con otras distribuciones Generación de otras distribuciones normales a partir de la normal centralizada Si se tiene datos que siguen la distribución normal estandarizada, se pueden convertir a datos con distribución N(µ, σ), aplicando la transformación a N(µ,σ) = a N(0,1) σ + µ. Ejemplo: Convertir los datos del ejemplo anterior a datos con distribución N(10, 2) r a N(0,1) a N(10,2) Typeset by FoilTEX 51

52 3. Secuencias con otras distribuciones Método de la transformada inversa para distribuciones discretas Aunque la función de distribución acumulada de una distribución discreta no tiene inversa, se puede aplicar un procedimiento parecido al método de la transformada inversa para generar distribuciones discretas. Para la distribución discreta dada por sus valores y su probabilidad (v i, p i ) se determina la probabilidad acumulada: valor probabilidad probabilidad v i p i acumulada pa i v 1 p 1 p 1 v 2 p 2 2 i=1 p i.. v n 1 p n 1 n 1 i=1 p i v n p n n i=1 p i = 1 Para r U[0, 1] se dene a = v i si r [pa i 1, pa i ) Typeset by FoilTEX 52

53 3. Secuencias con otras distribuciones Ejemplo 1: una distribución discreta empírica valor probabilidad probabilidad acumulada Por ejemplo: r a Para r U[0, 1] se dene: a = 1 si r < 0,2 5 si 0,2 r < 0,3 8 si 0,3 r < 0,8 10 si 0,8 r < 1 Typeset by FoilTEX 53

54 3. Secuencias con otras distribuciones Ejemplo 2: la distribución Bernoulli La generación de datos con distribución Bernoulli con parámetro p es muy sencillo y rápido: a = { éxito si r < p fracaso en el otro caso Ejemplo para p = 0,7 r a éxito éxito fracaso éxito éxito fracaso fracaso Typeset by FoilTEX 54

55 3. Secuencias con otras distribuciones Ejemplo 3: la distribución Binomial El método de la inversa transformada para generar una binomial (n, p) es eciente, si n es pequeño. Ejemplo: n = 6, p = 0,7 Denición de las probabilidades, usando p(i) = ( n i ) 0,7 i 0,3 n i, 0 i n valor probabilidad probabilidad acumulada Datos a con distribución binomial (0,3, 6): r a Nota: El método de convolución para generar la distribución binomial no requiere el cálculo de las probabilidades p(i) y sirve especialmente si n es muy grande (ver más adelante). Typeset by FoilTEX 55