COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI

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1 COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI AREA MATEMATICAS Las matemátcas son el alfabeto con el cual Dos ha escrto el Unverso. Galleo Galle ESTADISTICA GRADO NOVENO 0

2 Contendo UNIDAD... 6 PROBABILIDAD I (INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD)... 6 ORIGEN DE LA PROBABILIDAD... 7 PROBABILIDAD... 9 ENFOQUES DE PROBABILIDAD... ESCALA DE LAS PROBABILIDADES... 3 DIAGRAMAS DE ARBOL... 6 PROBABILIDAD:... 9 EXPERIMENTO ALEATORIO:... 9 ESPACIO MUESTRAL:... 9 ELEMENTO MUESTRAL:... 9 ENFOQUE CLASICO:... 9 ENFOQUE RELATIVO:... 9 FRECUENCIA ABSOLUTA:... 9 FRECUENCIA RELATIVA:... 9 SUCESO IMPOSIBLE:... 9 SUCESO INVEROSIMIL:... 9 SUCESO VEROSIMIL:... 9 SUCESO DUDOSO:... 9 SUCESO CERTEZA ABSOLUTA:... 9 UNIDAD II... 9 UNIDAD... 0 PROBABILIDAD... 0 (REGLAS DE LA PROBABILIDAD)... 0 REGLAS DE LA PROBABILIDAD... REGLA DE LA ADICIÓN... REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN... 7 REGLA DE LA COMPLEMENTACIÓN... 3 REGLA DEL EXPONENTE UNIDAD III... 4 UNIDAD

3 TECNICAS DE CONTEO, COMBINACIONES Y PERMUTACIONES... 4 CONTEO DE RESULTADOS PERMUTACION PERMUTACIONES CON REPETICIÓN: COMBINACIONES VARIACIONES COMBINACIONES SEGÚN EL TRIANGULO DE PASCAL UNIDAD NOTACION, SUMATORIA Y PRODUCTORIA... 6 NOTACIÓN SUMATORIA PROPIEDADES DE LA SUMATORIA PRODUCTORIA... 7 PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA... 7 BIBLIOGRAFIA

4 PRESENTACION Este módulo de estadístca conserva la flosofía y la metodología sobre las cuales se concbó y desarrollo la prmera edcón de esta obra, en él se cubren los conceptos báscos y métodos estadístcos en forma clara y concsa, las explcacones se han reducdo al mínmo a favor de la exposcón de ejemplos concretos, pretendendo que el estudante tome parte actva en la clase, lo cual ayuda muchísmo en el análss de stuacones propuestas. El módulo aborda un conocmento matemátco que desde los comenzos de la cvlzacón ha exstdo en forma senclla. En las estadístcas ya se utlzaban representacones gráfcas y otros símbolos en peles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, anmales o certas cosas. Haca el año 3000 A.C. los bablonos usaban ya pequeñas tablllas de arclla para recoplar datos en tablas sobre la produccón agrícola y de los géneros venddos o cambados medante trueque. Los egpcos analzaban los datos de la poblacón y la renta del país mucho antes de construr las prámdes en el sglo XXXI a.c. Los lbros bíblcos de Números y Cróncas ncluyen, en algunas partes, trabajos de estadístca. El prmero contene dos censos de la poblacón de Israel y el segundo descrbe el benestar materal de las dversas trbus judías. En Chna exstían regstros numércos smlares con anterordad al año 000 A.C. Los gregos cláscos realzaban censos cuya nformacón se utlzaba haca el año 594 A.C. para cobrar mpuestos. El Impero romano fue el prmer goberno que recopló una gran cantdad de datos sobre la poblacón, superfce y renta de todos los terrtoros bajo su control. Durante la edad meda sólo se realzaron algunos censos exhaustvos en Europa. Los reyes carolngos Ppno el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudos mnucosos de las propedades de la glesa en los años 758 y 76 respectvamente. Después de la conqusta normanda de Inglaterra en 066, el rey Gullermo I de Inglaterra encargó un censo. La nformacón obtenda con este censo, llevado a cabo en 086, se 4

5 recoge en el Domesday Book. El regstro de nacmentos y defuncones comenzó en Inglaterra a prncpos del sglo XVI, y en 66 aparecó el prmer estudo estadístco notable de poblacón, ttulado Observatons on the London Blls of Mortalty (Comentaros sobre las partdas de defuncón en Londres). En nuestros días, la estadístca se ha convertdo en un método efectvo para descrbr con exacttud los valores de los datos económcos, polítcos, socales, pscológcos, bológcos y físcos, y srve como herramenta para relaconar y analzar dchos datos. El trabajo del experto estadístco no consste ya sólo en reunr y tabular los datos, sno sobre todo el proceso de nterpretacón de esa nformacón. El desarrollo de la teoría de la probabldad ha aumentado el alcance de las aplcacones de la estadístca. Muchos conjuntos de datos se pueden aproxmar, con gran exacttud, utlzando determnadas dstrbucones probablístcas; los resultados de éstas se pueden utlzar para analzar datos estadístcos. La probabldad es útl para comprobar la fabldad de las nferencas estadístcas y para predecr el tpo y la cantdad de datos necesaros en un determnado estudo estadístco. Comté Área de Matemátcas UNIDAD I 5

6 UNIDAD PROBABILIDAD I (INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD) PROPOSITO Establecer y generar correctamente un espaco muestral y manejar la escala de probabldad en un expermento aleatoro. 6

7 ORIGEN DE LA PROBABILIDAD L os conceptos de azar e ncertdumbre son tan vejos como la cvlzacón msma. La humandad sempre ha debdo soportar la ncertdumbre acerca del clma, de su abastecmento de almentos y de otros aspectos de su medo ambente, y ha tendo que esforzarse por reducr esta ncertdumbre y sus efectos. Incluso la dea de juego de azar tene una larga hstora. Aproxmadamente por el año 3500 a.c., los juegos de azar eran practcados con objetos de hueso, consderados como los precursores de los dados, y fueron amplamente desarrolladas en Egpto y otros lugares. Dados cúbcos con marcas vrtualmente déntcas a las de los dados modernos han sdo encontrados en tumbas egpcas que datan del año 000 A.C. Sabemos que el juego con dados ha sdo popular desde esa época y que fue parte mportante en el prmer desarrollo de la teoría de la probabldad. En 50, cuando era estudante de la Unversdad de Padua, Herónmo Cardán escrbó el lbro sobre juegos de azar pero fue publcado en latín solo hasta 663, ochenta y sete años después de su muerte. Aunque la hstora de la probabldad se nca con la correspondenca entre Pascal y Fermat, este lbro fue texto de referenca de estos dos genos de la matemátca ya que en él se formulan mportantes deas referentes a la probabldad, a pesar de que es en esenca un lbro de juegos de azar. En esta obra se encuentra mplícta la ley de los grandes números, así como tambén en ella calcula probabldades de obtener algunos resultados en juegos de cartas y especalmente en el denomnado póker medeval. La llamada escuela probablístca o encclopédco temátca surge en Franca a partr del uso de la matemátca en el cálculo de probabldades como nstrumento de nvestgacón. Basándose en dcha correspondenca, el físco-astrónomo-matemátco alemán Chrstan Huygens, maestro de Lebnz, publcó en 656 el lbro De ratocns n ludo aleae, (Razonamentos en juegos de azar), el prmer lbro mpreso sobre probabldad. El cálculo de probabldades nace con Blase Pascal (63-66) y Perre de Fermat (60-665). Al tratar de dar solucones a problemas relaconados con juegos de azar planteados por Antono Gamboud, más conocdo con el título noblaro de caballero de Meré. Posterormente muchos otros matemátcos prestgosos como Abraham De Movre( ), Perre Smón Laplace (749-87) y Carl Fredrch Gauss ( ), hceron trascendentales aportes a esta teoría hasta convertrla en el prncpal nstrumento de análss de los fenómenos aleatoros. Durante los S. XIX y XX se destacaron algunos estadístcos como: EGON PEARSON, ( ), ANDREI KOLMOGOROV, ( ), P.L CHEBYSHEV, (8-894), ANDREI MARKOV, (856-9) y A.M LYAPUNOV (857-98). 7

8 Resuelve las sguentes preguntas:. En que se basó el desarrollo de la prmera teoría de la probabldad?. En qué tempo y quenes empezaron o se ncaron los juegos de azar? 3. Quén fue la prmera persona en escrbr un lbro sobre juegos de azar?, En qué año lo públco? 4. Quén y en qué año publcó el prmer lbro mpreso sobre probabldades? Qué ttulo recbó dcha obra? 5. Según el texto quenes pueden ser consderados como los padres de la probabldad? 6. Escrba el nombre de 3 representantes de la teoría de la probabldad en los sglos XIX y XX. 8

9 PROBABILIDAD Probabldad es el grado de ncertdumbre o creenca de que algún fenómeno o suceso pueda ocurrr y la forma de determnarlo o cuantfcarlo numércamente. La probabldad es un número entre 0 y que permte predecr la ocurrenca de un evento o suceso dependendo del entorno en el que se encuentre. Por eso la formula general de una probabldad es: 0 P(A) < (La probabldad de un suceso A es mayor o gual cero, pero menor que uno). EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel en el que una msma accón da orgen a resultados dferentes. Estos expermentos recben tambén el nombre de pruebas al azar. Dremos que un expermento es aleatoro s se verfcan las sguentes condcones:. Se puede repetr ndefndamente, sempre en las msmas condcones;. Antes de realzarlo, no se puede predecr el resultado que se va a obtener; 3. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto conocdo prevamente de resultados posbles. A este conjunto, de resultados posbles, lo denomnaremos espaco muestral y lo denotaremos normalmente medante la letra S. Los elementos del espaco muestral se denomnan sucesos elementales. ESPACIO MUESTRAL: El conjunto formado por todos los resultados posbles de un expermento aleatoro recbe el nombre de Espaco Muestral. Dcho conjunto se smbolza con la letra mayúscula S y el número total de resultados n(s). MODELACIÓN: Un Expermento de Probabldad sencllo y común que se puede efectuar es el lanzamento de una moneda. Este expermento tene dos resultados posbles: Cara (c) y Sello (s) y ambos son gualmente posbles. El conjunto {c, s} (CARA, SELLO), es un espaco muestral para el expermento. 9

10 La sguente tabla muestra cómo se aplca el espaco muestral acerca de la probabldad de otros expermentos. A. Expermento Aleatoro Resultados Espaco muestral (S) Es gualmente posble que al caer la moneda caga cara o caga sello. S = { Cara, Sello } El conjunto de los dos resultados gualmente posbles. Lanzar una moneda moneda, B. Es gualmente posble sacar al azar, cada una de las 5 cartas del póker S = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, J, Q, K } Por cada uno de los 4 palos de la baraja (Corazones, Pcas, Damantes y tréboles) Sacar una carta al azar C. Es gualmente posble que cualquera de las ses caras quede haca arrba. S = {,,3,4,5,6} El conjunto de los ses resultados gualmente posbles. Lanzar un dado D. D A C B El ndcador tene la msma probabldad de detenerse en cualquera de las cuatro regones A, B, C o D. S = {A, B, C, D} El conjunto de los cuatro resultados gualmente posbles. Grar la ruleta. 0

11 ENFOQUES DE PROBABILIDAD Exsten dos enfoques para el cálculo de probabldades: Enfoque Clásco Enfoque la de la Frecuenca Relatva. Enfoque Clásco o Probabldad Clásca: S en un expermento aleatoro exsten n (S) resultados gualmente posbles, entonces la probabldad de que un evento A ocurra es el cocente del número de resultados favorables al evento A entre el número total de resultados posbles en el expermento; es decr: P A MODELACIÓN n n A S número de resultados favorables( A) número total de resultados Se juega un dado legal (un dado que no está cargado) y se observa la cara que muestra haca arrba. Cuál es la probabldad de que caga un? El espaco muestral de este expermento tene ses resultados posbles [n(s) = 6], que son: S = {,, 3, 4, 5, 6} S A representa el evento de que aparezca el número, A = {}, entonces P (A) = 0.66 = 6.6%. Este resultado corresponde a la probabldad clásca. 6 MODELACIÓN S se tene una baraja de Póker de 5 cartas, cuál es la probabldad de sacar un As? S en una baraja exsten 4 ases (Pcas, corazones, tréboles, y damantes), entonces la probabldad de que sea un as es: 4 P (B) = = 7.6% 5 LAS PROBABILIDADES SIEMPRE DEBEN DARSE EN PORCENTAJES YA QUE ES LA FORMA MAS INDICADA DE DEFINIRLAS.

12 . Enfoque axomátco ó de la Frecuenca Relatva: Concbe la probabldad de ocurrenca de un suceso, como un número entre 0 y. Este concepto tene que ver drectamente con la nocón de frecuencas relatvas, donde 0 h MODELACIÓN Supongamos que se lanza cen veces una moneda, anotamos el número de veces que sale cara y las veces que sale sello; los resultados fueron los sguentes: Lanzamentos Número de veces que sale Cara 56 Sello 44 La probabldad para el lanzamento No 0 esta dado por: Frecuenca Absoluta: Cara: 56 veces Sello: 44 veces Frecuenca Relatva: 56/00 44/00 Probabldad: P: 56% (éxto) Q: 44% (fracaso) Hay un 56% de probabldades que en el lanzamento No 0 caga Cara y un 44% de probabldades que caga sello. P = probabldad de éxto Q = probabldad de fracaso

13 ESCALA DE LAS PROBABILIDADES Es posble establecer una escala de valores entre 0 y. La probabldad gual a uno () ó al 00% corresponde al límte superor, el cual se consdera como certeza absoluta. En el otro extremo correspondente al límte nferor tenemos la probabldad gual a 0 (cero) donde hablamos de sucesos de mposbldad absoluta. S la probabldad está entre 0 (cero) y 0.5 (50%), estamos hablando de un suceso nverosíml; cuando la probabldad es gual a 0.5 (50%), nos encontramos con un suceso dudoso; y cuando la probabldad está entre 0.5 (50%) y menos que.0 (00%), decmos que tenemos un suceso verosíml. Veamos la grafca para una mayor comprensón:.0 Certeza absoluta. Ejemplo: Morr algún día 0.5 < P <.0 Suceso Verosíml. Ejemplo: Ganar una rfa de 00 boletas comprando 60 de ellas. 0.5 Hecho Dudoso. Ejemplo: Lanzamento de una moneda. 0.0 < P < 0.5 Suceso nverosíml. Ejemplo: Ganar una rfa de 00 boletas comprando 5 de ellas. 0.0 Imposbldad absoluta. Ejemplo: Cruzar el océano nadando.. Un expermento consste en hacer grar un ndcador como el que se muestra en la fgura. 3

14 a. Encuentre un espaco muestral para este expermento. b. Cuál es la probabldad de cada resultado en el espaco muestral?. En un juego de escalera los nños lanzaron un dado 50 veces uno de los nños que estaba anotando los resultados anuncó que los números que cayeron fueron: Número Frecuenca Total 50 a) Que enfoque de la probabldad está aplcando el ejercco? Explcar. b) Determnar la probabldad de que en el lanzamento 5 salga,, 3, 4, 5, 6. 4

15 3. Decr a qué tpo de suceso pertenecen de acuerdo a la escala de probabldades: a) En un tro de bolos derrbar 8 de los 0 pnos b) Sacar un estudante de noveno al azar c) Sacar un número par en el dado d) Todos nacemos de una mujer e) M abuela tene 0 años 4. S 380 de 700 amas de casa entrevstados en un supermercado declararon que preferrían el Detergente Nuevo y Mejorado al anteror, estmemos la probabldad de que una ama de casa que esté en ese supermercado prefera el Detergente Nuevo y Mejorado A qué tpo de suceso pertenece? 5. Una muchacha recoge champñones. Accdentalmente recoge tres hongos venenosos que son cas déntcos a sete champñones que ya había recogdo. Después se come uno de los dez hongos. Cuál es la probabldad de que se haya comdo un hongo venenoso? De qué tpo de suceso estamos hablando? 6. según la escala de probabldades: a) 0,5 < P<, pertenece a. b) 0< P< 0,5, pertenece a. 5

16 DIAGRAMAS DE ARBOL Los dagramas de árbol son útles para contar resultados y para determnar probabldades de algunos sucesos. Estos se utlzan para dagramar resultados en sucesos ndependentes, es decr que nnguno de los sucesos depende de otro (s) para poder ocurrr. MODELACIÓN Determnar los posbles resultados y la probabldad de obtener dos caras y un sello en el lanzamento de tres monedas. Solucón: El espaco muestra del lanzamento de una moneda es: {Cara, Sello}, así msmo la probabldad de cualquera de los es: P (cara) = ½ = 0.5 = 50% P (sello) = ½ = 0.5 = 50% El dagrama de árbol para este ejemplo sera: C S C S C S C S C S C S C S A B C D E F G H Cada rama del árbol está marcada debdo a que la probabldad que resulte cara o sello es. Observe que para llegar al punto A en el árbol, se debe obtener cara en cada uno de los tres prmeros lanzamentos. 6

17 Para encontrar la probabldad multplcamos las probabldades a lo largo de cada rama del árbol. Así. P(A) = P (CCC) = 8 = 0.5 =.5% El resultado A (Tres caras) puede representarse medante el símbolo CCC. El resultado B (Dos caras y un sello) se denota por el símbolo CCS. El dagrama del árbol ndca que hay 8 resultados posbles para tres lanzamentos de una moneda. Puesto que todos los resultados son gualmente posbles. P(A) = P (CCC) = /8 = 0.5 =.5% P (B) =P (CCS) = /8 = 0.5 =.5%. P(C) = P (CSC) = /8 = 0.5 =.5% P (D) =P (CSS) = /8 = 0.5 =.5%. P (E) =P (SCC) = /8 = 0.5 =.5% P (F) =P (SCS) = /8 = 0.5 =.5%. P (G) =P (SSC) = /8 = 0.5 =.5% P (H) =P (SSS) = /8 = 0.5 =.5%. En hojas cuadrculadas doble examen resuelva lo sguente:. El gerente de una compañía, desea ocupar tres vacantes en dferentes cargos, a los cuales se presentan hombres y mujeres, elabore el dagrama de árbol, tenendo en cuenta que hombres y mujeres tenen la msma probabldad de ser elegdos, construya el espaco muestral y determne: a. La probabldad de que se contraten mujeres y un hombre. b. La probabldad de que se contraten hombres y una mujer.. De acuerdo al sguente ndcador realza un dagrama de árbol para el expermento de hacer grar el ndcador. El espaco muestral para el expermento es {A, B, C} A C B 7

18 La P(A) =, P (B) = 4 y P(C) = 4. El símbolo AC representa el resultado en el cual se obtene A en el prmer tro y C en el segundo. Halle la probabldad de cada uno de los sguentes sucesos: a. AA d. BA b. AB e. BB c. AC f. BC. De acuerdo al sguente ndcador, realce el dagrama de árbol para el expermento de hacer grar el círculo en dos ocasones. P (A) = /3 P (B) = /6 P (C) = /4 P (D) = /4 A B C D Halle la probabldad de cada uno de los sguentes sucesos: a. AA d. BC b. AB e. BD c. AC f. CD. S el dagrama de árbol de los puntos y 3 se aplcara a tres tros, cuántos resultados dferentes habría? a. Cuál sería P (AAA)? b. Cuál sería P (ABC)? Para el ejercco c. Cuál sería P (BCD)? d. Cuál sería P (CCD)? Para el ejercco 3 8

19 Explca brevemente los sguentes térmnos PROBABILIDAD: EXPERIMENTO ALEATORIO: ESPACIO MUESTRAL: ELEMENTO MUESTRAL: ENFOQUE CLASICO: ENFOQUE RELATIVO: FRECUENCIA ABSOLUTA: FRECUENCIA RELATIVA: SUCESO IMPOSIBLE: SUCESO INVEROSIMIL: SUCESO VEROSIMIL: SUCESO DUDOSO: SUCESO CERTEZA ABSOLUTA: UNIDAD II 9

20 UNIDAD PROBABILIDAD (REGLAS DE LA PROBABILIDAD) PROPOSITO Aplcar la regla de la adcón medante el cálculo de probabldades en sucesos mutuamente excluyentes y complementaros e nterpreta la regla de la multplcacón a través de la solucón de problemas probablístcos en sucesos dependentes e ndependentes. 0

21 LOS JUEGOS DE AZAR Como nos decía la Undad I, la teoría de la probabldad está fuertemente lgada a los juegos de azar; de allí se orgnó y fue con base en los juegos de azar que se creó la aún actual teoría de las probabldades. Vamos ahora a ver los juegos de azar más comunes en probabldades y los elementos que los conforman. Lanzamento de dos Dados En la grafca vemos el espaco muestral para el lanzamento de dos dados, uno rojo y uno azul. BARAJA ESPAÑOLA La baraja española consste en un mazo de 40 napes, clasfcados en 4 "palos" y numerados del al (no cuentan los ochos y los nueves). Certos mazos ncluyen Las fguras de la baraja española corresponden a los números 0, y, y se llaman "sota", "caballo" y "rey" respectvamente. Los cuatro palos son: oros, copas, espadas y bastos.

22 LA BARAJA DE POKER La baraja de Póker se compone de un mazo de 5 cartas, el cual se clasfca en cuatro Palos, donde cada palo se compone de 3 cartas, las dez prmeras están numeradas del al 0, las 3 restantes son las fguras y se representan con las letras J, Q y K. Los palos de la baraja de Póker son: Pcas, Corazones, Damantes y Tréboles REGLAS DE LA PROBABILIDAD Las reglas de la probabldad son operacones útles para calcular probabldades de dferentes sucesos, tenendo en cuenta el entorno y las crcunstancas como estos se presentan. Para facltar el cálculo de las probabldades se emplean cuatro leyes o reglas que son: a. Regla de la adcón. b. Regla de la multplcacón. c. Regla del exponente. d. Regla del complemento REGLA DE LA ADICIÓN En la regla de la adcón se contemplan dos tpos de sucesos: a. Sucesos Mutuamente Excluyentes: S dos o más sucesos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrr en un solo ensayo, se dcen que son mutuamente excluyentes. Se denomna probabldad adtva y será gual a la suma de las probabldades de cada suceso. P p p... p n

23 Consderemos que p, p, p 3,..., p n son las dstntas probabldades de n sucesos mutuamente excluyentes, la probabldad (P) de que uno de estos sucesos se presente en un solo ensayo, estará dada por la suma de las probabldades para cada suceso p p P... p n De acuerdo a lo anteror mutuamente excluyente sgnfca que solamente un solo suceso o evento puede ocurrr, o sea que los demás no se pueden presentar al msmo tempo. La fórmula anteror la podemos expresar de una manera más fácl y entendble: P A B P P A B P A B C P A P B P C MODELACION La probabldad de obtener un As o un rey, sacando una sola carta en una baraja Española de cuarenta cartas. S uno de los casos aparece queda excludo el otro. P A As P B Re y P A B P A P B MODELACION La probabldad de sacar un As ó un dez de corazones ó un 3 de damantes, extrayendo una sola carta de una baraja de Póker de 5 cartas. P A 4 5 P B As 5 P B Tres 5 Dez Corazones Damantes P A BoC P A P B P C % 3

24 b. Sucesos Compatbles o complementaros: Se dce que dos sucesos son compatbles, o que no son mutuamente excluyentes, cuando la posbldad de que ocurra un suceso no mpde la ocurrenca del otro. La formula general para los sucesos complementaros es: P A B P A P B P A yb Ahora, el expermento con la bajara española de cuarenta cartas consste en extraer una carta y se desea saber cuál es la probabldad de que la carta extraída sea as o copas. Observamos que al extraer una carta puede ser as, pero tambén puede ser as de copas, cumpléndose la realzacón de las dos pruebas en forma smultánea; por tal razón, se dce que los sucesos son compatbles, o tambén nos podemos referr a una probabldad conjunta. En este caso la probabldad de uno de los dos sucesos se halla así: P B la probabldad de que sea as de copas: 40 La probabldad de que aparezca un As: aparezca copas: P A la probabldad de que P AyB P A B = 0,35 = 3.5%

25 Utlzando la regla de la adcón resuelve los sguentes ejerccos.. La probabldad de obtener un tres o un cuatro en el lanzamento de un dado. Tenemos en una caja 35 bolas de 6 colores dferentes: 5 bolas azules 6 bolas negras 4 bolas blancas 7 bolas verdes 0 bolas moradas 3 bolas amarllas Qué probabldad tenemos de ganar y de perder s las premadas son las blancas las moradas y azules? 5

26 3. Al lanzar un dado Usted apuesta ml pesos a que el numero obtendo debe ser par o dvsble por 3. Cuál es la probabldad de que usted gane? 4. Consdere una baraja de Póker de 5 cartas y se desea extraer una carta. Cuál es la probabldad de obtener una J o trébol? 5. Una empresa ofrece un cargo al cual se presentan 35 asprantes de dversas profesones: 8 economstas, 6 admnstradores, 7 contadores, 0 ngeneros, 4 tecnólogos. S todos tenen el msmo chance de ser selecconados: cuál es la probabldad de que el cargo sea ocupado por?: a. Un economsta ó un ngenero? b. Un admnstrador ó un contador? c. Un contador ó un tecnólogo ó un ngenero? d. Un economsta o un admnstrador ó un contador? 6

27 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN La segunda regla de la probabldad es la regla de la multplcacón, esta al gual que la regla de la adcón se subdvde en dos tpos de sucesos que son: Sucesos ndependentes Dos o más sucesos son ndependentes, s la probabldad de presentacón de nnguno de ellos queda nfluencada por la presentacón del otro. Es decr, s el resultado de un suceso no afecta al otro estamos hablando de sucesos ndependentes. En caso contraro se dce que son dependentes. Por lo tanto se efectuará la multplcacón de las probabldades para cada suceso. S P P,,..., P son las dstntas probabldades de presentacón de n sucesos n Independentes, la probabldad (P) de que ocurran todos estos sucesos en un solo ensayo, estará dada por el producto de cada suceso. P = P P P... P. 3 n Dferencas entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos ndependentes Los sucesos ndependentes y los sucesos mutuamente excluyentes se parecen mucho, por lo tanto se deben saber dferencar, aquí algunas dferencas:. En los sucesos mutuamente excluyentes se tene un solo dado, una sola baraja una sola moneda, en los ndependentes se tene más de un elemento (barajas, dados, monedas).. En los mutuamente excluyentes se extrae una sola carta, o se obtene una sola cara del dad, es decr se espera la presentacón de un sola suceso; en lo ndependentes se espera la presentacón de dos o más sucesos. 3. En los mutuamente excluyentes se utlza la conjuncón Ó y en los ndependentes se utlza la conjuncón Y 7

28 MODELACIÓN Qué probabldad tendremos de obtener dos reyes sacando una carta de una la otra de una segunda baraja? baraja y P = = 0.0 = % MODELACIÓN Al lanzar dos dados cual la probabldad de obtener dos ases? Sucesos Dependentes: P = 0,07,7% Se dce que los sucesos son dependentes o eventos compuestos, s la ocurrenca o no ocurrenca de un evento en cualquer prueba afecta la probabldad de otros eventos en otras pruebas, es decr que la probabldad del segundo suceso depende del prmer suceso, en el tercero lo que haya suceddo en el prmero y segundo y así sucesvamente. S se van a sacar tres cartas de una baraja, se debe hacer sn reposcón, es decr al extraer una carta, ella no vuelve a formar parte del total y en vez de tener en cuenta 40 cartas, para la segunda se tendrán 39. Recordemos, que dos o más eventos son dependentes, cuando la ocurrenca de uno afecta la ocurrenca de los otros, en un orden determnado. En caso contraro los sucesos son ndependentes. La formula general será: P P P P 3... P n MODELACIÓN Probabldad de obtener 3 ases, sacando sucesvamente tres cartas de una baraja Española, sn volverlas a nclur (sn reposcón) en el montón. 4 P, 40 3 P ; 39 P 3 38 P % 8

29 MODELACIÓN En la sede de la asocacón de deportstas se encuentran reundos 6 futbolstas, 3 besbolstas, 4 tenstas 7 atletas, y 5 golfstas. S al ncar la sesón solo había Deportstas. Cuál es la probabldad de que los que se fueron sean: a. a. besbolsta y futbolsta y tensta? b. atletas y un golfsta? 3 PB ; 5 6 PF ; 4 PT 4 3 P % b. 7 P A ; 5 6 P A ; 4 PT 5 3 P %. Supongamos que se dspone de tres barajas de 40 cartas cada una. Se desea extraer tres cartas, una de cada baraja; Cuál es la probabldad de obtener un As y un Rey de oros y un ses de copas? 9

30 . Una máquna en buenas condcones de trabajo, produce un artículo defectuoso por cada 00. Los resultados correspondentes a artículos producdos sucesvamente son ndependentes. Cuál es la probabldad para que los próxmos dos artículos producdos por esta máquna no tengan fallas? 3. La probabldad de obtener un As y un Rey de bastos y un Dez de espadas, sacando sucesvamente tres cartas, sn reposcón, de una baraja de 40 cartas. 4. De una baraja de Póker de 5 cartas se desea extraer tres cartas en forma sucesva sn Reposcón, es decr, la carta que se extrae no se regresa a la baraja: cuál es la Probabldad de que en la prmera extraccón aparezca un As de Pcas y en la segunda Una Q y en la tercera un ses? 4. En la sede de la socedad de ngeneros, están reundos 5 ngeneros mecáncos, 8 ngeneros de sstemas, 7 ngeneros ndustrales, 4 ngeneros electróncos, 6 ngeneros cvles. S al ncar la sesón solo había 7 ngeneros. Cuál es la probabldad de que los que hayan saldo sean?: a. ngenero mecánco y ngenero ndustral y un ngenero de sstemas? 30

31 b. ngeneros cvl y un ngenero electrónco y un ngenero ndustral? c. ngeneros de sstemas y un ngenero cvl? d. 3 ngeneros ndustrales? REGLA DE LA COMPLEMENTACIÓN La regla de la complementacón está lgada drectamente con la teoría de conjuntos en la que se dce que s un conjunto A es subconjunto de otro conjunto unversal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. MODELACIÓN a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e } El complemento de A es A = (m, a, r) En forma gráfca: 3

32 En la teoría de las probabldades el conjunto unversal es el total de las probabldades, es decr.0 s hablamos en decmales, ó 00%, s lo expresamos en porcentajes. Las probabldades de A y A están relaconadas según la sguente gualdad: P A' P A P A P A' S A A Lo anteror se denomna regla de la complementacón MODELACIÓN Cuál es la probabldad de obtener,, 3, ó 4 cuando se arroja un dado común? En un problema de este tpo es mucho más convenente y acertado obtener prmero P(A), donde A es el evento de obtener los números 5 ó 6, que es 6 en este caso. Evdentemente, A representa el evento de no obtener un resultado de 5 ó 6, en consecuenca: MODELACIÓN P A' P A S se arrojan dos dados comunes, cuál es la probabldad de que la suma de los puntos de los dados no sea 7? En este expermento hay 36 posbles resultados, y 6 de ellos corresponden al evento A de que la suma es 7; % 3

33 A = {(,6), (,5), (3,4), (4,3), (5,), (6,)}. Suponendo que hay resultados gualmente probables, entonces, la probabldad de que A ocurra, donde A es el evento A de que la suma no sea 7, es gual a: P A P A' P A S A y B son un par de eventos defndos en un espaco muestral S, entonces la probabldad de que n A n B ocurran es: P A' B' P ' A B La anteror es la fórmula para la probabldad de que no ocurra nnguno de dos eventos. P A B S A B A B A ' B' 33

34 REGLA DEL EXPONENTE Es una forma muy senclla para determnar el número de casos posbles, en algunos problemas de probabldad. En la regla del exponente hacemos uso de la operacón denomnada potencacón donde se tene una base que está representada por el número de resultados posble y un exponente que corresponde al número de expermentos realzados. MODELACIÓN Supongamos el lanzamento de una moneda, en el cual se tendrán dos resultados cara o sello. Este valor tendrá como base el número de resultados posbles (Cara y sello) y como exponente al número de lanzamentos que hagamos, como se puede observar a contnuacón; a. En un lanzamento será : casos posbles b. En dos lanzamentos será : 4 casos posbles c. En tres lanzamentos será : 3 8 casos posbles d. En cuatro lanzamentos será : 4 6 casos posbles, etc. Y así sucesvamente, durante todos los lanzamentos que sean necesaros MOELACIÓN S consderamos el lanzamento de dados, se tendrá: a. Un solo dado será : 6 6 casos posbles b. Dos dados será : 6 36 casos posbles c. Tres dados será : casos posbles, etc. 34

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