DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL

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1 0 DISTRIUIONES DE PROILIDD DE VRILE DISRET. L INOMIL Página PR EMPEZR, REFLEXION Y RESUELVE Problema Dibuja los recorridos correspondientes a: +, + +, +, , Problema Observa que todos los recorridos que constan de RS y RUZ llegan al mismo casillero. omprueba que ocurre lo mismo en los recorridos que tienen RS y RUES o bien R y RUES. 0 RS R RS RS RS Dos caras y dos cruces significaría ir dos veces a la derecha y dos a la izquierda. Una cara y tres cruces es una vez a la derecha y tres a la izquierda. Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial

2 Página Problema Observa la serie: FIL FILS FILS FILS 6 Sabrías poner la quinta fila? Problema Observa cuál es el criterio para formar cada nueva fila a partir de la anterior en el triángulo numérico que acabamos de ver: -ª FIL -ª FIL -ª FIL -ª FIL 6 dviertes la relación que existe entre estos números y el número de posibles recorridos de un perdigón en el aparato de Galton? Los números de los extremos son unos. ada uno de los demás se obtiene sumando los dos que tiene encima. onstruye ahora las filas 5-ª y 6-ª. Fila 5ª Fila 6ª Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial

3 Página 5. alcula x y σ en esta distribución: tiempo que emplean en ir de su casa al colegio un grupo de alumnos. [Recuerda: al intervalo (0, 5] le corresponde el valor,5 ] TIEMPO (minutos) (0, 5] (5, 0] (0, 5] (5, 0] (0, 5] (5, 0] N-º DE LUMNOS 6 Hallamos la marca de clase,, de cada intervalo y hacemos la tabla: f i f i f i x i,5 5,5 7,5 8,5 68,75,5 6,5 0,5 7, ,5,5 67,5 58,75 7,5 7,5 756, Σf i 50 x = = =,5 n σ = Σ f i x i x =,5 n =,9 = 5,65 6 Página 8. En una bolsa hay 5 bolas numeradas del al 5. uál es la probabilidad de que, al sacar tres de ellas, las tres sean impares? a) Si las extracciones son con reemplazamiento. b) Si las extracciones son sin reemplazamiento a) ( ) = b) = 5 0 Página 9. alcula: ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). ( ) = ; ( ) = ; 7 ( ) = 5; 9 ( ) = 6; 50 ( ) = 0 00; 50 ( ) = 50 ( ) 0. alcula: ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). 50 ( ) ( ) = ; 50 ( ) ( ) = ; 50 ( ) = 50; 50 = 50; = = 0 00 Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial

4 Página 5. Qué valores puede tomar la variable x en cada distribución de los ejemplos,,, 5 y 7 anteriores? Ejemplo x = 0,,,, 0 Ejemplo x = 0,,,, 6 Ejemplo x = 0,,, 00 Ejemplo 5 x = 0,,,,, 5 Ejemplo 7 x = 0,,, 00. Inventa experiencias parecidas a las de los ejemplos y 6, pero que sí sean binomiales. Por ejemplo:. Extraemos una carta de una baraja, vemos si es o no OROS y la devolvemos al mazo. arajamos y extraemos otra carta. Repetimos la experiencia cinco veces. n = 5; p = 0, (5; 0,) 6. Nos preguntamos cuántos partidos ganará un equipo que juega con un equipo, los dos con la misma probabilidad de ganar, si juegan un partido diario a lo largo de 6 días. n = 6; p = 0,5 (6; 0,5) Página 9. Un profesor de idiomas tiene una clase con cuatro alumnos adultos. De los 00 días de clase, asisten,,, o ninguno de ellos, según la tabla adjunta. justa los datos a una distribución binomial y di si te parece que el ajuste es bueno o no. 0 f i La media es x =,79 omo n =, x = np,79 = p p = 0,6975 Si fuera una binomial, p = 0,6975 sería la probabilidad de que uno cualquiera de los alumnos asistiera un día a clase. q = 0,05. on este valor de p se obtiene la siguiente tabla: = P [x = ] 00 VLORES VLORES ESPERDOS OSERVDOS DIFERENIS 0 q = 0,008 0,8 pq = 0,077 7, p q = 0,67 6, p q = 0,, 8 7 p = 0,7,7 La mayor de las diferencias es 0. Es demasiado grande en comparación con el total, 00. Hemos de rechazar la hipótesis de que se trata de una binomial. Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial

5 Página 5 EJERIIOS Y PROLEMS PROPUESTOS PR PRTIR Extraemos dos cartas de una baraja española. alcula la probabilidad de obtener: a) ases. b) Ningún as. c) lgún as. d) Sólo un as. 6 5 a) = b) = c) = d) = Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras que salen. alcula la probabilidad de obtener: a) Tres caras. b) Una cara. c) Más de una cara. a) ( ) = 8 b) ( ) = 8 c) P [dos caras] + P [tres caras] = ( ) + = = 8 8 En un examen hay que contestar a temas elegidos al azar entre 0. Un alumno ha estudiado solo de los 0 temas. Halla la probabilidad de que: a) El alumno haya estudiado los dos temas elegidos. b) El alumno solo haya estudiado uno de los temas elegidos. c) Ninguno de los temas elegidos haya sido estudiado por el alumno. a) P [sepa el -º y el -º] = P [sepa el -º] P [sepa el -º/sabía el -º] = = = = 0, b) P [solo uno] = P [sepa el -º y no el -º] = = = 0, c) P [ninguno] = = = 0, Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 5

6 En una urna hay 5 bolas numeradas del al 5 y en otra urna hay bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda; si sale cara, se extrae una bola de la urna, y si sale cruz, se extrae una moneda de la urna. alcula la probabilidad de que la bola extraída sea: a) La que lleva el número 5. b) La que lleva el número 8. c) Lleve un número par. Hacemos un diagrama en árbol para calcular fácilmente las probabilidades: /5 /5 P [cara] = / /5 /5 /5 5 6 P [cruz] = / / / / / a) P [5] = = 5 0 = 0, b) P [8] = = 8 = 0,5 9 c) P [par] = + = 5 0 = 0,5 5 Una urna contiene 5 bolas blancas, rojas y verdes. Hacemos extracciones con reemplazamiento. alcula la probabilidad de obtener: a) bolas verdes. b) Ninguna bola verde. c) Una bola verde. uáles serían las probabilidades si no hubiera reemplazamiento? on reemplazamiento: a) = 0,0 b) = 0,6 c) = 0, Sin reemplazamiento: a) = 0,0 ) 8 7 b) = 0,6 ) 8 c) = 0,5 ) Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 6

7 6 Extraemos al azar una ficha de un dominó normal (8 fichas) y sumamos los puntos de sus dos mitades. alcula la probabilidad de que la suma de puntos sea 6. Hay fichas en las que la suma de puntos es 6: El total de fichas es 8, luego la probabilidad pedida es: = 0, 7 7 Una fábrica tiene tres máquinas que fabrican tornillos. La máquina produce el 50% del total de tornillos, la máquina el 0% y la el 0%. De la máquina salen un 5% de tornillos defectuosos, de la un % y de la un %. alcula la probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso. Hacemos un diagrama en árbol: 8 0,5 0, 0,05 0,0 defectuoso no defectuoso defectuoso no defectuoso 0, 0,0 defectuoso no defectuoso P [defectuoso] = 0,5 0,05 + 0, 0,0 + 0, 0,0 = 0,0 Distribuciones de probabilidad 8 ompleta la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros: 0 0, 0, 0, 0, + 0, + P [] + 0, = P [] = 0,5 x i 0 0, 0 0 0, 0, 0, 0,5 0, 0, 0,9 Σ =,6 Σ x i =, µ= Σ =,6 σ =,,6 = 0,6 = 0,8 Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 7

8 9 Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases (0, ó ). a) uál es la distribución de probabilidad? b) alcula la media y la desviación típica. a) 0 p i b) µ = 0,; σ = 0, 0 Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y la desviación típica. 0 p i µ =,5; σ = 0,87 /8 /8 /8 0 Recuerda cuáles son las puntuaciones de las 8 fichas de un dominó. Si en cada una de ellas sumamos los puntos de sus dos mitades, obtenemos las posibles sumas 0,,, 0, y con probabilidades distintas. Haz la tabla con la distribución de probabilidades y calcula µ y σ p i µ = 6; σ = Un alumno ha estudiado temas de los 0 que entran en el examen. Se eligen temas al azar. El alumno puede haber estudiado los dos, uno o ninguno. Haz la tabla con la distribución de probabilidad y represéntala gráficamente. 0 0,5 0,50 0,5 0,50 0,0 0,0 0,0 0,0 0 Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 8

9 Página 5 Una urna contiene 5 bolas blancas, rojas y verdes. Se hacen dos extracciones sin reemplazamiento y se anota el número de bolas rojas extraídas. a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad. b) Haz otra tabla suponiendo que hay reemplazamiento. a) 0 p i b) 0 p 7 i ( ) 7 ( ) En una urna hay 5 bolas numeradas del al 5 y en otra urna hay bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se saca una bola de, y si sale cruz, se saca de. Se observa el número que tiene la bola. a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad. b) Represéntala gráficamente. c) alcula µ y σ. a) 5 p i = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0,5 0,5 0,5 0,5 b) 0, 0, c) µ = 5,5; σ =,59 5 En las familias con hijos e hijas, nos fijamos en el número de hijas. a) Haz la tabla con las probabilidades suponiendo que la probabilidad de que nazca un niño o una niña es la misma. b) Represéntala gráficamente y halla la media y la desviación típica. Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 9

10 a) 0 p 6 i b) 6/6 µ = σ = 5/6 /6 /6 /6 /6 0 Distribución binomial 6 En una distribución binomial (7; 0,) calcula: a) P [x = ] b) P[x = 5] c) P[x = 0] d) P [x > 0] e) P [x > ] f) P [x < 5] 7 a) ( ) 0, 0,6 5 = 0,6 b) ( ) 0, 5 0,6 = 0,077 c) 0,6 7 = 0,08 d) P [x = 0] = 0,97 e) 0,90 f ) 0, En una distribución binomial (9; 0,) calcula: a) P [x < ] b) P [x 7] c) P[x 0] d) P [x 9] a) P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ] = 0,78 b) P [x = 7] + P [x = 8] + P [x = 9] = 0,000 c) P [x = 0] = 0, = 0,866 d) 8 Un examen tipo test consta de 0 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar: a) uál es la probabilidad de que conteste bien preguntas? b) Y la de que conteste correctamente más de preguntas? c) alcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas. Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 0

11 x es ( ) 0; 0 a) P [x = ] = ( ) 0,5 0,75 6 = 0,6 b) P [x > ] = P [x ] = (P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ]) = = (0, ,88 + 0,8) = 0,56 = 0,7 c) P [x = 0] = 0,75 0 = 0,056 9 Una urna contiene bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula la probabilidad de obtener: a) Tres bolas rojas. b) Menos de tres rojas. c) Más de tres rojas. d) lguna roja. Si consideramos éxito = sacar roja, x es (5; 0,) a) P [x = ] = ( 5 ) 0, 0,7 = 0, b) P [x < ] = P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ] = = 0, , ,087 = 0,869 0,869 c) P [x > ] = P [x ] = (0, + 0,869) = 0,008 d) P [x 0] = P [x = 0] = 0,7 5 = 0,89 0 Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomial y di los valores de n, p, µ y σ. a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres respuestas, de las que sólo una es correcta. Se responde al azar. uál es el número de preguntas acertadas? b) En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las respuestas de 0 preguntas y responde las restantes al azar. Nos preguntamos cuántas de ellas acertará. c) Una moneda se lanza 00 veces. Número de caras. d) El % de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio, aunque sea el reintegro. En una familia juegan a 6 números. e) El % de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas. Número de soldaduras defectuosas que habrá. a) ( ) 50; b) ( ) 0; 50 ; µ = = 6,67; σ =, ; µ = 0; σ =,58 relativo a las que contesta al azar Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial

12 c) ( ) 00; ; µ = 00; σ = 0 d) (6; 0,); µ = 5,06; σ =, e) ( 000; 0,0); µ = 0; σ =,5 PR RESOLVER Tenemos una moneda defectuosa para la cual la probabilidad de obtener cruz en un lanzamiento es 0,. La lanzamos dos veces y anotamos el número de cruces. Haz una tabla con la distribución de probabilidad, represéntala gráficamente y calcula su media y su desviación típica. x es (; 0,) 0,50 0 0,0 0,6 0,8 0,6 0,0 µ = 0,8 σ = 0,69 0,0 0,0 0 La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea defectuoso, es 0,. l revisar cinco aparatos: a) uál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso? b) Y la de que haya alguno defectuoso? x es (5; 0,) a) P [x = 0] = 0,8 5 = 0,8 b) P [x 0] = P [x = 0] = 0,8 = 0,67 Página 55 En una fiesta hay tantos chicos como chicas: a) uál es la probabilidad de que en un grupo de seis personas haya tres chicas? b) Y la de que haya menos de tres chicas? x es (6; 0,5) a) P [x = ] = ( 6 ) 0,5 0,5 = 0,5 b) P [x < ] = P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ] = 0, , ,5 6 = 0,7 Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial

13 La probabilidad de que un torpedo lanzado por un submarino dé en el blanco es 0,. Si se lanzan 6 torpedos, halla la probabilidad de que: a) Solo uno dé en el blanco. b) l menos uno dé en el blanco. x es (6; 0,) a) P [x = ] = 6 ( ) 0, 0,65 = 0,866 b) P [x ] = P [x = 0] = 0,6 6 = 0,95 5 En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el % son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. alcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos: a) Ninguno. b) Uno. c) Más de dos. uántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja? x es (50; 0,0) a) P [x = 0] = 0,98 50 = 0,6 b) P [x = ] = 50 0,0 0,98 9 = 0,7 c) P [x > ] = P [x ] = (P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ]) = = (0,6 + 0,7 + 0,86) = 0,9 = 0,078 Por término medio, habrá µ = 50 0,0 = tornillo defectuoso en cada caja. 6 Un tipo de piezas requiere de soldaduras. Se hace un control de calidad a mil de esas piezas y se obtienen los siguientes resultados: SOLDDURS DEFETUOSS 0 PIEZS Se ajustan estos datos a una binomial? La media de la muestra es x = 0,69. Si las cuatro soldaduras tuvieran la misma probabilidad, p, de ser defectuosa y fueran independientes, el número, x, de soldaduras defectuosas en cada pieza seguiría una distribución binomial (, p), por lo cual: x = p 0,69 = p p = 0,75 Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial

14 Veamos cómo se comportaría, teóricamente, esta binomial con 000 individuos y comparémoslo con los resultados de la muestra: = P [x = ] 000 VLORES VLORES ESPERDOS OSERVDOS DIFERENIS 0 0,689 68, ,90 9, ,, ,070 7, ,0009 0,9 8 7 Las diferencias son enormes. Se rechaza la hipótesis de que el número de soldaduras defectuosas en una pieza siga una distribución binomial. UESTIONES TEÓRIS 7 En una distribución (; 0,5) comprueba que: P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ] + P [x = ] + P [x = ] = 0,75 + 0,5 0, ,5 0,75 + 0,5 0,75 + 0,5 = 8 ompara la media de las distribuciones binomiales (00; 0,06) y (0; 0,). uál de ellas tiene mayor dispersión? Halla el coeficiente de variación de cada una. (00; 0,06) µ = ; σ =,6 (0; 0,) µ = ; σ =,68 Tiene mayor dispersión la primera, (00; 0,06). 9 En una bolsa hay 5 bolas blancas, 7 rojas y 8 negras. Extraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Queremos calcular la probabilidad de que, al hacer tres extracciones, las tres bolas sean de distinto color. Es una distribución binomial? Justifica tu respuesta P [, R y N] = 6 = 0, No es una binomial, porque no hay solo dos posibilidades. 0 En una mano de póker se dan 5 cartas a cada jugador. Nos preguntamos por la probabilidad de que un jugador tenga k figuras (k = 0,,,, ó 5). Por qué no es una distribución binomial? ada vez que se extrae una carta de la baraja, varía la composición de ésta. Por tanto, la probabilidad de FIGUR no es constante para cada una de las cinco cartas. Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial

15 PR PROFUNDIZR Una empresa hace un estudio para decidir si lanza un producto u otro. Según el estudio, si lanza tiene una probabilidad de 0,7 de ganar 5 millones y una probabilidad de 0, de perder 7 millones. Si lanza, tiene una probabilidad de 0,8 de ganar 0 millones y una probabilidad de 0, de perder 5 millones. Qué producto debe comercializar? Por qué? alculamos las ganancias esperadas con cada opción: Si comercializa 5 0,7 7 0, = 5, millones Si comercializa 0 0,8 5 0, = 5 millones Por tanto, debe comercializar. naliza la demostración de la equivalencia de las expresiones de la varianza de una distribución de probabilidad. Justifica todos los pasos. Σ ( µ) = Σ (x i µ + µ ) = Σ x i + Σ ( µ) + Σ µ = = Σ x i µ Σ + µ Σ = Σ x i µ µ+ µ = Σ x i µ ) Desarrollamos el cuadrado. ) Separamos en sumandos. ) Sacamos factor común las constantes de los sumatorios. ) Tenemos en cuenta que Σ = µ y que Σ =. 5) grupamos los sumandos. PR PENSR UN POO MÁS En una circunferencia se señalan 6 puntos igualmente espaciados. Se eligen al azar tres de ellos. uál es la probabilidad de que el triángulo determinado por ellos: a) sea equilátero? b) sea rectángulo? a) 60 α = =,5 = 0' 6 Para que el triángulo fuera equilátero, debería ser: α 0 nα = 0 n = = 5, ),5 n α que no es entero; por tanto, es imposible que el triángulo sea equilátero. (Para poder obtenerlo, el número de puntos señalados debería ser múltiplo de ). sí: P [equilátero] = 0 Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 5

16 b) Llamamos,, a los vértices. Para que el triángulo sea rectángulo, dos de sus vértices deben ser opuestos respecto al centro de la circunferencia. Luego la probabilidad pedida es: P [ opuesto a ] + P [ no opuesto a ] P [ opuesto a o a ] = = + = = = 0, Un grupo de viajeros, al acabar una excursión, intercambiaron sus fotografías. verigua cuántos eran sabiendo que se intercambiaron 8 fotografías. Si n es el número de viajeros, se intercambiaron n (n ) fotografías; es decir: n (n ) = 8 Descomponiendo 8 en factores primos, observamos que: 8 = 7 9 = 8 9 Por tanto, n = 9 viajeros. 5 En la autopista, un cierto conductor cambia de carril cada minuto. Si la autopista tiene cuatro carriles y el conductor pasa al azar de uno a otro, cuál es la probabilidad de que cuatro minutos más tarde se encuentre en el carril de partida? (Estudia los casos en que el carril sea interior o exterior.) Llamamos,,, D a cada uno de los cuatro carriles. D Hacemos un diagrama en árbol: er SO: parte de un carril exterior (de o de D): _er minuto -º minuto _er minuto -º minuto / / / / D / / / / P [acabar en partiendo de ] = + = 8 8 Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 6

17 nálogamente: P [acabar en D partiendo de D] = 8 -º SO: parte de un carril interior (de o de ): _er minuto -º minuto _er minuto -º minuto / / / / / D / / / / / / D / D / / D P [acabar en partiendo de ] = = nálogamente: P [acabar en partiendo de ] = 6 6 Unidad 0. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 7